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Lezione
Tecnica delle Costruzioni
1
Flessione
Comportamento ultimo
x
y
M
1
M
=
r EI
M
ε
σ=Eε
M = ∫ σ y dA = E I / r
M
1 M
=
r EI
1/r
1/r
Comportamento ultimo
-εy
x
y
M
-fy
M
1
  = el
 r  el E I
Mel
εy
ε
σ=Eε
fy
Mel = ∫ σ y dA = Welfy
Mel
I
Wel =
h/2
(1/r)el
1/r
h = altezza sezione
Comportamento ultimo
-εy
x
M
y
-fy
1
r
ε
M
εy
σ
fy
M = Mel + ∆M
1 1
M
=  +
r  r el EIel
1/r
1/r
Iel = nucleo elastico
Comportamento ultimo
-fy
x
Mpl
1/r tende
all’infinito
fy
y
Mpl
Mpl = ∫ σ y dA = (2 Sx ) fy
Sx =
1/r
momento statico di
mezza sezione
Comportamento ultimo
-fy
x
Mpl
1/r tende
all’infinito
fy
y
Mpl
Mpl = ∫ σ y dA = Wpl fy
Sx =
1/r
momento statico di
mezza sezione
Wpl = 2 Sx
Comportamento ultimo
-fy
n
n
Nc
Mpl
fy
y
Ns
Per trovare l’asse neutro:
Nc + Nt = 0 (equilibrio alla traslazione)
Nc = -fy Ac
Nt = fy At
Ac = At
L’asse neutro divide la sezione
in due parti di area uguale
Comportamento di aste reali
Classe 1 – M supera Mpl e la sezione è molto duttile
Classe 2 – M supera Mpl ma la sezione è meno duttile
M
Mpl
Mel
Classe 2 Classe 1
Classe 3
Classe 4
1/r
Comportamento di aste reali
Classe 3 – La rottura avviene per M ≈ Mel
Classe 4 – La rottura avviene per M < Mel
M
Mpl
Mel
Classe 2 Classe 1
Classe 3
Classe 4
1/r
Verifica di resistenza
Stato limite ultimo
Classe 1 e 2
-fy
Mpl = Wpl fy
Mpl
Classe 3
-fy
fy
Mel = Wel fy
Mel
fy
Verifica di resistenza
Stato limite ultimo
Classe 1 e 2
−
fy
γ M0
Mpl,Rd
Wpl fy
fy
MEd ≤ Mpl,Rd =
γ M0
γ M0
Classe 3
Mel,Rd
NTC 08, punto 4.2.4.1.2
−
fy
γ M0
MEd ≤ Mel,Rd
fy
γ M0
Wel fy
=
γ M0
Verifica di resistenza
Esempio
MEd
x
HE 240 A
(Acciaio S235)
MEd = 125 kNm
y
1. Si determina la classe del profilato
(la peggiore tra quella dell’anima e della flangia).
2. Si calcola il momento resistente MRd.
3. Si verifica che MEd < MRd.
Verifica di resistenza
Esempio
tf
cf
cw
x
y
HE 240 A
MEd
MEd = 125 kNm
tw
1. Classe del profilato
cw = 164 mm
cf = 95.3 mm
(Acciaio S235)
tw = 7.5 mm
tf = 12 mm
=
7.5 21.9
cw tw 164
Anima: =
cf tf 95
=
.3 12 7.9
Flangia: =
Parti interne
compresse
Classe
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
1
2
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
3
ε = 235 fyk
cw tw = 21.9
+
-
fyk
c
c/t ≤ 72 ε
Parte soggetta a
compressione
fyk
fyk
-
+
c/t ≤ 38 ε
fyk
fyk
c
c/t ≤ 124 ε
+
c
α > 0.5
c t ≤ 396ε (13α − 1 )
α ≤ 0.5
c t ≤ 41.5ε α
α > 0.5
c t ≤ 456ε (13α − 1 )
α ≤ 0.5
c t ≤ 41.5ε α
fyk
+
c
c
c/t ≤ 42 ε
+ αc
-
fyk
c/2
tw
Parte soggetta a
compressione e flessione
c
c/t ≤ 33 ε
c/t ≤ 83 ε
fyk
cw
x
y
Parte soggetta a
flessione
fyk
tf
cf
ψfyk
ψ ≤ −1
c t ≤ 42c ( 0.67 + 0.33ψ )
ψ ≤ −1 * c t ≤ 62g (1 − ψ ) −ψ
fyk
235
275
355
420
460
ε
1.00
0.92
0.81
0.75
0.71
* ψ ≤-1 si applica se la tensione σ ≤ fyk o la deformazione a trasione εy > fyk/E
NTC08, tab. 4.2.I
Parti esterne
compresse
Classe
1
2
ε = 235 fyk
cw
x
y
+
c
tw
Parte soggetta a compressione e flessione
Fine in compressione
αc
+
- c
Fine in trazione
αc
+
c -
c/t ≤ 9 ε
c/t ≤ 9 ε/α
c t ≤ 9ε α α
c/t ≤ 10 ε
c/t ≤ 10 ε/α
c t ≤ 9ε α α
+
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
3
cf tf = 7.9
Parte soggetta a
compressione
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
tf
cf
+
-
c
