DERIVATA di una funzione

Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
DERIVATA di una funzione
Sia f : A → R e x*∈A
punto di accumulazione
di A
∆f f ( x ) − f ( x*)
=
è il RAPPORTO INCREMENTALE
∆x
x − x*
Il rapporto incrementale di f calcolato in x*
rappresenta il coefficiente angolare della secante
passante per i punti P0 e P
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Se esiste ed è finito il
lim
x → x*
allora f
f ( x ) − f ( x*)
x − x*
è derivabile in x*;
il valore finito del limite si chiama
DERIVATA di f in x* e si indica con
f ′( x*) o
df
dx
x*
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Significato GEOMETRICO della derivata
f derivabile in x*
x→x* ⇒ s→t
⇓
f ( x ) − f ( x*)
= m s → mt
x − x*
x→x*
⇓
f ( x ) − f ( x*)
→ f ′( x*)
x − x*
⇓
f ′( x*) = mt
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
La derivata di f in x* rappresenta
il
coefficiente angolare della
retta tangente alla curva nel
punto P*=(x*,f(x*))
Sia f : A → R e x* ∈ A
Se f è derivabile in x*, la curva y=f(x)
è dotata di retta tangente nel punto
P*=(x*,f(x*)) e l’equazione di tale retta è
y = f ( x*) + f ′( x*)( x − x*)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO
C=C(q) Costo che un’impresa deve sostenere
per produrre una certa quantità q di
merce (costo in funzione della quantità)
C ( q ) − C ( q*) Rapporto incrementale di C(q) cioè
rapporto tra la variazione del costo di
q − q*
produzione e la variazione della
quantità prodotta, quando l’impresa
passa da una produzione q* ad una
produzione q (tasso di variazione dei
costi)
C ′( q*) =
C ( q ) − C ( q*)
= lim
q→ q*
q − q*
Variazione di C relativa ad una
variazione “infinitesima” di q
(costo marginale in q*)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Sia f : A → R e x*∈ A punto di accumulazione
di A
Si dice che f è differenziabile in x*
se ∃a∈R:
lim
x → x*
f ( x ) − f ( x*) − a ( x − x*)
=0
x − x*
a(x-x*) si chiama DIFFERENZIALE di f in x*
NB : f differenziabile ⇒
⇒ lim [ f ( x ) − f ( x*) − a ( x − x*)] = 0 ⇒
x → x*
⇒ lim [ f ( x ) − f ( x*)] = lim a ( x − x*) = 0
x → x*
x → x*
f differenziabile ⇒ f continua
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
f differenziabile in x* ⇔ f derivabile in x*
⇒
f differenziabile in x * ⇒ ∃a ∈ R :
f ( x ) − f ( x*) − a( x − x*)
=0⇒
lim
x → x*
x − x*
f ( x ) − f ( x*)
⎡ f ( x ) − f ( x*)
⎤
=a⇒
⇒ lim ⎢
− a⎥ = 0 ⇒ lim
x → x* ⎣
x → x*
x − x*
x − x*
⎦
⇒ f derivabile in x * e f ′(x*) = a
⇐
f derivabile in x * ⇒
f ( x ) − f ( x*)
x − x*
− f ′( x*)
=0⇒
lim
x → x*
x − x*
x − x*
f ( x ) − f ( x*) − f ′( x*)( x − x*)
⇒ lim
=0⇒
x → x*
x − x*
⇒ f differenziabile in x * e a = f ′(x*)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Se f è differenziabile in x*
⇓
lim
x → x*
f ( x ) − { f ( x*) + f ′( x*)( x − x*)}
=0
x − x*
Da un punto di vista geometrico questo significa
che se f è differenziabile in x*, nei punti “vicini”
ad x*, la curva è ben approssimata dalla retta ad
essa tangente in (x*,f(x*))
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Sia f : A → R e x* ∈ A
f derivabile in x*
8
f differenziabile in x*
⇓
