Comportamento meccanico dei nanomateriali:aspetti generali e
modelli computazionali
Corbari Nicholas
Scorza Daniela
Comportamento meccanico dei nanomateriali:
Aspetti generali e
modelli computazionali
Corbari Nicholas
Scorza Daniela
Parma, 08-06-2011
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Comportamento meccanico dei nanomateriali:aspetti generali e
modelli computazionali
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Introduzione:
• Cos’è la meccanica dei solidi?
• Cos’è il Metodo degli Elementi Finiti?
• Perché applicare la nanomeccanica per lo studio del comportamento
dei materiali nell’ingegneria?
• Quali sono le difficoltà che si incontrano in questo tipo di studio?
• Quali sono gli approcci numerici usati?
• Quali sono le possibili applicazioni?
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Meccanica dei solidi: La meccanica dei solidi (o meccanica dei materiali) è un ramo
dell’ingegneria che si occupa di determinare la risposta dei materiali all’azione dei carichi
esterni, nel dettaglio le tensioni, le deformazioni ed il comportamento a frattura.
Si basa sul principio di continuità del materiale studiato.
Metodo degli elementi finiti: fa parte dei metodi di simulazione della realtà (virtual
modelling).
Il metodo agli elementi
finiti conserva gli aspetti
salienti del fenomeno,
decomponendo
un
problema complesso in
un insieme di numerosi
piccoli problemi tramite
il processo di discretizzazione, risolvendoli e riassemblando le numerose soluzioni dei singoli problemi semplici
al fine di ricostruire il problema iniziale.
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Metodo degli elementi finiti: riduce il problema iniziale alla soluzione di un sistema
lineare di equazioni facilmente risolvibili per via numerica.
Il metodo agisce riducendo il numero dei gradi di libertà del sistema: da un numero
infinito di parametri (continuo) ad un numero finito di parametri corrispondenti allo stato
di alcuni punti (nodi degli elementi).
Nel caso di problemi di meccanica dei solidi si
ricostruisce il campo degli spostamenti.
La configurazione di equilibrio di un solido
corrisponde allo stato di minima energia del
sistema. La posizione di tutti i nodi è
determinata minimizzando l’energia del sistema.
Per ciascun elemento viene scritta una matrice di rigidezza Kel, assemblando le N matrici
si ottiene quella dell’intero sistema K, gli spostamenti incogniti si ottengono risolvendo il
sistema Ku P (N eq.algebriche),
dove u è il vettore degli spostamenti nodali e è il vettore delle forze sbilanciate.
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Perché applicare la nanomeccanica nell’ingegneria:
La prima caratteristica della nanomeccanica è quella di infrangere il postulato
della continuità del materiale studiato.
decade l’ipotesi che il materiale si a infinitamente divisibile.
Di conseguenza è necessaria una simulazione quantistica, (ab initio o empirica),
per considerare interamente gli effetti dei livelli degli elettroni in quasi tutte le
simulazioni della nanomeccanica.
Risultati sperimentali, non
spiegabili con la
meccanica dei materiali
classica, trovano
un’efficiente spiegazione
con la nanomeccanica e lo
studio a livello atomico
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F. Cèlarì et al. (2003) e Marlìere et al. (2003).
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Il problema della scala spaziale e temporale:
Un’altra particolarità nella nanomeccanica riguarda la scelta della scala spaziale e
temporale da adottare.
La simulazione dei materiali su nanoscala richiede non solo un a modellazione atomica e
molecolare, ma anche una modellazione del continuo (Kouris e Gao, 2002).
un singolo modello non è sufficiente a descrivere interamente il comportamento
del mezzo su nanoscala. Nasce il concetto di multiscale modelling.
In figura è riportato l’esempio di un
modello multiscala per stabilire una
relazione tra la meccanica quantistica, la
micromeccanica e le proprietà
macroscopiche (resistenza-rigidezza) di
un’acciao.
