Politica Economica Ambientale – Esercizi
1) Una impresa produttrice di acciaio e una impresa di allevamento di spigole svolgono la loro
attività attorno aduno stesso lago. Nel produrre tonnellate di acciaio, A, la prima impresa emette
unità di sostanze inquinanti, I, che danneggiano la qualità dell’acqua del produttore di quintali di
pesce, P. L’acciaieria ha ricavi totali e costi totali, rispettivamente: R(A)=20A e C(A,I)=A2+10A(10I-I2). L’impresa di allevamento ha R(P)=14P e C(P,I)=P2+2P+(1/2)I2.
Si determini la quantità prodotta di I se l’acciaieria non tiene conto degli effetti sociali della sua
attività e se invece ne tiene conto, ad esempio perché divenuta proprietaria anche dell’altra
impresa. Si identifichi poi la quantità di I prodotta se è instaurato un meccanismo di contrattazione
fra le parti, con assegnazione dei diritti prima all’una e poi all’altra impresa. Infine si determini
quale è il
livello dei costi di transazione che rende non conveniente l’accordo fra i soggetti.
- Dal punto di vista individuale l’acciaieria produce ove MR=MC, quindi A=5.
Contemporaneamente scegli I in modo da massimizzare i benefici che ricava in termini di ridotti
costi, quindi 10-2I=0 e I=5. I profitti da inquinamento sono pari a 25 (area sottostante la curva dei
benefici marginali da inquinamento). La seconda impresa non può determinare I, e subisce un costo
totale supplementare pari a 25/2. Se una delle due imprese diventa proprietaria dell’altra, la scelta
dipenderà dalla considerazione congiunta di benefici e danni da inquinamento: derivando la
funzione del profitto congiunto rispetto a I, 10-2I-I=0 e I=10/3 quantità socialmente ottima.
- Il teorema di Coase ci dice che, in assenza di costi di transazione, I=10/3 è anche la quantità di
inquinamento che si determina come risultato della contrattazione libera fra le parti, a prescindere
da come siano allocati inizialmente i diritti
- Se i diritti sono allocati all’acciaieria i benefici netti da accordo sono: acciaieria П (10/3)-П
(5)=200/9-25=-25/9; produttore di pesce П (10/3)-П (5)=-50/9-(-25/2)=+125/18; variazione П
totali=+75/18. Un costo di transazione superiore impedirebbe l’accordo. Se i diritti fossero allocati
al produttore di pesci: acciaieria П (10/3)-П (0)=+200/9; produttore di pesci П (10/3)-П (0)=-50/90=-50/9; variazione П totali=+150/9=300/18, che rappresenta il limite massimo per i costi di
transazione in questo secondo caso.
2) Una comunità locale costituita da 1001 individui uguali è soggetta al problema di congestione
da traffico. Ogni individuo ricava utilità da ore di guida settimanali, d, al costo unitario di 2 euro,
e reddito per il consumo di altri beni, m, il cui prezzo è p=1. Il reddito settimanale di ogni
individuo è m=500. L’utilità è data da U(d,m)=m+16d-d2-0,006h, ove h=1000d esprime la
disutilità da congestione derivante dalle ore di guida complessive, se tutti gli individui si
comportano nello stesso modo. Si valuti:
- il numero di ore che ogni individuo sceglierebbe di guidare se non considerasse
l’esternalità negativa da traffico;
- il numero di ore di guida socialmente ottimo
- il livello di una tassa di Pigou applicata per indurre i singoli a tenere conto
dell’esternalità negativa
- Eguagliando MRS al rapporto fra i prezzi, nel caso in cui h venga considerato pari a zero, si
ottiene una condizione necessaria per la massimizzazione dell’utilità del singolo: 16-2d=2 implica
d=7 e U=500+112-49=563
- considerando che la scelta ottima dal punto di vista individuale implica h=7000 tale scelta conduce
ad una utilità effettiva U=563-42=521. E’ invece socialmente ottima, considerando gli effetti da
congestione, una scelta tale che: 16-2d-6=2 cioè d=4 e U=500+64-16-24=524.
- se gli individui non percepiscono correttamente gli effetti da congestione e quindi non adeguano il
comportamento a quello socialmente ottimo, si può imporre una tassa tale che: 16-2d=2+t e d=4.
Quindi t=6 consente di indurre i soggetti a guidare il numero di ore socialmente ottimo.
