Esercizi svolti di Meccanica Statistica A.A. 2008-09

Esercizi svolti
di
Meccanica Statistica
A.A. 2008-09
4 novembre 2008
2
N. 1 Dipoli magnetici
Consideriamo un sistema di N dipoli magnetici mi in un campo magnetico
B con funzione hamiltoniana
H=−
N
X
mi · B.
(1)
i=1
Si chiede di
1. determinare la magnetizzazione del sistema definita da
M=h
N
X
mi i
(2)
i=1
dove h...i rappresenta la media statistica.
2. dimostrare la relazione
M=−
∂F
.
∂B
(3)
3. determinare la suscettività magnetica χ definita dalla relazione
M = χB.
(4)
Soluzione
Cominciamo coll’osservare la separabilità dell’hamiltoniana. La funzione
di partizione può scriversi come il prodotto delle funzioni di partizione di
ciascun dipolo. Inoltre, essendo i dipoli identici, la funzione di partizione
diventa la potenza N -esima della funzione di partizione del singolo dipolo.
Per fissare le idee, scegliamo l’asse z lungo la direzione del campo magnetico.
La funzione hamiltoniana del dipolo i-esimo diventa
H(θi , φi ) = −mB cos(θi )
(5)
dove mi = (cos φi sin θi , sin φi sin θi , cos θi ). La corrispondente funzione di
partizione è quindi
Zi =
Z 2π
0
dφi
Z π
0
dθi sin θi eβmB cos(θi ) = 2π
sinh(βmB)
.
βmB
(6)
Il valor medio del dipolo i-esimo ha componente non nulla solo nella direzione
del campo magnetico e risulta
Z π
1 Z 2π
hmi,z i =
dφi
dθi sin θi eβmB cos(θi ) m cos(θi ).
Zi 0
0
(7)
3
Calcolando l’integrale e tenendo conto di (6) si ottiene
"
1
hmi,z i = m coth(βmB) −
βmB
#
(8)
che, come ci si attendeva, non dipende dall’indice i. La magnetizzazione è
dunque
#
"
1
.
(9)
Mz = N m coth(βmB) −
βmB
Per dimostrare la relazione (3) osserviamo che
N
PN
1 Z Y
F = − ln
dφi dθi sin θi eβmB i=1 cos(θi )
β
i=1
(10)
per cui derivando rispetto a B si ottiene
N
N
PN
X
11Z Y
∂F
cos(θi )
=−
dφi dθi sin θi eβmB i=1 cos(θi ) βm
∂B
β Z i=1
i=1
(11)
che dimostra la relazione (3).
Per determinare la suscettività calcoliamo la derivata della magnetizzazione rispetto al campo magnetico a campo magnetico nullo. Si ha
"
#
∂Mz
1
1
= −N m2 β
−
.
2
∂M
sinh (βmB) (βmB)2
(12)
Usando lo sviluppo di Taylor
f (x) =
1
1
1
− 2 ≈ − + ...
2
3
sinh x x
(13)
valido per x → 0, si ottiene la suscettività
χ=
La (14) è nota come legge di Curie.
m2 N
.
3kT
(14)