Calcolo delle probabilità - Dipartimento di Matematica e Informatica

E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Vlacci Fabio
Dipartimento di Matematica “U. Dini”, Università di Firenze
Viale Morgagni 67/A, 50134 - Firenze, Italy, [email protected]
April 20, 2016
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Terminologia
I
In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche
osservabili dell’esperimento si dice esito.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Terminologia
I
I
In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche
osservabili dell’esperimento si dice esito.
Se un esperimento può essere ripetuto si dice prova ogni
singola esecuzione dell’esperimento.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Terminologia
I
I
I
In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche
osservabili dell’esperimento si dice esito.
Se un esperimento può essere ripetuto si dice prova ogni
singola esecuzione dell’esperimento.
Un evento è un insieme di esiti.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Terminologia
I
I
I
In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche
osservabili dell’esperimento si dice esito.
Se un esperimento può essere ripetuto si dice prova ogni
singola esecuzione dell’esperimento.
Un evento è un insieme di esiti. I singoli esiti sono anche
detti eventi elementari e, in questo senso, un evento è
anche detto evento composto (da eventi elementari)).
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Terminologia
I
I
I
I
I
In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche
osservabili dell’esperimento si dice esito.
Se un esperimento può essere ripetuto si dice prova ogni
singola esecuzione dell’esperimento.
Un evento è un insieme di esiti. I singoli esiti sono anche
detti eventi elementari e, in questo senso, un evento è
anche detto evento composto (da eventi elementari)).
Un esito o un evento di un esperimento si dicono casuali o
aleatori se non è possibile prevederne il verificarsi a priori
in modo certo.
La totalità degli eventi elementari associati ad un
esperimento è lo spazio campionario dell’esperimento.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Terminologia
I
I
I
I
I
In un esperimento ogni risultato delle caratteristiche
osservabili dell’esperimento si dice esito.
Se un esperimento può essere ripetuto si dice prova ogni
singola esecuzione dell’esperimento.
Un evento è un insieme di esiti. I singoli esiti sono anche
detti eventi elementari e, in questo senso, un evento è
anche detto evento composto (da eventi elementari)).
Un esito o un evento di un esperimento si dicono casuali o
aleatori se non è possibile prevederne il verificarsi a priori
in modo certo.
La totalità degli eventi elementari associati ad un
esperimento è lo spazio campionario dell’esperimento.
evento A → A ⊂ S spazio campionario
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Eventi compatibili o incompatibili
I
Due eventi di un fenomeno aleatorio si dicono mutuamente
esclusivi o incompatibili se il verificarsi di uno dei due
eventi esclude il verificarsi dell’altro; altrimenti gli eventi si
dicono compatibili.
evento A → A ⊂ S spazio campionario
evento B → B ⊂ S spazio campionario
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Eventi compatibili o incompatibili
I
Due eventi di un fenomeno aleatorio si dicono mutuamente
esclusivi o incompatibili se il verificarsi di uno dei due
eventi esclude il verificarsi dell’altro; altrimenti gli eventi si
dicono compatibili.
evento A → A ⊂ S spazio campionario
evento B → B ⊂ S spazio campionario
A è incompatibile con B se e solo se A ∩ B = ∅
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità
Secondo Jacob Bernoulli (uno dei pionieri dello studio del
calcolo delle probabilità assieme ai (quasi) contemporanei
Blaise Pascal, Pierre Fermat e Christian Huygens) la
probabilità di un evento è il grado di fiducia che lo
sperimentatore ripone nel verificarsi di quell’evento nel corso di
una prova dell’esperimento.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità
Secondo Jacob Bernoulli (uno dei pionieri dello studio del
calcolo delle probabilità assieme ai (quasi) contemporanei
Blaise Pascal, Pierre Fermat e Christian Huygens) la
probabilità di un evento è il grado di fiducia che lo
sperimentatore ripone nel verificarsi di quell’evento nel corso di
una prova dell’esperimento.
Generalmente questo grado di fiducia lo si esprime in una scala
normalizzata tra 0 e 1 (compresi)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità: possibili accezioni
(PASCAL ) In un esperimento
consistente di N esiti di cui NA favorevoli all’evento A, la
probabilità del verificarsi di A è il rapporto NA /N, purché
tutti gli N esiti abbiano la stessa probabilità (ovvero siano
equiprobabili).
I ACCEZIONE CLASSICA
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità: possibili accezioni
(PASCAL ) In un esperimento
consistente di N esiti di cui NA favorevoli all’evento A, la
probabilità del verificarsi di A è il rapporto NA /N, purché
tutti gli N esiti abbiano la stessa probabilità (ovvero siano
equiprobabili).
I ACCEZIONE CLASSICA
I ACCEZIONE FREQUENTISTA ( VON
M ISES ) La probabilità del
verificarsi di un evento A in un esperimento ripetibile è il
rapporto nA /n, dove nA rappresenta il numero di volte in
cui l’evento A si verifica in n prove ripetute dello stesso
