2012/2 - galileivr.it

Sessione ordinaria 12_2
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M. Vincoli
Per capacità si intende un conduttore, o un sistema di conduttori, in grado di accumulare carica
elettrica. Considerando ad esempio un sistema di due conduttori e spostando una carica Q da uno
all’altro, tra i due si determina una d.d.p. V (poiché ogni conduttore è una superficie
equipotenziale, la d.d.p. tra di essi non dipende dai punti scelti).
Il rapporto tra la carica spostata (in valore assoluto) e la differenza di potenziale che viene a
prodursi tra i due conduttori, o armature
C
Q
V
individua la capacità del condensatore, grandezza che dipende solo dalla geometria (dimensioni e
forma) del conduttore e dal dielettrico interposto, ma è indipendente dalla carica (essendo V
proporzionale a Q).
Nel caso di un condensatore piano, avente armature piane e parallele, di superficie S distanti d,
nell’ipotesi che d 2
S , condizione che permette d approssimare il campo come uniforme
all’interno e nullo all’esterno del condensatore, si ha, con l’usuale significato dei simboli:
C
Q
Q
S
S



V Ed  d
d

valore cui si riconducono altre geometrie nel limite di piccole distanze tra le armature.
Il processo di carica e scarica può essere esaminato mediante
il circuito riportato nella figura a lato.
R
In fase di carica (interruttore in posizione 1), l’equazione del
C
circuito è:
V0 
q
 Ri
C
(1)
V0
con
i
1
dq
e q  t  0  0
dt
2
(2)
Dal momento che il testo propone di descrivere le relazioni matematiche relative al circuito,
riportiamo per completezza la soluzione delle equazioni, pur rilevando che la loro deduzione esula
dagli ordinari programmi scolastici.
Combinando la (1) e la (2) si ottiene:
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V0 
q
dq
R
C
dt
(3)
da cui, separando le variabili e integrando:
q
t
dq
dt
0 CV0  q  0 RC
(4)
t
t






RC
RC
q  CV0 1  e
  qMAX 1  e





(5)
t



V  V0 1  e RC 


(6)
e infine:
o, per gli sviluppi seguenti,
dove RC  
è la costante di tempo del circuito;
l’andamento del potenziale è riportato nella figura a lato.
In fase di scarica (interruttore in posizione 2) l’equazione
del circuito diventa:

q
dq
R
C
dt
(7)
dalla quale, con passaggi analoghi ai precedenti, si ottiene
q  CV0 e

t
RC
 qMAX e

t
RC
(8)
o, equivalentemente,
V  V0 e

t
RC
(9)
il cui andamento è riportato nella figura successiva.
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Per quanto concerne l’energia, in fase di carica si ha:
Q
Q
q
Q2 1
1
dq 
 CV 2  QV
C
2C 2
2
0
U condensatore   V  q  dq  
0
(10)
Se si carica completamente il condensatore, portandolo al potenziale del generatore V0,
quest’ultimo eroga l’energia
U gen  Q V0
(11)
per cui il 50% dell’energia erogata dal generatore viene dissipata per effetto Joule sulla resistenza.
In fase di scarica, tutta l’energia del condensatore viene dissipata sulla resistenza; per calcolarne il
valore, è sufficiente determinare la variazione di energia del condensatore:
U diss  U  0  U  t 
(12)
PROBLEMA
L’uso delle cifre significative è, come in altre prove di esame, imbarazzante: la prima richiesta
prevede infatti 3 cifre significative, mentre resistenze e condensatori sono fornite con una o due
cifre significative. Scegliamo di assumere 3 cifre significative anche nei dati, ovvero come se
avessimo, ad esempio, R1 = 3,00 .
La capacità risultante del sistema di tre condensatori (C3 in serie con il parallelo di C1 e C2) è:
1
 1
1 
C 
   6, 00  F
 C1  C2 C3 
dall’eq. (9), indicando con R la resistenza equivalente del sistema, segue (T = 18,0 s):
V  0,368 V0  V0 e

T
RC
da cui,
R
T
 3,00 M 
C ln 0,368
La resistenza risultante (R2 in serie con il parallelo di R1 e RX) è:
1
 1
1 
R 
  R2
 R1 RX 
da cui
1
 1
1 
RX  
   6, 00 M 
 R  R2 R1 
L’energia complessivamente dissipata dal sistema di resistenze segue dalla (12):
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U diss  U  0   U  t   C V02  V 2   CV02 1  0,3682   2,59 104 J
2
2
Indicata con i  i2 la corrente nel circuito in fase di scarica, essendo RX  2 R1 si ha
immediatamente
i1 
2
1
i e iX  i
3
3
da cui segue, per la potenza istantanea dissipata, con l’usuale significato dei simboli:
WX
RX iX2

WTOT
R i2
2
R i 
1 RX
 WX  X  X  WTOT 
WTOT
R  i 
9R
e, passando all’energia:
UX 
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UTOT  5, 76 105 J
9R
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