Sulle possibili connessioni matematiche tra Loop Quantum Gravity ed alcuni settori della
Teoria delle Stringhe.
Michele Nardelli1,2
1
Dipartimento di Scienze della Terra
Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10
80138 Napoli, Italy
2
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli”
Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze e delle Tecnologie
Monte S. Angelo, Via Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy
Gravità quantistica a loop.
La gravità quantistica a loop (LQG dal termine inglese Loop Quantum Gravity) è conosciuta anche
con i termini di gravità a loop, geometria quantistica e relatività generale canonica quantistica.
È stata proposta quale teoria quantistica dello spazio-tempo che cerca di unificare le
apparentemente incompatibili teorie della meccanica quantistica e della relatività generale. Questa
teoria fa parte di una famiglia di teorie chiamate di gravità canonica quantistica. È stata sviluppata
in parallelo con la quantizzazione a loop, una struttura rigorosa della quantizzazione non
perturbativa della teoria di gauge a diffeomorfismo invariante. In parole semplici è una teoria
quantistica della gravità in cui il vero spazio in cui accadono tutti gli altri fenomeni fisici è
quantizzato.
La LQG è una teoria dello spazio-tempo che si fonda sul concetto di quantizzazione dello spaziotempo mediante una teoria matematicamente rigorosa della teoria della quantizzazione a loop. Essa
conserva gli aspetti fondamentali della relatività generale, come ad esempio l'invarianza per
trasformazioni di coordinate, ed allo stesso tempo utilizza la quantizzazione dello spazio e del
tempo alla scala di Planck caratteristica della meccanica quantistica.
I maggiori successi della gravità quantistica a loop sono:
1. E’ una quantizzazione non perturbativa della geometria a 3 dimensioni, con operatori
quantizzati di area e di volume;
2. Include il calcolo dell'entropia dei buchi neri;
3. E’ basata su un formalismo matematico rigoroso.
La teoria ammette anche una formulazione covariante, chiamata a "schiuma di spin" (spin-foam).
La teoria quantistica dei campi applicata in uno spazio-tempo curvo (quindi non minkowskiano) ha
dimostrato che alcuni dei suoi assunti fondamentali non possono essere riportati. In particolare, il
vuoto, quando esiste, appare dipendere dalla traiettoria dell'osservatore attraverso lo spazio-tempo
(effetto Unruh).
1
Vi sono state, in passato, due reazioni all'apparente contraddizione tra la teoria dei quanti e
l'indipendenza dallo sfondo della relatività generale. La prima è che l'interpretazione geometrica
della relatività generale non è fondamentale ma "risultante". La seconda è che l'indipendenza dallo
sfondo è fondamentale e la meccanica quantistica necessita di essere generalizzata per definire dove
non vi è un tempo stabilito a priori.
La LQG è un tentativo di formulare una teoria quantistica indipendente dallo sfondo.
Nel 1986 il fisico Abhay Ashtekar , ha riformulato le equazioni di campo della relatività generale di
Einstein usando ciò che oggi è conosciuto col nome di variabili di Ashtekar, una variante
particolare della teoria di Einstein-Cartan con una connessione complessa. Nella formulazione di
Ashtekar i campi fondamentali sono una regola per il trasporto parallelo (tecnicamente, una
connessione) ed una struttura di coordinate (dette un vierbein) ad ogni punto. Dal momento che la
formulazione di Ashtekar era indipendente dallo sfondo, è stato possibile utilizzare i loop di Wilson
come base per la quantizzazione non perturbativa della gravità. L'invarianza del diffeomorfismo
esplicito (spaziale) dello stato di vuoto gioca un ruolo essenziale nella regolarizzazione degli stati
del loop di Wilson.
Intorno al 1990 Carlo Rovelli e Lee Smolin hanno ottenuto una base esplicita degli stati della
geometria quantistica che è stata denominata reti di spin di Penrose. In questo contesto le reti di spin
si sono presentate come una generalizzazione dei loop di Wilson necessarie per trattare i loop che
si intersecano reciprocamente. Dal punto di vista matematico le reti di spin sono correlate alla teoria
del gruppo di rappresentazione e possono essere usate per costruire invarianti di nodi come il
polinomiale di Jones.
Nel settembre 2004, alcuni ricercatori hanno mostrato matematicamente come uno spazio-tempo a
quattro dimensioni possa emergere da una schiuma quantistica gravitazionale.
