5.1- Conduzione elettrica

Nicola GigliettoA.A. 2013/14
5.1- Conduzione elettrica
5.1- Conduzione elettrica
In questo capitolo abbandoniamo la statica per parlare di cariche in movimento. In un conduttore gli elettroni sono le cariche mobili e in condizioni
normali e a temperatura ambiente hanno velocità tipiche di 106 m/s. Tuttavia la casualità delle loro direzioni non da luogo a movimenti o flussi
netti di carica. I conduttori sono costituiti da un reticolo spaziale ai cui
vertici vi sono gli ioni positivi del conduttore e al cui interno si muovono quasi liberamente gli elettroni. Nei metalli gli elettroni sono gli unici
portatori mobili di carica. Il parametro caratteristico è quindi rappresentato dal numero di portatori di carica n che tipicamente nei conduttori è
dell’ordine di 1028 elettroni/m3 Il moto degli elettroni normalmente è completamente
P disordinato e casuale per cui si ha che la loro velocità media è
~
v
<~
v >= Ni i = 0 Quando si collegano due conduttori a potenziale diverso
allora sotto
R l’azione del campo elettrico che inzialmente c’è (ricordate che
~ · d~
∆V = − E
s per cui se c’è una ddp c’è anche un campo elettrico) gli
elettroni secondo una direzione netta dando luogo ad un flusso di cariche
finchè non si ristabilisce un equilibrio Per realizzare una corrente in un conduttore occorre applicare un campo elettrico (non conservativo) all’interno
del conduttore. In questa situazione con campo elettrico le cariche si muovono tutte nella stessa direzione e danno luogo ad una corrente elettrica
ed il fenomeno è quello della conduzione elettrica. Nell’esempio indicato la corrente ed il campo elettrico durano solo per un tempo breve (è
un fenomeno transiente) Un qualsiasi dispositivo però che sia in gradi di
mantenere una ddp ai capi di un conduttore, ovvero capace di mantenere
un campo elettrico dentro il conduttore viene detto generatore di forza
elettromotrice o f.e.m. il cui esempio più noto è la pila. Gli elettroni del
conduttore sotto l’azione del campo elettrico, però non si muovono di moto
accelerato (perchè urtano continuamente contro il reticolo del conduttore
stesso e la situazione che si realizza è simile al moto con attrito viscoso) ma
mediamente si muovono con una velocità costante detta velocità di deriva
(molto più piccola di quella propria degli elettroni) e diretta come il campo
elettrico.
5.2 corrente elettrica e densità di corrente
Cap5-Vol II-Corrente elettrica
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5.2 corrente elettrica e densità di corrente
Supponiamo che in una porzione di un conduttore vi sia un campo elettrico
sotto la cui azione si muovono gli elettroni. Se n sono i portatori per unità
di volume, essi acquistano una velocità pari alla velocità di deriva ~
v d nella
direzione del campo elettrico. Se individuiamo all’interno del conduttore,
una supeficie cilindrica infinitesima di sezione dA, la carica che transita
nell’unità di tempo attraverso la superfice A è intensità di corrente media
definita come im = ∆q
∆t e la corrente istantanea di conseguenza:
∆q
dq
=
∆t→0 ∆t
dt
i = lim
Vediamo adesso quanta carica è passata attraverso nell’elemento infinitesimo
considerato prima: il volume del cilindro descritto dalle cariche in moto è
dτ = LdA cos θ = vd ∆tdA cos θ con θ l’angolo di cui è inclinata la superficie
rispetto alla velocità di deriva (o il campo elettrico) La carica che si è
spostata è invece ∆q = n+ edτ = n+ evd ∆tdA cos θ per cui di = nevd dA cos θ
che ci permette di definire il vettore densità di corrente
~j = n+ e~
vd
per riscrivere di = jdA cos θ = ~j · ûn dA da cui su superfici finite si ottiene
Z
~j · ûn dΣ
i=
Σ
relazione che mette in relazione il flusso di ~j attraverso la superficie con i. Nel
caso comune in cui j sia uniforme e perpendicolare alla superficie si ottiene
