Modelli di valutazione delle opzioni: il modello
binomiale (Cox – Ross - Rubinstein)
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
137
Titoli azionari
Sia x(t ) il valore di un titolo al tempo t
Valore corrente del titolo (“valore attuale”): x(0)
Forma della funzione x(t ) per t > 0 ?
x(t ) è una variabile aleatoria
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
138
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
139
Opzioni
Aleatorietà di x(t ) implica il rischio di forti rialzi o forti ribassi.
Necessità di fornire agli investitori strumenti di “copertura”
contro i rischi.
Nascita di strumenti derivati chiamati “opzioni” (con origini
storiche ottocentesche) che hanno implicato un forte sviluppo dei
mercati finanziari degli ultimi 20 anni.
Esempi più semplici: opzioni call e put
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
140
Opzione call
Opzione scritta su un singolo titolo (il “sottostante” o
underlying): conferisce al compratore il diritto di acquistare ad
una scadenza prefissata T il titolo ad un prezzo prefissato K
(“prezzo d’esercizio” o strike price).
L’opzione ha un determinato prezzo C (pagato anticipatamente).
L’acquirente di una call è un “rialzista”
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
141
Esempio di opzione call
A = 100 (valore corrente)
K = 110 (strike price)
T = 3 mesi
se
AT = 120 (valore a scadenza)
In T conviene esercitare il diritto d’acquisto
Guadagno lordo: 120 – 110 – C
se invece
AT = 90 (valore a scadenza)
In T non conviene esercitare il diritto d’acquisto
Guadagno lordo: 0
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
142
Opzione put
Opzione scritta su un singolo titolo (il “sottostante” o
underlying): conferisce al compratore il diritto di vendere ad una
scadenza prefissata T il titolo ad un prezzo prefissato K (“prezzo
d’esercizio” o strike price).
L’opzione ha un determinato prezzo P (pagato anticipatamente).
L’acquirente di una put è un “ribassista”
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
143
Esempio di opzione put
A = 100 (valore corrente)
K = 110 (strike price)
T = 3 mesi
se
AT = 90 (valore a scadenza)
In T conviene esercitare il diritto di vendita
Guadagno lordo: 110 – 90 – P
se invece
AT = 120 (valore a scadenza)
In T non conviene esercitare il diritto d’acquisto
Guadagno lordo: 0
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
144
Il pay – off delle opzioni
Pay-off : valore a scadenza dell’opzione (risultato a scadenza per
il compratore dell’opzione)
Il pay-off dell’opzione call è: CT = max ( 0, AT − K )
Il pay-off dell’opzione put è: PT = max ( 0, K − AT )
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
145
Tipologie di opzioni
Opzione di tipo europeo (esercitare il diritto solamente alla
scadenza)
Opzione di tipo americano (esercitare il diritto entro la scadenza)
Opzioni non standard (esotiche)
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
146
La valutazione delle opzioni
Il valore di un opzione dipende dalla dinamica seguita dal valore
del sottostante
Due modelli matematici di valutazione hanno ottenuto ampio
consenso e sono diffusamente applicati:
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein è un semplice modello
impostato nel tempo discreto ma che contiene tutti gli elementi
del principale approccio di valutazione per le opzioni che è
Il modello continuo di Black & Scholes
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
147
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso uniperiodale
Modello discreto più semplice: due possibili determinazioni per
valore a scadenza:
A ⋅ u con u > 1 e probabilità π
AT =
A ⋅ d con 0 < d < 1 e probabilità 1- π
Siano Cu e Cd i payoff per la call e conseguentemente siano Pu
e Pd i payoff per la put.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
148
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso uniperiodale
L’idea su cui poggia il modello CRR è semplice: se è possibile
costruire un portafoglio “replicante” (ovvero che in tutte le
condizioni possibili di mercato offre il medesimo payoff
dell’opzione) allora il valore oggi dell’opzione dovrà
necessariamente coincidere con quello del portafoglio replicante
(per evitare – ovviamente – opportunità di arbitraggio).
Ragionando su una call: indicando con a il numero di azioni e con
b un importo investito in uno zero coupon bond privo di rischio
(che rende il tasso i) si può impostare il seguente sistema:
aAu + b(1 + i ) = Cu
aAd + b(1 + i ) = Cd
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
149
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso uniperiodale
Dal precedente sistema si ottiene:
Cu − Cd
a
=
A ⋅ (u − d )
b = u ⋅ Cd − d ⋅ Cu
(1 + i ) ⋅ ( u − d )
Poiché il valore del portafoglio replicante in t = 0 è:
a⋅ A+b
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
150
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso uniperiodale
Allora avremo:
a⋅ A+b =
Cu − Cd
uCd − dCu
+
u−d
(1 + i )( u − d )
Da cui, ponendo
π=
1+ i − d
u−d
Si ottiene la formula di valutazione della call (e, mutatis
mutandis, quella della put):
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
151
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso uniperiodale
C=
π ⋅ Cu + (1 − π ) ⋅ Cd
1+ i
π ⋅ Pu + (1 − π ) ⋅ Pd
P=
1+ i
dove, come già detto:
π=
1+ i − d
u−d
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
152
Interpretazione
Il prezzo dell’opzione è la media ponderata dei valori che assume
in caso di rialzo e ribasso, “attualizzata” all’epoca iniziale.
