Programma dettagliato e altre informazioni

Programma dettagliato e altre informazioni
L’ algebra lineare e’ la parte principale del corso, ma il corso prevede anche
una parte preliminare, piu’ di base, e una parte aggiuntiva, dedicata a tecniche
di calcolo numerico applicate a problemi di algebra lineare.
I preliminari sono riversati in parte nel Precorso (che anche per questo motivo e’ consigliato a tutti) e in parte nella prima settimana di lezione, sia nel
corso di Algebra Lineare che nel corso di Analisi, in base ad una qualche divisione del lavoro tra i docenti dei due corsi. Naturalmente, questa divisione
non significa che argomenti non trattati esplicitamente nelle ore di Algebra Lineare ma basilari anche per questo corso vengano evitati in sede di esame. Al
contrario!
Per quel che riguarda invece gli argomenti di calcolo numerico, essi vengono inseriti nel corso di Algebra Lineare tutte le volte che se ne presenta l’
opportunita’. Nelle ultime due settimane di lezione si completa il quadro.
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Guida all’ uso del testo
Per la parte preliminare e per l’ Algebra Lineare il testo é questo:
A. Pasini, Elementi di Algebra e Geometria, editore Liguori.
Volume I: Nozioni di base. Edito nel 1997. Ristampato nel 2000.
Volume II: Elementi di Algebra. Edito nel 1998. Ristampato nel 2000.
Volume III: Algebra Lineare e Geometria. Edito nel 1998. Ristampato nel 2003.
Il Volume III contiene il corpo principale del corso.
I Volumi I e II sono preliminari al Volume III e coprono argomenti trattati o
nel Precorso o nella prima settimana di lezione, in parte nel corso di Algebra
Lineare e in parte in quello di Analisi I. Non e’ dunque possibile usare il Volume
III senza avere familiarita’ con le parti principali dei Volumi I e II.
Non tutto ció che trovate nel testo é importante ai fini dell’ esame. Nel seguito
classifico il materiale in quattro categorie: da STUDIARE, da LEGGERE, FACOLTATIVO e da TRALASCIARE.
Ovviamente, le parti rilevanti ai fini dell’ esame sono quelle classificate come
‘da studiare’ e, in grado minore, quelle ‘da leggere’. Quando di una parte dico
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che va studiata intendo che va capita in tutti i dettagli. Per esempio, se in un
certo punto si dice che da una certa cosa ne segue un’ altra, bisogna riuscire a
spiegarsi perché (cioé, in forza di quali definizioni o proposizioni, tra quelle giá
acquisite).
Quando di una parte dico che basta leggerla, intendo che basta farsi un’ idea
(chiara) di quel che vi si dice, senza peró dover capire ogni dettaglio.
Le parti classificate come facoltative possono trascurarsi in prima fase, ma
non sarebbe male rivisitarle in seguito, sempre che se ne abbia il tempo.
1.1
Volume I. Nozioni di base
Capitolo 1. Introduzione al Linguaggio Matematico. Sezioni 1 e 2: da
studiare. Sezioni 3 e 4: da leggere.
Capitolo 2. Insiemi. Da studiare tutto, esclusa la Sottosezione 5.3, per la
quale basta una lettura.
Capitolo 3. Funzioni. Le prime cinque sezioni vanno studiate, escluse le
Sottosezioni 5.2 e 5.4. La Sottosezione 5.2 va tralasciata mentre per la Sottosezione 5.4 basta una lettura. Per le Sottosezioni 6.1 e 6.2 basta una lettura.
Il resto della Sezione 6 si puo’ tralasciare. Si tralasci anche la Sezione 7.
Capitolo 4. Relazioni. Le uniche parti di questo capitolo rilevanti per il
corso di Algebra Lineare sono le Sottosezioni 5.1 e 5.3, che andrebbero lette. In
particolare, sarebbe importante avere chiare le nozioni di massimo, massimale,
minimo e minimale. Tutto il resto del Capitolo 4 si puo’ tralasciare, salvo
consultarlo all’ occorrenza.
