Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria
Andrea Consiglio
Palermo 2003
c
°Andrea
Consiglio — Tutti i diritti sono riservati. Questo testo è distribuito
gratuitamente. Nessun uso commerciale è permesso.
Spiegamelo e lo dimenticherò.
Mostramelo e lo ricorderò.
Coinvolgimi e lo imparerò.
(Proverbio cinese)
i
Indice
1 Misure del Rendimento
1.1 Operazioni finanziarie . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Operazioni finanziarie a pronti . . .
1.1.2 Operazioni finanziarie a termine . .
1.2 Interesse Semplice . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Basi finanziarie . . . . . . . . . . .
1.3 Sconto Semplice . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Valore Attuale e Futuro . . . . . . . . . .
1.4.1 Il modello lineare d’interesse . . . .
1.4.2 Il modello lineare di sconto . . . . .
1.4.3 Il modello esponenziale . . . . . . .
1.4.4 Tassi equivalenti . . . . . . . . . .
1.4.5 Intensità istantanea d’interesse . .
1.5 Flussi e portafogli finanziari . . . . . . . .
1.5.1 Valore di un flusso finanziario . . .
1.5.2 Valore di un portafoglio finanziario
1.6 Rendite ed Ammortamenti . . . . . . . . .
1.6.1 Piani d’ammortamento . . . . . . .
1.7 Criteri di scelta finanziaria . . . . . . . . .
1.7.1 Il valore attuale netto . . . . . . . .
1.7.2 Il tasso interno di rendimento . . .
1.8 Titoli a cedola fissa . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Il rendimento a scadenza . . . . . .
1.9 Titoli indicizzati . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Titoli a cedola nulla indicizzati . .
1.9.2 Titoli a tasso variabile . . . . . . .
1.9.3 Mutui indicizzati . . . . . . . . . .
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39
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54
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57
58
63
63
66
69
2 Prezzi e struttura dei tassi
73
2.1 Ipotesi caratteristiche del mercato . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
ii
2.3
2.4
Grandezze caratteristiche del mercato . . . . . . . . . . . . . . 81
La struttura per scadenza dei tassi di interesse . . . . . . . . . 84
3 Misure della dispersione
87
3.1 La Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Semielasticità e Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Metodi per la misurazione della struttura dei tassi
99
4.1 Metodi grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Metodo bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine . . . . . . . 103
5 Strategie di hedging
5.1 Definizione di hedging . . . . .
5.2 Long e short position . . . . . .
5.3 Dedication . . . . . . . . . . . .
5.4 Hedging utilizzando la duration
5.5 Immunizzazione Finanziaria . .
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. 109
. 110
. 110
. 113
. 123
6 Futures
6.1 Definizione di future . . . . . . . .
6.2 Caratteristiche di un future . . . .
6.3 Il meccanismo del mark–to–market
6.4 Prezzi future e forward . . . . . . .
6.5 Hedging con future sui tassi a breve
6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
6.6.1 Fattore di conversione . . .
6.6.2 Cheapest–to–delivery . . . .
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. 157
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. 160
. 162
. 165
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7 Swaps
7.1 Definizione di Swap . . . . . . . . . . . . .
7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso
7.3 Swaps e credit arbitrage . . . . . . . . . .
7.4 Valutazione degli swap . . . . . . . . . . .
7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap . . .
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129
130
138
140
145
149
150
151
Formulario
167
Glossario
174
iii
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot. . . 1
Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria forward.
3
MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte: Il
Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periodo di
godimento della la cedola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 31/07 (Fonte: Il
Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 24/09 (Fonte: Il
Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Flusso di cassa, per un euro di valore facciale, di un investitore
che acquista il BOT ISIN IT0003145742. . . . . . . . . . . . 20
FRA e tassi a breve. (Fonte: Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) 24
Condizioni contrattuali conto corrente . . . . . . . . . . . . . . 35
Rappresentazione grafica di flusso finanziario. . . . . . . . . . 39
Valore temporale di un f.f. in tk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Valore attuale netto di un f.f. in funzione del tasso i. . . . . . 55
Ratings del debito di alcuni paesi (fonte: Moody’s – 9 agosto
2002). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Rappresentazione grafica del flusso finanziario che caratterizza
un BTP ed, in generale, un titolo a reddito fisso. In questo
caso c è la cedola espressa in unità di valore facciale; V è il
valore facciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot per
un titolo a cedola nulla indicizzato. . . . . . . . . . . . . . . . 64
Flusso di cassa equivalente al flusso di cassa di un FZCB. . . . 64
Flusso di cassa di una cedola unitaria indicizzata. . . . . . . . 64
Flusso di cassa equivalente ad una cedola unitaria indicizzata. 65
Rappresentazione grafica dello schema di pagamento di un CCT. 67
iv
1.21 Flusso di cassa equivalente ad una CCT. Gli importi opposti
si cancellano e rimane soltanto l’importo in t0 . . . . . . . . . . 67
1.22 Rappresentazione grafica dello schema di ammortamento di
un mutuo a tasso variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1
3.2
3.3
3.4
4.1
4.2
4.3
4.4
5.1
5.2
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Variazioni del prezzo in funzione dello YTM. . . . . . . . . . .
La duration rappresenta il baricentro dei valori attuali dei pagamenti futuri. Uno ZCB concentra tutta la sua massa alla
scadenza (alto). All’aumentare della cedola (medio e basso) la
duration si riduce in quanto il baricentro si sposta verso sinistra.
Prezzo di un CBB in funzione del tasso. Il quadrato indica il
tasso che prezza il CBB alla pari. . . . . . . . . . . . . . . . .
Prezzo di uno ZCB in funzione della variazione del tasso ed
approssimazione tramite modified duration. . . . . . . . . . .
La struttura degli YTM in funzione delle maturity e delle
duration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La struttura degli YTM in funzione delle duration e curva
interpolante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronto fra le strutture ottenute con gli YTM e tramite il
metodo bootstrap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Struttura dei tassi a pronti il 26/11/2001 e la sua evoluzione
deterministica in t + τ = 0.5 anni. . . . . . . . . . . . . . . .
88
91
95
95
. 100
. 101
. 104
. 108
Payoff in T di una posizione lunga (sopra) e di una posizione
corta (sotto). Il prezzo iniziale, V̄ (t), è pari a 100; il payoff è
dato dalla differenza V̄ (T ) − V̄ (t). . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Variazioni assolute del valore delle posizioni in V̄1 , V̄2 e V̄3 . . . 121
Specifiche di un contratto future sull’EURIBOR a tre mesi. .
Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 anni denominato in euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 anni denominato in euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lungo in data
25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001 (destra). (Fonte:
Il Sole24ORE.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sull’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T, T + τ ) si è
indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR
con scadenza τ = 3 mesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
. 131
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. 133
. 135
. 136
6.6
6.7
6.8
6.9
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Profitti/perdite di una posizione corta in un future sull’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T, T + τ ) si è
indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR
con scadenza τ = 3 mesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flusso di cassa dell’operazione di investimento nel deposito
EURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve essere aggiunto
il guadagno ottenuto dalla compravendita di future. . . . . .
Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione. . . .
Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del future sul
Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02). . . . . .
Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS. . .
Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS con
un intermediario finanziario. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS fra
due istituzioni con diverso rating creditizio. . . . . . . . . . .
Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in una posizione long in un CBB ed in una posizione corta in un FRN. .
Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/2001. .
vi
. 137
. 149
. 151
. 152
. 157
. 158
. 162
. 162
. 166
Elenco delle tabelle
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Tasso equivalente all’aumentare della frequenza di capitalizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Generico piano d’ammortamento. . . . . . . . . . . . . . . .
Piano d’ammortamento con rata semestrale costante. . . . .
Piano d’ammortamento con preammortamento a pagamenti
zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Piano d’ammortamento con preammortamento in cui sono versate le quote interessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 37
. 50
. 52
. 53
. 53
2.1
Prezzi e scadenze BOT del 04/10/2001. . . . . . . . . . . . . . 82
4.1
4.2
Prezzi osservati il 26/11/2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Prezzi, tassi spot e forward in data 26/11/2001. . . . . . . . . 107
6.1
Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFE
del 01/06/01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFE
del 03/07/01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilità sono riferite al 08/01/2002. (Fonte: Il Sole24Ore).155
Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilità sono riferite al 08/05/2002. (Fonte: Il Sole24Ore).156
6.2
6.3
6.4
7.1
7.2
7.3
7.4
Flussi originati da un contratto swap plain vanilla fixed/float.
Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio di credito
differenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tassi di parità swap per diverse scadenze. Il tasso Mid è
la media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore
05/10/2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/2001. . . . . . . .
vii
160
161
164
165
Informazioni sul Corso
Il corso di di Matematica Finanziaria permetterà agli studenti di acquisire
le conoscenze basilari per operare nel mercato monetario, finanziario e dei
derivati sui titoli a reddito fisso.
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Editore, Torino, 2002.
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• P.C. Cartledge. Financial Arithmetic. Euromoney Publication, London, 1993.
• E. Castagnoli e L. Peccati. La Matematica in Azienda: Strumenti
e Modelli, volume I – Calcolo finanziario con applicazioni. EGEA,
Milano, 1995.
• F. Moriconi. Matematica Finanziaria. Il Mulino, Bologna, 1994.
• Il Sole 24 ORE, editor. Come si Legge il Sole 24 ORE per Capire
l’Economia del 2000. Il Sole 24 ORE S.p.A., Milano, Quinta edition,
2000.
• M. De Felice e F. Moriconi. La Teoria dell’Immunizzazione Finanziaria
Il Mulino, Bologna, 1991.
• J.C. Hull. Futures and Options Markets. Prentice–Hall International,
London, 1998.
viii
Capitolo 1
Misure del Rendimento
1.1
Operazioni finanziarie
Si definisce operazione finanziaria (o.f.) lo scambio di importi monetari
in istanti differenti di tempo. Tale scambio si effettua a fronte del pagamento
di un interesse.
In ambito finanziario si distinguono o.f. a pronti o spot ed o.f. a termine
o forward.
1.1.1
Operazioni finanziarie a pronti
Una o.f. è detta a pronti o spot se la stipula del contratto coincide con
l’istante in cui avviene la transazione. Se si indica con t l’istante di stipula
del contratto e con s la scadenza dello stesso (t < s), in t uno dei contraenti
riceverà V (t) unità di capitale e restituirà V (s) unità di capitale alla scadenza
s.
Se si riportano gli istanti temporali sull’asse dei tempi, l’o.f. spot è rappresentata in Figura 1.1.
V (t)
−V (s)
t
s
Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria
spot.
È evidente che la stessa operazione spot può essere vista in maniera speculare
1.1 Operazioni finanziarie
2
da parte del contraente che ha versato V (t) unità di capitale in t e riceverà
V (s) alla scadenza s del contratto.
Nel primo caso, l’o.f. spot è un’operazione di finanziamento e gli interessi
pagati rappresentano un costo; nel secondo caso, l’o.f. è un’operazione di
investimento e gli interessi incassati rappresentano la remunerazione del
capitale investito.
Un esempio di o.f. spot è l’acquisto di un BOT. Alla stipula del contratto (l’acquisto del BOT), l’investitore versa un ammontare pari a V (t); alla
scadenza, l’investitore sarà rimborsato di un ammontare pari a V (s) (p. es.:
t = 0 ed s = 90 giorni). In questo caso lo Stato italiano è il contraente che
riceverà V (t) unità di capitale in t (finanziamento del debito pubblico) ed
avrà un esborso pari a V (s) a scadenza.
Se si indica con M (t, s) il valore in s di una unità di capitale disponibile in t,
per ottenere V (s) unità di capitale alla scadenza del contratto, dovrà essere:
V (s) = M (t, s) V (t)
(1.1)
La (1.1) definisce l’equivalenza temporale che esiste fra capitali disponibili in
istanti diversi di tempo.
Tramite la (1.1) è anche possibile determinare il valore in t di una somma
di denaro disponibile in s. Infatti, con semplici passaggi algebrici si ottiene
che,
1
V (s) = B(t, s) V (s).
(1.2)
V (t) =
M (t, s)
Il fattore B(t, s) = 1/M (t, s) rappresenta il valore in t di una unità di capitale
disponibile in s.
I fattori M (t, s) e B(t, s) hanno un significato strettamente economico. Il
fattore M (t, s) può essere visto come il prezzo che un investitore è disposto
ad accettare in s per rinunciare a consumare una unità di capitale in t. In
maniera analoga, B(t, s) rappresenta il prezzo che un investitore è disposto
a pagare in t per entrare in possesso di una unità di capitale in s.
Dato il prezzo M (t, s), la (1.1) determina il valore monetario in s, V (s),
equivalente ad un quantità di capitale, V (t), disponibile in t. In maniera
analoga, dato il prezzo B(t, s), la (1.2) determina il valore monetario in t,
V (t), equivalente ad una quantità di capitale, V (s), disponibile in s.
I fattori M (t, s) e B(t, s), oltre ad assumere il significato di prezzo per unità
di capitale, rappresentano i fattori di scambio fra due capitali esigibili in
istanti di tempo diversi. In altri termini, applicando il fattore M (t, s) ad
un capitale V (t), disponibile in t, è possibile determinarne il suo valore in s.
Analogamente, applicando al capitale V (s), esigibile nell’istante futuro s, il
fattore B(t, s) è possibile determinarne il valore t.
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1.1 Operazioni finanziarie
3
In questi casi i termini M (t, s) e B(t, s) permettono, rispettivamente, di
“spostare” in avanti (posticipare) capitali disponibili in t, o di “spostare”
indietro (attualizzare) capitali disponibili in s. Nella letteratura finanziaria
M (t, s) è anche noto come fattore montante per unità di capitale, mentre
B(t, s) è noto come fattore di sconto per unità di capitale.
Da un punto di vista matematico, M (t, s) e B(t, s) sono funzioni di due
variabili reali. Inoltre, B(t, s) è una funzione reciproca di M (t, s). Questa
proprietà è importante in quanto permette di concentrare il nostro studio
sulle caratteristiche di una delle due funzioni.
Un soggetto razionale è disposto a rinunciare ad una somma di denaro oggi
se e solo se riceverà in cambio un ammontare maggiore nel futuro. Per questo
motivo deve essere
V (s) > V (t).
Dalla relazione (1.1) discende che,
M (t, s) > 1
(1.3)
B(t, s) < 1.
(1.4)
e di conseguenza,
Come si vedrà in seguito, nella pratica, le funzioni M (t, s) e B(t, s) dipendono
soltanto dalla differenza s − t, ossia, dall’intervallo di tempo che intercorre
fra l’istante di stipula e la scadenza del contratto.
1.1.2
Operazioni finanziarie a termine
Una o.f. è detta a termine o forward se lo scambio di importi monetari
avviene in un istante successivo a quello di stipula. Se si indica con t l’istante
di stipula del contratto, con s la scadenza dello stesso e con T l’istante in cui
avviene la transazione (t ≤ T < s), in T uno dei contraenti riceverà V (T )
unità di capitale, ed in s restituirà V (s) unità di capitale. Se si riportano gli
istanti temporali sull’asse dei tempi, l’o.f. forward è rappresentata in Figura
1.2.
V (T )
t
T
−V (s)
s
Figura 1.2: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria
forward.
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1.2 Interesse Semplice
4
Si osservi che in t non avviene alcun movimento di capitali. La transazione
è effettuata in T e la restituzione del capitale in s. Una volta trascorso il
periodo T − t l’o.f. a termine ha le stesse caratteristiche di una o.f. a pronti.
Si possono estendere le considerazioni fatte per le o.f. spot alle o.f. forward.
In particolare, se si indica con M (t, T, s) il valore in s, pattuito in t, di una
unità di capitale disponibile in T , per ottenere V (s) unità di capitale alla
scadenza del contratto, deve essere,
V (s) = M (t, T, s) V (T ).
(1.5)
In maniera analoga, ponendo B(t, T, s) = 1/M (t, T, s), si ottiene che,
V (T ) = B(t, T, s) V (s).
(1.6)
Essendo V (s) > V (T ), si deduce che
M (t, T, s) > 1
B(t, T, s) < 1.
1.2
(1.7)
(1.8)
Interesse Semplice
In termini finanziari l’interesse o rendimento (yield) di una attività
(asset) è dato da un reddito periodico o dalla variazione del prezzo del titolo
o entrambi. Per esempio, se si acquista oggi un BOT che è quotato a 96.170
e lo si rivende fra una settimana a 97.22, il rendimento o interesse è dato
dalla variazione del prezzo. Nel caso dei BTP l’interesse è composto dalla
cedola pagata semestralmente e dalla variazione in conto capitale.
L’interesse semplice rappresenta il reddito prodotto da un investimento (o
il costo sopportato da un debitore nel caso di passività o liability) per ogni
periodo dell’o.f. in essere. Il tasso a cui si effettuano tali o.f. è detto tasso
di interesse.
In una o.f. spot, il capitale finale, V (s), è costituito dal capitale iniziale, V (t),
più gli interessi maturati nell’intervallo di tempo s − t (si ricorda che affinché
l’operazione di scambio abbia significato finanziario deve essere V (s) > V (t)).
Se si indicano con I(t, s) gli interessi maturati nell’intervallo s − t, sarà,
V (s) = V (t) + I(t, s) da cui,
I(t, s) = V (s) − V (t).
(1.9)
Si definisce tasso d’interesse la remunerazione per ogni unità di capitale,
in simboli,
V (s) − V (t)
I(t, s)
=
.
(1.10)
i(t, s) =
V (t)
V (t)
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1.2 Interesse Semplice
5
Sostituendo nella (1.10) la (1.1), si ottiene che,
i(t, s) =
V (t) [M (t, s) − 1]
= M (t, s) − 1.
V (t)
(1.11)
Si osservi che intervalli di tempo di ampiezza diversa possono contemplare
diversi tassi d’interesse.
Con semplici passaggi algebrici si ha che,
I(t, s) = V (t) i(t, s).
(1.12)
Esempio 1.1: Un conto corrente paga l’1.37% annuale sulle giacenze. Il
05/07/2001 sono stati versati 100,000 e. A quanto ammonta l’interesse
maturato al 15/09/2001?
Si osservi che il tasso d’interesse è espresso su base annuale, cioè per un’o.f.
di durata pari ad un anno. Il quesito richiede l’interesse maturato nel periodo 05/07/2001–15/09/2001, quindi t=05/07/2001 ed s=15/09/2001. In
questo esempio si ipotizzerà (potrebbe essere stabilito contrattualmente) che la
remunerazione per unità di capitale sia una frazione del tasso annuale. In generale potrebbe essere necessario stabilire un tasso d’interesse per l’intervallo
[t, s], che non dipende dal tasso annuale. Si osservi che l’interesse corrisposto
dipende soltanto dall’intervallo di tempo che intercorre fra gli istanti t ed s.
Se si ipotizza una valuta a decorrere dal giorno successivo al deposito, utilizzando come calendario quello commerciale, composto da 360 giorni e mesi
di 30 giorni, il numero di giorni su cui deve essere corrisposto l’interesse è
pari a τ = s − t = 69 (contro i 72 del calendario solare).
Nel nostro esempio, V (t) = C =100,000 e, il rendimento annuale (cioè il
rendimento per una giacenza di un anno) è pari a
I(0, 1) = C i(0, 1) = 100000 ·
1.37
= 1,370 e.
100
(1.13)
La frazione di anno è data da,
69
τ
=
= 0.192,
n
360
(1.14)
e gli interessi maturati da,
I(0, 69) = C i(0, 1)
τ
1.37
= 100000 ·
· 0.192 = 262.58 e
n
100
(1.15)
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1.2 Interesse Semplice
6
Figura 1.3: MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte:
Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 )
La relazione che è stata utilizzata per determinare I(0, 69) non è diversa da
quella per I(0, 1), o, in generale, dalla (1.12). Infatti, nell’ipotesi contrattuale
che gli interessi per intervalli di tempo inferiori ad un anno siano una frazione
del tasso annuale, si è implicitamente posto,
i(t, s) = i
s−t
.
n
(1.16)
Esempio 1.2: Il BTP con codice ISIN IT0000366762 (si veda Fig. 1.3) paga
una cedola annua pari ad i = 8.50% del valore facciale. La cedola è pagata in
due rate semestrali il 01/01 ed il 01/07, quindi l’interesse percepito in ogni
data è i(0, 0.5) = 8.50/2 = 4.25%1 . Se il titolo è acquistato il 01/08/2001,
con valuta il 03/08/2001, il compratore dovrà corrispondere al venditore la
quota interesse maturata dal 01/07 (data godimento ultima cedola) al 03/08.
Il titolo IT0000366762 è quotato al MOT ad un corso secco (clean price)
pari a Pcs = 109.470, a quanto ammonta l’esborso totale del compratore?
Si ipotizzi che la quantità di valore facciale acquistata sia C = 100,000 e. Per
i titoli di stato italiano ed, in generale, per tutti gli eurobond, i giorni sono
calcolati sulla base del calendario solare. Dal 01/07 al 03/08 intercorrono 33
Anche in questo caso è stabilito contrattualmente che i(0, 0.5) = i(0, 1) · 12 , ovvero che
il tasso semestrale sia la metà di quello annuale.
1
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1.2 Interesse Semplice
7
giorni. Il semestre in esame (01/07–01/01) è composto da 184 giorni. Gli
interessi maturati (anche detti, rateo o accrued) sono dati da,
I(0, 33) = C i(0, 0.5)
τ
= 100000 · 0.0425 · 0.179348 = 762.23 e,
n
(1.17)
dove τ /n = 33/184. Il rateo è riportato sui quotidiani finanziari o fornito dai
provider (Bloomberg, DataStream, etc.) in percentuale del valore facciale. In
questo caso sarebbe,
R(f ) = i(0, 0.5)
τ
= 0.0425 · 0.179348 = 0.762229%,
n
(1.18)
dove f = τ /n è la frazione di temporale di effettivo godimento della cedola.
Dalla (1.18) si evince che il rateo è funzione lineare della frazione temporale
f = τ /n. Il valore del rateo raggiunge il suo valore massimo ogni sei mesi
(stacco cedola). In ogni periodo intermedio il compenso ricevuto è dato dall’ordinata nell’istante di acquisto (o vendita) del BTP (si veda Figura 1.4).
R
R(f )
0
f
1
Figura 1.4: Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periodo
di godimento della la cedola.
Il prezzo del titolo comprensivo del rateo, o prezzo tel quel (dirty price), è
dato da,
Ptq = Pcs + R(f ) = 109.47 + 0.7623 = 110.2323
(1.19)
Si osservi che il prezzo di un titolo è anch’esso espresso in percentuale del
valore facciale, quindi 110.2323, deve essere inteso come il 110.2323% di C.
Il costo sostenuto dall’acquirente è pari a,
C Ptq = 100000 ·
110.2323
= 110,232.3 e
100
(1.20)
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1.2 Interesse Semplice
1.2.1
8
Basi finanziarie
Nei mercati finanziari le convenzioni temporali per il calcolo degli interessi,
anche dette basis o basi, possono assumere diverse forme, e sono rappresentate sinteticamente da:
Act E30 30 Act
;
;
;
; etc.
Act 360 360 360
Al numeratore è indicata la modalità di conteggio dei giorni fra i due eventi
finanziari (Act sta per Actual, E30 sta per Europeo30), al denominatore la
modalità di conteggio dei giorni di un anno o dell’intervallo su cui insiste
l’operazione finanziaria. Per esempio, [E30/360] indica la base per i depositi
europei (si veda Esempio 1.1), mentre, [Act/Act] è la convenzione utilizzata
per il calcolo degli interessi nei mercati obbligazionari (si veda Esempio 1.2).
L’ammontare effettivo di interessi può differire a secondo della base adottata. Di solito i tassi quotati sono tassi nominali. Ciò implica che due
tassi nominali identici possono produrre interessi effettivi diversi tali da
neutralizzare il guadagno previsto, o addirittura causare perdite. Per questo
motivo, prima di effettuare speculazioni finanziarie, è bene determinare il
tasso effettivo dell’operazione pianificata.
Il concetto di tassi equivalenti, nominali ed effettivi è molto importante
e sarà approfondito nei capitoli successivi.
Esempio 1.3: Sul mercato monetario americano sono offerte le seguenti
possibilità di investimento a breve periodo:
• Un deposito che paga il 5% annuo [Act/365].
• Un T–Bond che paga il 5% annuo [Act/360].
Qual è l’investimento che offre un rendimento effettivo maggiore?
Si noti che entrambe le o.f. hanno lo stesso numero di giorni in quanto
il numeratore della base è identico. Si consideri un investimento pari a
10,000,000 $ per due mesi (gennaio e febbraio). In entrambi i casi il numero
di giorni è pari a 59. I rendimenti effettivi sono dati da:
59
= 80,821.92 $
365
59
= 81,944.44 $
10000000 · 0.05 ·
360
10000000 · 0.05 ·
Sebbene i due tassi siano nominalmente identici, il T–Bond ha un rendimento
effettivo maggiore.
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1.2 Interesse Semplice
9
Figura 1.5: Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del
01/08/2001 )
Esempio 1.4: Il tasso LIBOR per o.f. in euro con scadenza una settimana
è quotato a 4.54138%, base [Act/360]. Si ipotizzi che sul mercato sia possibile
reperire denaro per scadenze non superiori ad una settimana ad un tasso pari
al 4.58%, base [Act/365]. Qual è il tasso più conveniente?
Per effettuare un confronto è necessario esprimere i tassi in esame nella
stessa base. Si supponga di trasformare il tasso LIBOR nella base [Act/365].
Il nostro obiettivo è determinare quel tasso con base [Act/365] che produce un
ammontare di interessi identico a quello che si otterrebbe con il tasso LIBOR
con base [Act/360], ovvero,
i
Act
Act
= 4.54138
365
360
da cui si ricava,
365
= 4.60445.
360
Il tasso LIBOR al 4.54138% nella base [Act/360] è equivalente ad un tasso
del 4.60445% nella base [Act/365]. L’operazione di finanziamento al 4.58% è
sicuramente più conveniente (circa 2.5 basis point meno costosa) in quanto
4.58% < 4.60445%. Utilizzando la stessa logica, per passare da un tasso
i = 4.54138
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1.3 Sconto Semplice
10
con base [Act/365] ad uno con base [Act/360] basta moltiplicare per 360/365,
