Legge dell’induzione elettromagnetica
sperimentazioni compiute da Farady mostrarono che
la variazione nel tempo del flusso del campo magnetico
attraverso una superficie
S
aperta da’ origine ad una
f.e.m., cosiddetta “indotta”, lungo la linea chiusa
γ che
costituisce il contorno della superficie S
se la linea di contorno γ e’ tutta contenuta all’interno
di un conduttore si produce lungo la linea stessa un
passaggio di corrente elettrica, dovuto alla f.e.m. indotta,
la cosiddetta “ corrente indotta ”
Legge dell’ induzione e.m. di Farady :
se la superficie aperta
S e’ concatenata alla linea chiusa γ
∂Φ ( B )
=
−
fem ≡
E
dl
⋅
∫γ
∂t
la presenza di un segno negativo e’ detta legge di Lentz
nota bene :
grazie alla solenoidalita’ del campo magnetico il flusso del
campo magnetico puo’ essere calcolato su di una qualsiasi
superficie aperta purche’ concatenata con il circuito γ
le cause che possono generare una f.e.m. indotta sono
variazioni nel tempo della forma o della posizione della
linea di contorno , mentre resta costante il campo magnetico
induzione di “ movimento ” o di “ flusso tagliato ”
variazioni nel tempo del campo magnetico mentre restano
costanti la forma e la posizione della linea di contorno
induzione di “ trasformazione ”
Induzione da “ flusso tagliato ”
la sbarretta CD, inizialmente ferma, e’ parte del circuito,
ABCD la sbarretta e le rotaie sono fatte di materiale
conduttore il tutto e’
immerso in un campo magnetico
y
uniforme
B
A
d
D
x
B
z
x
v×B
C
v
a t = 0, si mette in modo la sbarretta con velocita’ v
ogni carica nella sbarretta sara’ soggetta alla forza di Lorentz
che agisce lungo DC
si puo’ pensare alla forza agente sulle cariche come dovuta
alla presenza di un campo elettromotore equivalente agente
lungo la sbarretta
qE
= qv × B
E= v × B
la circuitazione di questo campo elettromotore lungo
il percorso ABCD sara’ semplicemente uguale ad Ed
f .e.=
m. Ed
= Bvd
A
n̂
B
D
B
C
per calcolare il flusso del campo magnetico utilizzeremo
la superficie piana delimitata dal circuito ABCD stesso
trattandosi di una superficie aperta occorrera’ innanzitutto
orientarla scegliamo, arbitrariamente, il verso di
percorrenza del circuito ABCD di modo che la
superficie sia orientata positivamente verso l’alto
quindi
Φ S ( B) =
∫
B=
⋅ dS
∫
B ⋅ nˆ dS
S ABCD
S ABCD
poiche’ il campo magnetico e’ costante nel tempo ed
uniforme nello spazio sara’ sempre perpendicolare alla
superficie ossia sara’ sempre parallelo al versore
per cui
n̂
Φ( B) =
B ∫ dS = Bxd
Σ ABCD
la variazione di flusso nell’unita’ di tempo sara’
dx
d Φ( B) d
= Bvd
=
Bxd = Bd
dt
dt
dt
dunque la variazione nel tempo del flusso del campo
magnetico eguaglia la f.e.m. indotta considerando
la legge di Lentz notiamo che la presenza del segno
negativo garantisce che la corrente indotta iind
contribuisca ad originare un campo magnetico indotto Bind
che si oppone alle variazioni del flusso del campo
magnetico originale
A
B
D
n̂
B
iind
Bind
C
v×B
v
Riassumendo:
i casi di induzione di “ movimento” o di “ flusso tagliato”
possono essere ricondotti a situazioni in cui si hanno
cariche in moto in campo magnetico e quindi potrebbero
essere spiegabili in termini di forza di Lorentz
anche se rimarrebbe da spiegare la presenza
del segno meno ( legge di Lentz )
ma, e soprattutto,
in termini di forza di Lorentz non si giustificano in alcun
modo i casi di induzione di “trasformazione ”
dunque il fenomeno dell’induzione elettrica e’
un fenomeno nuovo e la legge della induzione di
Faraday e’ una nuova legge dell’elettromagnetismo
Legge dell’induzione e.m. in forma differenziale
∂Φ ( B)
⋅
=
−
E
dl
∫γ
∂t
per il teorema di Stokes
e
E
dl
E
dS
⋅
=
∇
×
⋅
∫S
∫γ
∂
∂Φ ( B )
=
− ∫ B ⋅ dS
−
∂t S
∂t
dove si e’ invertito l’ordine
∂B
degli operatori diffenziazione
(
)
=
−
⋅
dS
∫S ∂t
nel tempo e integrazione
sulla superficie
∂B
∇
×
E
⋅
dS
=
−
(
)
⋅
dS
∫S
∫S ∂t
in conclusione si ha
∂B
∇× E = −
∂t
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