Anche le scale temporali coinvolte sono
differenti
problema ancora irrisolto!
Liu, et al., (2004)
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Origine elettronica delle proprietà dei meccaniche dei materiali:
Meccanica quantistica: - formulazione semi-empirica
- formulazione ab initio
Il tight-binding method è una formulazione semi-empirica molto diffusa, mentre i metodi
ab initio si basano principalmente su due teorie :la density functional theory e la HartreeFock Theory.
La simulazione quantistica dei nanomateriali in generale si basa sul calcolo dell’energia
totale del sistema atomico.
Equazione di Schrödinger:
Ψ(, ) Ψ(, ),
dove Ψ(, ) è l’autofunzione e è l’autovalore dell’energia del sistema, ed sono la
La funzione Hamiltoniana è:
() () () (, ) (),
dove T è l’energia cinetica, mentre V è l’energia potenziale.
coordinate degli elettroni e dei nuclei.
Approssimazione di Born-Oppenheimer:
La funzione Hamiltoniana approssimata diventa:
Ψ() Ψ()
() () (, )
non è più l’energia totale del sistema, ma l’energia degli elettroni
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Formulazione semi-empirica: Tight-Binding Method
E’ un metodo semi-empirico e come tale sono preferibili quando l’onere computazionale è
notevole, ma va applicato con attenzione poiché la sua accuratezza è legata alla scelta dei
parametri da usare. Si basa sul metodo della Combinazione Lineare degli Orbitali Atomici
(LCAO), originariamente proposta da Bloch (1928) e poi rivista da Slater e Koster (1954).
Equazione di Schrödinger per il T-BM:
|"ψ$" |"ψ$",
dove |"ψ$" è la funzione d’onda dell’elettrone scritta secondo la notazione di Dirac.
|"ψ$" ∑*'+, &' "|() "$
Si assume che la funzione d’onda risultante:
Risolvere l’equazione di Schödinger equivale a minimizzare il funzionale energetico:
-.|H|.0
,
-.|.0
dove -ψ|ψ0 1, per cui si può riscrivere: 2 3-4|5 6 7|408 0.
: ; <=;
In forma si scrive:
5
:'> -?' ||?' 0 è la transfer integral matrix e @'> -?' |?' 0 è la overlap integral matrix
dove Parma, 08-06-2011
: 6 =A 0
A5
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Formulazione ab-initio: produce risultati accurati, anche se dipendenti dalle scelte
effettuate, ad esempio la scelta delle funzioni base.
Density Functional Theory (DFT): Negli anni ’60, Hohenberg e Kohn (1964) e Khon
e Sham (1965) formularono la density functional theory, esprimendo l’energia totale del
sistema mediante il funzionale della densità totale degli elettroni.
L’energia di un sistema costituito da un certo numero di elettroni è scritta:
T |ρ(D)| VF |ρ(D)| EHF |ρ(D)|,
dove T e V sono rispettivamente l’energia cinetica degli elettroni e quella potenziale degli
elettroni-nuclei e nucleo-nucleo.
Nella formulazione vengono considerati solo gli elettroni più esterni (di valenza), mentre
gli elettroni interni e i nuclei sono trattati insieme come ioni.
EHF è il funzionale di scambio e dipende dall’approccio adottato.
EHF I ρ(D) εHF Kρ(D)L dD
Local Density Functional Theory (LSFT):
εHF è l’energia di scambio per l’elettrone all’interno di una nube di elettroni a densità costante.
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Per un sistema di N-elettroni, la funzione di densità degli elettroni è espressa tramite il
modulo di Khon-Sham per l’orbitale di un solo elettrone ψ) :
N
N
ρ(D) N|ψ) (D)|O N ψQ) (D)ψ) (D)
)+,
)+,
LDFT è un’approssimazione piuttosto rozza del sistema molecolare, perchè assume una
densità uniforme degli elettroni all’interno del sistema molecolare.