3) In una cittadina due tipi di lavoratori subiscono gli effetti di inquinamento dalla produzione di
una azienda. I danni totali da inquinamento (pollution, p) sono rispettivamente: Da=p2 e Db=3p2
mentre il risparmio sui costi totali per l’impresa è pari a B=20p-p2. Si determini:
- il livello di inquinamento ottimo dal punto di vista privato
- il danno marginale aggregato da inquinamento e il livello di inquinamento ottimo dal
punto di vista sociale
- la disponibilità marginale a pagare aggregata per abbattimento di inquinamento, a, e il
livello ottimale di abbattimento
- Ad un beneficio marginale da emissione pari a Bm=20-2p corrisponde una scelta di p=10 come
livello ottimo dal punto di vista privato, quindi il livello massimo possibile di inquinamento pmax
- i danni marginali, rispettivamente Dma=2p e Dmb=6p vanno sommati verticalmente, per
identificare il danno marginale aggregato da “male” pubblico: Dm=8p. Quindi è socialmente
ottimo, da 20-2p=8p, p=2
- in termini di abbattimento deve valere a=pmax-p=10-p. La disponibilità a pagare per il bene
pubblico abbattimento è quindi rispettivamente 2(10-a) e 6(10-a), da cui una disponibilità aggregata
80-8a: in termini del bene a questa è la domanda aggregata come prezzo massimo che nel sistema si
è disposti a pagare per ogni possibile quantità del bene. L’offerta di abbattimento è data dalla
rinuncia dell’impresa ai benefici marginali da inquinamento, quindi 20-2(10-a)=2a, interpretabili
come Cm(a)=2a. Il livello socialmente ottimo di abbattimento, equilibrio nel mercato di domanda e
offerta di a, è dato da 80-8a=2a, quindi a=8.
4) In un certo sistema economico locale vi sono due soggetti. I due fanno domanda di aria pulita,
denominata A e sono note le loro funzioni di domanda, rispettivamente A1=2-p e A2=2-2p, con p
prezzo dell’aria. A causa della presenza di un produttore di emissioni inquinanti nella zona, l’aria
pulita può essere fornita solo ad un certo costo marginale, MC, secondo la relazione MC=A. Si
determini e si rappresenti graficamente:
- la domanda aggregata di aria pulita
- la quantità di aria pulita che è socialmente efficiente fornire nel sistema
- la quantità di aria che viene fornita nel sistema se il consumatore 1 si comporta da free
rider
- la tassa di Pigou che dovrebbe essere imposta ad una impresa se il costo di fornitura
dell’aria pulita fosse interpretato come costo di abbattimento per quell’impresa
- L’aria pulita è un bene pubblico per i soggetti che ne godono. Quindi la domanda aggregata non
può essere ricavata come usuale per i beni privati, sommando le quantità domandate rispetto ad ogni
possibile prezzo del bene. Occorre invece sommare i prezzi di riserva associati ad ogni possibile
quantità fornita del bene pubblico, che si ricavano dalle singole funzioni inverse di domanda e che
sono rispettivamente MWP1= 2 - A1 e MWP2 = 1 - (½)A2.
Quindi MWP=MWP1+MWP2=3-(3/2)A (graficamente è la somma in verticale delle funzioni
inverse di domanda).
- Eguagliando il costo marginale della fornitura di aria pulita con la disponibilità a pagare
aggregata, A=3-(3/2)A, si ottiene A=4/3, quantità di aria pulita socialmente ottima.
- Se il soggetto 1 non contribuisse A=2/3
- Se consideriamo la situazione come quella di un “mercato” dell’aria pulita, MC sono i costi
marginali di abbattimento sostenuti dalle imprese. La tassa che deve essere imposta alle imprese
affinchè producano A=2/3 deve quindi essere t=2/3.
5) Su di un ambito locale ambientale (un parco) insistono sia le attività produttive che quelle
ricreative di due comuni, sul cui territorio è collocato il parco. A causa del deterioramento del bene
pubblico ambientale parco i due comuni esaminano singolarmente e simultaneamente la situazione,
valutando la possibilità di investire in una tecnologia di controllo dei danni delle attività
produttive. I benefici netti sono rappresentati dalla seguente matrice delle vincite di un gioco con
due giocatori, A e B, che devono decidere se investire o non investire nella tecnologia:
A\B
Inv
Non-Inv
Inv
1,1
-1 , 3
Non-Inv
3 , -1
0,0
Supponendo che un ente sovracomunale, ad esempio la provincia, sia preoccupato dal fatto che
l’investimento in tecnologia socialmente ottimo non sia raggiunto identificare l’ammontare minimo
della sanzione amministrativa che deve essere imposta per ottenere l’ottimo sociale.