Divenendo strettamente correlata alla teoria quantistica topologica dei campi e alla teoria della
rappresentazione di gruppo, la LQG è per la maggior parte costruita ad un livello rigoroso di fisica
matematica.
Il cuore della gravità quantistica a loop è rappresentato da una struttura per la quantizzazione non
perturbativa delle teorie di gauge a diffeomorfismo invariante che può essere chiamata
quantizzazione a loop. Originalmente sviluppata al fine di quantizzare il vuoto della relatività
generale in 3+1 dimensioni, il formalismo matematico può aiutare la dimensionalità arbitraria dello
spazio-tempo, i fermioni (Baez e Krasnov), un gruppo di gauge arbitrario (o anche un gruppo
quantistico) e la supersimmetria (Smolin) e porta alla quantizzazione della cinematica delle
corrispondenti teorie di gauge a diffeomorfismo invariante. Rimane ancora molto lavoro da
svolgere riguardo alla dinamica, il limite classico ed il principio di corrispondenza, tutti necessari,
in un modo o nell'altro, per poter effettuare esperimenti.
La quantizzazione a loop è il risultato dell'applicazione della quantizzazione C*-algebrica di
un'algebra non canonica delle osservabili di gauge invarianti classiche. Non canonica significa che
le osservabili di base quantizzate non sono coordinate generalizzate né i loro momenti coniugati.
Invece viene usata l'algebra generata dalle osservabili di reti di spin (costruiti da olonomi) e flussi di
campi di forza.
Le tecniche di quantizzazione a loop sono particolarmente utili nel trattare le teorie topologiche
quantistiche di campo dove esse danno corpo a modelli state-sum/spin-foam come il modello
Turaev-Viro della relatività generale a 2+1 dimensioni. Una delle più conosciute teorie è la
2
cosiddetta teoria BF in 3+1 dimensioni perche la relatività generale classica può essere formulata
come una teoria BF con costrizione, e si spera che una quantizzazione significativa della gravità
possa derivare dalla teoria perturbativa dei modelli BF a schiuma di spin.
La LQG è una quantizzazione della classica teoria lagrangiana di campo che è equivalente alla nota
teoria di Einstein-Cartan nel punto in cui permette che le equazioni di moto descrivano la relatività
generale con torsione. Si può quindi dire che la LQG rispetta l'invarianza di Lorentz a livello locale.
L'invarianza di Lorentz generale è rotta nella LQG così come nella relatività generale. Si può
ottenere una costante cosmologica positiva nella LQG sostituendo il gruppo di Lorentz con il
corrispettivo gruppo quantistico.
Ricerche sperimentali e teoriche dell'inizio del XX secolo hanno portato a due nuove teorie: la
Relatività Generale, trovata da Einstein nel 1915, che ha modificato la nostra comprensione dello
“spazio” e del “tempo” e la Meccanica Quantistica, sviluppata da Schrödinger, Heisenberg, Dirac
intorno al 1920, che ha modificato profondamente la comprensione della “materia”. Queste teorie
hanno quasi un secolo di vita e sono alla base di molta tecnologia, come i computer.
La rivoluzione scientifica aperta da queste teorie non è ancora conclusa, in quanto entrambe
appaiono in contraddizione stridente: ciascuna è formulata come se l'altra non esistesse. “Da un
punto di vista pratico – ha avuto modo di scrivere Rovelli, in un recente dibattito tra astrofisici questo non è grave, perché regimi fisici dove intervengono entrambe esistono, ma sono casi estremi
(i primi istanti dell'Universo, il centro dei buchi neri) a cui non abbiamo per ora accesso
sperimentale. Per questo, per buona parte del XX secolo ha prevalso un atteggiamento pragmatico:
più che a cercare una nuova sintesi, i fisici erano interessati a sfruttare la nuova potenza delle due
teorie. La Meccanica quantistica ha dato origine a fisica atomica, fisica nucleare, fisica delle
particelle, fisica della materia condensata, con innumerevoli applicazioni; mentre la Relatività
generale ha dato origine a cosmologia, astrofisica relativistica, studio dei buchi neri, ricerca di onde
gravitazionali, e molto altro”.