Inoltre i rappresenta un tasso d’interesse deterministico e “privo
di rischio”.
Il fattore π
probabilità.
può essere “interpretato” come una pseudo-
Difatti, indicando con C un capitale qualsiasi, la grandezza π
soddisfa la seguente proprietà:
C ⋅ u ⋅ π + C ⋅ d ⋅ (1 − π ) = C ⋅ (1 + i )
Per questo motivo di parla di π come di una probabilità risk
neutral ovvero neutrale (o neutralizzata) rispetto al rischio
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
153
Esempio per una put
Valutare mediante il modello CRR una opzione put che scade tra
un anno essendo l’evoluzione del prezzo del sottostante guidata
da un processo binomiale moltiplicativo caratterizzato dai
parametri u = 1,2 e d = 0,9 nell’ipotesi in cui il prezzo di esercizio
è pari a 100, il corso azionario all’epoca iniziale è 101 ed il tasso
risk free annuo è il 5,5%.
Calcolare le quote di composizione del portafoglio replicante.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
154
Riepilogo dei dati: A = 101; K = 100; u = 1,2; d = 0,9; i = 0,055.
Calcolo dei payoff:
Pu = max( K − A ⋅ u;0) = max(100 − 101 ⋅1, 2;0) =
= max(−21, 2;0) = 0
Pd = max( K − A ⋅ d ;0) = max(100 − 101 ⋅ 0,9;0) =
= max(9,1;0) = 9,1
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
155
Costruiamo il portafoglio “replicante” (fornisce stesso risultato
dell’opzione nei due casi di rialzo e ribasso) che è un portafoglio
misto azionario e obbligazionario con quote a (quota azionaria) e
b (quota ZCB).
Le quote si ottengono dalla soluzione del sistema:
A ⋅ u ⋅ a + (1 + i ) ⋅ b = Pu
A ⋅ d ⋅ a + (1 + i ) ⋅ b = Pd
101 ⋅1, 2 ⋅ a + (1,055) ⋅ b = 0
101 ⋅ 0,9 ⋅ a + (1,055) ⋅ b = 9,1
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
156
Le cui soluzioni sono:
Pu − Pd
−9,1
=
= −0,30033
A ⋅ (u − d ) 101 ⋅ 0,3
u ⋅ Pd − d ⋅ Pu
1, 2 ⋅ 9,1
b=
=
= 34,50237
(1 + i ) ⋅ (u − d ) 1,055 ⋅ 0,3
a=
Prezzo
del
portafoglio
dell’opzione put):
(e
P = a ⋅ A + b = −0,30033 ⋅101 + 34,50237 = 4,169036
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
157
Formula diretta per trovare il prezzo:
P=
π ⋅ Pu + (1 − π ) ⋅ Pd
1+ i
dove
π=
P=
1 + i − d 1,055 − 0,9
=
= 0,516
u−d
1, 2 − 0,9
0 ⋅ 0,516 + 9,1 ⋅ (1 − 0,516 )
1,055
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
= 4,169036
158
Esempio per una call
Valutare, mediante il modello binomiale di CRR, una opzione call
dotata delle seguenti caratteristiche:
- prezzo corrente del sottostante pari a 10;
- strike price pari a 9,5;
- tasso risk free pari a 0,05;
- fattore binomiale moltiplicativo u pari 1,1;
- fattore binomiale moltiplicativo d pari 0,9;
- durata uniperiodale.
Calcolare , inoltre, le quote di composizione a e b del portafoglio
replicante.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
159
Riepilogo dei dati: A = 10; K = 9,5; u = 1,1; d = 0,9; i = 0,05.
Calcolo dei payoff:
Cu = max( A ⋅ u − K ;0) = max(10 ⋅1,1 − 9,5;0) =
= max(1,5;0) = 1,5
Cd = max( A ⋅ d − K ;0) = max(10 ⋅ 0,9 − 9,5;0) =
= max(−0,5;0) = 0
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
160
Costruiamo il portafoglio “replicante” (fornisce stesso risultato
dell’opzione nei due casi di rialzo e ribasso) che è un portafoglio
misto azionario e obbligazionario con quote a (quota azionaria) e
b (quota ZCB).