Altri approcci:
- Non-Local Functional Approach: dipendenza dell’energia del sistema anche da un
gradiente di densità degli elettroni;
- Car-Parinello Molecular Dynamic Method (CPMD);
- Conjugate-Gradient Method.
Altre formulazioni ab initio:
- Augmented Plane Wave (APW);
- Korringa-Kohn-Rostler (KKR) method;
- Linearized-Muffin-Thin-Orbital (LMTO) method;
- Full Potential Linearized Augmented Plane Wave (FPLAPW) method impiegato per
esempio per determinare le proprietà elettriche e strutturali dei semiconduttori.
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Ideal strength and stability:
Un cristallo ideale, privo di difetti, soggetto ad un carico crescente diventa instabile ed il
reticolo cristallino si rompe localmente quando il materiale raggiunge il suo limite
elastico.
La tensione corrispondente a questa instabilità di tipo elastico si dice Forza Ideale.
Più le dimensione del sistema considerato sono piccole, più questa quantità diventa
importante, e gioca un ruolo fondamentale nel campo delle deformazioni elastiche.
Da esperimenti sui nanomateriali si è osservato che la forza ideale influenza anche la
formazione di fratture e la nucleazione.
La formulazione ab initio e la simulazione molecolare forniscono buoni risultati per la
forza ideale.
Anche la simmetria del sistema influenza la determinazione della forza ideale, in quanto la
configurazione di equilibrio a livello atomico corrisponde sempre a strutture con
un’elevata simmetria.
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Plasticity and dislocation core: il comportamento meccanico dei solidi è legato alla
presenza di diversi tipi di difetti (sempre presenti all’interno dei materiali reali) che
possono cambiare sensibilmente le sue caratteristiche fisiche.
Le dislocazioni sono i difetti più importanti!
La teoria del continuo non è più valida in
corrispondenza del cuore della dislocazione.
L’introduzione di difetti cambia la struttura
elettronica e di conseguenza l’energia del
sistema.
Interessa studiare come!
Sono studiati con il metodo ab initio
semiconduttori in diamante, in zinco, in GaN
(figura) e in AlN.
Lee, et al., (2000)
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Molecular Dynamics (MD) Simulations of
Materials Mechanics
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Simulazione del comportamento a livello atomico.
Utilizzato per problemi in cui le dimensioni del modello sono troppo
grandi per una simulazione a livello quantistico, ma si deve mantenere una
scala atomica del problema.
MD inizialmente usata in termodinamica e in fisica chimica per calcolare le
proprietà termochimiche medie di vari sistemi fisici: gas, liquidi, solidi.
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Le due ipotesi base dell’MD simulations sono:
1) Le molecole o gli atomi sono descritti come un sistema di punti materiali
interagenti, il cui movimento è descritto dinamicamente attraverso un
vettore di posizioni e velocità istantanee. Interazioni tra atomi dipendono
strettamente dalla distribuzione spaziale e dalle distanze tra gli atomi.
2) Non si hanno variazioni di massa nel sistema, quindi il numero di atomi
all’interno del sistema rimane invariato. Il sistema viene trattato come un
dominio isolato in cui l’energia viene conservata. Esistono tecniche non
conservative (Berendsen, Schafer, Karpov).
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Equazioni del moto di Lagrange
Le equazioni del moto di un sistema di punti materiali interagenti
(particelle o atomi), con s gradi libertà possono essere generalmente
scritte nei termini di una Lagrangiana
d ∂L
∂L
−
= 0 , α = 1,2,..., s
dt ∂q&α ∂qα
La simulazione MD si riferisce a un sistema di coordinate Cartesiane, dove
l’equazione precedente viene semplificata:
d ∂L ∂L
−
= 0 , i = 1,2,..., N
&
dt ∂ri ∂ri
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(1)
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L’equazioni del moto di Lagrange per l’omogeneità del tempo e dello
spazio, l’isotropia dei sistemi inerziali non devono dipendere dalla scelta
dell’istante iniziale di osservazione, dall’origine del sistema di riferimento
e dalla direzione degli assi, ma dal valore assoluto dei vettori velocità. Una
possibile funzione per particelle non interagenti:
N m r& 2
mi 2
2
2
L=∑
x&i + y& i + z&i ≡ ∑ i i
i =1 2
i =1 2
N
(
)
Considerando l’interazione tra particelle la Lagrangiana diventa:
mi r&i2
L=∑
− U (r1 , r2 ,..., rN )
i =1 2
N
Quindi l’equazione del moto in forma Newtoniana:
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mi&r&i = −
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∂U (r1 , r2 ,..., rN )
≡ Fi
∂ri
Con Fi forza interna esercitata sull’atomo i.