Anche se queste due teorie non sono ancora arrivate ad influenzare il modo di pensare comune, non
ci deve sorprendere, se pensiamo che la rivoluzione Copernicana, ha atteso ben più di un secolo,
prima di dispiegare la sua immensa influenza culturale. L'ipotetica teoria capace di combinare le
diverse posizioni è quella della gravità quantistica. La possibile soluzione è data dalla teoria dei
loop (degli anelli), di cui si occupa proprio Carlo Rovelli.
Questa teoria, iniziata negli anni ottanta da fisici americani e italiani, è oggi sviluppata da decine di
centri di ricerca nel mondo, e trova applicazioni cosmologiche e astrofisiche.
“L'idea centrale – scrive Rovelli - è quella di accettare tutte le conseguenze concettuali della
Meccanica quantistica e soprattutto della Relatività generale. La teoria dei loop è da un lato
conservatrice, perché le sole ipotesi teoriche su cui si fonda sono Relatività generale e Meccanica
quantistica, teorie ben verificate e quindi credibili, è rivoluzionaria, perché le conseguenze della
congiunzione degli assunti delle due teorie porta a conseguenze radicali, che vengono fatte proprie
dalla teoria dei loop. Queste hanno a che vedere con la natura dello spazio e del tempo. Dalla
Relatività generale abbiamo appreso che spazio e tempo formano un "continuo" che ha una
dinamica propria: è come un foglio di gomma che si piega, si allunga e ondeggia. Dalla Meccanica
quantistica abbiamo appreso che ogni oggetto dinamico di questo tipo è "quantizzato", cioè su
piccola scala ha una struttura granulare, fatta di costituenti elementari, o "quanti". Le due idee
insieme implicano che lo spazio e il tempo hanno natura granulare. Esiste cioè una grana fine dello
spaziotempo. La teoria dei loop è una descrizione matematica di questa grana fine dello
spaziotempo.
Dalla teoria risulta che questa grana ha una struttura filamentosa: lo spazio è fatto di loop, o
anellini, che si intersecano. La differenza fra questi loop e le stringhe è sostanziale: le stringhe sono
cordicelle che costituiscono la materia e si muovono nello spaziotempo. Mentre i loop costituiscono
3
essi stessi lo spaziotempo, come i fili di una maglia costituiscono essi stessi la maglia. I loop sono
atomi di spaziotempo, o "quanti" di spaziotempo.
Teoria delle Stringhe
Le teorie delle stringhe sono oggi considerate tra i migliori candidati per una teoria della gravità
quantistica. È perciò naturale che siano state largamente studiate le loro implicazioni sulla teoria
della gravità, in particolare in quelle situazioni in cui la relatività generale classica sembra mostrare
dei limiti, cioè nello studio dei buchi neri.
Tuttavia al presente, il formalismo della teoria delle stringhe è ancora troppo complesso per poter
trattare direttamente questi problemi, per cui si è cercato di ricavare dalla teoria delle azioni efficaci
a bassa energia, a partire dalle quali è possibile utilizzare le tecniche della teoria dei campi, per
studiare dei modelli trattabili. Le azioni efficaci a bassa energia che vengono considerate,
correggono l'azione classica di Einstein con l'introduzione di campi scalari come il dilatone e i
campi di modulo, accoppiati in modo non minimale ai campi classici. Il dilatone che considereremo
in seguito è un campo scalare privo di massa che è contenuto nello spettro a bassa energia della
stringa e descrive i suoi modi armonici di vibrazione . I campi di modulo (o compattoni ) derivano
invece dal processo di riduzione dimensionale dalle dieci dimensioni in cui è formulata la teoria
delle stringhe alle ordinarie quattro dimensioni dello spazio-tempo osservato: il loro valore è
direttamente correlato al raggio dello spazio esadimensionale compattificato.
Le soluzioni di buchi neri carichi che si studiano nel contesto di azioni efficaci a bassa energia,
mostrano delle proprietà che li rendono molto differenti dai buchi neri della teoria gravitazionale
classica di Einstein, come ad esempio quelli di Reissner-Nordström. Queste soluzioni, quando
espresse in termini della metrica delle stringhe, sono caratterizzate da una geometria che, nel limite
estremo, non mostra alcuna singolarità. Inoltre queste soluzioni possiedono proprietà
termodinamiche peculiari, differenti da quelle degli ordinari buchi neri della relatività generale.
