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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE
FACOLTA’ DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO
Corso di Aggiornamento su Problematiche Strutturali
Verona, Aprile - Maggio 2005
INTRODUZIONE ALLA DINAMICA DELLE STRUTTURE
Massimiliano Gei
SOMMARIO
• Oscillatore semplice: vibrazioni libere e forzate
• Oscillatore semplice soggetto ad azione sismica
• Spettro di risposta elastico
• Calcolo dello stato di sollecitazioni di strutture a 1 e a 2 gradi di libertà
• Confronto tra analisi statica e dinamica
• Simmetria strutturale, baricentro elastico, effetti torcenti
2
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE
• Esempi di oscillatore semplice
k
u(t)
m
u(t)
m
u(t)
k
h
k=3 EI/h
3
m
h
k/2
k/2
m
k=2 · 12 EI/h3
(2 pilastri)
• Equazione del moto
Forza elastica
..
Forza d’inerzia
m u(t)+k u(t)=0
(vibrazioni libere)
3
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE
u(t)
m
..
m u(t)+k u(t)=0
(vibrazioni libere)
(1)
h
..
k= 12 ⋅ 2 EI/h3
(2 pilastri)
ω= k/m
pulsazione (freq. circolare)
T=2 π/ω =2 π m/k
periodo proprio
u(t)+ω2 u(t)=0
Nelle strutture civili il periodo proprio T è dell’ordine di 0.5÷2 secondi
4
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE
u(t)
• Equazione del moto:
..
m
h
m u(t)+k u(t)=0
k=3 EI/h3
..
u(t)+ω2 u(t)=0 ,
(vibrazioni libere)
(1)
ω= k/m
• Legge oraria del moto (soluzione dell’equazione 1):
spostamento: u(t)=U sin(ωt+φ)
velocità:
.
u(t)=U ω cos(ωt+φ)
..
2
accelerazione u(t)=−U ω sin(ωt+φ)
max spostamento: umax=U
max velocità:
.
umax=U ω
..
max accelerazione: umax=U ω2
5
OSCILLATORE SEMPLICE: RIGIDEZZA E PERIODO T
Periodo proprio della struttura:
F
m
h
k/2
k/2
T =2 π
m
k
Struttura molto rigida,
k → alto, T → basso (pochi decimi di secondo)
F
m
h
k/2
k/2
Struttura poco rigida,
k → basso, T → alto (nell’ordine del secondo)
6
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE
Si applica all’oscillatore una forza di pulsazione costante ω0 e di intensità
massima F0
F(t)=F0 sin ω0 t
m
h
k/2
k/2
• Equazione del moto (con smorzamento)
..
.
u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=F(t)/m
ξ: coefficiente di smorzamento (2÷5 %)
D: fattore di amplificazione dinamica: rapporto tra lo spostamento causato
dall’azione dinamica e quello provocato dalla forza agente staticamente.
7
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE
Amplificazione
(bassi ξ)
Risonanza
Riduzione
• La risonanza si ha per ω0= ω
• Per ω0 » ω, D → 0, la struttura non
risente della forzante
8
STRUTTURE A PIU’ G.D.L.: MODI DI VIBRARE
In una struttura a più Gradi Di Libertà (G.D.L.) l’analisi dinamica mostra
l’esistenza di configurazioni privilegiate di vibrazioni, chiamati MODI DI
VIBRARE della struttura.
I modi di vibrare sono in numero pari ai G.D.L. della struttura.
Esempio: struttura a 2 G.D.L.
1° modo, U(1)
2° modo, U(2)
9
MODI DI VIBRARE DI STRUTTURE A PIU’ G.D.L.
• Sono in n° pari ai gradi di libertà della struttura
• Ogni modo di vibrare è associato ad una pulsazione (o periodo)
ω1 → {U(1)},
Pulsazione
naturale o
fondamentale
ω2 → {U(2)},
ω3 → {U(3)},
ω1
≤
ω2
≤
ω3
≤
ecc.
T1
≥
T2
≥
T3
≥
ecc.
ecc.
