TESINA DI ELETTRODINAMICA CLASSICA
Calcolo dell’estensione della zona di svuotamento di una
giunzione p-n a semiconduttore
Prof. Salvatore Solimeno
Prof. Roberto Pettorino
studente Renato Del Regno
matricola n° N94000105
Un cristallo ideale di silicio è costituito dalla ripetizione spaziale di una stessa cella
elementare, vale a dire un atomo quadrivalente di silicio che si posiziona tra altri
quattro atomi identici condividendo con ciascuno di essi un elettrone.
Un risultato fondamentale della meccanica quantistica afferma che quando si
costituisce un sistema formato da due atomi identici (ad esempio una molecola
biatomica), per ogni livello energetico dell'atomo isolato si vengono a creare due
livelli del sistema complessivo le cui energie sono prossime a quelle del livello
dell'atomo isolato: la separazione fra le energie dei due livelli cresce con il diminuire
della distanza fra i due atomi.
È facile intuire dunque cosa succede in un sistema a più atomi, quale un cristallo di
silicio perfettamente regolare e privo di impurità: gli elettroni che ruotano nelle prime
orbite hanno dei livelli energetici tutti differenti, anche se di poco, l’uno dall’altro.
Essi sono talmente numerosi da formare non più dei livelli, bensì una banda di
energia. Allo stesso modo, tutti gli elettroni della seconda orbita formano una
seconda banda di energia e così via. In un semiconduttore tali bande sono separate tra
loro e nella regione di separazione non può trovarsi alcun elettrone (se non per
passare da una banda all’altra).
Ovviamente tutte le bande relative ad orbite interne sono “piene”, ossia sono tutte
occupate da elettroni. La banda più esterna, detta di valenza, nel caso del silicio
risulta anch’essa tutta occupata, dato che l’orbita di valenza di ogni atomo ha otto
elettroni.
La banda di valenza non è però l’ultima banda energetica, bensì è l’ultima ad essere
occupata da elettroni. In realtà, ad energie ancora maggiori è presente un’ulteriore
banda, normalmente vuota, detta banda di conduzione. Essa è separata dalla banda di
valenza da un intervallo energetico che prende il nome di banda interdetta, o
semplicemente gap di energia. I valori della banda interdetta EG, pari ad EC-EV
(differenza tra il limite inferiore in energia della banda di conduzione e il limite
superiore della banda di valenza) sono dell'ordine dell'elettron-volt (1 eV = 1,6x10-19
J).
Alla temperatura dello zero assoluto l’agitazione termica degli elettroni è nulla,
pertanto essi non possono muoversi all’interno del cristallo. A temperature più
elevate invece l'agitazione termica degli atomi può produrre la rottura di qualche
legame e ciò corrisponde, dal punto di vista energetico, alla cessione di una quantità
di energia pari o maggiore della banda interdetta EG a qualche elettrone che si trovi
nella banda di valenza che, in questo modo, salta nella banda di conduzione. Nei
semiconduttori quindi la conducibilità viene fortemente influenzata dalla temperatura
e, in generale, dall'assorbimento di energia di qualsiasi tipo dall'esterno.
I fenomeni di conduzione in un semiconduttore non si limitano però alla banda di
conduzione stessa. Infatti gli elettroni passati alla banda di conduzione lasciano dietro
di se dei posti liberi, ossia della vacanze. Queste possono a loro volta essere colmate
1
da elettroni di valenza che si spostano dai loro siti originari, dando così origine ad un
movimento netto di carica, e quindi ad una corrente. Il moto concertato di tutti gli
elettroni della banda di valenza è descritto in modo molto più efficace come il moto
di una lacuna positiva, il livello lasciato libero dall’elettrone eccitato.
r
Se ad un semiconduttore in queste condizioni viene applicato un campo elettrico E , i
portatori saranno sottoposti ad un’accelerazione
r q r
a= E
m
Se si considera però che il moto dei portatori è ostacolato da “collisioni” istantanee
con il reticolo, e che tale interazione si traduce in un termine di attrito viscoso, si ha
allora:
r q r k r
q r 1r
a = E − vd = E − v d
m
m
m
τ
dato che k/m ha le dimensioni dell’inverso di un tempo, e τ si può interpretare come
tempo medio che intercorre tra due collisioni.
In regime stazionario
r
q r 1r
a = 0 = E − vd
m
τ
e quindi
r qτ r
vd=
E
m
Il termine qτ/m ≡ µ prende il nome di mobilità.
