Anno accademico 2016/2016
Corso di Laurea in Scienze Biologiche (canale M-Z)
Corso di FISICA
Docente:
Dr.ssa Alessia Fantini
LEZIONI (aula T8)
Martedì
Mercoledì
Venerdì esercitazioni
ore 11-13
ore 11-13
ore 9-11
Ricevimento studenti
Il martedì dalle 14 alle 16 ( se c’è urgenza si può provare
anche in altri giorni … tentar non nuoce )
Testi consigliati
• Serway & Jewett: “Principi di Fisica“ Volume I
EdiSES
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: "Fondamenti di Fisica“
Casa Editrice Ambrosiana, V Edizione.
• Jhon R. Gordon Ralph V.Grew.Raymond A Serway
“Esercizi di FISICA” EdiSES
Che cos’è la fisica.. e perché si studia
q La Fisica è la scienza che:
Ø Studia l’origine dei fenomeni naturali che hanno luogo nel nostro
universo
Ø Indaga la materia, l’energia e il rapporto che le lega
q La Fisica è una scienza sperimentale:
Si enunciano le leggi:
Leggi: relazioni sperimentalmente provate tra le grandezze che
caratterizzano i fenomeni (es: Legge di Hooke: Felastica=k(x-x0))
Si definiscono i principi:
Principi: ipotesi generali non smentite
dall’esperienza
!
!
(es: II Principio della dinamica F = ma )
Si formulano teorie:
Teorie: insieme di equazioni matematiche che basandosi su
un ridotto numero di principi è capace di spiegare non solo il
fenomeno osservato, ma tutti i fenomeni dello stesso tipo che
saranno osservati anche in futuro (es: Meccanica Newtoniana).
Metodo scientifico
Metodo scientifico
Si osserva un fenomeno,
Si identifica un “problema”
Si formula
un’ipotesi…
Si effettua l’esperimento
(si misurano le grandezze in
gioco)
Si effettuano delle
osservazioni
Si analizzano
i dati
gli sperimenti
non verificano
le previsioni
Verifica sperimentale delle
previsioni
Gli sperimenti verificano
le previsioni
Nuovi
esperimenti
Esperimenti
sbagliati???
Ipotesi
sbagliate??
Formulazione
delle
conclusioni
( e di leggi
generali )
Divulgazione
dei risultati
Grandezze Fisiche(1)
Lunghezza, tempo, spostamento, massa, velocità, accelerazione, temperatura,
forza, lavoro…
Grandezza fisica ed osservabile: quantità sulla quale è possibile
eseguire una misura
E’ necessario definire le
Grandezze Fisiche in modo
Operativo
Possibilità
di
Misurarle
Valori numerici che possano
essere raccolti e sottoposti a
calcoli numerici
Ø La misura viene espressa in termini di rapporto tra la quantità in esame ed un
CAMPIONE omogeneo scelto come unità di misura:
Es: se misurando la durata T di un certo fenomeno troviamo il valore 10,5 secondi,
ciò significa che il fenomeno considerato è durato 10 volte e mezza più a lungo
della durata “campione” di 1 secondo.
Le unità di misura identificano “univocamente” la
grandezza stessa.
Grandezze Fisiche(2)
•
Esistono un enorme numero di grandezze fisiche, ma non tutte sono indipendenti tra loro
( es. velocità = lunghezza/tempo)
•
Esistono alcune grandezze “di base” dette
che
rappresentano il numero minimo di grandezze da cui, tramite relazioni matematiche, è
possibile ottenere tutte le altre.