L’equilibrio del gioco simultaneo rappresentato è dato dalla coppia di strategie Non-Inv/Non-Inv.
Tale equilibrio è Pareto-dominato dalla coppia Inv/Inv, ma tale situazione non è individualmente
ottimale a causa della possibilità di free-riding (se l’altro comune fornisce il bene ed il bene è
pubblico è privatamente ottimale non investire). Per indurre il singolo comune ad investire occorre
introdurre una sanzione tale per cui Non-Inv non sia risposta ottima alla scelta di investimento
dell’altro. Quindi la sanzione deve essere pari almeno a 3. Con tale sanzione il gioco diventa
A\B
Inv
Non-Inv
Inv
1,1
-1 , 0
Non-Inv
0 , -1
-3 , -3
e l’equilibrio è dato dalla coppia Inv/Inv
6) In una economia vi sono due imprese che emettono una sostanza inquinante E. Gli agenti
economici che operano in questa economia sostengono un danno marginale aggregato da emissioni
pari a: D’(E)= (1/3)E. Le imprese hanno un benefico marginale da emissione pari rispettivamente
a B’(E1)= (5-E1) e B’(E2) = 4 -(1/2)E2. Si determini e si rappresenti graficamente:
- la quantità di emissioni totali in assenza di regolamentazione
- la quantità di emissioni totali nel caso in cui l’autorità di politica economica imponga una
appropriata tassa di Pigou
- la quantità di emissioni di ogni impresa se la quantità totale determinata al punto
precedente fosse allocata in parti uguali alle due imprese e poi aperto un mercato dei
permessi di inquinamento
- Le imprese costituiscono la “domanda di emissioni”: il beneficio marginale è il prezzo massimo
che le imprese sono disposte a pagare pur di poter produrre una data quantità di E. La domanda
aggregata di emissioni è data, ad ogni possibile prezzo, dalla somma delle domande individuali. In
assenza di regolamentazione, o con diritti di proprietà non specificati, produrre emissioni non costa
nulla e le imprese “domanderebbero” emissioni come se il “prezzo” di E fosse nullo. E=5+8=13. Si
noti che mentre per i danneggiati le emissioni sono un “male” pubblico, per le imprese le emissioni
sono un bene privato.
- Per ottenere i Bm aggregati, da comparare poi con i Dm aggregati, occorre sommare le due curve
di domanda. Formalmente per ottenere Bm(E) occorre prima ottenere le funzioni di domanda
dirette delle singole imprese (cioè in funzione del prezzo), quindi sommare E1 + E2, poi ritornare
alla funzione di domanda inversa (cioè il prezzo in funzione di E). E1 = 5 – p , E2 = 8 – 2p, quindi
E = 13 - 3p, p = Bm = 13/3 – (1/3)E. Eguagliando Bm=Dm si ottiene E = 13/2, emissioni totali
tenendo conto del costo sociale. t = 13/6, è la tassa di Pigou.
- Se ogni impresa ha 13/4 di diritti di emissioni c’è un incentivo allo scambio dei diritti, poiché
vale B’(E1)= 5 – 13/4 = 7/4 e B’(E2) = 4 – (1/2)13/4 = 19/8. L’impresa due è disposta a pagare un
prezzo più alto del beneficio marginale dell’impresa 1. La quantità di E2 aumenterà fino a quando il
beneficio marginale che ne ottiene è tale da compensare la perdita di beneficio che l’altra impresa
ricava da E1, cioè fino a quando i benefici marginali non si eguagliano. Quindi E1 = 17/6 E2 = 22/6
sono le quantità che si determinerebbero se ci fosse un mercato della quantità totale di E
determinata sopra: le quote sono determinate dall’eguaglianza fra i Bm delle due imprese, sotto il
vincolo che E1 + E2 = 13/2.
La determinazione può avvenire anche impostando il problema in termini di costi di abbattimento,
considerati come rinuncia ai benefici da emissione. Si noti che poiché quando confrontano una
tassa le imprese la interpretano come prezzo da pagare per emettere, se la tassa è quella associata
alla produzione socialmente ottima le imprese produrranno la stessa quantità identificata attraverso
il mercato.
7) Una impresa ha a disposizione una tecnologia di abbattimento di emissioni rappresentata da
TC(a)=a2. Il livello massimo di abbattimento, determinato dal livello di emissioni, e, che
massimizza i suoi profitti privati, è a=100. L’autorità di politica economica stabilisce una tassa
sulle emissioni t=10.Quale valore attribuisce l’impresa ad una tecnologia maggiormente efficace
nell’abbattimento quale TC’=(1/4)a2? Se la tassa raddoppia quale effetto induce sulle scelte
dell’impresa?
