Esperienza 2 GENERATORE DI FUNZIONI A FREQUENZA

Esperienza 2
GENERATORE DI FUNZIONI A FREQUENZA VARIABILE
Lo scopo di questa esperienza è costruire un circuito in grado di produrre in uscita onde quadre, triangolari e
sinusoidali partendo da un'alimentazione in corrente continua. I componenti che ci permetteranno di realizzare
una rete che possiede queste caratteristiche sono gli amplificatori, i transistor e naturalmente i componenti
passivi resistivi e capacitivi.
PARTE 1: Generatore di onde quadre e triangolari a frequenza variabile.
La chiave per completare questa prima parte si rivelano essere i ragionamenti che stanno dietro alla
controreazione positiva e negativa.
Il circuito da studiare è il seguente:
R1=R 2=33 K 
C t =2,2 nF
Rt =11,2 K 
Rl =470 
Op− Amp : TL082
Z1 , Z2 : 1 N752
Figura 1.1
Funzionamento
Nel circuito compaiono due amplificatori: uno controllato tramite controreazione positiva e l'altro tramite
controreazione negativa.
Tralasciamo per il momento la presenza dei due diodi Zener che servono, grazie alla loro peculiare
caratteristica tensione-corrente, a limitare il valore della tensione al punto Q tra due potenziali V Qmax e
V Qmin :riprenderemo più avanti la caratterizzazione di questi componenti.
Il primo amplificatore opera come un comparatore ed è controllato dalla reazione positiva: sono possibili due
soli stati stabili, chiamati stato positivo e stato negativo, e due soli momenti di transizione tra gli stati.
Questo tipo di configurazione rende quindi il sistema bistabile.
L'ingresso invertente è collegato a massa. Il valore della tensione all'ingresso non invertente è pari a V J .
Supponiamo che l'uscita dell'amplificatore sia ad un valore di tensione pari a V+ e che l'ingresso non invertente
si trovi ad un potenziale positivo: finché V J non scende al di sotto del valore 0, il sistema rimarrà nello stato
positivo. Nonappena V J diminuendo oltrepassa il valore 0, scatta la controreazione positiva (momento di
transizione) che porta l'uscita dell'amplificatore al valore V-. Il sistema rimane quindi nello stato negativo
fintantoché V J è minore di 0. Quando V J aumentando supera il valore di soglia 0, la controreazione
riporta il sistema nello stato positivo (secondo momento di transizione).
Il secondo Op-Amp è il nucleo di un sottocircuito, un integratore.
Figura 1.2
Tenendo conto del fatto che l'impedenza in entrata dell'amplificatore è molto grande e che conseguentemente
la corrente scorre quasi interamente nel ramo di controreazione, servendoci della trasformata di Laplace
otteniamo una scrittura analitica della tensione V T :
V T  s=−
Anti trasformando:
V T t =−
1
1 V
I  s=− ⋅ Q
sC
sC Rt
t
V
1
V Q dl =− Q t
∫
0
Rt C
Rt C
Facciamo ora qualche considerazione sulla presenza dei due diodi Zener.
Questi componenti se contrapposti come nel nostro caso, consentono di limitare la tensione al punto Q tra due
valori V Qmax e V Qmin grazie alla loro particolare caratteristica tensione-corrente (figura 1.3).
Il diodo Zener è dunque in grado di stabilizzare tensioni per variazioni limitate
di corrente. Due diodi Zener contrapposti e collegati tra il punto Q e la terra
garantiscono un potenziale V Q confinato tra i valori ±V Z 0.6 V  (la
caduta di 0.6V è dovuta al fatto che uno dei due diodi è sempre in conduzione
diretta e V Z vale circa 5V per questi componenti).
Il ruolo del resistore R l è quello di limitare la corrente che attraversa i diodi
poiché la giunzione PN che è il cuore di questi componenti è davvero delicata.
Figura 1.3
Forme d'onda
Ci proponiamo ora di disegnare il grafico delle tensioni ai punti Q,T e J in funzione del tempo. Per realizzarlo e
commentarlo ci serviamo della teoria del feedback.
Figura 1.4
Come abbiamo indicato nella figura 1.1 abbiamo scelto di porre R1=R 2 :questa semplificazione ci ha
permesso di ottenere dei vantaggi.
Abbiamo ricavato con semplicità la tensione V J con un'equazione al nodo:
V J −V t V J −V Q
V V T

=0 ⇒ V J = Q
R1
R2
2
Abbiamo reso le ampiezze delle onde quadra e triangolare uguali1. Infatti per
∣V T∣=∣V Q∣
V J nullo si ha:
V T e V Q al valore massimo. Dalla formula per V T vediamo che l'onda triangolare inizia a
V J decresce linearmente ma , come possiamo capire osservando
decrescere linearmente. Anche
l'espressione analitica di V J ,con pendenza dimezzata rispetto a V T . Nonappena V J oltrepassa l'asse
delle ascisse scatta la controreazione positiva che porta il valore di V Q al valore minimo.