I primi modelli di azioni efficaci a bassa energia nella teoria delle stringhe, modificavano l'azione di
Einstein con la introduzione del solo campo dilatonico. Queste azioni si riconducevano con buona
approssimazione ai buchi neri della relatività generale nel caso di grande massa ( M >> M p ) e in
regioni lontane dalla singolarità.
Quando però si vogliono risolvere problemi di gravità quantistica, e cioè in prossimità delle
singolarità o per buchi neri di piccola massa ( M ≅ M p ), bisogna considerare delle azioni efficaci
più complete rispetto a quelle che contengono un singolo campo dilatonico; si possono prendere in
considerazione varie correzioni:
1.
l'azione della stringa si può considerare come uno sviluppo perturbativo nella tensione
inversa della stringa α ' . Si possono allora considerare nell'azione termini di ordine
superiore nel tensore di curvatura R µν ;
2.
anche quando si considera il settore degli stati privi di massa nello spettro delle stringhe, si
dovrebbe considerare il contributo del campo di modulo della varietà compattificata;
3.
una correzione all'azione efficace a bassa energia può apparire nel livello della stringa a un
``loop''. Considerando effetti della stringa a un ``loop'', si può accoppiare il compattone al
4
tensore di campo elettromagnetico di Maxwell Fµν , per ottenere nuove soluzioni di buco
nero.
Nel seguito, considereremo un’azione efficace quadridimensionale a bassa energia ricavata dalla
teoria della stringa eterotica; essa tiene conto dell'accoppiamento non minimale alla gravità di un
campo di modulo, dovuto ad effetti di soglia ad un ``loop''; in unità di misura in cui c = h = G = 1 ,
essa è data da:
I=
q
2 φ − ψ
1
2
2
2
4
− 2φ
1 + e 3 F 2 , (1)
(
)
(
)
d
x
−
g
e
R
+
4
∇
φ
−
∇
ψ
−
16π ∫
3
dove φ è il dilatone; ψ è il compattone ottenuto dalla riduzione dimensionale della teoria in dieci
dimensioni; g è il determinante del tensore metrico; R è lo scalare di curvatura; F 2 = Fµν F µν ,
dove Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ è il tensore di campo elettromagnetico di Maxwell; infine q è una
costante di accoppiamento che, in principio, può essere determinata da calcoli a un ``loop''.
L'azione considerata è fondamentale nell'ambito della teoria efficace delle stringhe in quanto, a
partire da questa, è possibile utilizzare le ordinarie tecniche utilizzate in teoria dei campi, per
ricavare soluzioni esatte di buchi neri. Soluzioni esatte possono essere ottenute se l'azione viene
semplificata tramite l'ansatz:
2
e − 2φ =
q 2 − 3 qψ
, (2)
e
3
che equivale a porre:
3
q
ψ = φ + cost . . (3)
Perciò:
∇ψ =
3
9
2
2
∇φ ⇔ (∇ψ ) = 2 (∇φ ) . (4)
q
q
Dunque, l'azione efficace considerata si riduce a:
I=
1
6
4
− 2φ
d
x
−
g
e
R + 4 − 2
∫
16π
q
3
(∇φ )2 − 1 − 2
q
2
F . (5)
Introduciamo a questo punto una nuova costante k, che parametrizza la teoria:
k=
3 − 2q 2
, (6)
3 + 2q 2
ed esplicitiamo rispetto alla costante di accoppiamento q:
5
q=
3 1− k
2 1+ k
(− 1 ≤ k ≤ 1) .
(7)
Con questa sostituzione, l'azione si semplifica nella forma finale:
I=
1
8k
(∇φ )2 − 3 + k F 2 (8)
d 4 x − g e − 2φ R −
∫
16π
1− k
1− k
Si noti il particolare andamento della funzione q(k): nel limite singolare per k=1 è q=0; il dilatone
si disaccoppia e ci si riconduce alla teoria di Einstein-Maxwell. Nel limite per k=-1, si ha
che q → ∞ e l'azione si riduce all'azione delle stringhe standard in assenza dell'accoppiamento del
modulo; questa situazione corrisponde alla soluzione ricavata da Garfinkle, Horowitz e Strominger
(soluzioni GHS). Da notare che, in questo limite, nonostante l'assenza del compattone, è sempre
presente il dilatone che, in tale modello, cambia drasticamente molte proprietà dei buchi neri
rispetto a quelli di Reissner-Nordström.