•
Le grandezze fisiche che non sono fondamentali, sono dette
e
vengono descritte mediante relazioni più o meno complesse tra le grandezze fondamentali
•
Le grandezze fisiche si organizzano secondo uno standard internazionale (SISTEMA
INTERNAZIONALE S.I.) basato su poche grandezze fondamentali, per le quali i campioni
di unità (“unità fondamentali”) sono invariabili ed “accessibili”
•
Nell’ambito della Meccanica le grandezze fondamentali sono 3 :
ingredienti base per la descrizione dei fenomeni di movimento
proprietà dei corpi che contribuisce a determinare il movimento
•
Se si vuole studiare l’elettromagnetismo si deve introdurre una quarta grandezza
fondamentale:
(legata alla carica elettrica che rappresenta una proprietà dei corpi indipendente dalla
massa)
Grandezze fisiche fondamentali ed unità di misura
Ø Il
Grandezza
Lunghezza
[L]
Tempo
[T]
Massa
[M]
Unità di misura
Metro
(m)
Secondo
(s)
Kilogrammo
(Kg)
è la lunghezza che la luce percorre nel vuoto in
1
secondi
.
.
299 792 458
Ø Il
è definito come la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione
corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, dello stato fondamentale
dell'atomo di cesio-133 (orologio atomico)
è definito come la massa di un particolare cilindro di una lega
di platino-iridio depositato presso l'Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a
Sevrès (Francia)
Ø Il
Tabella grandezza derivate
Tabella di alcune grandezze derivate, con la corrispondente unità di misura nel sistema SI
g
Conversione delle unità di misura
•
•
Noto il valore di una grandezza in un sistema di unità di misura, è possibile esprimerlo in
qualunque altro sistema per mezzo di una opportuna conversione e la relazione di
conversione delle unità da un sistema all’altro, si chiama
Es
1 inch (pollice) = 25,4 mm
1ounce (oncia) = 28,3495231 g
25,4mm
=1
1inch
28,345g
=1
1oz
Altro esempio
Determinare in km/h ed in m/s la velocità di un’imbarcazione che viaggia a 10 nodi:
1) 1nodo = 1mi/h
mi= miglio marino
2) 1 miglio marino(mi)= 1.852 km => Fattore di conversione da mi a km:
1.852km
=1
1mi
3) 1km =103 m
10 3 m
=1
1km
=> Fattore di conversione da km a m:
4) 1 ora(h) = 3600 s
=> Fattore di conversione da h a s:
1h
=1
3600s
mi 1.852km
km
mi
mi
⋅
1 nodo = 1
=1
⋅1 = 1
= 1.852
h
1mi
h
h
h
km 10 3 m
1h
1852
1 nodo = 1.852
⋅
⋅
=
m s = 0.514 m s
h 1km 3600s
3600
v barca
⎧
⎪10 ⋅1.852 km h = 18.52 km h
= 10 nodi = ⎨
⎪
⎩10 ⋅ 0.514 m s = 5.14 m s
1litro=1 dm3=10-3m3
Ordini di grandezza(1.1)
Ordine di Grandezza (di un numero) => potenza di 10 del numero quando esso è espresso
in notazione scientifica.
Es: A=2300=2.3·103 => 3 è l’ordine di grandezza di A
Walter Lewin:
”Nella fisica esploriamo dall’estremamente piccolo (piccola frazione del protone)
all’estremamente grande (l’universo stesso); e per fare questo utilizziamo 45 ordini di
grandezza: 1 con 45 zeri dietro (1000000000000000000000000000000000000000000000 …
dovrebbero essere 45 zeri)”
1045 ordini di grandezza
http://www.windows2universe.org/the_universe/images/nsf_matter_of_scale/nsf_matter_of_scale.html
10-17 metri
1026 metri
Richiami di Matematica
Nelle pagine successive sono riportate alcune concetti o formule matematiche
indispensabili per seguire il corso.
Mi aspetto che vi andiate a riguardare le operazioni ed i metodi che saranno
per la comprensione degli argomenti che tratteremo.