Equazioni del moto di Hamilton
Un’alternativa alla funzione Lagrangiana in termini di coordinate
generalizzate e quantità di moto è la formulazione di Hamilton.
Le variabili indipendenti sono quindi la coordinata generalizzata q e la
quantità di moto canonica p.
Considerando il differenziale completo della lagrangiana:
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∂L
∂L
∂L
dqα +
dq&α +
dt
∂t
∂qα
∂q&α
∂L
∂L
=
∂qα + pα dq&α +
dt
∂qα
∂t
dL =
= d ( pα dq&α ) +
∂L
∂L
dqα − q&α dpα +
dt
∂qα
∂t
d ( pα dq&α − L ) = −
∂L
∂L
dqα + q&α dpα − dt
∂qα
∂t
L’hamiltoniana si scrive quindi:
dH = −
∂L
∂L
dqα + q&α dpα − dt
∂qα
∂t
E
H (p, q, t ) = ∑ q&α pα − L(p, q, t )
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Usando l’equazione Lagrangiana si può scrivere
∂L
d ∂L
=
∂qα dt ∂q&α
= p& α
Quindi
dH = − p& α dqα + q&α dpα −
∂L
dt
∂t
Ma si può anche scrivere
dH =
∂H
∂H
∂L
dqα +
dpα + dt
∂qα
∂pα
∂t
Confrontando le due equazioni precedenti si ottengono le equazioni del
moto di Hamilton:
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p& α = −
∂H
∂qα
q&α =
∂H
∂pα
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∂H
∂L
=−
∂t
∂t
Per un sistema conservativo di N atomi interagenti in un sistema
cartesiano si può scrivere
H (r1 , r2 ,..., rN , p 1 , p 2 ,..., p N ) = ∑
i
ri =
pi pi
+ U (r1 , r2 ,..., rN )
2mi
∂H
∂H
, p& i = −
∂p i
∂ri
Se sono note la funzione Hamiltoniana e lo stato iniziale degli atomi del
sistema, si possono computare istantaneamente le posizioni e la quantità
di moto in istanti successivi.
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Potenziali Interatomici
Se si vuole rappresentare l’interazione interatomica del sistema si devono
considerare gli effetti meccanici quantistici.
U (r1 , r2 ,..., rN ) = ∑U1 (ri ) +
i
∑U 2 (ri , r j ) +
i, j > i
∑U 3 (ri , r j , , rk ) + ...
i, j > i, k > j
Il primo termine rappresenta l’energia dovuta a una campo di forze
esterno, gravitazionale o elettrostatico, in cui il sistema è immerso, il
secondo termine l’interazione tra due coppie di particelle, il terzo tra tre
particelle.
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1.Bond stretching term; 2. Angle term; 3. Torsion term; 4. Out of plane
term; 5. Bond -Bond term; 6. Angle - Angle term; 7. Bond - Angle term; 8.
Angle - Angle - Torsion term; 9. Out of plane - Out of plane term; 10. Non
bonded term; 11. Electrostatic term; etc….
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Per la scelta dei potenziali si devono considerare le seguenti
caratteristiche:
- Accuratezza nel riprodurre le caratteristiche d’interesse,
- Trasferibilità devono poter essere usati per diverse caratteristiche,
- Velocità computazionale calcoli veloci con potenziali semplici.
