Lezione 7
Dinamica del punto
Argomenti della lezione
Forze conservative / Energia potenziale
Conservazione dell energia meccanica
Momento angolare / Momento di una forza
Cenni sui moti relativi
Forze conservative
Ricordiamo dalla scorsa volta
Lavoro Forza Peso
Lavoro Forza Elastica
LA→B = −( mgy B − mgy A )
LA→B = −(E p, B − E p, A ) = −ΔE p
LA→ B
1 2 1 2
= − kxB − kx A
2
2
LA→B = −(E p, B − E p, A ) = −ΔE p
B
Lavoro Forza attrito
LA→ B = − µ d N ∫ ds
A
E p = mgy
Energia potenziale della forza peso
1 2
E p = kx
2
Energia potenziale elastica
Forze conservative
Osservazioni
Nel primo e secondo caso (forza peso ed elastica) il lavoro
dipende solo dalle coordinate delle posizioni dei punti A e B, nel
terzo caso (forza d attrito) il lavoro dipende dalla traiettoria del
punto materiale.
Nel primo caso si parla di forze conservative
B
I
II
B
B
B
A
A
A
LA→ B = ∫ (Fds )I = ∫ (Fds )II = ∫ Fds
A
N.B. E così possibile scegliere il percorso più
comodo
Forze conservative
Nel caso di forze conservative
B
I
B
B
B
A
A
A
LA→ B = ∫ (Fds )I = ∫ (Fds )II = ∫ Fds
II
A
B
−I
E se inverto il senso di percorrenza??
B
A
A
B
∫ Fds = − ∫ Fds
A
Forze conservative
B
I
Nel caso di un percorso chiuso ABA
lungo I e II
II
A
B
B
B
B
A
A
A
A
∫ (Fds )I + ∫ (Fds )− II = ∫ (Fds )I − ∫ (Fds )II = 0
Lungo un qualsiasi percorso
chiuso il lavoro è nullo
∫ Fds
Energia potenziale
LA→B = −(E p, B − E p, A ) = −ΔE p
Non esiste una formulazione generale dell espressione
dell energia potenziale, ma dipende dalla forza a cui si riferisce
L energia potenziale viene definita a meno di una costante.
Esempio.
z
z'
E p = mgz
E ' p = mgz ' = mg (z + z0 )
z0
O
O'
E ' p = E p + mgz0 = E p + cost
Forze non conservative
Tutte le forze che non soddisfano tutto ciò che abbiamo visto
finora sono chiamate non conservative.
Per esse comunque continua a valere il teorema dell energia
cinetica.
B
L A→ B
1 2 1 2
= mvdv = mv B − mv A = E k , B − E k , A = ΔE k
2
2
∫
A
All interno delle forze di tipo non conservativo una particolare
classe è costituita dalle forze di attrito, dette anche forze
dissipative.
Conservazione dell energia meccanica
Riassumendo abbiamo visto che, nel caso siano presenti solo
forze conservative:
L A→ B = Ek , B − Ek , A = ΔEk
LA→B = −(E p, B − E p, A ) = −ΔE p
LA→B = Ek , B − Ek , A = E p, A − E p, B
Ek , A + E p, A = Ek , B + E p, B
Principio di conservazione dell energia meccanica:
Em = Ek + E p = cost
Conservazione dell energia meccanica
Nel caso siano presenti anche forze conservative:
L A→ B = Lc + Lnc = Ek , B − Ek , A
Lc = −( E p, B − E p, A ) = −ΔE p
LA→B = E p, A − E p, B + Lnc = Ek , B − Ek , A
(
) (
Lnc = Ek , B + E p, B − Ek , A + E p, A
E in definitiva:
Lnc = Em, B − Em, A
)
Lavoro nel caso generale
Se sono attive sia forze conservative che non
conservative, il lavoro e`
L = Lc + Lnc
Applicando il teorema dell’energia cinetica
(sempre valido)
L = KB ! KA
Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di
energia potenziale Lc = !U B +U A
Otteniamo per il lavoro non conservativo
Lnc = EB ! E A
Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia
meccanica non si conserva e la sua variazione e`
uguale al lavoro di tali forze
10
Momento angolare
Si definisce momento angolare la seguente grandezza:
L = r × p = r × mv
L
v
L = rp sin ϑ
E una grandezza vettoriale,
per definirne il verso:
c
c = a×b
r
b
a
Regola mano sx b direzione indice, a
direzione medio, pollice vettore
risultante
Momento angolare
E` il momento del vettore quantita`
di moto del punto materiale:
p
E` una grandezza vettoriale
PM
perpendicolare sia a r che a p
2
−1
Dimensioni fisiche: [L] = L[ p] = L T M
O
r
2
(
)
u
L
=
kg
⋅
m
/ s = N ⋅m⋅ s
Unita` di misura:
12
Cambiamento di polo
Cambiando polo il momento angolare diviene
'
LQ = r × p = (r − rQ )× p = r × p − rQ × p = LO − rQ × p
Il valore del momento dipende dunque dal polo
scelto
p
r
O
r’
rQ
Q
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Momento della forza
Si definisce momento della forza la seguente grandezza:
M = r×F
M
M = rF sin ϑ
E una grandezza vettoriale,
per definirne il verso:
r
F
c
c = a×b
b
a
Regola mano sx b direzione indice, a
direzione medio, pollice vettore
risultante
Cenni sui moti relativi
z'
P ≡ P'
Supponiamo di avere a disposizione
due sistemi di riferimento cartesiani
Oxy e O x y e vediamo come
descrivere posizione, velocità e
accelerazione di un punto materiale
P.