-
c
c
+
c t ≤ 21ε k e
c/t ≤ 14 ε
fyk
235
275
355
420
460
ε
1.00
0.92
0.81
0.75
0.71
NTC08, tab. 4.2.II
Verifica di resistenza
Esempio
tf
cf
cw
x
y
MEd
HE 240 A
(Acciaio S235)
MEd = 125 kNm
tw
1. Classe del profilato
Anima:
.5 21.9 ≤ 72=
ε 72 (ε = 235 / fy = 1)
cw =
tw 164 7=
95.3 12
= 7. 9 ≤ 9 =
ε 9
Flangia: cf t=
f
La sezione è di classe 1
Verifica di resistenza
Esempio
MEd
x
HE 240 A
(Acciaio S235)
MEd = 125 kNm
y
2 e 3. Momento resistente e verifica
Dal sagomario: Wpl,x = 744.6 cm3
Mpl,Rd =
Wpl fy
γ M0
744.6 × 235
=
= 166.6 kNm
3
1.05 × 10
Sezione verificata
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
280
14
x
14
cf
cw
10
280
10
Sezione
saldata
MEd
MEd = -250 kNm
y
14
140
1. Classe del profilato
cw = 260 mm
cf = 53 mm
Anima:
Flangia:
(Acciaio S235)
tw = 14 mm
tf = 14 mm
=
=
14 18.5
cw tw 260
c=
tf 53
=
14 3.8
f
Parti interne
compresse
Classe
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
1
2
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
3
ε = 235 fyk
cw tw = 18.5
A FAVORE DI
SICUREZZA
Parte soggetta a
flessione
fyk
+
-
fyk
c
c/t ≤ 72 ε
Parte soggetta a
compressione
fyk
fyk
-
+
c/t ≤ 38 ε
fyk
c
c/t ≤ 124 ε
+
fyk
+ αc
-
c
α > 0.5
c t ≤ 396ε (13α − 1 )
α ≤ 0.5
c t ≤ 41.5ε α
α > 0.5
c t ≤ 456ε (13α − 1 )
α ≤ 0.5
c t ≤ 41.5ε α
fyk
+
c
c
c/t ≤ 42 ε
cw
Parte soggetta a
compressione e flessione
fyk
c/2
cf
y
c
c/t ≤ 33 ε
c/t ≤ 83 ε
fyk
x
ψfyk
ψ ≤ −1
c t ≤ 42c ( 0.67 + 0.33ψ )
ψ ≤ −1 * c t ≤ 62g (1 − ψ ) −ψ
fyk
235
275
355
420
460
ε
1.00
0.92
0.81
0.75
0.71
* ψ ≤-1 si applica se la tensione σ ≤ fyk o la deformazione a trasione εy > fyk/E
NTC08, tab. 4.2.I
Parti esterne
compresse
Classe
+
c
ε = 235 fyk
cf
cw
Parte soggetta a compressione e flessione
Fine in compressione
αc
+
- c
Fine in trazione
αc
+
c -
c/t ≤ 9 ε
c/t ≤ 9 ε/α
c t ≤ 9ε α α
c/t ≤ 10 ε
c/t ≤ 10 ε/α
c t ≤ 9ε α α
+
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
3
x
y
Parte soggetta a
compressione
Distribuzione
delle tensioni
(compress. +)
1
2
cf tf = 3.8
+
-
c
-
c
c
+
c t ≤ 21ε k e
c/t ≤ 14 ε
fyk
235
275
355
420
460
ε
1.00
0.92
0.81
0.75
0.71
NTC08, tab. 4.2.II
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
280
14
x
14
cf
cw
10
280
10
MEd
y
14
140
Sezione
saldata
(Acciaio S235)
MEd = -250 kNm
1. Classe del profilato
Anima:
14 18.5 < 33
=
ε 33
cw =
tw 260 =
53 14
= 3.8 < 9=
ε 9
Flangia: cf t=
f
La sezione è di classe 1
(ε = 235 / fy = 1)
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
280
14
x
14
cf
cw
10
280
10
MEd
y
14
140
Sezione
saldata
(Acciaio S235)
MEd = -250 kNm
2. Momento resistente
=
Mpl,Rd Wpl fy γ M0
Wpl = 2 Sx
Sx =
momento statico di mezza sezione
(parte tesa o compressa)
Bisogna trovare l’asse neutro ed il baricentro
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
14
x
280
G
n
X
MEd
y
Sezione
saldata
(Acciaio S235)
MEd = -250 kNm
2.1 Asse neutro (per la sezione tutta plasticizzata)
La sezione è divisa in due parti di area uguale
A = 9800 mm 2
A
At = 14 × 280 + 14 × X =
2
X = 70 mm
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
dG,sup
x
G
MEd
y
Sezione
saldata
(Acciaio S235)
MEd = -250 kNm
2.2 Baricentro
Momento statico della sezione rispetto al bordo sup.
Ssup = 1221080 mm 3
Ssup = A dG, sup
dG, sup = 124.7 mm
