............................................................................... pag 5
il testo............................................................................................................. pag 19
termini geometrici....................................................................................... pag 24
consigli............................................................................................................. pag 32
la figura........................................................................................................... pag 33
figure magiche............................................................................................... pag 41
i diversi ruoli della figura..................................................................... pag 43
consigli............................................................................................................. pag 45
i dati.................................................................................................................... pag 46
dati noti............................................................................................................ pag 51
dati nascosti................................................................................................. pag 53
dati intuitivi..................................................................................................... pag 54
l’incognita ......................................................................................................... pag 55
come assegnare l’incognita .................................................................... pag 59
dati operativi ................................................................................................. pag 65
le limitazioni................................................................................................... pag 67
limitazioni geometriche............................................................................ pag 75
limitazioni algebriche................................................................................ pag 87
relazione fondamentale........................................................................... pag 90
inventa la relazione fondamentale.................................................... pag 100
fase operativa.............................................................................................. pag 104
uso diretto dei teoremi........................................................................... pag 110
dati ausiliari.................................................................................................. pag 111
figure ausiliarie............. ............................................................................... pag 112
idee geniali ....................................................................................................... pag 114
l’esperienza ..................................................................................................... pag 115
le soluzioni..................................................................................................... pag 117
quali soluzioni scegliere........................................................................ pag 122
equazioni irrazionali................................................................................. pag 126
.......................................................... pag 130
........................................................................................... pag 133
Cavolo
mancano solo
10 minuti e non
ho scritto niente
e che ti
passo! io
sto peggio
di te!
DAI
PASSA !!
mhh!
diamo
un’occhiata
5
Tempo
scaduto,
su, avanti,
consegna
Si, si
solo un
secondo
stavo
scrivendo
il nome
Oddio,
la campanella!!!
E tu questo me lo
chiami Compito di
geometria???
Ah beh,
un compito così
lo correggo subito,
e subito ti do il
voto,
va bene così??
6
Beh... Vede...
io... ehm... cioè...
...diciamo che...
...si...
Per fortuna era
solo un sogno!
7
PER QUALCUNO, INVECE, E’ UNA
TRISTE REALTA’
MATEMATICA = 4
QUANTI PER COLPA DEI
PROBLEMI GEOMETRICI
SUBISCONO CONTINUE
UMILIAZIONI...
...CHI ALLA FINE PERDE LA
PAZIENZA.
8
...C’E’ CHI NON
GLIENE Va bENE
NEANCHE UNA...
Queste scene si ripetono di generazione in
generazione...
... chi perchè non è “portato“ per la matematica, chi perchè
pensa che è troppo difficile...e chi ha altro per la testa!!!
E quindi è
ovvio che la
perpendicolare
al piede
della...
9
UHM! NO...COSI’
NO!...VEDIAMO SE
COSI’ VA...NO!...
MAH!... FORSE è
MEGLIO SE LO
FATE DA SOLI...
leggi leggi e non trovi mai
quello che ti serve
Perchè quello che serve ai
ragazzi è un metodo chiaro
per risolvere i problemi.
Purtroppo non c’è!! E i
ragazzi devono affrontare
l’insidioso terreno dei problemi geometrici senza una
guida...
10
Per non parlare poi
dei libri di testo...
brutti, lunghi e
noiosi...
Ed è così che i ragazzi
arrivano ad avere il
terrore dei problemi
geometrici
11
L‘incubo è finito !!! In questo libro forniremo
un metodo sicuro per risolvere i problemi di
geometria, e lo faremo con l’aiuto di
un nostro amico…
12
...Cartesio!
13
Cartesio fu
filosofo...
...fisico...
... matematico...
a suo tempo (1600) sosteneva l’esistenza di
uno schema universale per risolvere
qualunque problema
sono
capace di
trasformare
ogni situazione in relazioni
algebriche
...Ma alla fine dovette constatare che il suo
metodo non era proprio universale.