f continua in x*
NB: f continua in x*⇒f derivabile in x*
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO 1
f(x)=⏐x⏐
lim
x = 0 ⇒ f(x) = x è continua in x* = 0
x→ 0
x −0
∆f
lim
∃ infatti
= lim
Λx → 0 ∆ x
x→ 0 x − 0
x ⎧1 x > 0
x
x
⇒ lim+
= 1 ≠ lim−
= −1
=⎨
x
→
0
x
→
0
x ⎩- 1 x < 0
x
x
f(x)=⏐x⏐ è continua in x*=0 ma non è derivabile
in quel punto
Il punto x*=0 si chiama punto angoloso
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO 2
f (x) =
lim
x→ 0
3
x
2
x 2 = 0 ⇒ f(x) =
3
3
x 2 è continua in x* = 0
3
∆f
x2 − 0
1
lim
= lim
= lim 3
∃ infatti
x→ 0
x→ 0
Λx → 0 ∆ x
x−0
x
1
1
lim+ 3
= +∞ ≠ lim− 3
= −∞
x→ 0
x→ 0
x
x
f (x) =
3
x 2 è continua in x*=0 ma non è
derivabile in quel punto
Il punto x*=0 si chiama cuspide
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Calcolo della derivata di alcune funzioni
elementari
1) Sia f(x)=c
f:ℜ→ℜ
f ( x ) − f ( x *)
c−c
=
∀ x * ∈ R , lim
=
lim
x → x*
x → x*
x− x*
x − x*
0
= lim
=0
x → x*
x− x*
f è derivabile ∀x*∈R e la sua derivata è zero
∀x*∈R; resta quindi definita una nuova
funzione f’:ℜ→ℜ, derivata di f : f’(x)=0 ∀x∈R
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
2) Sia f(x)=x
f:ℜ→ℜ
f ( x ) − f ( x *)
x− x*
=
∀ x * ∈ R , lim
=
lim
x → x*
x → x*
x− x*
x− x*
= lim 1 = 1
x → x*
f è derivabile ∀x*∈R
La funzione f’:ℜ→ℜ, derivata di f è f’(x)=1
∀x∈R
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
3) Sia f ( x ) = x
f:ℜ→ℜ
n
f ( x ) − f ( x *)
x − (x * )
∀ x * ∈ R , lim
=
=
lim
x → x*
x → x*
x− x*
x− x*
( x − x *)( x n − 1 + x n − 2 x * + ... + ( x *) n − 1 )
= n ( x *) n − 1
= lim
x → x*
x− x*
n
f è derivabile ∀x*∈R
La funzione f’:ℜ→ℜ, derivata di f è
f ′( x ) = nx n − 1∀x∈R
n
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
NB: una funzione f:A→R si dice
derivabile (differenziabile) in A
se è
derivabile (differenziabile)
∀x*∈A
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
In maniera analoga alla precedente,
in base a definizione,
si possono calcolare le derivate delle
altre funzioni elementari
e compilare la seguente
tabella riepilogativa
delle derivate di
funzioni elementari
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE
FUNZIONI ELEMENTARI
f(x)
c
x
n
x
c
a
x
x
f’(x)
x∈R
0
nx
cx
n−1
c −1
x ∈ R , n ∈ Z − {0 }
x ∈ R , c ∈ R − {0 }
+
*
x
x ∈ R , a ∈ R − {1}
x
x∈R
a ln a
e
e
sen x cos x
cos x − sen x
2
1 cos x
tgx
+
*
x∈R
x∈R
x ∈ R − {π 2 + k π , k ∈ Z }
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
REGOLE di derivazione (ricavate
utilizzando la definizione di derivata)
Siano f,g:A→R e derivabili in x*
• f ± g è derivabile in x * e
( f ± g )' ( x *) = f ' ( x *) ± g ' ( x *)
• f ⋅ g è derivabile in x * e
( f ⋅ g )' ( x *) = f ' ( x *) g ( x *) + f ( x *) g ' ( x *)
f(x)
è derivabile in x * e
• se inoltre g ( x *) ≠ 0 ,
g(x)
′
f ' ( x *) g ( x *) − f ( x *) g ' ( x *)
⎛ f(x) ⎞
⎟ ( x *) =
⎜
2
[g ( x * )]
⎝ g(x) ⎠
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO
d
d sen x
tgx =
=
dx
dx cos x
2
2
cos x + sen x
=
=
2
cos x
1
=
2
cos x
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
DERIVATA di funzione inversa
Sia f:I→R, f invertibile e continua in I.