esperimento, purché n sia sufficientemente grande da
rendere approssimativamente costante il rapporto nA /n.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità: possibili accezioni
(PASCAL ) In un esperimento
consistente di N esiti di cui NA favorevoli all’evento A, la
probabilità del verificarsi di A è il rapporto NA /N, purché
tutti gli N esiti abbiano la stessa probabilità (ovvero siano
equiprobabili).
I ACCEZIONE CLASSICA
I ACCEZIONE FREQUENTISTA ( VON
M ISES ) La probabilità del
verificarsi di un evento A in un esperimento ripetibile è il
rapporto nA /n, dove nA rappresenta il numero di volte in
cui l’evento A si verifica in n prove ripetute dello stesso
esperimento, purché n sia sufficientemente grande da
rendere approssimativamente costante il rapporto nA /n.
I ACCEZIONE SOGGETIVISTA ( DE
F INETTI ) La probabilità del
verificarsi di un evento A è una misura del livello di
convinzione o conoscenza dell’osservatore circa la verità
del verificarsi di A.
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un esempio “storico”
Nel lancio di tre dadi a sei facce (o gioco della zara) è più
probabile l’uscita del 9 o del 10?
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un esempio “storico”
Nel lancio di tre dadi a sei facce (o gioco della zara) è più
probabile l’uscita del 9 o del 10?
I
Terne totali: 63 = 216
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un esempio “storico”
Nel lancio di tre dadi a sei facce (o gioco della zara) è più
probabile l’uscita del 9 o del 10?
I
Terne totali: 63 = 216
I
Terne favorevoli al 9
{6, 2, 1}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {3, 3, 3}
I
Terne favorevoli al 10
{6, 3, 1}, {5, 3, 2}, {6, 2, 2}, {5, 4, 1}, {4, 4, 2}, {4, 3, 3}
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
9 = 5+3+1=5+1+3=3+5+1=
= 1+5+3=1+3+5=3+1+5
9 = 5+2+2=2+5+2=2+2+5
9 = 3+3+3
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Ogni terna con numeri diversi va computata 6 = 3! volte (tante
quante sono le permutazioni di 3 oggetti distinti). Ogni terna di
numeri con due cifre uguali va computata 3 = 3!/2! volte (tante
quante sono le permutazioni di 3 oggetti di cui due uguali). La
terna {3, 3, 3} e‘ unica (ci sono 3!/3!=1 permutazione). Ne
segue che le terne favorevoli al 10 sono 27, quelle favorevoli al
9 sono 25, per cui la probabilità (nell’accezione classica) di
uscita del 10 è 27/216, mentre la probabilità (nell’accezione
classica) di uscita del 9 è 25/216<27/216.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità: teoria assiomatica
Seguendo l’approccio di Kolmogorov, ad ogni evento A di un
esperimento associamo un sottoinsieme A dello spazio
campionario S.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità: teoria assiomatica
Seguendo l’approccio di Kolmogorov, ad ogni evento A di un
esperimento associamo un sottoinsieme A dello spazio
campionario S.
Si dice che l’evento A in una prova dell’esperimento si verifica
se si ottiene un esito o risultato dell’esperimento che
appartiene a A.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità: teoria assiomatica
Seguendo l’approccio di Kolmogorov, ad ogni evento A di un
esperimento associamo un sottoinsieme A dello spazio
campionario S.
Si dice che l’evento A in una prova dell’esperimento si verifica
se si ottiene un esito o risultato dell’esperimento che
appartiene a A.
Tuttavia per definire la probabilità del verificarsi di A una volta
identificato con A, è necessario supporre che la famiglia F di
insiemi associati agli eventi sia sufficientemente ampia per
effettuare delle elementari operazioni insiemistiche.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Algebra d’insiemi
Le richieste per F sono le seguenti
1. S ∈ F
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Algebra d’insiemi
Le richieste per F sono le seguenti
1. S ∈ F
2. se A ∈ F allora S \ A := Ac ∈ F
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Algebra d’insiemi
Le richieste per F sono le seguenti
1. S ∈ F
2. se A ∈ F allora S \ A := Ac ∈ F
3. se A, B ∈ F allora A ∪ B ∈ F
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Algebra d’insiemi
Le richieste per F sono le seguenti
1. S ∈ F
2. se A ∈ F allora S \ A := Ac ∈ F
3. se A, B ∈ F allora A ∪ B ∈ F
Se si assume che la 3) valga per una unione numerabile
d’insiemi allora F si dice una σ-algebra d’insiemi.
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità come funzione d’insieme
Presa una famiglia d’insiemi F con le proprietà appena
descritte, si definisce probabilità ogni funzione
P:F →R
che soddisfa le seguenti proprietà
1. P(A) ≥ 0 ∀A ∈ F
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità come funzione d’insieme
Presa una famiglia d’insiemi F con le proprietà appena
descritte, si definisce probabilità ogni funzione
P:F →R
che soddisfa le seguenti proprietà
1. P(A) ≥ 0 ∀A ∈ F
2. P(S) = 1
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità come funzione d’insieme
Presa una famiglia d’insiemi F con le proprietà appena
descritte, si definisce probabilità ogni funzione
P:F →R
che soddisfa le seguenti proprietà
1. P(A) ≥ 0 ∀A ∈ F
2. P(S) = 1
3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ∀A, B ∈ F tali che A ∩ B = ∅.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune osservazioni
Se F è una σ-algebra, allora la 3) può essere generalizzata in
questo modo

