Capitolo 3

CAPITOLO 3
ELEMENTI DI TERMOFLUIDODINAMICA APPLICATA ALLE
MACCHINE
3.1) Principio di conservazione della massa.
Si consideri il sistema isolato rappresentato in fig. 3.1.
Fig. 3-1
Come si può osservare esso è delimitato dalla superficie di confine S0 (chiusa agli scambi di
materia), dalle superfici S1 e S2 (entrambe aperte agli scambi di materia) e racchiude un volume
0 contenente una massa m = d di un fluido supposto continuo.
0
Il principio di conservazione della massa asserisce che, in assenza di fenomeni relativistici, è
costante nel tempo la massa di un fluido costituito sempre dalle stesse particelle.
Tale principio, applicato al sistema di Fig. 3.1, si esprime analiticamente mediante la relazione:
d
dm d
=
d = ( d) = 0
(3.1)
dt dt 0
0 dt
dove con d/dt si è indicata la derivata totale o euleriana rispetto al tempo.
Sviluppando il differenziale del prodotto sotto il segno d'integrale e mediante passaggi non
riportati per brevità di trattazione, si ottiene l'equazione di continuità:
d + v ndS = 0
(3.2)
t 0
S1 ,S 2
dove il primo integrale a primo membro rappresenta la variazione di massa all'interno del volume
di controllo in condizioni di regime variabile, mentre il secondo integrale rappresenta il flusso
totale di materia che attraversa il sistema in condizioni di regime stazionario o permanente.
In condizioni di regime permanente il primo termine a primo membro è nullo e la (3.2) si riduce a:
(3.3)
v ndS = 0
S1 ,S 2
da cui si deduce che, in condizioni di regime stazionario, è nullo il flusso totale di materia
attraverso la superficie di contorno.
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Nell'ipotesi di flusso uniforme o monodimensionale, le grandezze che compaiono nella (3.3) sono
costanti lungo le superfici S1 e S2 e, perciò, possono essere portate fuori dal segno d'integrale.
Integrando e sviluppando i prodotti scalari ottiene:
1v1 cos1S1 + 2v 2 cos 2S2 = 0
ed esplicitando i segni relativi ai coseni:
1v1 cos 1 S1 + 2v 2 cos 2S2 = 0
dove il segno negativo del primo termine dipende dalla convenzione assunta per i versori (positivi
se diretti verso l'esterno, e quindi 1>90°). Operando la sostituzione v=vcos, si ottiene ancora:
1v1S1 = 2v 2S2 = 0
da cui:
(3.4)
1v1S1 = 2v 2S2 = vS = cost
dove v è il modulo della componente della velocità normale ad una data sezione di passaggio ed il
prodotto vS rappresenta la portata massica fluente attraverso il volume di controllo. Per fluidi
incomprimibili, caratterizzati dall'equazione di stato =cost, la (3.4) si riduce a:
vS = cos t
(3.5)
dove il prodotto vS rappresenta la portata volumetrica fluente attraverso il sistema.
Dalla (3.5) si può deduce che, per un moto stazionario di un fluido incomprimibile in condotti a
sezione variabile, si avrà un aumento (diminuzione) di velocità in corrispondenza di una
diminuzione (aumento) della sezione di passaggio. La stessa cosa non potrà essere asserita per il
moto dei fluidi comprimibili per i quali le variazioni di velocità dipenderanno anche dalle
variazioni della densità.
3.2) Principio di conservazione dell'energia.
Fig. 3.2
Facendo riferimento al sistema riportato in fig. 3.2, si può osservare che si potrà avere scambio
di energia termica con l'esterno attraverso la superficie chiusa S0, scambio di energia meccanica
attraverso la superficie mobile S3 e scambio di energia termo-fluidodinamica attraverso le
superfici aperte S1 e S2.
Per ciò che concerne le macchine di comune uso industriale, sono scambiate o trasformate le
seguenti forme d'energia:
- energia potenziale gravitazionale gz
- energia cinetica v2/2
- energia associata al trasporto di materia p/
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- energia interna u.
Dalla presente trattazione esulano, quindi, macchine o sistemi che coinvolgano forme d'energia
diverse da quelle elencate, quali ad esempio l'energia potenziale elettromagnetica o quella
associata a fenomeni relativistici che comportino una trasformazione di massa in energia.