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
X
x
G
MEd
y
Sezione
saldata
(Acciaio S235)
MEd = -250 kNm
2.3 Modulo di resistenza
Calcolo il momento statico della parte tesa o
della parte compressa rispetto all’asse baricentrico x
Sx = 535.1 cm2
Wpl = 2 Sx = 1070.2
Verifica di resistenza
Esempio sezione composta
X
x
MEd
G
Sezione
saldata
(Acciaio S235)
MEd = -250 kNm
y
2.4 e 3 Momento resistenza e verifica
Mpl,Rd =
Wpl fy
γ M0
1070.2 × 235
=
= 239.5 kNm
3
1.05 × 10
La sezione non è verificata
Progetto per flessione
Stato limite ultimo
1. Si assume la classe della sezione (1, 2 o 3).
2. Invertendo l’espressione di verifica si ottiene la
formula di progetto della sezione.
Classe 1 e 2:
Classe 3:
MEd ≤ Mpl,Rd =
MEd ≤ Mel,Rd =
Wpl fy
γ M0
Wel fy
γ M0
3. Si sceglie la sezione.
4. Si verifica la classe della sezione.
Wpl =
Wel =
MEd
fy / γ M 0
MEd
fy / γ M 0
Progetto per flessione
Esempio
Gd +Qd = 2.56 kN/m
Sezione HEA (S235)
Med = 19.5 kNm
L = 7.8 m
1. Classe della sezione.
Suppongo che la sezione appartenga alla classe 1 o 2.
2. Determinazione del modulo plastico minimo.
19.5 x 10 3
MEd
=
= 87.1 cm 3
Wpl,min =
235 / 1.05
fy / γ M0
Progetto per flessione
Esempio
Gd +Qd = 2.56 kN/m
Sezione HEA (S235)
Med = 19.5 kNm
L = 7.8 m
Wpl ≥ 87.1 cm3
3. Scelta della sezione.
Si potrebbe usare un HE 120 A
Wpl = 119.4 cm3
Progetto per flessione
cf
tf
cw
Esempio
tw
Gd +Qd = 2.56 kN/m
L = 7.8 m
Sezione HEA 120
(S235)
cw = 74 mm
tw = 5 mm
cf = 60 mm
tf = 8 mm
4. Determinazione della classe della sezione.
Anima:
c=
tw 74=
5 14.8 ≤ 72=
ε 72=
(ε
Flangia:
c t=
40.5 8= 5.1 ≤ 9 ε= 9
f
La sezione è realmente di classe 1
=
235 / fy 1)
Progetto per flessione
Esempio
• Si deve verificare anche lo stato limite di esercizio
• Si puo`dimostrare che, a causa della deformabilita`,
è necessaria una sezione più grande (HE 160 A, HE 140
B, IPE 180)
• Si consiglia di procedere sempre effettuando
contemporaneamente le due verifiche
(o meglio usando le due condizioni per il progetto)
Instabilità flesso-torsionale
• Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente,
con rotazione intorno al loro asse (torsionale)
L’ala compressa
sbanda
lateralmente
Instabilità flesso-torsionale
• Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente,
con rotazione intorno al loro asse (torsionale)
• L’instabilità può essere evitata
con opportuna disposizione di
elementi strutturali
Un solaio rigido evita
lo sbandamento
laterale
Instabilità flesso-torsionale
• Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente,
con rotazione intorno al loro asse (torsionale)
• L’instabilità può essere evitata
con opportuna disposizione di
elementi strutturali
• Se non può essere evitata,
bisogna ridurre il momento
resistente
Mb,Rd = χ LT
Wpl fy
γ M1
Instabilità flesso-torsionale
• Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente,
con rotazione intorno al loro asse (torsionale)
• L’instabilità può essere evitata
con opportuna disposizione di
elementi strutturali
Espressioni simili a quelle
dell’instabilità Euleriana
• Se non può essere evitata,
bisogna ridurre il momento
resistente
Ulteriori fattori intervengono per distribuzioni di
momento non uniforme e per sezioni non compatte
