Quantità di moto di un sistema isolato e sua conservazione
Sistema isolato di corpi.
Un sistema di corpi è semplicemente un insieme di corpi; se consideriamo come sistema una
manciata di sassi che lanciamo contro una finestra, essi seguono traiettorie vicine e quasi parallele
e, quando colpiscono il bersaglio, procurano un danno circa uguale a quello prodotto da un unico
sasso ad essi equivalente per massa. Interpretiamo questa situazione dicendo che il sistema di sassi
possiede una quantità di moto pari alla somma delle quantità di moto di ciascun sasso; per esempio
nel lancio di cinque sassi la quantità di moto del sistema è data da:
p = p1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5
Diamo allora la seguente definizione: la quantità di moto di un sistema di corpi è la somma
vettoriale delle quantità di moto dei singoli corpi che compongono il sistema.
Esempio 1 – Determinazione della quantità di moto totale di un sistema di due masse
Consideriamo un ragazzo di 60 kg che, in sella alla propria motocicletta di massa 150 kg, si muove alla
velocità di 36
km
. Vogliamo calcolare la quantità di moto del sistema.
h
Scriviamo i dati del problema
Massa del ragazzo: mr = 60 kg. Massa della motocicletta: mm = 150 kg.
km
m
Velocità: v = 36 h =10
s
Incognita
Quantità di moto totale del sistema p
Analisi e soluzione
Ragazzo e motocicletta formano un sistema; la quantità di moto p del sistema è data dalla somma della
quantità di moto p r del ragazzo e di quella della motocicletta p m : p = p r + p m .
Poiché il ragazzo e la motocicletta sono uniti, essi hanno la stessa velocità, per cui la quantità di moto del
sistema ha la direzione e il verso della velocità e intensità pari a:
m
m
= 2100 kg ·
.
s
s
La forza che un corpo non appartenente a un sistema esercita su uno dei corpi del sistema si dice
esterna al sistema; si dice invece interna la forza esercitata tra due corpi dello stesso insieme. La
forza che la mano imprime ai sassi al momento del lancio è una forza esterna; nel caso in cui due
sassi si urtassero durante il volo, la forza d’urto che un sasso esercita sull’altro è una forza interna.
Il sistema si dice isolato quando su di esso non agiscono forze esterne o la loro risultante è nulla.
L’insieme di sassi durante il volo non è un sistema isolato perché essi sono attratti dalla forza
gravitazionale o forza peso prodotta dalla Terra che non fa parte del sistema: la forza peso è quindi
una forza esterna. Se allarghiamo il sistema e comprendiamo in esso oltre ai sassi anche la Terra, la
forza peso risulta essere una forza interna. Il sistema sassi + Terra, non considerando l’attrazione
del Sole e degli altri corpi celesti, è un sistema isolato.
p = mr·v + mm·v = (mr+ mm)·v = (60 kg + 150 kg) · 10
Il principio di conservazione della quantità di moto.
Si può dimostrare che la quantità di moto di un sistema isolato rimane costante, sia in intensità,
che in direzione e verso.
Infatti, poiché in un qualsiasi sistema la risultante delle forze interne è nulla (in virtù del terzo
principio della dinamica) e in un sistema isolato la risultante delle forze esterne è nulla, sarà nulla
anche la somma vettoriale di tutti gli impulsi agenti su di esso. Dal teorema dell’impulso
deduciamo: p f − p 0 = 0 , cioè: p f = p 0 . Ossia la quantità di moto finale dopo un certo tempo t è
uguale alla quantità di moto iniziale che il sistema possedeva prima di quell’intervallo di tempo. Ciò
non significa che ognuno dei corpi del sistema mantiene invariata la sua quantità di moto, ma solo
che la somma di tutte le quantità di moto iniziali è uguale alla somma di tutte le quantità di moto
finali. Durante l’intervallo di tempo considerato le forze interne possono aver cambiato l’aspetto del
sistema, ma non possono averne modificato la quantità di moto.
Stando in acqua su un materassino gonfiabile, se lanciamo davanti a noi un pallone ci rendiamo
conto che dopo il lancio ci muoviamo dalla parte opposta rispetto a quella in cui si muove il
pallone. La quantità di moto del sistema noi+ pallone prima del lancio è nulla, perché sia noi che il
pallone siamo fermi; dopo il lancio il pallone riceve una certa quantità di moto che ha lo stesso
verso della velocità impressa, e noi acquistiamo una quantità di moto uguale e contraria a quella del
pallone in modo che la quantità di moto totale del sistema sia ancora nulla, come prima del lancio.
Il principio di conservazione della quantità di moto permette di studiare fenomeni in cui
intervengono forze interne, come nelle esplosioni e negli urti.