quindi,
360
= 4.5172.
4.58
365
Di solito i giornali finanziari quotano i tassi nelle due basi più comuni. Per
esempio i tassi LIBOR ed EURIBOR (si veda Fig. 1.5) sono quotati con
base 360 e 365 (si assume Act).
1.3
Sconto Semplice
Un creditore può richiedere che l’interesse pattuito sia corrisposto alla stipula
del contratto. In tal caso il creditore dedurrà gli interessi dall’ammontare di
capitale stabilito nell’operazione di finanziamento. Un tipico esempio sono le
cambiali commerciali che possono essere scontate ad un tasso prefissato
presso gli istituti bancari. I T–Bill (debito del Tesoro Americano) pagano in
anticipo gli interessi. Le cambiali finanziarie (commercial papers) sono
strumenti che permettono alle imprese di finanziare il debito a breve periodo
pagando un interesse anticipato. Il tasso a cui si effettua un’operazione di
sconto è detto tasso di sconto.
Come visto nel paragrafo 1.2, il pagamento degli interessi alla scadenza del
contratto implica che,
V (s) = V (t) + I(t, s) =
= V (t) + V (t) i(t, s),
(1.21)
e, come si può notare, l’interesse è calcolato sul capitale iniziale. Nel caso di
o.f. di sconto (spot o forward), gli interessi sono calcolati sul capitale finale
ed il valore iniziale, V (t), si ottiene detraendo dal capitale finale l’ammontare
di interessi ottenuto, quindi,
V (t) = V (s) − D(t, s) =
= V (s) − V (s) d(t, s).
(1.22)
Con semplici passaggi algebrici si verifica facilmente che,
d(t, s) =
V (s) − V (t)
.
V (s)
(1.23)
Si osservi che, sia nelle operazioni di sconto che in quelle d’interesse semplice,
la remunerazione del capitale, in termini assoluti, è identica. Infatti,
I(t, s) = V (s) − V (t) = D(t, s).
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1.3 Sconto Semplice
11
La differenza fondamentale è nelle remunerazioni per unità di capitale, ovvero nel tasso di sconto e nel tasso d’interesse. Come si vedrà in seguito, tassi
di sconto e d’interesse identici determinano interessi (in senso di remunerazioni assolute) differenti, quindi per confrontare tassi di sconto e d’interesse
è necessario effettuare un’appropriata conversione.
Come nelle o.f. di interesse semplice, nelle o.f. di sconto valgono le equivalenze finanziarie (1.1) e (1.2). Sostituendo la (1.1) nella (1.23), si ha
che,
V (s) − V (t)
=
V (s)
V (t) [M (t, s) − 1]
=
=
V (t) M (t, s)
= 1 − B(t, s).
d(t, s) =
Si osservi che i fattori M (t, s) e B(t, s) svolgono la stessa funzione vista per
l’interesse semplice: il primo è un fattore montante, mentre il secondo è un
fattore di sconto. Purtroppo la terminologia può creare confusione e si tende
a confondere il tasso di sconto con il fattore di sconto. La distinzione che
bisogna cogliere è che un fattore di sconto serve a “spostare” indietro un
capitale esigibile alla scadenza dell’o.f. e questo è possibile utilizzando sia un
tasso d’interesse che un tasso di sconto.
Esempio 1.5:
Una cambiale di 5,000 e con scadenza il 12/05/2001 è
presentata all’incasso presso un istituto bancario il 22/02/2001. Il tasso di
sconto praticato è pari al 13.8%. A quanto ammonta l’introito del creditore?
La base utilizzata è E30/360 che corrisponde all’anno commerciale. Con riferimento alla base adottata, il numero di giorni che intercorre fra le due date
è pari a 80, quindi la frazione di anno su cui vanno computati gli interessi è
τ /n = 80/360 = 0.222. Gli interessi che saranno dedotti dal valore facciale
sono pari a,
τ
D(0, 80) = C d = 5000 · 0.138 · 0.222 = 153.18 e,
n
quindi, il creditore incasserà una somma pari a 5000 − 153.18 = 4,846.82 e.
Anche in questo caso si è ipotizzato che per frazioni di anno il tasso di sconto
è dato da
τ
d(t, s) = d .
(1.24)
n
Come accennato in precedenza, le cambiali finanziarie (c.f.) sono strumenti
che permettono alle imprese di reperire liquidità a breve periodo ricorrendo
direttamente al mercato.
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1.3 Sconto Semplice
12
Esempio 1.6: Una società di import–export deve procurarsi liquidità a breve
periodo per finanziare l’acquisto di merce. Fra tre settimane potrà ripagare
il debito contratto grazie ad un introito di 1,000,000 e dovuto alla vendita di
alcuni prodotti. Il prestito ha una durata di tre settimane a decorrere da oggi.
Il tesoriere della ditta si rivolge ad una banca per emettere una c.f. Il tasso
di riferimento su base annuale per tali prodotti è d = 4.5% annuo. L’operazione ha un nominale di 1,000,000 e, quindi l’impresa pagherà a scadenza
1,000,000 e al portatore del titolo. Il valore scontato è dato da:
21
= 2,625 e
360
V (0) = V (s) − D(0, 21) = 1000000 − 2625 = 997,375 e
D(0, 21) = 1000000 · 0.045 ·
La somma di 997,375 e servirà a finanziare la liquidità necessaria. Fra tre
settimane l’impresa pagherà il valore facciale della c.f. pari a 1,000,000 e.
Il costo per l’impresa è pari a D(0, 21) = 2,625 e.
Il portatore della c.f. vorrebbe potersi disfare del titolo acquistato senza
aspettare la fine delle tre settimane. Il mercato secondario permette di soddisfare tale necessità e se il mercato è liquido il portatore potrà vendere il
titolo senza pagare costi aggiuntivi.
Esempio 1.7: Il portatore della c.f. decide di vendere il titolo al mercato
secondario dopo 10 giorni. Il costo per l’acquisto del titolo (la c.f.) è stato
di 997,375 e. Se si ipotizza che il tasso di sconto sia rimasto invariato, il
valore del titolo può essere calcolato come nell’Esempio 1.6 considerando però
i giorni che rimangono prima della scadenza,
11
= 1,375 e
360
V (0) = 1000000 − 1375 = 998,625 e.
D(0, 11) = 1000000 · 0.045 ·
Quindi, chiunque sia interessato ad acquistare la c.f. dovrà pagare al venditore 998,625 e. La differenza 998,625 e - 997,375 e = 1,250 e rappresenta
il reddito per colui che ha detenuto il titolo per 10 giorni. Questo reddito è
analogo al rateo calcolato per le cedole dei BTP. La differenza principale è
che nei BTP il tasso è sicuramente costante (il tasso delle cedole è fissato
all’emissione), mentre in questo caso l’ipotesi che il tasso di sconto sia costante raramente corrisponde alla realtà (anche per soli 10 giorni!!!). Se il
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1.3 Sconto Semplice
13
tasso di sconto si incrementa di 20 bp (0.2%), d = 4.7%, si ha che:
11
= 1,436.11 e
360
V (0) = 1000000 − 1436.11 = 998,563.89 e.
D(0, 11) = 1000000 · 0.047 ·
Il guadagno per il portatore si riduce a 998,563.89 e - 997,375 e = 1,188.89 e,
rispetto ai 1,250 e se i tassi fossero rimasti invariati. Una riduzione del tasso di sconto di 20 bp, d = 4.3%, determina un guadagno pari a 1,311.11 e >
1,250 e. Questa semplice simulazione è un tipico esempio di rischio da
tasso d’interesse.
Nel caso il tasso di sconto crescesse fino all’8.59% (un improbabile balzo di
409 bp in 10 giorni!!) il guadagno dell’ o.f. si annullerebbe completamente.
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1.4 Valore Attuale e Futuro
1.4
14
Valore Attuale e Futuro
Nell’Esempio 1.1, a fronte di un versamento iniziale di capitale, si ottiene
alla fine del periodo di vincolo il capitale iniziale più gli interessi dovuti.
Nell’Esempio 1.2 il possessore del BTP, che ha pagato per acquistare il titolo,
e quindi ha immobilizzato il suo capitale per un certo intervallo di tempo,
ha diritto alla quota di interessi che corrisponde al periodo di detenzione del
titolo.
Da un punto di vista economico, gli interessi rappresentano la remunerazione per aver rinunciato (oggi) a consumare un certa quantità di capitale, e,
possibilmente, a postdatare tale consumo nel futuro. Da un punto di vista
matematico, tale equivalenza si traduce nella (1.1), dove, il fattore montante,
M (t, s), determina l’accrescimento del capitale iniziale V (t) nell’intervallo di
tempo [t, s]
1.4.1
Il modello lineare d’interesse
L’obiettivo di questo paragrafo è quello di determinare un modello matematico (una formula, se si vuole) per M (t, s) in modo che dato il capitale iniziale,
V (t), sia possibile determinarne il valore futuro, V (s). Partendo dalle proprietà di M (t, s), qualsiasi funzione di due variabili tale che M (t, s) > 1 può
essere inclusa nell’insieme dei modelli possibili. Negli esempi illustrati nel
paragrafo precedente si è visto che, una volta fissato l’intervallo di tempo, ed
il tasso d’interesse o sconto, il livello degli interessi dipende soltanto dall’ampiezza dell’intervallo di tempo [t, s]. Quindi, in pratica, si possono escludere
quei modelli di M (t, s) tali che, per esempio, sia
M (t, s) = 1 + i(t2 + s2 ) oppure
M (t, s) = eδ(t+3s)
Un possibile modello per M (t, s), che sintetizza le caratteristiche succitate,
consiste nel definire il tasso d’interesse come,
i(t, s) = i (s − t).
(1.25)
Per costruzione, la funzione M (t, s) è data dalla (1.11), da cui si ottiene
facilmente,
M (t, s) = 1 + i(s − t).
(1.26)
Un modello di questo tipo implica che, fissato il parametro i (tasso d’interesse annuale, mensile, giornaliero, etc.), il fattore montante per intervalli
di tempo diversi si ottiene moltiplicando il tasso d’interesse per l’ampiezza
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1.4 Valore Attuale e Futuro
15
dell’intervallo di tempo s − t. Si osservi che s − t deve essere espresso nella
stessa unità temporale con cui è stato assegnato il tasso d’interesse i. Ciò
implica che s − t sarà un numero maggiore di uno, nel caso in cui l’ampiezza dell’intervallo [t, s] è maggiore dell’unità di misura temporale del tasso i,
minore di uno, nel caso contrario.
La (1.26) prende il nome di modello di capitalizzazione ad interesse
semplice o modello lineare d’interesse. Se si pone τ = s − t si ottiene
che,
M (τ ) = 1 + iτ,
(1.27)
quindi, M (τ ) è una funzione lineare di τ , con pendenza (coefficiente angolare)
pari ad i ed intercetta M (0) = 1.
Data la (1.27), il valore futuro, V (s), di un capitale, V (t), impiegato per un
periodo pari ad τ = s − t si ottiene dalla seguente relazione:
V (t + τ ) = V (t)(1 + iτ ).
(1.28)
Alcune importanti considerazioni sono:
• il parametro τ misura l’intervallo di tempo che intercorre fra due istanti
temporali. Per questo motivo è importante che il tasso d’interesse i ed
il parametro τ siano espressi nella stessa unità di tempo.
• L’utilizzo di una modello per il computo degli interessi è un aspetto
che deve essere esplicitato nell’accordo fra le parti. Non è l’o.f. che
determina il modello d’interesse da utilizzare. Per meglio focalizzare
questo concetto, come si evince dalla Figura 1.5, il tasso EURIBOR
per o.f. a sei mesi, i(0, 0.5), è pari al 4.336% su base annua. Se si vuole
determinare il montante per una o.f. ad un anno non si può utilizzare il modello lineare d’interesse con τ pari ad un anno. In tal caso il
montante deve essere calcolato utilizzando il tasso per o.f. ad un anno,
i(0, 1) = 4.26%, a meno che non sia stabilito contrattualmente che per
o.f. superiori a sei mesi il montante sarà calcolato utilizzando il modello lineare d’interesse ed il tasso semestrale i(0, 0.5). In altri termini,
sono gli accordi fra le parti che determinano il modello matematico da
utilizzare per M (t, s).
Esempio 1.8: Un istituto bancario italiano propone prodotti finanziari con
la formula:“Garanzia del capitale + rendimento minimo dell’8% dopo 4 anni. Se si acquistano 100,000 e di tale prodotto, quale sarà il valore minimo
dell’investimento dopo 4 anni?
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1.4 Valore Attuale e Futuro
16
La garanzia del capitale implica la conservazione dell’ammontare di denaro
investito, quindi V (0) = 100,000 e e V (4) ≥ 100,000 e. Il rendimento minimo dell’8% dopo 4 anni implica che il tasso applicato al capitale iniziale è
dell’8% ogni 4 anni. Utilizzando la simbologia dell’interesse semplice si ha
che V (0) = C = 100,000 e, i = 8% ed τ = 1. Si noti che i e τ sono espressi nella stessa unità di tempo: i = 8% quadriennale, τ = 1 quadriennio.
Applicando la (1.28) si ha che,
V (4) = 100000 · (1 + 0.08) = 108,000 e.
Quindi, il valore minimo promesso dopo 4 anni è V (4) = 108,000 e.
Si ipotizzi che dopo due anni e sette mesi il detentore del suddetto prodotto
desideri liquidare la sua posizione vendendo il titolo nel mercato (non è detto
che ciò sia possibile in quanto non esiste un mercato secondario per tali
prodotti). Sicuramente dovrà essere remunerato per gli anni che ha detenuto
il titolo, quindi è necessario determinare quella frazione di quadriennio su
cui dovranno essere corrisposti gli interessi. Come sottolineato sopra, sia il
tasso d’interesse che l’intervallo di tempo devono essere espressi nella stessa
unità di misura temporale. In questo caso il tasso d’interesse è quadriennale,
quindi τ deve essere espresso in multipli o frazioni di quadrienni. A quanti
quadrienni equivalgono due anni e sette mesi? Sicuramente è τ < 1 in quanto
il periodo di investimento è minore di un quadriennio. Due anni e sette mesi
corrispondono a s − t = 31 mesi, mentre un quadriennio equivale a n = 48
mesi , da cui τ = s − t/n = 31/48 = 0.64583 quadrienni (la regola del pollice
consiste nel trasformare numeratore e denominatore nell’unità di tempo più
piccola, mesi in questo esempio). Pertanto si ha che,
V (s) = 100000 · (1 + 0.08 · 0.64583) = 105166.67
La (1.28) può essere riscritta esplicitando l’intervallo di tempo s − t in cui
è stato impiegato il capitale iniziale. Se si indica con n l’unità di misura
temporale del tasso d’interesse (espressa nella stessa unità di misura di s−t),
si ha che:
µ
¶
s−t
V (s) = V (t) 1 + i
.
(1.29)
n
Con semplici passaggi algebrici la (1.29) può essere espressa in modo che il
tasso d’interesse abbia la stessa unità di misura dell’intervallo di tempo s − t
(p. es.: tasso mensile e tempo misurato in mesi). La logica da seguire non
è differente da quella vista per la conversione dei tassi con basi differenti.
L’obiettivo è determinare quel tasso in tale che, il valore futuro di V (t),
c
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1.4 Valore Attuale e Futuro
17
capitalizzato al tasso in per s − t periodi, sia uguale al valore futuro di V (t)
capitalizzato al tasso i, per τ periodi. Quindi, deve essere,
³
τ´
da cui
(1.30)
(1 + in τ ) = 1 + i
n
i
(1.31)
in =
n
Con riferimento all’esempio precedente, si può determinare il tasso annuale i4
equivalente al tasso quadriennale i. In questo caso n = 4 anni ed applicando
la (1.31) si ottiene che,
i4 =
i
0.08
=
= 0.02 = 2%.
4
4
(1.32)
Se si esprime l’intervallo s − t in anni, si ha che s − t = 2 + 7/12 = 2.583
anni, il valore garantito dopo due anni e sette mesi è dato da,
V (s) = V (0) [1 + i4 (s − t)] =
= 100000 · (1 + 0.02 · 2.583) = 105166.67
Si noti che, essendo il tasso i4 espresso su base annuale, e che l’impiego
del capitale è pari a due anni e sette mesi, quindi per un periodo maggiore
dell’anno, s − t è un numero maggiore di uno. Dato che, sia il tasso i4 che
l’ampiezza dell’intervallo di tempo s − t sono espressi nella stessa unità di
tempo, allora τ = s − t. In questi casi, essendo s = t + τ , si ha che,
V (t + τ ) = V (t) (1 + i τ ) .
(1.33)
Tramite il modello di capitalizzazione semplice descritto dalla (1.33) si è
determinata l’equivalenza temporale fra due quantità di denaro disponibili
in istanti di tempo diversi: V (t) euro disponibili in t sono equivalenti a
V (t + τ ) euro in t + τ . Quindi, tramite la capitalizzazione semplice è possibile
“spostare in avanti” (t ⇒ t + τ ) il capitale disponibile in t. Si osservi che per
V (t) = 1, quindi per un euro di capitale iniziale, il valore futuro è dato da
V (t + τ ) = M (t, t + τ ) =
1
.
B(t, t + τ )
(1.34)
Dalla (1.34) si evince che ogni euro di capitale disponibile in t “costeranno”
M (t, t + τ ) = 1/B(t, t + τ ) euro in t + τ .
Utilizzando lo stesso schema è possibile determinare un modello per “spostare
indietro” (t ⇐ t + τ ) un capitale disponibile in t + τ . In particolare, se in
t + τ è disponibile un euro di capitale, dalla (1.33) si ottiene che,
V (t) =
1
= B(t, t + τ ),
M (t, t + τ )
(1.35)
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18
Figura 1.6: MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 31/07 (Fonte:
Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 )
quindi, un euro disponibile in t + τ “costa” B(t, t + τ ) = 1/M (t, t + τ ) euro
in t. Il fattore B(t, t + τ ) rappresenta il valore attuale di un euro esigibile
in t + τ .
In generale, per ottenere il valore attuale di un capitale basterà applicare
l’operatore B(t, s) alla somma disponibile in s. Dato che B(t, s) = 1/M (t, s),
nel caso di capitalizzazione semplice, il valore attuale è dato da,
V (t) =
V (s)
,
1 + i s−t
n
(1.36)
ed il fattore di sconto è dato da,
B(t, s) =
1
1
=
M (t, s)
1+i
s−t
n
(1.37)
Di solito la capitalizzazione semplice è utilizzata per titoli con scadenza inferiore ad un anno. I BOT sono un tipico esempio di titoli a breve periodo
(strumenti del mercato monetario). Il BOT promette di pagare il 100% del
valore facciale (1,000 e, dal 4 gennaio 1999) a scadenza, a fronte del pagamento di un prezzo inferiore a 100. Il reddito di tale titolo deriva soltanto dal
guadagno di capitale (capital gain) in quanto non paga cedole. Per questa
caratteristica il BOT fa parte di quella classe di titoli a reddito fisso nota
come titoli a cedola nulla (zero coupon bond), in breve ZCB. Gli ZCB
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19
Figura 1.7: MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 24/09 (Fonte:
Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 )
sono presenti in tutti i mercati monetari del mondo: negli Stati Uniti sono
chiamati Treasury Bill o T–Bill, in Germania sono noti come Bund ed
in Gran Bretagna come Sterling Guilders. Dopo l’assegnazione all’MTS,
riservata agli investitori istituzionali (banche, SIM, finanziarie), la contrattazione dei BOT si sposta al MOT dove le quotazioni telematiche permettono
alla domanda ed all’offerta di incontrarsi e di formare il prezzo di ogni titolo
di stato in circolazione. La quotazione del BOT determina il rendimento del
titolo. Tale rendimento (di solito quello a tre mesi) è assimilato al cosiddetto
tasso non–rischioso o tasso a breve (risk free o short rate). In verità,
anche i BOT sono soggetti al cosiddetto rischio di mercato, cioè quel rischio
connesso all’incertezza sulle quotazioni future dei ZCB. Comunque, data la
breve durata e l’autorevolezza dell’emittente (il Tesoro italiano) si assume
una rischiosità nulla (o quasi).
Esempio 1.9: Il BOT con codice ISIN IT0003145742 e scadenza il 1507-02 (si veda Figura 1.6) è quotato a 96.170 (Prezzo d’asta 31-07, Valuta
02-08). Il numero di giorni che mancano alla scadenza è pari a 347 (si
ricorda che i giorni vanno conteggiati dal giorno di valuta). Nelle colonne
successive sono riportati i rendimenti effettivi e lordi con base 360 e 365.
Come si determinano tali rendimenti? E cosa rappresentano?
Si ricorda che il prezzo di un titolo a reddito fisso è quotato sempre in percentuale del suo valore facciale. Quindi, P = 96.170 significa che l’investitore
pagherà per l’acquisto il 96.170 per cento del valore facciale, per ottenere
il 100 per cento del valore facciale a scadenza. Quindi, se si sono acquistati 1,000,000 e di valore facciale, si pagheranno 1000000 · 96.170/100 =
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1.4 Valore Attuale e Futuro
20
−0.9617
1
0
347
Figura 1.8: Flusso di cassa, per un euro di valore facciale, di un
investitore che acquista il BOT ISIN IT0003145742.
961,700 e per ottenere 1,000,000 e fra 347 giorni. Per facilitare la nostra analisi, il prezzo sarà espresso in unità di valore facciale, quindi P =
96.170/100 = 0.9617.
L’acquisto di un BOT è una o.f. con V (t) = P , il prezzo di emissione, e
V (s) = 1, il valore facciale. Acquistare un BOT consiste nell’entrare in una
o.f. spot dove a fronte del pagamento di V (t) euro in t si ottengono V (s) = 1
euro alla scadenza s (si veda Figura 1.8). In altri termini, V (t) è il valore
attuale di euro esigibile in s, e pertanto, il prezzo del BOT rappresenta il
fattore di sconto di un’o.f. a pronti, P = V (t) = B(t, s)2 .
Utilizzando la (1.29) e sostituendo a V (t) e V (s) i rispettivi valori, l’unica
incognita dell’equazione è il tasso d’interesse su base annuale (le frazioni di
anno su cui vanno computati gli interessi sono, rispettivamente, s − t/360 e
s − t/365 ) , quindi,
µ
¶
347
1 = B(t, s) 1 + i ·
, da cui,
(1.38)
360
[1 − B(t, s)] · 360
.
(1.39)
i =
B(t, s) · 347
Il tasso ip , relativo al periodo di impiego, si ottiene con s − t = n = 347, da
cui,
1 − B(t, s)
.
(1.40)
ip (t, s) =
B(t, s)
Si noti che il tasso espresso nella (1.39) è il tasso annuale equivalente ad ip ,
i(t, s) = ip (t, s)
n
n
= ip (t, s) ;
s−t
τ
(1.41)
in questo caso la frazione n/s − t è maggiore di uno in quanto si passa da un
tasso a periodicità inferiore ad un anno, ip , ad un tasso, i, con periodicità
2
In letteratura il prezzo di un titolo a cedola nulla unitario è indicato in diversi modi.
Le simbologie più ricorrenti sono: P (t, s), B(t, s), v(t, s).
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1.4 Valore Attuale e Futuro
21
annuale. I tassi lordi su base 360 e 365, sono, rispettivamente,
1 − 0.9617
= 0.0398
0.9617
360
= 0.0398 · 1.0375 = 0.0413
= ip
347
365
= ip
= 0.0398 · 1.0519 = 0.0419
347
ip =
i360
i365
Come si può notare dalla Figura 1.6 BOT con diverse scadenze hanno rendimenti diversi. Per meglio sottolineare la dipendenza del tasso dalla scadenza
del titolo, si preferisce esplicitare la scadenza s come indice temporale,
1 − B(t, s)
B(t, s)
1 − B(t, s) n
,
i(t, s) =
B(t, s) s − t
ip (t, s) =
(1.42)
(1.43)
dove, B(t, s) è il prezzo al tempo t dello ZCB unitario con scadenza in s. Se
si pone t = 0, dalla Figura 1.6 si evince che B(0, 347) = 96.170/100 = 0.9617
e B(0, 43) = 0.9949, etc.
Il BOT addebita ai sottoscrittori l’imposta del 12.50% sul disaggio di emissione, cioè sulla differenza fra il prezzo lordo di aggiudicazione, Pe , ed il prezzo
di rimborso, 100. Per ottenere il prezzo netto si deve aggiungere al prezzo
lordo l’imposta calcolata sul disaggio di emissione. Il rendimento che si
ottiene utilizzando quest’ultimo prezzo è il rendimento netto. Nella colonna imposta sostit. si può leggere, in corrispondenza del titolo in esame, il
valore dell’imposta calcolato sul disaggio di emissione, ossia:
τ
imp = (100 − Pe ) 0.1250 .
n
(1.44)
L’imposta è aggiunta al prezzo lordo in modo da ottenere il prezzo netto. A
questo punto il BOT può essere scambiato sul mercato secondario come se
non fosse gravato da alcuna imposta. Se si indica con B ∗ (t, s) il prezzo netto,
e con i∗ (t, s) il rendimento netto, si ha che,
B ∗ (t, s) = B(t, s) + imp/100
1 − B ∗ (t, s) n
i∗ (t, s) =
.
B ∗ (t, s) s − t
(1.45)
(1.46)
Il calcolo dei rendimenti netti per il titolo in esame è lasciato allo studente
per esercizio.
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1.4 Valore Attuale e Futuro
22
È importante sottolineare che il BOT non è un titolo di sconto. Sebbene
sia emesso ad un valore inferiore al prezzo di rimborso (sotto la pari), gli
interessi sono corrisposti alla scadenza e sono calcolati sull’importo monetario
iniziale. Titoli di puro sconto sono i T-bills americani.
Esempio 1.10: Si ipotizzi che in data 16/09/02 si debba effettuare un pagamento di 1,500,000 e. In data 24/09/01 è disponibile sul mercato il BOT
IT0003164545 con scadenza proprio il 16/09/02. Quanto valore facciale del
BOT IT0003164545 è necessario acquistare per ottenere il flusso di cassa
desiderato?
Il rendimento netto, i∗ (0, 355), è pari al 2.94% su base 365, V (τ ) = V (355) =
1,500,000 e, V(0) è dato da,
V (0) =
1500000
= 1,458,300.59 e
(1 + 0.0294 · 355/365)
L’Esempio 1.10 chiarisce ulteriormente il concetto di tasso d’interesse ed il
legame con le leggi di capitalizzazione o sconto.
Si ipotizzi che sia necessario effettuare il pagamento in data 01/03/02. In
questo caso non è possibile utilizzare la (1.36) e scontare per un periodo
minore. Il rendimento del BOT è relativo al periodo 24/09/01–16/09/02.
In tal caso è necessario investire in un BOT (se esiste) con scadenza il
01/03/02. In altri termini, ogni tasso è riferito ad un periodo ben definito, per questo motivo di solito si sente parlare di tasso “a tre mesi”, “a sei
mesi”, “a 5 anni”, etc.
In alternativa, le parti possono concordare un tasso d’interesse ed un modello
per calcolare gli interessi attivi e/o passivi. In tal caso è l’accordo, stipulato
contrattualmente, che descrive il meccanismo con cui sono capitalizzati o
attualizzati capitali che sono esigibili in istanti diversi di tempo.
Sebbene i BOT siano considerati titoli non–rischiosi, le fluttuazioni del tasso d’interesse nelle date successive all’acquisto del titolo possono causare
guadagni o perdite in conto capitale. Si consideri il seguente esempio.
Esempio 1.11: Il BOT IT0003145742 in data 24/09/01, 53 giorni dopo
l’acquisto, è quotato a B(53, 347) = 0.97655 (si veda Fig. 1.7); se si decide
di vendere, il rendimento su base 365 è dato da (valuta 26/09):
h(0, 55) =
B(55, 347) − B(0, 347) 365
= 0.1025
B(0, 347)
55
(1.47)
Sebbene la formula (1.47) sia formalmente identica a quella descritta dalla
(1.43), esiste una differenza sostanziale fra i(t, s) ed h(t, s). In particolare,
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1.4 Valore Attuale e Futuro
23
i(t, s) è noto in t e rappresenta il rendimento se si mantiene il titolo fino a
scadenza (noto anche come rendimento a scadenza); h(t, s) sarà invece
noto soltanto in s in quanto dipende dal prezzo futuro B(s, s + τ ) (aleatorio
in t).
Il rendimento h(t, t + τ ) è noto come rendimento periodale o holding
period return. Si noti che h(t, t + τ ) può anche essere negativo, al contrario di i(t, s) che è sempre positivo (nessuno acquisterebbe in t un titolo
che garantisce un rendimento negativo o nullo). Per i BOT, h(t, t + τ ) è
originato soltanto da variazioni in conto capitale (capital gain or loss).
Alla data di acquisto (31/07/01) il rendimento lordo del BOT è pari al 4.19%
su base 365. In altri termini, se si mantiene il titolo fino a scadenza, il
rendimento assicurato è proprio il 4.19%. Come è possibile realizzare un
rendimento del 10.25% se si vende il titolo dopo 55 giorni? In questo caso
specifico, nei 55 giorni in questione si è verificata una riduzione del TUS
da parte della BCE. Tale riduzione ha iniettato liquidità nei mercati riducendo i rendimenti dei BOT. Si osservi che (Figura 1.7) in data 24-09-01 il
rendimento del titolo IT0003164545 con scadenza fra 355 giorni (quindi con
le stesse caratteristiche del titolo IT0003145742 in data 31-07-01) è pari al
3.45% su base 365, circa 74bp in meno.
Una o.f. in cui è possibile fissare in anticipo il tasso d’interesse (e di conseguenza il prezzo) relativo ad un periodo futuro è una o.f. a termine o forward.
Il tasso d’interesse per una o.f. forward si calcola in maniera analoga a quello
per una o.f. spot, con la sola differenza che il valore iniziale è riferito ad un
periodo futuro T . In particolare, dati tre istanti temporali t ≤ T < s, il tasso
forward è dato da,
V (s) − V (T )
.
(1.48)
i(t, T, s) =
V (T )
Se t = T , si ottiene il tasso spot i(t, s),
i(t, s) =
V (s) − V (t)
.
V (t)
(1.49)
Si noti che per il tasso forward l’istante t non compare nel calcolo del tasso
