Sistemi binari e accrescimento

Sistemi binari e
accrescimento
Le Stelle Binarie
Finora abbiamo considerato le stelle come oggetti luminosi e isolati;
le stelle sono alimentate da reazioni di fusione nucleare
non interagiscono con il mezzo circostante o con altre stelle.
In realtà sappiamo che oltre il 50% delle stelle sono in sistemi binari o
multipli (è proprio nelle binarie che possiamo misurare la massa delle stelle).
Nei sistemi binari avvengono due cose:
l’evoluzione delle due stelle del sistema binario è diversa da quella delle
stelle singole con la stessa massa a causa degli scambi di massa;
negli stadi finali in cui una delle due stelle è diventata un oggetto
compatto (nana bianca, stella di neutroni, buco nero) si assiste alla
formazione di sorgenti alimentate non da reazioni nucleari ma da
accrescimento di materia.
La fisica dell’accrescimento è molto complessa e si applica alle stelle di presequenza principale, alle binarie interagenti, ai nuclei galattici attivi e, forse,
ad alcuni tipi di supernovae e GRB.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
2
Le Stelle Binarie
In una binaria, le coppie di stelle con periodo orbitale inferiore a ~10 giorni
sono in orbite
circolari
allineate (gli assi di rotazione delle due stelle e l’asse del piano orbitale
sono tra loro paralleli)
sincronizzate (ogni stella ha un periodo di rotazione pari al periodo di
rivoluzione attorno all’altra stella per cui ogni stella vede sempre la stessa
“faccia” dell’altra).
Queste caratteristiche dipendono dall’esistenza di Forze Mareali che
agiscono sull’una e sull’altra stella a piccole distanze.
Le forze mareali non sono altro che un effetto dell’attrazione gravitazionale
su corpi che non si possono considerare puntiformi.
A. Marconi
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Le Forze Mareali
La forza gravitazionale che la stella 1 esercita su un elemento di massa m
sulla sua superficie, a distanza Δr dal centro, è !
!
!
Fgrav
GM1 m
=
r2
m
M2
θ
Δr
Ma m è soggetto all’attrazione di M2.
r
M1
La forza mareale è la differenza tra la
forza gravitazionale su m e quella che si
avrebbe se m fosse al centro di M1. Questa forza esiste solo se la stella 1 non si può considerare puntiforme. Se Δr << r, il modulo della forza mareale è
Ftide
GM2 m
=
r2
r2 +
GM2 m
r2 2r r cos
2GM2 r
⇥
| cos |
3
r
per cui il rapporto tra le due forze è
Ftide
2M2
=
Fgrav
M1
A. Marconi
✓
r
r
◆3
| cos |
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4
Le Forze Mareali
La presenza delle forze mareali induce delle distorsioni alla simmetria sferica
delle stelle e tali distorsioni aumentano al crescere di Δr/r.
Fino a che le stelle non sono legate marealmente (tidally locked, ovvero
orbite sincronizzate e circolarizzate), viene persa continuamente energia per
attrito;
se le orbite sono ellittiche variano r e cosθ e quindi varia la forza mareale
su una dato elemento di massa;
le distorsioni si devono muovere rispetto al resto della stella causando
attrito viscoso e quindi perdita di energia;
solo quando si ha il tidal locking tutto appare stazionario nel riferimento
corotante del CM ed il sistema raggiunge lo stato di energia minima.
Questo fenomeno avviene anche nel sistema Terra-Luna-Sole;
il tidal locking (parziale) è il motivo per cui la Luna mostra sempre la stessa
faccia alla Terra. Questo sistema è però più complesso per la presenza del Sole.
A. Marconi
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5
Distorsioni Mareali
Deformazione indotta
dalle forze mareali
Le Superfici Equipotenziali
Mettiamoci nel sistema di riferimento corotante del centro di massa, e
consideriamo le superfici equipotenziali (potenziale gravitazionale e
centrifugo):
queste sono sferiche vicino alle stelle, ma si deformano sempre di più
allontanandosi da esse a seguito dell’attrazione dell’altra stella.