Le quote si ottengono dalla soluzione del sistema:
A ⋅ u ⋅ a + (1 + i ) ⋅ b = Cu
A ⋅ d ⋅ a + (1 + i ) ⋅ b = Cd
10 ⋅1,1 ⋅ a + (1,05) ⋅ b = 1,5
10 ⋅ 0,9 ⋅ a + (1,05) ⋅ b = 0
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
161
Le cui soluzioni sono:
Cu − Cd
1,5
=
= 0,75
A ⋅ (u − d ) 10 ⋅ 0, 2
u ⋅ Cd − d ⋅ Cu −0,9 ⋅1,5
b=
=
= −6, 42857
(1 + i ) ⋅ (u − d ) 1,05 ⋅ 0, 2
a=
Prezzo del portafoglio (e dell’opzione call):
P = a ⋅ A + b = 0,75 ⋅10 − 6, 42857 = 1,07143
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
162
Formula diretta per trovare il prezzo:
P=
π ⋅ Cu + (1 − π ) ⋅ Cd
1+ i
dove
1 + i − d 1,05 − 0,9
π=
=
= 0,75
u−d
1,1 − 0,9
C=
1,5 ⋅ 0,75 + 0 ⋅ (1 − 0,75)
= 1,07143
1,05
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
163
Il delta
Nel modello di pricing di CRR, il punto focale sta nel costruire, ad
ogni apertura di mercato, un portafoglio replicante ovvero
composto da una quantità b di titoli zero coupon unitari non
rischiosi e da una quantità a (il cosiddetto delta dell’opzione) del
sottostante.
La possibilità di comporre un siffatto portafoglio dimostra che
l’opzione è un prodotto finanziario “artificiale” e “ridondante”
e, quindi, per evitare arbitraggi deve essere quotato in base alla
legge del prezzo unico.
L’hedging argument indica una strategia operativa di replica: è
possibile riprodurre il payoff stocastico dell’opzione mixando in
modo idoneo azioni e obbligazioni risk free.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
164
Il delta
Il delta del contratto indica il numero di titoli azionari da
detenere per mettere in atto la strategia tra due epoche
successive “spaziate” temporalmente di un periodo unitario.
E’ interessante notare che il delta a:
a=
Cu − Cd
A ⋅ (u − d )
è la variazione relativa del prezzo del derivato rispetto alla
variazione del sottostante.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
165
Il delta
Le considerazioni precedenti possono essere ripetute anche per
un contratto di opzione per il quale mancano n periodi alla
scadenza.
In questo caso il delta cambia ad ogni tempo, in dipendenza del
valore raggiunto dal prezzo del sottostante.
Per esempio, nel caso biperiodale, il delta al tempo t + 1 è:
au =
Cuu − Cud
A ⋅ u ⋅ (u − d )
ad =
Cud − Cdd
A ⋅ d ⋅ (u − d )
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
166
Il delta
Sempre nel caso biperiodale, il delta al tempo t è:
a=
Cu − Cd
A ⋅ (u − d )
dove però Cu e Cd sono pari ai valori attuali attesi dei possibili
valori al tempo t + 2 ovvero:
Cuu ⋅ π − Cud ⋅ (1 − π )
Cu =
(1 + i )
Cdu ⋅ π − Cdd ⋅ (1 − π )
Cd =
(1 + i )
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
167
Il delta
In generale qualsiasi caso multiperiodale il delta può essere
ricavato in base alla precedente procedura iterativa.
Il delta, quindi, cambia nel tempo per due motivi:
Il time decay;
Le variazioni stocastiche del corso del sottostante.
Pertanto la composizione futura del portafoglio non rischioso non
è certa ed il delta hedging configura, quindi, una strategia
dinamica: ad ogni periodo la strategia va ripristinata mediante
adeguata ricalibratura del portafoglio.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
168
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso biperiodale
I valori a scadenza del corso azionario del sottostante assumono
una struttura ad albero ricombinante:
A ⋅ u 2 con probabilità π
A2 = A ⋅ u ⋅ d con probabilità 2π (1- π )
2
2
A ⋅ d con probabilità (1-π )
Notazione per i pay-off di una call (simile per una put):
Cuu = max ( Au 2 − K ;0 )
Cud = Cdu = max ( Aud − K ;0 )
Cdd = max ( Ad 2 − K ;0 )
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
169
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso biperiodale
Si ha:
C=
P=
π 2 ⋅ Cuu + 2π ⋅ (1 − π ) ⋅ Cud + (1 − π ) 2 ⋅ Cdd
(1 + i ) 2
π 2 ⋅ Puu + 2π ⋅ (1 − π ) ⋅ Pud + (1 − π ) 2 ⋅ Pdd
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
(1 + i ) 2
170
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein nel caso multiperiodale
Caso generico T = n
n n−h
n−h
h
h
max(
A
⋅
u
⋅
d
−
K
,0)
⋅
⋅
π
⋅
(1
−
π
)
∑
h
h =0
C=
n
(1 + i )
n
Come si nota il pricing di un’opzione call/put nel modello CRR si
riconduce al calcolo di un valore atteso dei payoff dell’opzione
utilizzando come pesi le probabilità risk neutral dei payoff stessi
invece di quelle “naturali” connesse al rialzo ed al ribasso dei
corsi azionari; detto valore atteso è poi attualizzato al tasso risk
free.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
171
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein: la calibratura dei
parametri
Le grandezze caratteristiche del modello sono così impostate:
i = i (0, n)
u = exp(σ )
d = exp(−σ )
1 + i − exp(−σ )
π=
exp(σ ) − exp(−σ )
Il parametro σ rappresenta la volatilità del rendimento
logaritmico del sottostante per unità di tempo.
Matematica Finanziaria – copyright 2007 Marco Micocci
172