La conservazione della quantità di moto in un’esplosione
Per esplosione si intende una improvvisa separazione di un sistema in due o più parti, ciascuna
dotata della propria velocità e quindi della propria quantità di moto. La quantità di moto del sistema
formato dalle parti unite è uguale alla somma delle quantità di moto degli stessi corpi dopo che si
sono separati.
Esempio 2 – Calcolo della velocità finale di una massa dopo un certo evento utilizzando la
conservazione della quantità di moto
Consideriamo un sistema costituito da due persone, padre e figlio; il primo di 70 kg e il secondo di 35 kg,
che, sul ghiaccio e da ferme, si danno una spinta reciprocamente. Dopo essersi spinti il figlio ha acquistato
la velocità di 7,0
m
. Quant’è la velocità del padre e come è diretta?
s
Scriviamo i dati del problema
Massa del padre m1 = 70 kg. Massa del figlio m2 = 35 kg.
Quantità di moto del sistema padre-figlio prima della spinta p0 = 0.
Velocità del figlio che si allontana dal padre v2f = 7,0
m
.
s
Incognita
Velocità v1f del padre dopo la spinta, sia in intensità che direzione e verso
Analisi e soluzione
Prima della spinta la quantità di moto del sistema padre-figlio è nulla; la spinta avviene solamente per mezzo
di forze interne al sistema, quindi la quantità di moto si mantiene nulla. Considerando positivi i vettori verso
destra, scriviamo:
pf = 0;
m1 v1f + m2 v2f = 0
inseriamo i valori: 70 kg · v1f + 35 kg · 7,0
m
=0
s
da cui ricaviamo: v1 f =
m
s = − 3,5 m .
70 kg
s
− 245kg ⋅
Il segno “−” che abbiamo ottenuto per la velocità acquistata dal padre indica che essa ha la stessa direzione
di quella del figlio, ma di verso opposto: il figlio si muove verso destra e il padre verso sinistra.
La conservazione della quantità di moto in un urto
L’urto tra due o più corpi è una collisione tra i corpi stessi; dopo l’urto i corpi possono rimanere
agganciati l’uno all’altro: in questo caso si tratta di un urto anelastico; oppure rimbalzare con
velocità diverse da quelle che avevano prima di urtarsi: si dice che l’urto è totalmente o
parzialmente elastico (studieremo più avanti la distinzione tra questi due tipi di urti).
La quantità di moto totale del sistema prima dell’urto è uguale alla quantità di moto del sistema
dopo l’urto.
Esempio 3 – Calcolo della velocità finale di due masse rimaste agganciate dopo un urto anelastico
Un vagone ferroviario di 16 t, in una manovra a spinta, si muove con velocità di 8
m
verso un altro vagone
s
di 20 t fermo. Dopo aver urtato questo secondo vagone, rimane agganciato ad esso. Vogliamo calcolare
quanto vale la velocità dei due vagoni agganciati dopo l’urto.
Scriviamo i dati del problema
Massa del vagone “proiettile” m1 = 16 t = 16 · 103 kg. Massa del vagone “bersaglio” m2 = 20 t = 20 · 103 kg
Velocità del vagone “proiettile” v1 = 8,0
m
m
. Velocità del vagone “bersaglio” v2 = 0
.
s
s
L’urto è di tipo anelastico.
Incognita
Velocità vf dei due vagoni agganciati dopo l’urto
Analisi e soluzione
Il sistema è costituito dai due vagoni; Applichiamo il principio di conservazione della quantità di moto: la
quantità di moto del sistema prima dell’urto è uguale alla quantità di moto del sistema dopo l’urto. L’urto è
di tipo anelastico, quindi dopo di esso i due vagoni restano uniti e possiedono la stessa velocità.
Consideriamo positivi i vettori diretti verso destra e calcoliamo la quantità di moto di ciascun vagone prima
dell’urto:
p1 = m1·v1 = 16·103 kg · 8,0
m
m
= 1,3 · 104 kg ·
;
s
s
p2 = m2·v2 = 20·103 kg · 0 = 0
Calcoliamo ora la quantità di moto totale del sistema prima dell’urto:
p0 = p1,0 + p2,0 = 1,3 · 104 kg ·
m
m
+ 0 = 1,3 · 104 kg ·
s
s
Scriviamo ora la formula per calcolare la quantità di moto dopo l’urto anelastico:
pf = (m1 + m2) · vf = (16 · 103 kg + 20 · 103 kg) · vf
;
da cui otteniamo: pf = 36 · 103 kg · vf.
Uguagliamo questa espressione al valore della quantità di moto prima dell’urto:
m
1,3 ⋅10 4 kg ⋅
m
s = 3,6 m .
36 · 103 kg · vf = 1,3 · 104 kg ·
; da cui otteniamo il valore della velocità: v f =
3
s
s
36 ⋅ 10 kg
m
La velocità dei due vagoni ferroviari uniti dopo l’urto è di 3,6
, con la stessa direzione e verso della
s
velocità che possedeva il primo vagone prima dell’urto.