Non esistono potenziali giusti o sbagliati, ci sono potenziali appropriati o
meno per descrivere il fenomeno che si sta studiando.
I potenziali possono essere divisi in due classi:
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1) Pair Potentials tra coppie di atomi ( solo U2) (hard spheres, Lennard
Jones, Morse)
2) Multi-Body Potentials multi atomici ( U3 e superiori)
Pair-Potentials
Hard/soft spheres è il più semplice potenziale senza nessuna interazione
coesiva. Utile per indagini teoriche di alcun i problemi ideali.
∞
U (rij ) =
0
for
for
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rij ≤ r0
rij > r0
-hard
rij
U rij =
r0
( )
−n
-soft
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Lennard- Jones propongono questo potenziale per descrivere l’interazione
tra coppie di atomi.
σ 12 σ 6
U ri , r j = U (r ) = 4ε − , r = rij = ri − r j
r
r
(
)
Con ε = energia di legame, σ = diametro di collisione
Il minimo di questa funzione rappresenta lo stato di equilibrio per una
coppia di atomi. Il primo termine del potenziale rappresenta la repulsione
atomica, dominante per piccole distanze mentre il secondo termine
rappresenta l’attrazione.
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La forza corrispondente tra due atomi può essere espressa come una
funzione della distanza interatomica:
∂U
ε
F (r ) = −
= 24
∂r
σ
σ 13 σ 7
2 −
r
r
Il potenziale di Lennard-Jones descrive bene l’interazione di van der Waals
nei gas inerti e i sistemi molecolari (Ar, Kr, CH4, O2, H2, C2H4, etc..)
Tentativo di utilizzo nei metalli (Halicioglu e Pound) che però non ha
trovato applicazioni pratiche.
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Potenziale di Morse , simile al potenziale di Lennard-Jones
[
U (r ) = ε e 2 β ( ρ − r ) − 2e β ( ρ − r )
]
,
[
F (r ) = 2εβ e 2 β ( ρ − r ) − 2e β ( ρ − r )
]
Con ρ = lunghezza di equilibrio, ε = energia di dislocazione, β = fattore di
scala inverso della lunghezza
Utilizzato quando l’interazione attrattiva deriva da un legame chimico.
Potential Cut-Off
Le funzioni potenziali come Lennard-Jones hanno un infinito range di
interazione, si stabilisce quindi un raggio di cut-off Rc per cui le
interazioni tra atomi separati da una distanza maggiore di Rc sono
ignorate.
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AFEM (Atomic-scale Finite Element Method)
La configurazione di equilibrio di un sistema di N atomi corrisponde allo
stato di minima energia totale. Indicando con:
Etot ( x ) = Etot ( x1 , x 2 ,...., x N ) , la funzione che definisce l’energia totale del
sistema, lo stato di equilibrio è identificato dalla relazione:
∂Etot ( x)
=0
∂x
Nel contesto della simulazione molecolare dinamica (MD) un potenziale
interatomico deve essere considerato come uno strumento per
determinare le forze agenti tra gli atomi.
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Non ci si addentra in questo modo nella complessa descrizione della
dinamica degli elettroni, ma per trovare la configurazione di equilibrio si
utilizzano potenziali i cui valori dipendono dai parametri dei materiali e
dalla mutua posizione degli atomi.
Lo stato minimo di energia è:
∂Etot ∂U tot (x)
=
− Fi = 0
∂x i
∂xi
Attraverso un sviluppo in serie di Taylor si ottiene:
∂E
Etot ( x) ≅ Etot ( x0 ) + tot
∂x
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2
1
T ∂ Etot
(x − x 0 ) + (x − x0 )
2
∂x 2
x0
( x − x0 ) + ...... − Fi ⋅ xi
x0
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∂Etot ∂Etot
∂ 2 Etot
≅
+
( x − x 0 ) + ..... − F = 0
2
∂x
∂x x 0
∂x x
0
∂ 2 Etot
∂x 2 x
0
(x − x 0 ) =
∂ 2U tot
∂x 2 x
0
(x − x 0 ) = F −
∂Etot
= K (x − x 0 ) = P
∂x x 0
Con Matrice di Rigidezza
∂ 2U tot
∂xi ∂xi
1 ∂ 2U tot
2
∂ U tot
=
K ij =
∂x i ∂x j 2 ∂xi −1∂x1
1 ∂ 2U tot
2 ∂xi − 2∂x1
....