in quanto lo scambio di capitali avviene fra T ed s. Nel caso di ZCB unitari
il tasso forward è dato da,
ip (t, T, s) =
1 − B(t, T, s)
,
B(t, T, s)
(1.50)
e su base annuale,
i(t, T, s) = ip (t, T, s)
n
n
= ip (t, T, s)
s−T
τ
(1.51)
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1.4 Valore Attuale e Futuro
Figura 1.9: FRA e tassi a breve.
27/09/2001 )
24
(Fonte: Il Sole 24 ORE del
dove B(t, T, s) è il prezzo in t di uno ZCB unitario che è scambiato in T ed
ha scadenza in s. Il tasso forward può essere visto come il tasso per una
o.f. spot che ha luogo nell’intervallo [T, s]. È importante sottolineare che
il prezzo B(t, T, s) non è una previsione del prezzo futuro. Si tratta di un
prezzo che è fissato oggi sulla base di contrattazioni fra le parti. I prezzi
ed i tassi forward sono contratti over–the–counter (OTC) che avvengono in
mercati informali o tramite semplici scritture private fra le parti.
Un contratto forward del mercato monetario è il Forward Rate Agreement
(FRA).
Esempio 1.12:
Una società decide di investire su un progetto a breve
periodo. Per far ciò deve effettuare un pagamento fra sei mesi con scadenza
sei mesi dopo, quindi T = 6 ed s = 12. Il tasso LIBOR spot a sei mesi è
pari al 3.58%. Il tesoriere della società prevede un aumento dei tassi e per
evitare costi ulteriori decide di acquistare un FRA6x12 al 3.35% (si veda Fig.
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1.4 Valore Attuale e Futuro
25
1.9), per un nozionale pari a 5,000,000 e. La prima cifra, espressa in mesi,
indica il numero di mesi che mancano al fixing (T = 6); la seconda cifra
indica la scadenza del contratto (s = 12).
Come funziona un FRA? Se alla data del fixing il tasso LIBOR è maggiore
del tasso fisso, indicato dalla quotazione del FRA (3.35%), allora il compratore del FRA (la società in questione) sarà rimborsata della differenza
(attualizzata) fra il tasso LIBOR ed il FRA. In caso contrario, l’acquirente
del FRA rimborserà al venditore la stessa differenza attualizzata. Si ipotizzi
che il tasso LIBOR con scadenza 6 mesi alla data del fixing sia effettivamente aumentato e quoti a 4.2%. La società in questione prenderà in prestito
al 4.2%, ma sarà liquidata della differenza fra i due tassi. Se si indica con
Λ(T, s) la somma che sarà liquidata, in conseguenza dell’aumento del tasso
LIBOR l(6, 12), si ha che,
Λ(T, s) = C
1
[l(T, s) − FRAT xs ] τ
.
n
1 + l(T, s) τ /n
(1.52)
Sostituendo nella (1.52) i valori corrispondenti, la società sarà liquidata per
il maggiore costo dovuto all’incremento dei tassi per un ammontare pari a,
Λ(T, s) = 5000000 ·
(0.042 − 0.0335) · 6
1
·
= 20,812.93 e.
12
1 + 0.042 · 6/12
Come si può notare dalla (1.52) la differenza fra il tasso FRA6x12 ed il tasso
l(6, 12) è attualizzata al tasso spot l(6, 12). Ciò è dovuto al fatto che gli interessi saranno pagati alla fine del periodo, quindi per determinare il valore
attuale da liquidare alla società è necessario attualizzare l’ammontare di interessi per un periodo pari a 6 mesi con il tasso spot per l’impiego richiesto,
l(6, 12).
Nell’esempio appena visto, il prezzo forward, B(t, T, s), è il valore attuale in
T di un euro esigibile in s, al tasso FRA fissato in t. In particolare,
¸−1
·
(s − T )
B(t, T, s) = 1 + FRA6x12
n
µ
¶−1
6
B(0, 6, 12) = 1 + 0.0335 ·
= 0.983526,
12
quindi, acquistando il FRA, in effetti si sta fissando il prezzo a termine per
ogni euro preso in prestito. In questo caso, per ogni euro di prestito da pagare
a fine periodo, la società riceve 0.983526 e. Se al fixing il tasso l(6, 12) (che
è il tasso a cui effettivamente la società prenderà in prestito) è pari al 4.2%,
c
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1.4 Valore Attuale e Futuro
26
il prezzo spot B(6, 12) è 0.9794, quindi, per ogni euro di prestito da pagare
a fine periodo, la società riceve 0.9794 e e sarà rimborsata della differenza
0.983526 − 0.9794 = 0.00413 e. Se i tassi fossero risultati inferiori al tasso
FRA, allora la società avrebbe pagato la differenza fra il prezzo a termine
ed il prezzo spot futuro. In tal caso la società non potrà usufruire del calo
dei tassi. Rimane, comunque, il vantaggio di poter pianificare in anticipo il
costo dell’operazione. Da questo esempio si evince che i tassi forward non
sono una previsione dei tassi futuri: rispecchiano soltanto le aspettative sui
tassi futuri, che possono non verificarsi.
1.4.2
Il modello lineare di sconto
Negli esempi precedenti si è utilizzato l’interesse semplice per determinare il
compenso (interesse) per le o.f. in esame. Il concetto di valore attuale e di
valore futuro è stato quindi associato all’interesse semplice. In generale, un
modello di capitalizzazione può far uso del tasso di sconto ed esistono o.f.
in cui il tasso di sconto è determinato in maniera intrinseca. In particolare,
come visto nel paragrafo 1.3, se il compenso sono gli interessi ottenuti dallo
sconto di un capitale esigibile in s, l’ammontare V (t) è il valore attuale di
V (s) in t e si ha che,
V (t) = V (s) B(t, s),
(1.53)
dove,
B(t, s) = 1 − d(t, s).
(1.54)
Se si definisce il tasso di sconto come,
d(t, s) = d (s − t),
(1.55)
e ponendo τ = s − t si ottiene il modello di sconto lineare,
B(τ ) = 1 − dτ
(1.56)
Si osservi che la (1.56) possiede le proprietà del generico fattore di sconto
B(t, s). Infatti, B(t, s) è minore di uno, quindi, V (t) < V (s); inoltre, B(τ ) è
una funzione lineare dell’ampiezza dell’intervallo τ , con coefficiente angolare
d ed intercetta in τ = 0 pari ad uno. Il valore in t, con t < s, di un capitale
V (s), disponibile in s, è dato dato,
V (t) = V (s)(1 − dτ ).
(1.57)
Dalla relazione fra fattore di sconto e fattore montante si ha che,
M (τ ) =
1
1
=
,
B(τ )
1 − dτ
(1.58)
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1.4 Valore Attuale e Futuro
27
ossia, il fattore montante nel caso si stia utilizzando il tasso di sconto. Il
modello di capitalizzazione che si ottiene applicando l’operatore in (1.58) è
noto come modello di capitalizzazione a sconto semplice:
V (t + τ ) =
V (t)
1 − dτ
(1.59)
Esempio 1.13: Nell’Esempio 1.6 la somma ricevuta dall’impresa è il valore
attuale di 1,000,000 e da ripagare dopo tre settimane, quindi dato il tasso di
sconto d = 4.5% ed applicando la (1.57), si ha che,
µ
¶
21
V (0) = 1000000 · 1 − 0.045 ·
= 997,375 e.
360
Si ipotizzi adesso che la liquidità necessaria all’impresa sia pari ad 1,000,000 e,
quindi deve essere V (0) = 1,000,000 e. A quanto deve ammontare il nominale?
In questo caso è necessario determinare il valore futuro V (t + τ ) tale che il
suo valore attuale, al tasso del 4.5%, sia pari a 1,000,000 e. Si osservi che
non è possibile utilizzare il fattore montante del modello lineare d’interesse
in quanto il tasso è quello di sconto. Per determinare V (t + τ ), noto V (t),
si deve ricorrere al fattore montante del modello lineare di sconto, quindi:
V (t + τ ) =
V (t)
1000000
=
= 1,002,631.91 e
1 − d τ /n
1 − 0.045 · 21/360
Come accennato nel paragrafo 1.3, nelle o.f. di sconto il tasso è calcolato
rispetto al capitale finale V (s), mentre, per le o.f. di interesse semplice, il
tasso è calcolato rispetto al capitale iniziale V (t). Ciò implica che tassi di
sconto e d’interesse nominalmente identici producono interessi effettivi
diversi. Di conseguenza, il valore attuale di un flusso attualizzato con d(t, s)
è senz’altro diverso da quello che si ottiene attualizzando con i(t, s).
Esempio 1.14: Una società ha due opportunità per finanziare il suo debito:
1) emettere una c.f. al tasso del 4.5% annuo da estinguere dopo un anno;
2) chiedere un prestito al tasso LIBOR con scadenza un anno al 4.5%.
Qual è l’o.f. più conveniente?
Per 100 e di capitale preso in prestito, l’ammontare di interessi pagati dall’o.f. 1) è pari a D = 100 · 0.045 = 4.5 e. Il valore attuale del nominale è
dato da,
V (0) = 100 · (1 − 0.045) = 95.5 e.
(1.60)
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1.4 Valore Attuale e Futuro
28
Nell’o.f. 2) l’ammontare di interessi è pari a I = 100 · 0.045 = 4.5 e. Il
valore futuro del nominale è dato da,
V (1) = 100 · (1 + 0.045) = 104.5 e.
(1.61)
In ambedue i casi gli interessi pagati sono identici ma il costo effettivo del
finanziamento è sostanzialmente differente. Infatti, il tasso d’interesse per le
due o.f. è, rispettivamente,
100 − 95.5
= 0.047
95.5
104.5 − 100
= 0.045,
=
100
i1 =
i2
quindi, un tasso di sconto del 4.5% annuo è equivalente ad un tasso d’interesse del 4.7% annuo.
Per confrontare tassi di sconto e d’interesse è necessario determinare il tasso
equivalente. La logica da seguire è la stessa utilizzata per i tassi espressi
su diverse basi o per tassi con diversa periodicità. In particolare, un tasso
di sconto e d’interesse sono equivalenti se producono lo stesso valore futuro
(attuale):
³
τ ´−1
τ´ ³
= 1−d
,
1+i
n
n
da cui si ricavano le formule per convertire, rispettivamente, un tasso di
sconto in tasso d’interesse e viceversa:
d
1 − d (τ /n)
i
d =
1 + i (τ /n)
i =
(1.62)
(1.63)
Esempio 1.15: Un T–Bill con scadenza fra 91 giorni è quotato a 99.2
([Act/360]). Il tasso dei BOT per un investimento a 91 giorni è pari al 3.5%
([Act/365]). Ipotizzando che il rischio dovuto alle variazioni del tasso di
cambio e/$ sia stato neutralizzato, qual è l’investimento più redditizio?
Il T-Bill è un titolo di sconto in quanto il prezzo è ottenuto deducendo dal
valore facciale gli interessi calcolati. In altri termini è come se gli interessi
fossero pagati in anticipo. Di conseguenza il tasso si calcola rapportando gli
interessi al valore finale del titolo, ossia 100. Nel caso si consideri uno ZCB
unitario, si ha che,
dT-bill (0, 91) = (1 − 0.992) ·
360
= 0.0316
91
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1.4 Valore Attuale e Futuro
29
Il rendimento dei BOT è un tasso d’interesse, quindi, per effettuare un confronto, è necessario trasformare il rendimento dei BOT nell’equivalente tasso
di sconto, o viceversa. Inoltre, il tasso sui BOT è espresso su base 365, pertanto è necessaria la conversione in una delle due basi ([Act/365] oppure
[Act/360]):
dBOT (0, 91) =
0.035
= 0.034697231.
1 + 0.035 · (91/365)
Utilizzando la formula di conversione su base 360, si ottiene che,
d360
BOT (0, 91) = dBOT (0, 91)
360
= 0.034221926.
365
Si può pertanto concludere che l’investimento in BOT è più conveniente in
quanto garantisce un tasso di sconto maggiore di quello fornito dal T-Bill di
circa 26bp. Si lascia allo studente la determinazione del tasso d’interesse che
è equivalente al tasso di sconto garantito dal T-Bill.
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1.4.3
30
Il modello esponenziale
I modelli di capitalizzazione (attualizzazione) visti nei precedenti paragrafi
permettono di determinare il valore futuro (attuale) di capitali esigibili in
epoche diverse.
La remunerazione è rappresentata dagli interessi che sono corrisposti alla
scadenza o alla stipula del contratto. Nell o.f. descritte gli interessi sono
calcolati soltanto sul capitale iniziale (interesse semplice) o sul capitale finale
(sconto semplice). Gli interessi maturati non sono utilizzati per incrementare
il capitale a disposizione.
Invero, un investitore non esaurisce le sue scelte d’investimento in un singolo periodo ed è logico pensare che, estinta una o.f., gli interessi ottenuti
non siano consumati ma reinvestiti (composti o compounded) in un’altra
o.f. In maniera analoga, una posizione debitoria potrebbe essere rinnovata
prendendo in prestito il capitale più gli interessi dovuti per l’o.f. appena
estinta.
In entrambi i casi l’o.f. finanziaria potrebbe avere caratteristiche diverse
dalla precedente in termini di modello di capitalizzazione, in termini di tasso
d’interesse e/o di intervallo di tempo.
Si ipotizzi che le due parti invece concordino di rinnovare la stessa o.f. per
m periodi ad un tasso costante i. Qual è il modello per M (t, s) con le
caratteristiche appena descritte?
Innanzitutto, le parti potrebbero convenire che gli interessi siano pagati alla
fine di ogni periodo (come nella capitalizzazione ad interesse semplice). Se il
tasso d’interesse è espresso nella stessa unità temporale dell’m–esimo periodo
(p. es.: tasso mensile e periodicità mensile), il componimento della posizione
creditoria (debitoria) produce i seguenti valori futuri:
V (t + 1) =
V (t + 2) =
V (t + 3) =
··· ···
V (t + m) =
V (t)(1 + i)
V (t)(1 + i) + V (t)(1 + i) i = V (t)(1 + i)2
V (t)(1 + i)2 + V (t)(1 + i)2 i = V (t)(1 + i)3
···
V (t)(1 + i)m−1 + V (t)(1 + i)m−1 i = V (t)(1 + i)m .
Se si pone m = s − t, si ottiene che,
V (s) = V (t)(1 + i)s−t ,
(1.64)
quindi, V (t) euro di capitale in t equivalgono a V (s) euro di capitale in
s, secondo un modello di capitalizzazione ad interessi composti con
tasso costante. Il fattore montante che, come visto nel precedente paragrafo,
c
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1.4 Valore Attuale e Futuro
31
rappresenta il prezzo o costo di una unità di capitale esigibile a scadenza, è
dato da,
M (t, s) = (1 + i)s−t ,
(1.65)
mentre, il fattore di sconto è,
B(t, s) =
1
= (1 + i)−(s−t)
(1 + i)s−t
(1.66)
Il modello di capitalizzazione composta è abbastanza intuitivo se m ∈ N.
Nel caso in cui τ = s − t ∈ R+ la (1.65) può essere interpretata come la
composizione di una infinità di o.f. di durata infinitesima. Si osservi che
M (t, s) dipende dall’ampiezza dell’intervallo di tempo [t, s], da cui,
M (τ ) = (1 + i)τ .
(1.67)
La (1.67) è una funzione esponenziale dell’intervallo di tempo τ . Come lo
studente può facilmente verificare, la derivata prima della (1.67) è sempre
maggiore di zero, quindi il fattore montante è una funzione crescente di τ ,
con intercetta M (0) = 1. Il fattore espresso dalla (1.67) possiede le proprietà
che caratterizzano un fattore montante; in particolare, il fatto che M (τ ) è una
funzione monotona crescente assicura che V (s) > V (t). La (1.67) definisce il
modello esponenziale di capitalizzazione degli interessi.
Ponendo (1 + i) = eδ la (1.67) diventa,
V (s) = V (t) eδ(s−t) .
(1.68)
Le relazioni (1.67) e (1.68) sono assolutamente equivalenti. L’unica differenza consiste in una diversa parametrizzazione. Come si vedrà in seguito, il
modello esponenziale espresso tramite la (1.68) permette di chiarire meglio
il concetto di capitalizzazione continua accennato sopra.
Un’altra parametrizzazione del modello esponenziale si ottiene ponendo
p = (1 + i)−1 = e−δ ,
dove p è noto come fattore di attualizzazione per periodi di lunghezza
unitari o fattore di sconto uniperiodale.
Sostituendo nella (1.67) si ha che,
µ ¶s−t
1
= V (t) p−(s−t) .
(1.69)
V (s) = V (t)
p
Il valore attuale sarà invece dato da,
V (t) = V (s) p s−t .
(1.70)
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1.4 Valore Attuale e Futuro
32
Esempio 1.16: Il tesoriere di una società opta per l’investimento di 1,000,000 e
in un deposito che paga il 3% annuo. A quanto ammonteranno 1,000,000 e
fra 5 anni?
Il fattore di capitalizzazione per un investimento annuale è dato da,
p−1 = 1 + 0.03 = 1.03,
che rappresenta il il valore futuro di un euro per un investimento uniperiodale.
Dato che s = 5, t = 0 e V (0) = 1,000,000 e, applicando la (1.69) si ottiene,
¡ ¢s−t
V (s) = V (t) p−1
= 1000000 · 1.035 = 1,159,274.07 e
Ricordando che (1 + i)−1 = e−δ , si ricava facilmente che δ = ln(1 + i) =
ln(1 + 0.03) = 0.0295588. Applicando la (1.68) si ottiene lo stesso risultato,
V (5) = 1000000 · e0.0295588·5 = 1,159,274.06 e.
A quanto ammonteranno 1,000,000 e se il tasso offerto è il 3% semestrale?
In questo caso gli interessi sono composti ogni sei mesi. Se si pone m = 5
e si indica con n = 2 il numero di semestri in un anno, i periodi su cui
sarà pagato l’interesse sono n · m = 10. Per ottenere il valore futuro basterà
applicare la (1.69) per s = n · m semestri, quindi:
V (10) = 1000000 · 1.0310 = 1,343,916.38 e
Il valore futuro è notevolmente più alto di quello ottenuto nel precedente esempio. Ciò è dovuto al fatto che gli interessi sono pagati con un frequenza
maggiore, amplificando l’effetto dovuto al componimento degli interessi.
Si consideri adesso il caso in cui una società ottiene un prestito per un ammontare pari a 500,000 e al 5.3% annuo, da estinguere in unica soluzione
fra 4 anni ed 8 mesi. A quanto ammonta l’esborso in interessi?
In questo caso s = 4 + 8/12 = 4.67 e p−1 = 1.053; il valore futuro (capitale
+ interessi) è dato da,
V (4.67) = 500000 · 1.053 4.67 = 636,371.17 e,
con un costo per interessi pari a I = 636371.17 − 500000 = 136,371.17 e.
Si noti che con un modello di capitalizzazione semplice il tasso i(0, 4.67) che
genera lo stesso valore futuro è pari a,
i(0, 4.67) =
636371.17 − 500000
= 0.2727.
500000
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1.4 Valore Attuale e Futuro
33
Si ipotizzi adesso che l’esborso a scadenza debba essere non superiore a 620,000 e.
Quanto capitale si può prendere in prestito?
Dato il valore finale V (4.67) = 620000, il valore attuale di 620,000 e al tasso
del 5.3% si ottiene utilizzando la (1.70), quindi,
V (0) = V (4.67) p 4.67 = 620, 000 · 0.949668 4.67 = 487,137.088 e,
dove p = (1 + 0.053)−1 = 0.949668 è il valore attuale uniperiodale.
Se è necessario prendere in prestito l’ammontare esatto di 500,000 e, mantenendo il limite di 620,000 e, il tasso d’interesse che permette questa equivalenza finanziaria si ricava facilmente considerando p l’incognita dell’equazione (1.70). Infatti, noti V (t) e V (s), si ha che,
V (t) = V (s) ps−t da cui,
¸1/(s−t)
·
V (t)
.
p =
V (s)
Ricordando che p = (1 + i)−1 si ottiene che,
i=
1
− 1.
p
Sostituendo in maniera opportuna, si ha che,
µ
¶1/4.67
500000
p =
= 0.955
620000
1
− 1 = 0.047.
i =
0.955
1.4.4
Tassi equivalenti
Nelle operazioni di capitalizzazione ed attualizzazione è necessario che il tasso
d’interesse sia espresso nella stessa unità di misura del tempo. Nell’Esempio
1.16 il tempo è riportato in modo che sia consistente con il tasso d’interesse
utilizzato.
In generale, data la frazione temporale 1/n, se si indica con in il tasso
con periodicità 1/n (semestrale, nell’esempio), la formula di capitalizzazione
diventa,
V (s) = V (t) (1 + in )n m .
(1.71)
Come per la capitalizzazione semplice, si può essere interessati a determinare
quel tasso i che è equivalente al tasso periodale in . Affinchè i sia equivalente
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1.4 Valore Attuale e Futuro
34
ad in , il valore futuro ottenuto utilizzando i ed in deve risultare identico,
quindi:
V (t) (1 + i)m = V (t) (1 + in )n m ,
da cui,
i = (1 + in )n − 1
1/n
in = (1 + i)
−1
(1.72)
(1.73)
Di solito nelle clausole contrattuali non è esplicitato il tasso periodale in .
Nella Figura 1.10 sono riportate le condizioni contrattuali di un C/C. Il
tasso a credito ed a debito sono su base annuale, mentre la capitalizzazione
degli interessi è effettuata con periodicità trimestrale. In particolare, se si
considera il tasso a debito, la dicitura riporta:“tasso a debito nominale annuo:
8.875%”.
Un tasso nominale o convertibile può essere trasformato in un tasso con
periodicità 1/n come se si trattasse di un tasso per modelli di capitalizzazione
semplice.
Quindi, se si indica con jn il tasso annuale (o con altra periodicità) si ha che,
jn = n i n
jn
.
in =
n
da cui
(1.74)
(1.75)
Dati il numero di periodi, m = s − t, e la frequenza di capitalizzazione, n, il
valore futuro si ottiene come,
¶n m
µ
jn
.
(1.76)
V (s) = V (t) 1 +
n
Il tasso i equivalente al tasso periodale convertibile jn si ottiene eguagliando
i valori futuri ottenuti capitalizzando al tasso i e in = jn /n, ovvero,
µ
¶n m
jn
m
V (t) (1 + i) = V (t) 1 +
,
n
da cui,
µ
¶n
jn
−1
i =
1+
n
h
i
jn = n (1 + i)1/n − 1 .
(1.77)
(1.78)
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1.4 Valore Attuale e Futuro
35
Figura 1.10: Condizioni contrattuali conto corrente
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1.4 Valore Attuale e Futuro
36
In ambedue i casi il tasso i determina gli interessi effettivi che si ottengono
da un tasso nominale periodale in . Se non è espressamente dichiarato come
tasso nominale o convertibile, il tasso dell’o.f. è da considerarsi un tasso
effettivo.
Esempio 1.17: Le condizioni contrattuali riportate in Figura 1.10 prevedono “un tasso a debito capitalizzato su base annua” pari al 9.1748%. Quest’ultimo è il tasso effettivo per posizioni debitorie. Come riportato nelle stesse
condizioni, la periodicità di capitalizzazione degli interessi è trimestrale. Il
tasso nominale i4 si ottiene dal tasso nominale annuo j4 = 8.875% tramite
la (1.75), i4 = 0.08875/4 = 0.0221875. Applicando la (1.77), ma anche la
(1.72), si ottiene,
¶4
µ
0.0875
− 1 = 0.091748.
i= 1+
4
Lo stesso procedimento può essere utilizzato per determinare il tasso attivo
effettivo. Si ipotizzi però che quest’ultimo sia dato, quindi i = 1.3869%.
Si osservi che i è il tasso effettivo annuo, che è ben diverso da quello
nominale o convertibile. Il tasso trimestrale i4 equivalente ad i si ottiene
applicando la (1.73),
i4 = (1 + 0.013869)1/4 − 1 = 0.0034493.
Essendo il tasso nominale annuo jn = n in si ha che jn = 4 · 0.0034493 =
0.013797, come riportato nelle condizioni contrattuali.
1.4.5
Intensità istantanea d’interesse
È interessante osservare il comportamento della (1.78) al crescere di n, la
frequenza con cui si capitalizzano gli interessi. Se si pone x = n/jn , la (1.77)
diventa,
·µ
¶x ¸jn
1
.
(1.79)
1+i=
1+
x
Nella Tabella 1.1 sono riportati n, jn /n ed il termine fra parentesi quadre
del secondo membro della (1.79). Si noti che quest’ultimo, al crescere di n,
tende la valore di 2.7182, il numero di Nepero e. Sicuramente, chi ha studiato
Matematica Generale, avrà riconosciuto il limite notevole,
·µ
¶x ¸δ
1
lim
1+
= eδ .
(1.80)
x→∞
x
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1.4 Valore Attuale e Futuro
n
1
2
3
4
5
...
596
597
598
599
600
...
∞
37
jn /n
0.03
0.015
0.01
0.0075
0.006
...
5.03356E-05
5.02513E-05
5.01672E-05
5.00835E-05
0.00005
...
δ/n
¢x
1 + x1
2.678598
2.698171
2.704814
2.708158
2.710172
...
2.718213
2.718214
2.718214
2.718214
2.718214
...
e
¡
Tabella 1.1: Tasso equivalente all’aumentare della frequenza di
capitalizzazione.
Quindi, si può concludere che, il modello esponenziale definito dalla (1.68)
rappresenta una legge di capitalizzazione dove gli interessi sono staccati nel
continuo. Il parametro δ è noto come intensità istantanea di interesse e
può essere interpretato come un tasso nominale convertibile infinite volte.
Un’importante proprietà del modello esponenziale è la scindibilità. Dati gli
intervalli [t, T ] e [T, s], con t ≤ T ≤ s, si ha che,
B(t, s) = B(t, T )B(T, s).
(1.81)
In termini finanziari la (1.81) assicura che il valore attuale di un euro esigibile
alla scadenza s è dato da due successive operazioni di attualizzazione definite
su due intervalli di tempo contigui. Il modello esponenziale è scindibile in
quanto si verifica facilmente che,
B(t, s) = (1 + i)−(s−t) = (1 + i)−(T −t) (1 + i)−(s−T ) =
= (1 + i)−T +t−s+T = (1 + i)−(s−t) .
Si lascia allo studente la dimostrazione che i modelli lineari non sono scindibili. Si osservi che la forma funzionale del modello esponenziale non garantisce
sempre scindibilità. Da un punto di vista finanziario la proprietà di scindibilità implica la conoscenza al tempo t del prezzo spot B(T, s). Ciò è possibile
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1.4 Valore Attuale e Futuro
38
solo se l’o.f. ha un tasso costante i, oppure se in t sono assegnati—adesso e
per sempre—i tassi i(t, T ) ed i(t, s). In altri termini i tassi non dipendono
da t ma soltanto dalla scadenza, quindi i(t, T ) = i(T ) ed i(t, s) = i(s).
Esempio 1.18: Il tasso su un deposito bancario è pari al 5% annuo. Si
determini il valore futuro di 1,000,000 e dopo 6 anni utilizzando le seguenti
due opzioni:
1) investimento in un’unica o.f. con inizio in t=0 e scadenza in s = 6;
2) investimento in due operazioni finanziarie, di cui, la prima, con inizio in
t = 0 e scadenza T = 4, la seconda, con inizio in T = 4 e scadenza in
s = 6.
Se si sceglie l’opzione 1), ricordando che p−1 (0, 6) = (1 + 0.05)6 , si ha che,
V (6) = V (0)p−1 (0, 6) = 1, 000, 000 · (1.05)6 = 1,340,095.64 e.
(1.82)
Scegliendo l’opzione 2), dato che i(4, 6) è noto in t, il fattore di sconto è
dato da p−1 (4, 6) = (1 + 0.05)2 . Il valore futuro unitario per l’o.f. definita
sull’intervallo [0, 4] è dato da p−1 (0, 4) = (1 + 0.05)4 .
Componendo le due o.f. definite negli intervalli contigui [0, 4] e [4, 6], il
montante che si ottiene è pari a,
V (4) = V (0) p−1 (0, 4)
V (6) = V (4) p−1 (4, 6) = V (0) p−1 (0, 4) p−1 (4, 6)
V (6) = 1, 000, 000 · (1.05)4 · (1.05)2 = 1,340,095.64 e.
Il valore futuro ottenuto è uguale a quello che è stato calcolato nel caso in
cui si scegliesse di investire in una o.f. sull’intervallo [0, 6]. Ciò è dovuto
alla proprietà di scindibilità di cui gode il modello esponenziale. Si dimostri
che utilizzando la legge lineare d’interesse le due o.f. non sono equivalenti.
Si dimostri inoltre che se sono noti (contrattualmente fissati) in t = 0 i tassi
i(0, 4) = 4% ed i(4, 6) = 7.029% le due opzioni di investimento sono ancora
equivalenti (a meno di qualche errore di approssimazione).
c
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1.5 Flussi e portafogli finanziari
1.5
39
Flussi e portafogli finanziari
Si definisce flusso finanziario (o cashflow) (f.f) un insieme di o.f., finite o
infinite, di importo V1 , V2 , . . . , Vm disponibili alle date t1 , t2 , . . . , tm . Di solito
si indica con
V̄ = {V1 , V2 , . . . , Vm }
il flusso degli importi (che possono essere positivi o negativi, a secondo che
siano entrate o uscite). Graficamente,
V1
V2
V3
V4
...
...
Vm
t1
t2
t3
t4
...
...
tm
Figura 1.11: Rappresentazione grafica di flusso finanziario.
L’insieme di date cui corrispondono gli importi del f.f. è detto scadenzario
e si indica con
t̄ = {t1 , t2 , . . . , tm }
Esempio 1.19: Una o.f. è un caso particolare di f.f. con una sola scadenza,
V̄ = {−V (t), V (s)} t̄ = {t, s}
In particolare, per un BOT si ha,
V̄ = {−0.98, 1}
t̄ = {0, 91}
Un BTP è un tipico esempio di f.f., dove,
V̄ = {−P, I, I, . . . , I + C}
t̄ = {t, t + τ, t + 2τ, . . . , t + mτ }.
Se si pone t = 0 e si sceglie τ come unità di tempo, il f.f. che caratterizza il
BTP è,
V̄ = {−P, I, I, . . . , I + C} t̄ = {0, 1, 2, . . . , m}.
1.5.1
Valore di un flusso finanziario
Il valore attuale di un importo esigibile in una data futura si ottiene applicando l’operatore B(t, s) all’importo in questione. In maniera analoga, applicando l’operatore M (t, s) è possibile spostare alla scadenza s un capitale
c
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1.5 Flussi e portafogli finanziari
V1
V2
...
t1
t2
...
40
+
s
Vk
s
+
tk
...
Vm−1
Vm
...
tm−1
tm
Figura 1.12: Valore temporale di un f.f. in tk .
disponibile in t. I modelli di equivalenza finanziaria permettono di confrontare capitali esigibili in epoche diverse. Un soggetto razionale rinuncerà a
consumare parte del suo reddito solo se il suo risparmio sarà remunerato da
un interesse. In base a tale legge comportamentale, un soggetto razionale
valuta in maniera differente capitali che sono dislocati nel tempo.
Per esempio, se Caio intende monetizzare oggi un f.f. che gli garantirà 100 e
fra un anno ed altri 100 e fra due anni, il valore monetario di tale f.f., ossia