Siano
Vediamo quindi graficati i ragionamenti riguardanti la controreazione positiva esposti nel paragrafo relativo al
funzionamento del circuito.
Calcolo della formula del periodo
Per calcolare il periodo ci siamo serviti di argomentazioni geometriche.
Poiché
V
V

=2 Qmax =2 Qmax Rt C ,infatti il coefficiente angolare del tratto di V T t è tan 
2
V Qmax
tan 
=4 Rt C
Otteniamo:
1 Quasi uguali: l'onda quadra è soggetta a una diminuzione del modulo del valore della tensione di un fattore
pari a 0.6V:questa caduta di potenziale è dovuta al diodo in conduzione diretta.
Per ottenere una frequenza di oscillazione pari a circa 10Khz abbiamo adottato le scelte seguenti:
C =2,2 nF
Rt =11,2 K 
1
⇒ = ≃10146 Hz

L'amplificatore vede un'impedenza in uscita che è pari a  Rt∣∣2 R1 R l . Il valore del carico resistivo visto
dall'uscita dell'operazionale permette al circuito di essere in linea con le specifiche del TL082. Abbiamo infatti
appurato dal data sheet che il valore di 10 K  garantisce un impedenza in uscita tale da consentire il buon
funzionamento del componente in quanto a corrente erogata.
Costruzione del circuito
Riportiamo ora le immagini ottenute dall'oscilloscopio per quanto riguarda le forme d'onda ai punti Q,T e J:
Figura 1.5
Figura 1.6
Variazione alimentazioni
Figura 1.7
Abbiamo anche provato a variare i valori dell'alimentazione dell'operazionale tra ±12 V e ±9 V :il periodo
delle oscillazioni non è cambiato. Questo è del tutto ragionevole. Potevamo infatti predire questo
comportamento osservando l'espressione analitica del periodo: il valore V Q si fattorizza.
Si presentano comunque delle anomalie scendendo ulteriormente con il valore della tensione di alimentazione
al di sotto dei ±6 V .
Simulazione con PSPICE
Abbiamo simulato il circuito con il software PSpice. Sono riportati di seguito il codice e la schermata visualizzata
da Probe:
EA esp2: Generatore di onde quadre e triangolari
VPIU 102 0 DC +12V
VMENO 101 0 DC -12V
* Prima parte
Rl
D1
D2
R1
X1
2
0
2
5
5
1
6
6
2
0
470
D1N752
D1N752
33K
102 101 1 TL082
* Seconda parte
RT
CT
R2
X2
3
4
5
0
2
3
4
3
11.2K
2.2N
33K
102 101 4 TL082
.LIB
.TRAN 10U 0.5M
.END
; Alimentazione
Figura 1.8
Osserviamo la discrepanza tra le ampiezze delle onde quadra e triangolare.
Infine abbiamo inserito un potenziometro da 100 K  in serie a Rt collegato a reostato.
Agendo sul comando del potenziometro osserviamo sull'oscilloscopio il periodo variare con continuità nei punti
Q,T e J allo stesso modo. Tale comportamento era prevedibile osservando l'espressione analitica del periodo.
Possiamo fare un confronto con la prima esperienza di Elettronica Analogica.
Nella prima esperienza il circuito realizzato era caratterizzato da una sorta di bipartizione tra generatore di onda
quadra e generatore di onda triangolare e conseguentemente da due costanti di tempo.
L'architettura del circuito che abbiamo realizzato nell'esperienza 2 implica che le creazioni dell' onda quadra e
dell'onda triangolare risultino “inscindibili”.
PARTE 2: Convertitore TRI-SINE
In questa seconda parte dell'esperienza l'obiettivo è ottenere un'onda sinusoidale da un'onda triangolare. Tale
compito non può essere portato a termine servendosi di un circuito dalla funzione di trasferimento lineare: la
relazione tra una funzione lineare (sostanzialmente l'onda triangolare lo è) e un seno è infatti più complicata.
Infatti l'esperienza poggia interamente sullo sfruttamento della caratteristica non lineare di una giunzione PN.
