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DERIVATA di una funzione
Sia f : A → R e x*∈A
punto di accumulazione
di A
∆f f ( x ) − f ( x*)
=
è il RAPPORTO INCREMENTALE
∆x
x − x*
Il rapporto incrementale di f calcolato in x*
rappresenta il coefficiente angolare della secante
passante per i punti P0 e P
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Se esiste ed è finito il
lim
x → x*
allora f
f ( x ) − f ( x*)
x − x*
è derivabile in x*;
il valore finito del limite si chiama
DERIVATA di f in x* e si indica con
f ′( x*) o
df
dx
x*
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Significato GEOMETRICO della derivata
f derivabile in x*
x→x* ⇒ s→t
⇓
f ( x ) − f ( x*)
= m s → mt
x − x*
x→x*
⇓
f ( x ) − f ( x*)
→ f ′( x*)
x − x*
⇓
f ′( x*) = mt
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La derivata di f in x* rappresenta
il
coefficiente angolare della
retta tangente alla curva nel
punto P*=(x*,f(x*))
Sia f : A → R e x* ∈ A
Se f è derivabile in x*, la curva y=f(x)
è dotata di retta tangente nel punto
P*=(x*,f(x*)) e l’equazione di tale retta è
y = f ( x*) + f ′( x*)( x − x*)
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ESEMPIO
C=C(q) Costo che un’impresa deve sostenere
per produrre una certa quantità q di
merce (costo in funzione della quantità)
C ( q ) − C ( q*) Rapporto incrementale di C(q) cioè
rapporto tra la variazione del costo di
q − q*
produzione e la variazione della
quantità prodotta, quando l’impresa
passa da una produzione q* ad una
produzione q (tasso di variazione dei
costi)
C ′( q*) =
C ( q ) − C ( q*)
= lim
q→ q*
q − q*
Variazione di C relativa ad una
variazione “infinitesima” di q
(costo marginale in q*)
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Sia f : A → R e x*∈ A punto di accumulazione
di A
Si dice che f è differenziabile in x*
se ∃a∈R:
lim
x → x*
f ( x ) − f ( x*) − a ( x − x*)
=0
x − x*
a(x-x*) si chiama DIFFERENZIALE di f in x*
NB : f differenziabile ⇒
⇒ lim [ f ( x ) − f ( x*) − a ( x − x*)] = 0 ⇒
x → x*
⇒ lim [ f ( x ) − f ( x*)] = lim a ( x − x*) = 0
x → x*
x → x*
f differenziabile ⇒ f continua
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f differenziabile in x* ⇔ f derivabile in x*
⇒
f differenziabile in x * ⇒ ∃a ∈ R :
f ( x ) − f ( x*) − a( x − x*)
=0⇒
lim
x → x*
x − x*
f ( x ) − f ( x*)
⎡ f ( x ) − f ( x*)
⎤
=a⇒
⇒ lim ⎢
− a⎥ = 0 ⇒ lim
x → x* ⎣
x → x*
x − x*
x − x*
⎦
⇒ f derivabile in x * e f ′(x*) = a
⇐
f derivabile in x * ⇒
f ( x ) − f ( x*)
x − x*
− f ′( x*)
=0⇒
lim
x → x*
x − x*
x − x*
f ( x ) − f ( x*) − f ′( x*)( x − x*)
⇒ lim
=0⇒
x → x*
x − x*
⇒ f differenziabile in x * e a = f ′(x*)
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Se f è differenziabile in x*
⇓
lim
x → x*
f ( x ) − { f ( x*) + f ′( x*)( x − x*)}
=0
x − x*
Da un punto di vista geometrico questo significa
che se f è differenziabile in x*, nei punti “vicini”
ad x*, la curva è ben approssimata dalla retta ad
essa tangente in (x*,f(x*))
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Sia f : A → R e x* ∈ A
f derivabile in x*
8
f differenziabile in x*
⇓
f continua in x*
NB: f continua in x*⇒f derivabile in x*