Ø Regole fondamentali dell’algebra => Moltiplicazione , divisione e addizione
algebriche ( da riguardare da soli)
Ø Potenze
Ø Logaritmi
Ø Equazioni lineari
Ø Fattorizzazioni
Ø Equazioni di secondo grado
Ø Equazioni di curve famose
Ø Un po’ di geometria euclidea
Ø Derivate ed integrali
Potenze
Potenza :
xm
Casi particolari:
x=base m=esponenziale
x0=1, x1=x
Basi particolari:
x=10 => 10m
x=e
=> em
dove e, detto numero di Eulero, è un numero costante irrazionale pari a:
e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352……
Operazioni tra potenze:
Moltiplicazione di due potenze con stessa base:
Divisione tra due potenze con la stessa base:
Una potenza che ha per esponente una frazione
è pari ad una radice come segue:
In particolare:
Potenza di potenza:
x1/ 2 = x
x n x m = x (n + m )
xn
(n − m )
=
x
xm
xn / m = m xn
x1/ 3 = 3 x
n m
(x )
= x n⋅m
Logaritmi
Il logaritmo è l’operazione inversa della potenza.
x =a
y
“il logaritmo y è
l’esponente da dare
ad a per ottenere x”
y = log a x
argomento
base
Affinchè il logaritmo sia definito si deve avere: a≠1
ed x>0
Basi particolari: x=10 (base comune) => 10m
x=e (base naturale) => em
Proprietà dei logaritmi:
log a a = 1
log a 1 = 0
log a a b = b
log c (ab) = logc a + logc b
a loga x = log a a x = x
a
log c = log c a − log c b
b
1
log a = − log a b
b
log b x
log a x =
log b a
( )
log c a n = n log c a
Funzioni esponenziale e logaritmo
Funzione logaritmo f(x)=logbx
Funzione esponenziale
f(x)=ex
la funzione esponenziale è l’elevamento a
potenza con base e
ex
e
e
1
La Funzione logaritmo è definita sulla
semiretta positiva cioè l'insieme entro cui
variano i valori delle x, è compreso nei
valori tra (0,+∞), mentre l’insieme in cui
variano i valori delle y, è (-∞,+ ∞).
x
Per la funzione esponenziale, l'insieme
entro cui variano i valori delle x, è
compreso nei valori tra (- ∞,+∞), mentre il
valore dell’esponenziale varia tra (0,+∞).
Equazioni Lineari (1)
y = mx + b
L’equazione lineare ha la forma generale:
m e b sono costanti
Sul piano cartesiano xy l’equazione rappresenta una retta
b= intercetta della retta (il punto lungo l’asse y in cui la retta
y
m= pendenza della retta (coefficiente angolare)
il coefficiente angolare è dato da:
y2 − y1 Δy
m=
=
x2 − x1 Δx
r
(x1 ,y1 )
Definiti due punti qualsiasi, (x1,y1), (x2,y2) lungo la retta
(x2 ,y2 )
θ
interseca l’asse stesso)
Δy
Δx
(0,b)
Coefficiente
angolare
x
NB: m è anche uguale alla tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle x
Δy = r sin θ
Δx = r cosθ
Δy r sin θ
m=
=
= tgθ
Δx r cosθ
m = tgθ
Equazioni Lineari (2)
II
y = mx + b
La retta ha una pendenza
positiva (I e III quadrante)
y2 − y1
m=
= 0 ⇔ y2 = y1
x2 − x1
y2 − y1
m=
<0
x2 − x1
2
1
m=0
b>0
2
I
1
1
m>0
b>0
m e b possono essere positivi , negativi o nulli:
y2 − y1
m=
>0
x2 − x1
y
2
x
m=0
b<0
m>0
b<0
III
La retta è parallela all’asse delle x
(I e II quadrante o III e IV quadrante)
La retta ha una pendenza negativa
(II e IV quadrante)
m<0
b>0
IV
Fattorizzazione di un’equazione ed equazioni di
secondo grado
Fattor comune:
ax+ay+az= a(x+y+z)
Quadrato perfetto:
a2+2ab+b2=(a+b)2
Differenza di quadrati:
a2-b2=(a-b)(a+b)
ax2 +bx+c=0
Equazioni di secondo grado:
dove a b e c sono i coefficienti (fattori numerici ) ed x è la grandezza incognita
Le Soluzione dell’equazione di secondo grado sono:
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Affinché le soluzioni siano reali il termine sotto radice (determinante) deve essere
positivo o nullo.