l’ammontare di denaro che Caio dovrebbe ricevere oggi, non può essere pari
a 200 e. Infatti, la controparte, che deve rinunciare a parte del suo reddito
per acquistare il f.f. in questione, sarà disposta allo scambio solo se riceverà
una remunerazione in termini di interessi sul capitale sborsato.
Nel valutare un f.f. è innanzitutto necessario riferire gli importi, disponibili
in epoche diverse, nell’istante di valutazione. Come si può osservare dalla
Figura 1.12, dato un generico istante di tempo tk , gli importi Vj ∈ V̄ tale
che tj < tk dovranno essere “spostati in avanti” (capitalizzati in tk ), mentre
gli importi Vj ∈ V̄ tale che tj > tk dovranno essere “spostati indietro”
(attualizzati in tk ). Il valore del f.f. V̄ è dato dalla somma degli importi
Vj ∈ V̄ , riferiti all’istante tk :
V̄ (tk ) = V1 pt1 −tk + V2 pt2 −tk + . . . + Vk + Vk+1 ptk+1 −tk + . . . + Vm ptm −tk (1.83)
Si osservi che, se tj ≤ tk , l’esponente del fattore di sconto uniperiodale, p,
è minore di zero, quindi, ptj −tk è il valore futuro di un euro per il periodo
[tj , tk ]. La (1.83) può essere espressa in forma sintetica,
V̄ (tk ) =
m
X
Vj ptj −tk
(1.84)
j=1
1.5.2
Valore di un portafoglio finanziario
Si considerino N flussi finanziari, V̄1 , V̄2 , . . . , V̄N , su uno scadenzario di riferimento t̄ = {t1 , t2 , . . . , tm }, ed un insieme di pesi reali ū = {u1 , u2 , . . . , uN }.
Un portafoglio finanziario, Π̄, è composto da u1 unità del flusso V̄1 , u2 unità
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1.5 Flussi e portafogli finanziari
41
del flusso V̄2 , etc. Se il f.f. Vk non fa parte del portafoglio, ciò implica che
uk = 0.
Il valore di un portafoglio, nel generico istante di tempo tk , è dato dalla
somma dei valori temporali di ogni f.f. nell’istante di valutazione, pesati con
i rispettivi pesi, in simboli,
Π̄(tk ) = u1 V̄1 (tk ) + u2 V̄2 (tk ) + . . . + uN V̄N (tk ) =
=
N
X
ui V̄i (tk ),
(1.85)
i=1
Esempio 1.20: Sullo scadenzario t̄ = {0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3} (si è posto t0 = 0
e l’unità di misura τ è pari ad un anno) sono definiti i seguenti f.f. in milioni
di euro:
• V̄1 = {−20, 0, 5, 10, −2, 100};
• V̄2 = {15, 15, 15, 115, 0, 0};
• V̄3 = {−40, 0, 10, 0, 0, 180}.
Il tasso d’interesse è pari al 10% annuo. Si determini:
i. il valore temporale in t0 = 0 e tk = 1.7;
ii. il valore del portafoglio in t0 = 0 con u1 = 2.5, u2 = 0 ed u3 = 0.7.
Posto p = 1.10−1 = 0.91, i valori temporali in t0 = 0 e t2 = 1 sono dati da:
V̄1 (0) = −20 · 0.910.5 + 5 · 0.911.5 + 10 · 0.912 − 2 · 0.912.5 +
+100 · 0.913 = 67.08
V̄1 (1.7) = −20 · 0.910.5−1.7 + 5 · 0.911.5−1.7 + 10 · 0.912−1.7 +
−2 · 0.912.5−1.7 + 100 · 0.913−1.7 = 78.88
Si osservi che la (1.84) si modifica limitatamente all’esponente. In particolare, nel caso tk = 1.7 è sufficiente esplicitare il periodo in cui deve essere
valutato il flusso V̄1 . Si lascia allo studente di verificare che V̄2 (0) = 135.98,
V̄3 (0) = 105.77. Inoltre, V̄1 (1.7) = 78.88, V̄2 (1.7) = 159.90 e V̄3 (1.7) =
124.37. Il valore del portafoglio Π̄(0) è dato da:
Π̄(0) = u1 V̄1 (0) + u2 V̄2 (0) + u3 V̄3 (0) =
= 2.5 · 67.08 + 0 · 135.98 + 0.7 · 105.77 = 241.75
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
1.6
42
Rendite ed Ammortamenti
Le rendite e gli ammortamenti sono particolari f.f. in cui una quantità di
capitale S, detta capitale iniziale o principal, è scambiata con un flusso
di rate R̄ = {R1 , R2 , . . . , Rm }.
I mutui sono un esempio molto comune di ammortamento. Il mutuatario
riceve oggi il capitale iniziale S e lo ripaga in m rate (che possono anche
non essere costanti). Le pensioni integrative sono delle particolari rendite
dove m non può essere fissato in anticipo. In questo caso il beneficiario ha
costituito la somma S negli anni lavorativi pagando una certa rata mensile.
Quest’ultima potrebbe essere costante o, per esempio, rivalutata al tasso
d’inflazione.
La costituzione di un capitale si può anche effettuare tramite un singolo
versamento iniziale. Per esempio, ricevuta un’eredità si può acquistare una
rendita che garantisce un reddito periodale R. Un BTP è un tipico esempio
di rendita: si paga un prezzo per acquistare il diritto ad un reddito semestrale
pari alla cedola C. Dal punto di vista dell’emittente (lo Stato), il BTP è un
particolare ammortamento in cui le rate sono rappresentate dagli interessi
semestrali ed il capitale è restituito in unica soluzione alla scadenza.
La rata R può essere pagata all’inizio o alla fine dei periodi identificati dallo
scadenzario t̄ = {t0 , t1 , t2 , . . . , tm }. Nel primo caso la rendita si dice anticipata, nel secondo caso si dice posticipata. Se la rendita ha effetto dopo
h periodi si dice differita, al contrario si dice immediata. Per esempio,
un soggetto paga una somma S oggi per ricevere una rendita trimestrale fra
h = 10 anni, per m = 5 anni, in modo da poter pagare gli studi ai suoi figli.
Si consideri una rendita con importi Vj = R equidistanti fra di loro e data
iniziale t0 = 0, lo scadenzario è dato da t̄ = {0, 1, 2, . . . , m}. Il valore attuale
della rendita posticipata si ottiene applicando la (1.84), quindi,
V̄ (0) =
m
X
j
Vj p = R
j=1
m
X
p j.
j=1
Si ricorda che la somma di m termini in progressione geometrica con ragione
p e primo termine p è data da,
m
X
pj = p
j=1
1 − pm
.
1−p
(1.86)
Ricordando, inoltre, che p = (1 + i)−1 e sostituendo nella (1.86) si ottiene,
am i =
1 − (1 + i)−m
.
i
(1.87)
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
43
La (1.87) rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria posticipata e si legge “a posticipato figurato m al tasso i”. Utilizzando questa
convezione il valore attuale di una rendita con rata pari ad R è dato da,
V̄ (0) = R am i .
(1.88)
Si ipotizzi adesso che i pagamenti siano effettuati all’inizio di ogni periodo.
Il valore attuale sarà dato da,
V̄ (0) =
m
X
m
Vj p
j=1
j−1
1X j
=R
p .
p j=1
Sostituendo al posto della sommatoria l’espressione (1.86) si ottiene,
V̄ (0) = R
1 − pm
1
1 − (1 + i)−m
am i = R
=R
,
p
1−p
d
(1.89)
dove d = i/(1 + i). Il termine
äm i =
1 − (1 + i)−m
d
(1.90)
rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria anticipata e si
legge “a anticipato figurato m al tasso i”.
Nei casi in cui gli accantonamenti periodici servono a creare un capitale che
sarà utilizzato in un’epoca futura (p. es.: un fondo pensione, un’assicurazione sulla vita), è necessario determinare il valore futuro delle rate versate
periodicamente. In particolare,
V̄ (m) = R p−(m−1) + R p−(m−2) + . . . + R =
m
m
X
X
=R
p−(m−j) = R p−m
pj =
j=1
j=1
m
= R p−m p
1−p
1 − (1 + i)−m
= R (1 + i)m
,
1−p
i
da cui si ottiene,
V̄ (m) = R
(1 + i)m − 1
= R sm i ,
i
dove,
sm i =
(1 + i)m − 1
,
i
(1.91)
(1.92)
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
44
rappresenta il valore futuro di una rendita unitaria posticipata e
si legge “s posticipato figurato m al tasso i”. Si lascia allo studente la
dimostrazione che il valore futuro di una rendita anticipata è dato da,
V̄ (m) = R
(1 + i)m − 1
= R s̈m i ,
d
(1.93)
dove,
(1 + i)m − 1
,
(1.94)
d
è il valore futuro di una rendita unitaria anticipata.
Le rendite perpetue sono rendite costituite da un insieme infinito di pagamenti periodici, in simboli, m → ∞. Per esempio, la valutazione del valore
fondamentale di un titolo azionario che paga un certo dividendo periodico è assimilabile ad una rendite perpetua. Il valore attuale di una rendita
perpetua è dato da,
s̈m i =
V̄ (0) = lim R
m→∞
m
X
j=1
j
p =R
∞
X
p j.
(1.95)
j=1
La convergenza della serie geometrica è garantita dal fatto che 0 < p < 1, da
cui si ottiene che,
p
(1.96)
= R a∞ i ,
V̄ (0) = R
1−p
dove,
1
(1.97)
i
rappresenta il valore attuale di una rendita perpetua unitaria posticipata. Si può dimostrare che il valore attuale di una rendita perpetua
anticipata è dato da,
V (0) = R ä∞ i ,
(1.98)
a∞ i =
dove,
1
ä∞ i = ,
(1.99)
d
è il valore attuale di una rendita perpetua unitaria anticipata.
Le rendite differite hanno le stesse caratteristiche delle tipologie di rendite
analizzate sinora. L’unica differenza è che l’epoca in cui avviene il pagamento
della prima rata è differito di h periodi. Il valore attuale di una rendita
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
45
posticipata differita di h periodi è dato da,
V (0) = R ph+1 + R ph+2 + . . . + R ph+m =
=R
h+m
X
pj = R
j=h+1
m
X
h
= Rp
m
X
p j+h =
j=1
p j = R ph p
j=1
1 − pm
,
1−p
da cui si ottiene,
V (0) = R ph am i = R h am i ,
(1.100)
dove h am i rappresenta il valore attuale di una rendita unitaria posticipata differita di h periodi e si legge “a posticipato figurato m al tasso
i differito h”. Nel caso di rate anticipate si dimostra facilmente che,
V (0) = R ph äm i = R h äm i ,
(1.101)
h äm i
(1.102)
dove,
è il valore attuale di una rendita unitaria anticipata differita di h
periodi e si legge “a anticipato figurato m al tasso i differito h”.
I risultati finora ottenuti possono essere facilmente estesi ai casi in cui la
periodicità delle rate è diversa da quella con cui è espressa il tasso d’interesse.
In tal caso la rata R invece di essere versata alla fine del periodo è frazionata
in n parti, ed è versata alla fine dell’n–esima frazione del periodo considerato
(nel caso di rendite anticipate, il pagamento della frazione di rata si effettua
all’inizio di ogni sub–periodo). Pertanto, la rata frazionata è data da R′ =
R/n e il numero di periodi sarà pari ad m′ = n · m. È evidente che il tasso
da utilizzare deve essere riferito al nuovo periodo di frazionamento, quindi,
i′ = (1+i)1/n −1. Per determinare il valore attuale o futuro basterà applicare
le formule viste sopra con i nuovi parametri R′ , m′ ed i′ .
Un tipico esempio di costituzione di capitale sono i fondi pensione a contribuzione definita, ossia quei fondi dove il datore di lavoro versa i contributi
spettanti al lavoratore. Il valore futuro di tale fondo è costituito dalla somma dei versamenti rivalutati ad un tasso d’interesse predeterminato oppure
legato a qualche indice di mercato. Tali rendite sono anche dette rendite crescenti proprio per la loro caratteristica di accrescimento dovuta ai
versamenti periodici effettuati dall’investitore.
Una volta costituito il capitale necessario alle esigenze dell’investitore (o del
futuro pensionato), premesso che il capitale costituito frutterà a sua volta
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
46
degli interessi, è possibile determinare una sequenza periodica di prelievi tale
da azzerare il conto iniziale in un certo numero di anni. In prima approssimazione questo meccanismo è identico a quello che avviene per i pagamenti
delle pensioni3 . In tal caso il capitale costituito rappresenta il valore attuale
dei prelievi periodici che si effettueranno nel futuro ed, in esattamente m
prelievi sarà possibile azzerare il conto su cui era stata versata la somma
iniziale. Tali rendite sono anche dette rendite decrescenti in quanto definiscono il meccanismo attraverso il quale è possibile ridurre un conto che
frutta un certo tasso d’interesse.
Per esempio, nei prestiti rateali, in cui il finanziatore eroga una somma di
denaro ad un terzo per l’acquisto di un bene, il flusso di pagamenti (le rate)
da parte del debitore rappresenta per il creditore un flusso di entrate di una
rendita decrescente, dove le rate possono essere considerate alla stessa stregua
dei prelievi da un fondo, costituito dalla somma data in prestito, che sarà
azzerato in m rate.
Esempio 1.21: Il sig. Keynes intende istituire un fondo di dotazione dal
quale suo figlio possa prelevare 1000 e ogni mese per 10 anni. Il fondo prevede
che il capitale investito renda un interesse pari al 6.5% su base annuale e che
gli interessi siano capitalizzati mensilmente. Qual è l’investimento iniziale
che deve affrontare il sig. Keynes?
In questo caso non si tratta di una costituzione di capitale, ma bensı̀, della
determinazione della somma iniziale da investire affinchè il figlio del sig.
Keynes possa in 10 anni, con prelievi mensili, azzerare il fondo in cui è stato
versato il valore attuale dei prelievi futuri. Si tratta, quindi, di una rendita
decrescente con R = 1000, i = 6.5%, periodicità n = 12, m = 10 anni.
Essendo la rendita di tipo frazionato è necessario determinare m′ ed i′ , quindi,
m′ = 12 · 10 = 120
i′ = (1 + 0.065)1/12 − 1 = 0.005261694.
L’investimento iniziale che garantisce il prelievo mensile di 1000 e è dato da,
V (0) = 1000 ·
1 − (1 + 0.005261694)−120
= 88806.74929,
0.005261694
quindi, un versamento di 88,806.73 e garantirà il prelievo mensile di 1000 e
per 10 anni.
Si ipotizzi che l’inizio del prelievo da parte del figlio del sig. Keynes non
avvenga alla fine del mese successivo all’investimento iniziale, ma dopo 3
3
Una valutazione più precisa deve tenere conto della probabilità di morte del soggetto
in questione.
c
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
47
anni. In tal caso la rendita decrescente è differita di 3 anni. Il valore attuale
è dato da,
V (0) = 1000 · (1 + 0.065)−3 ·
1 − (1 + 0.005261694)−120
= 73518.58674.
0.005261694
Come era ovvio aspettarsi, l’investimento iniziale è minore in quanto il differimento dei prelievi permette al deposito iniziale di generare un ammontare
di interessi maggiore.
Si ipotizzi adesso che il sig. Keynes voglia che il figlio, oltre i prelievi mensili, alla fine del decimo anno riceva quanto rimasto nel fondo e che tale
rimanenza ammonti a 8000 e. In tal caso, il deposito iniziale consta di due
componenti: il valore attuale dei prelievi futuri ed il valore attuale della rimanenza che, alla fine del decimo anno, deve ammontare a 8000 e. Quindi,
si avrà che,
V (0) = 8000·(1+0.065)−10 +1000·
1 − (1 + 0.005261694)−120
= 93068.55757.
0.005261694
Se il sig. Keynes deposita 125,000 e, quanti anni sono necessari affinchè il
conto sia azzerato? Ed affinchè rimangano sul conto 3000 e?
In questo caso l’incognita è il numero di anni m. Ricordando che
V (0) = R
1 − (1 + i′ )−n m
i′
definisce quell’ammontare che è necessario depositare affinchè n m prelievi
azzerino il fondo di dotazione, indicando con x il numero di anni (incogniti)
e risolvendo la seguente equazione
125000 = 1000 ·
1 − (1 + 0.005261694)−12·x
,
0.005261694
si ottiene che,
x=−
)
1 log(1 − 0.005261694·125000
1000
·
= 17.024,
12 log(1 + 0.005261694)
ossia, circa 17 anni.
In maniera analoga è possibile determinare il numero di anni necessari affinché nel fondo rimangano 3000 e. Si lascia allo studente la soluzione.
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
48
Esempio 1.22: Il sig. Samuelson decide di integrare la sua pensione con
dei versamenti semestrali di 5000 e ad un tasso i = 5% annuale. Quanti versamenti deve effettuare affinché il capitale finale non sia minore di
30,000 e?
Il caso in esame è un tipico esempio di rendita crescente dove il parametro
mancante è il numero di rate necessario affinchè sia possibile costituire un
capitale maggiore od uguale a 30,000 e. In particolare, dato che il tasso
semestrale è dato da i′ = (1 + 0.05)1/2 − 1 = 0.024695077, basta imporre che,
(1 + i′ )2·x − 1
≥ 30000,
5000 ·
i′
da cui,
¤
£
log 1 + 0.024695077·30000
5000
= 2.831918547.
x≥
2 · log(1 + 0.024695077)
Si verifica facilmente che scegliendo x = 3 (quindi, m′ = 6 rate), il valore
futuro dei versamenti semestrali è pari a,
V (6) = 5000 ·
1.6.1
(1 + 0.024695077)2·3 − 1
= 31914.25614
0.024695077
Piani d’ammortamento
Un ammortamento consiste nel dilazionare un prestito su di un intervallo
di tempo. Gli ammortamenti hanno la stessa struttura di una rendita, infatti il debitore non attua altro che uno“scambio” fra il flusso di pagamenti
R̄ = {R1 , R2 , . . . , Rm }, da versare all’istituto di credito, e la somma presa in
prestito S. La somma S non è altro che il valore attuale del flusso R̄, scontato ad un tasso i, che rappresenta la remunerazione per l’istituto di credito.
Redigere un piano d’ammortamento consiste nel distinguere all’interno
delle rate Rk una quota capitale ed una quota interesse. Le motivazioni
sono di carattere prevalentemente pratico. Infatti, le quote d’interesse, a differenza delle quote capitale, rappresentano un costo per il debitore ed hanno
un diverso trattamento fiscale. In caso di contenzioso, dovuto all’insolvenza
del debitore, le quote capitale seguono una corsia preferenziale, a differenza
delle quote interessi su cui grava un giudizio di congruità.
Si denoti con Ā = {S, −R1 , −R2 , . . . , −Rm } il piano d’ammortamento del
capitale S sullo scadenzario t̄ = {0, 1, 2, . . . , m}. Il valore temporale in tk = k
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
49
è dato da,
Ak = Sp
−k
k
X
−
Rj p
−(k−j)
−
j=1
m
X
Rj p(j−k) .
(1.103)
j=k+1
Il valore del debito al tempo k è dato da Sp−k , mentre il valore del debito
estinto è dato da,
k
X
Rj p−(k−j) .
(1.104)
j=1
La differenza fra queste due quantità fornisce l’ammontare del debito residuo al tempo k:
k
X
−k
Dk = Sp −
Rj p−(k−j) ;
(1.105)
j=1
si osservi che Dk−1 è dato da,
Dk−1 = Sp−(k−1) −
k−1
X
Rj p−(k−j−1) .
(1.106)
j=1
Con semplici passaggi algebrici si ottiene che,
Dk = Sp
−k
−
k−1
X
Rj p−(k−j) − Rk =
j=1
"
= p−1 Sp−(k−1) −
k−1
X
#
Rj p−(k−j−1) − Rk .
j=1
Il termine fra parentesi quadre è uguale a Dk−1 , da cui,
Dk = (1 + i)Dk−1 − Rk = Dk−1 + iDk−1 − Rk .
Ricavando Rk dalla precedente relazione si ha che,
Rk = Dk−1 − Dk + iDk−1 .
(1.107)
La rata Rk è composta dalla differenza fra il debito residuo al tempo k − 1
e quello al tempo k—la quota capitale—e l’interesse sul debito residuo al
tempo precedente—la quota interessi—,
Ck = Dk−1 − Dk
Ik = iDk−1 .
(1.108)
(1.109)
c
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
k
0
1
2
..
.
Ck
−
C1
C2
..
.
m Cm
50
Ik
−
iD0
iD1
..
.
Rk
−
C1 + I1
C2 + I2
..
.
Dk
D0 = S
D1 = S − C1
D2 = D1 − C2
..
.
iDm−1
Cm + Im
Dm = Dm−1 − Cm = 0
Tabella 1.2: Generico piano d’ammortamento.
Si verifica facilmente che la somma delle quote capitale è proprio il capitale
preso in prestito S. Infatti,
m
X
j=1
Cj =
m
X
(Dj−1 − Dj ) =
j=1
= D0 − D1 + D1 − D2 + . . . + Dm−1 − Dm =
= D0 − Dm = S,
in quanto D0 = S e Dm = 0.
Il capitale preso in prestito S può essere restituito durante la vita del contratto secondo un piano di rimborso qualsiasi, a patto che la condizione di
chiusura elementare,
m
X
Cj
S=
j=1
venga rispettata. Gli importi delle rate, esigibili nei tempi descritti dallo
scadenzario t̄, si determinano in base alla relazione,
Rk = Ck + Ik .
(1.110)
Nella Tabella 1.2 è riportato un generico piano d’ammortamento.
I due tipi di ammortamento più diffusi sono l’italiano (o uniforme) in cui le
quote capitali sono costanti, ed il francese (o progressivo) nel quale invece
sono costanti le rate. Nell’ammortamento italiano la condizione di chiusura
elementare impone che
S
mC = S ⇒ C = .
m
Le rate Rk si determinano tramite la (1.110) e chiaramente non sono costanti.
Per quanto riguarda l’ammortamento francese, la rata costante si determina
ricordando che la condizione di chiusura iniziale impone che,
S = R am i ⇒ R =
S
am i
c
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
51
Esempio 1.23: Caio prende in prestito 250,000 e al tasso i = 7.2% annuo
da estinguere in 10 anni. Caio intende ripagare il debito con rate semestrali
costanti. Determinare la rata ed il piano di ammortamento.
Essendo le rate con periodicità semestrali, si deve trasformare il tasso annuale
in semestrale equivalente, i2 = (1 + 0.072)1/2 − 1 = 0.0354. La rata costante
è data da,
250,000
S
= 17,650 e.
=
R=
a20 i2
14.164
Il piano d’ammortamento è riportato nella Tabella 1.3.
Il preammortamento consiste nel posticipare il pagamento delle quote capitali
in un istante temporale futuro. Di solito nel periodo di preammortamento
può essere richiesto il pagamento della quota interesse. Si ipotizzi che Caio
per ammortizzare l’acquisto di un nuovo macchinario chieda un prestito di
100,000 e con un preammortamento di 3 anni. Il prestito sarà ripagato con
rate trimestrali in un arco di 3 anni. Il tasso praticato è i = 7% annuo.
Determinare il piano di ammortamento con le opzioni di preammortamento.
Nel caso in cui nel periodo di preammortamento non sia corrisposto alcun
pagamento (né interessi né quota capitale), l’operazione finanziaria può essere vista come una rendita differita con h = 3 anni. In questo caso, nel
periodo di preammortamento, il debito cresce ad un tasso pari ad i. La rata
che rende equa l’operazione è data da,
R =
S
dove,
h am i4
−3
h am i4 = (1 + 0.07)
R =
1 − (1 + 0.0171)−12
= 8.791, quindi
0.0171
100000
= 11,375.71 e.
8.791
Il piano d’ammortamento è riportato nella Tabella 1.4. Si osservi che il debito
residuo cresce fino al tempo 3 in quanto negli anni di preammortamento non
sono pagati nè interessi nè quota capitale. Nel caso in cui negli anni di
preammortamento sono pagati gli interessi sul debito residuo, è necessario
ricalcolare la rata in quanto l’operazione di finanziamento è come se fosse
differita di tre anni. In questo caso il debito rimane costante per i primi tre
anni, dopodichè, oltre agli interessi, si ripaga il capitale. La rata sarà data
c
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Ck
8806.32
9117.84
9440.37
9774.32
10120.08
10478.07
10848.73
11232.49
11629.84
12041.23
12467.18
12908.20
13364.82
13837.59
14327.09
14833.90
15358.64
15901.94
16464.46
17046.88
52
Ik
8843.58
8532.06
8209.53
7875.58
7529.82
7171.83
6801.17
6417.41
6020.07
5608.67
5182.72
4741.70
4285.08
3812.31
3322.81
2816.00
2291.26
1747.96
1185.44
603.02
Rk
Dk
250000.00
17649.90 241193.68
17649.90 232075.84
17649.90 222635.47
17649.90 212861.15
17649.90 202741.07
17649.90 192262.99
17649.90 181414.27
17649.90 170181.77
17649.90 158551.94
17649.90 146510.70
17649.90 134043.52
17649.90 121135.32
17649.90 107770.50
17649.90 93932.91
17649.90 79605.82
17649.90 64771.92
17649.90 49413.28
17649.90 33511.34
17649.90 17046.88
17649.90
0.00
Tabella 1.3: Piano d’ammortamento con rata semestrale costante.
da,
S
dove,
am i4
1 − (1 + 0.0171)−12
am i4 =
= 10.762, quindi
0.0171
100000
= 9285.97.
R =
10.762
R =
Il piano d’ammortamento prevede il pagamento degli interessi nei primi tre
anni (i · S) ed infatti il debito residuo rimane costante. Il piano d’ammortamento in questione è riportato nella Tabella 1.5.
c
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1.6 Rendite ed Ammortamenti
k
0
1
2
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
5.5
5.75
6
Ck
9285.97
9444.38
9605.48
9769.34
9935.99
10105.48
10277.87
10453.19
10631.51
10812.87
10997.32
11184.92
53
Ik
2089.74
1931.34
1770.23
1606.38
1439.72
1270.23
1097.85
922.52
744.21
562.85
378.40
190.80
Rk
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
11375.71
Dk
100000.00
107000.00
114490.00
122504.30
113218.33
103773.95
94168.47
84399.13
74463.14
64357.66
54079.80
43626.61
32995.10
22182.23
11184.92
0.00
Tabella 1.4: Piano d’ammortamento con preammortamento a pagamenti zero.
k
0
1
2
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
5.5
5.75
6
Ck
7580.12
7709.42
7840.94
7974.69
8110.73
8249.08
8389.80
8532.92
8678.48
8826.52
8977.09
9130.22
Ik
7000.00
7000.00
7000.00
1705.85
1576.55
1445.04
1311.28
1175.24
1036.89
896.17
753.05
607.49
459.45
308.88
155.75
Rk
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
9285.97
Dk
100000.00
100000.00
100000.00
100000.00
92419.88
84710.46
76869.52
68894.83
60784.11
52535.02
44145.22
35612.31
26933.83
18107.31
9130.22
0.00
Tabella 1.5: Piano d’ammortamento con preammortamento in cui
sono versate le quote interessi.
c
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Consiglio
1.7 Criteri di scelta finanziaria
1.7
54
Criteri di scelta finanziaria
La convenienza fra due tipi di investimenti, la scelta fra due forme di finanziamento, la stipula di un contratto di assicurazione, etc., sono problemi che
consistono nell’ordinare due o più f.f. secondo un senso di preferibilità. Come osservato nel paragrafo precedente, la valutazione di un f.f. deve essere
effettuata tenendo conto della remunerazione del capitale.
In letteratura esistono diversi criteri di scelta. In questo testo si illustrerà il
Valore Attuale Netto (VAN) o Net Present Value (NPV). Un criterio
comunemente utilizzato è il Tasso Interno di Rendimento (TIR) o Internal Rate of Return. In effetti tale criterio presenta delle inconsistenze
logiche che ne inficiano l’applicazione pratica. In finanza, comunque, il TIR è
un parametro fondamentale per l’analisi della redditività dei titoli a reddito
fisso.
1.7.1
Il valore attuale netto
Scelto un modello di equivalenza finanziaria, si può procedere alla valutazione di un f.f. riportando gli importi dislocati nel tempo alla data di valutazione. Il valore ottenuto è cosı̀ confrontabile, in termini monetari, con
altre opportunità di investimento (o finanziamento) riferite alla stessa data
di valutazione.
Nella pratica si indica con t0 = 0 l’istante di valutazione, quindi, il valore
del f.f. si ottiene attualizzando gli importi in t0 . Dato uno scadenzario
t̄, il f.f. C̄ è definito da una serie di importi (positivi o negativi) futuri,
{C1 , C2 , . . . , Cm }. Il f.f. C̄ è conveniente secondo il criterio del VAN se,
C0 + C̄(t0 ) > 0,
(1.111)
dove C0 rappresenta l’ammontare ricevuto o versato in t = 0 e la somma si
deve considerare in senso algebrico.
In un operazione di investimento, a fronte di un esborso iniziale C0 , si ottiene
un f.f. il cui valore in t0 è dato da C̄(t0 ). Se la somma algebrica è positiva,
secondo il criterio del VAN, sarà conveniente intraprendere l’investimento
proposto.
Nel caso in cui si debba effettuare il confronto fra due investimenti, C̄ e D̄,
risulterà più conveniente l’operazione D̄, se,
D0 + D̄(t0 ) > C0 + C̄(t0 ).
(1.112)
Si osservi che, una volta determinato il valore dei flussi nell’istante di valutazione t0 , il confronto consiste nello scegliere il flusso che ha un importo
monetario maggiore.
c
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1.7 Criteri di scelta finanziaria
55
2500
2000
VAN
1500
1000
500
0
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
-500
i
Figura 1.13: Valore attuale netto di un f.f. in funzione del tasso i.
I moderni fogli elettronici contengono funzioni che permettono di determinare
il VAN per f.f. di qualsiasi tipo. In particolare, Excel fornisce le funzioni
VAN() e VAN.X().
La maggiore obiezione all’utilizzo del VAN riguarda la soggettività nella scelta del tasso cui attualizzare gli importi futuri. Nella Figura 1.13 è riportato
il VAN in funzione del tasso i. Come si può notare a secondo del livello di i
prescelto il VAN varia sostanzialmente. A questa critica si può comunque replicare facendo notare che la scelta del tasso dipende da fattori che non sono
totalmente soggettivi. Per esempio, si potrebbe considerare un tasso per operazioni simili, oppure utilizzare la struttura dei tassi osservabile nell’istante
di valutazione.
1.7.2
Il tasso interno di rendimento
Un’operazione finanziaria è equa se il valore delle somme incassate è uguale
al valore delle somme pagate. Sia V̄ un f.f. in cui almeno uno degli importi
Vj ha segno diverso dagli altri, allora V̄ (tk ) è equa in tk se
V̄ (tk ) = 0.
Le rendite e gli ammortamenti sono per costruzione operazioni finanziarie
eque. Nel caso di una rendita perpetua la rata è determinata in modo che il
valore attuale dei pagamenti futuri sia uguale al capitale accumulato; negli
c
