Esercizi svolti - Corsi di Laurea a Distanza

Politecnico di Torino
Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine
ESERCIZI SVOLTI
Sono di seguito svolti gli Esercizi 4, 6 e 7 proposti al termine del Cap. 4 (Moto
di un fluido aeriforme in un condotto).
Tali esercizi non sono stati svolti, per motivi di tempo, in aula durante il
tutorato: sono qui riportati come materiale integrativo per la preparazione
dell’esonero.
4) Ad un ugello adiabatico, ma con resistenze passive non nulle, perviene
azoto (k = 1.4, M = 28 kg / kmol) a 7 ata e 500 °C (c1 = 100 m / s). Sapendo
che l’area della sezione di sbocco è pari a 2 cm2 e che le condizioni di
adattamento si verificano per pressione di sbocco di 2 ata e 300 °C di
temperatura, trovare la portata, la velocità di sbocco e il valore di LW.
Soluzione
Si può pensare di schematizzare l’ugello come segue:
Q=0
p1 = 7 ata
T1 = 773 K
c1 = 100 m/s
LW≠0
p2 = 2 ata
T2 = 573 K
A2 = 2 cm3
L’ugello si trova in condizioni adattate, ed è attraversato da azoto:
k = 1.4

J



k
J
8314 
.
R = 1040
ℜ
J ⇒ cP =
kmol * K 


297
=
=
=
R
−
1
k
kg
*
K

M
kg * K
 kg 

28 


 kmol 
L’evoluzione del gas all’interno dell’ugello può essere descritta da un’equazione
politropica di esponente m:
pVm = costante.
Conoscendo le condizioni di pressione e temperatura all’ingresso ed all’uscita del
condotto, è possibile determinare l’esponente della politropica:
m − 1 ln(T2 / T1 )
=
⇒ m = 1.314 .
m
ln( p2 / p1 )
4. MOTO DI UN FLUIDO AERIFORME IN UN CONDOTTO – Esercizi svolti. Pagina 1
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Applicando il primo principio della termodinamica tra la sezione di ingresso e quella di
uscita del condotto (lavoro interno e scambi termici nulli), si ottiene:
(
∆i = c p T − T
0
0
2
⇒ c2 =
0
1
)
c 22 − c12
= c p (T2 − T1 ) +
=0 ⇒
2
2c p (T1 − T2 ) + c12 = 652.7m / s .
La portata in massa che fluisce attraverso l’ugello può essere calcolata facendo
riferimento alla sezione di sbocco:
& = ρ 2 A2 c 2 = p2 A2 c 2 = 0.15kg / s .
m
RT2
Il lavoro dissipato per attrito fluidodinamico può essere determinato applicando il primo
principio della termodinamica in forma mista tra l’ingresso e l’uscita del condotto:
Lw = Li − ∫
2
1
m −1