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ESEMPIO 1
f(x)=⏐x⏐
lim
x = 0 ⇒ f(x) = x è continua in x* = 0
x→ 0
x −0
∆f
lim
∃ infatti
= lim
Λx → 0 ∆ x
x→ 0 x − 0
x ⎧1 x > 0
x
x
⇒ lim+
= 1 ≠ lim−
= −1
=⎨
x
→
0
x
→
0
x ⎩- 1 x < 0
x
x
f(x)=⏐x⏐ è continua in x*=0 ma non è derivabile
in quel punto
Il punto x*=0 si chiama punto angoloso
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ESEMPIO 2
f (x) =
lim
x→ 0
3
x
2
x 2 = 0 ⇒ f(x) =
3
3
x 2 è continua in x* = 0
3
∆f
x2 − 0
1
lim
= lim
= lim 3
∃ infatti
x→ 0
x→ 0
Λx → 0 ∆ x
x−0
x
1
1
lim+ 3
= +∞ ≠ lim− 3
= −∞
x→ 0
x→ 0
x
x
f (x) =
3
x 2 è continua in x*=0 ma non è
derivabile in quel punto
Il punto x*=0 si chiama cuspide
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Calcolo della derivata di alcune funzioni
elementari
1) Sia f(x)=c
f:ℜ→ℜ
f ( x ) − f ( x *)
c−c
=
∀ x * ∈ R , lim
=
lim
x → x*
x → x*
x− x*
x − x*
0
= lim
=0
x → x*
x− x*
f è derivabile ∀x*∈R e la sua derivata è zero
∀x*∈R; resta quindi definita una nuova
funzione f’:ℜ→ℜ, derivata di f : f’(x)=0 ∀x∈R
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2) Sia f(x)=x
f:ℜ→ℜ
f ( x ) − f ( x *)
x− x*
=
∀ x * ∈ R , lim
=
lim
x → x*
x → x*
x− x*
x− x*
= lim 1 = 1
x → x*
f è derivabile ∀x*∈R
La funzione f’:ℜ→ℜ, derivata di f è f’(x)=1
∀x∈R
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3) Sia f ( x ) = x
f:ℜ→ℜ
n
f ( x ) − f ( x *)
x − (x * )
∀ x * ∈ R , lim
=
=
lim
x → x*
x → x*
x− x*
x− x*
( x − x *)( x n − 1 + x n − 2 x * + ... + ( x *) n − 1 )
= n ( x *) n − 1
= lim
x → x*
x− x*
n
f è derivabile ∀x*∈R
La funzione f’:ℜ→ℜ, derivata di f è
f ′( x ) = nx n − 1∀x∈R
n
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NB: una funzione f:A→R si dice
derivabile (differenziabile) in A
se è
derivabile (differenziabile)
∀x*∈A
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In maniera analoga alla precedente,
in base a definizione,
si possono calcolare le derivate delle
altre funzioni elementari
e compilare la seguente
tabella riepilogativa
delle derivate di
funzioni elementari
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TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE
FUNZIONI ELEMENTARI
f(x)
c
x
n
x
c
a
x
x
f’(x)
x∈R
0
nx
cx
n−1
c −1
x ∈ R , n ∈ Z − {0 }
x ∈ R , c ∈ R − {0 }
+
*
x
x ∈ R , a ∈ R − {1}
x
x∈R
a ln a
e
e
sen x cos x
cos x − sen x
2
1 cos x
tgx
+
*
x∈R
x∈R
x ∈ R − {π 2 + k π , k ∈ Z }
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REGOLE di derivazione (ricavate
utilizzando la definizione di derivata)
Siano f,g:A→R e derivabili in x*
• f ± g è derivabile in x * e
( f ± g )' ( x *) = f ' ( x *) ± g ' ( x *)
• f ⋅ g è derivabile in x * e
( f ⋅ g )' ( x *) = f ' ( x *) g ( x *) + f ( x *) g ' ( x *)
f(x)
è derivabile in x * e
• se inoltre g ( x *) ≠ 0 ,
g(x)
′
f ' ( x *) g ( x *) − f ( x *) g ' ( x *)
⎛ f(x) ⎞
⎟ ( x *) =
⎜
2
[g ( x * )]
⎝ g(x) ⎠
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ESEMPIO
d
d sen x
tgx =
=
dx
dx cos x
2
2
cos x + sen x
=
=
2
cos x
1
=
2
cos x
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DERIVATA di funzione inversa
Sia f:I→R, f invertibile e continua in I.