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1 ∂ 2U tot
2 ∂xi −1∂x1
0
0
....
1 ∂ 2U tot
....
2 ∂xi − 2∂x1
0
....
0
....
....
....
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Quindi l’equazione che governa il problema è la seguente
Ku=P
È la stessa equazione che governa la modellazione continua FEM .
Atomic-scale Finite Element Method, (AFEM)
Un sottoinsieme di atomi è chiamato elemento e la composizione
dell’elemento dipende dalla struttura atomica e dalla natura delle
interazioni atomiche.
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AFEM è specifica per diversi materiali, mentre la modellazione FEM è
generica per tutti i materiali, questo perché un AFEM element dipende
dalla struttura atomica e dai potenziali interatomici diversi per ogni
materiale. Spesso un AFEM element è composto da un insieme di atomi.
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Sviluppi
Multiscale computational methods
Il convenzionale approccio continuo FEM funziona per problemi a micro e macro
scala, ma non descrive il comportamento degli atomi che interagiscono
vicendevolmente (multy-body interactions)
Invece la simulazione atomica AFEM viene usata per cogliere il comportamento
del materiale a livello atomico, ma è difficilmente implementabile per problemi
di grandi dimensioni e con elevati gradi di libertà.
I multi scale computational methods nascono dall’esigenza di studiare materiali
e sistemi a diverse scale d’indagine
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(Immages From: Atomic-scale finite element method in multiscale computation with applications to carbon nanotubes, B. Liu,
H. Jiang, Y. Huang, S. Qu, and M.-F. Yu)
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Utilizzo a scala mesoscopica
Uno dei campi della meccanica in cui la modellazione molecolare dinamica
ha dato maggiormente i suoi frutti è la meccanica della frattura incluse la
propagazione delle fessure e la dislocazione delle emissioni.
Anton M. Krivtsov ha studiato attraverso la MD simulation la penetrazione
di un proiettile in un piatto.
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La MD ha trovato largo impiego anche nella rappresentazione di materiali
cristallini.
Sempre Anton M. Krivtsov per ottenere materiali composti da elementi
mono cristallini con diversa porosità, non casuale, ma predefinita, senza
avere enormi costi computazionali, ha utilizzato semplicemente un
potenziale di Lennard-Jones per descrivere l’interazione dei grani a una
scala mesoscopica.
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Spallation in un elemento monocristallino. Il rettangolo mostra l’elemento
prima dell’impatto.
Spallation in un elemento policristallino con 1% di porosità.
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Spallation in un elemento policristallino con 15% di porosità.
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Applicazione dell’Atomic-scale Finite Element Method (AFEM):
Il metodo agli elementi finiti non è applicabile in problemi su nanoscala.
IL AFEM costruisce elementi finiti atomici, la cui formulazione si basa sui sull’energia
potenziale di interazione atomica.
Per un sistema di N atomi, l’energia immagazzinata nei legami atomici è data da:
USTS ∑N
)Y> UUxW 6 x) X,
dove U è il potenziale interatomico e x) è la posizione dell’atomi i-esimo.
L’energia totale è definita come:
[
ESTS (x) USTS (x) 6 ∑N
)+, F) · x) ,
dove x (x, , xO , … , xN )N e F[) è la forza esterna agente.