P

[
j∈N
Aj  =
X
P(Aj ) ∀Aj ∈ F tali che Aj ∩ Ak = ∅ se j 6= k .
j∈N
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune conseguenze
Dato che S ∈ F e P(S) = 1 dalla 3) segue che
∅ ∈ F e P(∅) = 0
in quanto S = S ∪ ∅ e S ∩ ∅ = ∅.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune conseguenze
Dato che S ∈ F e P(S) = 1 dalla 3) segue che
∅ ∈ F e P(∅) = 0
in quanto S = S ∪ ∅ e S ∩ ∅ = ∅.
A S è associato l’evento certo, mentre ∅ è associato all’evento
impossibile.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune conseguenze
Dato che S ∈ F e P(S) = 1 dalla 3) segue che
∅ ∈ F e P(∅) = 0
in quanto S = S ∪ ∅ e S ∩ ∅ = ∅.
A S è associato l’evento certo, mentre ∅ è associato all’evento
impossibile. Inoltre
P(A) ≤ 1
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune conseguenze
Dato che S ∈ F e P(S) = 1 dalla 3) segue che
∅ ∈ F e P(∅) = 0
in quanto S = S ∪ ∅ e S ∩ ∅ = ∅.
A S è associato l’evento certo, mentre ∅ è associato all’evento
impossibile. Inoltre
P(A) ≤ 1
in quanto 1 = P(S) = P(A ∪ Ac ) = P(A) + P(Ac ) essendo
A ∩ Ac = ∅ e risulta P(Ac ) ≥ 0.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune conseguenze
In generale dati A, B ∈ F (non necessariamente disgiunti e
quindi associati ad eventi mutuamente esclusivi) risulta
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Alcune conseguenze
In generale dati A, B ∈ F (non necessariamente disgiunti e
quindi associati ad eventi mutuamente esclusivi) risulta
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Infatti
A ∪ B = A ∪ (B \ A) con
Vlacci Fabio
A ∩ (B \ A) = ∅
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Alcune conseguenze
In generale dati A, B ∈ F (non necessariamente disgiunti e
quindi associati ad eventi mutuamente esclusivi) risulta
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Infatti
A ∪ B = A ∪ (B \ A) con
A ∩ (B \ A) = ∅
ed inoltre
(B \ A) ∪ (A ∩ B) = B
con (B \ A) ∩ (A ∩ B) = ∅.
Vlacci Fabio
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Alcune conseguenze
Pertanto
P(A ∪ B) = P(A ∪ (B \ A)) = P(A) + P(B \ A) =
= P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Eventi indipendenti
Si dice che l’evento A è indipendente dall’evento B se la
probabilità del verificarsi di A non dipende dal fatto che B si sia
verificato o meno. Due eventi che non sono indipendenti si
dicono dipendenti.
Vlacci Fabio
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Eventi indipendenti
Si dice che l’evento A è indipendente dall’evento B se la
probabilità del verificarsi di A non dipende dal fatto che B si sia
verificato o meno. Due eventi che non sono indipendenti si
dicono dipendenti.
Se A e B sono eventi indipendenti la probabilità che si
verifichino entrambi ovvero che si verifichi l’evento A ∧ B (cui è
associato l’insieme A ∩ B ⊆ S) è data da
P(A) · P(B) = P(A ∩ B)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Eventi indipendenti
Siano A e B due eventi indipendenti cui associamo
rispettivamente i sottoinsiemi A ⊆ S e B ⊆ S dello spazio
campionario S.
Vlacci Fabio
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Eventi indipendenti
Siano A e B due eventi indipendenti cui associamo
rispettivamente i sottoinsiemi A ⊆ S e B ⊆ S dello spazio
campionario S. Allora
P(Ac ∩ B) = P(Ac )P(B)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Eventi indipendenti
Siano A e B due eventi indipendenti cui associamo
rispettivamente i sottoinsiemi A ⊆ S e B ⊆ S dello spazio
campionario S. Allora
P(Ac ∩ B) = P(Ac )P(B)
Infatti da
B =S∩B
Vlacci Fabio