Calcolo della velocità dei proiettili
Il principio di conservazione della quantità di moto permette di calcolare la velocità di un proiettile,
difficile da determinare direttamente.
Esempio 4 – Calcolo della velocità di un proiettile in un urto anelastico
Consideriamo un proiettile di massa 10,0 g che viene sparato orizzontalmente in un blocco di legno di massa
10,0 kg ove rimane conficcato. La velocità del blocco e del proiettile dopo l’urto è di 0,500
calcolare la velocità del proiettile prima dell’urto.
Scriviamo i dati del problema
Massa del proiettile mp = 10,0 g = 10,0 · 10−3 kg
massa del bersaglio mb = 10,0 kg
velocità del bersaglio (è fermo) vb = 0
velocità del proiettile e del blocco uniti dopo l’urto vf = 0,500
m
s
m
. Vogliamo
s
Incognita
Velocità vp del proiettile prima dell’urto
Analisi e soluzione
La quantità di moto del sistema isolato proiettile-blocco di legno si conserva, quindi la quantità di moto
prima dell’urto è uguale alla quantità di moto dopo l’urto. Scriviamo quindi in simboli:
p0 = pf;
mp·vp + mb·0 = (mp + mb) ·vf;
da cui otteniamo vp = 500
10 · 10−3 kg · vp = (10 · 10−3 kg + 10 kg) · 0,50
m
;
s
m
m
. La velocità del proiettile prima di urtare il blocco è di 500
.
s
s
La conservazione della quantità di moto nel quotidiano
La propulsione a reazione è un’applicazione del principio di conservazione della quantità di moto e
del terzo principio della dinamica. I polpi e i calamari si spostano schizzando in una direzione
acqua; questa esercita una reazione uguale e contraria sul corpo che l’ha espulsa spingendolo in
direzione opposta.
Il motore a reazione degli aeroplani funziona con lo stesso meccanismo: il motore spinge indietro
una certa massa d’aria e questa determina una reazione uguale e contraria sull’aereo, spingendolo in
avanti. Durante il movimento la quantità di moto che l’aereo ottiene è uguale e contraria a quella dei
gas espulsi in modo che la quantità di moto totale del sistema aereo + gas espulso resti costante. Il
gas si sposta indietro e l’aereo in avanti.
In modo analogo funziona il movimento dei veicoli spaziali; ma poiché nello spazio non vi è
atmosfera da cui prelevare l’aria, i veicoli devono avere un serbatoio per il combustibile e uno per
l’ossigeno necessario alla combustione. Bruciando il combustibile, il motore lancia in un verso i gas
di scarico e riceve da questi la reazione uguale e contraria, determinando così il movimento del
veicolo.
Un fenomeno simile è quello del rinculo del fucile nel momento dello sparo: prima dello sparo la
quantità di moto del sistema fucile + proiettile è nulla, in quanto il sistema è isolato e fermo. Dopo
lo sparo la quantità di moto del sistema deve essere ancora nulla, e poiché il proiettile acquista una
certa quantità di moto, il fucile ne deve acquistare una uguale e contraria, muovendosi in senso
opposto al proiettile. Sullo stesso fenomeno si basa la propulsione a “ventilatore”: su una barca è
montato un motore che aziona pale simili a quelle di un ventilatore; esse spingono l’aria verso il
retro della barca e l’aria spinge le pale e quindi la barca in avanti.
Se una persona in piedi su un carrello, o su una barca, spicca un salto in avanti, il corpo su cui si
trova compie un movimento in senso opposto.
In particolare, se un pendolo è fissato alla struttura di un carrello e oscilla nel piano longitudinale
del carrello stesso, questo assume un moto oscillatorio in sincronia con quello del pendolo e in
verso opposto.
Si ha il fenomeno del rinculo anche all’estremità di un tubo flessibile dal quale esce con forza un
getto liquido.
Un’applicazione di questo fenomeno in campo medico è il balistocardiografo (BCG). Esso è
costituito da sensori che rilevano le piccolissime vibrazioni di rinculo della sedia su cui è seduta una
persona, dovute all’attività cardiaca. Analizzando queste vibrazioni è possibile studiare la frequenza
del battito cardiaco e le sue anomalie.
Verifiche di comprensione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Che cos’è un sistema di corpi?
Come si calcola la quantità di moto di un sistema di corpi?
Quando una forza è esterna a un sistema di corpi?
Quando una forza è interna a un sistema di corpi?
Che cos’è un sistema isolato di corpi?
Che cosa afferma il principio di conservazione della quantità di moto di un sistema isolato?
Che cos’è un urto anelastico?
