Fisica degli Sport Lezione 2:
Energia, Quantità di Moto e Lavoro
Leggi di Conservazione: perché sono utili Energia e Quantità di Moto
L’uomo sulla destra sta saltando; quali sono le forze che
agiscono su di lui e qual è il moto risultante? Ovviamente c’è
la forza di gravità, W, che agisce verso il basso. I muscoli
delle gambe esercitano una forza diretta verso il suolo
terrestre, così per la 3a Legge di Newton la Terra esercita una
forza uguale diretta verso l’alto; chiamiamola F. Per cui, un
diagramma di corpo libero ci dice subito che la forza netta è
F - W ... notate che se F è minore o uguale a W la persona non
riuscirà a staccarsi dal suolo. Qual è l’accelerazione?
Utilizzando la 2a Legge di Newton troviamo che F = mA
implica che A = F/m. Ricordate inoltre che la definizione di
peso è W = mg, così m = W/g. Applicandola al nostro amico
qui, troviamo che:
A = (F - W)/m = (F - W)/(W/g) = g(F - W)/W
Perfetto. Dunque a che velocità va quando si stacca dal suolo? Non si può saltare senza piegare le
gambe e rannicchiarsi un po’ ed è proprio quanto ci si piega a determinare la distanza sulla quale
agisce l’accelerazione . Chiamiamo c tale distanza. Poi,utilizzando la pratica relazione tra velocità
e distanza della Lezione 1, troviamo che la velocità di chi salta al momento di staccarsi dal suolo è
data da:
vf2 = 2Ac = 2gc(F - W)/W
vf2 = 2Ac = 2gc(F - W)/W
poiché vo è 0. Possiamo usare questo risultato per trovare a che altezza salta? Una volta
abbandonato il suolo, l’unica forza ad agire su di lui sarà la gravità, che produce
un’accelerazione di -g. Inoltre sappiamo che all’altezza massima, H, la sua velocità sarà 0
(giusto per una frazione di secondo prima che cominci a ricadere a terra). Quindi possiamo
usare di nuovo la relazione v2 = vo2 + 2Ad ed inserirla nell’equazione tenendo conto che ora, in
salita,v = 0, vo = v, A = -g, d = H:
0 = 2gc(F - W)/W - 2gH
da cui segue che
H = c(F - W)/W
L’altezza del salto è direttamente proporzionale a quanto ci si piega. Esiste un limite all’altezza
del salto strettamente legato a quanto possiamo piegarci. la forza massima che un individuo
medio può generare equivale a circa due volte il suo peso. Se inseriamo F = 2W nell’equazione
per trovare H risulta che H = c; la distanza del piegamento è un limite forte per la maggior
parte delle persone, l’altezza del salto equivale alla distanza del piegamento.
Energia e Quantità di Moto
x spostamento
Il Lavoro e il suo rapporto con l’energia
Il Lavoro è definito come w = Fd, cioè il Lavoro equivale ad una Forza applicata su un oggetto
moltiplicata per la distanza percorsa lungo la direzione della forza. Per cui, se premi contro un
muro di mattoni più forte e più a lungo che puoi, non importa quanto ti stanchi, NON HAI
COMPIUTO ALCUN LAVORO perché la distanza percorsa dal muro è nulla. "Compiere lavoro"
su qualcosa significa trasmettergli energia ossia aumentarne la velocita’, energia cinetica, o
aumentarne la capacita’ di compiere a propria volta lavoro senza variare la velocita’, energia
potenziale.
Deriviamo le espressioni per l’energia potenziale: la forza che serve a sollevare qualcosa è pari al
suo peso, mg. Se l’oggetto viene sollevato ad un’altezza h, la forza moltiplicata per la distanza
percorsa è mgh: questa è l’espressione per l’energia potenziale gravitazionale che verra’ resa
facendo cadere l’oggetto sollevato. (si considerino i segni degli spostamenti)
Energia e Quantità di Moto
Se si applica una forza F ad un oggetto di massa m l’accelerazione sarà F/m (2a Legge di Newton). Se tale
accelerazione viene applicata per una distanza d, dalle equazioni della cinematica, sappiamo che la velocità
finale sarà data da
v2 = 2Ad = 2(F/m)d.
Ma il lavoro compiuto in tale processo è
w = Fd,
per cui si ha
v2 = 2w/m
ovvero
w = 1/2 mv2
Vediamo di nuovo che il lavoro compiuto sull’oggetto è proprio l’energia ad esso trasmessa.
In entrambi i casi precedenti l’energia iniziale era 0 (perché h e v erano 0inizialmente). Possiamo
generalizzare tali risultati dicendo che il lavoro compiuto su un oggetto è la VARIAZIONE della sua
energia.
Naturalmente questa variazione può essere o positiva o negativa; una forza può trasmettere energia ad un
oggetto oppure assorbirla da esso.
Quantità di Moto
La cosa importante da notare riguardo la quantità di moto è che si tratta di un vettore.
p=mv
Essendo la quantità di moto proporzionale alla velocità, la direzione dei due vettori è la stessa.
L’intensità della quantità di moto è semplicemente la massa dell’oggetto moltiplicata per il
modulo della velocità. Gli oggetti che non si muovono non possiedono quantità di moto.
La quantità di moto ci fornisce anche un altro modo per interpretare la 2° Legge di Newton:
F = mA = m(∆v/∆t) = ∆p/∆t
Quindi una forza può essere vista come l’agente che produce una variazione nella quantità di
moto di un oggetto.
Leggi di Conservazione: perché sono utili Energia e Quantità di Moto
Una forza compie lavoro e così facendo cambia l’energia una variazione della quantità di moto
dell’oggetto al quale e’ applicata; se nessuna forza agisse energia e quantità di moto rimarrebbero
costanti (questa è semplicemente una riformulazione della 1a Legge di Newton). Ma anche se
ESISTONO forze che agiscono su un oggetto, l’energia e la quantità di moto possono rimanere
costanti. Esse cioè si “conservano”.
