Pacchetto d’onda
1
Calcolo d’integrali gaussiani
Per calcolare un’ integrale del tipo
Z
∞
e−(a
ψ(x) =
2 k 2 −ikx)
dk
(1)
−∞
la procedura standard e di scrivere l’espressione che appare nell’esponenziale come il quadrato di una
funzione in modo da ricondurre l’integrale ad un integrale indefinito di una funzione gaussiana
a2 k 2 − ikx = (ak + C)2 − C 2
Sostituendo si ha
x2
4a2
−
ψ(x) = e
=⇒
Z
∞
C = −i
x
2a
C2 = −
x2
4a2
(2)
2
x
2
e−a (k−i 2a2 ) dk
(3)
−∞
Con il cambio di variabile
y =k−i
l’integrale diventa
−
ψ(x) = e
x2
4a2
Z
x
2a2
=⇒
x
∞−i 2a
−a2 y 2
e
dy = dk
−
dy = e
(4)
x2
4a2
x
−∞−i 2a
√
π
a
(5)
Si ricordi che
Z
∞
x
−∞
2
2n
−x2
e
(2n − 1)!!
dx =
2n
√
π
(2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)
(6)
Velocitá di gruppo
Analizziamo la sovrapposizione di due onde piane monocromatiche che differiscono di dk e dω rispettivamente nel numero d’onda e nella frequenza. Per semplicitá consideriamo il caso unidimensionale
ed assumiano le onde di ampiezza unitaria..
U (x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t)
u1 (x, t) = sin(kx − ωt)
u2 (x, t) = sin[(k + dk)x − (ω + dω)t]
(7)
(8)
Usando la formula di somma di seni
sin α + sin β = 2 cos
α−β
α+β
sin
2
2
(9)
l’eq.(7) diventa
U (x, t) = 2 cos
dk
dω
2k + dk
2ω + dω
x−
t sin
x−
t
2
2
2
2
1
(10)
Essendo dk << 2k e dω << 2ω si ha
U (x, t) ≈ 2 cos
dω
dk
x−
t sin(kx − ωt)
2
2
(11)
L’eq.(11) rappresenta un’onda piana (sin(kx − ωt)) di frequenza ω, la cui ampiezza dipende da x e t
attraverso la combinazione dk
x − dω
t. I punti di ampiezza massima, uguale a 2, si spostano con la
2
2
velocitá di gruppo Vg data da
dω/2
(12)
Vg =
dk/2
In conclusione deduciamo che la sovrapposizione di due onde monocromatiche di frequenza e numero
d’onda leggermente differenti da luogo ad un’onda piana modulata in ampiezza.
Consideriamo la sovrapposizione di un numero infinito di onde piane i cui numeri d’onda variano
in maniera continua. Ricordando che, nella notazione degli esponenziali complessi, un’onda piana
monocromatica di ampiezza unitaria si scrive
ω
ei(kx−ωt) = eik(x− k
t)
(13)
I punti di fase costante, x − ω/k t = cost., si spostano nel tempo con velocitá di fase Vf = ω/k.
La sovrapposizione continua di onde piane si scrive
Z
1
u(x, t) = √
A(k) ei(kx−ω(k)t) dk
(14)
2π
dove la funzione A(k) é una funzione opportuna tale che l’integrale eq.(14) esista, in particolare A(k)
va a zero per k → ±∞. Chiameremo un’espressione del tipo eq.(14), cioé la trasformata di Fourier
di A(k), un pacchetto d’onda. Assumiamo che A(k) assuma valori significativi solo in un intorno
del valore k0 di k, cioé che sia una funzione piccata a k0 , tipicamente una gaussiana, e sviluppiamo
ω(k) in serie di potenze di k in questo intorno
1 d2 ω
dω
(k − k0 ) +
(k − k0 )2 + . . .