Il principio di conservazione dell'energia per sistemi aperti stabilisce che, in assenza di fenomeni
relativistici, l'energia uscente trasportata attraverso la sezione S2 deve essere uguale alla somma
di:
- energia accumulata all'interno del sistema in caso di regimi variabili
- energia trasportata attraverso la sezione d'ingresso S1
- energia termica scambiata con l'esterno attraverso la superficie S0.
- energia meccanica scambiata con l'esterno attraverso la superficie mobile S3
Riservando le lettere maiuscole alle grandezze estensive, dipendenti cioè dalla massa, e quelle
minuscole a quelle intensive, l'equazione dell'energia può essere scritta nella forma:
v2
d (3.6)
u + + gz
d = Q˙ e + Q˙ i L˙ e
dt 0 2
dove Q˙ e , è l'energia termica scambiata dal sistema nell'unità di tempo per differenze di
temperatura con l'ambiente esterno, Q˙ i il calore generato nell'unità di tempo per effetto di
reazioni chimiche o passaggi di fase e L˙ la potenza meccanica scambiata dal sistema attraverso
e
la superficie S3. Nella relazione (3.6) si sono assunti positivi i calori entranti nel sistema e
positivi i lavori uscenti dal sistema.
Attraverso passaggi non riportati per brevità di trattazione si giunge a:
v2 p
v2
(3.7)
u + + gzd + u + + + gz v ndS = Q˙ e + Q˙ i L˙ e
t 0 2
2 S1 ,S 2 v2
Introducendo le definizioni di energia interna totale ut = u + + gz = ur + gz e di entalpia
2
v2
totale ht = h + + gz = hr + gz e non considerando eventuali reazioni chimiche o passaggi di
2
fase, la (3.7) può essere scritta nella forma:
ut d + ht v ndS = Q˙ e L˙ e
(3.8)
t 0
S1 ,S 2
Nelle relazioni precedenti con ur e hr si sono indicate le grandezze di ristagno, somma delle
grandezze statiche e di quelle cinematiche; nel caso in cui sia trascurabile la forza peso, com'è
nelle macchine per fluidi comprimibili, le grandezze totali e quelle di ristagno praticamente
coincidono.
Nelle relazioni sopra scritte i contributi dovuti all'attrito alle pareti e agli effetti viscosi non sono
esplicitati ma sono contenuti nella variazione (degradazione) di energia interna. Il 1° termine a
1° membro della (3.8) rappresenta l'accumulo d'energia interna totale nel volume di controllo in
condizioni di regime variabile mentre il 2° termine rappresenta il flusso d'entalpia totale
attraverso il sistema in condizioni di regime permanente.
Nell'ipotesi di moto uniforme sulle superfici S1 e S2 dalla (3.8), si ottiene:
ut d + 1v1 cos1S1ht1 + 2v 2 cos 2S2ht2 = Q˙ e L˙ e
t 0
da cui, per l'equazione di continuità (3.4) ed esplicitando i segni relativi ai coseni, si deduce:
1 u d + ht2 ht1 = qe le
m˙ t 0 t
(3.9)
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dove con m˙ = vS cos si è indicata la portata massica fluente attraverso il sistema e con
qe = Q˙ e m˙ e le = L˙ e m˙ rispettivamente l'energia termica e il lavoro meccanico scambiati con
l'esterno per unità di massa.
Prima di esaminare particolari applicazioni della (3.9), vogliamo osservare che l'ipotesi adottata
di flusso monodimensionale sulle sezioni di passaggio S1 e S2 non è applicabile a tutte le
macchine o a tutte le sezioni di passaggio all'interno della macchina ma deve essere valutata caso
per caso. In generale, sarà accettabile per flussi turbolenti per i quali, in zone non prossime alle
pareti, la variazione della velocità e delle grandezze termodinamiche lungo la sezione di
passaggio è contenuta entro lo 1%; non lo sarà, invece, nei casi in cui si hanno forti gradienti di
velocità come avviene ad esempio nei regimi laminari o nei moti all'interno dello strato limite. In
questi casi, l'integrazione della (3.8) sarà possibile solo conoscendo la legge di variazione della
velocità e delle grandezze termodinamiche lungo le sezioni di passaggio.