È interessante notare come già nell’equazione (1) sia stato introdotto il concetto di “loop”,
quindi già si intravede una connessione matematica tra LQG e Teoria delle Stringhe.
È possibile trovare delle connessioni matematiche tra alcuni settori della Teoria delle Stringhe e la
Gravità Quantistica a Loop? La speranza è che si stia sviluppando la stessa teoria a partire da
differenti angolazioni. È molto probabile che andando verso la gravità quantistica ciascuno per la
sua strada, i teorici di stringa e quelli di LQG si incontrino tutti da qualche parte. È infatti noto che
molti punti di forza della Teoria delle Stringhe sono i punti deboli della LQG e viceversa.
La Teoria delle Stringhe, dipende dal “background”: bisogna, cioè, supporre l’esistenza di uno
spazio-tempo nel quale le stringhe si muovono. In una vera teoria quantistica della gravità, lo
spazio-tempo dovrebbe emergere dalle proprie equazioni fondamentali. La gravità quantistica
nella formulazione a loop ha nel suo approccio una formulazione indipendente dal
background, in cui lo spazio-tempo emerge dalla teoria stessa. D’altra parte, a grandi scale, i
teorici di stringa sono in grado di avere un contatto molto diretto con la relatività generale di
Einstein, che è insito nelle equazioni della teoria. Nella LQG è difficile avere un qualche tipo di
contatto con la gravità ordinaria. È questo il motivo fondamentale per cui viene naturale pensare di
mettere insieme i punti di forza di ognuno dei due approcci.
Secondo il teorico di stringa B. Greene, senza un formalismo indipendente dal background,
sarà difficile mettere insieme tutti i pezzi.
Connessioni matematiche
Una prima connessione matematica può venire dallo studio dei due lavori: “Brane new world” di S.
Hawking, T. Hertog e H.S. Reall e “Cosmological vector modes and quantum gravity effects” di M.
Bojowald e G. M. Hossain. Nel primo viene studiato lo scenario cosmologico di Randall-Sundrum
che consiste di un dominio limitato nello spazio anti-de Sitter con una grande teoria di campo
conforme N fortemente accoppiata che giace sul limite (del dominio). Tale lavoro è strettamente
collegato alla teoria delle stringhe (ST), in quanto si toccano vari argomenti appartenenti ad essa:
teoria di campo conforme, spazio di anti-de Sitter e brane. Nel secondo lavoro, vengono derivate le
dinamiche dei modi vettoriali nel contesto dei modelli cosmologici basati sulla LQG e sulla
cosmologia.
6
In entrambi i lavori, una delle azioni fondamentali è l’azione di Einstein-Hilbert. È possibile che tali
azioni possano essere matematicamente connesse. Avremo infatti:
S EH = −
1
d (d − 1)
,
d d +1 x g R +
∫
16πG
l 2
(9)
che è l’azione di Einstein-Hilbert con una costante cosmologica negativa e
1
S EH = ∫ dt ∫ d 3 x
Eia Lt Aia − Λi Gi + N a C a + NC
Σ
8πG
(
) ,
(10)
che è sempre l’azione di Einstein-Hilbert scritta nel formalismo canonico usando la “connessione”
di Ashtekar (LQG).
Già da queste due equazioni è possibile notare la connessione, che conduce alla seguente formula
−
1
d (d − 1)
d d +1 x g R +
∫
16πG
l 2
1
= ∫ dt ∫ d 3 x
Eia Lt Aia − Λi Gi + N a C a + NC
Σ
8
π
G
(
) .
(11)
Inoltre, per la (1), avremo anche la seguente connessione, inerente la superstringa eterotica:
−
1
d (d − 1)
d d +1 x g R +
∫
16πG
l 2
1
= ∫ dt ∫ d 3 x
Eia Lt Aia − Λi Gi + N a C a + NC =
Σ
8πG
(
)
q
2 φ − ψ
1
2
2
2
4
− 2φ
3 2
. (12)
(
)
(
)
=
d
x
−
g
e
R
+
4
∇
φ
−
∇
ψ
−
1
+
e
F
16π ∫
3
Un altro esempio, è quello che considera l’azione della gravità a tre dimensioni con costante
cosmologica negativa possibilmente accoppiata a campi addizionali. Essa è data dalla seguente
equazione
I=
1
2
d 3 x g R + 2 + ... , (12b)
∫
16πG
l
dove le ellissi rispecchiano il contributo di altri campi. In questo altro caso è facile notare la
connessione tra la (12b) e la (10). Avremo, infatti
1
2
d 3 x g R + 2 + ... =
16πG ∫
l
1
= ∫ dt ∫ d 3 x
Eia Lt Aia − ΛiGi + N aCa + NC
Σ
8πG
(
7
) .