Se f è derivabile in x* e f’(x*)≠0,
allora
la sua inversa è derivabile in
y*=f(x*) e
′
( f ) (y*)
-1
=
1
f'(x*)
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ESEMPIO
1
d
=
log y =
d x
dy
e
dx
x = log y
=
1
e
log y
1
=
y
=
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In maniera analoga alla precedente,
utilizzando la regola di
derivazione della funzione
inversa,
si possono aggiungere alla tabella
delle derivate di funzioni elementari le
seguenti derivate
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TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI
ELEMENTARI
f(x)
log a x
log x
f’(x)
1
x log a
1
x
1
arcsen x
1− x
1
arccos x
−
arctg x
1
2
1+ x
x ∈ R* , a ∈ R*+ − {1}
x ∈ R*
2
1 − x2
x <1
x <1
x∈R
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DERIVATA di funzione composta
Sia definita la funzione fog:I→R
e sia x*∈I.
Se g è derivabile in x* e f è
derivabile in y*=g(x*), allora
fog è derivabile in x* e
(f
′
D g ) (x*) = f ' ( g ( x *)) g ' ( x *)
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ESEMPIO
Sia h ( x ) =
⇒ f ( y) =
sen x
y e g ( x ) = sen x
h ( x ) = f ( g ( x ))
d
dx
sen x = f ' ( g ( x )) g ' ( x ) =
1
cos x
=
2 sen x
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ELASTICITA’
In molti modelli economici, per esempio
quando si studia la quantità di merce
domandata in funzione del prezzo,
prezzo è più
significativo considerare, piuttosto che gli
incrementi assoluti delle variabili
dipendente e indipendente, gli incrementi
relativi (o percentuali) di queste:
x− x*
x*
per due motivi:
motivi
e
f(x) − f(x*)
f(x*)
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1) l’incremento percentuale evidenzia
meglio l’importanza delle variazioni
considerate. Per es. se x rappresenta un prezzo, una
aumento x-x*=100 ha un significato molto diverso a
seconda che il prezzo iniziale sia x*=500 o x*=10000
(aumento del 20 % nel primo caso e del 1% nel secondo)
2) gli incrementi relativi sono numeri puri
cioè non dipendono dalle unità di misura
usate. Per es. se si considera la variazione del prezzo
x-x*=100, il significato di tale incremento è diverso a
seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in
dollari mentre non importa quale sia l’unità di misura
usata se consideriamo l’incremento relativo (il prezzo è
aumentato del 10%)
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Si chiama ELASTICITA’ D’ARCO per una
funzione f in un punto x*, il rapporto tra
gli incrementi relativi
f ( x ) − f ( x *)
f ( x ) − f ( x *) x *
f ( x *)
=
x− x*
x− x*
f ( x *)
x*
Se x→x* ⇒ elasticità puntuale di f in x*
x*
f ' ( x *)
E f ( x *) = f ' ( x *)
=
f ( x *)
f ( x *)
x*
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ESEMPIO
Sia q=q(p) la funzione di domanda di un
bene rispetto al prezzo p
p
E q ( p ) = q' ( p )
q( p)
• Se Eq(p)=-2 significa che in corrispondenza
di un aumento del prezzo del 10% si ha una
diminuzione della domanda del 20%
• Se Eq(p)=-1/5 significa che in
corrispondenza di un aumento del prezzo
del 10% si ha una diminuzione della
domanda del 2%
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DERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MIN
Sia f:I→R, x* punto interno di max
(o min) relativo, f derivabile in x*
⇓
f ' ( x *) = 0
NB: x* punto interno di I significa, per definizione,
che ∃ I(x*,r)⊂ I
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Dimostrazione
x* punto di max rel. ⇒ ∃ I(x*,r)⊂ I tc ∀x∈ I(x*,r)
f(x)≤f(x*)
f(x) - f(x*)
se x > x* e x ∈ I(x*,r)
≤0
x − x*
f(x) - f(x*)
se x < x* e x ∈ I(x*,r)
≥0
x − x*
f(x) - f(x*)
f(x) - f(x*)
⇒ lim +
≤ 0 e lim −
≥0
x →( x *)
x →( x *)
x − x*
x − x*
f(x) - f(x*)
f(x) - f(x*)
Poiché f
lim +
= lim −
x →( x *)