Dimostra come dal terzo principio della dinamica si può dedurre il principio di conservazione
della quantità di moto di un sistema isolato.
9. Elenca alcuni fenomeni o applicazioni del principio di conservazione della quantità di moto o
del terzo principio della dinamica.
Verifiche di conoscenza
1. La quantità di moto di un sistema si conserva:
a. se non agiscono assolutamente forze esterne su di esso
b. se la somma delle forze esterne che agiscono sul sistema è nulla
c. se non agiscono forze interne
2. Un fucile del luna-park spara un proiettile contro un bersaglio. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
a. prima e dopo lo sparo la quantità di moto del fucile rimane sempre nulla e quella del
proiettile aumenta
b. prima e dopo lo sparo la quantità di moto del fucile è costante, mentre quella del proiettile è
nulla
c. prima e dopo lo sparo la quantità di moto totale del fucile e del proiettile è nulla
3. Due carri di ugual massa sono diretti l’uno contro l’altro con uguale velocità. Dopo l’urto
restano agganciati. La velocità dei due carri dopo l’urto vale:
a. il doppio della velocità che avevano prima dell’urto
b. la metà della velocità che avevano prima dell’urto
c. zero
d. la stessa velocità che avevano prima dell’urto, ma diretta verso l’alto
4. Un carro, avente velocità v, urta un’altro carro di uguale massa e fermo. Dopo l’urto i due carri
restano agganciati e la loro velocità vale:
a. v
v
d.
b. 0
2
c. 2 v
5. Un carro con velocità v si muove verso un altro carro di massa doppia con velocità − v. Dopo
l’urto i due carri restano agganciati. Quanto vale la loro velocità?
a. 0
v
c.
v
3
b. −
d. 2 v
3
6. Un carro con velocità v si muove verso un altro carro di metà massa con velocità − v. Dopo
l’urto i due carri restano agganciati. Quanto vale la loro velocità?
a. 0
v
c.
v
3
b. −
d. 2 v
3
7. Due masse sono collegate tra di loro per mezzo di una molla compressa. La prima massa vale m,
mentre la seconda 3m. A un certo istante la molla viene liberata e allontana le due masse. Il
rapporto tra le loro velocità vale:
v1
=3
v2
v
b. 1 = − 3
v2
a.
v1
=1
v2
v
d. 1 = − 1
v2
c.
Problemi
1. Due motociclisti di massa 400 kg ciascuno, compresa la motocicletta, si muovono affiancati alla
km
velocità di 72
. Calcola quantità di moto del sistema formato dai due motociclisti.
h
2. Due masse di argilla rispettivamente di 20,0 kg e di 5,0 kg, si muovono l’una contro l’altra con
m
m
e 1,0
. Nel momento dell’urto restano unite. Calcola la velocità delle masse
velocità 0,6
s
s
unite dopo l’urto.
m
3. Una slitta su cui è seduto un ragazzo ha massa totale di 60 kg e velocità orizzontale di 5,0
.A
s
un certo istante un amico di 45 kg salta sulla slitta senza imprimere alcuna spinta. Calcola la
velocità del sistema formato dalla slitta e dai due ragazzi.
m
4. Un cannone di 500 kg spara un proiettile di 7,0 kg con una velocità di uscita di 400
. Calcola
s
la velocità di rinculo del cannone.
5. Un proiettile di 8,0 g viene sparato da un fucile di massa 7,0 kg. Il proiettile esce dalla canna del
m
; calcola la velocità di rinculo del fucile.
fucile con una velocità di 400
s
m
6. Un pattinatore di massa 70 Kg si muove alla velocità di 5,0
quando si unisce a un altro
s
pattinatore di massa 45 kg che si muove nella stessa direzione e nello stesso verso con la
m
velocità di 3,0
. Calcola la velocità dei due pattinatori uniti.
s
7. Una bomba ferma esplode in due frammenti, uno di massa
doppia dell’altro. La massa minore si muove verso est con una
certa velocità v; determina in quale direzione si muove l’altra
massa e con quale velocità.
8. In figura sono rappresentate due automobili delle quali una si
muove verso nord e l’altra verso est. La quantità di moto della
m
prima vale 2,80 · 104 kg ⋅ , quella della seconda 3,60 · 104
s
m
kg ⋅ . Calcola la quantità di moto totale del sistema costituito
s
dalle due automobili. (Suggerimento: la quantità di moto è una grandezza vettoriale).
m
9. Un corpo di massa 10,0 kg si muove su una traiettoria rettilinea alla velocità di 8,0
; un altro
s
m
corpo di massa 4,0 kg si muove verso il primo alla velocità di 5,0
. I due corpi si scontrano e
s
restano agganciati. Calcola la velocità dei due corpi uniti dopo l’urto. (Suggerimento: la velocità
del 2° corpo è negativa, quindi anche la sua quantità di moto…)