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Consiglio
1.7 Criteri di scelta finanziaria
56
ammortamenti la condizione di chiusura iniziale impone che,
m
X
j=1
Rj (1 + i)−j =
m
X
Cj = S.
j=1
In particolare, nell’ammortamento francese si ha che R am i = S.
Dato il generico f.f. V̄ , in cui almeno uno degli importi Vj ha segno diverso
dagli altri, il problema del Tasso Interno di Rendimento (TIR) o Internal Rate of Return (IRR) consiste nel determinare quel tasso i∗ tale che
l’o.f. sia equa. Da un punto di vista finanziario il TIR è quel tasso per cui,
Rm pm + Rm−1 pm−1 + . . . + R1 p − S = 0,
(1.113)
dove p = (1 + i∗ )−1 .
Da un punto di vista matematico, la determinazione del TIR consiste nel
risolvere l’equazione di m–esimo grado data dalla (1.113). In generale la
soluzione della (1.113) si ottiene numericamente. In commercio esistono numerosi prodotti che permettono di determinare la soluzione dell’equazione
(1.113). In particolare, su Excel sono disponibili le funzioni TIR.COST() e
TIR.X().
In alcuni testi il TIR è utilizzato per effettuare scelte fra due o più flussi
finanziari. Come visto sopra, per valutare due o più f.f. si è calcolato il
valore temporale in un istante tk e si sono ordinati i valori ottenuti nel senso
della preferibilità dell’investimento.
Una delle obiezioni all’uso del VAN è che il risultato finale dipende dal tasso
d’interesse scelto nell’attualizzazione degli importi. In effetti il TIR si sottrae
a questo inconveniente in quanto il tasso è soluzione dell’equazione del valore
del flusso.
Effettuare una scelta in base al TIR consiste nello scegliere quel f.f. con TIR
maggiore, se si tratta di un’operazione di investimento, o con il TIR minore,
se si tratta di un’operazione di finanziamento. Questo approccio però cela
un fattore che è ben più grave della scelta arbitraria del tasso: il rischio
di reinvestimento. Il TIR, infatti, assume che, nel caso di operazioni di
investimento, i flussi futuri siano reinvestiti al tasso i∗ .
Anche per il VAN si assume che gli importi futuri siano investiti al tasso i,
ma al contrario del TIR, che è determinato dalla struttura del f.f. in esame, il
tasso utilizzato dal VAN proviene da valutazioni economico-finanziario (costo
del capitale, tasso di mercato, etc.) che hanno una certa consistenza con il
mercato cui è riferito il flusso finanziario.
Un ulteriore vantaggio logico del VAN è che si potrebbero mettere a punto
delle simulazioni con proiezioni sui tassi d’interesse in modo da tenere conto
delle possibili configurazioni degli stati di natura futuri.
c
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Consiglio
1.8 Titoli a cedola fissa
57
Esempio 1.24: Si considerino i seguenti flussi: V̄1 = {−100, 20, 110, 0} e
V̄2 = {−100, 0, 0, 140}. Il TIR del flusso V̄1 si ottiene risolvendo la seguente
equazione di secondo grado,
110 · p2 + 20 · p − 100 = 0,
da cui i∗1 = 0.154. Per il flusso V̄2 si trova facilmente che,
¶1/3
µ
140
∗
− 1 = 0.119.
i2 =
100
Secondo il criterio del TIR l’opportunità di investimento V̄1 è preferibile all’opportunità V̄2 in quanto i∗1 > i∗2 . Si ipotizzi adesso che il tasso a cui è
possibile reinvestire gli importi V11 e V12 sia pari a j = 6%. Il valore futuro
di tali importi al tempo t3 = 3 sarà pari a,
20 · (1 + 0.06)2 + 110 · (1 + 0.06) = 139.072.
Quindi, nel caso in cui i proventi dell’investimento V̄1 non possano essere reinvestiti al tasso i∗1 , il valore in t3 = 3 è inferiore all’opportunità di
investimento V̄2 .
1.8
Titoli a cedola fissa
I titoli a reddito fisso (fixed income securities) sono caratterizzati dal pagamento periodico di un interesse e dalla restituzione a scadenza del capitale
investito. Nella terminologia finanziaria i titoli a reddito fisso sono anche
noti con il nome di obbligazione o coupon bearing bond (CBB). Dal
punto di vista dell’investitore, un’obbligazione è rappresentata da un f.f. di
importi che sono determinati moltiplicando il tasso cedolare (coupon rate) per il valore facciale4 (face value). Lo scambio avviene a fronte del
pagamento del prezzo, che è anch’esso espresso in percentuale del valore facciale. I titoli a cedola fissa rappresentano una forma di finanziamento per lo
Stato e le imprese. A secondo dell’affidabilità dell’emittente le obbligazioni
pagano un diverso tasso d’interesse. La differenza fra due categorie creditizie è da imputare al cosiddetto rischio di default, ossia il rischio connesso
4
Il termine valore facciale deriva dal fatto che nel passato i titoli obbligazionari erano
fisicamente stampati e indicavano su di una facciata il valore da rimborsare a scadenza
o su cui calcolare la cedola. In particolare, alcuni titoli erano provvisti di una serie di
tagliandi da “staccare” ogni volta che maturava il pagamento degli interessi periodici.
c
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1.8 Titoli a cedola fissa
58
alla probabilità che l’emittente non onori in parte o del tutto il suo debito.
Le diverse categorie sono indicate da una sigla composta da combinazioni di
lettere (maiuscole e minuscole) e numeri. Per esempio, AAA è la categoria
con minore rischio; AAa ed AA2 hanno una maggiore probabilità di default.
Seguono le categorie BBB, BB, . . ., CCC, fino a D, che indica lo stato di default. Sulla base di parametri economico–finanziari le società di rating (p.
es.: Moody’s, KPMG) o organi internazionali (p.es.: l’FMI) attribuiscono il
cosiddetto rating score. Nella Figura 1.14 è riportata la lista dei ratings
di alcuni paesi. Il debito italiano è classificato Aa2, migliore di quello greco
(A2), ma peggiore di quasi tutti gli altri paesi EU (Aaa). Si noti che il rating
dell’Argentina è Ca, mentre nel 2001 era Caa1; il declassamento è dovuto al
mancato pagamento del debito contratto.
Si osservi che in data 5/10/2001 (fonte: Il Sole24Ore del 5/10/2001) il rendimento di un’obbligazione con scadenza 2010 emessa dall’Argentina era pari
al 16.46%; nello stesso giorno il rendimento di un BTP con la stessa scadenza era pari al 4.95%. La differenza è dovuta alla diversa rischiosità dei
due paesi. L’investitore che acquista titoli argentini richiede una maggiore
remunerazione dovuta al cosiddetto rischio paese.
1.8.1
Il rendimento a scadenza
Come visto nel paragrafo 1.4, la remunerazione per l’investimento in titoli a
cedola nulla deriva unicamente dal guadagno in conto capitale (si compra,
per esempio, a 98 e si ottiene 100 a scadenza). Per questo motivo durante la
sua vita il prezzo di uno ZCB sarà sempre minore di 100.
Il rendimento di un BOT sintetizza la remunerazione, su base annua, per
questo tipo di investimenti. Nell’Esempio 1.9 tale rendimento è stato calcolato utilizzando il modello d’interesse lineare. Nulla vieta, comunque, di
utilizzare il modello esponenziale.
L’operazione finanziaria che caratterizza uno ZCB unitario è rappresentata dal f.f. V̄ = {−B(t, s), 1} sullo scadenzario t̄ = {t, s}. L’operazione
finanziaria V̄ è equa per costruzione, infatti,
B(t, s) = [1 + i(t, s)]−(s−t) ,
(1.114)
ed il tasso i(t, s) si ottiene come soluzione della (1.114). Il tasso i(t, s), oltre
a misurare la redditività del titolo, è anche il tasso che rende equa V̄ ,
¸1/(s−t)
·
1
− 1.
(1.115)
i(t, s) =
B(t, s)
Il tasso i(t, s) è il rendimento che si ottiene mantenendo il titolo fino a scac
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1.8 Titoli a cedola fissa
59
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August 9, 2002
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Cayman Islands - Offshore Banks[2]
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Costa Rica
Croatia
Cuba
Cyprus
Czech Republic
Denmark
Dominican Republic
Ecuador
Egypt
El Salvador
Estonia
Eurozone
Fiji Islands
Finland
France
Germany
Gibraltar
Greece
Guatemala
Guernsey (Channel Islands)
Hong Kong
Honduras
Hungary
Iceland
India
Indonesia
Ireland
Isle of Man
Israel
Italy
Jersey (Channel Islands)
Jamaica
Japan
Jordan
—
—
Ca
Aa2
Aaa
A3
—
Ba1[5]
—
Baa2
Aa1
Ba2
Aa1
B1
A2[5]
B1
B1
Aaa
Aa3
—
Baa1
A3
Ba2
Ba1
Baa3
Caa1[5]
A2
Baa1
Aaa
Ba2
Caa2
Ba1
Baa3[5]
Baa1[5]
—
Ba2[5]
Aaa
Aaa
Aaa
—
A2
Ba2
—
A3[5]
B2[5]
A3
Aa3
Ba2[5]
B3[5]
Aaa
Aaa
A2
Aa2
—
Ba3
Aa1
Ba3
Domestic
Currency
Long
Term
—
—
Ca
Aaa
Aaa
A1
—
Baa3[5]
—
A3
Aa1
Ba1
Aaa[5]
B1[5]
A1[5]
B1
B1
Aaa
—
—
A1
—
Baa2
Ba1
Baa1
—
A2
A1
Aaa
Ba2[5]
Caa1
Baa1
Baa2
A1[5]
—
Ba2
Aaa
Aaa
Aaa
—
A2
Ba1
—
Aa3[5]
B2
A1
Aaa
Ba2
B3
Aaa
—
A2
Aa2
—
Baa3
A2
Ba3
Country Ceilings for Foreign Currency
Bonds
and Notes
Bank
Deposits
Long
Term
Short[1]
Term
Long
Term
Short[1]
Term
Aaa
[4]
Ca
Aa2
[4]
A3
Aaa
Ba1
A3
Baa2
[4]
Ba2
Aa1
B1
A2
B1
B1
Aaa
Aa3
Aaa
Baa1
A3
Ba2
Ba1
Baa3
Caa1
A2
Baa1
Aaa
Ba2
Caa2
Ba1
Baa3
Baa1
Aaa
Ba2
[4]
[4]
[4]
Aaa
[4]
Ba2
Aaa
A3
B2
A3
Aa3
Ba2
B3
[4]
Aaa
A2
[4]
Aaa
Ba3
Aa1
Ba3
P-1
[4]
NP
P-1
[4]
P-2
P-1
NP
P-2
P-2
[4]
NP
P-1
NP
P-1
NP
NP
P-1
P-1
P-1
P-2
P-2
—
NP
P-3
NP
P-1
P-2
P-1
NP
NP
NP
P-3
P-2
P-1
NP
[4]
[4]
[4]
P-1
[4]
NP
P-1
P-1
NP
P-2
P-1
NP
NP
[4]
P-1
P-1
[4]
P-1
NP
P-1
NP
Aaa
[4]
Ca
Aa2
[4]
A3
Aaa
Ba2
A3
Baa2
[4]
Ba3
Aa1
B2
A2
B2
B2
Aaa
Aa3
Aaa
Baa1
Baa1
Ba3
Ba2
Ba1
Caa2
A2
Baa1
Aaa
Ba3
Caa3
Ba2
Baa3
Baa1
Aaa
Ba3
[4]
[4]
[4]
Aaa
[4]
Ba3
Aaa
A3
B3
A3
Aa3
Ba3
Caa1
[4]
Aaa
A2
[4]
Aaa
B1
Aa1
B1
P-1
[4]
NP
P-1
[4]
P-2
P-1
NP
P-2
P-2
[4]
NP
P-1
NP
P-1
NP
NP
P-1
P-1
P-1
P-2
P-2
NP
NP
NP
NP
P-1
P-2
P-1
NP
NP
NP
P-3
P-2
P-1
NP
[4]
[4]
[4]
P-1
[4]
NP
P-1
P-1
NP
P-2
P-1
NP
NP
[4]
P-1
P-1
[4]
P-1
NP
P-1
NP
•1•
Figura 1.14: Ratings del debito di alcuni paesi (fonte: Moody’s – 9
agosto 2002).
c
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Consiglio
1.8 Titoli a cedola fissa
60
−P
cV
cV
cV
...
...
(1 + c) V
t
t1
t2
t3
...
...
tm
Figura 1.15: Rappresentazione grafica del flusso finanziario che caratterizza un BTP ed, in generale, un titolo a reddito
fisso. In questo caso c è la cedola espressa in unità di
valore facciale; V è il valore facciale.
denza. Tale rendimento è anche noto come rendimento a scadenza o
yield–to–maturity.
Per i titoli a cedola fissa il guadagno dell’investitore deriva dalle cedole future e da eventuali capital gain. Per esempio, in data 05/10/2001, i titoli
argentini con scadenza 2010 pagavano una cedola pari all’8.5% annuo, mentre il BTP con stessa scadenza pagava una cedola del 5.50%. Il prezzo dei
due titoli era rispettivamente, 64 e 104.4. In questo caso chi acquista il BTP
subirà addirittura una perdita in conto capitale: si paga 104.4 per ottenere 100 a scadenza. In effetti tale perdita sarà compensata dall’incasso delle
cedole rimanenti, producendo un rendimento a scadenza sicuramente positivo (in caso contrario nessuno acquisterebbe il titolo). Al contrario, il titolo
argentino quota abbondantemente sotto il prezzo di rimborso. Ciò è dovuto
al fatto che gli investitori non considerano sufficiente come remunerazione le
cedole che riceveranno nel futuro, ed accetteranno di comprare il titolo solo
se otterranno un consistente capital gain.
È possibile sintetizzare in unico parametro la redditività di un titolo a cedola
fissa?
Come accennato nel paragrafo 1.5, un BTP (lo stesso vale per qualsiasi obbligazione) può essere modellato come un f.f. dove a fronte del pagamento
del prezzo di ottiene un flusso di pagamenti futuri (si veda Figura 1.15). Lo
scambio sarà equo se il prezzo pagato in t è uguale al valore attuale del flusso
di cedole, più il valore attuale del nominale esigibile a scadenza. Il tasso che
permette questa uguaglianza è, per definizione, il TIR,
P =
m
X
V c (1 + i∗ )−(tj −t) + V (1 + i∗ )−(tm −t) =
j=1
=V
"
m
X
(1 + i∗ )−(tj −t) + (1 + i∗ )−(tm −t)
c
j=1
#
(1.116)
Ricordando le proprietà del TIR, per i titoli a reddito fisso lo YTM determina
c
Copyright °Andrea
Consiglio
1.8 Titoli a cedola fissa
61
il rendimento che si realizzerà se si manterrà il titolo fino a scadenza e—
fattore non trascurabile—se si rinvestiranno le cedole staccate allo stesso
tasso dello YTM. Data la volatilità dei tassi d’interesse è evidente che questa
possibilità è molto remota. Comunque, lo YTM rimane una misura efficace
per valutare “ad occhio” le performance di una obbligazione.
In generale, la 1.116 si può risolvere tramite metodi numerici. L’unico caso
in cui esiste una soluzione analitica si verifica quando il titolo obbligazionario
quota alla pari, ossia quando il prezzo è uguale al valore di rimborso. Se si
considera un bond con valore facciale pari ad uno (si è posto t = 0), si ha
che,
m
X
pj + pm
1=c
j=1
1 − (1 + i∗ )−m
+ (1 + i∗ )−m
i∗
1 − (1 + i∗ )−m
1 − (1 + i∗ )−m = c
i∗
c
(1.117)
1 = ∗,
i
da cui si ricava che, i∗ = c.
Di solito le obbligazioni si emettono alla pari. Si ipotizzi che esista un tasso di
riferimento del mercato obbligazionario, iM (questo concetto sarà approfondito con maggiore cura nei prossimi paragrafi). Il prezzo del titolo a cedola
fissa sarà determinato dalla valore attuale dei flussi futuri, attualizzati al
tasso iM (iM è infatti il tasso praticato dal mercato, nessun altro agente razionale praticherebbe un tasso diverso). Per costruzione il TIR di tale f.f.
sarà pari al tasso di mercato, quindi, iM = i∗ . Come dimostrato, affinchè il
bond sia emesso alla pari deve essere c = i∗ e pertanto, c = iM .
Nei successivi periodi probabilmente si modificheranno le condizioni del mercato e di conseguenza il tasso iM . Il nuovo prezzo del titolo sarà dato dal
valore attuale delle cedole future scontate al nuovo tasso di mercato, i′M . Se
i′M > iM , allora il prezzo del titolo sarà quotato sotto la pari; se invece
i′M < iM , il prezzo del titolo sarà quotato sopra la pari. In altri termini, il
tasso cedolare rispecchia il tasso medio di mercato ai tempi in cui fu emesso
il titolo.
Nel caso in cui si sia verificata una discesa dei tassi, titoli con cedole relativamente alte saranno più appetibili; il prezzo del titolo aumenterà fintantochè
lo YTM si allineerà con il livello medio del tasso di mercato. Si osservi
come i BTP con cedole del 9–10% quotino abbondantemente sopra la pari
(120–140). Tali titoli sono stati emessi 10–15 anni fa nel periodo di maggiore
indebitamento e conseguente alta inflazione dello Stato Italiano.
1=c
c
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Consiglio
1.8 Titoli a cedola fissa
62
In Excel la funzione REND() permette di determinare il rendimento a scadenza
in un qualsiasi istante di tempo.
Esempio 1.25: Il 04/10/2001 (valuta 09/10/01) il BTP con codice ISIN
IT001444378, cedola C = 6% annuale, scadenza tm = 01/05/2031, è quotato
a 104.480. Utilizzando la funzione Excel REND(), il rendimento a scadenza è
dato da
REND(09/10/01;01/05/2031;0.06;104.48;100;2,1)=5.68%
Il rendimento netto si determina detraendo dalla cedola l’aliquota del 12.5%,
c′ = c(1 − 0.125), ed al valore di rimborso finale l’imposta sostitutiva riportata nella colonna imposta sostit.. Quest’ultima è calcolata sul disaggio di
emissione. L’equazione del TIR diventa,
P = c′ (1 + i∗ )−1 + c′ (1 + i∗ )−2 + . . . + c′ (1 + i∗ )−m + (1 − imp)(1 + i∗ )−m .
Come rappresentato in Figura 1.15 lo schema contrattuale di un BTP è quello
di un f.f. con importi pari a c V . Se si indica con iM il tasso di mercato cui
scontare i pagamenti alle date future, il prezzo del BTP coincide con il valore
del f.f.,
#
" m
X
(1 + iM )−(ti −t) + (1 + iM )−(tm −t) V =
P = V̄ (t) = c
i=1
= B̄(t, tm )V
Per un euro di valore facciale il prezzo del titolo a cedola fissa è esattamente
B̄(t, tm ). In effetti, per rendere completa la simbologia, sarebbe necessario esplicitare il coupon pagato periodicamente, quindi si dovrebbe scrivere
B̄ c (t, tm ). Comunque, per non appesantire la simbologia si ometterà il parametro c. La distinzione fra il prezzo di uno ZCB unitario ed un CBB unitario
sarà evidenziata da una barra sopra la lettera. Se si pone s = tm , il prezzo di un CBB unitario sarà indicato con B̄(t, s), mentre quello di uno ZCB
unitario da B(t, s).
Come visto, per i titoli obbligazionari il rendimento a scadenza è dato dal TIR
che rende equa l’operazione finanziaria corrispondente. Per un CBB unitario,
il cui prezzo è dato da B̄(t, s), il rendimento a scadenza si indicherà con
y(t, s). Si osservi la diversa natura del tasso i(t, s) rispetto ad y(t, s): mentre
il primo è originato soltanto dai guadagni di capitale, il secondo contiene
anche il reddito prodotto dalle cedole. Si osservi inoltre che i(t, s) = y(t, s)
soltanto per gli ZCB.
c
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Consiglio
1.9 Titoli indicizzati
1.9
63
Titoli indicizzati
I titoli indicizzati sono caratterizzati da un flusso di importi aleatorio che
non è noto alla stipula del contratto e lo diverrà soltanto in istanti di tempo
prestabiliti nel futuro.
Il meccanismo di indicizzazione, ossia la regola che determina l’entità dell’importo, è stabilito da norme contrattuali. In questo testo sarà trattata la
regola di indicizzazione puntuale e sincrona. L’indicizzazione è puntuale
se il tasso variabile di rivalutazione è riferito ad una sola data, è sincrona se il pagamento dell’importo indicizzato avviene alla fine del periodo di
riferimento dell’indicizzazione.
I principali esempi di contratti indicizzati a tassi di interesse sono i titoli a
tasso variabile (floating rate notes), in breve FRN, ed i mutui indicizzati. I titoli del debito italiano a tasso variabile sono noti come Certificati
di Credito del Tesoro (CCT). Un classe di titoli indicizzati che in questi
anni ha assunto un ruolo rilevante per la gestione dei portafogli obbligazionari
sono gli interest rate swap (IRS).
1.9.1
Titoli a cedola nulla indicizzati
Il titolo indicizzato con la struttura più semplice è il titolo a cedola nulla
indicizzato. Per coerenza di scrittura si utilizzerà l’acronimo dello ZCB
premettendo una F (per floating) per indicare che si tratta di un titolo
indicizzato, in breve FZCB.
Si considerino tre istanti di tempo, t < T < s, e si ipotizzi che in t sia
stato stipulato un contratto a tasso variabile che pagherà l’importo aleatorio
V(s) alla scadenza s, sulla base del tasso i(T, s). Quindi, V(s) non è noto
al momento della stipula in quanto dipende da un tasso aleatorio che sarà
noto soltanto in T . Si presti attenzione al fatto che l’operazione appena
descritta non è un’operazione forward. Quest’ultima infatti prevede che in
t sia già noto il prezzo del titolo che sarà scambiato in T . In un FZCB, T
è l’istante in cui si effettua la rilevazione del tasso (o del prezzo del ZCB)
cui sarà calcolato l’importo da pagare in s. L’investitore pagherà quindi un
ammontare certo V (t) per ricevere un importo aleatorio V(s), il cui importo
dipenderà dal prezzo del ZCB rilevato in T per l’intervallo [T, s]. Nella Figura
1.16 è rappresentato il flusso generato da un FZCB.
Si osservi che una volta noto il tasso d’interesse i(T, s), per ogni euro di
capitale investito in T , si otterrà in s un importo maggiore di uno, quindi,
V(s) = 1 + i(T, s) = M (T, s) =
1
,
B(T, s)
(1.118)
c
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Consiglio
1.9 Titoli indicizzati
64
−V (t)
t
V(s)
T
s
Figura 1.16: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria
spot per un titolo a cedola nulla indicizzato.
−V (t)
t
1
T
s
Figura 1.17: Flusso di cassa equivalente al flusso di cassa di un
FZCB.
quindi, qualunque sia il tasso che si verificherà in T , si avrà che, V (T ) =
B(T, s) V(s) = 1.
Il valore in t di V (T ) euro esigibili in T è dato da,
V (t) = B(t, T )V (T ),
(1.119)
da cui, ricordando che V (T ) = 1, si ha che,
V (t) = B(t, T ).
(1.120)
Pertanto, il prezzo di un FZCB è pari al prezzo di un ZCB sull’intervallo
[t, T ]. Da un punto di vista grafico, il flusso di un FZCB sull’intervallo [t, s]
equivale a quello di un ZCB sull’intervallo [t, T ].
L’interesse corrisposto a scadenza da un FZCB è dato da,
C(s) = V(s) − 1 = i(T, s),
graficamente, il flusso di cassa è rappresentato nella Figura 1.18.
−c(t)
t
C(s)
T
s
Figura 1.18: Flusso di cassa di una cedola unitaria indicizzata.
c
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1.9 Titoli indicizzati
65
Il valore in T della cedola corrisposta in s è noto in T , in quanto il FZCB è
indicizzato al tasso registrato in T , quindi,
c(T ) = i(T, s) B(T, s) =
= [M (T, s) − 1] B(T, s) =
= 1 − B(T, s).
(1.121)
Il valore in t sarà dato da,
c(t) = [1 − B(T, s)] B(t, T ) =
= B(t, T ) − B(t, T )B(T, s) =
= B(t, T ) − B(t, s).
(1.122)
Come si può notare la cedola unitaria di un FZCB è equivalente al flusso
di cassa di due importi unitari di segno opposto il cui valore attuale è dato
dalla (1.122). Graficamente,
−c(t)
1
−1
t
T
s
Figura 1.19: Flusso di cassa equivalente ad una cedola unitaria
indicizzata.
Si osservi, comunque, che la (1.122) è stata derivata ipotizzando che il modello d’interesse sia scindibile, e quindi, B(t, s) = B(t, T )B(T, s). Come visto,
la proprietà di scindibilità è praticamente impossibile si verifichi nei mercati finanziari. In seguito, sarà possibile dimostrare che la (1.122) è valida
nell’ipotesi più generale di assenza di arbitraggio.
Di solito le cedole di un titolo indicizzato sono maggiorate da uno spread θ.
Il valore della cedola è quindi,
C(s) = V(s) − 1 + θ = i(T, s) + θ
Si lascia allo studente di dimostrare che il valore attuale della cedola maggiorata dallo spread θ è dato da,
c(t) = B(t, T ) − B(t, s) + θB(t, s) = B(t, T ) + (θ − 1)B(t, s).
(1.123)
Esempio 1.26: Si consideri un FZCB con scadenza fra un anno e valore
facciale pari ad V = 1,000,000 e, indicizzato al tasso dei BOT semestrale
c
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Consiglio
1.9 Titoli indicizzati
66
che si realizzerà fra sei mesi. Se si pone t = 0, si ha che T = 0.5 ed s = 1.
Se in T il tasso del BOT con scadenza fra sei mesi è pari a i(0.5, 1) = 4%,
l’investitore riceverà in s, per ogni unità di valore facciale, un ammontare
pari a M (0.5, 1) = (1 + 0.04)0.5 = 1.019803903, per un totale pari a 1000000 ·
1.019803903 = 1,019,803.90 e. La cedola, per unità di valore facciale, è pari
a C(1) = 1.98%, per un totale di 1000000 · 0.01980 = 19,803.90 e.
Quanto vale il FZCB in t = 0? Ovvero, quanto pagherà un investitore per
acquistare V = 1,000,000 e di valore facciale del titolo?
Se in t = 0 il rendimento di un BOT a sei mesi è i(0, 0.5) = 4.5%, per
ogni euro di valore facciale, l’investitore pagherà B(t, T ) = (1 + 0.045)−0.5 =
0.978231976, per un totale di 1000000·0.978231976 = 978,231.98 e. Il valore
della cedola in t = 0 sarà,
c(0) = 0.978231976 − 0.952380952 = 0.025851024,
dove i(0, 1) = 5% e B(0, 1) = (1 + 0.05)−1 = 0.952380952.
Si lascia allo studente di determinare il valore della cedola per l’ammontare
di valore facciale specificato e nel caso in cui il tasso sia stato maggiorato di
uno spread θ = 0.30% (o 30 bp).
1.9.2
Titoli a tasso variabile
I titoli a tasso variabile o floating rate notes (FRN) rappresentano la classe
più comune di titoli indicizzati in commercio. Lo schema di riferimento
è simile a quello dei CCB con l’unica differenza che la cedola corrisposta
periodicamente è indicizzata ad un tasso a breve (di solito viene aggiunto
anche uno spread). In Italia i FRN emessi dal Tesoro prendono il nome di
Certificati di Credito del Tesoro (CCT).
Si indichi con t l’istante di valutazione, con t0 la data di emissione del FRN e
con tk , per k = 1, 2, . . . , m, le date in cui saranno pagati gli importi aleatori.
I CCT di ultima generazione hanno un meccanismo di indicizzazione di tipo
puntuale. In particolare, la cedola futura è collegata al tasso dei BOT a sei
mesi dell’ultima asta. Se, per esempio, il CCT paga le cedole semestralmente
il 01/08 ed il 01/02, la cedola del semestre 01/08–31/01 (pagata il 01/02)
si determina in base al rendimento del BOT a sei mesi rilevato nell’asta di
fine luglio. La cedola relativa al semestre 01/02–31/07 (pagata il 01/08) è
determinata dal rendimento dei BOT a sei mesi dell’asta di fine gennaio.
All’emissione sarà nota la cedola che sarà pagata in t1 . In t1 sarà nota la
cedola pagata in t2 , e cosı̀ via. Graficamente, lo schema di un CCT è riportato
nella Figura 1.20.
c
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Consiglio
1.9 Titoli indicizzati
67
−V̄ (t)
t
C(t1 ) V
C(t2 ) V
...
...
[1 + C(tm )] V
t1
t2
...
...
tm
t0
Figura 1.20: Rappresentazione grafica dello schema di pagamento di
un CCT.
−V̄ (t)
V
−V
V
t
t0
t1
−V
V
...
...
...
...
−V
V
t2
...
...
tm
Figura 1.21: Flusso di cassa equivalente ad una CCT. Gli importi
opposti si cancellano e rimane soltanto l’importo in t0 .
Prima di procedere alla valutazione del CCT, si osservi che il valore in t della
generica cedola esigibile in tk è dato da,
c(t) = C(tk )B(t, tk ) =
= [V(tk ) − 1] B(t, tk ) =
= V(tk )B(t, tk−1 )B(tk−1 , tk ) − B(t, tk ) =
= B(t, tk−1 ) − B(t, tk ),
(1.124)
dove con B(t, tk ) si è indicato il valore attuale di un euro esigibile in tk , ossia
il prezzo di uno ZCB unitario con scadenza tk .
Come per i BTP, il valore del CCT è dato da,
V̄ (t) =
m
X
V C(tj )B(t, tj ) + V B(t, tm ) =
j=1
=V
m
X
[B(t, tj−1 ) − B(t, tj )] + V B(t, tm ) =
j=1
= V [B(t, t0 ) − B(t, tm )] + V B(t, tm ) =
= V B(t, t0 ).
(1.125)
Quindi, un FRN valutato prima dell’emissione (t < t0 ) è equivalente al prezzo
di uno ZCB con scadenza in t0 e valore facciale pari a V . Nella Figura 1.21
è mostrato il meccanismo di cancellazione che conduce alla 1.125.
c
Copyright °Andrea
Consiglio
1.9 Titoli indicizzati
68
Nel caso in cui t0 < t < t1 , l’importo della prima cedola è noto, quindi
C(t1 ) = c1 . Il valore del CCT sarà dato da,
V̄ (t) = c1 V B(t, t1 ) +
m
X
V C(tj )B(t, tj ) + V B(t, tm ) =
j=2
= c1 V B(t, t1 ) + V [B(t, t1 ) − B(t, tm )] + V B(t, tm ) =
= V B(t, t1 )(1 + c1 ).
(1.126)
Il valore di un CCT dopo l’emissione, e prima della scadenza della prima
cedola (t0 < t < t1 ), equivale al valore di uno ZCB con valore facciale pari a
V (1 + c1 ).
Nel caso in cui t = t0 , per il meccanismo di indicizzazione, il tasso cedolare
è pari a c1 = i(t0 , t1 ). Il valore del CCT sarà dato da,
V̄ (t) = V B(t0 , t1 )(1 + c1 ) = V B(t0 , t1 ) [(1 + i(t0 , t1 )] =
= V B(t0 , t1 )M (t0 , t1 ) = V.
Quindi, il CCT all’emissione quota alla pari. Questa è un importante proprietà dei CCT ed in generale dei FRN. In qualsiasi istante prima della
scadenza il valore di un FRN è dato da uno dei tre casi appena esposti.
Come si può notare il valore del CCT dipende soltanto dal valore facciale del
titolo e, nel caso in cui tk−1 < t < tk , dalla cedola in corso. Nel caso in cui
t = tk , il FRN, e quindi il CCT, quoterà sempre alla pari.
Il motivo di tale comportamento è legato al fatto che il reddito corrisposto
dipende dai tassi che si verificheranno nel futuro. In altri termini, il CCT
non è soggetto al rischio connesso alle variazioni del tasso di mercato. Per
i BTP, essendo la cedola fissa, un incremento del tasso di mercato riduce il
valore attuale delle cedole future, quindi il BTP quoterà sotto la pari per
recuperare la perdita di valore delle cedole. Il CCT è insensibile a queste
fluttuazioni in quanto la cedola si adeguerà al movimento dei tassi.
Se le cedole del CCT sono maggiorate di uno spread, nell’istante in cui la
cedola è staccata il titolo non sarà perfettamente quotato alla pari. Ciò è
dovuto alla maggiorazione θ che ha le stesse caratteristiche di una cedola
fissa.
In questo caso, il valore attuale del FRN, nei diversi istanti di valutazione, è
dato da:
c
Copyright °Andrea
Consiglio
1.9 Titoli indicizzati
69

m
X



B(t, tj )
V
B(t,
t
)
+
V
θ
0




j=1



m

X
B(t, tj )
V̄ (t) = V + V θ


j=k+1



m

X



B(t, tj )

 V B(t, tk ) (1 + ck + θ) + V θ
se t < t0
se t = tk
se tk−1 < t < tk .
j=k+1
(1.127)
Esempio 1.27: In data 09/10/01 la cedola in corso del CCT IT000367356
è pari a c = 2.50%. Tale cedola sarà pagata il 01/04/02, quindi se si pone
t = 0, si ha che tk − t = 174 giorni. Si ipotizzi che per operazioni su
intervalli di ampiezza tk − t il tasso praticato sia i(t, tk ) = 3.37% su base
annua. Determinare il prezzo del CCT.
In questo caso B(t, tk ) = (1 + 0.0337)−174/365 = 0.984369. Il prezzo del CCT,
per ogni unità di valore facciale, è dato da,
V̄ (0) = 0.984369 · (1 + 0.025) = 1.008978
1.9.3
Mutui indicizzati
I mutui a tasso variabile (MTV) sono caratterizzati da rate in cui la quota
interesse è indicizzata ad un tasso di riferimento (di solito l’EURIBOR). Dato
il debito residuo Dk−1 , ed il tasso di riferimento l(tk−1 , tk−1 + τ ), la quota
interesse riferita al k-esimo periodo sarà nota in k − 1 e sarà data da,
Ik = C(tk )Dk−1 = l(tk−1 , tk−1 + τ )Dk−1 .
Dato lo scadenzario t̄ = {t0 , t1 , . . . , tm }, in ogni istante tk , tale che k =
1, 2, . . . , m, è previsto il pagamento di una rata Rk composta da una quota capitale Ck , nota alla stipula del contratto, ed una quota interesse Ik ,
aleatoria fino a tk−1 ,
Rk = Ck + Ik .
In pratica in un MTV è conveniente P
determinare il flusso di quote capitali
(anche costanti) con la condizione che m
j=1 Cj = S, e ricordando che D0 = S
e Dk = Dk−1 − Ck sarà noto anche il flusso dei debiti residui. A tali importi
c
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1.9 Titoli indicizzati
70
S
−R(t1 )
−R(t2 )
−R(t3 )
...
...
−R(tm )
t0
t1
t2
t3
...
...
tm
Figura 1.22: Rappresentazione grafica dello schema di ammortamento di un mutuo a tasso variabile.
si applicherà il tasso l(tk−1 , tk−1 + τ ) (noto in tk−1 ) per determinare la quota
interesse Ik .
Come si evince dalla Figura 1.22, un MTV ha la stessa struttura di un FRN
in cui le rate Rk sono assimilabili alle cedole aleatorie del FRN.
Si ipotizzi il caso in cui l’istante di valutazione preceda la stipula del contratto, t < t0 . Il valore dell’MTV è dato da,
Ā(t) =
=
=
m
X
j=1
m
X
j=1
m
X
R(tj )B(t, tj ) =
[Cj B(t, tj ) + C(tj )Dj−1 B(t, tj )] =
{Cj B(t, tj ) + Dj−1 [B(t, tj−1 ) − B(t, tj )]} ,
j=1
dove B(t, tj ) è il valore attuale di un euro esigibile in tj .
Sviluppando la sommatoria si ha che,
Ā(t) = C1 B(t, t1 ) + D0 B(t, t0 ) − D0 B(t, t1 )+
+ C2 B(t, t2 ) + D1 B(t, t1 ) − D1 B(t, t2 )+
+ ...+
+ Cm B(t, tm ) + Dm−1 B(t, tm−1 ) − Dm−1 B(t, tm ).
Raccogliendo insieme i termini con lo stesso fattore di sconto si ottiene,
Ā(t) = D0 B(t, t0 )+
+ [C1 − (D0 − D1 )] B(t, t1 )+
+ [C2 − (D1 − D2 )] B(t, t2 )+
+ ...+
+ [Cm−1 − (Dm−2 − Dm−1 )] B(t, tm−1 )
+ (Cm − Dm−1 )B(t, tm ).
c
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1.9 Titoli indicizzati
71
Ricordando che D0 = S, Dk−1 − Dk = Ck e Cm = Dm−1 , sostituendo nella
(1.128), i termini della somma si annulleranno tutti, tranne il primo, quindi,
Ā(t) = SB(t, t0 ).
(1.128)
Pertanto, il flusso rateale in un periodo antecedente alla stipula del contratto
è equivalente ad uno ZCB con valore facciale pari al debito S.
Nel caso in cui t0 < t < t1 , la prima quota interesse è già nota ed il valore
del flusso di rate è dato da,
Ā(t) = (C1 + I1 )B(t, t1 ) +
m
X
{Cj B(t, tj ) + Dj−1 [B(t, tj−1 ) − B(t, tj )]} =
j=2
= (C1 + I1 )B(t, t1 ) + D1 B(t, t1 ) = (C1 + D1 + I1 )B(t, t1 ),
Ricordando che C1 + D1 = S si ottiene che,
Ā(t) = (S + I1 )B(t, t1 ).
(1.129)
Nel caso limite in cui t = t0 , si dimostra facilmente che Ā(t) = S, quindi un
MTV alla stipula del contratto ha un flusso rateale pari al capitale preso in
prestito, che è anche la condizione di equità vista per i mutui a tasso fisso.
Come si può notare, a differenza dei mutui a tasso fisso, il valore delle rate
residue in ogni istante t = tk , per k = 1, 2, . . . , m, è esattamente pari al
debito residuo,
Ā(t) = Dk .
Questa proprietà garantisce che il valore di mercato delle rate future è
esattamente uguale al debito residuo, ove per valore di mercato s’intende il
valore del flusso di rate restanti attualizzate ai tassi correnti.
L’emissione di un muto da parte di una banca è una operazione di impiego equivalente all’acquisto di un BTP da parte di un investitore: si paga
un prezzo oggi (il capitale richiesto dal mutuatario) e si riceve una cedola
periodica (la rata) composta in parte dal capitale prestato e in parte dagli
interessi (nei BTP il capitale è restituito a scadenza, quindi le cedole pagano
soltanto la quota interesse). Se dopo l’acquisto del BTP il tasso di mercato
si ridurrà, il valore di mercato delle cedole restanti aumenterà, e pertanto il
BTP quoterà sopra la pari.
Alla stessa stregua, una riduzione dei tassi implica per l’istituto bancario un
aumento del valore del flusso restante. Se il mutuatario intende riscattare il
mutuo, in quanto è più conveniente accendere un’altro mutuo ad un tasso
più basso, l’istituto bancario richiederà una remunerazione che tenga conto
del mancato guadagno. Infatti, se il mutuatario ripagasse soltanto il debito
c
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1.9 Titoli indicizzati
72
residuo, l’istituto bancario si troverebbe nella situazione di dover impiegare
questo capitale ad un tasso di mercato più basso, con conseguente perdita.
Utilizzando la metafora del BTP, è come se lo Stato, data una riduzione dei
tassi, ripagasse all’investitore il capitale preso in prestito ed emettesse un
nuovo BTP.
D’altro canto, se dopo l’emissione del mutuo si verificasse un’aumento dei
tassi, sarebbe certamente conveniente per l’istituto bancario richiedere indietro il capitale prestato ed investire in mutui più remunerativi. Ciò non è
possibile a meno che la banca non risarcisca il cliente per il maggiore costo.
Un MTV mette al riparo la banca dai rischi derivanti dall’aumento dei tassi.
In tal caso infatti riceverà una “cedola” maggiore grazie al meccanismo di
indicizzazione. Per questo motivo i tassi per MTV sono più bassi. La rischiosità è limitata alla possibilità che il mutuo non sia ripagato ed all’incertezza
del tasso nell’intervallo fra il pagamento di due rate.
Di solito i MTV sono indicizzati al tasso EURIBOR più uno spread. In tal
caso gli spread rappresentano una componente fissa e pertanto la condizione
Ā(t) = Dk , per k = 1, 2, . . . , m, non sarà più vera.

m
X



Dj−1 B(t, tj )
S B(t, t0 ) + θ




j=1



m

X
Dj−1 B(t, tj )
V̄ (t) = Dk + θ


j=k+1



m

X

 (D

Dj−1 B(t, tj )

 k−1 + Ik ) B(t, tk ) + θ
se t < t0
se t = tk
se tk−1 < t < tk .
j=k+1
(1.130)
c
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Capitolo 2
Prezzi e struttura dei tassi
In questo capitolo saranno analizzati i meccanismi che determinano la formazione del prezzo degli strumenti finanziari analizzati sinora. Basandosi su
di un mercato ideale, caratterizzato da ipotesi che ne regolano il funzionamento, si descriveranno le relazioni, e le conseguenze in termini finanziari,
dei contratti stipulati fra gli operatori.
2.1
Ipotesi caratteristiche del mercato
Le ipotesi che sottendono un mercato finanziario possono essere cosı̀ sintetizzate:
• Non frizionalità.
– Non ci sono costi di transazione né gravami fiscali.
– I titoli sono infinitamente divisibili.
– Sono consentite vendite allo scoperto (short sales), ossia è possibile
vendere titoli che non si possiedono. In altri termini, è possibile
emettere titoli obbligazionari.
– Non c’è rischio di insolvenza (default).
• Competitività.
– Gli operatori massimizzano il profitto.
– Gli operatori non possono influenzare i prezzi di mercato.
• Assenza di arbitraggi.
Si definisce arbitraggio un’ o.f. che consente di ottenere un profitto
(profitto di arbitraggio) in assenza di rischio sfruttando disallineamenti
di prezzo esistenti sul mercato. Si distinguono:
2.2 Teoremi fondamentali
74
– Arbitraggi di tipo A. Si verificano quando a fronte di un costo
nullo o negativo si acquista un flusso di importi tutti non negativi,
con almeno un pagamento positivo:
c ≤ 0; Vj ≥ 0, tj ∈ t̄, ∃ k : Vk > 0,
dove t̄ = {t1 , t2 , . . . , tm }.
– Arbitraggi di tipo B. Si verificano quando a fronte di un costo
negativo si acquista un flusso di importi futuri tutti non negativi:
c < 0; Vj ≥ 0, tj ∈ t̄.
2.2
Teoremi fondamentali
Date le suddette ipotesi, è possibile derivare dei teoremi che caratterizzano
le proprietà dei ZCB che sono scambiati nel mercato in esame.
Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza.
In un mercato in cui non è possibile effettuare arbitraggi non rischiosi deve
sussistere la seguente disuguaglianza:
B(t, s′ ) > B(t, s′′ ), t ≤ s′ < s′′ .
(2.1)
Nella sezione BOT dei titoli di stato (si veda Figura 1.6) si osserva che
all’aumentare della scadenza si riduce il prezzo dei titoli. Questa proprietà
dei ZCB è formalizzata nella (2.1) e si dimostra ipotizzando per assurdo che
B(t, s′ ) ≤ B(t, s′′ ). Si consideri la seguente strategia di compravendita:
(a): acquisto di uno ZCB unitario con scadenza in s′ ;
(b): vendita allo scoperto di uno ZCB unitario con scadenza in s′′ ;
(c): acquisto in s′ di uno ZCB unitario con scadenza in s′′ .
La strategia è illustrata nella seguente tabella di payoff:
t
s′
s′′
−B(t, s′ )
1
0
B(t, s′′ )
0
−1
0
−B(s′ , s′′ )
1
B(t, s′′ ) − B(t, s′ ) ≥ 0
1 − B(s′ , s′′ ) > 0
0
c
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2.2 Teoremi fondamentali
75
L’ultima riga della tabella, ottenuta sommando gli importi esigibili alle stesse
date, mostra che tale strategia produce un arbitraggio di tipo A. Pertanto, la
disuguaglianza accettata per assurdo viola il principio di arbitraggio e quindi
è vera la (2.1).
In verità, il mercato non riconosce tale proprietà in base al teorema appena
dimostrato. Siccome tutti gli operatori hanno le stesse informazioni, nel
caso si verificasse un’opportunità di arbitraggio del tipo esposto sopra, tutti
cercherebbero di trarne profitto comprando il titolo con scadenza in s′ e
vendendo allo scoperto il titolo con scadenza in s′′ . Di conseguenza B(t, s′ ) ⇑
e B(t, s′′ ) ⇓. Tale strategia terminerà quando B(t, s′ ) > B(t, s′′ ).
Teorema di linearità del prezzo.
Come visto nel paragrafo 1.8, il valore di un titolo obbligazionario è dato
dalla somma delle cedole future e del valore facciale, attualizzate al tasso di
mercato. I fattori di sconto, B(t, tj ), per j = 1, 2, . . . , m, rappresentano il
valore attuale di un euro esigibile in ogni scadenza futura. Se si ipotizza un
tasso di mercato iM , il prezzo di un BTP equivale al valore attuale di una
rendita con pagamenti periodici pari a c V e valore finale V . Nella realtà
il tasso di mercato non è costante e dipende dall’ampiezza dell’intervallo di
tempo (si veda la discussione nel paragrafo 1.4.1), quindi ad ogni fattore di
sconto B(t, tj ) corrisponde un tasso relativo all’intervallo [t, tj ]. Ciò è evidente nel mercato dei BOT: ad ogni scadenza corrisponde un diverso prezzo
e, di conseguenza, un diverso tasso.
Si ipotizzi che per ogni scadenza j = 1, 2, . . . , m, esista uno ZCB unitario
con prezzo pari a B(t, tj ), data l’infinita divisibilità dei titoli sarà sempre
possibile costruire un portafoglio contenente Vj unità dello ZCB unitario con
scadenza in tj . Il valore di tale portafoglio in t sarà apri a,
m
X
Vj B(t, tj ).
(2.2)
j=1
L’ipotesi di assenza di arbitraggio impone che il prezzo del CBB deve essere
uguale al valore del portafoglio di ZCB, ossia,
V̄ (t) =
m
X
Vj B(t, tj ).
(2.3)
j=1
Si dimostrerà il teorema per assurdo ipotizzando che,
V̄ (t) <
m
X
Vj B(t, tj ).
(2.4)
j=1
c
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2.2 Teoremi fondamentali
76
In questo caso la strategia d’arbitraggio consiste nel vendere allo scoperto gli
m ZCB unitari, la cui somma dei valori attuali, per l’ipotesi fatta, è maggiore
del prezzo V̄ (t). Il flusso di importi originato dal CBB potrà essere acquistato
con i proventi della vendita allo scoperto. La tabella di payoff sarà costituita
dai seguenti valori:
t
t1
t2
...
tm
−V̄ (t)
V1
V2
...
Vm
V1 B(t, t1 )
−V1
0
...
0
V2 B(t, t2 )
0
−V2
...
0
..
.
..
.
..
.
...
..
.
Vm B(t, tm )
0
0
...
−Vm
0
0
0
0
P
Vj pj − V̄ > 0
Quindi, a fronte di un costo negativo (si acquista il titolo V̄ con i proventi
della vendita allo scoperto di m ZCB di importo V1 , V2 , . . . , Vm ) si ottiene un
flusso non negativo, il che implica un arbitraggio di tipo B.
Un analogo arbitraggio si otterrebbe adottando la strategia opposta, qualora
il segno della disuguaglianza tra i prezzi venisse invertito. La (2.3) definisce
il valore attuale, nonchè il prezzo, di un titolo che paga una cedola periodica. In generale, la (2.3) evidenzia che il valore attuale di un f.f. si ottiene
attualizzando i singoli importi con il tasso relativo all’istante di tempo in cui
è esigibile.
Nei capitoli precedenti si è parlato di f.f. e di come sia possibile ordinarli in
un senso di preferibilità. In particolare, nel caso del criterio del VAN, si è
visto come una delle maggiori critiche riguardava la scelta, ritenuta arbitraria, del tasso d’interesse utilizzato per l’attualizzazione dei pagamenti futuri.
Seguendo una logica di mercato, per determinare il valore attuale del f.f. si
potrebbero utilizzare i tassi corrispondenti alla scadenza di ogni pagamento.
In tal senso il valore del f.f. è determinato ai prezzi di mercato, e quindi
nessun operatore pagherebbe di più, o di meno, in modo da evitare arbitraggi non–rischiosi. Naturalmente essendo i prezzi dei ZCB relativi a titoli
emessi dallo Stato, quindi con basso rischio di default, nel caso di operazioni
di investimento in cui esiste una maggiore probabilità di fallimento, si può
applicare uno spread per tenere conto della maggiore rischiosità.
c
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2.2 Teoremi fondamentali
77
Teorema dei prezzi impliciti.
Nel paragrafo 1.1.2 si è definito il concetto di o.f. a termine e tasso a termine. Il f.f. che caratterizza un contratto a termine è rappresentato da
V̄ = {0, −B(t, T, s), 1}, sullo scadenzario {t, T, s}. In generale, il prezzo a
termine, B(t, T, s), è diverso dal prezzo a pronti, B(T, s), che il mercato
potrà fissare in T per la consegna di un euro in s.
Esiste una relazione ben precisa fra prezzi a pronti e prezzi a termine. In
particolare, per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere che,
B(t, T, s) =
B(t, s)
, t ≤ T ≤ s,
B(t, T )
(2.5)
in altri termini, in t, il prezzo a termine, con consegna in T e scadenza in s,
è dato dal prezzo a pronti di un ZCB con scadenza in s, capitalizzato in T
tramite il fattore montante 1/B(t, T ) corrispondente allo ZCB con scadenza
in T . Si osservi che le quantità coinvolte nella (2.5) sono tutte note in t.
La dimostrazione della (2.5) si effettua per assurdo. Si ipotizzi che
B(t, s) > B(t, T ) B(t, T, s),
(2.6)
e si adotti la seguente strategia di compravendita,
(a): vendita allo scoperto dello ZCB unitario con scadenza in s;
(b): acquisto a pronti di B(t, T, s) unità dello ZCB unitario che scade in T ;
(c): acquisto a termine, per consegna in T , dello ZCB unitario con scadenza
in s.
La seguente tabella di payoff mostra che questa strategia condurrebbe ad un
arbitraggio di tipo B:
t
T
s
B(t, s)
0
−1
−B(t, T ) B(t, T, s)
B(t, T, s)
0
0
−B(t, T, s)
1
B(t, s) − B(t, T ) B(t, T, s) > 0
0
0
c
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2.2 Teoremi fondamentali
78
La (2.5) definisce la relazione fra i prezzi a pronti ed i prezzi a termine. Si
osservi che la (2.5) è molto simile alla proprietà di scindibilità,
B(t, s) = B(t, T ) B(T, s).
In effetti le due proprietà differiscono sostanzialmente. Infatti, mentre la (2.5)
è sempre valida, a meno di arbitraggi non rischiosi, la proprietà di scindibilità
in un mercato finanziario non si verifica mai. In tal senso dovrebbe essere
B(T, s) = B(t, T, s), ovvero il prezzo di un ZCB unitario in T con scadenza
in s dovrebbe essere uguale al prezzo in t (oggi) di uno ZCB con consegna in
T e scadenza in s.
Secondo alcune teorie il valore atteso del tasso spot futuro è uguale al tasso
forward osservato oggi, nel senso che i tassi forward “anticipano” il tasso spot
futuro. Ciò, comunque, non implica che si verifichi il livello di tasso predetto.
Come si evince dalla (2.5) il prezzo a termine è dato dal rapporto fra due
prezzi spot, che, come è noto, variano giornalmente.
Un’interessante applicazione del teorema dei prezzi impliciti riguarda la determinazione del tasso FRA. Si può dimostrare che quando un contratto FRA
è iniziato il tasso FRA è assegnato in modo che,
L(t, s)
1
=
,
1 + FRAT xs τ /n
B(t, T )
(2.7)
dove con L(t, s) si è indicato il valore attuale di un euro esigibile in T + s al
tasso LIBOR l(t, s).
La dimostrazione può essere effettuata utilizzando lo schema di arbitraggio
appena visto. Si osservi che la (2.7) è uguale alla (2.5) tranne che il prezzo
spot al numeratore è ottenuto utilizzando un tasso LIBOR (si lascia allo
studente di verificare la dimostrazione).
Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che uno dei passaggi della
costruzione del portafoglio di arbitraggio implica la vendita allo scoperto
dello ZCB con scadenza in s. In pratica tale vendita allo scoperto consiste in
una operazione di finanziamento ad un tasso pari a quello degli ZCB. Nella
realtà questa possibilità è molto remota.
La strategia “naturale” che conduce alla (2.7) è la seguente:
(a): si acquisti in t uno ZCB unitario con scadenza in T ;
(b): si finanzi tale acquisto prendendo in prestito (1 + X τ /n) euro al tasso
LIBOR l(t, s);
Il valore in t del portafoglio composto dalle due o.f. è dato da,
V̄ (t) = B(t, T ) − (1 + X τ /n)L(t, s) = 0
(2.8)
c
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2.2 Teoremi fondamentali
79
Il valore in T dello stesso portafoglio sarà,
V̄ (T ) = 1 − (1 + X τ /n)L(T, s),
dove,
L(T, s) =
(2.9)
1
.
1 + l(T, s) τ /n
Sostituendo per L(T, s) nella (2.9), si ottiene,
V̄ (T ) = 1 − (1 + X τ /n)
1
.
1 + l(T, s) τ /n
(2.10)
Il valore di un FRA nell’istante di consegna è dato dalla (1.52). Ipotizzando
un nozionale pari ad uno, con semplici passaggi algebrici la (1.52) può essere
riscritta come segue,
¾
½
1 + l(T, s) τ /n − [1 + FRAT xs τ /n]
=
Λ(T, s) =
1 + l(T, s) τ /n
1
= 1 − [1 + FRAT xs τ /n]
.
(2.11)
1 + l(T, s) τ /n
Si osservi che il valore del portafoglio in T è identico al valore del FRA alla
consegna, a meno della quantità X.
Nell’istante t il valore del portafoglio ed il valore del FRA sono pari a zero.
Dato che i valori iniziali sono nulli, per evitare arbitraggi non–rischiosi, anche
i pagamenti in T devono essere uguali. Ciò è possibile se e solo se X =
FRAT xs . Sostituendo per X nella (2.8) si ottiene facilmente la (2.7).
Teorema di valutazione dei FZCB.
Nel paragrafo 1.9.1 si è visto che il valore di un FZCB con scadenza in s, nel
generico istante di valutazione t, con t < T ≤ s, è pari a,
V (t) = B(t, T ).
Questo risultato può essere dimostrato utilizzando l’ipotesi di assenza di
arbitraggio. Si ipotizzi che per assurdo,
V (t) > B(t, T ),
e si realizzi la seguente strategia:
(a): vendita allo scoperto in t del FZCB unitario con scadenza in s;
(b): acquisto a pronti dello ZCB unitario che scade in T ;
c
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2.2 Teoremi fondamentali
80
(c): acquisto in T di 1/B(T, s) unità dello ZCB unitario con scadenza in s.
La tabella di payoff è data da,
t
T
s
V (t)
0
1
− B(T,s)
−B(t, T )
1
0
0
1
−B(T, s) B(T,s)
1
B(T,s)
V (t) − B(t, T ) > 0
0
0
L’ultima riga della tabella dei payoff mostra che è possibile realizzare un
arbitraggio di tipo B. Analogamente, se si ipotizza che V (t) < B(t, T ),
è possibile costruire un’analoga strategia non rischiosa, quindi deve essere
V (t) = B(t, T )
Teorema di valutazione cedola indicizzata.
Si ipotizzi per assurdo che
c(t) > B(t, T ) − B(t, s).
Si può realizzare un arbitraggio di tipo B impostando la seguente strategia:
(a): vendita allo scoperto in t del valore attuale della cedola indicizzata c(t);
(b): acquisto a pronti del portafoglio di ZCB unitari B(t, T ) − B(t, s);
(c): acquisto in T di M (T, s) unità dello ZCB unitario con scadenza in s.
La tabella di payoff è data da,
t
T
s
c(t)
0
−i(T, s) = −M (T, s) + 1
−B(t, T )
1
0
B(t, s)
0
−1
0
−B(T, s)M (T, s)
M (T, s)
c(t) − B(t, T ) + B(t, s) > 0
0
0
c
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2.3 Grandezze caratteristiche del mercato
2.3
81
Grandezze caratteristiche del mercato
Dato il prezzo di uno ZCB con scadenza in s, il tasso d’interesse per o.f. su
intervalli di ampiezza s − t è pari a,
¸1/s−t
·
1
− 1.
(2.12)
i(t, s) =
B(t, s)
Se si ipotizza che il periodo di riferimento è l’anno, il tasso i(t, s) è il tasso
d’interesse per investimenti di ampiezza s − t, su base annuale. Utilizzando
la parametrizzazione del modello esponenziale in funzione dell’intensità, è
possibile ricavare l’intensità, su base annuale, per impieghi di ampiezza s − t.
Ricordando che,
B(t, s) = e−δ(t,s) (s−t) ,
l’intensità a pronti è data,
ln B(t, s)
.
(2.13)
s−t
Si osservi che il tempo compare al denominatore, quindi l’intensità è una
grandezza espressa in tempo−1 .
In maniera analoga, dato il prezzo di uno ZCB con consegna in T e scadenza
in s, il tasso i(t, T, s) si ottiene come,
·
¸1/s−T
1
i(t, T, s) =
− 1.
(2.14)
B(t, T, s)
δ(t, s) = −
Se sul mercato sono presenti ZCB unitari con scadenza in T ed in s, dalla
(2.5) si ottiene il tasso forward i(t, T, s) “implicito” nei tassi i(t, T ) ed i(t, s).
Infatti,
T −t
da cui,
s−t
1 + i(t, T, s) = [1 + i(t, T )]− s−T [1 + i(t, s)] s−T
·
¸ T −t
1 + i(t, s) s−T
= [1 + i(t, s)]
1 + i(t, T )
¸ T −t
1 + i(t, s) s−T
i(t, T, s) = [1 + i(t, s)]
− 1.
1 + i(t, T )
Applicando il teorema dei prezzi impliciti è possibile ricavare l’espressione
relativa all’intensità a termine,
·
e−δ(t,T,s) (s−T ) =
δ(t, T, s) =
e−δ(t,s) (s−t)
e−δ(t,T ) (T −t)
da cui,
(2.15)
δ(t, s) (s − t) − δ(t, T ) (T − t)
.
s−T
(2.16)
c
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2.3 Grandezze caratteristiche del mercato
82
Esempio 2.1: Nella Tabella 2.1 sono riportati i prezzi d’asta dei BOT del
04/10/2001. Determinare i tassi spot, i prezzi ed i tassi forward, nonchè le
rispettive intensità.
Scadenza Giorni a scadenza Anni a scadenza (365) Prezzi
31/10/01
27
0.073972603
99.711
15/11/01
42
0.115068493
99.63
30/11/01
57
0.156164384
99.445
14/12/01
71
0.194520548
99.354
17/12/01
74
0.202739726
99.325
28/12/01
85
0.232876712
99.255
15/01/02
103
0.282191781
99.228
31/01/02
119
0.326027397
98.93
15/08/02
315
0.863013699
97.2
16/09/02
347
0.950684932
96.985
Tabella 2.1: Prezzi e scadenze BOT del 04/10/2001.
I prezzi forward si ottengono facilmente dalla (2.5). Per esempio,
B(0, 57)
= 0.99733
B(0, 27)
B(0, 85)
B(0, 27, 85) =
= 0.99543
B(0, 27)
B(0, 347)
B(0, 27, 347) =
= 0.97266.
B(0, 27)
B(0, 27, 57) =
Si osservi che anche in questo caso sussiste la decrescenza rispetto alla scadenza. Si lascia allo studente la dimostrazione che B(t, T, s′ ) > B(t, T, s′′ )
con t ≤ T ≤ s′ < s′′ .
I prezzi forward si possono ottenere anche al variare di T . Ponendo s = 315
i prezzi di ZCB unitari per consegna fra T giorni e scadenza fra 315 giorni,
sono dati da:
B(0, 315)
= 0.97742
B(0, 57)
B(0, 315)
B(0, 85, 315) =
= 0.97930
B(0, 85)
B(0, 315)
B(0, 119, 315) =
= 0.98251.
B(0, 119)
B(0, 57, 315) =
c
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2.3 Grandezze caratteristiche del mercato
83
Come si osserva, al crescere del tempo di consegna T , mantenendo fissa la
scadenza s, i prezzi a termine crescono. Si lascia allo studente di dimostrare
che B(t, T ′ , s) < B(t, T ′′ , s) con t ≤ T ′ < T ′′ ≤ s.
Per quanto riguarda i tassi e le intensità, si ricorda che l’unità di misura del
tempo deve essere consistente con la periodicità scelta (di solito annuale).
I tassi spot su base annuale sono dati da,
i(0, 27) =
µ
100
99.711
¶365/27
− 1 = 0.03990
¶365/57
1
− 1 = 0.03628
i(0, 57) =
0.99445
µ
¶1/0.32603
1
i(0, 119) =
− 1 = 0.03355.
0.9893
µ
Si osservi che sono stati utilizzati in maniera indifferente i tempi in anni ed
in giorni modificando però in maniera opportuna la relazione del tasso spot
in modo da tenere conto della diversa unità temporale. I tassi forward si
possono ricavare sia dai prezzi che dai tassi spot. In particolare,
i(0, 27, 57) =
µ
1
0.99733
¶365/30
·
− 1 = 0.03303
1 + i(0, 57)
i(0, 27, 57) = [1 + i(0, 57)]
1 + i(0, 27)
¸27/30
− 1 = 0.03303.
Le intensità di interesse su base annuale sono date da,
δ(0, 27) = ln [1 + i(0, 27)] = 0.03913 anni−1
ln B(0, 57)
δ(0, 57) = −
= 0.03564 anni−1
0.156164384
δ(0, 119) = ln [1 + i(0, 119)] = 0.032996 anni−1 .
Utilizzando la (2.16) si possono ricavare le intensità implicite:
27
57
− δ(0, 27)
= 0.03250
30
30
0.15616
0.32602
− δ(0, 57)
= 0.03057.
δ(0, 57, 119) = δ(0, 119)
0.16986
0.16986
δ(0, 27, 57) = δ(0, 57)
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2.4 La struttura per scadenza dei tassi di interesse
2.4
84
La struttura per scadenza dei tassi di interesse
La struttura dei tassi (term structure) è uno dei più importanti fattori
economico-finanziari per coloro che svolgono attività di contrattazione nei
mercati monetari e dei capitali. La struttura dei tassi può essere a pronti
(spot term structure) se descrive l’andamento dei tassi a pronti, oppure
a termine (forward term structure) se descrive l’andamento dei tassi a
termine.
Si ipotizzi che nell’istante di osservazione t siano presenti nel mercato titoli
obbligazionari con pagamenti negli istanti tk = t + k, k = 1, 2, . . . , m. Si
ipotizzi inoltre che in questo mercato siano osservabili i prezzi di m ZCB
unitari. L’insieme,
{B(t, t + k),
k = 1, 2, . . . , m}
rappresenta la struttura dei prezzi a pronti. La presenza degli m prezzi
a pronti rende il mercato completo, quindi, per la proprietà di linearità
sarà possibile determinare il prezzo di qualsiasi altro titolo a reddito fisso
considerando quest’ultimo come un portafoglio di ZCB unitari.
La struttura dei tassi d’interesse a pronti si ottiene dai prezzi a pronti,
secondo le relazioni:
·
¸1/k
1
i(t, t + k) =
− 1.
B(t, t + k)
In maniera analoga la struttura delle intensità a pronti è data dall’insieme,
1
δ(t, t + k) = − ln B(t, t + k)
k
oppure,
δ(t, t + k) = ln[1 + i(t, t + k)]
La struttura dei tassi a termine si costruisce considerando ZCB unitari con
consegna in T = t + k − 1 e scadenza in s = t + k. Si tratta di tassi a termine
uniperiodali, quindi, noto il prezzo a termine, sarà,
i(t, t + k − 1, t + k) =
1
− 1,
B(t, t + k − 1, t + k)
dove per la (2.5),
B(t, t + k − 1, t + k) =
B(t, t + k)
.
B(t, t + k − 1)
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2.4 La struttura per scadenza dei tassi di interesse
85
Dalla struttura dei tassi a termine è possibile determinare i tassi a pronti.
Per la (2.5) si può scrivere,
1 + i(t, t + k − 1, t + k) =
[1 + i(t, t + k)]k
,
[1 + i(t, t + k − 1)]k−1
da cui,
[1 + i(t, t + k)]k
[1 + i(t, t + k − 1)]k−1
[1 + i(t, t + k − 2)]k−2
...
[1 + i(t, t + 1)]
=
=
=
=
=
[1 + i(t, t + k − 1, t + k)][1 + i(t, t + k − 1)]k−1
[1 + i(t, t + k − 2, t + k − 1)][1 + i(t, t + k − 2)]k−2
[1 + i(t, t + k − 3, t + k − 2)][1 + i(t, t + k − 3)]k−3
...
[1 + i(t, t, t + 1)].