Per un sistema chiuso in cui non si abbia scambio di materia con l'esterno, la (3.8) si riduce a:
u d = Q˙ e L˙ e
t 0 t
Supponendo inoltre che, istante per istante, il sistema sia mediamente in equilibrio (velocità
medie nulle e grandezze termodinamiche dipendenti solo dal tempo) e trascurando le variazioni
di quota del volume di controllo 0, si potrà ancora scrivere:
ud = Q˙ e L˙ e
t 0
Tenendo presente, inoltre, che è Q˙ e =
relativistici m =
d = cost , si ottiene:
( mqe )
( mle )
, L˙ e =
e che, in assenza di fenomeni
dt
dt
(qe )
( le )
d
u=m
m
dt
dt
dt
ud
dove si è introdotta l'energia interna media u =
d
m
(3.10)
Dalla (3.10) si ottiene ancora la (2.2):
du = qe le
Per sistemi aperti in regime stazionario sarà
u d = 0 e, quindi, dalla (3.9):
t t
ht2 ht1 = qe le
(3.11)
Nel caso di regimi variabili ma periodici, come in genere è per le macchine, la (3.11) potrà
ancora essere utilizzata per il calcolo dei lavori e calori medi scambiati sostituendo alle
grandezze istantanee le corrispondenti medie nel periodo, mentre per un'analisi puntuale delle
fasi di una macchina in cui si abbia contemporaneo trasporto e accumulo di massa e d'energia
sarà necessario applicare in modo completo la (3.8).
3.3) Principio di conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto.
L'equazione dell'impulso o della conservazione della quantità di moto permette di descrivere le
interazioni tra una massa di fluido in moto e le pareti, siano esse fisse o mobili, materiali o
immaginarie, che la delimitano, indipendentemente dalle trasformazioni termodinamiche, chimiche
o fisiche eventualmente subite dal fluido. Per la relativa semplicità della sua formulazione è di
grande utilità per l'analisi delle turbomacchine.
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Si definisce quantità di moto di una
di fluido m che attraversi con velocità v un generico
massa
volume di controllo 0 il vettore Q = mv = v d .
0
L'equazione dell'impulso stabilisce che la variazione della quantità di moto nell'intervallo di tempo
di un sistema materiale di massa m è uguale alla somma degli impulsi di tutte le forze ad esso
applicate:
Q = I = i Fi dt
In un intervallo di tempo infinitesimo:
dQ = i Fi dt
dQ
F=
da cui
(3.12)
dt
dove con F si è indicata la risultante delle forze agenti sulla massa m.
Osserviamo che, essendo per il principio di conservazione della massa dm/dt=0, la (3.12) è
deducibile dall'equazione fondamentale della dinamica: dv d
dQ d
F = ma = m
= ( mv ) =
=
v d
dt dt
dt dt 0
Fig. 3-3
Con riferimento alla fig. 3.3 e sviluppando la (3.12) si perviene, attraverso passaggi che non
riportiamo per i limiti della trattazione, a:
(3.13)
F = v d + v (v n ) dS pndS t dS + gd
t 0
S1 ,S 2
S1 ,S 2
S1 ,S 2
0
dove:
- e p sono i moduli
delle risultanti degli sforzi tangenziali e normali agenti sulla superficie dS
con versori t e n (il segno "-" di p e sta a indicare che pressione e sforzo tangenziale
sono
diretti in senso contrario a quelli assunti come positivi per i versori n e t (la pressione
contrasta la dilatazione del sistema e gli sforzi viscosi si oppongono al moto).
- Fs = t dS pndS è la risultante delle forze agenti sulle superfici bagnate dal fluido
S0
-
il termine
S0
pndS rappresenta la spinta che la superficie di contorno esercita sul fluido
S0
contenuto nel volume di controllo e che, per il principio d'azione e reazione, è uguale e
contraria alla spinta esercitata dal fluido sulla superficie di contorno stessa (ad es. le pareti di
un condotto).