A. Marconi
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Le Superfici Equipotenziali
Esiste una particolare superficie equipotenziale le cui sezioni con piani
passanti per la congiungente le due stelle sono delle “figure a 8”:
si intersecano nel primo punto di Lagrange (L1, in generale non è il centro di
massa) ed i due lobi dell’8 sono detti “Lobi di Roche”;
in L1 le forze gravitazionali e centrifuga si annullano, pertanto è un punto di
equilibrio, ma instabile (è una sella del potenziale). Il gas di una stella che raggiunge L1
può passare all’altra stella, ovvero
Lobi di Roche
cadere nella buca di potenziale.
In ogni stella le superfici di densità costante sono parallele alle superfici
L1
equipotenziali; pertanto se
una stella cresce in raggio (es. diventa gigante) assumerà la forma di una Primo punto di goccia, fino a riempire il suo Lagrange
lobo di Roche.
A. Marconi
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I Lobi di Roche
La superficie in figura
rappresenta il
potenziale in funzione
della posizione su un
piano passante per le due stelle nel
sistema di riferimento corotante.
Potenziale
Rappresentazione
3D del potenziale di
Roche per due stelle con rapporto di massa 2:1.
Pos
izio
Y
e
n
ne X
Po
io
z
i
s
Le Stelle Binarie
Le stelle binarie si possono classificare in base alle dimensioni delle stelle
rispetto al loro lobo di Roche
(a) binaria distaccata
(b) binaria semi-distaccata
(c) binaria a contatto
(d) binaria in super-contatto
A. Marconi
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Le Stelle Binarie
Per accennare all’evoluzione nei sistemi binari partiamo da un paradosso
apparente:
alcune binarie sono costituite da una stella massiccia di sequenza principale
ed una compagna meno massiccia ma più evoluta.
Siccome i sistemi binari dovrebbero essere costituiti da stelle della stessa
età, questa è una chiara contraddizione, almeno in apparenza.
Questa apparente contraddizione si spiega col fatto che, durante
l’evoluzione, la stella più massiccia diventa gigante, riempie il suo lobo di
Roche e perde gran parte della sua massa a vantaggio della stella meno
massiccia, come mostrato in figura.
Alla fine le binarie si riconducono sempre ad essere costituite da:
una stella gigante che riempie il suo lobo di Roche ed una compagna più
evoluta.
A seconda della compagna si hanno fenomeni diversi:
nana bianca → variabili cataclismiche, Novae, Supernovae tipo Ia
stella di neutroni o buco nero → binarie X.
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Evoluzione di un sistema binario
Esempio: stella di 5 M⊙ (B) con compagna di 1 M⊙ (A).
B evolve più rapidamente
di A (è più massiccia).
La stella A diventa una
gigante e perde ora massa
verso B che ormai è
diventata una nana bianca.
A. Marconi
B diventa una gigante
rossa, riempiendo il suo
Lobo di Roche. A riceve
massa da B.
A si accresce a spese di
B che diventa sempre
meno massiccia.
La stella A è diventata un stella massiccia
di sequenza principale con una compagna
gigante di piccola massa più evoluta
(vecchia), un’apparente contraddizione!
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I Dischi di Accrescimento
Il gas di una stella che raggiunge il punto L1 può accrescere sull’altra stella.
Visto da un sistema di riferimento inerziale, il materiale in accrescimento ha
momento angolare L con la stessa direzione di quello J del sistema.
Perciò non raggiungerà direttamente l’altra stella ma vi orbiterà attorno.
Le particelle di gas si disporranno in orbite coplanari (piano perpendicolare a
L), e formeranno un disco in rotazione circolare (disco di accrescimento).
Il disco si forma con asse di rotazione parallelo a L,
momento angolare del gas in accrescimento, a
causa della componente parallela della forza
gravitazionale.