semplicemente i = jΣ ⇒ j = Σi Da notare che nel conto abbiamo supposto
implicitamente che si muovessero delle cariche positive. Se come nei conduttori, sono cariche negative a muoversi allora ~j = −n− e~
v d ed in generale
quando vi sono più portatori di carica si ottiene: ~j = n+ e~
v + − n− e~
v − Implicitamente pertanto abbiamo quindi assunto che il verso della corrente è
per convenzione, quello stabilito dal movimento delle cariche positive Unità
di misura: la corrente elettrica si misura in ampere (A) che dalla defini1C
zione i = dq
dt discende che 1A = 1s . La densità di corrente si misura invece
2
in A/m
Corrente stazionaria
Corrente stazionaria
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Consideriamo un conduttore percorso
da corrente di densità ~j come in figura,e supponiamo inoltre di considerare
due diverse sezioni del conduttore. Le
correnti che passano attraverso le due
sezioni sono ovviamente:
Z
Z
~
~j 2 · û2 dΣ2
i1 =
j 1 · û1 dΣ1 , i2 =
Σ1
Σ2
se consideriamo la porzione di volume delimitato da Σ1 e Σ2 avremo che
nell’ipotesi che la quantità di carica nel volume non cambi, e che tanta carica
entra ed altrettanto ne esce, allora è evidente che si deve avere i1 = i2 Che si
riassume dicendo che in condizione stazionarie l’intensità di corrente
è costante attraverso ogni sezione del conduttore. Notare che la
stazionarietà dela corrente non significa che la corrente non varia con il
tempo, può variare purchè la quantità di carica che entra corrisponde a
quella che esce.
5.3- Legge di Ohm
5.3- Legge di Ohm
In un conduttore sottoposto ad una ddp, in regime stazionario, il legame tra
~ nel conduttore è ~j = σ E
~
la ~j che si stabilisce nel conduttore ed il campo E
con σ grandezza caratteristica del conduttore detta conducibilità elettrica. Questa relazione è detta legge di Ohm della conduttibilità elettrica.
~ = ρ~j con
Spesso la legge di Ohm è piuttosto indicata nell’altra forma: E
1
ρ = σ e viene detta resistività del conduttore Applichiamo ora questa
legge al caso di un conduttore metallico cilindrico di lunghezza L e sezione
Σ Ai capi di questo tratto di conduttore vi sia una ddp pari a ∆V e consideriamo il regime stazionario, nel quale la corrente è la medesima attraverso
ogni sezione del conduttore si ha:
E = ρj = ρ
i
Σ
R
~ · d~
e dalla definizione di potenziale elettrico ∆V = E
s = EL si ottiene
ρL
∆V = Eh = Σ i
L
Definendo come Resistenza il termine R = ρ Σ
allora la relazione precedente diventa V = ∆V = Ri che è nota come Legge di Ohm per i conduttori metallici, le unità di misura sono Ω (Ohm) (1Ω = 1 V olt/1 Ampere)
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Nei casi in cui la sezione del conduttore è variabile consideriamo tratti
infinitesimi di lunghezza dL e otteniamo:
dL
~ · d~
−dV = E
s=ρ i
Σ
R
RB
~ s = Ri avendo di fatto posto R = B ρ dL
Che integrata porta a ∆V = A E·d~
Σ
A
Potenza nei circuiti
Potenza nei circuiti
Potenza nei circuiti, Effetto Joule
Qualunque dispositivo ai cui capi sia mantenuta una ddp pari a V ed assorba
una corrente i necessita di una potenza per mantenere inalterata la ddp. Se
consideriamo una carica dq che si muova tra i morsetti del dispositivo abbiamo che questa carica vede una caduta di potenziale V per cui la sua energia
potenziale diminuisce di dU = V dq = V i dt per cui il lavoro compiuto dal
campo elettrico per questo spostamento è dW = Vdq = Vidt quindi di= V i. Se il
videndo tutto per dt la potenza trasferita è risultata P = dW
dt
2
dispositivo è un conduttore, valendo la legge di Ohm si ha P = Ri2 = VR
questa potenza è trasferita al conduttore il quale si scalda (effetto Joule)
per effetto dell’ingresso di tale energia (microscopicamente è dovuto agli urti
che gli elettroni trasferiscono al reticolo del conduttore).