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-
il 1° termine a 2° membro rappresenta l'effetto delle inerzie del sistema alle variazioni locali
nel tempo di densità e velocità ed è nullo per regimi permanenti
- il 2° termine a 2° membro denota il flusso della quantità di moto del fluido attraverso il
volume di controllo
- l'ultimo termine a 2° membro rappresenta il peso della massa contenuta nel volume di
controllo 0 (in genere trascurabile nel campo d'applicazione delle macchine)
Nei casi più generali la soluzione della (3.13) è possibile solo con avanzati mezzi di calcolo, è
però possibile in numerosi casi pratici, e quando interessino soprattutto le azioni globali
esercitate da un fluido su particolari superfici di contorno, semplificare notevolmente il
problema.
Nelle ipotesi di regime stazionario e di assenza di effetti viscosi, valide con buona
approssimazione per le macchine operanti con aria o acqua, e trascurando le forze di volume, la
(3.13) si riduce a:
(3.14)
F = v (v n ) dS pndS
S1 ,S 2
S1 ,S 2
Nell'ulteriore ipotesi di flusso monodimensionale,
dalla (3.14) si ottiene:
(3.15)
F = m˙ (v1 v 2 ) + p1S1n1 p2 S2 n 2
dove con v1 e v 2 si sono indicate le componenti delle velocità normali a S1 e S2.
Dalla (3.13) si può ottenere l'equazione del momento della quantità di moto:
M = r v d + r v (v n ) dS r pndS r t dS + r gd (3.16)
t 0
S1 ,S 2
S1 ,S 2
S1 ,S 2
0
dove M s = r t dS r pndS rappresenta il momento della risultante Fs delle forze agenti
S0
S0
sulla superficie che delimita il volume di controllo rispetto a un punto (o a un asse) distante r
dalla risultante.
Nelle stesse ipotesi sotto cui siè dedotta la (3.14), la (3.16) si riduce a:
(3.17)
M = r v (v n ) dS r pndS
S1 ,S 2
S1 ,S 2
Come applicazione della (3.15), calcoliamo la spinta esercitata da un getto d'acqua avente
velocità v1 sulla pala di una turbina Pelton di cui sia assegnato l'angolo d'uscita 2 (Fig. 3.4).
Fig. 3.4
Essendo il getto libero e a contatto con l'atmosfera, sarà p1 = p2 = pat e, in assenza di effetti
viscosi, v2 = v1; per ragioni di simmetria, sarà inoltre: Fy = 0 e S2 = S1/2. Tenendo conto dei
segni, si otterrà:
F = Fx = m˙ (v1 + v 2 cos 2 ) = v12S1 (1+ cos 2 )
Ovviamente, le velocità da prendere in considerazione saranno le velocità assolute o quelle
relative a seconda che la pala sia ferma o in movimento.
A titolo d'esempio d'applicazione della (3.17) consideriamo la girante di una pompa centrifuga
schematicamente rappresentata in fig. (3.5).
20
Fig. 3.5
Essendo le superfici d'ingresso (S1 = D1b1) e d'uscita (S2 = D2b2) circonferenziali, le componenti
degli sforzi e delle velocità normali alle sezioni di passaggio (p e vr) avranno direzione radiale e
sarà perciò nullo il loro momento rispetto all'asse di rotazione. Nell'ipotesi di regime uniforme,
sforzi e velocità saranno uniformemente distribuiti lungo sezioni d'ingresso e d'uscita e,
supponendo un flusso ideale non viscoso, sarà nullo lo sforzo tangenziale . Supponendo, inoltre,
un regime stazionario e trascurando
di volume, la (3.17) si riduce a:
le forze
C = M = r v t (v t n ) dS = m˙ v 2t r2 m˙ v1t r1
S1 ,S 2
dove con C si è indicata la coppia agente sulla girante uguale e contraria a quella esercitata sul
fluido.
La potenza fornita alla girante o al fluido sarà data:
P = C = m˙ v 2t r2 m˙ v1t r1 = m˙ (v 2t r2 v1t r1 )
dove con si è indicata la velocità angolare di rotazione della girante. Tenendo presente che la
velocità tangenziale o periferica della girante è pari a u = r, si ottiene:
P = m˙ ( u2v 2t u1v1t )
le = u2v 2t u1v1t
da cui:
dove le = P m˙ si è indicato il lavoro scambiato con l'esterno per unità di massa.
L'ultima delle relazioni ottenute, fondamentale nello studio delle turbomacchine, sarà dedotta più
avanti per altra via.