In assenza di tassa l’impresa trova conveniente e=100 e a=0, con a=100-e. Una tassa sulle
emissioni induce l’impresa a minimizzare i costi da tassazione + abbattimento. Min t(100-a)+TC(a)
ha una soluzione, derivando rispetto ad a, in –t+2a=0. Quindi se t=10 a=5. I costi totali sono
950+25. Con la seconda tecnologia vale –t+(1/2)a=0 per un abbattimento ottimale a=20 e costi
totali 800+100. Poiché la seconda tecnologia riduce i costi totali di 75 questo è il prezzo massimo
che l’impresa è disposta a pagare per la sua disponibilità.
Con un livello della tassa sulle emissioni più alto, l’impresa trova in generale più conveniente
abbattere maggiormente. Inoltre il valore attribuibile alla tecnologia più efficace nell’abbattimento
cresce. Infatti Con t=20 i livelli ottimali di a sono rispettivamente a=10 e a=40, i costi totali
1800+100 e 1200+400, con un risparmio da adozione della nuova tecnologia che sale a 300.
9) Due imprese emettono una sostanza inquinante. La prima emette E1=200 e ha costi marginali di
abbattimento MC1= A1. La seconda emette E2=400 con MC2=(1/2)A2. L’autorità di politica
economica fissa uno standard di quantità aggregato E=400 e impone alle aziende di abbattere le
loro emissioni al fine di rispettarlo. A tale scopo è istituito un mercato dei permessi di
inquinamento. I permessi sono così allocati P1=150 e P2=250. Determinare il prezzo di equilibrio
che si stabilisce sul mercato e i rispettivi abbattimenti effettivi.
Poiché le imprese hanno costi marginali di abbattimento lineari possiamo utilizzare il modello
presentato nel cap. 3 e ricavare direttamente il prezzo, tenendo conto che gli abbattimenti iniziali
richiesti sono A1=50 e A2=150. Quindi vale p=a1a2/(a1+a2) x (A1+A2)=1/3 x 200 = 200/3. Gli
abbattimenti effettivi sono quindi 200/3 per la prima impresa (invece di 50) e 400/3 per la seconda
(invece di 150). La prima impresa opera come offerente netto di permessi, la seconda come
domandante netto.
Lo stesso risultato si può ottenere utilizzando le domande nette di permessi di emissione di ogni
impresa. Poiché per minimizzare i costi di abbattimento le imprese fissano MC=p, rispettivamente
A1=p e A2=2p. Il permesso di emissione è relativo a E-A. Vale quindi che: PN1=(200-p)-150 e
PN2=(400-2p)-250. Il prezzo di equilibrio si determina ove si annulla la somma delle domande di
permessi netti.
10) Un ambito marino ben delimitato è particolarmente noto per la pesca di astici. Per operare in
quel tratto di mare le imprese di pesca sostengono un costo marginale costante e pari a 2000 Euro
la settimana. La pesca garantisce un ricavo settimanale totale RT=1000(10x-x2) dove x è il numero
delle imprese di pesca che operano sul tratto di mare in una determinata settimana. Determinare il
numero di imprese che opera settimanalmente.
La comunità locale, preoccupata degli effetti di lungo periodo della pesca decide di limitare
l’accesso al tratto di mare e di consentire l’accesso solo attraverso il rilascio di permessi. Quanti
permessi è conveniente emettere? Se invece di emettere permessi la comunità locale decidesse di
imporre una tassa locale per l’accesso, a quanto dovrebbe essere fissata la tassa?
Nell’ottica della singola impresa è conveniente accedere al tratto di mare fino a quando il costo di
pescare è inferiore al profitto ottenuto. Quindi l’impresa, interessata al profitto unitario, decide di
entrare fino a quanto RT/x≥2000. Quindi è possibile determinare il numero delle imprese attraverso
l’equaglianza RMedio=CMedio, ossia 10000-1000x=2000. Opereranno 8 imprese.
La comunità locale è interessata al profitto complessivo derivante dall’attività di pesca, non a
quello individuale. Massimizzando П=RT-CT, ponendo cioè MR=MC si determina che è ottimale
far pescare 4 barche e quindi emettere 4 permessi.
Invece di emettere permessi è possibile fissare t in modo che 1000-1000x=2000+t, in modo che
x=4. Quindi la tassa deve essere pari a 4000.