Ecco lo schema della rete che collegheremo in uscita al circuito realizzato nella prima parte,
Figura 2.1
Per spiegare il funzionamento di questo sistema elettrico, abbiamo adottato questa semplificazione:
Figura 2.2
In questa valida semplificazione compaiono solo gli elementi fondamentali per la comprensione del
funzionamento del circuito: le correnti portate dai due transistor ( i 1 e i 2 ), le correnti I 0 ( provenienti da
due generatori fittizi2, comodi per i ragionamenti che condurremo ) e R L che rappresenta la resistenza
complessiva attraverso la quale transita la corrente i generando conseguentemente una differenza di
potenziale.
Il segnale in entrata è fortemente attenuato in modo da ottenere una piccola corrente di base per il transistor
T 1 . Questa corrente verrà trascurata perché lo studio analitico del comportamento del circuito risulti più
immediato. Vediamo quantitativamente come la partizione attenui la corrente di base
Vent
V ent
=
I b1 :
R3
V
=0.08 ⇒ I =
=2⋅10−4 V ent
R3R 4
R3
Ora ricaviamo dallo schema semplificato del circuito trascurando le correnti di base che:
i 1= I 0i e i 2= I 0 −i
V BE1 −V BE2 =V ent −R⋅i
Mentre dallo studio dei diodi in conduzione diretta, noi sappiamo che la caratteristica “tensione anodo-catodo
Vs corrente” è di tipo esponenziale:
i 1=I s1 e
V BE1
VT
−1
e
i 2= I s2 e
V BE2
VT
−1
( Nel circuito non compaiono esplicitamente dei diodi. Tuttavia un transistor può essere pensato come due diodi
parzialmente compenetrati).
Con le informazioni appena ricavate è possibile scrivere V ent come funzione di i 3:
V ent =2 V T atanh
i
R E i
I0
Formula 2.1
V ent non dipende in maniera banale da i: ne è funzione trascendente; Una scrittura in termini di funzioni
elementari della dipendenza di i da V ent non è possibile. Ricorriamo quindi a un grafico di i= f V ent  :
simmetrizzando si ottiene
Figura 2.3a e 2.3b
(Unità arbitrarie)
E' stato anche illustrato il procedimento geometrico per ottenere il grafico che cercavamo: una
simmetrizzazione rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
2 Più precisamente la corrente
resistori da
10 K 
I 0 risulta dalla differenza di potenziale di 11,4 V che si sviluppa ai capi dei
I 0 =1.14 mA .
in figura 2.1:
3 per il calcolo dettagliato si faccia riferimento all'appendice.
Funzionamento del circuito
Un modo per ottenere un'onda sinusoidale da un'onda triangolare è estrarne un'armonica.
Questo circuito tuttavia non opera come un filtro selettivo ( come quello realizzato nell'esperienza 1 ), che è in
grado di esaltare una sola frequenza, più precisamente un ristretto range di frequenze, attenuando le
rimanenti. L' estrazione di un'armonica tramite filtro selettivo dipende pesantemente dalla frequenza del segnale
in ingresso: variando la frequenza del segnale varia conseguentemente la frequenza di tutte le armoniche che
lo compongono mentre la banda di frequenze esaltate rimane bloccata.
Nel circuito che abbiamo costruito in questa esperienza il tempo entra in gioco solamente attraverso la
dipendenza temporale di V ent . Potremmo scrivere in simboli che
i= f [V ent t ]
sottolineando il fatto che i, di cui V out è funzione lineare, dipende dal tempo solo attraverso V ent .
Per convertire attraverso il circuito un'onda triangolare in un'onda sinusoidale ci serviamo principalmente della
caratteristica I −V AK dei diodi in conduzione diretta. Tale caratteristica è una funzione di tipo esponenziale
che ritroviamo nella formula 2.1 mascherata nella funzione arcotangente iperbolica, che non è altro che una
combinazione di funzioni esponenziali.
Focalizzando l'attenzione sulla formula 2.1 e la figura 2.3 b si può spiegare come avvenga la conversione delle
onde triangolari.
V ent cresce linearmente e i cresce secondo la legge che abbiamo ricavato.
• Fase 2: V ent decresce linearmente e i decresce secondo la legge ricavata.
• Fase 1:
Figura 2.4
L'onda che otteniamo è il frutto del raccordo di questi grafici. Non è propriamente un'onda sinusoidale, ma il
caratteristico andamento oscillante è bene approssimato. Con un foglio elettronico abbiamo voluto rinforzare
graficamente l'affermazione (il passo con cui sono stati inseriti i valori di di i è di 0,5 mA).
