a) LA FORZA ELETTRICA

Fisica Generale - Modulo Fisica II
Ingegneria Gestionale - Informatica
Esercitazione 1
FLUSSO - GRADIENTE - DIVERGENZA - ROTORE
K1. Una carica Q è distribuita all’interno di una sfera di raggio R con densità variabile
r
ρ = ρ 0 , dove r è la distanza dal centro della sfera e ρ0 costante. a) Calcolare l’espressione
R
della carica Q (r)
in funzione di r ; b) calcolare ρ0.
K2. Calcolare il campo elettrico E(r) in un generico punto P posto a distanza r dal centro di
un sfera isolante di raggio R, caricata con carica Q e densità di carica ρ, nei casi:
r
a) ρ costante; b) ρ = ρ 0
R
K3. Un cubo di spigolo a ha un vertice nell’origine O di un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale ed è disposto come in figura. Si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso la
superficie del cubo e la carica Q contenuta nel volume delimitato dal cubo, nei casi in cui il
campo elettrico E sia dato da (E, α, β costanti):
a) E =E i uniforme e diretto lungo l’asse x;
b) E =α x2 i;
c) E =β (x i + y j ).
z
K4. Nei punti di una data regione il potenziale è dato da V = a(x+2y2),
con a = 30 V/m2. Calcolare la carica contenuta in un cubo di lato l = 20
cm, disposto come in figura.
y
K5. Un parallelepipedo di spigoli a = 10 cm, b = 15 cm, c = 20 cm, ha
x
un vertice nell’origine O di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e d è disposto come in figura. Nella regione è presente un campo elettrico
E = (5x i −4 y j +3z k )·105 V/m. Si calcoli:
a) il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo;
b) la carica Q contenuta nel volume delimitato dal cubo;
c) la densità di carica, supponendo sia costante.
K6. Il campo elettrico alla superficie di un cilindro conduttore carico e indefinito di 10 cm di
raggio vale 4 N/C. A 20 cm dall'asse del cilindro il campo elettrico vale (in N/C)
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) ∞
(E) _________
K7. Un campo elettrico uniforme di 2 N/C forma un angolo di 60° con la verticale ascendente. Il flusso del campo elettrico attraverso un rettangolo di 2 m per 3 m in un piano orizzontale
vale in modulo (in Nm2/C)
(A) 0
(B) 3
(C) 6
(D) 10.4
(E) 12
K8. Calcolare la divergenza del vettore v(P,t) = (x−at)i+ (zy+byt)j− 3xz k, funzione delle coordinate del punto P e del tempo t, con a e b costanti.
1
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Esercitazione 1
K9. Calcolare il gradiente del campo scalare f(P)=x2+y2−2z e il suo modulo nel punto P di coordinate P = (−1, 3, 2).
K10. In una regione dello spazio il potenziale elettrostatico è dato da
V(x,y,z) = (4xz−5y+3z2) V. Calcolare le componenti del campo elettrico nel punto P(1; −3;
+4).
K11. In una regione dello spazio il potenziale elettrostatico è dato da V(x) = (4x3−5x2+6) V.
Calcolare a) in quali punti il campo elettrico si annulla; b) in quale punto il campo elettrico è
massimo; c)l’intensità massima del campo elettrico.
K12. L’espressione di un campo B in un riferimento cartesiano è B = A(− yi + xj + 0k ) ) . Calcolare rot B e la circuitazione di B lungo una circonferenza di raggio R e centro nell’origine
cartesiana.
RELATIVITÀ
R1 Un osservatore posto su di un piano orizzontale vede una prima particella che gli si avvicina da nord alla velocità di 150 000 km/s ed una seconda che gli si avvicina da sud alla velocità di 150 000 km/s. Per un osservatore solidale con la seconda particella la prima si avvicina
ad una velocità di circa
(A) c/3
(B) c/2
(C) 3c/5
(D) 4c/5
(E) _________
Soluzione. Posto v1=150 000 km/s = c/2, v2 = u = −150 000 km/s = −c/2, si deve calcolare
la velocità della prima particella in un sistema di riferimento in moto con velocità u rispetto
all'osservatore
dx '
dx1 − udt
v1 − v 2
c/2+c/2
v 1' = 1' =
=
=
= 4c / 5
2
2
1 + 1/ 4
dt
dt − udx1 / c
1 − uv 1 / c
R2. La massa di un elettrone che ha una energia cinetica di 200 keV è di (m0 = massa a riposo=511 keV/c2)
(A) 711 keV/c2
(B) 1.33 m0 (C) 1.15 m0
(D) 2.27m0
(E) ________
Soluzione. La definizione classica di energia cinetica vale solo per v<<c. La definizione relativistica è
energiatotale = energiaa riposo +energiacinetica mc 2 = m0 c 2 + E c ⇒
(511 + 200)keV
= m0 (1 + 200 / 511)
c2
Il risultato è m = 1.39 m0 , ovvero (A).