derivabile in x*⇒ x→( x *)
x − x*
x − x*
f(x) - f(x*)
⇒ lim
=0
x → x*
x − x*
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NB: L’annullarsi della derivata prima in un
punto interno di massimo o minimo relativo
è condizione necessaria ma non sufficiente
Es : f ( x ) = x
f '( x ) = 3 x
3
2
f :R→ R
f ' (0) = 0
Come si vede dal grafico x* non è né di
massimo né di minimo relativo
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Alla luce del precedente risultato,
i punti di massimo o minimo relativo si
possono trovare:
• in corrispondenza di punti interni in cui
si annulla la derivata prima
• in corrispondenza di punti di non
derivabilità
• in corrispondenza degli estremi
dell’intervallo di definizione
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x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 sono possibili massimi e
minimi relativi
x0 p.to di max rel (estremo dell'intervallo)
x1 p.to di min rel (p.to di non derivabilità)
x2 p.to di max rel (in cui f' (x2 ) = 0)
x3 nè di max nè di min rel
x4 nè di max nè di min rel (p.to di non derivabilità)
x5 p.to di min rel (estremo dell'intervallo)
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MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI
Poiché un punto di massimo (minimo)
assoluto è anche punto di massimo
(minimo) relativo,
i punti di massimo (minimo)
assoluto,se esistono, si possono
trovare facendo un confronto fra i
valori assunti dalla funzione in
corrispondenza dei possibili punti
di massimo (minimo) relativo
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Tornando al grafico precedente:
confrontando i valori
{ f ( x 0 ),
si vede che
assoluto e
f ( x 1 ),......, f ( x 5 )}
f ( x 2 ) è il massimo
f ( x 5 ) è il minimo assoluto di f
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TEOREMA di Rolle
Sia f:[a,b]→R, f continua in [a,b]
e derivabile in (a,b) con
f(a)=f(b)
⇓
∃c ∈ (a, b) : f '(c ) = 0
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Dimostrazione
Per il T. di Weierstrass ⇒ f dotata di massimo e
di minimo
I caso: il max M e il min m si hanno in
corrispondenza degli estremi dell’intervallo
Poiché f(a)=f(b)⇒m=M⇒f(x)
costante⇒f’(x)=0 ∀x∈(a,b);
II caso: almeno uno dei due tra il max M e
il min m si ha in corrispondenza di un
punto interno. Per fissare le idee sia x* p.to
di max interno di [a,b]. Poiché la funzione è
derivabile in (a,b) lo è in x* ⇒f’(x*)=0
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TEOREMA di Lagrange
Sia f:[a,b]→R, f continua in [a,b]
e derivabile in (a,b)
⇓
f (b) − f (a)
∃c ∈ (a, b) :
= f '(c )
b−a
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TEOREMA di Cauchy
Siano f,g:[a,b]→R, f,g continue in
[a,b] e derivabili in (a,b). Se
g’(x)≠0 ∀x∈(a,b)
⇓
f (b) − f (a)
f '(c )
∃c ∈ (a, b) :
=
g (b) − g (a)
g'(c )
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DERIVATA E CRESCENZA E DECRESCENZA
Sia f:(a,b)→R, f derivabile in (a,b)
f crescente in (a,b) ⇔
f’(x)≥0 ∀x∈(a,b)
f decrescente in (a,b) ⇔
f’(x)≤0 ∀x∈(a,b)
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Dimostrazione
⇒ f crescente in (a,b) ⇒
f ( x1 ) − f ( x0 )
∀ x 0 , x 1 ∈ ( a , b ),
≥ 0⇒
x1 − x0
f ( x ) − f ( x0 )
⇒ lim
≥
0
⇒
f
'
(
x
)
≥
0
0
x→ x
x − x0
0
⇐
∀ x 0 , x 1 ∈ ( a , b ), ∃ c ∈ ( x 0 , x 1 ) :
f ( x1 ) − f ( x0 )
= f ' (c )
x1 − x0
Poichè f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ( a , b ) ⇒ f ' ( c ) ≥ 0 ⇒
f ( x1 ) − f ( x0 )
⇒
≥ 0 ⇒ f crescente in (a,b)
x − x0
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Dato un p.to x* che potrebbe
essere di max o di min relativo,
(f’(x*)=0 o x* p.to di non
derivabilità o x* estremo
dell’intervallo) come si fa a
stabilire se esso è veramente di
massimo o di minimo relativo?