Se f è derivabile in x* e f’(x*)≠0,
allora
la sua inversa è derivabile in
y*=f(x*) e
′
( f ) (y*)
-1
=
1
f'(x*)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO
1
d
=
log y =
d x
dy
e
dx
x = log y
=
1
e
log y
1
=
y
=
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
In maniera analoga alla precedente,
utilizzando la regola di
derivazione della funzione
inversa,
si possono aggiungere alla tabella
delle derivate di funzioni elementari le
seguenti derivate
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI
ELEMENTARI
f(x)
log a x
log x
f’(x)
1
x log a
1
x
1
arcsen x
1− x
1
arccos x
−
arctg x
1
2
1+ x
x ∈ R* , a ∈ R*+ − {1}
x ∈ R*
2
1 − x2
x <1
x <1
x∈R
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
DERIVATA di funzione composta
Sia definita la funzione fog:I→R
e sia x*∈I.
Se g è derivabile in x* e f è
derivabile in y*=g(x*), allora
fog è derivabile in x* e
(f
′
D g ) (x*) = f ' ( g ( x *)) g ' ( x *)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO
Sia h ( x ) =
⇒ f ( y) =
sen x
y e g ( x ) = sen x
h ( x ) = f ( g ( x ))
d
dx
sen x = f ' ( g ( x )) g ' ( x ) =
1
cos x
=
2 sen x
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ELASTICITA’
In molti modelli economici, per esempio
quando si studia la quantità di merce
domandata in funzione del prezzo,
prezzo è più
significativo considerare, piuttosto che gli
incrementi assoluti delle variabili
dipendente e indipendente, gli incrementi
relativi (o percentuali) di queste:
x− x*
x*
per due motivi:
motivi
e
f(x) − f(x*)
f(x*)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
1) l’incremento percentuale evidenzia
meglio l’importanza delle variazioni
considerate. Per es. se x rappresenta un prezzo, una
aumento x-x*=100 ha un significato molto diverso a
seconda che il prezzo iniziale sia x*=500 o x*=10000
(aumento del 20 % nel primo caso e del 1% nel secondo)
2) gli incrementi relativi sono numeri puri
cioè non dipendono dalle unità di misura
usate. Per es. se si considera la variazione del prezzo
x-x*=100, il significato di tale incremento è diverso a
seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in
dollari mentre non importa quale sia l’unità di misura
usata se consideriamo l’incremento relativo (il prezzo è
aumentato del 10%)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Si chiama ELASTICITA’ D’ARCO per una
funzione f in un punto x*, il rapporto tra
gli incrementi relativi
f ( x ) − f ( x *)
f ( x ) − f ( x *) x *
f ( x *)
=
x− x*
x− x*
f ( x *)
x*
Se x→x* ⇒ elasticità puntuale di f in x*
x*
f ' ( x *)
E f ( x *) = f ' ( x *)
=
f ( x *)
f ( x *)
x*
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ESEMPIO
Sia q=q(p) la funzione di domanda di un
bene rispetto al prezzo p
p
E q ( p ) = q' ( p )
q( p)
• Se Eq(p)=-2 significa che in corrispondenza
di un aumento del prezzo del 10% si ha una
diminuzione della domanda del 20%
• Se Eq(p)=-1/5 significa che in
corrispondenza di un aumento del prezzo
del 10% si ha una diminuzione della
domanda del 2%
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
DERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MIN
Sia f:I→R, x* punto interno di max
(o min) relativo, f derivabile in x*
⇓
f ' ( x *) = 0
NB: x* punto interno di I significa, per definizione,
che ∃ I(x*,r)⊂ I
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Dimostrazione
x* punto di max rel. ⇒ ∃ I(x*,r)⊂ I tc ∀x∈ I(x*,r)
f(x)≤f(x*)
f(x) - f(x*)
se x > x* e x ∈ I(x*,r)
≤0
x − x*
f(x) - f(x*)
se x < x* e x ∈ I(x*,r)
≥0
x − x*
f(x) - f(x*)
f(x) - f(x*)
⇒ lim +
≤ 0 e lim −
≥0
x →( x *)
x →( x *)
x − x*
x − x*
f(x) - f(x*)
f(x) - f(x*)
Poiché f
lim +