14
Per fortuna però
contro i problemi
geometrici
funziona benissimo...
TRASFORMARE IL
PROBLEMA GEOMETRICO IN ALGEBRICO..
...E POI RIDURLO AD
UNA EQUAZIONE...
15
Risolvendo
l’equazione
avrete le soluzioni
Questo in sintesi è il
“metodo di Cartesio”
che seguiremo per
risolvere i problemi
di geometria
cartesio
ha
vinto!
16
Come e cosa fare
con la figura
Come
usare
i dati
Come tradurre il
testo del problema
Come far nascere
una equazione
Come tenere sotto
controllo il dato
incognito
Con quali mezzi
si può impostare
l’equazione
Come gestire le
soluzioni del
problema
17
In più allegato al libro ci sarà
un quaderno in cui è riportato un originale e utilissimo
schema pratico per risolvere i
problemi di geometria
Siamo certi che con questi nuovi compagni
di avventura e questi mezzi a disposizione
i problemi avranno vita difficile
18
19
Il testo è l’unico strumento che il problema
utilizza per dialogare, purtroppo è un
linguaggio all’apparenza complicato perchè
pieno di vocaboli tecnici non sempre
comprensibili ...
in un trapezio
isoscele
ABCD la diagonale
AC è
perpendicolare al
lato
obliquo che misura
8m ...
21
...Frasi astruse...
Termini strani...
... sapendo
che il trapezio
è equivalente
ad un quadrato...
... sapendo
che l’altezza
CH è 20/23
della
proiezione
di AC ...
...e complicate...
.... costruito
sul lato del
triangolo isoscele che ha i
lati isometrici
all’altezza
ch...
Fanno assomigliare il
testo del problema
ad un vero e proprio
enigma!!!
22
... calcolare il
raggio della
circonferenza inscritta al trapezio,
il perimetro
e l’area
... sapendo
inoltre che
un angolo
è di 60°...
Le motivazioni di queste difficoltà iniziali
possono essere molteplici !!! C’è da dire
però che parte della
colpa è dei ragazzi
che si applicano poco
e di conseguenza
hanno poca Confidenza con i termini del
testo
A questa difficoltà si
aggiunge la ben nota
“ chiarezza espositiva “ dei
problemi. Guarda un pò in
quanti modi strani puoi
Trovare la misura
del segmento AH
dove H è il piede
della perpendicolare per A
con il lato BC
trovare scritta una banale
altezza di un triangolo ...
Trovare la
distanza del
vertice A con
il lato
opposto BC
Trovare la distanza tra il vertice A
ed il punto
H intersezione
della normale per
A con il lato opposto BC
Comunque stiano le cose, di chiunque sia la colpa, per superare queste difficoltà di
comprensione del testo, dobbiamo imparare a conoscere i suoi vocaboli, cioè i termini geometrici.
Vediamo di cosa si tratta ..
23
Dato un
trapezio
isoscele....
Non farti spaventare dalla parola, in
realtà i termini geometrici sono la
tua ancora di salvezza per imparare a
risolvere i problemi.
Espressioni come “ trapezio isoscele “
sono dette termini geometrici.
Sono molto importanti pechè
oltre a tradurre il testo, dietro
la loro definizione nascondono
tante informazioni utili per la
risoluzione del problema: ora
leggiamo la sua definizone..
Definizione:
il trapezio isoscele è
un quadrilatero avente:
Due lati obliqui uguali
Due lati paralleli detti basi
Gli angoli alle basi uguali
Le diagonali uguali
Immaginiamo la definizione come un contenitore i cui cassetti aperti sono i termini della definizone :
Le diagonali
uguali
Due lati
paralleli
detti basi
Due lati
obliqui
uguali
Gli angoli
alle
basi uguali
24
Ognuno di questi cassetti contiene informazioni utilissime che puoi sfruttare per risolvere il problema
Sapendo che le diagonali sono eguali
puoi pensare al trapezio (come) diviso in due triangoli isometrici (cioè
di uguale misura):
come pure qui, sapendo che i due
lati obliqui sono uguali e le basi
sono parallele, puoi dedurre che
la base maggiore è composta dalla base minore (DC=H1 H2 ) e da due
segmenti eguali AH1 e H2B
Devi imparare a selezionare le informazioni che
ti possono sembrare utili alla risoluzione del
problema
Ma se le informazioni non ti
sono immediatamente utili,
non disperare...