Si analizza il comportamento
di f nell’intorno del punto
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Se f è cont. in x* e deriv. in I(x*)-{x*}
⎧f' (x) positiva (negativa) nell' intorno sinistro di x *
⎨
⎩f' (x) negativa (positiva) nell' intorno destro di x *
⇓
x*
f’ ++++++++++ - - - - - - - - - -
(
x*
f’
- - - - ++++
⇓
x* p.to di max (min) relativo
)
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f’ positiva (negativa) nell’intorno di x*-{x*}
⇓
x*
f’ +++++++++ +++++++++
(
x*
f’ - - - - - - - - - - -
⇓
x* p.to di crescenza
(decrescenza)
Se f’(x*)=0 ⇒ x* p.to di flesso a tangente
orizzontale
)
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NB: Se x* è un estremo (ad es. quello
inferiore), il segno della derivata nell’intorno
destro permette di stabilire se il punto è di
max (o di min) relativo
f’ x* +++++++++++++++++++
(
f’ x* - - - - - - - - - - -
)
⇓
x* p.to di minimo (massimo)
relativo
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Sia f : I → R , f dotata di derivata prima e
seconda continue in I ( f ∈ C 2 ( I ) ) . Si dimostra
che:
f convessa (concava) in I ⇔ f’’(x)≥0 (≤0) ∀x∈l
⇔ f’ crescente
(decrescente)∀x∈l
La derivata seconda fornisce informazioni
determinanti per stabilire se un punto di f, x*, in
cui f’(x*)=0 sia un punto di max o di min relativo
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Se f è dotata di derivata prima e seconda
continue nel punto x*
⎧f' (x*) = 0
⇒
⎨
⎩f' ' (x*) > 0
x* p.to
di min
relativo
⎧f' (x*) = 0
⇒
⎨
⎩f' ' (x*) < 0
x* p.to
di max
relativo
Se f’’(x*)=0?
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Sia f : I → R , f dotata in x* di derivate
continue fino all’ordine n.
Sia f'(x*) = f''(x*) = f
(x*) = 0
(n- 1 )
e f (x*) > 0 (< 0)
n
⇓
• se n
• se n
è pari, x* p.to di min (max) relativo
è dispari, x*p.to di crescenza
(decrescenza), x* p.to di flesso a tangente
orizzontale
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Esempio
1) f ( x ) = x
x* = 0
f ' (0) = 0 f '' (0) = 2 > 0
2
2) f ( x ) = x
x* = 0
f ' (0) = 0 f '' (0) = 0
3
f ''' (0) = 6 > 0
3) f ( x ) = − x
x* = 0
f ' (0) = 0 f '' (0) = 0
4
f ' ' ' ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = − 24 < 0
4
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Definizione
f : I → R Un p.to x*∈I in cui f sia derivabile
si dice p.to di flesso se in corrispondenza
di esso la funzione cambia la sua
convessità (a sinistra concava e a destra
convessa o viceversa)
La tangente alla curva in
un p.to di flesso si chiama
tangente di flesso
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In base a definizione,
è evidente che se x* è di flesso
ed f è dotata di derivata seconda in x*
allora
f’’(x*)=0
NB: non vale il viceversa. Esempio:
per f ( x ) = x
si ha f ' ' ( 0) = 0
4
ma x* = 0
non è di flesso
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Sia f : I → R, f ∈ C 2 ( I )
Come stabilire se x*∈I
in corrispondenza del quale f’’(x*)=0
sia un p.to di flesso?
x*
f’’ +++++++++ - - - - - - - - - -
(
x*
f’’ - - - - ++++
)
⇓
x* p.to di flesso
x*
f’’ ++++++++++ +++++++++
(
x*
f’’ - - - - - - - -
⇒ x* non è p.to di flesso
)
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Esempio
2
x
x
+
+ 400 , x > 0
La funzione f ( x ) =
100 50
rappresenta il costo totale di una certa merce
in funzione della quantità prodotta x.
f ( x)
1)Scrivere l’espressione del costo medio g ( x ) =
x
2)Calcolare il minimo e tracciare un grafico
qualitativo di g.
3)Calcolare poi l’elasticità di f e controllare che nel
p.to di min essa è uguale ad 1.
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1 400
f ( x)
x
=
+
+
, x>0
1) g ( x ) =
100 50
x
x
2) D om g = R*+ = {x ∈ R : x > 0}
lim g ( x ) = +∞; lim g ( x ) = +∞
x →0+
x → +∞
1
400 x 2 − 40000
g' ( x ) =
− 2 =
100 x
100 x 2
g’
0
g ' ( x ) = 0 per x = ±200
200
- - - - - - 0 ++++++
0
200
800
g ' ' ( x ) = 3 g’’ ++++++++++++
x
⇒ 200 di min
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x
1
+
f '( x)
50
50
E
x
(
)
=
=
3)
f
f ( x)
x
1 400
+
+
100 50
x
x
1
4+
50 = 1
E f ( 200 ) =
1
2+
+2
50
In x*=200 il costo
marginale coincide
con il costo medio.