Parte I
modello classico
5.4-Modello classico di conduzione
5.4-Modello classico di conduzione
Il modello classico di conduzione elettrica dei metalli dimostra con un semplice modello le ragioni che portano alla legge di Ohm. Si ipotizza che gli
elettroni si muovano attraverso un reticolo cristallino, in cui gli ioni del metallo sono sostanzialmente fissi e nei vertici del reticolo, e gli elettroni si
muovono con un moto disordinato.
Le interazioni degli elettroni con il
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reticolo sono assimilabili ad una serie di urti tra essi e il reticolo, tra un
urto e l’altro il moto degli elettroni è libero con traiettorie rettilinee (moto
rettilineo uniforme). Le direzioni delle traiettorie dopo gli urti sono completamente casuali (discorso simile alla trattazione fatta come teoria cinetica
dei gas) per cui nessuna direzione è privilegiata e non si hanno flussi netti
di carica. Possiamo stabilire il tempo medio τ tra due urti consecutivi ed
il cammino libero medio l che saranno legati dalla relazione τ = vl con v
la velocità degli elettroni nel metallo. Questa è la situazione quando non vi
sono campi elettrici nel conduttore. Se applichiamo invece un campo elettri~ /m = − eE~ .
co allora ogni elettrone viene accelerato con accelerazione ~
a=F
m
Quindi alle velocità casuali proprie degli elettroni si sovrappone una componente di velocità quadagnata che è nella direzione del campo elettrico,
ma il cui valore è tuttavia in modulo molto più piccolo della tipica velocità
degli elettroni. Ne consegue che in modulo la velocità cambia poco e anche il tempo medio tra due urti calcolato prima non si modifica. Possiamo
adesso vedere cosa succede alle velocità tra due urti successivi. Se ci riferiamo all’urto i-simo e vogliamo vedere qual’è la velocità giusto prima l’urto
successivo si ha:
~
v i+1 = ~
vi −
eE
τ
m
Per cui facendo la media di questa espressione su un gran numero di urti
si ottiene di fatto la definizione della velocità di deriva:
<~
v >= ~
vd =
~
1 X
1 X
eE
~
v i+1 =
(~
vi −
τ) =
N
N
m
i
i
~
1 X eE
1 X
~
vi −
τ
N
N
m
i
P
i
v i = 0 in quanto le direzioni dopo gli urti sono casuali ed
e poichè i ~
~
v d = − eτ
essendo costante il secondo termine si ottiene che ~
m E in altre parole la gli elettroni acquistano una velocità di deriva diretta come il campo elettrico e proporzionale al campo elettrico stesso
La densità di corrente acquisita da questo spostamento di cariche è quindi
2
~j = −ne~
~ se allora identifichiamo σ = ne2 τ otteniamo la definiv d = nem τ E
m
zione di conduttività e il suo collegamento alle caratteristiche del metallo
~
ritrovando la legge ~j = σ E
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Parte II
resistori serie parallelo
5.5-Resistori serie e parallelo
5.5-Resistori serie e parallelo
I conduttori ohmici sono caratterizzati da un determinato valore di resistenza. I dispositivi inseriti come
elementi circuitali aventi un determinato valore di resistenza sono detti resistori e hanno il simbolo in figura.
I collegamenti di base tra questi elementi, come per i
condensatori, sono quello in serie e quello in parallelo.
Resistori in serie
Nel collegamento in figura le resistenze sono in serie
ovvero collegate in cascata e mantenendo una ddp ai capi degli estremi della catena. In condizione di regime stazionario, la corrente è la stessa in tutti gli elementi. La somma delle ddp ai capi di ognuna di esse è la ddp di tutta la catena. ∆V1 = R1 i,∆V2 = R2 i, ∆V3 = R3 i e
∆V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 Le resistenze in serie possono essere sostituite
da una equivalente: ∆V = Req i ⇒ Req = (R1 + R2 + R3 ) che in generale
possiamo cosı̀ scrivere:
X
Ri
Re q =
i
Resistori in parallelo
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Nella figura si vede un collegamento
con più resistenze in parallelo tra loro. In
questo caso (come per i condensatori) tutte le resistenze hanno la stessa ddp e vogliamo trovare la resistenza che sostituita al posto dell’intero collegamento presente caratteristiche elettriche equivalenti.
Per ognuna abbiamo che i1 =
V
V
i
e i3 = RV3 ma, generalizzando la situazione vi2 = R2
R1
sta nel paragrafo 5.2 della corrente stazionaria, abbiamo che anche nel
caso di conduttori che si dividono, come ad esempio in questa figura,
si deve avere che tanta carica entra quanta ne esce da cui l’esempio della
figura si tradurrebbe nello scrivere i = i1 + i2 .
Nel nostro collegamento allora si avrà che i =
i1 + i2 + i3 = V ( R11 + R12 + R13 ) = RVeq Pertanto
abbiamo che:
1
Req
=
X 1
i
Ri
5.6-Forza elettromotrice
5.6-Forza elettromotrice
La figura mostra un generatore di f.e.m.(una
batteria) che è parte di un semplice circuito con
resistenze. (notare il simbolo circuitale del
generatore). Il generatore produce e mantiene
una ddp tra i suoi poli.
Se la batteria è staccata non c’è alcun flusso di cariche internamente alla batteria. Nel
momento in cui vi è un collegamento esterno
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invece si ha un flusso di cariche interne (per effetto di reazioni chimiche nelle pile o con altri
processi in altri dispositivi) verso il polo positivo e all’esterno nel circuito
dal polo + verso il -.
Consideriamo ora il più semplice circuito che si
ottiene collegando i poli del generatore con
R B un resistore. Avremo ai ca~ · d~
s = Ri e calcolando la
pi del resistore la legge di Ohm: ∆V = A E
H
~ · d~
circuitazione del campo elettrico sull’intero circuito si ha E
s = Ri
H
~
Ricordando (cap2) che avevamo definito come fem E = E · d~
s = Ri abbiamo che ne consegue che non è per opera di un campo elettrostatico che
si può realizzare tale situazione ma occorre un processo di altra natura. Più
precisamente nei conduttori del circuito si avrà un certo campo elettrico Eel
dovuto alla presenza delle cariche sui poli del generatore Hed un certo
R Bcampo
∗
~
E all’interno del generatore Pertanto otteniamo che E = E·d~
s = A E~∗ d~
s
calcolata lungo un percorso entro il generatore tra i poli A e B Nei generatori
di f.e.m. ideali non si hanno resistenze interne che ostacolano il movimento
di carica da un polo all’altro. Nella realtà invece qualunque batteria ha una
resistenza interna dovuta agli ostacoli interni alla batteria. Indicheremo
per questi generatori reali la presenza della resistenza interna evidenzando
la resistenza e collocandola in serie ad un generatore ideale.
Calcoliamo la circuitazione partendo dal generatore polo negativo andando verso il polo +. Abbiamo allora: VA +E −ri−Ri = VA ⇒ E = (r + R)i e
R
E
i = R+r
Per cui la ddp ai capi del resistore esterno è ∆V = Ri = r+R
E = E − ri
la ddp ai capi di un resistore collegato ad un generatore reale è inferiore
alla fem a causa della resistenza interna.
5.9-Leggi Kirchhoff per le reti elettriche
5.9-Leggi Kirchhoff per le reti elettriche
Un circuito a più maglie è quello in figura. Nei circuiti a più maglie identifichiamo i nodi che sono i punti del circuito nel quale convergono almeno 3
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tratti di conduttore differenti, e rami che sono tratti di collegamenti tra due
nodi.