Capitolo 5. Espressioni e formule. Questo capitolo riprende il Capitolo 1
e qualcosa del Capitolo 3. Nulla del Capitolo 5 e’ da studiare. Limitatevi ad
una lettura rapida delle Sezioni 1, 2, della Sottosezione 3.1 e della Sottosezione
4.5.
Se, a lettura ultimata, vi sembra di aver trovato solo cose ovvie espresse in
modo molto complicato, meglio cosı́: sapevate gia’ quel che c’ era da capire e
potete tralasciare tutto il resto. Se invece vi sembra di non averci capito un
gran che’, chiedete aiuto al docente.
Capitolo 6. Lavorando nel finito. Il paragrafetto iniziale, prima della
Sezione 1, é importante e va studiato. La Sezione 1 andrebbe almeno letta.
Per il resto, le uniche cose rilevanti ai fini del corso sono i concetti di permutazione (Sezione 2) e coefficiente binomiale (Sezione 3). Dovreste dunque
leggere le Sezioni 2 e 3, ma senza insistere troppo sulle dimostrazioni e, comunque, tralasciando del tutto le dimostrazioni del Lemma 15 e del Teorema
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20 e la Sottosezione 3.2. Nella Sezione 4, ci si limiti a leggere l’ enunciato del
Teorema 22, tralasciandone la dimostrazione e tralasciando del tutto il Teorema
23.
La Sezione 6 contiene cose di aritmetica che dovrebbero essere ben note a
tutti. Chi si accorgesse di non conoscerle, farebbe meglio a studiare questa
sezione, magari tralasciando le dimostrazioni del Teorema 26, dei Corollari 27,
28, 29 e 30, della Proposizione 31, del Teorema 34 e tutta la Sottosezione 6.5.
Sezione 7. La Sottosezione 7.1 va studiata, ma solo fino alla fine di pagina
142. Il resto (pagina 143 e Sottosezione 7.2) va tralasciato.
Capitolo 7. L’ induzione. Sezioni 1 e 2: da leggere (ma si tralasci la seconda
parte della Sottosezione 1.2, dove si dimostra l’ equivalenza di (I) ed (I 0 )).
Sezione 3: la si tralasci.
Capitolo 8. L’ infinito. Basta una lettura rapida delle Sezioni 1, 2 e 3. Il
resto si puó tralasciare.
Avvertenza. Di solito, gli argomenti coperti dai Capitoli 1, 2, 3, 4 e 7 del
Volume I vengono trattati nel Precorso e ripresi all’ inizio del corso di Analisi
I. Per quanto riguarda i Capitoli 6 e 7, le cose essenziali sulle permutazioni
(Capitolo 6) vengono esposte nel corso di Algebra Lineare, in genere prima
di introdurre i determinanti. Invece coefficienti binomiali (Capitolo 6) ed il
Principio di Induzione (Capitolo 7) di solito vengono discussi nel corso di Analisi
I. Infine, l’ essenziale del Capitolo 8 viene solitamente esposto nel Precorso.
1.2
Volume II. Elementi di Algebra
Capitolo 1. Un ripasso d’ algebra. Sezioni 1 e 2: le si leggano con una
certa attenzione fino alla fine della Sottosezione 2.3, cercando anche di capire
qualche dimostrazione (tre o quattro; non é necessario infliggersele tutte). Se
le cose che vi avete trovato vi sono sembrate abbastanza ovvie, allora non serve
vi perdiate altro tempo e passate alla Sezione 3. Se invece vi pare di non avete
capito un gran che’ di quel che avete letto, allora dovreste prendere la Sezione
2 molto sul serio. Sezione 3: questa va studiata.
Capitolo 2. L’ algebra dei campi. Basta una lettura, tralasciando comunque tutte le dimostrazioni e le Sottosezioni 2.1 e 5.3.