(12c)
Sia ben inteso, questi qui proposti sono soltanto tre esempi delle numerose connessioni
matematiche che possono essere ottenute dallo studio approfondito di alcuni capitoli della ST e
della LQG rispettivamente.
Un’altra importantissima connessione matematica riguarda la funzione d’onda Ψ dell’Universo del
modello dell’assenza di contorno di Hartle-Hawking. Essendo una trattazione matematica inerente
la gravità quantistica, ho potuto constatare che l’equazione che esprime la funzione d’onda è
correlabile a diverse equazioni contenenti il termine Ψ inerenti alcuni settori della LQG.
(Per le connessioni tra il modello di Hartle-Hawking, la Teoria di Stringa p-adica e la Teoria dei
Numeri, vedi i miei lavori sul sito http://xoomer.alice.it/stringtheory e sul Solar CNR Database).
Nella gravità quantistica a loop, l’equazione WDW (Wheeler - De Witt) può essere scritta nella
seguente forma:
ε abc
δ
F ( A( x )) − ihΛ ε
ΨΛ [ A] = 0 . (13)
mnc
mnp
6
δA p c ( x )
δAm a ( x ) δAn b ( x )
δ
δ
Tale equazione è risolta tramite
i
ΨΛ [ A] = exp
d 3 xA ∧ dA + iA ∧ A ∧ A( A) , (14)
∫
Σ
hΛ
dove A ∧ dA + iA ∧ A ∧ A = LCS , che non è altro che la Lagrangiana della teoria di Chern-Simons.
Allora, ricordando l’equazione descritta dal Witten nel suo lavoro “Three-dimensional Gravity
reconsidered”,
I=
k
4π
∫
W
2
tr A ∧ dA + A ∧ A ∧ A , (15)
3
e l’equazione della funzione d’onda di Hartle-Hawking p-adica,
Ψp (a ) = ∫
N
p
≤1
dN
λ p (− 2 N )
N
1/ 2
(
p
)
N
λ coth N λ 2
+
a , (16)
2
2
χ p −
avremo le seguenti interessanti connessioni:
∫
N
p
≤1
dN
λ p (− 2 N )
N
1/ 2
p
χ p −
(
)
N
λ coth N λ 2
+
a =
2
2
i
= exp
d 3 xA ∧ dA + iA ∧ A ∧ A( A) =
∫
Σ
hΛ
=
k
4π
2
tr A ∧ dA + A ∧ A ∧ A . (17)
W
3
∫
8
Inoltre, l’equazione della funzione d’onda dell’Universo della proposta dell’assenza di contorno di
Hartle-Hawking è stata correlata anche ad un interessante settore della Teoria delle Stringhe: la
Teoria di stringa p-adica (che tratta dei numeri adici ed adelici – vedi spazio adelico). L’equazione
di Hartle-Hawking, infine, è stata anche ben correlata ad alcune formule inerenti la Teoria dei
Numeri. Di qui le connessioni: Funzione d’onda dell’Universo del modello dell’assenza di
contorno di Hatle-Hawking Gravità quantistica a loop Teoria di Stringa p-Adica Teoria dei Numeri.
Bibliografia
Gravità quantistica a Loop - http://it.wikipedia.org/wiki/Gravit%C3%A0_quantistica_a_loop.
S. W. Hawking, T. Hertog and H. S. Reall – “Brane New World” – hep-th/0003052 v3 –
13.04.2000.
M. Bojowald and Golam Mortuza Hossain – “Cosmological vector modes and quantum gravity
effects” – gr-qc 0709.0872 v1 – 06.09.07.
B. Greene “Il Futuro della Teoria delle Stringhe” – Intervista riportata su “Le Scienze” 424Dic.2003.
E. Witten “Three-Dimensional Gravity Reconsidered” – hep-th 0706.3359v1 – 22.06.07.
H. Nicolai, K. Peeters and M. Zamaklar “Loop quantum gravity: an outside view” – hepth/0501114v4 – 18.09.05.
9