Questo significa che se si ha un aumento della
quantità del 10%, ad esempio, si avrà un
aumento del costo pari anch’esso al 10%
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ASINTOTI
Sia f:R→R
lim
f
(
x
)
=
±∞
x→ x*
⇓
x=x* è
ASINTOTO VERTICALE
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Sia f:R→R
lim f ( x ) = L '
(lim
x → +∞
x → −∞
f ( x ) = L''
)
⇓
y=L’ (L’’) è ASINTOTO
ORIZZONTALE destro (sinistro)
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Una retta y=mx+n si definisce asintoto
obliquo destro (sinistro) di f se
{ f ( x ) − [mx
(lim {f ( x ) − [mx
lim
x → +∞
x → −∞
⇓
+ n ]} = 0
+ n ]} = 0
)
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y=mx+n
è asintoto obliquo destro (sinistro) di
f(x)
8
f (x)
= m e lim [ f ( x ) − mx ] = n
lim
x → +∞
x → +∞
x
f (x)
⎛
⎞
= m e lim [ f ( x ) − mx ] = n ⎟
⎜ xlim
→ −∞
x → −∞
x
⎝
⎠
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Esempio
x
1 400
+
+
Vediamo se la funzione g ( x ) =
,
x
100 50
precedentemente considerata, è dotata di
asintoto obliquo destro.
g( x )
1
1
400
1
= lim
+
+ 2 =
lim
x → +∞ x
x → +∞ 100 50 x
100
x
1
1 400
x ⎞ 1
⎛ x
lim g ( x ) −
+
+
−
x = lim ⎜
⎟=
x → +∞
x → +∞ ⎝ 100 50
100
x 100 ⎠ 50
⇒ La funzione è dotata di asintoto
obliquo y=(1/100)x+(1/50)
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TEOREMA di de l’Hopital
Teorema 1
Siano f,g:(a,b)→R, x*∈(a,b). Sia
1) f,g derivabili in (a,b)-{x*},
f ( x ) = lim g ( x ) = 0
2) lim
x→ x*
x→ x*
3) g’(x) ≠0 ∀x∈(a,b)-{x*},
f
'
(
x
)
4) ∃ lim
x→ x*
g'( x )
f (x)
f '( x )
lim
⇒ lim
=
x→ x*
x→ x*
g(x)
g'( x )
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Teorema 2
Siano f,g:(a,b)-{x*}, →R,
1) f,g derivabili in (a,b)-{x*},
2) lim f ( x ) = ±∞ e lim g ( x ) =
3) g’(x) ≠0 ∀x∈(a,b)-{x*},
4) ∃ lim f ' ( x )
x → x*
x→ x*
x→ x*
g'( x )
f (x)
f '( x )
lim
⇒ lim
=
x→ x*
x→ x*
g(x)
g'( x )
±∞
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NB: per i Teoremi di de l’Hopital non vale il
viceversa
Consideria mo
f ( x ) = 2 x + sen x e g ( x ) = 2 x − sen x
lim f ( x ) = lim g ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
f e g sono derivabili e
f '( x )
2 + cos x
lim
= lim
x → +∞ g ' ( x )
x → +∞ 2 − cos x
∃
f (x)
Cosa si può dire di xlim
?
→ +∞
g(x)
Nulla a priori
sen x
2+
2 x + sen x
x
Infatti xlim
=
lim
=1
→ +∞
x → +∞
sen x
2 x − sen x
2−
x
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Esempio: Calcolare
x
−
+ x
1
1
1
e
0
⎫
⎧
= lim
=
lim
⎨ +
x ⎬
x
x→ 0
x→ 0
x (1 − e )
0
⎩x 1−e ⎭
f '( x )
−e +1
=
g'( x )
1 − e x − xe
− ex +1
lim
x→ 0
1 − e x − xe
x
x
f ''( x )
− ex
=
g ''( x )
− e x − e x − xe
x
−1
=
−2− x
x
0
=
0
1
1
lim
=
x→ 0
2+ x
2
f (x)
f '( x )
f ''( x )
1
lim
= lim
= lim
=
x→ 0 g ( x )
x→ 0 g ' ( x )
x→ 0 g'' ( x )
2