Ricordando la definizione di densità di corrente
r
r nq 2τ r
r
r
E = σE
J = nq vd = nq µE =
m
si ritrova la legge di Ohm, e si definisce conducibilità il fattore σ = nq2τ/m
dipendente oltre che dalla mobilità dalla densità di portatori. Dato che nei
semiconduttori la corrente è dovuta ai contributi di elettroni e di lacune, la
conducibilità totale si esprime come
2
ne 2τ n pe τ p
+
σ = σn +σ p =
mn
mp
2
La conducibilità di un semiconduttore puro (intrinseco) a temperatura ambiente è
relativamente bassa, dell’ordine di 10-1 Ω-1 cm-1. Per calcolare quanti elettroni liberi,
cioè disponibili per la conduzione, vi siano in un semiconduttore, bisogna vedere se
la temperatura alla quale il cristallo si trova è tale da permettere ad un elettrone che si
trovi nella banda di valenza il “salto” del gap di energia. Tale problema è ovviamente
di natura statistica, in quanto all’equilibrio vi saranno continue rotture e ricostituzioni
di legami covalenti, dunque si tratta di trovare dei valori medi. Questi possono essere
ricavati utilizzando la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac, che dà la probabilità
che un livello avente energia E sia occupato da un elettrone alla temperatura T.
f (E,T ) =
1
1+ e
(1)
( E − µ ) / k BT
dove µ stavolta è il potenziale chimico, scelto in modo da normalizzare la
distribuzione. In pratica esso è sempre approssimato con il suo valore per T→0, detto
energia di Fermi εF; esso è anche definito come il livello di energia che ha il 50% di
probabilità di essere occupato da un elettrone. Come si osserva in Figura 1,
all’aumentare della temperatura la probabilità di trovare un elettrone nella banda di
valenza diminuisce, mentre aumenta la probabilità di trovarne nella banda di
conduzione. Allo zero assoluto invece tutta la banda di valenza è piena, mentre
quella di conduzione è vuota. Tra EV ed EC la probabilità di trovare un elettrone è non
nulla, ma in tale intervallo non esistono stati energetici “permessi” dato che esso
coincide con la banda interdetta.
Figura 1
Distribuzione di Fermi-Dirac in funzione dell’energia e della temperatura.
Nel caso finora considerato di un cristallo semiconduttore perfettamente puro
ed omogeneo, privo cioè di elementi estranei (semiconduttore intrinseco), il
numero delle cariche "n" (elettroni) è sempre eguale al numero delle cariche
"p" (lacune), dato che per ogni elettrone che si rende libero nella banda di
conduzione, si sarà creata una lacuna in banda di valenza. Indicando con ni la
concentrazione di cariche libere in un semiconduttore intrinseco, si può scrivere:
ni = n = p
(2)
3
La concentrazione di cariche libere (elettroni e lacune) per cm3 all’interno di un
semiconduttore si calcola, come detto, utilizzando la distribuzione di Fermi-Dirac.
Poiché tale funzione dà la probabilità di occupazione ad una certa energia E,
bisogna moltiplicarla per la densità di livelli energetici per unità di volume esistenti
nell’intorno di quella energia e integrare su tale intorno per ottenere la concentrazione
di elettroni. Indicando con n e p le concentrazioni per cm3 di elettroni liberi e di
lacune, si può calcolare per un semiconduttore intrinseco:
n = NC e
−
( EC −ε F )
k BT
−
(ε F − EV )
k BT
p = NV e
[nel caso della concentrazione di lacune bisogna utilizzare la distribuzione 1-f(E,T)]
dove NC e NV sono le densità dei livelli energetici (per cm3) rispettivamente
nell’intorno di EC ed EV.
Poiché deve valere la (2) eguagliando le precedenti espressioni si ottiene
−
NCe
( E C −ε F )
k BT
= NV e
−
( ε F − EV )
k BT
ovvero
ln
N C EV + EC − 2ε F
=
NV
k BT
Da cui si ricava un’espressione per la posizione del livello di Fermi al variare della
temperatura
εF =
EV + EC k BT N C
−
ln
2
2
NV
In effetti la definizione del livello di Fermi è chiara per i metalli, dove esprime
l’energia del livello più alto occupato a temperatura nulla, mentre per i
semiconduttori la definizione è più vaga, visto che a temperatura nulla εF potrebbe
posizionarsi in qualsiasi posizione all’interno del gap.