= lim −
x →( x *)
derivabile in x*⇒ x→( x *)
x − x*
x − x*
f(x) - f(x*)
⇒ lim
=0
x → x*
x − x*
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
NB: L’annullarsi della derivata prima in un
punto interno di massimo o minimo relativo
è condizione necessaria ma non sufficiente
Es : f ( x ) = x
f '( x ) = 3 x
3
2
f :R→ R
f ' (0) = 0
Come si vede dal grafico x* non è né di
massimo né di minimo relativo
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Alla luce del precedente risultato,
i punti di massimo o minimo relativo si
possono trovare:
• in corrispondenza di punti interni in cui
si annulla la derivata prima
• in corrispondenza di punti di non
derivabilità
• in corrispondenza degli estremi
dell’intervallo di definizione
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 sono possibili massimi e
minimi relativi
x0 p.to di max rel (estremo dell'intervallo)
x1 p.to di min rel (p.to di non derivabilità)
x2 p.to di max rel (in cui f' (x2 ) = 0)
x3 nè di max nè di min rel
x4 nè di max nè di min rel (p.to di non derivabilità)
x5 p.to di min rel (estremo dell'intervallo)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI
Poiché un punto di massimo (minimo)
assoluto è anche punto di massimo
(minimo) relativo,
i punti di massimo (minimo)
assoluto,se esistono, si possono
trovare facendo un confronto fra i
valori assunti dalla funzione in
corrispondenza dei possibili punti
di massimo (minimo) relativo
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Tornando al grafico precedente:
confrontando i valori
{ f ( x 0 ),
si vede che
assoluto e
f ( x 1 ),......, f ( x 5 )}
f ( x 2 ) è il massimo
f ( x 5 ) è il minimo assoluto di f
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
TEOREMA di Rolle
Sia f:[a,b]→R, f continua in [a,b]
e derivabile in (a,b) con
f(a)=f(b)
⇓
∃c ∈ (a, b) : f '(c ) = 0
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Dimostrazione
Per il T. di Weierstrass ⇒ f dotata di massimo e
di minimo
I caso: il max M e il min m si hanno in
corrispondenza degli estremi dell’intervallo
Poiché f(a)=f(b)⇒m=M⇒f(x)
costante⇒f’(x)=0 ∀x∈(a,b);
II caso: almeno uno dei due tra il max M e
il min m si ha in corrispondenza di un
punto interno. Per fissare le idee sia x* p.to
di max interno di [a,b]. Poiché la funzione è
derivabile in (a,b) lo è in x* ⇒f’(x*)=0
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
TEOREMA di Lagrange
Sia f:[a,b]→R, f continua in [a,b]
e derivabile in (a,b)
⇓
f (b) − f (a)
∃c ∈ (a, b) :
= f '(c )
b−a
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
TEOREMA di Cauchy
Siano f,g:[a,b]→R, f,g continue in
[a,b] e derivabili in (a,b). Se
g’(x)≠0 ∀x∈(a,b)
⇓
f (b) − f (a)
f '(c )
∃c ∈ (a, b) :
=
g (b) − g (a)
g'(c )
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
DERIVATA E CRESCENZA E DECRESCENZA
Sia f:(a,b)→R, f derivabile in (a,b)
f crescente in (a,b) ⇔
f’(x)≥0 ∀x∈(a,b)
f decrescente in (a,b) ⇔
f’(x)≤0 ∀x∈(a,b)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Dimostrazione
⇒ f crescente in (a,b) ⇒
f ( x1 ) − f ( x0 )
∀ x 0 , x 1 ∈ ( a , b ),
≥ 0⇒
x1 − x0
f ( x ) − f ( x0 )
⇒ lim
≥
0
⇒
f
'
(
x
)
≥
0
0
x→ x
x − x0
0
⇐
∀ x 0 , x 1 ∈ ( a , b ), ∃ c ∈ ( x 0 , x 1 ) :
f ( x1 ) − f ( x0 )
= f ' (c )
x1 − x0
Poichè f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ( a , b ) ⇒ f ' ( c ) ≥ 0 ⇒
f ( x1 ) − f ( x0 )
⇒
≥ 0 ⇒ f crescente in (a,b)
x − x0
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Dato un p.to x* che potrebbe
essere di max o di min relativo,
(f’(x*)=0 o x* p.to di non
derivabilità o x* estremo
dell’intervallo) come si fa a
stabilire se esso è veramente di
massimo o di minimo relativo?