Capitolo 3. Il Campo dei numeri complessi.
Da studiare tutto.
Capitolo 4. Numeri reali. Per quel che riguarda il corso di Algebra Lineare,
basta una rapida lettura.
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Capitolo 5. Polinomi. Sezioni 1 e 2: da studiare, ma tralasciando le dimostrazioni delle Proposizioni 1 e 2. Sezione 3: da leggere. Sezioni 5 e 6: le si
tralascino.
Capitolo 6. Polinomi in una sola variabile.
Da studiare tutto.
Capitolo 7. Polinomi in piu’ variabili.
all’ occorrenza).
Lo si tralasci (salvo consultarlo
Capitolo 8. Anelli, Gruppi, Semigruppi.
all’ occorrenza).
Lo si tralasci (salvo consultarlo
Avvertenza. Il Capitolo 5 e la prima parte del Capitolo 6 (Sezioni 1, 2 e 3)
vengono svolti nel Precorso. I Capitoli 1, 2, 3 e 4 e la Sezione 4 del Capitolo 6,
ad eccezione delle sezioni 3.3 e 4.4, sono svolti nella prima settimana del corso
di Algebra Lineare. Le sezioni 3.3, 4.4 e 5 del Capitolo 6 rientrano nella parte
di Calcolo Numerico e vengono svolte nell’ ultima settimana.
1.3
Volume III. Algebra Lineare e Geometria
Capitolo 1. Spazi vettoriali. Definizione ed esempi. Da studiare tutto.
Pero’, le dimostrazioni delle Proposizioni 3 e 6 sono facoltative.
Capitolo 2. Sottospazi lineari.
Da studiare, tutto.
Capitolo 3. Manipolazioni su insiemi di vettori. Sezione 1. La Sottosezione 1.1 va studiata, ma tralasciando le dimostrazioni dei Lemmi 1 e 2
e del Teorema 3. La Sottosezione 1.2 basta leggerla. Le Sezioni 2 e 3 vanno
studiate.
Capitolo 4. Dipendenza e indipendenza lineare. Le Sezioni 1 e 2 sono
da studiare. Sezione 3: nella Sottosezione 3.1 si tralasci la dimostrazione del
Teorema 11 nel caso infinito. Il resto della Sottosezione 3.1 é da studiare. Sottosezione 3.2: da studiare. Sottosezione 3.3: si tralascino le dimostrazioni del
Teorema 18 nel cosidetto ‘secondo caso’ e nel ‘caso generale’; il resto (cioe’ la
dimostrazione nel ‘primo caso’ e l’ ultima dimostrazione nel caso finito) é da
studiare.
Capitolo 5. Basi e Dimensioni.
menti alla fine della Sezione 1.3.
Da studiare tutto, ma tralasciate i com-
Capitolo 6. Sistemi lineari. Una prima sintesi. Da studiare tutto,
esclusa la Sottosezione 3.4, per la quale basta una lettura.
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Capitolo 7. Somme dirette e prodotti cartesiani. Sezione 1. Le Sottosezioni 1.1, 1.2, 1.3 sono da studiare. La Sottosezione 1.4 basta leggerla.
Le Sezioni 2 e 3 sono da studiare (ma si tenga da parte come facoltativa la
dimostrazione della Proposizione 14). Sezione 4: tralasciatela.
Capitolo 8. Prodotti scalari. Sezioni 1 e 2: da studiare. Sezione 3: le
Sottosezioni 3.1 e 3.2 sono solo da leggere; la Sottosezione 3.3 é da studiare.
Sezioni 4, 5 e 6: da studiare tutto, ad esclusione delle dimostrazioni del Teorema
12, della Proposizione 13, del Teorema 14 e della Proposizione 15, che possono
tralasciarsi. Si tralasci inoltre il paragrafo sugli angoli a pagina 144.