e S = A ∪ Ac
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Eventi indipendenti
Siano A e B due eventi indipendenti cui associamo
rispettivamente i sottoinsiemi A ⊆ S e B ⊆ S dello spazio
campionario S. Allora
P(Ac ∩ B) = P(Ac )P(B)
Infatti da
B =S∩B
e S = A ∪ Ac
si ricava (usando le formule di de Morgan per gli insiemi)
B = (A ∪ Ac ) ∩ B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B).
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Essendo
(A ∩ B) ∩ (Ac ∩ B) = ∅
si ricava (sfruttando la supposta indipendenza degli eventi A, B
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) = P(A)P(B) + P(Ac ∩ B)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Essendo
(A ∩ B) ∩ (Ac ∩ B) = ∅
si ricava (sfruttando la supposta indipendenza degli eventi A, B
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) = P(A)P(B) + P(Ac ∩ B)
da cui
P(Ac ∩ B) = P(B) − P(A)P(B) = (1 − P(A))P(B) = P(Ac )P(B).
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità condizionata
Sia dato uno spazio campionario S e una funzione P di
probabilità (quindi una funzione d’insieme sulla famiglia F di
opportuni sottoinsiemi di S soddidfacente gli assiomi di
Kolmogorov).
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità condizionata
Sia dato uno spazio campionario S e una funzione P di
probabilità (quindi una funzione d’insieme sulla famiglia F di
opportuni sottoinsiemi di S soddidfacente gli assiomi di
Kolmogorov).
Fissato M ⊆ S con la condizione che M ∈ F e P(M) > 0
(ovvero che P(M) 6= 0), poniamo PM la funzione così definita
PM (A) :=
Vlacci Fabio
P(A ∩ M)
P(M)
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Probabilità condizionata
Sia dato uno spazio campionario S e una funzione P di
probabilità (quindi una funzione d’insieme sulla famiglia F di
opportuni sottoinsiemi di S soddidfacente gli assiomi di
Kolmogorov).
Fissato M ⊆ S con la condizione che M ∈ F e P(M) > 0
(ovvero che P(M) 6= 0), poniamo PM la funzione così definita
PM (A) :=
P(A ∩ M)
P(M)
(che si dice, in breve, “probabilità di A dato M” e si indica anche
con P(A|M)).
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Proposizione
La funzione PM definita sulla famiglia F di sottoinsiemi di S
verifica i tre assiomi di Kolmogorov
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Proposizione
La funzione PM definita sulla famiglia F di sottoinsiemi di S
verifica i tre assiomi di Kolmogorov
Infatti essendo P una probabilità (e P(M) > 0)
1. PM (A) =
Vlacci Fabio
P(A ∩ M)
≥0
P(M)
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Proposizione
La funzione PM definita sulla famiglia F di sottoinsiemi di S
verifica i tre assiomi di Kolmogorov
Infatti essendo P una probabilità (e P(M) > 0)
1. PM (A) =
P(A ∩ M)
≥0
P(M)
Da S ∩ M = M si ricava
2. PM (S) =
P(S ∩ M)
P(M)
=
=1
P(M)
P(M)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Infine, se A ∩ B = ∅,
3.
PM (A ∪ B) =
=
P((A ∪ B) ∩ M)
P[(A ∩ M) ∪ (B ∩ M)]
=
=
P(M)
P(M)
P[(A ∩ M) PB ∩ M)]
+
= PM (A) + PM (B).
P(M)
P(M)
Vlacci Fabio
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Teorema Probabilità Totale
Proposizione
Si consideri una partizione finita dello spazio campionario S,
ossia sia dato un numero finito di sottoinsiemi di S, siano essi
B1 , B2 , . . . , Bm , tali che
Bi ∩ Bj = ∅ i 6= j
B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bm = S.
Allora se A ⊆ S risulta
P(A) = P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + . . . + P(A|Bm )P(Bm )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Infatti da

