•Non si sono poste finora altre ipotesi se non che un campo
elettromagnetico possa caratterizzarsi per mezzo di quattro
vettori E, D, B e H, i quali in ogni punto ordinario soddisfino
alle equazioni di Maxwell e che la distribuzione di corrente
che dà luogo a questo campo sia tale da assicurare la
conservazione della carica elettrica.
•Tra i cinque vettori E, D, B, H e J vi sono soltanto due
relazioni indipendenti, le equazioni di Maxwell ai rotori, le
(3.1). Si è pertanto obbligati ad imporre delle ulteriori
condizioni se si vuole che il sistema di equazioni che
definiscono il campo elettromagnetico sia determinato.
A tal fine si può ragionevolmente supporre che in ogni punto ordinario, sia nello
spazio vuoto che all’interno della materia, il vettore D così come anche il vettore H
possano essere rappresentati, nel caso più generale possibile, come funzioni tra loro
indipendenti dei vettori E e B:
⎧⎪ D = f1 ( E, B )
⎨
⎪⎩ H = f 2 ( E, B )
(4.1)
Nell’ambito della teoria di Maxwell dell’elettromagnetismo macroscopico, i mezzi
materiali vengono descritti fenomenologicamente dalle relazioni costitutive come in
(4.1).
A seconda della particolare forma delle relazioni costitutive un mezzo può essere
caratterizzato come lineare o non lineare, conduttore o non conduttore,
dispersivo o non dispersivo, omogeneo o non omogeneo, isotropo, biisotropo,
anisotropo o bianisotropo.
Le proprietà di un mezzo lineare non dipendono dall’intensità dei campi, le proprietà
di un mezzo omogeneo sono costanti e non variano da punto a punto, le proprietà di
un mezzo dispersivo variano al variare della frequenza di lavoro.
Se le proprietà fisiche del corpo nelle vicinanze di qualche punto interno sono le
stesse in tutte le direzioni, il corpo è detto isotropo. In ogni punto di un mezzo
isotropo D è parallelo ad E ed H è parallelo a B. Un mezzo isotropo è caratterizzato
da una permittività elettrica scalare e che lega D ed E e da una permeabilità magnetica
scalare μ che lega B ed H:
Farad
⎧
⎧
10 − 9
[
]
ε
=
⎪⎪
⎪ε = ε 0 ≅
metro
Nel
vuoto
si
ha:
(4.2)
36 π
⎨
⎨
⎪
⎪[μ] = Henry
μ = μ 0 ≅ 4 π 10 − 7
⎩
⎪⎩
metro
Le proprietà fisiche di un mezzo anisotropo variano in modo differente lungo le
diverse direzioni che si diramano dal punto di interesse. In un mezzo anisotropo
lineare ogni componente di D e di H può essere espressa in un sistema di riferimento
ortogonale come funzione lineare di E e di B, rispettivamente:
⎧D = ε E
⎪
, con
1
⎨
⎪H = μ B
⎩
⎧⎪D = ε ⋅ E
⎨
−1
H
=
μ
⋅B
⎪⎩
dove ε e μ sono matrici di dimensione 3X3.
(4.3)
Un mezzo anisotropo si dice anisotropo elettricamente se ε è tensore e μ è scalare. Se
μ è tensore ed ε è scalare il mezzo si dice anisotropo magneticamente. Un mezzo
anisotropo può, ovviamente, essere contemporaneamente anisotropo elettricamente e
magneticamente.
In generale i cristalli sono descritti da tensori permittività simmetrici. Esiste pertanto
sempre una trasformazione di coordinate che trasforma il tensore permittività in un
tensore diagonale. In questo sistema di coordinate, detto sistema principale, si ha:
⎡ ε xx
ε= ⎢ 0
⎢
⎢⎣ 0
0
ε yy
0
0 ⎤
0 ⎥
⎥
ε zz ⎥⎦
(4.4)
I tre assi coordinati sono chiamati assi principali. Nei cristalli cubici le tre permittività
sono uguali tra loro: ε xx = ε yy = ε zz e, quindi, essi sono isotropi. Nei cristalli tetragonali,
esagonali e romboidali due di questi tre parametri sono uguali tra loro ed essi sono
detti cristalli uniassiali. L’asse principale lungo il quale si ha il comportamento
anisotropo è detto asse ottico. Il tensore permittività di un cristallo uniassiale o
uniassico che abbia l’asse ottico diretto come l’asse ẑè dato da:
⎡ε
ε = ⎢0
⎢
⎢⎣ 0
0
ε
0
0
0
ε
zz
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
(4.5)
• Un mezzo anisotropo uniassiale è detto uniassiale
positivo se ε zz > ε . Se εzz < ε il mezzo anisotropo
uniassiale è detto uniassiale negativo.