Capitolo 9. Ortogonalitá. Da studiare tutto. Nella Sottosezione 3.1, non
insistete troppo sui dettagli: basta afferrare il succo di quel che vi si fa.
Capitolo 10. Sottospazi affini e sistemi lineari. Le Sezioni 1 e 2 sono
da studiare. Sezione 3: consiglio di leggere la Sottosezione 3.1. Tralasciate la
Sottosezione 3.2.
Capitolo 11. Geometria affine. Sezioni 1, 2 e 3: da studiare tutto, ma
tenendo da parte come facoltativa la dimostrazione della Proposizione 4. Per la
Sezione 4 basta una lettura. La Sezione 5 e’ invece da studiare.
Capitolo 12. Geometria euclidea. Sezioni 1, 2, 3, 4, 5 e 6: da studiare
(ma si tralasci la dimostrazione della Proposizione 8).
Sezione 8: da leggere. Sezione 9. Da studiare, ma si tralascino le dimostrazioni della Proposizione 19 e del Teorema 26 e la sezione 9.6. Nella
sezione 9.7 ci si limiti alla definizione di isometria, tralasciando il resto.
Sezioni 11 e 12: da leggere.
Capitolo 13. Trasformazioni lineari e matrici. Da studiare tutto, ma
esclusa la Sottosezione 2.5, che é solo da leggere, la Sottosezione 5.3, che va
tralasciata del tutto, e l’ ultima parte della Sottosezione 6.6 (ove si tratta di
rotazioni in Vn (R)), che si puo’ tralasciare.
Capitolo 14. L’ algebra delle trasformazioni lineari. Sezione 1: il Teorema 1 é da studiare. Il resto della Sezione 1 basta leggerlo, ma tralasciando
del tutto l’ ultima parte della Sezione 1 (Teorema 13 e sua dimostrazione).
Nella Sezione 2 si studino le Sottosezioni 2.1, 2.2 e 2.4. Per la Sottosezione
2.3 basta una lettura. Le Sezioni 3, 4 e 5 sono da studiare, ma tralasciando la
dimostrazione del Teorema 15.
Capitolo 15. L’ algebra delle matrici. Si tralascino la dimostrazione della
Proposizione 11 e tutta la Sezione 10. Il resto é tutto da studiare.
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Capitolo 16. Nuclei e retroimmagini. Sezione 1, 2 e 3: da studiare, ad
eccezione della Sottosezione 2.3, che é solo da leggere. Si tralasci la Sezione 5.
Capitolo 17. Autovettori e autovalori. Da studiare tutto, esclusa la dimostrazione del Lemma 20, che lascio come facoltativa. In alcuni esempi ci si
riferisce a rotazioni in Vn (R). In essi riferitevi solo ai casi di n = 2 ed n = 3.
Capitolo 18. Trasposte e aggiunte. Da studiare tutto, esclusa la Sottosezione 4.3.
Capitolo 19. Trasformazioni ortogonali e unitarie. Da studiare tutto,
ad eccezione della Sottosezione 1.3, per la quale basta una lettura.
Capitolo 20. Trasformazioni affini.
Da studiare.
Capitolo 21. Determinanti. Sezione 1: da studiare. Sezione 2: da studiare,
ma tralasciando le dimostrazioni del Teorema 1, della Proposizione 2, della
Proposizione 4 e della Proposizione 15.
Sezione 3. Le Sottosezioni 3.1, 3.2 e 3.3 sono da studiare, ma tralasciando la
dimostrazione del Teorema 21. La Sottosezione 3.4 e’ da studiare, ma rientra in
Calcolo Numerico. Le cose importanti della Sottosezione 3.5 sono l’ enunciato
della Proposizione 22 ed il Corollario 23. Tutto il resto della Sottosezione 3.5 e’
facoltativo (lo si puo’ prendere come un esercizio svolto).