A=A∩S =A∩
m
[
j=0
Vlacci Fabio

Bj  =
m
[
A ∩ Bj
j=0
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Infatti da

A=A∩S =A∩
m
[
j=0

Bj  =
m
[
A ∩ Bj
j=0
essendo
(A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) = ∅ i 6= j
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Infatti da

A=A∩S =A∩
m
[
j=0

Bj  =
m
[
A ∩ Bj
j=0
essendo
(A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) = ∅ i 6= j
si conclude che
P(A) = P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) + . . . + P(A ∩ Bm )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Infatti da

A=A∩S =A∩
m
[
j=0

Bj  =
m
[
A ∩ Bj
j=0
essendo
(A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) = ∅ i 6= j
si conclude che
P(A) = P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) + . . . + P(A ∩ Bm )
ossia, per il fatto che P(A ∩ BJ ) = P(A|Bj )P(Bj ),
P(A) = P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + . . . + P(A|Bm )P(Bm ).
Vlacci Fabio
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Formula di Bayes
Se P(B) 6= 0 da
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
e dal fatto che A ∩ B = B ∩ A si conclude che
P(A|B)P(B) = P(B ∩ A) = P(B|A)P(A)
Vlacci Fabio
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Formula di Bayes
Se P(B) 6= 0 da
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
e dal fatto che A ∩ B = B ∩ A si conclude che
P(A|B)P(B) = P(B ∩ A) = P(B|A)P(A)
ossia, se P(A) 6= 0,
P(B|A) =
Vlacci Fabio
P(A|B)P(B)
P(A)
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Teorema di Bayes
Mettendo assieme la Formula di Bayes con il Teorema della
Probabilità Totale si ricava
Proposizione
Sia A ⊆ S tale che P(A) > 0 e si consideri una partizione finita
{B1 , B2 , . . . , Bm } dello spazio campionario S. Allora per ogni
j = 1, . . . , m si ha
P(Bj |A) =
P(A|Bj )P(Bj )
m
P
.
P(A|Bk )P(Bk )
k =1
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione: Test Diagnostici
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione: Test Diagnostici
M − soggetti sani M + soggetti malati
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Un’applicazione: Test Diagnostici
M − soggetti sani M + soggetti malati
T − test negativo T + test positivo
Vlacci Fabio
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Un’applicazione: Test Diagnostici
M − soggetti sani M + soggetti malati
T − test negativo T + test positivo
Si dice specificità del test la probabilità di T − dato M − ossia
P(T − |M − ).
Vlacci Fabio
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Un’applicazione: Test Diagnostici
M − soggetti sani M + soggetti malati
T − test negativo T + test positivo
Si dice specificità del test la probabilità di T − dato M − ossia
P(T − |M − ).
Si dice sensibilità del test la probabilità di T + dato M + ossia
P(T + |M + ).
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Un’applicazione: Test Diagnostici
M − soggetti sani M + soggetti malati
T − test negativo T + test positivo
Si dice specificità del test la probabilità di T − dato M − ossia
P(T − |M − ).
Si dice sensibilità del test la probabilità di T + dato M + ossia
P(T + |M + ).
P(T − ∩ M − )
Specificità= P(T − |M − ) =
P(M − )
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Un’applicazione: Test Diagnostici
M − soggetti sani M + soggetti malati
T − test negativo T + test positivo
Si dice specificità del test la probabilità di T − dato M − ossia
P(T − |M − ).
Si dice sensibilità del test la probabilità di T + dato M + ossia
P(T + |M + ).
P(T − ∩ M − )
Specificità= P(T − |M − ) =
P(M − )
Sensibilità= P(T + |M + ) =
P(T + ∩ M +
P(M + )