m


p
c 2 − c12
m

2
vdp − ∆E c = −
RT1  
= 40.6kJ / kg .
− 1 − 2
 p1 

m −1
2


Il lavoro dissipato si sarebbe potuto calcolare anche considerando il secondo principio
della termodinamica:
Q + Lw = c (T2 − T1 ) ,
dove c è il calore specifico (costante) caratteristico della trasformazione. Poiché
c = cv
m − k cP m − k
J
=
= −203
,
m −1 k m −1
kg * K
essendo nulli gli scambi termici, si ottiene nuovamente Lw = 40.6 kJ/kg.
Si noti come, considerando un’evoluzione di espansione, il calore specifico c sia
risultato negativo.
6) Un diffusore adiabatico riceve aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) a pressione
1.4 ata e temperatura 320 K, con velocità 250 m/s. Volendo ridurre la
velocità a soli 50 m/s, calcolare la pressione raggiunta dall’aria in uscita al
diffusore, sia nell’ipotesi di compressione isentropica sia nell’ipotesi di
compressione reale con rendimento del diffusore pari a 0.9.
Soluzione
L’evoluzione nel diffusore può essere schematizzata come segue:
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Q=0
k =1.4
R = 287 J/(kg*K)
p1 = 1.4 ata
T1 = 320K
c1 = 250 m/s
p2 = ?
T2 = ?
c2 = 50 m/s
a) Compressione isentropica
Per ricavare la temperatura del gas all’uscita del diffusore, si può applicare il primo
principio della termodinamica in forma locale tra la sezione 1 e la sezione 2:
Q/ + L/ i = c p (T2,is
c 22 − c12
c12 − c 22
− T1 ) +
⇒ T2,is = T1 +
= 349.9K ,
2
2c p
con cp = k/(k-1)*R=1004.5 J/(kg*K). La pressione di uscita, pertanto, assumendo
politropica l’evoluzione, vale:
k
p2,is
 T  k −1
= p1  2 ,is  = 1.914ata .
 T1 
b) Compressione reale
L’evoluzione reale (1→2), nel piano T-s, appare come in figura:
La compressione è adesso caratterizzata da un rendimento di diffusione pari a 0.9. La
temperatura di uscita del gas è uguale a quella che si avrebbe nel caso di evoluzione
isentropica a parità di velocità di sbocco (1→2is, punto precedente). Infatti, applicando
il primo principio della termodinamica in forma locale tra la sezione 1 e la sezione 2, si
ottiene:
Q/ + L/ i = c p (T2 − T1 ) +
c 22 − c12
c 2 − c 22
⇒ T2 = T1 + 1
= T2,is = 349.9K .
2
2c p
La pressione del gas all’uscita dal diffusore è pertanto inferiore a quella calcolata nel
punto precedente (p2<p2,is), dovendo essere T2=T2,is e s2>s2,is.
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L’evoluzione all’interno del diffusore può, al solito, essere assimilata ad una politropica.
Se si conoscesse il valore del generico esponente m di tale politropica, sarebbe
possibile calcolare immediatamente la p2:
m
 T  m−1
p2 = p1  2  .
 T1 
L’esponente m, però, non è noto. Si può risalire al valore della p2, allora, sfruttando la
definizione di rendimento di diffusione. Poiché l’effetto utile di un diffusore vuole essere
l’aumento della pressione del fluido, si definisce rendimento del diffusore – fissate p1 e
p2 – il rapporto tra l’incremento di entalpia ideale (isentropico) e quello effettivo. Con
riferimento alla figura precedente:
ηdiff =
Si ricava pertanto
i 2* is − i1 ( gas perfetto) T2* is − T1
=
.
i 2 − i1
T2 − T1
T2* is = T1 + ηdiff (T2 − T1 ) = 346.9K .
Si osservi (e si provi a verificarlo) come, se l’evoluzione fosse isentropica (1→2*is), lo
stesso incremento di pressione (p1→p2=p2*is) sarebbe ottenuto a spese di un aumento
inferiore di temperatura e, dunque, di una minore diminuzione dell’energia cinetica.
A questo punto, nota la T2*is, è possibile calcolare la p2:
k
p2 = p2* is
 T  k −1
= p1  2* is  = 1.857ata .
 T1 
7) Un diffusore reale riceve nella sezione d’ingresso (area trasversale A = 100
cm2) aria (k = 1.4, cp = 1004 J / (kg*K)) alla velocità c1 = 300 m/s con p1 =
100 kPa e t1 = 30 °C. Nella sezione d’uscita la velocità dell’aria è pari a c2 =
30 m/s. L’evoluzione nel diffusore può essere considerata una politropica di
esponente m = 1.5. Le resistenze passive nel diffusore dissipano un lavoro
Lwd equivalente al 20% della variazione di energia cinetica nel diffusore
stesso.
Determinare la pressione in uscita al diffusore, l’area A2 trasversale della
sezione di uscita, la quantità di calore Qe eventualmente scambiata nel
diffusore con l’esterno (specificando se il diffusore è refrigerato o
riscaldato).
Soluzione
L’evoluzione può essere schematizzata come segue:
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c1 = 300 m/s
p1 = 1 bar
T1 = 303K
A1 = 100 cm2
Q=?
k =1.4
cp = 1004 J/(kg*K)
m = 1.5
p2 = ?
A2 = ?
c2 = 30 m/s
Un’ulteriore informazione è fornita dal testo riguardo le perdite per attrito
fluidodinamico:
Lw = 20% ∆E c = −0.2 ⋅ ∆E c .
Osservando i dati a disposizione, si nota come siano sufficienti all’applicazione (tra le
sezioni 1 e 2) del primo principio della termodinamica ni forma mista:
m −1


m


 c 2 − c12 
p
c 2 − c12
m

2
=
− 1 + 2
− 0.2 2
Li = 0 =
RT1  
 p1 

2
2 
m −1



( Lw = −0.2 ∆Ec )
m −1


m


 c 2 − c12 
p
m

2
⇒
=
− 1 + 0.8 2
RT1  
 p1 

2 
m −1



m

 c 22 − c12   m −1


0
.
8

2  
p2 

= 1.468 ⇒
⇒
= 1−

m
p1 
RT1 

1
m
−


⇒ p2 = 1.468bar .
Si può quindi calcolare la T2:
p 
T2 = T1  2 
 p1 
m −1
m
= 344.4K .
L’area della sezione di uscita si può a questo punto determinare dall’equazione della
portata in massa:
& = A2 ρ 2 c 2 = A1 ρ1c1 ⇒ A2 =
m
A1 ρ1c1 A1p1c1R/ T2
=
= 774cm 2 .
ρ 2c 2
R/ T1p2 c 2
Il calore scambiato dal fluido con l’esterno si calcola infine applicando il primo principio
in forma euleriana tra ingresso ed uscita del condotto:
c 22 − c12
⇒ Q = −2984J / kg .
Q + L/ i = c p (T2 − T1 ) +
2
Poiché il segno del calore scambiato è negativo, il diffusore è refrigerato .
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