25
I cassetti che apri nascondono a
loro volta altri cassetti, perchè
ogni proprietà della definizione
viene anch’ essa espressa con i
termini geometrici
Da rette parallele possiamo
sfruttare il teorema delle
rette parallele tagliate da
una trasversale:
Angoli alterni interni
Angoli corrispondenti uguali
Ad esempio
partiamo dalla
definizione di
“ rette parallele “
Angoli coniugati internti
supplementari (somma=180°)
Sfruttando la proprietà
degli angoli coniugati
interni, che sono
supplementari, trovo
che l’angolo B è
supplementare di A
In questo modo si viene a formare la
“catena dei termini geometrici “
26
Il ricorso a questa catena non
continua all’infinito ma ha termine
quando trovi il cassetto con la
definizione che ti è più utile.
Se non trovi niente, la catena dei termini
geometrici ha comunque termine quando
incontrerai i cassetti contenenti i “Termini primitivi” ( quei termini che non richiamano altri termini geometrici ) e sono:
punto, linea e superficie..
27
Lo stesso procedimento vale per tutti
i termini geometrici che incontri nel
testo del problema.
Il Rombo è un parallelogramma con i
quattro lati uguali e:
Dato un
Rombo
avente...
Le diagonali sono perpendicolari
tra loro
le due diagonali sono bisettrici dei
rispettivi angoli
Ciascuna diagonale lo divide in due
triangoli isosceli isometrici
Ogni diagonale è asse di simmetria
Le diagonali sono
perpendicolari tra loro
Ciascuna diagonale lo divide
in due triangoli isosceli
isometrici
28
Le due diagonali sono
bisettrici dei rispettivi
angoli
Ogni diagonale è asse
di simmetria
e per chi non avesse ancora capito,
ecco un ultimo esempio:
Si dice angolo alla circonferenza
un’angolo alla
circonferenza
insiste sull’arco
AB
un angolo che ha il vertice
sulla circonferenza e i cui lati
sono entrambi secanti o uno
secante e l’altro tangente.
In più poi...
...Ogni angolo alla circonferenza è la metà
del corrispondente
angolo al centro
Angoli alla circonferenza
che insistono su uno
stesso arco sono uguali
Angoli alla
circonferenza
che insistono su archi
uguali sono uguali
Ogni angolo alla
circonferenza che insiste
sul diametro è retto
29
Adesso che si conosce
l’importanza dei termini
geometrici avrete capito
che il testo non vi deve
spaventare ma che, al
contrario, è un grande
amico. Dispensatore di
tante utili informazioni
per risolvere il problema.
Dato un...
30
e se non
conosci
i termini
geometrici?
Le definizioni dei termini geometrici si
trovano in tutti i testi di
geometria usati a scuola.
Basta solo un poco
di buona volontà!!!!
31
Leggi con attenzione il testo. Ricorda
che non esistono parole usate per
farloapparire più lungo del dovuto.
Ogni parola ha un ruolo importante per
lo svolgimento del problema. Prenditi
quindi il tempo necessario per un’attenta lettura senza tralasciare nulla
Fai attenzione
alla punteggiatura o a qualche
errore di stampa,potrebbero
farti mal interpretare il testo
e metterti in crisi
Sottolinea
i termini geometrici che non conosci bene e consulta subito
le loro definizioni e proprietà
32
Nel prossimo capitolo vedrete come si trasformeranno le
parole deltesto in linee, cosi’
impareremo a
costruire la figura giusta
che servirà
alla risoluzione del problema.
33