T=
2π
ω
Periodo proprio
o fondamentale
3 piani,
3 modi di vibrare
T1
1° modo
≥
T2
2° modo
≥
T3
3° modo
10
MODI DI VIBRARE: PROPRIETA’ (II)
• Una vibrazione generica di una struttura è una combinazione dei modi di
vibrare della struttura (dipende dalle condizioni iniziali).
• Se le condizioni iniziali corrispondono ad un modo di vibrare allora la
struttura vibrerà liberamente secondo il modo stesso.
1° modo
2° modo
11
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZ. FORZATE SMORZ.
u(t)
F(t)
F(t)
Impulso elementare
m
h
t
u(t)
..
.
u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=F(t)/m
u(t) ≅
1
ω
t F(τ)
∫0 m
t
(vibrazioni smorzate forzate)
exp[−ξ ω (t−τ)] sin [ω (t−τ)] dτ ≅
1
V(t,ξ)
ω
vale per bassi
valori di ξ (1-5%)
V(t): è una velocità = PSEUDO VELOCITA’ (PSV)
12
OSC. SEMPLICE: SPOSTAMENTO IMPRESSO ALLA BASE
u(t)
.. ..
.
m (u+y)+c u+ k u = 0
m
..
h
.
2
..
u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω u(t)=−y(t)
y(t)
y(t)
u(t) ≅
1
V(t)
ω
legge del moto
t
&&(τ) exp[−ξω(t−τ)] sin [ω(t−τ)] dτ
V(t) = − ∫0 y
..
y(t): ACCELEROGRAMMA
..
y(t)
Accelerogramma
tipico di un sisma
t
13
ACCELEROGRAMMA
..
y(t)
g
Componente Nord-Sud dell’accelerazione al suolo
per il terremoto di El Centro del 1940
14
ACCELERAZIONE EFFICACE
u(t)
Quale forza d’inerzia (m aeff), agendo
staticamente, provoca in ogni istante lo
spostamento u(t)?
m
h
y(t)
y(t)
m aeff(t) = k u(t)
u
(2)
Finerzia = Felastica
m
maeff
h
Le sollecitazioni della struttura sono
legate al valore della forza elastica Felastica.
Attraverso la relazione (2) si trasforma il problema dinamico in un problema
statico. Se conosco aeff max posso calcolare le massime sollecitazioni della
struttura indotte dal sisma.
aeff(t)=
k
u(t)=ω2 u(t)= ω V(t)
m
15
SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI
Ai fini progettuali è necessario disporre di
aeff
max:
accelerazione efficace massima,
umax: massimo spostamento,
Vmax: pseudo-velocità massima
Vmax è la quantità fondamentale.
..
Accelerogr. y(t) applicato
ad un oscillatore di
pulsazione ω e smorz. ξ
..
y(t)
Spettro di risposta
elastico in termini di
velocità
(Velocità spettrale)
Vmax=Sve(ω,ξ)
V(t;ω,ξ)
Sve(T,ξ)
Sve
ξ crescente
t
T=2π/ω
16
SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI
Ottenuto Sve(ω,ξ):
umax= Sde(ω,ξ)=
1
Sve(ω,ξ)
ω
aeff-max= Sae(ω,ξ)=ω Sve(ω,ξ)
Spostamento spettrale
Accelerazione spettrale
Lo spettro dà il massimo valore della grandezza per un determinato
oscillatore e per un determinato accelerogramma.
Per uno stesso sito si calcolano gli spettri per diversi sismi
Sde
ξ crescente
Sve
T=2π/ω
ξ crescente
T=2π/ω
Sae
SPETTRI
MEDI
ξ crescente
T=2π/ω
17
CALCOLO AZIONI SISMICHE TRAMITE SPETTRO ELAST.
(1 grado di libertà)
Sae
ma
m
h
m
a
h
T
Struttura (1 gdl):
noti ω (o T) e ξ
DIMENSIONAMENTO
DI MASSIMA
T=2π/ω
Calcolo dell’accel. a
mediante lo spettro
medio
Calcolo delle sollecit.
indotte dal sisma
PROGETTO
DI DETTAGLIO
18
SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO (NORMATIVA)
Accelerazione
max del terreno
Periodo
proprio
Tipologie del
terreno di
fondazione
Dipende dal
terreno di
fondazione
D
A
zona
ag
1
0.35 g
2
0.25 g
3
0.15 g
4
0.05 g
g = 9.81 m/s2
Dipende dallo
smorzamento
19
OSSERVAZIONI SULLO SPETTRO ELASTICO
• i valori dello spettro sono più elevati quanto è minore lo smorzamento
• se la struttura è molto rigida (T → 0), il suo moto coincide con il moto del
terreno, e la massima accelerazione subita dalla massa m coincide con la
max accelerazione del terreno, per cui
..