4
Con una buona approssimazione, per temperature sufficientemente basse, si può
porre
εF ≈
EV + EC
2
cioè il livello di Fermi si dispone a metà del gap.
In un semiconduttore intrinseco, a causa della loro scarsa densità, gli elettroni liberi e
le lacune non riescono a produrre una corrente sufficientemente elevata per le
normali applicazioni elettroniche. Un metodo molto efficace per aumentare la
concentrazione di cariche mobili in un semiconduttore consiste nell’introduzione di
alcune particolari impurità all’interno del reticolo cristallino del materiale. Tale
procedimento prende il nome di drogaggio e il semiconduttore che si ottiene si dice
drogato.
Si consideri il caso di un cristallo di silicio puro all’interno del quale vengano inseriti
(sostituendoli a quelli di silicio) alcuni atomi del V gruppo (pentavalenti), ad
esempio di fosforo.
Quattro elettroni dell’atomo di fosforo saranno condivisi con gli atomi di silicio
contigui e formeranno con essi altrettanti legami covalenti. Il quinto elettrone non
potrà fare parte dell’orbita di valenza in quanto quest’ultima risulterà già piena.
Non potendo instaurare alcun legame covalente con gli atomi vicini esso risulterà
molto meno legato all’atomo di fosforo. In pratica sarà sufficiente un’energia di
appena 0,05 eV per “liberare” tale elettrone e renderlo disponibile per la conduzione,
ossia per portarlo nella banda di conduzione. In questo caso gli elettroni prendono il
nome di cariche maggioritarie e vengono indicati con nn, mentre le lacune vengono
chiamate cariche minoritarie e indicate con pn . Ovviamente risulterà che:
nn > pn
Si noti che, a temperatura ambiente (300°K), l’energia di 0,05 eV, necessaria per
ionizzare l’atomo di fosforo e portare l’elettrone nella banda di conduzione, è
normalmente fornita dall’agitazione termica stessa. Ciò significa che a temperatura
ambiente praticamente tutti gli atomi droganti sono ionizzati. Un semiconduttore
drogato con impurità di tale tipo (atomi donatori), avente un eccesso di portatori
mobili negativi, prende il nome di semiconduttore di tipo “n”.
Si consideri ora il caso di un semiconduttore drogato con impurità appartenenti al III
gruppo (trivalenti), ad esempio il boro. Ogni atomo di boro è attorniato da quattro
atomi di silicio e poiché il boro ha tre elettroni di valenza, allora la sua orbita di
valenza contiene soltanto sette elettroni. Pertanto, ogni atomo di boro, all’interno del
reticolo cristallino del silicio, si comporta come una lacuna. In altri termini, con
una spesa totale di energia molto bassa, ancora dell’ordine di 0,05 eV, è possibile
strappare un elettrone da uno dei legami silicio-silicio e utilizzarlo per completare il
legame mancante dell’atomo di boro, ricostituendo così attorno ad esso la simmetria
5
del reticolo. Adesso l’atomo di boro (ionizzato) è una carica fissa negativa e la
mancanza di un elettrone venutasi a creare nel reticolo del silicio genera una lacuna
mobile, disponibile per il processo di conduzione. Un semiconduttore ricco di
impurità di questo tipo (atomi accettori) mostra a temperatura ambiente, un eccesso
di portatori (mobili) positivi e si chiama semiconduttore di tipo “p”. Analogamente a
quanto visto sopra, i portatori maggiormente presenti, in questo caso lacune,
vengono chiamati portatori maggioritari e la loro concentrazione viene indicata con
pp , mentre gli elettroni vengono chiamati portatori minoritari e la loro concentrazione
viene indicata con np. Risulta ovviamente:
pp > np
I livelli di energia relativi ad atomi donatori, per quanto detto prima, si trovano poco
al di sotto della banda di conduzione, cioè 0,05 eV al di sotto di EC. Quelli relativi ad
atomi accettori si trovano invece poco al di sopra della banda di valenza, cioè
0,05 eV al di sopra di EV. Dunque con il drogaggio si può “modulare” la
conducibilità di un semiconduttore: si può cioè imporre che la concentrazione di
cariche libere sia quella imposta esternamente con il drogaggio e non quella
“intrinseca” dovuta all’agitazione termica che, come visto prima, produce sempre un
certo numero di cariche libere.