Δ = b 2 − 4ac ≥ 0
⇒ b 2 ≥ 4ac
Nel caso particolare di determinante nullo le due soluzioni sono coincidenti. (cioè vi è
un’unica soluzione.)
x = − b 2a
Alcune equazioni “famose”
Equazione di una retta:
y
y = mx + b
x
y
Equazione di una circonferenza di
raggio R e centrata nell’origine del
sistema cartesiano xy
2
2
x +y =R
2
R
x
y
Equazione di un’ellisse centrata
nell’origine
a= semiasse maggiore
b= semiasse minore
Equazione di una parabola il cui
vertice si trova in y=b.
Se a>0 la parabola è convessa
Se a<0 la parabola è concava
Equazione di un’iperbole equilatera
2
2
x
y
+ 2 =1
2
a
b
2
y = ax + b
b
a
y
y
a>0
b
a<0
x
b
x
xy = costante
x
y
x
Concetti di base
Teorema di Pitagora:
c= ipotenusa
a=cateto maggiore
b=cateto minore
2
c = a +b
c
2
b
a
La distanza d tra due punti di coordinate (x1,y1) ed (x2,y2) si ottiene
applicando il teorema di pitagora:
y
d = Δx 2 + Δy 2 =
2
2
(x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
d
(x1 ,y1 )
(x2 ,y2 )
Δy
Δx
x
Se una retta interseca due rette parallele,
con esse individua:
Ø coppie di angoli alterni interni
Ø coppie di angoli corrispondenti uguali tra loro
Ø angoli interni la cui somma è pari a 180°
Trigonometria
1°Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura
dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure per il seno dell’angolo
opposto.
x = r cosθ
y = r sinθ
x
cosθ =
r
y
sinθ =
r
2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto
moltiplicato per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente
dell’angolo adiacente.
y
P = (x,y)
sinθ
y=x
cosθ
⇒ y = x tgθ
r
y
θ
x
cosθ
x=y
sinθ
⇒ x = y cotgθ
x
Funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, cotan, …) sono funzioni periodiche, cioè
che dopo un determinato periodo si ripetono identiche a loro stesse; per le funzioni
seno e coseno il periodio è pari a 2π (360°), per la tangente e la cotangente il periodo
è pari a π
y
y = tan x
y = cosx
y = sinx
y
x
-π/2
π/2
0
-1 ≤ cosx ≤ 1
1
x
cosx
tanx
-1≤ sinx ≤1
cotanx
sinx
Periodo
Periodo
-∞<tanx<∞
π
x
Identità trigonometriche
a = c cosθ
c
b = c sinθ
b
θ
a
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
sin(θ ± φ ) = sin θ cos φ ± cosθ sin φ
sin 2θ = 2 sin θ cosθ
cos(θ ± φ ) = cosθ cos φ ∓ sin θ sin φ
cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ
⎡1
⎤
⎡1
⎤
sin θ ± sin φ = 2 sin ⎢ (θ ± φ )⎥ cos⎢ (θ ∓ φ )⎥
⎣2
⎦
⎣2
⎦
sin 2
θ
cos 2
θ
2
2
=
1
(1 − cosθ ) ⇒ (1 − cosθ ) = 2 sin 2 θ
2
2
=
1
(1 + cosθ )
2
tan 2θ =
tan
θ
2
=
2 tan θ
1 − tan 2 θ
1 − cosθ
1 + cosθ
⎡1
⎤
⎡1
⎤
cosθ + cos φ = 2 cos⎢ (θ + φ )⎥ cos⎢ (θ − φ )⎥
⎣2
⎦
⎣2
⎦
⎡1
⎤ ⎡1
⎤
cosθ − cos φ = 2 sin ⎢ (θ + φ )⎥ sin ⎢ (θ − φ )⎥
⎣2
⎦ ⎣2
⎦
tan 2θ =
2 tan θ
1 − tan 2 θ
Formule di Prostaferesi
Radiante
Il radiante (generalmente indicato rad) è un numero puro ed è l'unità di misura
degli angoli del SI. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza l di un arco
di circonferenza spazzato dall'angolo α, e la lunghezza del raggio r di tale
circonferenza.