La rotazione su orbite circolari avviene in seguito
all’interazione viscosa tra i vari elementi di gas che
portano ad una ridistribuzione dell’energia: ogni
elemento di gas si collocherà così nello stato di
energia potenziale efficace minima Eef f =
che corrisponde all’orbita circolare.
A. Marconi
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L
Fcent m
Fgrav
M
GM m
L2
+
R
2mR2
13
I Dischi di Accrescimento
In seguito all’interazione viscosa, le particelle rilasciano energia
gravitazionale e si muovono su orbite circolari con raggi progressivamente
più piccoli fino a raggiungere la superficie della stella (o l’orizzonte degli
eventi del buco nero).
Il risultato finale è che un disco di accrescimento irraggia convertendo in
radiazione parte dell’energia gravitazionale del materiale in accrescimento.
Consideriamo un elemento di massa dm nel disco di accrescimento che
passa da r+dr a r;
per il teorema del viriale la sua variazione di energia totale è
dEtot =E(r)
E(r + dr)
=Eth (r + dr)
1
Eth (r) = Egrav (r)
2
1
Egrav (r + dr)
2
dEtot < 0 ed è proprio pari all’inverso dell’energia che deve essere irraggiata.
Pertanto la luminosità è
dL =
A. Marconi
dEtot
1 GM dm
=
dt
2 r dt
1 GM dm
1
dr
' GM ṁ 2
2 (r + dr) dt
2
r
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I Dischi di Accrescimento
La luminosità totale irraggiata dal disco è perciò
L=
Z
rout
rin
1
dL = GM ṁ
2
✓
1
rout
1
+
rin
◆
1 GM ṁ
'
2 rin
per rout >> rin condizione che si verifica quasi sempre; si noti anche che, nel caso stazionario, il tasso di accrescimento deve
essere costante su tutto il disco, altrimenti si avrebbe accumulo di massa in
qualche parte del disco.
Quell’espressione non esprime altro che la conservazione dell’energia; la fonte primaria di energia è quella gravitazionale;
a parità degli altri fattori, L cresce al decrescere di rin: più compatto è
l’oggetto, maggiore è la quantità di energia gravitazionale che riesco a
estrarre.
Qualsiasi sia il processo di produzione dell’energia posso scrivere L in
funzione del tasso di massa che viene processato e dell’efficienza di
conversione di materia in energia (ε), ovvero
dm 2
L=
c = ṁc2
dt
A. Marconi
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Efficienza dell’accrescimento
Nel caso del disco di accrescimento si ha quindi
=
1 GM ṁ
2 rin
ṁc2
1 GM
=
2 c2 rin
Supponiamo che l’oggetto su cui si accresce sia una stella di neutroni con
M ' 1.4 M
rns ' 10 km
GM
ricordiamo che rns ' 2.5 rSch = 2.5 ⇥ 2 2
c
1 GM
1
GM
1
=
=
=
ovvero
GM
2
2 c rin
2 c2 2.5 2 c2
10
cioè si ha un efficienza del 10% per accrescimento su un oggetto compatto
come una stella di neutroni.
Si ricordi come l’efficienza delle reazioni di fusione nucleare è ~0.007 = 0.7%;
pertanto l’accrescimento su oggetti compatti è molto più efficiente per
produrre energia delle reazioni di fusione nucleare.
A. Marconi
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La Temperatura del disco
Abbiamo ottenuto la luminosità irraggiata localmente dal disco (ovvero
dall’anello tra r e r+dr); supponiamo che l’anello sia all’equilibrio
termodinamico ed irraggi come un corpo nero dalle facce superiore e
inferiore:
1
dr
4
dL = GM ṁ 2 = 2 ⇥ (2 rdr) ⇥ ⇥T (r)
2
r
dove T(r) è la temperatura del disco al raggio r. Pertanto
r
3/4
ovvero il disco è più caldo all’interno, e
proprio dall’interno emerge gran parte della
sua luminosità.
Lo spettro emesso dal disco sarà una
sovrapposizione di corpi neri, con il più
caldo a temperatura T(rin). Questa temperatura definisce anche il taglio
in frequenza dello spettro del disco.
