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Sommario
PRESENTAZIONE DELL’EDIZIONE ITALIANA
PREFAZIONE
xi
xiii
1
ANALISI COMBINATORIA
1.1 Introduzione
1.2 Il principio fondamentale del calcolo combinatorio
1.3 Permutazioni
1.4 Combinazioni
1.5 Coefficienti multinomiali
1.6 Il numero di soluzioni intere di una equazione
Riassunto
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
1
1
1
3
5
9
11
14
15
17
21
2
ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ
2.1 Introduzione
2.2 Spazio campionario ed eventi
2.3 Assiomi della probabilità
2.4 Alcune semplici proprietà
2.5 Spazi campionari con esiti equiprobabili
2.6 La probabilità come funzione di insieme continua
2.7 La probabilità come una misura della fiducia
Riassunto
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
23
23
23
27
30
34
45
49
50
51
57
60
3
PROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA
3.1 Introduzione
3.2 Probabilità condizionata
3.3 La formula di Bayes
3.4 Eventi indipendenti
3.5 P1⋅ F2 è una probabilità
Riassunto
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
63
63
63
68
81
93
100
101
112
115
4
VARIABILI ALEATORIE
4.1 Variabili aleatorie
4.2 Variabili aleatorie discrete
4.3 Valore atteso
4.4 Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria
119
119
124
126
130
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Pagina viii
Sommario
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Varianza
Le variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali
4.6.1
Proprietà delle variabili aleatorie binomiali
4.6.2
Calcolo della funzione di distribuzione
di una variabile binomiale
La variabile aleatoria di Poisson
4.7.1
Calcolo della funzione di distribuzione
di una variabile di Poisson
Ulteriori distribuzioni di probabilità discrete
4.8.1
La variabile aleatoria geometrica
4.8.2
La variabile aleatoria binomiale negativa
4.8.3
La variabile aleatoria ipergeometrica
4.8.4
La distribuzione Zeta (o Zipf)
Proprietà delle funzioni di distribuzione
Riassunto
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
134
136
141
144
145
153
154
154
156
158
162
162
165
167
176
180
5
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
5.1 Introduzione
5.2 Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria continua
5.3 La variabile aleatoria uniforme
5.4 Variabili aleatorie normali
5.4.1
L’approssimazione normale della distribuzione binomiale
5.5 Variabili aleatorie esponenziali
5.5.1
Funzioni di rischio
5.6 Altre distribuzioni continue
5.6.1
La distribuzione Gamma
5.6.2
La distribuzione di Weibull
5.6.3
La distribuzione di Cauchy
5.6.4
La distribuzione Beta
5.7 La distribuzione di una funzione di variabile aleatoria
Riassunto
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
183
183
186
191
194
201
204
209
212
212
214
214
214
216
219
221
225
228
6
LEGGI CONGIUNTE DI VARIABILI ALEATORIE
6.1 Funzioni di distribuzione congiunte
6.2 Variabili aleatorie indipendenti
6.3 Somme di variabili aleatorie indipendenti
6.4 Distribuzioni condizionate: il caso discreto
6.5 Distribuzioni condizionate: il caso continuo
6.6 Statistiche ordinate
6.7 Distribuzioni congiunte di funzioni di variabili aleatorie
6.8 Variabili aleatorie scambiabili
Riassunto
233
233
241
254
262
263
266
270
278
281
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Sommario
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
7
PROPRIETÀ DEL VALORE ATTESO
7.1 Introduzione
7.2 Valore atteso di somme di variabili aleatorie
7.2.1
Ottenere delle stime dal valore atteso
con il metodo probabilistico
7.2.2
L’identità dei massimi e minimi
7.3 Covarianza, varianza di una somma e correlazioni
7.4 Valore atteso condizionato
7.4.1
Definizioni
7.4.2
Calcolo dei valori attesi con il condizionamento
7.4.3
Calcolo delle probabilità con il condizionamento
7.4.4
Varianza condizionata
7.5 Valore atteso condizionato e predizione
7.6 Funzioni generatrici dei momenti
7.6.1
Funzioni generatrici dei momenti congiunti
7.7 Ulteriori proprietà delle variabili aleatorie normali
7.7.1
La distribuzione normale multivariata
7.7.2
La distribuzione congiunta della media campionaria
e della varianza campionaria
7.8 Definizione generale di valore atteso
Riassunto
Esercizi
Esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
ix
282
288
292
297
297
298
314
316
320
332
332
334
341
345
347
352
361
363
363
364
366
367
369
379
386
8
TEOREMI LIMITE
391
8.1 Introduzione
391
8.2 La disuguaglianza di Chebyshev e la legge debole dei grandi numeri 391
8.3 Il teorema del limite centrale
394
8.4 La legge forte dei grandi numeri
402
8.5 Ulteriori disuguaglianze
405
8.6 Limiti alla probabilità di errore quando si approssima la somma
di variabili aleatorie bernoulliane indipendenti con una variabile
di Poisson
413
Riassunto
415
Esercizi
416
Esercizi teorici
418
Esercizi di autovalutazione
420
9
ULTERIORI ARGOMENTI DI PROBABILITÀ
9.1 Il processo di Poisson
9.2 Catene di Markov
9.3 Sorpresa, incertezza ed entropia
423
423
426
430
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Sommario
9.4
Teoria dei codici ed entropia
Riassunto
Esercizi ed esercizi teorici
Esercizi di autovalutazione
Bibliografia
435
441
442
444
444
10 SIMULAZIONE
10.1 Introduzione
10.2 Tecniche generali per generare variabili aleatorie continue
10.2.1 Il metodo della trasformazione inversa
10.2.2 Il metodo del rigetto
10.3 Simulazione di distribuzioni discrete
10.4 Tecniche di riduzione della varianza
10.4.1 Utilizzo delle variabili antitetiche
10.4.2 Riduzione della varianza grazie al condizionamento
10.4.3 Variabili di controllo
Riassunto
Esercizi
Esercizi di autovalutazione
Bibliografia
445
445
448
448
449
454
457
457
458
460
460
461
463
464
A
RISPOSTE AGLI ESERCIZI SELEZIONATI
465
B
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DI AUTOVALUTAZIONE
467
INDICE ANALITICO
509