Sezione 4. Tralasciate la dimostrazione del Teorema 24. La dimostrazione
della Proposizione 26 e’ facoltativa (la si prenda come esercizio svolto). Il resto
della Sezione 4 e’ da studiare. Avverto che la Sottosezione 4.2 rientra nella parte
di Calcolo Numerico.
Sezione 5: da studiare. Sezione 7. La Sottosezione 7.1 é da leggere. Tutto il
resto della Sezione 7 va tralasciato. Sezione 8: la si tralasci.
Capitolo 22. Calcolo di autovalori. Le Sezioni 1, 2 e 4 sono da studiare,
ma tralasciando il paragrafo sulle rotazioni di Vn (R) nella Sottosezione 2.5.
Sezione 5. Le Sottosezioni 5.1 e 5.2 sono da studiare. Della Sottosezione 5.3,
basta imparare l’ enunciato del Teorema 12 e la definizione di Forma Normale
di Jordan. Il resto della Sottosezione 5.3 va tralasciato. Sottosezioni 5.4 e 5.5:
da studiare.
Sezione 6: da studiare.
Capitolo 23. Forme bilineari. Sezione 1: da studiare, ma tralasciando
la parte sulle forme alternanti nella Sottosezione 1.4. Sezione 2: da studiare,
tenendo da parte come facoltativa la sezione 2.2 e la dimostrazione del Teorema
8. Sezione 3: da studiare. Sezioni 5 e 6: tralasciatele.
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Capitolo 24. Quadriche e coniche. Sezione 1. Le Sottosezioni 1.1 ed
1.2 vanno studiate. Della Sottosezione 1.3 basta l’ enunciato del Teorema 1
e le definizioni e i commenti che lo seguono. Si tralasci tutto il resto. Della
Sottosezione 1.4 basta averne afferrato il succo, che e’ riassunto nel Corollario
4. La Sottosezione 1.5 é da tralasciare.
Sezione 3. Sottosezione 3.1: da studiare, ma tralasciando la dimostrazione
del Teorema 6. Sottosezione 3.2: da leggere. Sottosezione 3.3: da studiare solo
fino al Corollario 9 compreso; si tralasci tutto il resto. Sottosezioni 3.4, 3.5 e
3.6: tralasciatele.
Sezione 4. Sottosezione 4.1: da studiare. Sottosezione 4.2: da studiare,
ma tralasciando le dimostrazioni dei Teorema 18 e Teorema 19. Sottosezione
4.3: tralasciatela. Sottosezione 4.4: da leggere. Sottosezione 4.5: da studiare.
Sezioni 6 e 7: da studiare (ma tralasciate tutto ció che si riferisce a polaritá).
1.4
Avvertenze
Rimandi dal Volume III ai Volumi I e II. Nel Volume III trovate qua e
lá rimandi a parti dei Volumi I e II che nelle precedenti istruzioni suggerisco di
tralasciare o di scorrere superficialmente. In quei casi, limitatevi a consultare
le parti cui volta a volta vi si rimanda, prendendone solo quel tanto che vi é
necessario. Oppure, rivolgetevi al docente.
Indici. Ogni volume é corredato da un Indice Analitico. Servitevene. Naturalmente, se una nozione e’ definita nel Volume I (per esempio, immagine o
retroimmagine, iniettivitá o suriettivitá), la voce ad essa relativa compare solo
nell’ indice del Volume I. Inutile cercarla vel Volume III.
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Argomenti di Calcolo Numerico
Nella pagina web del corso si indica il seguente testo per gli argomenti di Calcolo
Numerico:
A. Qarteroni, R. sacco, F. Saleri, “Matematica Numerica”, Springer, 2008.
Consiglierei pero’ di aspettare a procurarselo. La parte di Calcolo Numerico
inserita nel corso di Algebra Lineare copre solo argomenti che potremmo definire
Algebra Numerica. Restano fuori molti altri argomenti, qualificabili come Analisi Numerica, che verranno trattati in un corso apposito, chiamato Calcolo Numerico e collocato al secondo anno. I testi di Calcolo Numerico reperibili in
commercio coprono entrambi i versanti della materia, quello algebrico e quello
analitico. A suo tempo, il docente di Calcolo Numerico vi indichera’ il testo che
riterra’ piu’ idoneo.