• I cristalli ortorombici e monoclini hanno gli assi
cristallografici tutti diversi tra loro:
• ε xx ≠ ε yy ≠ εzz . Essi sono detti cristalli biassiali.
Nei mezzi isotropi o anisotropi, le relazioni costitutive legano tra loro il vettore campo elettrico
con il vettore spostamento elettrico ed il vettore campo magnetico con il vettore induzione
magnetica. Ciò significa che tali mezzi si polarizzano quando sono immersi in un campo
elettrico e si magnetizzano quando sono immersi in un campo magnetico. Un mezzo
bianisotropo è invece caratterizzato da un mutuo accoppiamento tra i campi elettrico e
magnetico. Quando viene posto in un campo elettrico o magnetico, un mezzo bianisotropo si
polarizza e si magnetizza allo stesso tempo.
Materiali dal comportamento bianisotropo, previsti teoricamente da Dzyaloshinskii [1959] e
Landau [1957], furono osservati sperimentalmente per la prima volta nel 1960 da Astrov
(ossido di cromo antiferromagnetico). Le relazioni costitutive proposte per l’ossido di cromo
antiferromagnetico da Dzyaloshinskii sono della seguente forma:
⎧
⎡ε
⎪
⎢0
D
=
⎪
⎢
⎪⎪
⎢⎣ 0
⎨
⎡ξ
⎪
⎪H = ⎢0
⎢
⎪
⎢⎣ 0
⎪⎩
0
ε
0
0
ξ
0
0 ⎤
⎡ξ
0 ⎥ ⋅ E + ⎢0
⎥
⎢
ε zz ⎥⎦
⎢⎣ 0
0 ⎤
⎡μ
0 ⎥ ⋅ E + ⎢0
⎥
⎢
ξ zz ⎥⎦
⎢⎣ 0
0
ξ
0
0
μ
0
0 ⎤
0 ⎥⋅B
⎥
ξ zz ⎥⎦
(4.6)
0 ⎤
0 ⎥⋅B
⎥
μ zz ⎥⎦
Indenbom [1960] e Birss [1963] hanno dimostrato che cinquantotto classi di cristalli
magnetici possono avere comportamento bianisotropo. Rado [1964] ha provato che l’effetto di
accoppiamento magnetoelettrico non è proprio solo dei materiali antiferromagnetici; egli
dimostrò che anche l’ossido di ferro e gallio ferromagnetico è un materiale bianisotropo.
Le relazioni costitutive (4.6) possono essere generalizzate ulteriormente. Un mezzo
bianisotropo, il più generale possibile, è definito dalle seguenti relazioni costitutive:
cD = P ⋅ E + L ⋅ cB;
H = M ⋅ E + Q ⋅ cB
(4.7)
dove c = 3 × 108 m s
è la velocità della luce nel vuoto e P, L, M e Q sono tutte matrici di
dimensione 3X3 i cui elementi sono detti parametri costitutivi.
Le relazioni costitutive (4.7) possono essere riscritte in forma matriciale generalizzata come di
seguito:
⎡E⎤
⎡c D ⎤ ⎡ P L ⎤ ⎡ E ⎤
=
⋅
=
⋅
C
⎢c B ⎥
⎢ H ⎥ ⎢ M Q ⎥ ⎢cB ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
(4.8)
dove C è la cosiddetta matrice costitutiva di dimensione 6X6.
Si noti che per la presenza del fattore c, tutti gli elementi della matrice costitutiva hanno la
stessa dimensione di ammettenza.