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E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione: Test Diagnostici
Nella pratica, per una sufficiente numerosità del campione, si
accetta
frequenza(T − ∩ M − )
Specificità=
frequenza(M − )
Sensibilità=
frequenza(T + ∩ M + )
frequenza(M + )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un esempio numerico
M − = 960 M + = 240
T − = 984 T + = 216
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un esempio numerico
M − = 960 M + = 240
T − = 984 T + = 216
M−
M+
T− T+
912 48 960
72 168 240
984 216 1200
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un esempio numerico
M − = 960 M + = 240
T − = 984 T + = 216
M−
M+
Specificità=
912
' 95%
960
T− T+
912 48 960
72 168 240
984 216 1200
Sensibilità=
Vlacci Fabio
168
' 70%
240
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Valore Predittivo di Test Diagnostici
Valore predittivo di un
esito negativo=P(M − |T − ) =
P(M − ∩ T − )
P(T − )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Valore Predittivo di Test Diagnostici
Valore predittivo di un
esito negativo=P(M − |T − ) =
P(M − ∩ T − )
P(T − )
Valore predittivo di un
esito positivo=P(M + |T + ) =
P(M + ∩ T + )
P(T + )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Valore Predittivo di Test Diagnostici
Valore predittivo di un
esito negativo=P(M − |T − ) =
P(M − ∩ T − )
P(T − )
Valore predittivo di un
esito positivo=P(M + |T + ) =
P(M + ∩ T + )
P(T + )
Valore (empirico) predittivo di un esito
frequenza(M − ∩ T − )
negativo:=Vp− =
frequenza(T − )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Valore Predittivo di Test Diagnostici
Valore predittivo di un
esito negativo=P(M − |T − ) =
P(M − ∩ T − )
P(T − )
Valore predittivo di un
esito positivo=P(M + |T + ) =
P(M + ∩ T + )
P(T + )
Valore (empirico) predittivo di un esito
frequenza(M − ∩ T − )
negativo:=Vp− =
frequenza(T − )
Valore (empirico) predittivo di un esito
frequenza(M + ∩ T + )
positivo:=Vp+ =
frequenza(T + )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Valore Predittivo di Test Diagnostici
Valore predittivo di un
esito negativo=P(M − |T − ) =
P(M − ∩ T − )
P(T − )
Valore predittivo di un
esito positivo=P(M + |T + ) =
P(M + ∩ T + )
P(T + )
Valore (empirico) predittivo di un esito
frequenza(M − ∩ T − )
negativo:=Vp− =
frequenza(T − )
Valore (empirico) predittivo di un esito
frequenza(M + ∩ T + )
positivo:=Vp+ =
frequenza(T + )
Nel nostro esempio Vp− ' 93% e Vp+ ' 78%
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Caso semplificato: si presentano solo due alleli di un carattere
della popolazione (ad esempio il fatttore Rh del sangue).
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Caso semplificato: si presentano solo due alleli di un carattere
della popolazione (ad esempio il fatttore Rh del sangue).
Per convenzione si pone A il gene dominante su a di questo
carattere;
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Caso semplificato: si presentano solo due alleli di un carattere
della popolazione (ad esempio il fatttore Rh del sangue).
Per convenzione si pone A il gene dominante su a di questo
carattere; quindi il genotipo di un individuo è una delle seguenti
coppie
AA,
Aa,
Vlacci Fabio
aA,
aa
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Caso semplificato: si presentano solo due alleli di un carattere
della popolazione (ad esempio il fatttore Rh del sangue).
Per convenzione si pone A il gene dominante su a di questo
carattere; quindi il genotipo di un individuo è una delle seguenti
coppie
AA,
Aa,
aA,
aa
Un individuo si dice omozigote se possiede una coppia di geni