α rad
l
=
r
α rad (l = r ) = 1 rad
Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario (r=1)
avremo che:
• L’angolo giro (360°), poiché sottende l’intera circonferenza (lunga 2π) misura 2π rad
• L’angolo piatto (180°), poiché sottende una semicirconferenza (lunga π), vale π rad
La conversione radianti- gradi e gradi radianti si ottiene considerando che:
(rad )
(grad )
x
x
2π (grad )
(rad )
(grad )
(rad )
x
: 2π = x
: 360° ⇒
=
⇒ x =
x
rad
360°
2π
360°
x (rad ) =
π (grad )
x
rad
180°
x° =
180° (rad )
x
π
Incertezza sperimentale e cifre significative
q La fisica è una scienza sperimentale e le misure e l’incertezza con cui vengono
effettuate sono il fulcro di ogni esperimento.
q Le misure possono essere dirette o indirette e vengono sempre espresse mediante
un numero seguito dall’errore e dall’unità di misura
1) Misure dirette : la grandezza viene confrontata con campioni multipli (o sottomultipli)
dell’unità fondamentale (es: misura della lunghezza di un tavolo mediante un righello
tarato)
2) Misure indirette: la grandezza è legata ad altre grandezze che possono essere misurate
direttamente ( es: volume di un parallelepipedo che si può ottenere a partire dalla
misura diretta dei suoi lati)
q Se la misura di una stessa grandezza viene ripetuta più volte in genere si
otterranno valori diversi anche se molto vicini tra loro =>
(che può essere sistematico o casuale)
q Se la misura è eseguita con strumenti tarati ( come di solito avviene), alla misura
stessa sarà associato un’incertezza che sarà pari alla minima variazione che lo
strumento stesso riesce a definire
Es: misurando un tavolo con un metro di legno che ha una sensibilità di 1 cm ( tra due
tacche consecutive sullo strumento c’è la distanza di 1 cm) la misura effettuata non
potrà avere una precisione maggiore del centimetro => Ltavolo = 1,50 m ±0.01m
q L’errore sulla misura stabilisce il numero di cifre significative che si possono
garantire come esatte
Analisi Dimensionale(1)
Ø L’analisi dimensionale è uno strumento “teorico” di controllo della correttezza
“dimensionale” delle formule che mettono in relazioni varie grandezze fisiche e di supporto
nell’individuazione delle dimensioni e delle unità di misura corrette dei termini che
compaiono in una formula.
Ø L’analisi dimensionale si basa sulle seguenti osservazioni:
q Ogni grandezza fisica ha una sua “dimensione”, cioè può essere espressa come una ben
precisa combinazione delle grandezze fisiche fondamentali [T],[M][L][I]
a
b
c
[ G ] = [ M ] [ L ] [T ] [ I ]
d
q Le dimensioni delle varie grandezze fisiche che compaiono in una relazione
matematica devono rispettare alcune regole formali affinché la formula stessa
abbia una propria coerenza.
q È possibile definire delle quantità adimensionali ( senza dimensioni ),
che si possono ottenere come rapporto tra due quantità fisiche che hanno la stessa
dimensione.