La (4.8) esprime D ed H in funzione di E e B. Nulla impedisce di esprimere D e B in funzione
di E ed H:
⎡D⎤
⎡ E ⎤ 1 ⎡P − L ⋅ Q −1 ⋅ M L ⋅ Q −1 ⎤ ⎡ E ⎤
⋅
⎢ B ⎥ = C EH ⋅ ⎢H⎥ = c ⎢
(4.9)
−1
−1 ⎥ ⎢H ⎥
Q
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢⎣ − Q ⋅ M
⎥⎦ ⎣ ⎦
Per esprimere E ed H in funzione di D ed B si deve scrivere:
⎡ P −1
⎡E⎤
⎡D ⎤
− P −1 ⋅ L ⎤ ⎡ D ⎤ ⎡ κ
⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢
⎢ H ⎥ = C DB ⋅ ⎢ B ⎥ = c ⎢
−1
−1
Q − M ⋅ P ⋅ L ⎥⎦ ⎣ B ⎦ ⎣ γ
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢⎣ M ⋅ P
χ ⎤ ⎡D ⎤
⋅
ν ⎥⎦ ⎢⎣ B ⎥⎦
(4.10)
Nel 1948 Tellegen introdusse, in aggiunta al resistore, al capacitore, all’induttore ed
al trasformatore ideale, un nuovo elemento circuitale ideale, passivo: il giratore. Per
realizzare questo nuovo elemento circuitale Tellegen pensò ad un mezzo che
possedesse relazioni costitutive della forma:
D = εE + ξH; B = ξE + μH
con
(4.11)
ξ
≅ 1
μ ε
Un materiale caratterizzato dalle relazioni costitutive (4.11) è detto anche biisotropo
chirale e può essere realizzato diffondendo in un mezzo dielettrico isotropo ospite,
delle microstrutture conduttrici aventi forma di elica disposte in modo casuale senza,
cioè, una direzione preferenziale. In un materiale siffatto un campo elettrico variabile
nel tempo, parallelo al braccio dell’elica, genera un dipolo elettrico grazie
all’accumulo di cariche elettriche sui terminali del braccio ed un dipolo magnetico
all’interno del loop (legge di Faraday) sostenuto dalla corrente indotta sul materiale
conduttore. Se il loop dell’elica è ortogonale al braccio, i dipoli elettrico e magnetico
indotti sono tra loro paralleli e paralleli al campo elettrico incidente.
Analogamente un campo magnetico genera un dipolo magnetico
all’interno del loop e delle correnti indotte sul materiale conduttore (legge
di Faraday) che a loro volta creano un accumulo di cariche elettriche sui
terminali del braccio e quindi un dipolo elettrico. Ancora una volta se il
loop dell’elica è ortogonale al braccio i dipoli elettrico e magnetico
indotti sono tra loro paralleli e paralleli al campo magnetico incidente.
Pertanto, i dipoli elettrico e magnetico indotti sono paralleli sia al campo
elettrico che al campo magnetico incidente. I parametri costitutivi sono,
perciò, degli scalari e questo giustifica la forma delle relazioni costitutive
(4.11).
I materiali i cui parametri costitutivi sono funzione della frequenza
vengono detti dispersivi. Benché strettamente parlando tutti i mezzi sono
dispersivi, tuttavia spesso nella banda di frequenze di lavoro i mezzi
hanno un comportamento praticamente non dispersivo.
In un mezzo conduttore si suppone che in ogni suo punto interno la
densità di corrente di conduzione Jc sia funzione del campo elettrico E:
J c = f3 ( E )
(4.12)
In un mezzo conduttore lineare la (4.12) diviene:
Jc = σ ⋅ E
(4.13)
essendo σ il tensore conducibilità. Gli elementi del tensore conducibilità hanno tutti le
−1
dimensioni di Ω m = A V ⋅ 1 m
Se il mezzo conduttore oltre ad essere lineare è anche isotropo allora la relazione
costitutiva assume la nota forma:
J c = σE
(4.14)
−1
Il fattore σ è la conducibilità del mezzo ed ha dimensioni ovviamente di Ω m = A V ⋅ 1 m
La distinzione tra buoni e cattivi conduttori, tra conduttori e isolanti è relativa ed
arbitraria. Tutte le sostanze presentano una certa conducibilità. Il campo di variazione
di σ è molto grande. La conducibilità del rame, per esempio, è 107 volte maggiore di
quella dell’acqua di mare che pure è considerata un buon conduttore, e 1019
maggiore di quella del vetro comune.