A. Marconi
2
⇠⌫ e
h
kT (rin )
F(ν)
GM ṁ
8 ⇥
◆1/4
log ν
T (r) =
✓
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log ν [Hz]
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Variabili Cataclismiche
Nelle variabili cataclismiche l’oggetto compatto è una nana bianca
M ' 1M
R ' 104 km
con accrescimento tipico
ṁ ⇠ 10
9
M yr
1 GM ṁ
L'
' 4 ⇥ 1033 erg s
2 rin
1
1
' L
il disco di accrescimento è più luminoso della nana bianca!
La temperatura massima del disco è
T (rin ) =
✓
GM ṁ
8 ⇥
◆1/4
3/4
rin
⇣ r
⌘
in
4
= 5 ⇥ 10 K
109 cm
3/4
più calda della temperatura superficiale di una stella O!
Queste temperature producono emissione nell’UV
kT = h ' 4.3 eV
A. Marconi
hc
=
' 2880Å
kT
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Variabili Cataclismiche & Novae
Il nome “Variabili Cataclismiche” deriva dal fatto che l’emissione (L) non è
costate come nelle stelle ma varia molto a seguito della variazione di
ṁ
per turbolenze ed instabilità nel disco.
"Nova" = stella nuova
Una classe particolare di VC sono le Novae
caratterizzate da improvvisi aumenti di L
che durano circa 1 mese.
Ogni 104-105 yr il materiale che si accumula
sulla superficie della nana bianca raggiunge
le condizioni per l’accensione di H+H; Nova Cygni 1975
questo avviene in ambiente degenere per
cui si ha un “flash” nella produzione di
energia come nel caso delle supernovae I;
questo flash avviene sulla superficie della
stella e non la distrugge.
Tuttavia a seguito dell’accrescimento la
nana bianca può raggiungere una massa
superiore alla massa di Chandrasekar con
Dopo la diminuzione di L
conseguente esplosione di supernova di
tipo I e distruzione della stella.
A. Marconi
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Binarie X
Quando il compagno è una stella di neutroni (o un BH)
GM
M ' 1.4 M
R ' 10 km ' 2.5 ⇥ 2 2
c
9
1
con accrescimento tipico ṁ ⇠ 10 M yr
1 GM ṁ
1
2
36
L'
'
ṁc ' 5.7 ⇥ 10 erg s
2 rin
10
1
3
' 1.5 ⇥ 10 L
inoltre la temperatura massima del disco è adesso
⇣ r
⌘
in
7
T (rin ) = 10 K
10 km
3/4
per tale temperatura kT~ 1 keV ovvero si ha emissione principalmente nei
raggi X (da cui il nome Binarie X).
Cygnus X-1 è la prima binaria X scoperta negli anni ’70 da Riccardo Giacconi
(Premio Nobel nel 2005); l’oggetto compatto risulta vare una massa di circa
10 M⊙ per cui non può trattarsi di una stella di neutroni (la cui massa limite
è~3-4 M⊙); è pertanto la prima evidenza dell’esistenza di un buco nero.
A. Marconi
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Le Binarie X
Sistemi binari composti da una stella normale
e da un oggetto compatto: stella di neutroni o
buco nero.
Compagna
Disco di accrescimento
Si forma un disco di accrescimento
molto caldo attorno all’oggetto
compatto.
Sono sorgenti X brillanti e molto variabili.
Lo spettro X mostra righe di
assorbimento da un vento molto
ionizzato proveniente dal disco.
Ricostruzione di una binaria X
Il limite di Eddington
Esiste un limite al tasso di accrescimento che vale per tutti i sistemi, binarie
X a BH supermassivi inclusi.
Questo limite è dovuto al fatto che la luminosità prodotta dall’accrescimento
eserciti una “pressione di radiazione” sul materiale stesso in accrescimento.
Se la conseguente forza radiativa diviene più grande dell’attrazione
gravitazionale del buco nero, il materiale in accrescimento viene spazzato
via e l’accrescimento stesso si ferma.
