GEOMETRIA I I
Giovanni Sparano- Annamaria Miranda
Programma del corso tenuto nell'a.a. 2009/2010.
1. Forme bilineari
Matrice rappresentativa. Rango. Forme bilineari non degeneri. Forme bilineari simmetriche.
Ortogonalità di vettori, Ortogonalità totale di sottospazi. Vettori isotropi. Basi ortogonali. Forma
canonica di una forma bilineare, teorema di Sylvester.
2. Spazi vettoriali euclidei
Prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei. Lo spazio vettoriale euclideo numerico. Disuguaglianza di
Schwarz. Norma di un vettore. Disuguaglianza triangolare. Versori. Ortogonalità. Angolo tra vettori.
Riferimenti ortogonali e ortonormali. Matrice rappresentativa di un prodotto scalare. Esistenza di
riferimenti ortonormali. Matrici ortogonali. Matrici del cambiamento di riferimenti ortonormali.
Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Applicazioni
ortogonali. Prodotti hermitiani.
3. Diagonalizzazione di endomorfismi reali e complessi
Autovalori, autovettori, autospazi e loro proprietà. Determinazione degli autovalori, polinomio
caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica. Teoremi di diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità
ortogonale. Operatori simmetrici. Teorema spettrale.
4. Spazi affini
Definizione di spazio affine. La retta, il piano, lo spazio ordinari. Gli spazi affini numerici.
Riferimenti affini. Sottospazi affini. Dimensione. Giacitura. Traslato di un punto. Definizione di
sottospazio affine mediante i traslati. Sottospazio affine generato da un numero finito di punti. Punti
indipendenti. Condizione di allineamento. Condizione di complanarità. Indipendenza di L(P,W) dal
punto P. Restrizione di una struttura affine. Rappresentazioni di sottospazi affini. Rappresentazioni
parametriche. Teorema sulla rappresentazione cartesiana. Parametri direttori. Parallelismo.
Sottospazi incidenti. Generalizzazione del V postulato di Euclide. Sottospazi sghembi. Intersezioni
di sottospazi. Dimensione dell'intersezione. Sottospazi affini con giaciture supplementari.
Proiezione parallela.
Geometria in un piano affine: rette, Teorema sulle posizioni reciproche tra due rette, fasci di rette.
Geometria in uno spazio affine tridimensionale: rette e piani; Teoremi sulle posizioni reciproche tra
piani, tra rette e piani, tra rette; rette complanari, Teorema sulle rette complanari, condizione di
complanarità; fasci di piani.
Spazi (affini) euclidei. Definizione di spazio euclideo. Riferimenti cartesiani. Distanza euclidea tra
due punti. Definizione di spazio metrico. Esempi. Versori. Angolo tra due rette. Perpendicolarità.
Geometria in un piano euclideo: versori di una retta, versori normali, angolo tra due rette,
perpendicolarità tra rette, distanza di un punto da una retta.
Geometria in uno spazio euclideo tridimensionale: versori normali ad un piano, angolo tra due
piani, ortogonalità, distanza di un punto da un piano; angolo tra una retta e un piano, ortogonalità,
distanza di una retta da un piano; angolo tra due rette, perpendicolarità, distanza di un punto da una
retta; rette sghembe, perpendicolare comune a due rette sghembe, verifica dell'unicità della
perpendicolare comune, distanza tra due rette sghembe.
Testi consigliati
R. ESPOSITO, A. RUSSO, Lezioni di geometria parte prima, Liguori.
E. SERNESI, Geometria 1, Bollati Boringhieri.
S. LANG, Algebra lineare, Bollati Boringhieri.
S. LIPSCHUTZ, Algebra lineare McGraw-Hill.