z
r'
r
O'
y'
O
x'
y
x
OO'
Posizione di O rispetto al sistema Oxy
r
Posizione di P rispetto al sistema Oxy
r'
Posizione di P (P ) rispetto al sistema Ox y
Sistemi di riferimento inerziali
Il cambiamento più frequente è quello che
porta da un sistema inerziale ad un
sistema in moto rettilineo uniforme
rispetto ad esso
Vedremo tra breve che anche il nuovo
sistema è inerziale
Solitamente gli assi del secondo sistema
si scelgono paralleli agli assi
corrispondenti del primo
16
Cenni sui moti relativi
z'
P ≡ P'
Supponiamo ora che i due sistemi di
riferimento possano solo
TRASLARE fra di loro, quindi i
versori non variano nel tempo.
z
r'
r
O'
y'
O
x'
x
y
!!!!"
r = OO' + r'
dr d OO ' dr '
v=
=
+
=
dt
dt
dt
= v OO ' + v '
dv dv OO' dv'
a=
=
+
= a OO' + a'
dt
dt
dt
Cenni sui moti relativi
z'
P ≡ P'
v OO' ≠ cost
z
r'
r
O'
y'
O
x'
x
F' = ma' = m ( a ! a OO' ) = F ! ma OO'
Finer = maOO'
y
Forza inerziale o
fittizia
L osservatore su O osserverà una forza differente,
addirittura nel caso in cui per O
Si avrà per O
Imp
F=0
F'≠ 0
Un sistema di riferimento viene detto inerziale se per esso vale il principio di
inerzia
Trasformazioni più generali
'
In linea di principio una qualunque x = f (x, y, z , t )
trasformazione di coordinate del y ' = g (x, y, z , t )
tipo
z ' = h(x, y, z , t )
non può cambiare la fisica di un
fenomeno, ma solo la descrizione
che ne facciamo
In pratica però esistono
trasformazioni (cioè sistemi) per cui
la descrizione del fenomeno è
molto più semplice che per altre
Sono questi, come già detto, i
sistemi inerziali
Sistema di riferimento solidale con la terra
A volte è però conveniente considerare
trasformazioni, un po più generali, in sistemi
accelerati rispetto ad un sistema inerziale
L accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio
non rettilineo uniforme e a moto di rotazione
È questo, in particolare, il caso importantissimo del
sistema di riferimento solidale con la terra, la quale
ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto
curvilineo di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un
sistema inerziale
Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni
atmosferici su larga scala
Cenni sui moti relativi
z'
P ≡ P'
In definitiva avremo
z
!!!!"
!r = OO' + r'
#
" v = v OO' + v'
#a = a + a'
OO'
$
r'
r
O'
y'
O
x'
y
x
Osserviamo che se
v OO' ≠ cost
Per cui un osservatore su O vedrà
avremo
F = ma
aOO'
a' = a − aOO'
mentre su O vedrà
F' = ma' = m(a − a OO' ) = F − maOO'
Cenni sui moti relativi
y'
y
r'
r
O
Traslazione
P ≡ P'
v OO '
O'
x'
Rotazione
x
ω
Se i versori variano nel tempo
v = vOO' + v'+ω × r'
vt = v − v' = vOO' + ω × r'
se
ω = 0 ⇒ vt = vOO'
se
vOO' = 0 ⇒ vt = ω × r'
Cenni sui moti relativi
E per l accelerazione??
a = a'+aOO '
dω
+ ω × (ω × r ') +
× r '+2ω × v'
dt
at
ac
Per ciò che riguarda le forze??
F = ma
a = a'+a t + a c
F − mat − mac = ma
Cenni sui moti relativi
Moto della terra
g 0 = g + ω × (ω × R') + 2ω × v'
Accelerazione di gravità
per un Sistema Inerziale
Velocità di un oggetto rispetto
al sistema terrestre
Accelerazione di gravità
rispetto a un sistema terrestre
g = g 0 − ω × (ω × R') − 2ω × v'
Forza centrifuga
Forza di Coriolis
Suggerimento: sistema in moto rotatorio uniforme
Consideriamo un sistema S con asse
z coincidente con l asse z del
sistema S, in rotazione (rispetto a S)
con velocità angolare ω attorno a z
z
dr
Le equazioni di trasformazione sono
'
dr = dr − dφ × r
Spostamento del corpo in S’=
Spostamento del corpo in S –
Spost. dovuto alla rotazione di S’
(rispetto a S)
z
r(t)
O
x
O
x
dr
r(t+dt)
y
y
z
z
dr
r(t)
O
x
dr
r (t+dt)
r(t+dt)
r (t)
O
y
x
y
Sistema in moto rotatorio uniforme
• E per la velocità e l accelerazione
'
' dr dr dφ
v =
=
−
× r = v −ω × r
dt dt dt
'
' dv dv dr
a =
=
−ω × = a −ω ×v
dt
dt
dt
Sistema in moto rotatorio uniforme
Un caso particolare di questa trasformazione si ha per
un sistema S solidale con un corpo che ruota in S
(trattenuto p.e. da una fune) di moto circolare uniforme
attorno a z
In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in
S e, di conseguenza, anche accelerazione nulla
In tal caso le eqq. diventano
'
0 ≡ v = v −ω × r
'
0 ≡ a = a −ω ×v
Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme
