5.1 Storia dell`algebra Mappa dell`Unità 5.1.1
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Didasfera - Ambiente didattico digitale 5.1 Storia dell’algebra Mappa dell'Unità 5.1.1 Definizione L'algebra è quella branca della matematica che studia le strutture algebriche. Una struttura algebrica è un insieme dotato di operazioni che godono di determinate proprietà. Questa è la definizione "moderna" di algebra, nel corso dei secoli si sono risolti tuttavia molti problemi di natura algebrica intendendo però per algebra tutt'altro. All'inizio del diciannovesimo secolo per "algebra " si intendeva "l'arte di determinare soluzioni generali delle equazioni ". Il nome "algebra" deriva dal libro A l Kitab Al Jabr wal muqabala (libro sul calcolo per bilanciamento) del matematico arabo Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850), che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado. La parola "bilanciamento" richiama l'idea di bilanciare delle quantità, che è alla base dei principi di equivalenza che vengono spiegati oggi già alle scuole medie inferiori. In tutte le scuole superiori di secondo grado si affronta l'algebra, intesa come studio delle proprietà delle operazioni all'interno di un insieme, ma tale insieme è sempre numerico. Gli argomenti di algebra che vengono affrontati nel biennio delle scuole superiori, non necessariamente nell'ordine in cui essi vengono affrontati, sono i seguenti: • Calcolo letterale: monomi. • Calcolo letterale: polinomi. • Calcolo letterale: scomposizione di polinomi. • Calcolo letterale: frazioni algebriche. • Equazioni e disequazioni di primo grado. Pagina 1/4 Didasfera - Ambiente didattico digitale • Sistemi di equazioni e di disequazioni di primo grado. • Problemi risolubili per mezzo di equazioni e disequazioni di primo grado. • Equazioni e disequazioni di secondo grado. • Calcolo con i radicali. • Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. • Sistemi di equazioni e di disequazioni di grado superiore al primo. • Problemi risolubili per mezzo di equazioni e disequazioni di grado superiore al primo. • Equazioni e disequazioni contenenti radici. • Equazioni e disequazioni contenenti valori assoluti. Tutti gli argomenti sopra elencati si riferiscono ad operazioni definite nell'insieme numerico dei numeri reali. In questo primo paragrafo si vuole mostrare una breve storia dell'algebra a partire dai tempi più antichi fino ai giorni nostri, riferendoci sempre ad operazioni definite in un insieme numerico. Il caso di operazioni definite in un insieme qualunque verrà trattato nell'ultimo paragrafo di questo capitolo (algebra astratta). La geometria algebrica Gli antichi greci utilizzavano delle costruzioni geometriche per risolvere problemi di natura algebrica, pertanto non si può parlare pienamente di algebra, in quanto ogni costruzione era riferita a un singolo caso e non faceva riferimento a problemi di tipo generale. Ad esempio la costruzione seguente rappresenta il quadrato di un binomio. L'algebra retorica Prima dell'invenzione dei simboli, che oggi sono utilizzati nel linguaggio matematico per esprimere operazioni e incognite, i problemi algebrici venivano espressi in linguaggio naturale. Questo periodo prima dell'invenzione dei simboli è detto periodo dell' algebra retorica. 5.1.2 Esempio L'espressione in linguaggio naturale "Il triplo di una quantità addizionata a 3 unità è uguale al doppio della stessa quantità addizionata a 5 unità" è oggi rappresentata dall'equazione `3x+3=2x+5`. In realtà esistevano già delle incognite anche nel periodo dell'algebra retorica, ma non erano incognite, per così dire, universali come la `x` a cui si fa riferimento nell'algebra simbolica moderna. Gli antichi babilonesi, ad esempio, utilizzavano come incognite le parole ush (lunghezza), sag (larghezza), lagab (quadrato), sukud (altezza), asha (area) e sabar (volume). Tali parole nel linguaggio naturale fungevano da incognite di cui si doveva determinare il valore. Quando l'incognita era una lunghezza di un lato di una figura si utilizzava ush, se si doveva fare riferimento al quadrato di tale grandezza si utilizzava la parola lagab, e in questo modo era possibile esprimere anche equazioni di secondo grado. Se c'erano due incognite (come in un sistema di equazioni) allora si utilizzavano le parole ush e sag (lunghezza e larghezza) e il loro prodotto veniva indicato con asha (area). Se le incognite erano tre si utilizzavano le parole ush, sag, sukud (lunghezza, larghezza e altezza) e il loro prodotto veniva indicato con sahar (volume). Pagina 2/4 Didasfera - Ambiente didattico digitale Simbolo moderno Termine geometrico Grandezza babilonese x Lunghezza Ush y Larghezza Sag x2 Quadrato Lagab z Altezza Sukud xy Area Asha xyz Volume Sahar L'utilizzo di questo tipo di incognite fa sì che si può considerare l'algebra babilonese un anticipo dell'algebra sincopata di cui si parlerà nel paragrafo che segue. Passando all'antico Egitto nel papiro di Ahmes si trovano molti problemi algebrici risolti, tra cui il problema 26 esposto nel prossimo esempio. 5.1.3 Esempio Una grandezza e un suo quarto addizionati danno somma 15. Qual è la grandezza? Oggi risolveremmo il problema mediante l'equazione `x+1/4x=15` che fornisce come risultato `x=12`. Il ragionamento che fece lo scriba fu il seguente: se la risposta fosse 4 allora 4 più un quarto di 4 darebbe risultato 5, quindi la risposta non è 4, in quanto il risultato non sarebbe 15 ma 5, che è un terzo di 15. Allora il risultato non sarà 4 ma 3 volte 4 ossia 12. Si può notare che la risoluzione dello scriba avviene mediante un ragionamento in linguaggio naturale che non fa uso dei simboli a cui siamo oggi abituati. L'algebra sincopata Il periodo dell'algebra sincopata ha inizio con Diofanto (200-284) e termina intorno al quattordicesimo secolo. Il nome "sincopata" ha origine dal greco synkopé (tagliare, ridurre). Nell'algebra sincopata compaiono le prime abbreviazioni sia durante i ragionamenti che durane i calcoli, anche se si continua a far uso delle parole per esprimere i problemi e i ragionamenti logici effettuati. Diofanto utilizzò come abbreviazioni alcuni simboli dell'alfabeto greco. La lettera `iota` (iota) faceva le veci del nostro simbolo di uguale, la lettera `zeta` (zeta) rappresentava l'incognita che oggi indichiamo con `x`, il suo quadrato `x^2` veniva indicato con `deltaupsilon`, eccetera. A differenza delle "incognite" babilonesi questi simboli introdotti da Diofanto rappresentavano grandezze astratte, e non erano legate a grandezze geometriche come nell'algebra babilonese. Si è abbastanza sicuri dell'anno della morte di Diofanto perché pare che egli stesso compose l'epitaffio della sua tomba: 5.1.4 Esercizio Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l'infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell'adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L'infelice (figlio) morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell'età che il padre ha vissuto. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita. La soluzione del problema (provate a risolverlo) è 84. Pagina 3/4 Didasfera - Ambiente didattico digitale In questa unità Testo: Storia delle idee Autore: Marcello Ciancio Curatore: Maurizio Châtel Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo Editore: BBN Pagina 4/4