Sae(0,ξ) ≈ ymax
• se la struttura è molto deformabile (T > 2 s) la max accelerazione subita
dalla massa m è inferiore al valore della massima accelerazione del
terreno, per cui
..
Sae(T,ξ) < ymax
• se la struttura ha valori del periodo fondamentale T intermedi (0.1 s < T
< 1 s ) la max accelerazione subita dalla massa m supera notevolmente
la max accelerazione del terreno
..
Sae(T,ξ) > ymax
20
ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE
E (c.a.)=2000 kN/cm2
q=40 kN/m
Pilastri 30x30
in c.a.
3m
Ipil =304/12=67500 cm4
5m
Rigidezza: k = 2 · 12 EIpil/h3 = 24 · 2000 · 67500 / 3003
= 120 kN/cm
= 12000000 N/m
Massa: m= W / g = 200 / 9.81 ≅ 20 kN s2/m = 20000 kg = 20 t
Periodo: T = 2 π / ω = 2 π
m
=2π
k
20000
=0.26 s
12000000
Sae(T=0.26 s)=ag S η 2.5 = 0.35 g · 1 · 1 · 2.5 = 0.875 g
Spettro elastico
(da normativa)
Fmax = W Sae/g = 200 · 0.875 = 175 kN
21
ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE, SOLLECITAZIONI
q=40 kN/m
Fmax=175 kN
+
=
131
64
195
60
M
kNm
Carichi
Verticali
32
M
kNm
131
Sisma con periodo di
ritorno di circa 500 anni
163
M
kNm
100
Totale
22
Esempi di calcolo delle azioni sismiche
sulla base dello spettro elastico proposto
nell’Ordinanza 3274/03
q=30 kN/m
3m
q=30 kN/m
3m
5m
23
ESEMPIO: ANALISI STATICA (I)
q=30 kN/m
3m
Periodo fondamentale: T = 0.36 s
Peso sismico di ogni piano: W1=W2=150 kN
q=30 kN/m
3m
5m
Pilastri
30x30
in c.a.
Peso sismico tot: W= W1+ W2 = 300 kN
Sae(T=0.36 s)=ag S η 2.5 = 0.875 g
Quote dei due piani:
z1 = 3 m; z2 = 6 m
0.35 g
(zona 1)
Azione tagliante totale alla base del fabbricato
Fbase = Sae λ W/g = 0.875·1·300 = 263 kN
massa
λ: coefficiente che dipende dall’altezza della struttura
24
ESEMPIO: ANALISI STATICA (II)
Quote dei due piani:
Forze di piano:
z1 = 3 m; z2 = 6 m
Fi = Fbase zi
F2=175 kN
Wi
∑ j z jWj
Σj zj Wj = 3·150+6·150 = 1350 kN m
F1=88 kN
F1 = 263·3·
150
= 88 kN
1350
F2 = 263·6·
150
= 175 kN
1350
25
ESEMPIO: ANALISI STATICA (III)
Sollecitazioni indotte dall’azione sismica
175 kN
131
175 kN
88 kN
197
88 kN
Tp
Mp
Np
Tp
Mp
(sui pilastri)
Np
Momento al piede (Mp)
Taglio al piede (Tp)
Sforzo normale al piede (Np)
M
kNm
= 197 kNm
= 132 kN
= 184 kN
26
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (I)
q=30 kN/m
u(1)2=1
q=30 kN/m
u(1)1=0.618
u(2)2=−0.618
3m
3m
5m
Pilastri
30x30
in c.a.