Una proprietà notevole dei mezzi a conducibilità non nulla è che internamente ad essi non può
esistere una distribuzione di cariche libere. Questa proprietà di fondamentale importanza per le
applicazioni può essere facilmente dimostrata quando il mezzo è isotropo, lineare ed
omogeneo. In questo caso, infatti, ricordando l’equazione di continuità, le relazioni costitutive
e la legge di Gauss si ottiene:
∇⋅J +
∂ρ
∂ρ
= 0 = σ∇⋅E +
∂t
∂t
↑
J =σ E
ρσ ∂ρ
+
=0
ε
∂t
=
↑
∇⋅E = ρ
(4.15)
ε
La soluzione dell’equazione differenziale che definisce la densità volumetrica di carica
elettrica:
ρσ ∂ρ
+
= 0 , è:
ε
∂t
Il tempo τ = ε
σ
ρ (t ) = ρ 0 e
−σ
ε
t
richiesto perché la carica si riduca ad
detto tempo di rilassamento.
(4.16)
1
e
del suo valore iniziale è
Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali,
vettoriali, del primo ordine, accoppiate nelle incognite
E, D, B, H .Delle cinque equazioni solo due sono
indipendenti. Infatti, ricordando che la divergenza del rotore è
sempre nulla, è facile dimostrare che la terza e quarta
equazione della (2.3) sono contenute nelle prime due. Anche
la quinta equazione delle (2.3), nota come equazione di
continuità, può essere derivata direttamente dalla seconda
equazione di Maxwell ai rotori, ricordando la definizione di
corrente di conduzione. In definitiva, si hanno quindi due
equazioni vettoriali differenziali in quattro incognite vettoriali.
Di conseguenza, il problema elettromagnetico non può essere
risolto facendo uso delle sole equazioni di Maxwell. Per
determinare univocamente il campo elettromagnetico sono
necessarie due ulteriori relazioni vettoriali tra i quattro vettori
incogniti.
Queste due relazioni, quando si ha a che fare con mezzi
illimitati, sono le cosiddette relazioni costitutive che in un
mezzo lineare il più generale possibile assumono la forma:
{D=ε⋅E+ξ⋅ H;
B=ς⋅ E+μ⋅ H
(3.1)
Se il mezzo non è dispersivo in frequenza, vale a dire se i
parametri costitutivi non dipendono dalla frequenza di lavoro,
le relazioni costitutive si mantengono come nella (3.1) anche
nel dominio base:
⎧⎪D(r, t ) = ε ⋅ E(r, t ) + ξ ⋅ H(r, t )
⎨
⎪⎩B(r, t ) = ς ⋅ E(r, t ) + μ ⋅ H(r, t )
(3.2)
Se il mezzo è dispersivo in frequenza, le relazioni costitutive
nel dominio base sono date dall’antitrasformata di Fourier del
prodotto di due quantità dipendenti da ω. Si ha, perciò per un
mezzo lineare, tempo invariante:
⎧D(r,t) = t ε(r,t −τ ) ⋅ E(r,τ ) dτ + t ξ(r,t −τ ) ⋅ H(r,τ ) dτ
∫−∞
∫−∞
⎪
(3.3)
⎨
t
t
⎪B(r,t) = ∫ ς(r,t −τ ) ⋅ E(r,τ ) dτ + ∫ μ(r,t −τ ) ⋅ H(r,τ ) dτ
−∞
−∞
⎩
dove il generico tensore costitutivo:
A( r, t ) = {ε ( r, t ) , ξ ( r, t ) ,
per la (2.1) è dato da:
∞
ς ( r, t ) , μ( r, t )}
A(r, t ) = ∫ A(r,ω) e
−∞
− jωt
dω
(3.4)
Poiché nella (3.3) i vettori di campo sono reali, segue che nel
dominio base anche i parametri costitutivi sono quantità reali.