Il disco di accrescimento, soprattutto nelle regioni più interne, è ionizzato,
ovvero esiste una plasma costituito prevalentemente da protoni ed elettroni
liberi (il gas è costituito prevalentemente di H).
Il materiale in accrescimento è irraggiato con un flusso di fotoni (prodotto
dal disco di accrescimento stesso) pari a
nph
L
=
4⇥r2 h
con Lν luminosità per unità di banda del disco di accrescimento.
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Il limite di Eddington
Gli elettroni liberi hanno sezione d’urto Thomson σT per interazione con la
radiazione (vedi lezione sull’opacità nelle strutture stellari), per cui il numero
di fotoni intercettati da un elettrone nell’unità di tempo sarà
dN
L ⇤T
= nph ⇤T =
dt
4⇥r2 h
Ciascun fotone ha quantità di moto p = hν/c per cui l’impulso trasmesso dai
fotoni all’elettrone è
h dN
dP⌫ =
dt
c dt
ovvero, la forza radiativa diretta lungo la direzione radiale uscente (con il BH
al centro) è
dP
h L ⇤T
L ⇤T
f =
=
=
2
dt
c 4⇥r h
4⇥r2 c
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Il limite di Eddington
Questo è il contributo dovuto ai fotoni di frequenza ν; la forza totale sull’elettrone si otterrà integrando su ν ovvero
Frad
L ⇥T
=
4 r2 c
la stessa forza repulsiva agisce ovviamente sui protoni ma è molto minore
poiché la sezione d’urto dipende da m-2, massa delle particelle.
I protoni sono soggetti alla forza gravitazionale del BH che è molto maggiore
rispetto agli elettroni.
Nel plasma ionizzato protoni ed elettroni liberi sono comunque legati
dall’attrazione elettrostatica che si oppone a separazioni di carica;
il plasma ionizzato sarà dunque soggetto ad una forza gravitazionale
attrattiva che agisce sui protoni e ad una forza radiativa repulsiva che agisce
sugli elettroni;
l’accrescimento si può avere quando la forza gravitazionale su un protone è
superiore alla forza radiativa sull’elettrone
Fgrav,p
A. Marconi
Frad,e
GMBH mp
r2
L ⇥T
4 r2 c
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Il limite di Eddington
Infine si ha
L  LEddington
4 Gmp c
4
=
MBH = 3.3 ⇥ 10 L
⇥T
✓
MBH
M
◆
ovvero la luminosità massima per accrescimento su un BH di massa solare
è ~33000 luminosità solari!
1 GM ṁ
Poichè la luminosità per accrescimento è L =
si ha:
2 rin
L
ṁ
8⇡ c mp
=
1
ṁEdd =
rin
LEdd
ṁEdd
T
⌘
⇣ r
8⇡ c mp
in
5
1
ṁEdd =
rin = 3.0 ⇥ 10 M yr
104 km
T
Per una variabile cataclismica (nana bianca):
LEdd = 3.3 ⇥ 104 L
Per una binaria X (stella neutroni):
LEdd
A. Marconi
ṁEdd
M ' 1M
= 3.0 ⇥ 10
R ' 104 km
5
M yr 1
M ' 1.4 M R ' 10 km
4
8
= 4.6 ⇥ 10 L
ṁEdd = 3.0 ⇥ 10 M yr
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Massa massima di una stella
LEdd è la luminosità limite per cui una massa sferica M che emette radiazione
è legata gravitazionalmente, per cui anche per una stella si deve avere
L?  LEdd =
4⇡Gmp c
T
4
M? = 3.3 ⇥ 10 L
✓
M?
M
◆
Ma le stelle di massa superiore alla massa solare, seguono una relazione massa
luminosità
L? = L
✓
M?
M
◆3
per cui, sostituendo nell’espressione precedente, si ottiene
✓
M?
M
◆3
 3.3 ⇥ 10
4
✓
M?
M
◆
ovvero, la massa massima di una stella è
A. Marconi
M?  182M
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