Lo stato di minima energia corrisponde a minimizzare:
e applicando lo sviluppo in serie di Taylor:
T ^g E`a`
^E
,
`a`
(
)
(
)
(
)
c
c
c
"
ESTS (x) b ESTS Ux X d
Ux 6 x X Ux 6 x X "
d
^H
O
H+H(e)
^E`a`
^H
0,
(c)
Ux
6
x
X
(e)
^H ^H H+H
Scrivendo lo spostamento come u x 6 x (c) , possiamo scrivere Ku P, dove
gE
gU
^
^
^E
^U
`a`
`a`
"
"
K
d (e) d (e) e P 6 " `a` d (e) F[ 6 " `a`d (e) .
^H ^H H+H
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^H ^H H+H
^H
H+H
^H
H+H
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Gli elementi AFEM sono specifici del tipo di
materiale studiato, e dipendono non solo dal tipo
di struttura atomica, ma anche dal tipo di
interazioni atomiche. Nel’esempio riportato si
considerano elementi AFEM tridimensionali per
nanotubi in carbonio
Ciascun elemento del modello AFEM è costituito
da dieci atomi di carbonio.
La matrice di rigidezza K dell’elemento ed il
vettore delle forze sbilanciate P è dato:
K ijikilS n
^g U`a`
p
^Ho ^Ho qHq
m
, ^g U`a`
n
p
O ^Hr ^Ho OsHq
n
, ^g U`a`
p
O ^Ho ^Hr qHOs
(0)OsHOs
t e P ijikilS u
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^U
nF[) 6 `a` p
^Ho
(0)OsH,
qH, v
Il AFEM procede in ogni iterazione:
• Al calcolo della matrice di rigidezza e del vettore delle forze sbilanciate di ordine N.
• Alla risoluzione dell’equazione Ku P, anch’essa di ordine N, dovuta alla matrice K
sparsa.
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Consideriamo il caso di un nanotubo in carbonio
tipo armchair simulato con quattro schemi costituiti
da un numero di atomi diversi, 400, 800, 1600 e
3200 atomi. Il nanotubo in carbonio è bloccato alle
estremità e soggetto ad una forza laterale applicata
in mezzaria di circa 8 nN.
Nella figura a destra si mostra il numero di passi
iterativi M e la deformazione in funzione al
numero di atomi dello schema simulato.
Sarebbe errato usare il FEM così com’è, in quanto
comporterebbe errori computazionali.
Si adotta un modello costitutivo locale per un
potenziale atomico non-locale.
Elementi di transizione assicurano una corretta
interfaccia AFEM/FEM e soddisfano i seguenti
requisiti:
• devono possedere sia caratteristiche locali,
che non-locali;
• devono superare il patch test.
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Nanotubo in carbonio armchair lungo 605
nm, costituito da 48200 atomi, estremità
fissate con spostamento imposto in
mezzeria pari a 81nm.
Due modelli:
• 48200 elementi AFEM
• 800 AFEM + elem. FEM.
Differenza nei risultati inferiore all’1%;
tempo di elaborazione è di 24 minuti
contro 13 s; memoria richiesta circa il 2% del modello AFEM (48000).
• L’AFEM può tener conto
simultaneamente delle multiple
interazioni tra gli atomi, sia dei
legami covalenti che delle forze di
Van der Waals.
• L’AFEM
consente
di
determinare anche la frequenza ed i
modi di vibrazione dei nanotubi.
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Riferimenti bibliografici:
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Mechanics and Engineering, 193, 1529 (2004);
• S. Hao, W. K. Liu, B. Moran, F. Vernerey and G. B. Olson, Comput. Meth. Appl.
Mech. Eng. 193, 1865 (2004);
• R. M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods,
Cambridge University Press, Cambridge (2004);
• H. J. C. Berendsen, J. P. M. Postma, W. F. van Gunsteren, A. DiNola and J. R.
Haak, Journal of Chemical Physics 81, 3684 (1984);
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• W. K. Liu, S. Jun and D. Qian, Handbook of theoretical and Computational
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