Dal fatto che i tensori costitutivi, nel dominio base, sono
quantità reali, e ricordando la (3.4) segue che, per valori reali
di ω, la parte reale dei tensori costitutivi deve essere una
funzione pari della frequenza, mentre la parte immaginaria
deve essere una funzione dispari della frequenza:
⎧Re[A(ω)] = Re[A(−ω)]
⎨
⎩Im[A(ω )] = − Im[A(−ω)]
o, equivalentemente:
A (ω) = A(−ω)
*
(3.5)
Mezzi conduttori
In un mezzo lineare con perdite, la densità di corrente di
conduzione J c è, per la legge di Ohm, proporzionale al campo
elettrico E:
(4.1)
Jc = σ ⋅ E
Vista la (4.1), la seconda equazione di Maxwell assume la
forma:
∇ × H (r ) = − j ω D(r ) + J f (r ) + J c (r )
(4.2)
essendo J f (r ) il vettore densità superficiale di corrente
elettrica impressa .
Si può, allora, definire un nuovo tensore permittività
ε
n
j ⎤
⎡
= ⎢ε +
σ⎥
ω
⎣
⎦
(4.4)
che è complesso, dipende dalla frequenza di lavoro e tiene
conto della conducibilità del mezzo. Quando sia
che σ
sono isotropi e reali, allora la costante dielettrica diviene una
quantità complessa, scalare:
j
εc = ε + σ
ω
ε
La costante dielettrica relativa è, di conseguenza, definita
j
ε
=
+
ε
σ = ε ′ + j ε ′′
come: rc
(4.5)
ε0
ω ε0
Il rapporto ε ′′ / ε ′ è detto tangente di perdita: ta n δ = ε ′′ / ε ′
Per determinare la costante dielettrica effettiva ε di un plasma,
bisogna, innanzitutto, determinare il vettore di polarizzazione
P, essendo:
(4.7)
⎧D = ε E = ε 0 E + P
⎨
⎩P = N q x
La carica di ciascun elettrone è q ( q = −1.602 ×10−19 C )
Nella (4.7) si è, poi, assunto che N elettroni per m 3 si
trovino ad una certa distanza dall’origine, individuata dal
vettore posizione x, a causa del campo elettrico.
l’equazione differenziale, vettoriale, che descrive l’equilibrio
della forza di Newton con la forza di Lorentz è data da:
( jω ) m x = q E
2
(4.8)
Risolvendo la (4.8), si ottiene:
x=−
q
ω m
2
E
(4.9a)
N q2
P = N qx = − 2 E
ω m
(4.9b)
⎛
N q2
N q2 ⎞
⎟⎟ E =
D = ε0E + P = ε0E − 2 E = ε0 ⎜⎜1−
2
ω m
⎝ ε0 ω m ⎠
(4.9c)
⎛ ω2p ⎞
= ε0 ⎜1− 2 ⎟ E = ε E
⎜ ω ⎟
⎝
⎠
La permittività di un plasma magnetizzato da un campo
magnetico statico B 0 è, invece, una quantità tensoriale. Di
seguito si assumerà che la densità di elettroni n, la densità di
corrente J, il campo elettrico E ed il campo magnetico H, sono
dati da:
⎧n(t ) = N + Re[ne ]
⎪
⎪J(t ) = N q v(t )
⎨
− jωt
(
)
E
t
Re[
E
e
]
=
⎪
⎪B(t ) = B + Re[Be− jωt ]
0
⎩
− jωt
(4.11)
dove, v è la velocità degli elettroni, n << N , e B << B 0
L’equazione differenziale, vettoriale, che descrive il moto
dell’elettrone all’interno del plasma è:
− j ω m v + mν v = q (E + v × B0 )
(4.12)
Riarrangiando i termini nella (4.12), si ottiene:
⎛ jν ⎞