Per risolvere questi circuiti si usano le due
leggi di Kirchhoff:
• Legge dei nodi o prima legge di
Kirchhoff: la somma delle correnti
che entrano in un nodo deve essere
uguale P
alla somma delle correnti che
escono k ik = 0
• Legge delle maglie o seconda legge di Kirchhoff: la somma algebrica
delle differenze di potenziale in un circuito chiuso in un giro completo
è nulla o anche la somma
P è uguale alla somma delle
P delle fem
cadute di potenziale k Rk ik = j Ej
I criteri che si devono seguire per applicare le leggi sono:
• si sceglie arbitrariamente un verso per la maglia
• se nel ramo k-simo la corrente è concorde al verso di percorrenza il
termine Rk ik ha segno positivo altrimenti il contrario
• se una fem viene percorsa dal - al + dal suo interno, la fem va
considerata con il segno positivo altrimenti il contrario
In base a queste il circuito fornisce due equazioni da mettere a sistema:
maglia ’bad’ (a sinistra) in senso antiorario: E1 − i1 R1 + i3 R3 = 0 Maglia
destra (bcd) e antiorario da c:−E2 − i3 R3 − i2 R2 = 0 da mettere a sistema
con la legge del nodo b: i2 = i1 + i3
5.7- Carica e scarica di un condensatore
5.7- Carica e scarica di un condensatore
Carica di un condensatore
Consideriamo la situazione di carica realistica di un condensatore. Esso viene collegato ad un generatore di fem, che lo carica,
e il collegamento viene fatto tramite conduttori che hanno comunque una resistenza
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stabilita dalla legge di Ohm. Consideriamo
la situazione all’istante generico nel quale il
condensatore si trova con una certa carica
q. Se applichiamo la legge delle maglie otteniamo E − i R − q/C = 0 queq
dq
q
E
sta possiamo scriverla nella forma E − dq
dt R − C = 0 ovvero R = dt + RC
Questa è una eq. differenziale immediatamente integrabile.
dt
q
dq
dq
=R
⇒
⇒
q =
C
dt
E−C
R
dq
dt
=−
⇒
q − CE
RC
Z t
dq
dt
q − CE
t
−
=
⇒ ln(
)=−
⇒
q − CE
RC
−CE
RC
0
E−
Z
q
0
t
q(t) = CE(1 − e− RC )
CE −t/RC
E −t/RC
=R
e
La coda cui infine ricaviamo la corrente i = dq
dt = RC e
stante τ = RC è detta costante di tempo capacitiva: dalla’andamento della
corrente desumiamo che la corrente è massima a t=0, dopo un tempo pari a
1τ la corrente si riduce al 37% dopo 3τ si è ridotta al 5% proseguendo con
andamento esponenziale. Analogamente l’operazione di carica si può ritenere virtualmente completata dopo 5τ (99.3%) e la carica massima è q0 = CE
Infine vediamo il lavoro compiuto dal generatore nel processo di carica:
Z
Z
Wgen = Edq = E dq = Eq0 = CE 2
(1)
Per la potenza complessivamente spesa, si può verificare che Pgen = PR (t) +
PC (t)
Scarica di un condensatore
Scarica di un condensatore
L’eq. della maglia nel caso in cui non ci sia più il generatore di fem descrive di
fatto la scarica del condensatore su una resistenza. Quindi basta mettere E =
t
0 per avere la descrizione della nuova situazione: q = q0 e− RC è l’andamento
della carica sul condensatore e derivando l’espressione si trova la corrente
ovvero:
dq
q0 −t/RC
i=
=−
e
dt
RC
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La potenza complessivamente spesa risulterà
Z
Z
Z ∞
q02
2
e−2t/RC dt =
WR = PR (t)dt = Ri = R 2 2
R C 0
(CV0 )2 RC
1
= CV02
2
RC
2
2
L’energia immagazzinata nel condensatore è stata interamente dissipata
sulla resistenza
5.8-Corrente spostamento
5.8-Corrente spostamento
Abbiamo finora associato le correnti agli spostamenti di cariche. Tuttavia se
pensiamo alla situazione della carica/scarica del condensatore, processo nel
quale la carica sta variando nel tempo, abbiamo che in tutto il circuito scorre
una corrente i(t). Ma tra le armature del condensatore non c’è passaggio di
carica eppure sull’altra armatura si manifesta la stessa corrente della prima
armatura come se ci fosse una continuitità di passaggio di corrente anche tra
le armature. Ipotizziamo quindi una corrente is non dovuta ad un moto
di cariche che avviene tra le armature del condensatore. Il ragionamento
da fare è quindi ipotizzare che questa corrente sia uguale a quella del resto
del circuito e che sia dovuto al fatto che la carica (e quindi anche il campo
elettrico) sia variabile nel tempo.