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Inoltre, questi testi sono molto ampi e approfonditi, francamente troppo per
quel che vi puo’ necessitare in vista dell’ esame di Algebra Lineare. Quindi, per
quel che riguarda gli argomenti di Calcolo Numerico inseriti nel corso di Algebra
Lineare, ho ritenuto meglio scrivere alcuni appunti, messi in rete in attachment
alla pagina del corso, come materiale didattico.
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Esercizi
In ciascuno dei tre Volumi del testo, quasi tutti i capitoli sono corredati di
esercizi, di diversa difficolta’, raccolti in apposite sezioni. In genere, i primi
esercizi di una sezione sono facili mentre gli ultimi possono anche essere piuttosto
difficili. Non é assolutamente necessario farli tutti.
Alcuni esercizi contengono informazioni aggiuntive sull’ argomento di un
capitolo. Ovviamente, per usare quelle informazioni quando vi servono non e’
necessario che l’ esercizio vi sia riuscito e nemmeno e’ necessario tentarlo.
Naturalmente, potete anche attingere a tutti gli eserciziari che volete, ma
stati attenti alla notazione impiegata dall’ autore. Non tutti gli autori usano la
stessa notazione.
Comunque, non buttate troppe energie negli esercizi. Non trascurate la
teoria illudendovi di assorbirla in qualche modo attraverso gli esercizi. Non ci
riuscirete. Questo modo d’ apprendimento, dagli esercizi alla teoria per prove
ed errori, richiede tempi darwiniani per produrre qualche risultato. D’ altra
parte, come potrete constatare, gli esami scritti sono congegnati in modo che se
non avete padronanza della teoria li sbagliate.
Ci sono inoltre grandi differenze tra gli esercizi e i problemi come si presentanto nella realta’. Nel migliore dei casi, gli esercizi che si possono proporre
ad uno studente sono solo simulazioni di problemi reali, realizzate su scala ridottissima e incentrate solo uno o due dei molti aspetti che in un problema
reale si presentano insieme. Nel peggiore dei casi, sono giochetti fini a se’ stessi.
Soprattutto, la quantita’ di calcoli necessaria per affrontare un problema reale
e’ quasi sempre enorme, infinitemente piu’ grande di quella che qualunque esercizio puo’ ragionevolmente richiedere. Nella realta’ i calcoli bisogna farli fare
a una macchina. Nessun calcolatore umano li potrebbe fare, per quanto abile.
Sicche’ e’ sciocco sfiancarsi su centinaia di esercizi per sviluppare abilita’ calcolistiche che, per quanto rimarchevoli, resterebbero comunque risibili al confronto
di quelle di un computer. Non sarebbero spendibili. Serve molto di piu’ avere
padronanza della teoria. E’ solo cosi’ che si puo’ guidare un computer, dirgli
che calcoli fare e come, e interpretare i risultati che ci da’.
Detto questo, fate come volete.
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Lucidi e materiale in rete
Lucidi. A lezione vengono utilizzati ancora alcuni lucidi che sono stati realizzati anni fa. Sono stati scannerizzati e riversati su un CD, depositato presso
la Biblioteca. Potete farvene una copia. Vi puo’ servire per avere uno schema
della materia. Avverto pero’ che sono piuttosto schematici, non sempre facili
da capire se non si era presenti a lezione.
Materiale didattico in rete. Il materiale didattico messo in rete consiste dei
seguenti file: il documento che state leggendo (chiamato guida),un file dove si
riassume l’ essenziale su forme di Jordan e coniche e quadriche (ricette) e sei
files dedicati ad argomenti di calcolo numerico.
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