⎛ jν ⎞
qE= −jωm⎜1+ ⎟v−qv×B0 = −jωm⎜1+ ⎟v+qB0 ×v
⎝ ω⎠
⎝ ω⎠
(4.13)
Moltiplicando entrambi i membri della (4.13) per N q , e
ricordando la definizione di J nella (4.11), la (4.13) diviene:
jν ⎞
⎛
N q E = − j ω m ⎜1 +
⎟ J + q B0 × J
ω ⎠
⎝
2
(4.14)
Definiamo il tensore conducibilità del plasma magnetizzato:
−1
J =M ⋅E = σ ⋅E
(4.17)
ed ottenere il tensore permittività del plasma ε:
∇× H = J − j ω ε0 E = [σ − j ω ε0 I]⋅ E = − j ω ε ⋅ E
j
⇒
ε = σ + ε0 I
ω
(4.18)
Se il campo magnetostatico di polarizzazione è diretto secondo
l’asse z, se cioè Β 0 = B0 zˆ , il tensore permittività di un
plasma assume la forma:
⎡ ε jεg 0⎤
⎥
⎢
ε =ε0 ⎢− jεg ε 0⎥
⎢⎣ 0
0 εz ⎥⎦
con:
U X
⎧
ε
1
=
−
⎪
U 2 − Y
⎪
X Y
⎪
⎨ε g = −
2
− Y
U
⎪
X
⎪
ε
1
=
−
⎪ z
U
⎩
(4.20a)
2
2
(4.19)
jν
⎧
⎪U = 1 + ω
⎪
2
ω
⎪
p
=
X
⎨
2
ω
⎪
q B0
ωc
⎪
=
=
Y
⎪
mω
ω
⎩
(4.20b)
( )
Un tensore della forma (4.19) è detto girotropico, ed ha
T *
l’interessante proprietà di essere Hermitiano: ε = ε
Un materiale caratterizzato da un tensore permittività che è
girotropico, è anche detto giroelettrico.
Si osservi, inoltre, che nonostante alcuni parametri costitutivi
siano immaginari, il mezzo in esame è privo di perdite.
In questo mezzo, il plasma magnetizzato, le frequenze naturali
sono
2
N
q
a) la frequenza di plasma: ω =
p
mε0
b) la frequenza di ciclotrone dell’elettrone:
ωc
q B0
=
m
Al limite, quando la frequenza di collisione dell’elettrone è
zero ( ν = 0), i parametri costitutivi del plasma divengono:
⎧
ω 2p
⎪ε = 1 − 2
2
ω
ω
−
c
⎪
2
⎪
ω p ωc
⎪
⎨ε g = −
2
2
ω
ω
ω
(
−
c )
⎪
⎪
ω 2p
⎪ε z = 1 − 2
ω
⎪⎩
(4.21)
In una ferrite, il vettore di magnetizzazione M obbedisce alla
seguente legge:
∂M
= g μ 0M × H
∂t
(4.22)
dove g è il cosiddetto rapporto giromagnetico
Di seguito si assumerà che nella ferrite è presente un campo
magnetostatico di grande intensità diretto secondo z, ed un
campo magnetico di intensità relativamente piccola,
monocromatico:
⎧⎪H(t ) = H0zˆ + Re[H1e− jωt ]
⎨
⎪⎩M(t ) = M 0zˆ + Re[M1e− jωt ]
⎧⎪ H1 << H 0
essendo: ⎨
⎪⎩ M1 << M 0
(4.23)
In una ferrite, il vettore di magnetizzazione M obbedisce alla
seguente legge:
∂M
= g μ 0M × H
∂t
(4.22)
dove g è il cosiddetto rapporto giromagnetico
Di seguito si assumerà che nella ferrite è presente un campo
magnetostatico di grande intensità diretto secondo z, ed un
campo magnetico di intensità relativamente piccola,
monocromatico:
⎧⎪H(t ) = H0zˆ + Re[H1e− jωt ]
⎨
⎪⎩M(t ) = M 0zˆ + Re[M1e− jωt ]
⎧⎪ H1 << H 0
essendo: ⎨
⎪⎩ M1 << M 0
(4.23)
Il teorema di Poynting per vettori complessi può
essere applicato per derivare alcune utili
condizioni di simmetria sui tensori costitutivi di
un mezzo lineare, bianisotropo, senza perdite.