⇒m=
2
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Esercitazione 1
R3. In un primo sistema di riferimento un raggio di luce si propaga nel piano (xy) formando
un angolo di α = 45o con l'asse delle x. Per un osservatore che nel primo riferimento è in moto
nella direzione positiva dell'asse delle x con una velocità di u =100 000 km/s lo stesso raggio
di luce forma con l'asse delle x un angolo β di
(A) 21.0o
(B) 32.6o
(C) 60.7o
(D) 85.6o
(E) ________
Soluzione. Le equazioni di moto del fronte del raggio di luce, che parte all’istante iniziale
dall’origine del primo sistema di riferimento sono:
x = (c cos α ) ⋅ t
y = (c sin α ) ⋅ t
Nel secondo sistema, che all’istante iniziale coincide col primo, e che è quello
dell’osservatore in moto con velocità u, le trasformazioni di Lorentz danno (notare la contrazione della lunghezza solo nella direzione del moto):
(c ⋅ cos α )t − ut
x' =
1− u2 / c2
y ' = (c ⋅ sin α )t
t − u (c ⋅ cos α )t / c 2
t' =
1− u2 / c2
Da queste si ricavano le componenti della velocità e quindi l’angolo che la direzione di v′
forma con l’asse x, cioè:
(c ⋅ cos α ) − u
x'
=
v' y (c ⋅ sin α ) 1 − u 2 / c 2
t' 1 − u (cos α ) / c 2
⇒ tan β =
=
≈ 1.78 ⇒ β = 60.7°
y'
c ⋅ sin α
2
2
(c ⋅ cos α ) − u
v' x
v' y =
1
/
=
−
u
c
t' 1 − u (cos α ) / c 2
v' x =
R4. La velocità relativistica di un elettrone che in un campo B = 0.05 T descrive una circonferenza di raggio R = 2 cm è di circa (utilizzare l'espressione relativistica della quantità di moto)
(A) 0.281 c
(B) 0.505 c
(C) 0.660 c
(D) 0.760 c
(E) 0.585 c
Soluzione. L’equazione di partenza è quella che eguaglia la forza di Lorentz e la forza centripeta:
qvB =
che, per una massa relativistica diventa:
m0 v
1− v / c
2
2
mv 2
R
= qBR
Risolvendo rispetto a v si ha
v=
c
⎛m c⎞
1 + ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ qBR ⎠
2
≈ 0.505 c
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Esercitazione 1
R5. Un osservatore solidale con un pione π+ (massa a riposo 140 MeV/c2) determina che
questa particella ha un tempo di vita media di 35 ns. Uno sperimentatore trova in laboratorio
che le tracce π+ prodotte in una reazione nucleare hanno una lunghezza media di 43 m e stima
che la velocità media del pione è di
(A) 0.557 c
(B) 0.690 c
(C) 0.819 c
(D) 0.922 c
(E) 0.971 c
R6. Parto per una missione stellare e giungo dopo dieci anni terrestri presso la mia meta, una
stella distante quattro anni luce. Durante il viaggio sono invecchiato di (in anni)
(A) 2.0
(B) 3.2
(C) 4.7
(D) 6.9
(E) 9.2
R7. Durante un viaggio intergalattico la mia astronave è avvicinata da un veicolo sconosciuto
da cui ricevo segnali elettromagnetici a 100 MHz; quando il veicolo sconosciuto, dopo avermi
scansato, si allontana la frequenza dei segnali che ricevo scende a 50 MHz. Se la frequenza di
trasmissione del veicolo sconosciuto è rimasta costante, la velocità di avvicinamento del veicolo è di
(A) 3c/17
(B) c/4
(C) c/3
(D) 3c/7
(E) 7c/13
R8. Il lavoro fatto per accelerare un protone (m0 = 1.67×10−27 kg, ovvero 938 MeV/c2) da
0.98 c a 0.99 c è pari a circa
(A) 589 MeV
(B) 608 MeV
(C) 852 MeV (D) 1936 MeV (E) 3400 MeV
R9. Un protone a riposo ha massa m0 = 1.67(10-27) kg. La sua massa raddoppia ad una velocità di circa
(A) 0.42 c
(B) 0.70 c
(C) 0.87 c
(D) 0.94 c
(E) ___________
R 10. La velocità di un elettrone che ha una energia cinetica di 500 keV è di
(A) 0.695 c
(B) 0.863c
(C) 0.941 c
(D) 0.981 c
(E) __________
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