i = f(Vin) e Seno
1,25
1,00
0,75
0,50
mA
0,25
0,00
i= f (Vin) mA
Seno mA
-0,25
-0,50
-0,75
-1,00
-1,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
V
Figura 2.5
0,05
0,10
0,15
0,20
Il grafico riporta i in funzione di
realizzarlo sono:
I 0=1.14 mA
V ent confrontata con un seno di pari periodo. Le formule e i valori utilizzati per
V ent =2 V T atanh
i
R E i
I0
i=sen 
V ent
V entPiccoPicco

V T =25 mV
Abbiamo simulato il circuito con il software PSpice. Sono riportati di seguito il codice messo a punto2 e gli
screenshots dell'output video di Probe:
* Convertitore TRI-SINE
VPIU2 202 0 DC +12V
VMENO2 201 0 DC -12V
; alimentazione
R3 7 4 4.7K
R4 7 0 150
R5 201 10 10K
R6 201 8 10K
Re 8 10 56
R7 202 13 2.7K
R8 202 9 3.9K
R9 11 9 22K
R10 11 12 33K
Rreo 12 201 10K
Q1 10 7 13 Q2N2222
Q2 8 0 9 Q2N2222
.LIB
.TRAN 10U 0.25M
.FOUR 5KHz v(11)
.END
Figura 2.6
2 Il codice riguarda solo la seconda parte dell'esperienza. Il codice riguardante la prima parte è rimasto
inalterato.
Il resistore
RE
R E è legato all' influenza del termine lineare nella formula 2.1 quanto più grande è la
resistenza tanto più prossima alla linearità sarà la relazione tra V ent e i.
Il valore della resistenza
Figura 2.7
Questa alterazione del parametro della funzione si traduce in una deformazione del segnale in uscita. Per
esempio abbiamo osservato che il segnale in uscita si avvicina ad un'onda quadra al decrescere della
resistenza R E (per un valore nullo della resistenza il circuito diventa una coppia differenziale). Abbiamo
anche condotto uno studio quantitativo della distorsione della sinusoide generata servendoci del comando .
FOUR del programma PSPICE. I risultati che abbiamo ottenuto sono riassunti dalla seguente tabella:
Resistenza ohm
Distorsione %
10
15
20
10
56
7,2
68
6,8
100
7,7
Tabella 2.1
Come ci aspettavamo il segnale non è una pura sinusoide, ma una commistione di diverse armoniche i cui pesi
variano al variare di R E .
Aggiustamenti finali
Regolando la resistenza variabile riusciamo a traslare la sinusoide rispetto alla linea di zero. Questo effetto può
essere spiegato con un semplice ragionamento.
Ai capi della resistenza variabile si hanno i seguenti potenziali:
V Out =
VP
e l'alimentazione. Quindi
V Out
V P⋅R10 R reo
R
=V P 1 10 
R reo
R reo
Infine abbiamo normalizzato le ampiezze dell'onda triangolare e dell'onda sinusoidale. Misurando con
l'oscilloscopio abbiamo appurato che:
V TPp =13.23V e V SinPp =5.4 V
è
Figura 2.9
Dovevamo amplificare l'onda sinusoidale di un fattore circa 2.45. Di conseguenza abbiamo assemblato il
circuito schematizzato in figura: un amplificatore non invertente di guadagno
G=
R12=10 K 
R11=15 K 
Figura 2.10
Il risultato finale che visualizziamo sull'oscilloscopio è il seguente:
Figura 2.11
R11 R12
=2.5 .
R12
APPENDICE
•
Derivazione formula 2.1:
Partiamo dalle espressioni:
i 1= I s1 e
Prendiamo
V BE1
VT
−1
i 2= I s2 e
V BE2
VT
i 1=I 0 i e i 2= I 0−i
−1
I s1=I s2 e ricordiamo che V T =
V BE1 −V BE2 =V ent −R⋅i
kBT
q
i 1−i 2 i 1−i 2
=
i 1i 2 i 1i 2
V BE1
VT
V BE2
VT
BE1
BE2
T
T
V BE1
VT
V BE2
VT
i
e −e
= V
V
I0
V
V
e e 2
i=
I 0⋅e
e
V BE1
VT
−e
e
V BE2
VT
e
e
il 2 è trascurabile
−V BE2
VT
moltiplico per 1
−V BE2
VT
V BE1−V BE2
VT
e
i= I 0⋅ V
−V BE2
VT
e
V ent −iR E
VT
e
i= I 0⋅ V
e
ent
VT
−iR E
−1
BE1
1
V −iR E
− ent
2V T
−1 e
⋅
Moltiplico per uno e sostituisco
V −iR E
− ent
2V T
1 e
V ent −iR E
2V T
e
i=I 0⋅ V
e
−iR E
2V T
V ent −iR E
2V T
−
V ent −iR E
2V T
−e
ent
i=I 0 tanh 
−
e
V ent −iR E

2V T
V ent =2 V T atanh
i
R E i
I0