(15)
ω(k) = ω(k0 ) +
dk k0
2! dk 2 k0
Nell’eq.(15) consideremo solo il primo ordine nello sviluppo e definiamo velocitá di gruppo Vg
Vg =
dω
dk
(16)
Evidentemente Vg dipende dalla funzione ω(k) (legge di dispersione di ω), se ω(k) ∝ k allora Vg =
Vf . Nella fisica classica in un mezzo dispersivo e, come vedremo, nella meccanica quantistica la
dipendenza di ω da k non é di tipo lineare e quindi Vg 6= Vf . Sostituiamo lo sviluppo (15) nell’eq.(14)
(ω0 = ω(k0 )) notando che
kx − ω(k)t ≈ kx − ω0 t + Vg (k − k0 )t = k0 x − ω0 t + (k − k0 ) (x − Vg t)
Z
1
i(k0 x−ω0 t)
u(x, t) = √ e
A(k) ei(k−k0 ) (x−Vg t) dk
2π
2
(17)
(18)
L’espressione (18) ha la struttura di un’onda piana di frequenza ω0 e corrispondente numero d’onda
k0 con una ampiezza a(x − Vg t) data dall’integrale
Z
1
A(k + k0 ) eik (x−Vg t) dk
(19)
a(x − Vg t) = √
2π
che mostra che l’ampiezza é un inviluppo di onde ciascuna delle quali dipende da x e Vg nella
combinazione x − Vg t . Chiaramente l’intervallo ∆x in cui a(x − Vg t) assume valori significativi si
sposta nel tempo con velocitá Vg . La larghezza del pacchetto d’onda non rimane costante nel tempo,
ma si slarga con il crescere del tempo.
3
Slargamento di un pacchetto d’onda gaussiano
Calcoliamo lo slargamento nel tempo di un pacchetto d’onda gaussiano ψ(x, t). Assumiamo
1
2
2
ψ(x, 0) = p √ e−x /2σ e−ik0 x
σ π
La trasformata inversa di Fourier del pacchetto d’onda a t = 0 é data da
Z ∞
1
A(k) = √
ψ(x, 0) e−ikx dx
2π −∞
inserendo l’eq.(20) otteniamo, con la tecnica standard per il calcolo degli integrali gaussiani,
r
σ
2
2
A(k) = √ e−σ /2 (k−k0 )
π
(20)
(21)
(22)
Per calcolare l’eq.(22) completiamo il quadrato nell’esponenziale nell’eq.(21)
2
x2
x
σ(k − k0 )
√
+ ik0 x = √ + C − C 2 =⇒ C = i
(23)
2
2σ
2σ
2
√
e, con un cambio di variabile y = x/ 2σ + C , ci siamo ricondotti ad un integrale del tipo eq.(6).
Quindi, nello spazio k, la funzione A(k) é ancora una gaussiana, centrata in k0 .
Z ∞
1
A(k) ei(kx−ω(k)t) dk
ψ(x, t) = √
2π −∞
Z ∞
r
σ
2
2
√
=
e−σ /2 (k−k0 ) ei(kx−ω(k)t)
(24)
2π π −∞
Assumeremo la legge di dispersione ω = k 2 /2a dove a é una costante dimensionale ([a] = [l−2 t]). Lo
slargamento del pacchetto puó convenientemenete essere misurato dalla deviazione quadratica media
(∆x)2 =< x2 > − < x >2
dove
R∞
n
< x >=
xn |ψ(x, t)|2 dx
−∞
R∞
−∞
3
|ψ(x, t)|2 dx
(25)
(26)
É immediato controllare che l’integrale del denominatore, cioé la norma di ψ ( ||ψ||), vale 1 a
t = 0 per l’eq.(20) e che tale proprietá vale per la trasformata di Fourier A(k) eq.(22) e quindi, per
l’eq.(24), ad ogni valore del tempo t. Essendo il pacchetto centrato all’origine é immediato calcolare
che < x > |t=0 vale zero (integrale di una funzione dispari in un intervallo pari), quindi
Z ∞
σ2
1
2