Introduciamo il concetto di “sistema” e di forze “interne” ed “esterne”. Consideriamo una palla da
biliardo che rotola su di esso; la sua energia e quantità di moto rimarranno costanti finché non
colpirà un’altra palla. Se la palla bianca è il nostro sistema, la collisione con la palla nera
rappresenta una forza esterna (cioè una forza al di fuori del sistema) che cambierà l’energia e la
quantità di moto del sistema (la palla bianca). Comunque, se estendiamo la definizione del nostro
sistema in modo da includere sia la palla bianca che quella nera, allora la collisione non sarà più
una forza esterna, ma interna, cioè una forza che agisce tra le parti del sistema, senza coinvolgere
niente al di fuori di esso. In questo caso, l’energia e la quantità di moto totali del sistema si
conservano; l’energia persa dalla palla bianca viene trasmessa a quella nera, cosicché l’energia
totale del sistema rimane la stessa.
Naturalmente non c’è alcuna vera differenza tra i due casi solo una diversa impostazione. Con un
po’ di pratica, si puo in definire un sistema che includa solo gli elementi importanti.
Se su un sistema agiscono solo forze interne (nessuna forza esterna), la quantità di moto totale del
sistema rimarrà costante.
Conservazione dell’Energia
La Legge di Conservazione dell’Energia afferma che l’energia non può essere né creata né
distrutta; può essere solo convertita da una forma ad un’altra. Comunque i fisici spesso parlano di
due tipi di forze: forze conservative (quelle che conservano l’energia) e forze non conservative
(quelle che non la conservano). Se l’energia non può essere distrutta, com’è possibile avere una
forza non conservativa?
Ancora una volta tutto dipende da come definite il vostro sistema. Se definite il vostro sistema
includendo l’intero universo e se foste capaci di registrare tutte le diverse forme di energia di tutte
le particelle dell’universo, scoprireste che dal Big Bang in poi l’energia totale dell’intero universo
è rimasta assolutamente costante; in realtà non esistono forze non conservative. Le forze che
toglieranno energia a quasi tutti i sistemi definiti razionalmente e la convertiranno in una forma
non facilmente recuperabile sono cio’ che chiamiamo forze non conservative.
Al contrario, le forze conservative sono quelle che non tolgono energia al sistema. In generale,
sono caratterizzate dal fatto che trasformano l’energia in una forma che E’ facilmente recuperabile.
L’esempio più tipico di forza conservativa è la gravità: se compiete lavoro contro la gravità
sollevando un oggetto potete recuperare facilmente tale lavoro lasciando cadere l’oggetto. che
nella suddetta discussione sul biliardo, si assumeva che la forza di collisione tra le due palle fosse
una forza conservativa, che non è una buona approssimazione.)
Questo ci porta a riaffermare il principio della Conservazione dell’Energia:
Se su un sistema agiscono solo forze conservative (nessuna forza non conservativa), l’energia
totale del sistema rimarrà costante.
La conservazione dell’energia è un concetto utile,
consideriamo un semplice problema. Lasciamo
cadere un oggetto sferico di massa m da un’altezza
H e vogliamo sapere il modulo della velocità della
palla quando raggiunge il suolo. A sinistra, sono
rappresentate in funzione del tempo l’energia
cinetica e quella potenziale (così come l’energia
totale). Dalle equazioni della cinematica sappiamo
che la velocità è funzione del tempo, dunque
possiamo inserirla nell’espressione per l’energia
cinetica calcolandola in funzione del tempo:
v(t) = -gt
EC = 1/2 mv2
EC = 1/2 mg2t2
Analogamente, l’energia potenziale è mg moltiplicato per l’altezza, che può essere
ottenuta dall’equazione della cinematica per la distanza:
d(t) = H - 1/2 gt2
EP = mgd
EP = mgH - 1/2 mg2t2
ET=EC+EP= 1/2 mg2t2+ mgH - 1/2 mg2t2= mgH=costante
Adesso torniamo al nostro amico che salta;...
quale altezza raggiunge? Sappiamo adesso che il
suo peso moltiplicato per l’altezza finale
equivarrà alla sua energia cinetica iniziale. Ma
sappiamo anche che questa energia cinetica sarà
semplicemente uguale al lavoro compiuto dai suoi
muscoli mentre accelera dopo essersi piegato.
Questo lavoro è proprio F(c+H), da cui segue
immediatamente che
Fc = W(H + c)
ovvero
H = c(F - W)/W
Confrontate il calcolo sopra con quello svolto in precedenza e capirete perché le Leggi di
Conservazione sono così potenti. Il principio di Conservazione dell’Energia vi permette di
scegliere due punti in cui l’energia è facile da calcolare (per es. quello dove l’energia
cinetica è uguale a 0 e quello dove l’energia potenziale equivale a 0) e uguagliare le due
espressioni dell’energia tra loro senza preoccuparsi dei dettagli riguardo alle forze
coinvolte.
Lezione 2
PUNTI SALIENTII:
1)Esempio che utilizza equazioni della cinematica
2)Il Lavoro è l’energia trasmessa ad un oggetto; w
= Fd, se d = 0 non si compie lavoro
3)Forza = variazione della quantità di moto
4)La quantità di moto totale si conserva se non ci
sono forze esterne
5)Le forze conservative restituiscono energia.
6)L’energia totale si conserva se non esistono forze
non conservative.
7)Le Leggi di Conservazione permettono di
calcolare le proprietà del moto senza informazioni
dettagliate sulle forze che lo causano.