uguali (AA o aa), eterozigote altrimenti (quindi se possiede una
coppia mista Aa o aA di geni).
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Caso semplificato: si presentano solo due alleli di un carattere
della popolazione (ad esempio il fatttore Rh del sangue).
Per convenzione si pone A il gene dominante su a di questo
carattere; quindi il genotipo di un individuo è una delle seguenti
coppie
AA,
Aa,
aA,
aa
Un individuo si dice omozigote se possiede una coppia di geni
uguali (AA o aa), eterozigote altrimenti (quindi se possiede una
coppia mista Aa o aA di geni). Dal punto di vista del fenotipo, il
carattere in esame presenta solo due modalità che
indicheremo brevemente con A e a.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
genotipo individuo fenotipo
AA
omozigote
A
Aa
eterozigote
A
aA
eterozigote
A
aa
omozigote
a
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Legge di Disgiunzione di Mendel
Se, rispetto ad un carattere, uno dei due genitori è eterozigote
e l’altro omozigote, allora per i figli i due possibili genotipi sono
equiprobabili. Se entrambi i genitori sono eterozigoti, allora i
quattro possibili genotipi dei figli sono equiprobabili.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Un’applicazione alla genetica
Legge di Indipendenza di Mendel
Nella trasmissione di due diversi caratteri, le possibilità di
combinazioni relative al primo carattere sono indipendenti a
quelle relative al secondo carattere.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Popolazione di Hardy-Weinberg
I
Non avvengono mutazioni genetiche;
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Popolazione di Hardy-Weinberg
I
Non avvengono mutazioni genetiche;
I
non c’è selezione naturale della specie;
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Popolazione di Hardy-Weinberg
I
Non avvengono mutazioni genetiche;
I
non c’è selezione naturale della specie;
I
gli accoppiamenti sono casuali;
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Popolazione di Hardy-Weinberg
I
Non avvengono mutazioni genetiche;
I
non c’è selezione naturale della specie;
I
gli accoppiamenti sono casuali;
I
tutti gli individui sono fertili “allo stesso modo”;
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Popolazione di Hardy-Weinberg
I
Non avvengono mutazioni genetiche;
I
non c’è selezione naturale della specie;
I
gli accoppiamenti sono casuali;
I
tutti gli individui sono fertili “allo stesso modo”;
I
non ci sono immigrazioni o emigrazioni di individui;
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Popolazione di Hardy-Weinberg
I
Non avvengono mutazioni genetiche;
I
non c’è selezione naturale della specie;
I
gli accoppiamenti sono casuali;
I
tutti gli individui sono fertili “allo stesso modo”;
I
non ci sono immigrazioni o emigrazioni di individui;
I
la numerosità della popolazione è molto grande.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Stante la supposta grande numerosità della popolazione, si
confonderanno frequenza e probabilità.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Stante la supposta grande numerosità della popolazione, si
confonderanno frequenza e probabilità.
Inoltre P(AA) + P(Aa) + P(aa) = 1 ove con Aa abbiamo
indicato l’evento “individuo eterozigote”.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
genotipo
probabilita‘
genotipo
probabilita‘
genotipo
probabilita‘
genotipo
probabilita‘
.
.
.
padre
AA
P(AA)
AA
P(AA)
madre
AA
P(AA)
aa
P(aa)
AA
Aa
P(AA)
P(Aa)
Aa
Aa
P(Aa)
P(Aa)
.
.
.
.
.
.
Vlacci Fabio
figlio
AA
[P(AA)]2
Aa
P(AA)P(aa)
AA
Aa
1/2P(AA)P(Aa)
1/2P(AA)P(Aa)