Nei semiconduttori, oltre alla conduzione dovuta all’applicazione di un campo
elettrico esterno (corrente di deriva vista prima), esiste un secondo tipo di
meccanismo che da origine a una corrente di diversa natura. Tale meccanismo si
innesca qualora in un semiconduttore vi siano due zone aventi diversa concentrazione
di cariche libere (per esempio dopo un opportuno drogaggio). In questo caso si ha un
flusso di elettroni e lacune libere che diffondono da una regione ad alta
concentrazione ad una a bassa concentrazione. Per tale motivo, la corrente dovuta
a tale processo prende il nome di corrente di diffusione. È evidente che tale
moto di diffusione tende a ristabilire l’equilibrio (spaziale) di concentrazione. Il
suo studio è molto importante perché tale processo gioca un ruolo fondamentale nel
funzionamento dei dispositivi a semiconduttore. La densità di corrente di diffusione
è proporzionale al gradiente della concentrazione dei portatori, alla carica del singolo
portatore, e ad un coefficiente, detto diffusività, che descrive la facilità con cui la
popolazione di elettroni e lacune diffonde. Poiché una variazione di concentrazione
provoca un flusso di particelle diretto nel verso in cui la concentrazione decresce,
cioè in un verso opposto al gradiente della concentrazione (si tenga presente che il
gradiente è diretto nel verso in cui la concentrazione aumenta), le correnti di
diffusione di elettroni e lacune avranno, a parità di gradiente di concentrazione delle
due specie, andamento opposto. Si ha allora, per le densità di corrente di diffusione:
r
r
J n = qDn ∇n
r
r
J p = − qD p ∇p
dove Dn e Dp sono le diffusività di elettroni e lacune. La diffusività si misura in m2/s.
6
Quando all’interno di un semiconduttore, in corrispondenza di una sua sezione, si ha
un brusco passaggio da una zona con drogaggio di tipo p a una con drogaggio di tipo
n, si ottiene una giunzione p-n. In una giunzione p-n che si supponga sia non
polarizzata (cioè ai suoi capi non è applicata alcuna differenza di potenziale), a causa
del gradiente di concentrazione spaziale di cariche gli elettroni liberi dal lato n
diffondono verso la zona p dato che in tale zona vi è una drastica diminuzione di
concentrazione di elettroni: cioè questi elettroni seguono le leggi prima enunciate
della diffusione. La stessa cosa ovviamente avviene per le lacune provenienti dalla
zona p, che diffondono nella zona n. L’elettrone libero che penetra nella regione p
diviene un portatore minoritario. A causa del gran numero di lacune che si trovano
attorno, il tempo di vita di tale portatore minoritario è breve: poco dopo il suo
ingresso nella regione p, esso viene catturato da una lacuna. La lacuna così scompare
e l’atomo associato diviene carico negativamente, diventa cioè uno ione negativo.
Ovviamente lo stesso ragionamento si ripete per le lacune provenienti dalla zona p
che diffondono nella zona n: esse vengono “riempite” dagli elettroni associati
agli atomi droganti, che restano così carichi positivamente, ossia formano degli
ioni positivi. La Figura 2 illustra schematicamente lo stato delle cariche in
corrispondenza di una giunzione prima e dopo la diffusione.
Figura 2
Giunzione p-n prima (a) e dopo (b) la diffusione.
I segni “+” e “-“ cerchiati rappresentano ioni, quelli non cerchiati rappresentano
cariche mobili. In corrispondenza della giunzione si forma allora una regione di ioni
positivi (lato n) e negativi (lato p), priva di cariche mobili (dato che gli ioni
sono bloccati dai legami covalenti all’interno del reticolo cristallino). Tale
regione prende il nome di zona di svuotamento (depletion layer). In essa è
ovviamente presente una carica spaziale non nulla data dagli ioni fissi. Nel frattempo
che le cariche diffondono, la zona di svuotamento diventa sempre più ampia ed un
campo elettrico dovuto agli ioni viene generato proprio in tale zona. Tale campo
(diretto dalla zona n a quella p) si oppone alla diffusione delle cariche libere, sino a
quando esso costituisce una vera e propria barriera di potenziale che impedisce agli
elettroni e lacune di attraversare ulteriormente la giunzione. In altri termini, un
elettrone proveniente dalla zona n che cerca di entrare nella zona p incontra un
“muro” di ioni negativi che lo spinge nuovamente nella zona n. A 25°C la barriera di
potenziale è circa uguale a 0,7 V per diodi al silicio.