Si analizza il comportamento
di f nell’intorno del punto
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Se f è cont. in x* e deriv. in I(x*)-{x*}
⎧f' (x) positiva (negativa) nell' intorno sinistro di x *
⎨
⎩f' (x) negativa (positiva) nell' intorno destro di x *
⇓
x*
f’ ++++++++++ - - - - - - - - - -
(
x*
f’
- - - - ++++
⇓
x* p.to di max (min) relativo
)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
f’ positiva (negativa) nell’intorno di x*-{x*}
⇓
x*
f’ +++++++++ +++++++++
(
x*
f’ - - - - - - - - - - -
⇓
x* p.to di crescenza
(decrescenza)
Se f’(x*)=0 ⇒ x* p.to di flesso a tangente
orizzontale
)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
NB: Se x* è un estremo (ad es. quello
inferiore), il segno della derivata nell’intorno
destro permette di stabilire se il punto è di
max (o di min) relativo
f’ x* +++++++++++++++++++
(
f’ x* - - - - - - - - - - -
)
⇓
x* p.to di minimo (massimo)
relativo
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Sia f : I → R , f dotata di derivata prima e
seconda continue in I ( f ∈ C 2 ( I ) ) . Si dimostra
che:
f convessa (concava) in I ⇔ f’’(x)≥0 (≤0) ∀x∈l
⇔ f’ crescente
(decrescente)∀x∈l
La derivata seconda fornisce informazioni
determinanti per stabilire se un punto di f, x*, in
cui f’(x*)=0 sia un punto di max o di min relativo
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Se f è dotata di derivata prima e seconda
continue nel punto x*
⎧f' (x*) = 0
⇒
⎨
⎩f' ' (x*) > 0
x* p.to
di min
relativo
⎧f' (x*) = 0
⇒
⎨
⎩f' ' (x*) < 0
x* p.to
di max
relativo
Se f’’(x*)=0?
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Sia f : I → R , f dotata in x* di derivate
continue fino all’ordine n.
Sia f'(x*) = f''(x*) = f
(x*) = 0
(n- 1 )
e f (x*) > 0 (< 0)
n
⇓
• se n
• se n
è pari, x* p.to di min (max) relativo
è dispari, x*p.to di crescenza
(decrescenza), x* p.to di flesso a tangente
orizzontale
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Esempio
1) f ( x ) = x
x* = 0
f ' (0) = 0 f '' (0) = 2 > 0
2
2) f ( x ) = x
x* = 0
f ' (0) = 0 f '' (0) = 0
3
f ''' (0) = 6 > 0
3) f ( x ) = − x
x* = 0
f ' (0) = 0 f '' (0) = 0
4
f ' ' ' ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = − 24 < 0
4
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Definizione
f : I → R Un p.to x*∈I in cui f sia derivabile
si dice p.to di flesso se in corrispondenza
di esso la funzione cambia la sua
convessità (a sinistra concava e a destra
convessa o viceversa)
La tangente alla curva in
un p.to di flesso si chiama
tangente di flesso
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
In base a definizione,
è evidente che se x* è di flesso
ed f è dotata di derivata seconda in x*
allora
f’’(x*)=0
NB: non vale il viceversa. Esempio:
per f ( x ) = x
si ha f ' ' ( 0) = 0
4
ma x* = 0
non è di flesso
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Sia f : I → R, f ∈ C 2 ( I )
Come stabilire se x*∈I
in corrispondenza del quale f’’(x*)=0
sia un p.to di flesso?
x*
f’’ +++++++++ - - - - - - - - - -
(
x*
f’’ - - - - ++++
)
⇓
x* p.to di flesso
x*
f’’ ++++++++++ +++++++++
(
x*
f’’ - - - - - - - -
⇒ x* non è p.to di flesso
)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Esempio
2
x
x
+
+ 400 , x > 0
La funzione f ( x ) =
100 50
rappresenta il costo totale di una certa merce
in funzione della quantità prodotta x.
f ( x)
1)Scrivere l’espressione del costo medio g ( x ) =
x
2)Calcolare il minimo e tracciare un grafico
qualitativo di g.
3)Calcolare poi l’elasticità di f e controllare che nel
p.to di min essa è uguale ad 1.
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
1 400
f ( x)
x
=
+
+
, x>0
1) g ( x ) =
100 50
x
x
2) D om g = R*+ = {x ∈ R : x > 0}
lim g ( x ) = +∞; lim g ( x ) = +∞
x →0+
x → +∞
1
400 x 2 − 40000
g' ( x ) =
− 2 =
100 x
100 x 2
g’
0
g ' ( x ) = 0 per x = ±200
200
- - - - - - 0 ++++++
0
200
800
g ' ' ( x ) = 3 g’’ ++++++++++++
x
⇒ 200 di min
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
x
1
+
f '( x)
50
50
E
x
(
)
=
=
3)
f
f ( x)
x
1 400
+
+
100 50
x
x
1
4+
50 = 1
E f ( 200 ) =
1
2+
+2
50
In x*=200 il costo
marginale coincide
con il costo medio.