I modo
T1=0.36 s
II modo
T2=0.14 s
Coefficienti di partecipazione g1, g2 :
g1 =
u(2)1=1
150 ⋅1 + 150 ⋅ 0.618
=1.171,
2
2
150 ⋅1 + 150 ⋅ 0.618
g2 =
(gr=
150 ⋅ 1 + 150 ⋅ (−0.618)
2
2
150 ⋅ 1 + 150 ⋅ (−0.618)
∑ j Wju(r)
j
(r)
u
∑ j Wju(r)
j
j
)
=0.276
27
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (II)
Ogni modo di vibrare (j) conduce un insieme di forze di piano (indice i) Fji
Fji =
1
Sae(Tj) Wi γ(j)i
g
γ(j)i = u(j)i gi:
coeff. di distribuzione
Nell’esempio:
γ(1)1 = u(1)1 g1=0.618 ⋅ 1.171 =0.724, γ(1)2 = u(1)2 g1=1 ⋅ 1.171=1.171
γ(2)1 = u(2)1 g2=1 ⋅ 0.276 =0.276,
γ(2)2 = u(2)2 g2=−0.618 ⋅ 0.276=−0.171
28
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (III)
Spettri elastici
S η
Sae
Sae(T1)= Sae(0.36 s)= 0.35 g ·1 ·1 ·2.5 =0.875 g
Sae(T2)= Sae(0.14 s)= 0.35 g ·1 · (1 + 0.14 ⋅1.5/0.15) =0.84 g
Forze di piano
F11 = Sae(T1) W1 γ11/g=0.875 ⋅ 150 ⋅ 0.724 = 95 kN
T2 T1
F12 = Sae(T1) W2 γ12/g=0.875 ⋅ 150 ⋅ 1.171 = 154 kN
F21 = Sae(T2) W1 γ21/g=0.84 ⋅ 150 ⋅ 0.276 = 34 kN
F22 = Sae(T2) W2 γ22/g=0.84 ⋅ 150 ⋅ (−0.171) = −22 kN
29
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (IV)
154 kN
22 kN
34 kN
95 kN
1° modo
156 kN
2° modo
101 kN
Azioni totali
quadratura
Le azioni totali si determinano per quadratura:
Ftot =
(F1° modo )2 + (F2° modo )2
30
ESEMPIO: CONFRONTO ANALISI STATICA E DINAMICA
175 kN
156 kN
88 kN
132
184
Analisi statica
197
101 kN
128
193
171
Analisi dinamica
In questo caso l’Analisi statica si dimostra più cautelativa di quella dinamica
31
ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO
32
ANALISI DIN.: TELAIO PIANO, PRIMI MODI DI VIBRARE
33
ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, FORZE DI PIANO
34
SIMMETRIA STRUTTURALE
Struttura
doppiamente simmetrica
Struttura
simmetrica
Rotazione!
solaio
di piano
Spostamenti indotti
dal SISMA
Spostamenti indotti
dal SISMA
Direzione del SISMA
Direzione del SISMA
pilastri
35
BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE DI PIANO
eccentricità
ex
y
G
C
ey
C
θ
x
G: baricentro della massa
del solaio di piano
Sotto un’azione torcente
il solaio ruota attorno a C
C: baricentro delle rigidezze
C
corrisponde al baricentro dei
momenti statici dei mom. d’inerzia dei pilastri
xc =
∑i xi Ixi , y = ∑i yi Iyi
c
∑i Ixi
∑i Iyi
36
ROTAZIONI TORSIONALI INDOTTA DAL SISMA
Rotazione indotta da M
Traslazione
pura
Traslazione indotta da Fin
M=Fin⋅e
G≡C
Forza d’inerzia
&&
Fin=m y
Forza d’inerzia
&&
Fin=m y
G
C
e
≡
G
C
e
37
ANALISI DINAMICA: TELAIO SPAZIALE
38
ANALISI DIN.: TELAIO SPAZ., PRIMI MODI DI VIBRARE
39
ANALISI DINAMICA: TELAIO SPAZIALE
40
ANALISI DIN.: TELAIO SPAZ., PRIMI MODI DI VIBRARE
41
ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, MODI DI VIBRARE
(ultimo piano con massa notevolmente inferiore a quelli sottostanti)
42
ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO ISOLATO AL PIEDE
43