7
Si possono ricavare in modo semplice le proprietà della giunzione, considerando la
distribuzione ideale di drogaggio che caratterizza la giunzione a gradino. Il drogaggio
di tale struttura presenta un andamento spaziale discontinuo, passando dal
semiconduttore di tipo n a quello di tipo p (Figura 3a). Nell’ambito
dell’approssimazione di depletion, si suppone che la regione tra –xp e xn sia
completamente svuotata di portatori mobili e che le densità di portatori maggioritari
ai bordi della regione di svuotamento diventino bruscamente pari alle rispettive
concentrazioni di drogante (Figura 3b); di conseguenza la densità di carica fissa è
ovunque nulla eccezion fatta per la regione di svuotamento, dove assume il valore
della concentrazione di drogante ionizzato(Figura 3c).
a)
b)
c)
Figura 3
a)Concentrazione netta di droganti; b)Concentrazione di n e p; c)Densità di carica fissa.
8
L’equazione di Poisson afferma che
ρ
εs
∇ 2Φ = −
con Φ potenziale scalare, ρ densità di carica e εs costante dielettrica.
Dato che la variazione delle diverse quantità per il sistema in questione si determina
in una sola direzione, che la densità di cariche libere nella zona n svuotata equivale
alla concentrazione di atomi donori (ND) e che vale la relazione E = − ∂Φ/∂x si può
scrivere:
d 2Φ
dE
eN D
=
−
=
−
dx 2
dx
εs
che integrata (considerando che il campo deve essere nullo al di fuori della zona
svuotata) [vedi Figura 4]
xn
eN D
∫ dE =
εs
x
0 − E ( x) =
eN D
εs
xn
∫ dx
x
( xn − x )
dà come risultato:
E=−
eN D
εs
( xn − x )
Il campo E(x) è negativo all’interno della regione di svuotamento e varia linearmente
con x, raggiungendo il massimo in x=0. Tale campo si oppone infatti alla tendenza
degli elettroni a diffondere verso sinistra, cioè verso il semiconduttore di tipo p.
In modo analogo, nella zona p si ricava (detta NA la concentrazione di atomi
accettori)
E=
eN A
εs
(x − xp )
Anche qui il campo è negativo per opporsi alla tendenza delle lacune a diffondere
verso destra. Eguagliando i due risultati alla giunzione (in x=0) si ottiene:
N D xn = N A x p
cioè l’estensione della zona svuotata è inversamente proporzionale al livello di
drogaggio.
9
Figura 4
Andamento del campo elettrico nella giunzione.
Considerando che E = − ∂Φ/∂x, si calcola il potenziale Φ associato al campo:
xn
Φ ( xn ) − Φ ( x ) = − ∫ Edx ' =
x
eN D
εs
xn
∫ ( xn − x' )dx ' =
x
[
]
eN D 2
eN D
xn − 2 xn x + x 2 =
( xn − x ) 2
2ε s
2ε s
cioè
Φ ( x) = Φ n −
eN D
( xn − x ) 2
2ε s
e in modo analogo nella zona p
Φ ( x) = Φ p +
eN A
(x − x p )2
2ε s
Figura 5
Andamento del potenziale nella giunzione.
10
I due contributi Φn e Φp sono costanti di integrazione; si possono ridurre ad una e
ricavare l’altezza della barriera imponendo che il potenziale sia continuo alla
giunzione:
Φn −
eN D 2
eN A 2
xn = Φ p +
xp
2ε s
2ε s
Φi = Φn − Φ p =
e
( N D x n2 + N A x 2p )
2ε s
relazione dalla quale si può ricavare l’ampiezza totale della zona svuotata.
Vale infatti che
xn = x p
NA
ND
e quindi
Φi = Φn − Φ p =
e
N
N A x 2p 1 + A
2ε s
ND
da cui
xp =
2ε s Φ i N D
( N A + N D ) −1
e NA
L’estensione della regione di svuotamento è dunque:
N
xd = xn + x p = x p 1 + A =
ND
2ε s Φ i N D
(N A + N D )−1 N A + N D
e NA
ND
2
=
2ε s Φ i
e
1
1
+
N
N
D
A
il che conferma che l’estensione è controllata dal drogante a minore concentrazione.
11
Bibliografia
-
Montecchi Becattini, Fisica 3
Malvezzi, appunti lezioni Fisica dei semiconduttori
12