λLT =
Wy fy
Mcr
Taglio
Comportamento ultimo
x
Vy
τ=
Vy Sx
Ix b
y
In campo lineare …
le tensioni si valutano con la formula di Jouraski:
Sx momento statico della sezione al di sopra (o al di sotto) della corda
rispetto all’asse baricentrico;
Ix momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse baricentrico;
b ampiezza della corda.
Comportamento ultimo
x
Vy
y
Facendo crescere il taglio …
la fibra che sta sull’asse baricentrico
(la più sollecitata) si plasticizza.
τ=
fy
3
τ=
Vy Sx
Ix b
Comportamento ultimo
x
Vy
τ=
fy
3
y
La plasticizzazione si propaga fino a che …
Comportamento ultimo
Vpl
x
τ=
fy
3
y
… si plasticizza tutta l’anima.
fy
Vpl = Aanima
Vpl = A v
dove …
fy
3
3
per sezioni a doppio T
in generale
Av è l’area resistente a taglio
Verifica di resistenza
Stato limite ultimo
Vpl,Rd
x
Per profili a doppio T
si plasticizza tutta l’anima
ed i raccordi circolari
y
Taglio resistente secondo l’Eurocodice 3
Vpl,Rd = A v
Av
fy / 3
γ M0
area resistente a taglio
Area resistente a taglio
• Precedenti versioni suggerivano di valutare l’area
resistente a taglio in maniera approssimata
Av = 1.04 h tw
• Ora sono suggerite formule più dettagliate:
per travi a doppio T, caricate nel piano dell’anima
Av = A − 2 b tf + (tw + 2 r) tf
Verifica di resistenza
Esempio
Vy
x
y
Sezione HEA 120
VEd = 10 kN
(dalla trave progettata)
Procedura
1. Si determina l’area resistente a taglio AV
2. Si calcola il taglio resistente Vpl,Rd.
3. Si verifica che VEd < Vpl,Rd.
(S235)
Verifica di resistenza
Esempio
b
tf
Vy
x
h
Sezione HEA 120
VEd = 10 kN
(dalla trave progettata)
y
tw
1. Area resistente a taglio AV
Av =A − 2 btf + (tw + 2 r) tf
b = 120 mm
h = 114 mm
r = 12 mm
tf = 8 mm
tw =5 mm
A = 2534 mm2
Av = 2534 − 2 × 120 × 8 + (5 + 2 × 12) × 8 = 846 mm 2
(S235)
Verifica di resistenza
Esempio
Sezione HEA 120
Vy
x
(S235)
VEd = 10 kN
(dalla trave progettata)
y
2. e 3. Taglio resistente e verifica
=
Vpl,Rd Av
=
Vpl,Rd
(f / 3 )
y
γM0
846 × 235 / 3
=
× 10−3 109.3 kN
1.05
Sezione verificata
Taglio
Considerazioni
• In genere i profilati sono tali da avere una
resistenza a taglio più che sufficiente
• Procedimento usuale:
progettare a flessione – verificare a taglio
Interazione Taglio - Momento
Stato limite ultimo
VEd MEd
La sezione impegna
parte delle sue risorse
per portare il taglio
Il momento resistente risulterà ridotto rispetto al
valore di progetto in assenza di taglio e pari a MV,Rd
Pertanto, si dovra` verificare che … MEd ≤ MV,Rd
Ma come calcolare MV,Rd?
Momento resistente ridotto
Stato limite ultimo
VEd MEd
σ
τ
Faccio crescere il momento fino al collasso
della sezione
(Se la sezione è di classe 1 o 2, il momento considerato
corrisponde alla completa plasticizzazione della sezione)
Momento resistente ridotto
Stato limite ultimo
-fy
VEd Mpl
σ
fy
τ
È possibile ottenere questo diagramma delle σ ?
NO! Dove le τ sono elevate lo snervamento avverrà
per valori di σ più bassi e pari a:
σ = (1-ρ) fy
con ρ < 1
Momento resistente ridotto
Stato limite ultimo
(1-ρ) fy
VEd Mpl,V
σ
Per una sezione a doppio T
la tensione và ridotta nell’anima?
Mpl,V = ∫ σ y dA
fy
τ
Momento resistente ridotto
Stato limite ultimo
tw
-ρ fy tw hw
ρ fy
2
-fy
hw/2
hw
VEd Mpl,V
σ
Mpl = Wpl fy
Mpl,V

