2-06-2011
Complessita’ computazionale ed
il problema P / NP
Fondamenti di Informatica
2010/11
Lucchetto con combinazione
(3 numeri tra 0 e 39)
Perche’ e’ sicuro?
(escludendo che lo si rompa)
Ans: Combinazione di 3 numberi 0-39…
Un ladro dovrebbe provare
403 = 64,000 combinazioni
1
2-06-2011
Tempo esponenziale
Tempo 2n per risolvere instanze di “taglia” n
Incrementando n di 1 running time raddoppia!
Da tener presente:
Per n =300,
2n > numero di atomi dell’universo.
Soddisfacibilita’ di formule
Booleane
(A + B + C) · (D + F + G) · (A + G + K) · (B + P + Z) · (C + U + X)
· = and
+ = or
A = not A
Esiste
un assegnamento che la rende vera?
E se abbiamo 100 variabili?
1000 variabili?
Quanto impiegheremmo per trovare
l’assegnamento che rende vera la formula?
2
2-06-2011
Discussione
C’e’ una differenza tra
essere creativi / brillanti
e
essere capaci di apprezzare/comprendere creativita’ /
genialita’?
Esiste una dicotomia analoga per la computazione?
Genialita’ = Saper trovare to find
l’“ago nel pagliaio”
Un Beethoven sa determinare
“l’assegnamento giusto”
alla formula Booleana
della “bellezza musicale”
3
2-06-2011
Esistono numerosi problemi computazionali
la cui soluzione richiede “trovare un ago
in un pagliaio”….
CLIQUE Problem
In questo social network,
esiste una CLIQUE con
5 o piu’ studenti?
CLIQUE: Gruppo di studenti, in
cui ogni coppia di studenti
sono amici
Qual e’ un buon algoritmo per
determinare clique?
In che misura l’efficienza di
tale algoritmo dipende dalla
taglia della rete e della clique
cercata?
4
2-06-2011
Il problema di “spargere la voce”
Social network
Ogni nodo rappresenta uno
studente
Due nodi sono connessi da un
arco se gli studenti sono amici
Anna comincia a mettere “voci in
giro”
La “voce” raggiungera’ Benjamin?
Suggerite un algoritmo per
rispondere alla domanda
Come cresce la complessita’
rispetto alla taglia della rete?
I server della “rete” devono
risolvere tale problema
continuamente.
Ricerca esaustiva /
Esplosione Combinatoriale
Algoritmi Naïve per molti problemi tipo “ago nel
pagliaio” finiscono per testare tutte le possibili
soluzioni running time esponenziale.
Frequentissimo
nell’universo computazionale
E’
possibile trovare algoritmi migliori (come per
“Spargere la Voce”)? Per es., running time O(n2).
5
2-06-2011
Armonia di gruppo
Dato un Social network di n studenti.
Dove gli archi corrispondono a coppie di
studenti che NON vanno d’accordo.
Decidi se esiste un insieme di k studenti che
costituisca un gruppo in armonia
(ognuno va d’accordo con ognuno).
E’ il problema della Clique mascherato!
Il commesso viaggiatore
(il problema dei corrieri UPS)
Input:
n locazioni e
tutte le distanze tra
coppie di punti, e
una lunghezza k
Scopo:
decidere se
esiste un modo per
visitare tutte le locazioni
percorrendo in totale
una distanza <= k
6
2-06-2011
Il problema dell’Orario
Input:
n studenti, k corsi, liste degli studenti in ogni
corso, m possibili orari per gli esami finali
“Conflitto”:
uno studente e’ in due corsi con l’esame
programmato alla stessa ora
Scopo:
decidere se esiste la possibilita’ di
programmare l’orario con al piu’ 100 conflitti?
Il problema P / NP
P: problemi per i quali e’ possibile trovare una soluzione
in tempo polinomiale (nc dove c e’ una costante e n e’ la
“taglia dell’input”). Esempi: “ricerca binaria”, “Spargi la
voce”
NP: problemi per i quali una buona soluzione puo’
essere verificata in tempo nc. Esempi: Soddisfacibilita’
Booleana, Commesso Viaggiatore, Clique, Orario
Domanda: Vale P = NP?