In una regione priva di sorgenti il teorema di
Poynting per vettori complessi diviene:
∇⋅S = j ω
(
B ⋅ H* − E ⋅ D*
)
Il valor medio nel periodo della divergenza del
vettore di Poynting complesso è pari a:
< ∇ ⋅ S >=
1
Re[ j ω
2
(
)
H* ⋅ B − D* ⋅ E ]
C + C*
Ricordando che Re[C] =
, e sostituendo le
2
relazioni costitutive che legano B e D a
E ed H tramite i tensori costitutivi ε, μ, ξ e ζ si
ottiene:
⎡ H* ⋅ ( ζ ⋅ E + μ ⋅ H ) − E ⋅ ε* ⋅ E* + ξ* ⋅ H* + ⎤
j ω ⎢
⎥
< ∇ ⋅ S >=
4 ⎢ − H ⋅ ζ* ⋅ E* + μ* ⋅ H* + E* ⋅ ( ε ⋅ E + ξ ⋅ H ) ⎥
⎢⎣
⎥⎦
(
)
(
)
Si
può
far
uso
dell’uguaglianza:
A ⋅ α* ⋅ B* = B*T ⋅ α + ⋅ A T dove l’apice + sta ad
indicare il trasposto ed il complesso coniugato di
una matrice, in modo da avere:
< ∇ ⋅ S >=
(
)
(
)
(
)
(
)
j ω
[E* ⋅ ε − ε + ⋅ E + H* ⋅ μ − μ + ⋅ H + E* ⋅ ξ − ζ + ⋅ H + H* ⋅ ζ − ξ + ⋅ E]
4
L’uguaglianza
si
A ⋅ α* ⋅ B* = B*T ⋅ α + ⋅ A T
dimostra immediatamente ricordando che in
(
*
)
* T
genere si ha A ⋅ α ⋅ B
= B*T ⋅ α*T ⋅ A T , che i
vettori a destra e a sinistra della matrice sono dal
punto di vista dimensionale uno il trasposto
dell’altro e che complessivamente la quantità tra
parentesi è uno scalare.
In un mezzo senza perdite, per ogni possibile
valore del campo elettrico e del campo
magnetico, il valor medio nel periodo del vettore
di Poynting reale è nullo.
La condizione < ∇ ⋅ S >= 0 impone le seguenti
condizioni di simmetria per i tensori costitutivi di
un mezzo lineare bianisotropo:
⎧ε = ε +
⎪⎪
+
=
μ
μ
⎨
⎪
+
ξ
=
ζ
⎪⎩
I tensori ε e μ sono Hermitiani. Ciascuno dei
due tensori ha perciò solo sei elementi complessi,
indipendenti.
I tensori ξ e ζ sono l’uno l’Hermitiano
dell’altro. I due tensori ξ e ζ hanno un totale di
nove elementi complessi, indipendenti.
Ovviamente, le condizioni di simmetria possono
essere ricavate anche per la rappresentazione D B
e per la rappresentazione E B:
⎧κ = κ + ⎧P = P+
⎪⎪
⎪⎪
+
+
=
=
ν
ν
Q
Q
⎨
⎨
⎪
⎪
+
+
χ
=
γ
L
=
−
M
⎪⎩
⎪⎩
Si consideri, adesso, un mezzo isotropo, non
dispersivo con perdite, caratterizzato, perciò, da
una permittività elettrica e da una permeabilità
magnetica entrambe grandezze scalari e
complesse:
⎧ D = ε0 ε E
⎨
⎩ B = μ0μ H
⎧ε = ε R + j εI
con: ⎨
⎩μ = μ R + j μ I
Si ottiene: 1
*
*
(
∇ ⋅S =
)
Re[ jω B ⋅ H − E ⋅ D ] =
2
1
=
Re jω[μ0 ( μ R + jμ I ) H ⋅ H* − ε0 ( ε R − jε I ) E ⋅ E* ] =
2
ω
2
2
=−
μ 0μ I H + ε 0 ε I E
2
{
(
}
)
Poiché in un mezzo passivo con perdite si ha
dissipazione di potenza, si deve avere: ∇ ⋅ S < 0 .
La condizione ∇ ⋅ S < 0 impone:
⎧εI > 0
⎨
⎩μ I > 0
Pertanto, un mezzo isotropo, non dispersivo, con
perdite è caratterizzato dall’avere una permittività
elettrica ed una permeabilità magnetica, entrambe
quantità
scalari,
complesse,
con
parte
immaginaria positiva.
Si osservi che non è imposta alcuna condizione
fisica sul segno della parte reale di ε e μ .
Un mezzo senza perdite ( ∇ ⋅ S = 0 ) è
caratterizzato dall’avere una permittività elettrica
ed una permeabilità magnetica, entrambe quantità
scalari e reali.