tw hw2 
 fy
=  Wpl − ρ
4 

fy
σ
ρ fy
tw hw2
ρ fy
4
se si considera che hwtw ≈ AV …
Momento resistente ridotto
Stato limite ultimo
tw
-ρ fy tw hw
ρ fy
2
-fy
hw/2
hw
VEd Mpl,V
σ
fy
σ
tw hw2
ρ fy
4
Mpl = Wpl fy
se si considera che hwtw ≈ AV …
ρ fy
Mpl,V

AV2 
 fy
=  Wpl − ρ
4 tw 

Questo è il Wpl
dell’anima
Taglio
Considerazioni
• Finché il taglio sollecitante è piccolo rispetto
a quello resistente (meno della metà) non c’è
problema di interazione flessione-taglio
• Se il taglio è più grande occorre ridurre
la resistenza a flessione
Interazione Taglio – Momento
Prescrizioni di normativa
Quando VEd > 0.5 Vpl,Rd
MV,Rd
Questo è il Wpl
dell’anima

AV2
 Wpl − ρ
4tw

=
γM0

 fy

2
con
2 V

Ed

ρ=
− 1
 Vpl,Rd



e
AV = Area resistente a taglio
NTC 08, punto 4.2.4.1.2
Verifica a taglio e momento
Esempio
Sezione HEA 120 (S235)
VEd = Vpl,Rd = 109.3 kN
x
y
VEd Mpl,V ?
(dalla trave progettata)
tw=5 mm AV=8.46 cm2 Wpl=119.4 cm3
2
2
  2 × 109.3
2 V

− 1 = 1
ρ =  Ed − 1  = 
  109.3
 Vpl,Rd



MV,Rd

ρ AV2 
 Wpl −
fy
4 tw 

=
=
γ M0

1 × 8.462  235
 119.4 −
 × 3
4 × 0.5  10

= 18.7 kNm
1.05
Verifica a taglio e momento
Esempio
Sezione HEA 120 (S235)
VEd = Vpl,Rd = 109.3 kN
x
y
MV,Rd
(dalla trave progettata)
VEd Mpl,V ?

ρ AV2 
 Wpl −
fy
4 tw 

=
=
γ M0
Solo flessione
tw=5 mm AV=8.46 cm2 Wpl=119.4 cm3

1 × 8.462  235
 119.4 −
 × 3
4 × 0.5  10

= 18.7 kNm
1.05
Mpl,Rd =
Wpl fy
γ M0
=
119.4 × 235
= 26.7 kNm
3
1.05 × 10
Riduzione del 30% per un taglio molto forte
Taglio
Resistenza dell’anima ad azioni locali
In presenza di azioni concentrate o
di taglio molto elevato si può avere:
• Schiacciamento dell’anima in prossimità
della piattabanda caricata
• Imbozzamento dell’anima
sotto forma di instabilità
localizzata e schiacciamento
dell’anima in prossimità della
piattabanda caricata
Taglio
Resistenza dell’anima ad azioni locali
In presenza di azioni concentrate o di taglio molto
elevato si può avere:
• Instabilità dell’anima estesa
a gran parte dell’altezza
della membratura
Taglio
Resistenza dell’anima ad azioni locali
Il problema si può risolvere disponendo costole di irrigidimento
in corrispondenza dell’applicazione del carico o degli appoggi
La necessità cresce all’aumentare del taglio e della snellezza
dell’anima
In alternativa, occorre verificare la trave nei confronti dei
fenomeni innanzi citati (vedere Eurocodice 3, parte 1-5).
FINE