“E’ possibile automatizzare la “genialita’”?”
(Nota: Indipendente dal Modello computazionele --Turing-Post, pseudocodice, C, Java, etc.)
7
2-06-2011
Problemi NP-completi
I Problemi “piu’ difficili” nella classe NP
Se
uno di essi in P allora ogni problema in NP
e’ anche in P.
Esempi: Soddifacibilita’, Commesso Viaggiatore, Clique,
Orario, …. e molti molti altri ancora (migliaia)
Come e’ possibile provare che tali problemi sono
“I piu’ difficili”?
“Riduzione”
“Datemi un punto d'appoggio,
ed io muoverò la Terra.”
– Archimedes (~ 250BC)
“Se mi date un algoritmo polinomiale
per il problema della Soddifacibilita’ delle Formule Boolean,
Vi dar’ un algoritmo polinomiale per ogni
problema in NP.” --- Cook, Levin (1971)
“Ogni problema in NP e’ un problema di
soddisfacibilita’ “mascherato”
8
2-06-2011
Cosa fare con I problemi NP-completi
1. Euristiche (algoritmi che producono
soluzioni ragionevoli per istanze reali)
2. Algoritmi di Approssimazione (producono
soluzioni sub-ottimali, ma con la
possibilita’ di garantire il massimo
margine di sub-ottimalita’)
Teoria della Complessita’ Computazionale:
Studio dei problemi computazionalmente
difficili.
Una nuova prospettiva?
Studio della materia → focus su massa, carica, etc.
Studio dei processi → focus sulla difficolta’
computazionale
9
2-06-2011
Esempio 1: Economia
Teoria degli equilibri:
Input: n agenti, ognuno con un portafoglio
iniziale (beni, denaro, etc.) e con delle
preferenze (funzione per misurare il guadagno)
Equilibrio: sistema di prezzi tale che per ogni
bene, domanda = offerta.
Equilibrio esiste [Arrow-Debreu, 1954]. Gli
Economisti assumono che i mercati lo trovino
(come una “mano invisibile”)
Ma, non e’ noto alcun algoritmo efficiente per
calcolarlo. Come fa il mercato a computarlo?
Esempio 2: Problema della
Fattorizzazione
Dato un numero n, trova due numberi p, q (diversi
da 1) tali che n = p x q.
Come possiamo risolverlo?
Infatti: Si “assume” che tale problema sia “difficile”.
E’ alla base di gran parte della crittografia.
10
2-06-2011
Esempio 3: Quantum Computation
A
B
Peter Shor
Principio fondamentale della meccanica quantistica:
quando una particella va da A a B, usa
tutti i possibili cammini allo stesso tempo
[Shor’97] Possiamo usare il comportamento quantistico
per fattorizzare interi in maniera efficiente (e “rompere”
protocolli crittografici)
E’ possibile costruire un computer quantistico, o la
meccanica quantistica non descrive correttamente il
nostro mondo fisico?
Esempio 4: Intelligenza Artificiale
Qual’e’ la complessita’ computazionale
di problemi quali
riconoscimeto del linguaggio, giocare
Ottimamente a scacchi?
Etc. etc.
Un possibile dimostrazione che il cervello non e’ un computer:
Mostrare che esso continuamente risolve problemi che
“necessariamente” (dimostrato) richiedono tempo
esponenziale su un computer
11
2-06-2011
Perche’ la relazione P / NP e’ un
problema da $1.000.000?
Se P = NP allora soluzioni “brillanti” diventano la norma
(best schedule, best route, best design,
best math proof, etc…)
Se P ≠ NP allora sappiamo qualcosa di
nuovo e fondazionale
non solo rispetto alla scienza dei computer
(analogo a “Niente viaggia piu’ veloce della luce”).
Prossimo tema: Crittografia (mettere
in pratica la complessita’ computazionale)
12