Questo significa che se si ha un aumento della
quantità del 10%, ad esempio, si avrà un
aumento del costo pari anch’esso al 10%
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
ASINTOTI
Sia f:R→R
lim
f
(
x
)
=
±∞
x→ x*
⇓
x=x* è
ASINTOTO VERTICALE
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Sia f:R→R
lim f ( x ) = L '
(lim
x → +∞
x → −∞
f ( x ) = L''
)
⇓
y=L’ (L’’) è ASINTOTO
ORIZZONTALE destro (sinistro)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Una retta y=mx+n si definisce asintoto
obliquo destro (sinistro) di f se
{ f ( x ) − [mx
(lim {f ( x ) − [mx
lim
x → +∞
x → −∞
⇓
+ n ]} = 0
+ n ]} = 0
)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
y=mx+n
è asintoto obliquo destro (sinistro) di
f(x)
8
f (x)
= m e lim [ f ( x ) − mx ] = n
lim
x → +∞
x → +∞
x
f (x)
⎛
⎞
= m e lim [ f ( x ) − mx ] = n ⎟
⎜ xlim
→ −∞
x → −∞
x
⎝
⎠
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Esempio
x
1 400
+
+
Vediamo se la funzione g ( x ) =
,
x
100 50
precedentemente considerata, è dotata di
asintoto obliquo destro.
g( x )
1
1
400
1
= lim
+
+ 2 =
lim
x → +∞ x
x → +∞ 100 50 x
100
x
1
1 400
x ⎞ 1
⎛ x
lim g ( x ) −
+
+
−
x = lim ⎜
⎟=
x → +∞
x → +∞ ⎝ 100 50
100
x 100 ⎠ 50
⇒ La funzione è dotata di asintoto
obliquo y=(1/100)x+(1/50)
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
TEOREMA di de l’Hopital
Teorema 1
Siano f,g:(a,b)→R, x*∈(a,b). Sia
1) f,g derivabili in (a,b)-{x*},
f ( x ) = lim g ( x ) = 0
2) lim
x→ x*
x→ x*
3) g’(x) ≠0 ∀x∈(a,b)-{x*},
f
'
(
x
)
4) ∃ lim
x→ x*
g'( x )
f (x)
f '( x )
lim
⇒ lim
=
x→ x*
x→ x*
g(x)
g'( x )
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Teorema 2
Siano f,g:(a,b)-{x*}, →R,
1) f,g derivabili in (a,b)-{x*},
2) lim f ( x ) = ±∞ e lim g ( x ) =
3) g’(x) ≠0 ∀x∈(a,b)-{x*},
4) ∃ lim f ' ( x )
x → x*
x→ x*
x→ x*
g'( x )
f (x)
f '( x )
lim
⇒ lim
=
x→ x*
x→ x*
g(x)
g'( x )
±∞
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
NB: per i Teoremi di de l’Hopital non vale il
viceversa
Consideria mo
f ( x ) = 2 x + sen x e g ( x ) = 2 x − sen x
lim f ( x ) = lim g ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
f e g sono derivabili e
f '( x )
2 + cos x
lim
= lim
x → +∞ g ' ( x )
x → +∞ 2 − cos x
∃
f (x)
Cosa si può dire di xlim
?
→ +∞
g(x)
Nulla a priori
sen x
2+
2 x + sen x
x
Infatti xlim
=
lim
=1
→ +∞
x → +∞
sen x
2 x − sen x
2−
x
Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)
Esempio: Calcolare
x
−
+ x
1
1
1
e
0
⎫
⎧
= lim
=
lim
⎨ +
x ⎬
x
x→ 0
x→ 0
x (1 − e )
0
⎩x 1−e ⎭
f '( x )
−e +1
=
g'( x )
1 − e x − xe
− ex +1
lim
x→ 0
1 − e x − xe
x
x
f ''( x )
− ex
=
g ''( x )
− e x − e x − xe
x
−1
=
−2− x
x
0
=
0
1
1
lim
=
x→ 0
2+ x
2
f (x)
f '( x )
f ''( x )
1
lim
= lim
= lim
=
x→ 0 g ( x )
x→ 0 g ' ( x )
x→ 0 g'' ( x )
2