is = i =
dq
d
d ΣV
d
dΦ(E)
= (CV ) = ǫ0
) = ǫ0 (EΣ) = ǫ0
dt
dt
dt( h
dt
dt
Questa equazione evidenzia l’origine della corrente is come dovuta alla variazione nel tempo del flusso del campo elettrico. La corrente is fu introdotta da Maxwell e detta corrente di spostamento per risolvere alcune
incongruenze delle eq. del campo elettromagnetico. Il termine corrente di
spostamento non allude ad uno spostamento di cariche o materia ma allude,
come accenneremo, allo spostamento di campi elettromagnetici. Infine possiamo indicare la densità di corrente di spostamento che sarà j = Σi = ǫ0 dE
dt ;
~
dE
~
~
in generale quindi potremo indicare j = j c + ǫ0
dt
5.10-circuiti particolari
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PROBLEMA 27.5E
5.10-circuiti particolari
Esempio 5.5-partitore resistivo
In figura(vedi Mazzoldi) un partitore resistivo costituito da tre resistori in
serie collegati ad un generatore di fem pari a 100 V, e resistenza interna
r = 10Ω. I resistori hanno R1 = 40Ω, R2 = 50Ω,R3 = 100Ω. Calcolare la
ddp ai capi di ogni resistore (R1 in basso), e ai capi dei morsetti A e B del
generatore di fem.
La resistenza totale del circuito è R = r + R1 + R2 + R3 = (10 + 40 +
E
50 + 100)Ω = 200Ω da cui ci ricaviamo la corrente nel circuito i = R
= 0.5A
di conseguenza le ddp ai capi dei condensatori sono V1 = R1 i = 20V V2 =
R2 i = 25V V3 = R3 i = 50V Da cui ricaviamo la ddp ai capi dei morsetti
del generatore di fem
VA − VB = E − ri = V1 + V2 + V3 = 95V
Il partitore resistivo cosı̀ realizzato permette di ripartire la fem in valori più
piccoli determinati dai valori delle resistenze in pratica: V1 : V2 : V3 = R1 :
R2 : R3
Misure di corrente
Chiamiamo amperometro lo strumento che misura le correnti in un circuito. Per misurare una corrente deve essere necessariamente inserito in
serie al circuito in modo da intercettare la corrente ma continuando a farla
scorrere nel circuito.
Misure di differenze di potenziale
Voltmetro è invece lo strumento per misurare le ddp, va inserito in parallelo
al circuito e tra i due punti di cui si vuole misurare la ddp.
1
Problema 27.5E
Problema 27.5E
I fusibili dei circuiti sono costituiti da un filo metallico progettato in modo
da fondere, interrompendo il circuito, se la corrente che lo attraversa supera
un certo valore. Supponiamo che il materiale usato per il fusibile fonda
quando la densità di corrente supera il valore di 440 A/cm2 . Che diametro
deve avere il filo, di forma cilindrica, affinchè limiti la corrente a 0.5 A?
i
=
La corrente deve essere i = j · A = jπr2 ⇒ r2 = jπ
otteniamo r = 0.019 cm ⇒ d = 0.038 cm = 0.38 mm
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12
0.5
π440
cm da cui
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3
PROBLEMA 32P
Problema 15E
Problema 15E
Un filo di resistenza 6Ω viene stirato sino ad allungarsi di 3 volte. Qual’è la
nuova resistenza del filo nell’ipotesi che resistività e massa volumetrica del
filo non siano cambiate?
2
′2
Il volume è lo stesso quindi si deve
√ avere: V = πr0 · L0 = πr · 3L0 da
′
cui il raggio finale risulta: r = r0 / 3. Di conseguenza la resistenza è :
R = ρ · L/A = ρ ·
3
3L0
πr ′2
=ρ
3L0
=ρ
9L0
=
πr02
= 9R = 54Ω
πr02 /3
Problema 32P
Un elemento riscaldante viene fatto funzionare mantenendo una
ddp di 75 V su un filo conduttore di sezione 2.6·10−6 m2 e resistività
di 5 · 10−7 Ω · m. Se l’elemento dissipa 5000 W qual’è la lunghezza
2
del filo? La potenza dissipata da una resistenza è P = R i2 = VR pertanto
si ha che P =
V2
ρ L/A
Cap5-Vol II-Corrente elettrica
⇒L=
V 2 ·A
ρP
=
13
752 ·2.6·10−6
5·10−7 ·5000
= 5.85 m