Una quantità adimensionale non ha bisogno di unità di misura, e viene detta numero
puro
Es:
Il coefficiente di attrito dinamico μd per un corpo che striscia su una superficie scabra è dato dal rapporto tra la
forza di attrito dinamico Fa subita dal corpo e la componente N della forza esercitata dal corpo sulla superficie, in
direzione perpendicolare al corpo stesso:
−2
µd =
Fa
N
[µ d ] = [M ][L][T ]−2 = [M ]0 [L]0 [T ]0
[M ][L][T ]
Poichè numeratore e denominatore ( entrambi forze) hanno la stessa dimensione, il coefficiente di attrito dinamico è
adimensionale
Dimensioni delle grandezze derivate
Elenco di alcune grandezze derivate, usate in Meccanica ed in Elettromagnetismo, con le
dimensioni corrispondenti, espresse in funzione delle 4 grandezze fondamentali: lunghezza
(L), tempo (T), massa (M) ed intensità di corrente elettrica A
Analisi dimensionale (2)
Regole formali dell’analisi dimensionale :
Ø Le dimensioni di un prodotto tra grandezze fisiche si ottengono facendo il
prodotto delle dimensioni dei singoli fattori. L’analogo vale anche per le
dimensioni del rapporto;
⎡L ⎤
−1
⎡v⎤ = ⎣ ⎦ = ⎡L⎤⎡T ⎤
⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎣T ⎦
s
v=
t
Ø Tutte le grandezze che compaiono in una somma o in una differenza devono
avere le stesse dimensioni;
s+t
⎡L⎤ + ⎡T ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ø Il primo membro di un’uguaglianza deve avere le stesse dimensioni del
secondo membro;
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
s=t
⎣L⎦ = ⎣T ⎦
Ø L’argomento di una funzione trascendente (es. sin, cos, log, exp) deve essere
⎡t⎤
un numero puro;
t
e
−
τ
⎣⎦
=1
⎡τ ⎤
⎣ ⎦
⎡τ ⎤ = ⎡T ⎤
⎣⎦ ⎣ ⎦
Ø Il risultato di una funzione trascendente è un numero puro.
Analisi Dimensionale (4)
Es:
Si scrivano le dimensioni di ciascuna delle grandezze che compaiono nell’equazione:
(
)
v2 = 2a x − x1 + v12
e si stabilisca se l’equazione è dimensionalmente corretta sapendo che v = velocità,
a = accelerazione, x = spostamento
(
2
)
2
1
v = 2a x − x1 + v
Soluzione:
[
L]
[v] = = [L][T ]−1
[T ]
[x] = [x1 ] = [L]
2
2
(
)
⎡a ⎤ =
⎣ ⎦
⎡L ⎤
⎣ ⎦
2
⎡T ⎤
⎣ ⎦
−2
= ⎡⎣L⎤⎦⎡⎣T ⎤⎦
2
2
2
⎛ ⎡L ⎤ ⎞
⎛ ⎡L ⎤ ⎞
⎡L ⎤
⎛ ⎡L ⎤ ⎞ ⎛ ⎡L ⎤ ⎞
⎜ ⎣ ⎦ ⎟ = ⎣ ⎦ ⎡L ⎤ − ⎡L ⎤ + ⎜ ⎣ ⎦ ⎟ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎟ ⎜ ⎣ ⎦ ⎟
+
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜⎡ ⎤⎟
⎜ ⎡T ⎤ ⎟ ⎡ ⎤2 !
⎜
⎟
⎜ ⎡T ⎤ ⎟
⎡
⎤
T
#
"
#
$
T
T
⎣
⎦
⎣
⎦
⎝
⎠ ⎣ ⎦
⎝
⎠
⎣ ⎦⎠ ⎝⎣ ⎦⎠
⎝
⎡L ⎤
⎣ ⎦
(
2
⎡v⎤ = ⎡a ⎤ ⎡x ⎤ − ⎡x ⎤ + ⎡v ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 1⎦
)
Le dimensioni di ciascun termine sono uguali e l’equazione è, almeno dal
punto di vista dimensionale, corretta.