AA



Aa
 aA


aa

 1/4[P(Aa)]2



1/4[P(Aa)]2
 1/4[P(Aa)]2 2



1/4[P(Aa)]2
.
.
.
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Quindi si calcolano le probabilità dei vari genotipi alla prima
generazione (che indicheremo con P1 )
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Quindi si calcolano le probabilità dei vari genotipi alla prima
generazione (che indicheremo con P1 ); pertanto
2
1
1
2
P1 (AA) = [P(AA)] +P(AA)P(Aa)+ [P(Aa)] = P(AA) + P(Aa)
4
2
2
2
1
1
P1 (aa) = [P(aa)]2 +P(Aa)P(Aa)+ [P(Aa)]2 = P(aa) + P(Aa)
4
2
1
P1 (Aa) = 2P(AA)P(aa)+P(AA)P(Aa)+P(Aa)P(aa)+ [P(Aa)]2 =
2
1
1
= 2 P(AA) + P(Aa) P(aa) + P(Aa)
2
2
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Dalla supposta indipendenza del carattere, si ha anche
P(AA) = P(A)2
P(aa) = P(a)2
P(Aa) = 2P(A)P(a)
ed inoltre
P(A) + P(a) = 1
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Dalla supposta indipendenza del carattere, si ha anche
P(AA) = P(A)2
P(aa) = P(a)2
P(Aa) = 2P(A)P(a)
ed inoltre
P(A) + P(a) = 1
pertanto
1
P1 (AA) = P(AA) + P(Aa)
2
2
=
= [P(A)P(A) + P(A)P(a)]2 = P(A)2 [P(A) + P(a)]2 = P(AA)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
Similmente
1
P1 (aa) = P(aa) + P(Aa)
2
2
=
= [P(a)P(a) + P(A)P(a)]2 = P(a)2 [P(a) + P(A)]2 = P(aa)
1
1
P1 (Aa) = 2 P(AA) + P(Aa) P(aa) + P(Aa)
2
2
= 2 [P(A)P(A) + P(A)P(a)] [P(a)P(a) + P(A)P(a)] =
= 2P(A)P(a) = P(Aa)
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
In una popolazione di Hardy-Weinberg, la distribuzione delle
probabilità dei genotipi fra gli individui della prima generazione
è la stessa delle distribuzioni di probabilità dei genotipi fra gli
individui genitori.
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
In una popolazione di Hardy-Weinberg, la distribuzione delle
probabilità dei genotipi fra gli individui della prima generazione
è la stessa delle distribuzioni di probabilità dei genotipi fra gli
individui genitori.
IN REALTÀ, dalle precedenti considerazioni, se sono
soddisfatte le condizioni
P(AA) = P(A)2
P(aa) = P(a)2
P(Aa) = 2P(A)P(a)
allora
p
1
P1 (A) = P(AA) + P(Aa) = P1 (AA)
2
p
1
P1 (a) = P(aa) + P(Aa) = P1 (aa)
2
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Legge di Hardy-Weinberg
In una popolazione di Hardy-Weinberg, la distribuzione delle
probabilità dei genotipi fra gli individui della prima generazione
è la stessa delle distribuzioni di probabilità dei genotipi fra gli
individui genitori.
IN REALTÀ, dalle precedenti considerazioni, se sono
soddisfatte le condizioni
P(AA) = P(A)2
P(aa) = P(a)2
P(Aa) = 2P(A)P(a)
allora
p
1
P1 (A) = P(AA) + P(Aa) = P1 (AA)
2
p
1
P1 (a) = P(aa) + P(Aa) = P1 (aa)
2
ossia anche se la popolazione di partenza non è di
Hardy-Weinberg, la successiva generazione lo è!
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ
Referenze bibliografiche
Capitolo VI del testo
Metodi Matematici e Statistici nelle Scienze della Terra
Volume secondo: Sviluppi e applicazioni
A. Buccianti, F. Rosso, F. Vlacci
Liguori Editore 2001
Capitolo 11 del testo
Matematica. Comprendere e interpretare fenomeni delle
scienze della vita
V Edizione
G. Gentili, V. Villani
McGraw Hill 2012
Metodi Matematici e Statistici per le Scienze Applicate
G. Prodi
McGraw Hill 1992
Vlacci Fabio
E LEMENTI DI C ALCOLO DELLA P ROBABILITÀ