2
2
2
x2 e−x /σ dx =
(27)
(∆x) |t=0 =< x > |t=0 = √
2
σ π −∞
Per calcolare esplicitamente l’integrale (24), con la solita tecnica per il calcolo di integrali gaussiani,
riscriviamo l’espressione nell’esponenziale
σ2
k2
σ2
(k − k0 )2
(k − k0 )
k02
2
2
(k −k0 ) −i kx −
t =
(k −k0 ) −i (k − k0 )x −
t−
k0 t + k 0 x −
t
2
2a
2
2a
a
2a
I due ultimi termini nella parentesi quadra non dipendono da k e quindi possono essere portati fuori
dall’integrale. Quindi dobbiamo completare il quadrato dell’espressione
!2
!2
r
r
2
it
it
σ2
k
t
σ
0
+
+
(k − k0 ) + C − C 2
(28)
=
(k − k0 )2 − i (k − k0 ) x −
2
2a
a
2
2a
da cui ricaviamo
x − ka0 t
C=q
2σ 2 + i2t
a
Alla fine otteniamo
1
σ −
e
ψ(x, t) = p √
σ π α
dove
(x−k0 t/a)2
2α2
(29)
ff
k0
eik0 (x− 2a t)
(30)
r
it
a
Si noti che il fattore 1/α in eq.(30) é dovuto al cambio di variabile
r
r
σ2
σ2
it
it
1
y=
+
(k − k0 ) + C =⇒ dy =
+
dk = √ α dk
2
2a
2
2a
2
α=
σ2 +
(31)
(32)
Notiamo, dall’eq.(30), che il pacchetto d’onda in funzione del tempo é piccato nella posizione x =
k0 t/a , quindi si sposta con velocitá k0 /a che é la velocitá di gruppo corrispondente alla legge di
dispersione della ω(k).
k2
1 dk 2
k0
ω=
=⇒ Vg =
|k=k0 =
(33)
2a
2a dk
a
al contrario la velocitá di fase, che si calcola dalla fase dell’espressione (30), vale
Vf =
k0
ω
= |k=k0
2a
k
(34)
Calcoliamo il modulo quadro della funzione ψ(x, t)
−
σ
√ e
|ψ(x, t)|2 =
2
|α| π
4
σ 2 (x−k0 t/a)2
|α|4
ff
(35)
Usando l’eq.(35) possiamo calcolare il valore medio in funzione del tempo della x
Z ∞
k0 t
x |ψ(x, t)|2 dx =
< x > (t) =
a
−∞
(36)
ritrovando analiticamente quanto osservato sullo spostamento in funzione del tempo del picco del
pacchetto d’onda. Calcoliamo
2
Z ∞
|α|4
k0 t
2
2
2
< x > (t) =
x |ψ(x, t)| dx =
(37)
+
2
2σ
a
−∞
Quindi abbiamo al tempo t
|α|4
(∆x) =< x > (t)− < x > (t) =
+
2σ 2
2
2
2
k0 t
a
2
−
k0 t
a
2
=
|α|4
2σ 2
(38)
da cui segue
r
t2
σ
(39)
1+ 4 2
∆x = √
σ a
2
Quindi il pacchetto si allarga al crescere del tempo, per valori grandi di t, con legge lineare. I valori
grandi di t vanno valutati rispetto al tempo caratteristico T = σ 2 a in funzione del quale possiamo
riscrivere l’eq.(39)
s
2
t
∆x = ∆x|t=0 1 +
(40)
T
Se definiamo, in analogia con quanto fatto per la variabile x, la deviazione quadratica media, o
indeterminazione, di k
(∆k)2 =< k 2 > − < k >2
(41)
dove
n
Z
∞
k n |A(k)|2 dk
< k >=
(42)
−∞
Troviamo, dall’eq.(22), che < k >= k0 , in accordo con la precedente osservazione che la gaussiana
descrivente A(k) é simmetrica rispetto al punto k = k0 . Troviamo
1
∆k = √
2σ
(43)
che non dipende dal tempo in quanto A(k) non dipende da t. Se moltiplichiamo le indeterminazioni
nelle variabili x e k troviamo
r
1
t2
∆k ∆x =
1+ 4 2
(44)
2
σ a
che ammette come valore minimo 1/2.
5