Sostituendo ricorsivamente si ottiene che,
[1 + i(t, t + k)]k =
k
Y
[1 + i(t, t + j − 1, t + j)],
j=1
da cui,
i(t, t + k) =
( k
Y
)1/k
[1 + i(t, t + j − 1, t + j)]
j=1
−1
(2.17)
Come visto nel paragrafo 1.8.1, un CBB quota alla pari se c = iM , dove c è
il tasso cedolare ed iM è il tasso di mercato. Un tasso di mercato pari ad iM
consiste nell’ipotizzare che la struttura dei tassi è costante ad un tasso pari
ad iM , cioè i(t, t + k) = iM , per k = 1, 2, . . . , m. Nella realtà la struttura dei
tassi può assumere forma qualsiasi e, pertanto, non esiste un unico tasso di
mercato, ma un insieme di tassi rappresentato dalla struttura dei tassi.
Il tasso di parità (par yield) è quel tasso cedolare c∗ tale che, data la
struttura dei prezzi osservata in t, il titolo obbligazionario con scadenza in
t + m quota alla pari. Il tasso di parità è quindi quel tasso soluzione della
seguente equazione,
c
∗
m
X
B(t, t + j) + B(t, t + m) = 1.
j=1
da cui,
1 − B(t, t + m)
c∗ = Pm
.
j=1 B(t, t + j)
(2.18)
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2.4 La struttura per scadenza dei tassi di interesse
86
Come si può notare il tasso di parità dipende dalla struttura dei prezzi a
pronti osservata nell’istante di valutazione t e dalla scadenza t+m. L’insieme,
{c(t, t + k),
k = 1, 2, . . . , m}
rappresenta la struttura dei tassi di parità.
c
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Capitolo 3
Misure della dispersione
3.1
La Duration
Nel capitolo 1.8.1 è stato introdotto il rendimento a scadenza come possibile
misura della redditività di un flusso finanziario. Come visto la validità di
tale misura è legata all’ipotesi che il titolo sia mantenuto fino a scadenza e
che, soprattutto, le cedole siano reinvestite allo stesso tasso del rendimento
a scadenza. Come osservato quest’ultima ipotesi è molto remota se non
irreale. Un altro problema dello YTM è che non tiene conto della struttura
dei pagamenti. Si consideri il seguente esempio.
Esempio 3.1:
investimento:
Sul mercato sono disponibili le seguenti due opportunità di
1. un CBB che paga un coupon del 10% annuale, scadenza sei anni, quotato
a 102.21 (B̄(0, 6));
2. uno ZCB a sei anni quotato a 58.00 (B(0, 6)).
Lo YTM delle due opportunità di investimento è pari al 9.5%, quindi si potrebbe concludere che i due titoli sono identici. In verità la struttura dei
pagamenti rende i due titoli sostanzialmente differenti. Si osservi che sebbene il CBB sia soggetto al rischio di reinvestimento, gli interessi promessi
sono pagati durante la vita del titolo. Al contrario per lo ZCB l’interesse
promesso si potrà incassare solo a scadenza. In questo senso fluttuazioni del
mercato, ovvero modificazioni della struttura dei tassi, possono determinare
una riduzione della redditività dell’investimento.
Si ipotizzi che alla fine del secondo anno, dopo il pagamento della cedola, non
sia intervenuta alcuna variazione dello YTM. Il prezzo dei due titoli è dato
3.1 La Duration
88
0.25
0.2
0.15
Bullet
Bond
0.1
Variazione Prezzo
ZCB
0.05
0
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
YTM
Figura 3.1: Variazioni del prezzo in funzione dello YTM.
dal valore attuale dei pagamenti futuri, attualizzati al tasso del 9.5%. Tali
prezzi sono pari a, rispettivamente, B̄(2, 6) = 101.60 e B(2, 6) = 69.56.
Se invece si fosse verificata una variazione positiva del YTM pari a 50 bp
(YTM=10%), il prezzo dei titoli si sarebbe ridotto, rispettivamente, a B̄ ′ (2, 6) =
100 e B ′ (2, 6) = 68.30. Le variazioni percentuali rispetto al prezzo con YTM
invariato, sono pari a,
B̄ ′ (2, 6) − B̄(2, 6)
= −0.01577
B̄(2, 6)
B ′ (2, 6) − B(2, 6)
= −0.01806
B(2, 6)
Come si può notare la variazione percentuale dello ZCB è più accentuata
rispetto al bullet bond, da cui si evince che titoli con identico YTM hanno
una diversa “sensibilità” dei prezzi rispetto a variazioni dello YTM. In altri
termini, titoli che hanno una diversa struttura dei pagamenti rispondono in
maniera diversa alle variazioni dei tassi. Si ricorda che una variazione dello
YTM è legata a fluttuazioni della struttura dei tassi d’interesse.
Nella Figura 3.1 sono riportate le variazioni percentuali per un intervallo
di tassi che oscilla dal 4.5% al 14.5%. Si osservi che una riduzione dello
YTM produce una maggiore apprezzamento dello ZCB rispetto al CBB, e che
tale variazione diventa più accentuata per valori molto distanti dallo YTM
iniziale.
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3.1 La Duration
89
Da questo semplice esempio si deduce che alla misura della redditività è
necessario affiancare una misura che tenga conto della diversa struttura dei
pagamenti di un titolo. Tale misura determina la volatilità e quindi la
rischiosità del titolo in esame rispetto alle fluttuazioni della struttura dei
tassi.
Si osservi che la grandezza del tasso cedolare gioca un ruolo determinante
nella determinazione della volatilità del titolo. A parità di scadenza, all’aumentare del coupon, la volatilità si ridurrà in quanto il capitale ricevuto nel
corso della vita del titolo sarà maggiore. Una misura della volatilità deve
quindi tenere conto dell’importo del coupon.
A tal proposito si può ricorrere ad una analogia per capire il comportamento
di tale misura. Si consideri un asse di legno su cui sono posti quattro contenitori. Ogni contenitore rappresenta un pagamento. Una delle estremità
(dove sono presenti le frecce) è sottoposta a movimenti che rappresentano
le fluttuazioni del prezzo. Per mantenere l’equilibrio si pone sotto l’asse un
ceppo di legno.
Nella Figura 3.2 (alto) è raffigurato il caso dove il pagamento è effettuato
solo alla fine del quarto anno (il quarto contenitore è pieno). Per mantenere
l’equilibrio il ceppo deve essere posto proprio sotto il quarto contenitore. Se si
aggiunge dell’acqua negli altri contenitori (pagamento di un coupon), affinchè
sia mantenuto l’equilibrio il ceppo deve spostarsi verso sinistra. Aggiungendo
ancora acqua—che consiste nell’aumentare l’ammontare del coupon—il ceppo
si sposterà ancora verso sinistra.
Il punto di equilibrio rappresenta il baricentro dei contenitori sull’asse, quindi
la misura che si sta cercando è il “baricentro dei pagamenti futuri”. La media
dei tempi in cui si effettueranno i pagamenti rappresenta il punto di equilibrio
fra i flussi. Tale media, per tenere conto dell’influenza del coupon, deve essere
pesata con pesi pari al valore attuale dei pagamenti.
Dato un f.f. V̄ = {V1 , V2 , . . . , Vm } sullo scadenzario t̄ = {t1 , t2 , . . . , tm }, se si
indica con dj il peso relativo al j–esimo pagamento, tale che,
Vj B(t, tj )
,
dj = Pm
j=1 Vj B(t, tj )
(3.1)
la duration rappresenta il punto di equilibrio dei pagamenti futuri ed è data
da,
m
X
(tj − t)dj .
(3.2)
D(t, V̄ ) =
j=1
Si osservi che il denominatore dei pesi dj è il prezzo del titolo osservato al
tempo t, ovvero il valore attuale del f.f. valutato in base alla struttura dei
tassi osservata in t.
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3.1 La Duration
90
Dalla Figura (3.2) (alto) si evince che la duration di uno ZCB è pari alla
scadenza dello ZCB. Uno ZCB è, infatti, un’obbligazione in cui la “massa” è
concentrata soltanto a scadenza, quindi,
D(t, V̄ ) = tm − t.
(3.3)
Essendo la duration una media dei tempi deve essere,
t1 − t ≤ D(t, V̄ ) ≤ tm − t
Utilizzando sempre l’analogia del baricentro si può dedurre che maggiore è
la scadenza e maggiore sarà la duration. Da un punto di vista finanziario un
titolo con una scadenza maggiore implica una maggiore rischiosità in quanto
il pagamento degli interessi è più diluito nel tempo e si potrebbe incorrere
in variazioni non attese della struttura dei tassi. Di contro, lo scorrere del
tempo riduce la duration, sia perchè si “accorcia” l’asse (minore rischio di
incorrere in variazioni dei tassi), sia perchè sono pagati i coupon relativi a
scadenze precedenti il nuovo istante di valutazione.
Data la struttura dei tassi a pronti osservata in t, la duration (Macaulay
duration) si ottiene come,
Pm
−j
j=1 j Vj [1 + i(t, t + j)]
.
(3.4)
D(t, V̄ ) = Pm
−j
j=1 Vj [1 + i(t, t + j)]
La duration può anche essere misurata rispetto ad una struttura piatta (flat
yield duration). Come si vedrà, se si utilizza lo YTM del titolo per attualizzare i pagamenti futuri (y = i(t, t + j) per j = 1, 2, . . . m), il valore della
duration non si modifica sostanzialmente, quindi,
Pm
−j
j=1 j Vj (1 + y)
.
(3.5)
D(t, V̄ ) = Pm
−j
j=1 Vj (1 + y)
Utilizzando la flat yield duration è facile osservare che maggiore è lo YTM
e minore sarà la duration. Infatti all’aumentare dello YTM i pagamenti più
lontani nel tempo avranno un peso via via minore.
La duration ha dimensione il tempo in quanto è una media dei tempi in
cui avvengono i pagamenti, quindi se le scadenze sono espresse in anni, la
duration sarà misurata in anni.
Si può dimostrare che la duration di un portafoglio è data dalla somma pesata
delle duration dei singoli f.f. che compongono il portafoglio. Se si indica con
Π̄(t) il valore temporale del portafoglio (si veda eqn. 1.85), si ha che,
D(t, Π̄) =
N
X
di D(t, V̄i ),
(3.6)
i=1
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3.1 La Duration
91
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0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
Figura 3.2: La duration rappresenta il baricentro dei valori attuali dei
pagamenti futuri. Uno ZCB concentra tutta la sua massa
alla scadenza (alto). All’aumentare della cedola (medio
e basso) la duration si riduce in quanto il baricentro si
sposta verso sinistra.
c
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3.2 Semielasticità e Convexity
92
dove,
ui V̄ (t)
(3.7)
Π̄(t)
Un importante indice abitualmente utilizzato nelle strategie di hedging è
la dollar duration (anche nota come basis point volatility). La dollar
duration è data dalla duration moltiplicata per il prezzo o valore del titolo,
quindi,
DD(t, V̄ ) = V̄ (t)D(t, V̄ ).
(3.8)
Pm
Ricordando che V̄ (t) = j=1 Vj B(t, tj ), si ottiene che,
di =
DD(t, V̄ ) =
m
X
(tj − t)Vj B(t, tj ).
(3.9)
j=1
Un altro indice di uso comune è la duration di secondo ordine definita
come,
m
X
(2)
(tj − t)2 dj ,
(3.10)
D (t, V̄ ) =
j=1
dove i pesi dj sono dati dall’espressione (3.1).
La duration di secondo ordine fornisce una misura della dispersione temporale
del flusso V̄ .
3.2
Semielasticità e Convexity
Si consideri il f.f. V̄ = {V1 , V2 , . . . , Vm } sullo scadenzario t̄ = {t1 , t2 , . . . , tm },
e si ipotizzi una struttura piatta (i = i(t, t + j) per j = 1, 2, . . . m). Il prezzo
del f.f. in t = 0 sarà dato da,
V (0) =
m
X
Vj (1 + i)
−tj
=
j=1
m
X
Vj e−δtj ,
(3.11)
j=1
dove δ = ln(1 + i).
Si ipotizzi, inoltre, che la struttura, identificata dall’unico parametro caratteristico i, evolva in modo che stati successivi siano caratterizzati da strutture,
di tipo ancora piatto, situate ad un livello diverso. La (3.11) può essere
studiata come funzione del tasso i o dell’intensità δ, il chè permetterà di
analizzare il comportamento del prezzo al variare della struttura.
In particolare, si ricava facilmente che,
V̄ (i) > 0,
V̄ (0) =
m
X
j=1
Vj ,
lim V̄ (i) = 0.
i→∞
c
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3.2 Semielasticità e Convexity
93
Analogamente,
V̄ (δ) > 0,
V̄ (0) =
m
X
Vj ,
j=1
lim V̄ (δ) = 0,
δ→∞
La derivata prima e la derivata seconda rispetto ad i sono date da,
′
V̄ (i) = −
m
X
tj Vj (1 + i)−tj −1
(3.12)
j=1
V̄ ′′ (i) =
m
X
tj (tj + 1)Vj (1 + i)−tj −2 ;
(3.13)
j=1
mentre quelle rispetto a δ sono,
V̄ ′ (δ) = −
V̄ ′′ (δ) =
m
X
tj Vj e−δtj
j=1
m
X
t2j Vj e−δtj
j=1
(3.14)
(3.15)
Se gli importi sono tutti non negativi, la (3.11) ha un grafico dato dalla Figura
3.3. La variazione relativa o semielasticità misura la rapidità di variazione
del prezzo per ogni unità di capitale. La semielasticità è definita dal rapporto
fra la derivata prima e la funzione stessa, quindi,
Pm
−tj −1
V̄ ′ (i)
j=1 tj Vj (1 + i)
P
=−
=
m
−tj
V̄ (i)
j=1 Vj (1 + i)
Pm
−tj
1
1
j=1 tj Vj (1 + i)
P
=−
D(0, V̄ ).
(3.16)
=−
m
−t
j
1+i
1+i
j=1 Vj (1 + i)
In funzione dell’intensità si ottiene,
Pm
−δtj
V̄ ′ (δ)
j=1 tj Vj e
= − Pm
= −D(0, V̄ ).
−δtj
V̄ (δ)
j=1 Vj e
(3.17)
La (3.16) è nota come modified duration. Si ricorda che la derivata prima
può essere approssimata dal rapporto incrementale. In particolare,
V̄ ′ (i) ≃
∆V̄ (i)
;
∆i
c
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3.2 Semielasticità e Convexity
94
sostituendo nella (3.16) si ottiene che,
1
∆V̄ (i)
D(0, V̄ ),
=−
1+i
V̄ (i)∆i
da cui,
∆V̄ (i)
1
=−
D(0, V̄ ) ∆i.
1+i
V̄ (i)
(3.18)
La (3.18) mostra la relazione fra variazione relativa del prezzo (prezzo tel
quel) di un titolo e variazioni della struttura dei tassi. In particolare, la
modified duration determina l’ampiezza dell’oscillazione del prezzo che si verifica per shift (traslazioni) paralleli della struttura dei tassi, cioè spostamenti
contemporanei verso alto o verso il basso dei tassi.
La modified duration è una misura della volatilità del titolo e nelle pagine dei
giornali finanziari è riportata insieme alla misura della duration. È importante sottolineare che la (3.18) approssima correttamente l’oscillazione del
prezzo per shift della struttura dei tassi non troppo elevati. Per shock dei
tassi di una certa consistenza la (3.18) sovrastima o sottostima il prezzo del
titolo. La duration è infatti un’approssimazione di primo grado, in quanto,
come dimostrato, essere la derivata prima della funzione prezzo.
Nella Figura 3.4 sono riportate le curve della funzione prezzo di un titolo
obbligazionario e la sua approssimazione tramite la (3.18). Si osservi che per
variazioni superiori al 2% annuo l’approssimazione fornita dalla duration non
stima correttamente la variazione del prezzo.
Un’altra misura legata alla distribuzione dei pagamenti è la convexity. La
convexity è definita dal rapporto fra la derivata seconda della funzione prezzo
ed il prezzo stesso, quindi,
Pm
−tj −2
V̄ ′′ (i)
j=1 tj (tj + 1)Vj (1 + i)
Pm
=
=
−tj
V̄ (i)
j=1 Vj (1 + i)
1
=
[D(2) (0, V̄ ) + D(0, V̄ )].
(3.19)
(1 + i)2
Se si esprime il prezzo in funzione dell’intensità, si verifica facilmente che la
convexity coincide con la duration di secondo ordine,
Pm 2 −δtj
V̄ ′′ (δ)
j=1 tj Vj e
= D(2) (0, V̄ )
(3.20)
= Pm
−δt
j
V̄ (δ)
j=1 Vj e
Esempio 3.2: Si consideri la seguente struttura dei tassi a pronti:
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3.2 Semielasticità e Convexity
95
180
160
P
140
j
Vj
V (i)
120
100
80
60
40
20
0
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
1
1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3
i
Figura 3.3: Prezzo di un CBB in funzione del tasso. Il quadrato
indica il tasso che prezza il CBB alla pari.
0.25
0.2
0.15
0.1
)∆i
0.05
∆V
V
1
− 1+i
D(0,V̄
0
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
∆i
Figura 3.4: Prezzo di uno ZCB in funzione della variazione del tasso
ed approssimazione tramite modified duration.
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96
τ
0.5
1
1.5
2
2.5
3
i(0, τ )
0.03295
0.034357
0.035716
0.037029
0.038294
0.039511
Si ipotizzi, inoltre, che nel mercato siano quotati un BTP a 3 anni (V̄1 ) che
paga una cedola annuale del 5.5% ed un CTZ a due anni (V2 ). I prezzi dei
due titoli sono pari a B̄(0, 3) = 1.0451 e B(0, 2) = 0.9299; i rendimenti a
scadenza sono pari a y(0, 3) = 0.03931 e y(0, 2) = 0.03703.
Calcolare:
i. la Macaulay duration;
ii. la duration rispetto ad una struttura piatta fissata ad un livello pari ad i
rispettivi YTM;
iii. la duration del portafoglio composto da u1 = 2,000 e di valore facciale
del BTP e u2 = 4,500 e di valore facciale del CTZ.
Verificare, inoltre, che uno shift additivo in t = 0+ pari a 50bp provoca una
riduzione dei prezzi approssimata dalla modified duration.
La duration del CTZ, sia quella Macaulay che quella flat, è pari a 2 anni
in quanto il CTZ è uno ZCB con unico pagamento a scadenza. Per quanto
riguarda il BTP nella tabella di seguito sono riportati, i pesi dj , i prodotti
fra il tempo ed i pesi stessi, e la duration di Macaulay, rispetto alla struttura
osservata, e quella flat rispetto allo YTM del BTP.
τ
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Macaulay
dj
τ · dj
0.025891 0.012945439
0.02544 0.025439936
0.024965 0.03744694
0.024468 0.048936712
0.023954 0.059886075
0.875282 2.625845318
1
2.810500421
Flat
dj
0.025811
0.025319
0.024835
0.024361
0.023896
0.875778
1
τ · dj
0.012905738
0.025318577
0.037252635
0.048721672
0.059739096
2.627335151
2.811272868
Come si può notare il valore delle due duration non differisce significativamente. La modified duration dei due titoli è data da,
MD(0, V̄1 ) =
2.811
= 2.704
1 + 0.03931
MD(0, V2 ) =
2
= 1.929
1 + 0.03703
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3.2 Semielasticità e Convexity
97
È importante sottolineare che la relazione approssimata per la semielasticità
(eqn. 3.18) è stata ottenuta ipotizzando una struttura piatta e shift paralleli
(verso l’alto o verso il basso) della struttura stessa. In questo esempio la
struttura non è piatta, comunque, come si può dimostrare, se lo shift avviene
in modo che le variazioni proporzionali dei tassi della struttura siano uguali
fra di loro per ogni k = 1, 2, . . . , m, allora,
∆V
= −D(0, V ) δi,
V
(3.21)
dove,
∆i(0+ , kτ )
∆i
=
per k = 1, 2, . . . , m
(3.22)
1+i
1 + i(0+ , kτ )
e D(0, V ) è la duration calcolata rispetto alla struttura osservata. Una variazione proporzionale pari a 50bp implica che,
δi =
i′ (0+ , kτ ) − i(0+ , kτ )
= 0.50% da cui,
1 + i(0+ , kτ )
i′ (0+ , kτ ) = i(0+ , kτ ) + [1 + i(0+ , kτ )] · 0.50%.
Il tasso i′ (0+ , kτ ) indica che la variazione si è verificata nell’istante 0+ .
Con i(0+ , kτ ) si è identificata una struttura che fino all’istante 0+ ha subito
un’evoluzione deterministica.
Si osservi che l’oscillazione della struttura è misurata in proporzione al livello dei tassi osservati, quindi non si tratta di una variazione assoluta! Al
contrario, la modified duration misura la variazione del prezzo per variazioni
assolute dei tassi.
Se in 0+ si verificasse uno shift proporzionale dei tassi pari a 50bp, come risulta dalla seguente tabella, la variazione reale del prezzo è pari al
(1.031 − 1.045)/1.045 = −1.392%, mentre quella prevista dalla duration è
pari a −2.810500421 · 0.005 = −1.405%,
τ
0.5
1
1.5
2
2.5
3
δi
0.50%
0.50%
0.50%
0.50%
0.50%
0.50%
i′ (0+ , τ )
0.038114526
0.039528571
0.040895027
0.042213892
0.043485167
0.044708852
i(0+ , τ )
0.032949777
0.034356788
0.035716445
0.037028748
0.038293699
0.039511295
Vj B(0+ , j)
0.026990446
0.026454299
0.02589538
0.025317393
0.024723901
0.901147759
1.030529178
Per il CTZ si verifica facilmente che uno shift della stessa ampiezza genera
una variazione reale del prezzo pari a (0.921 − 0.930)/0.930 = −0.993%,
mentre quella prevista dalla duration è pari all’ 1%.
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3.2 Semielasticità e Convexity
98
La duration del portafoglio si ottiene dalla somma pesata delle duration dei
due titoli. Come si ricorderà dall’Esempio 1.20, il valore di un portafoglio è
dato da,
Π̄(0) = 2000 · 1.0451 + 4500 · 0.9299 = 6,274.75 e1 .
Applicando la (3.6) si ha che,
D(0, Π̄) = 0.333112873 · 2.810500421 + 0.666887127 · 2 = 2.269988124,
dove,
d1 =
4500 · 0.9299
2000 · 1.0451
= 0.333112873 d2 =
= 0.666887127.
6274.75
6274.75
I fondi comuni sono portafogli composti da diversi titoli e possono essere
acquistati in qualsiasi banca. I fondi obbligazionari sono portafogli composti
da titoli obbligazionari con diverse caratteristiche (titoli a breve o a lungo
termine, cedola fissa o cedola variabile, emissioni europee ed estere, etc.). Un
fondo comune può essere considerato come un normale titolo obbligazionario
ottenuto dalla “media ponderata” dei titoli componenti. Nel caso di fondi
obbligazionari la duration misura la volatilità del prezzo del fondo rispetto a
shift additivi della struttura dei tassi.
Una riduzione dei tassi dell’1% provocherà un aumento del prezzo del fondo
di circa il 2.2%. È evidente che se la duration del portafoglio fosse più lunga,
si sarebbe potuto trarre un maggiore beneficio dalla riduzione dei tassi. Di
solito nelle note informative allegate ad ogni fondo sono riportate le strategie
dei gestori. Per esempio: “... essendo attesa una riduzione dei tassi è stata
allungata la duration del portafoglio”, oppure, “... data la congiuntura ci si
aspetta un rialzo dei tassi e quindi si è preferito accorciare la duration del
portafoglio”.
1
Per semplicità si è considerato un BTP nell’istante precedente al pagamento della
cedola, quindi il rateo è pari a zero. In caso contrario il valore di mercato del portafoglio
si ottiene moltiplicando il valore facciale per il prezzo tel quel.
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Capitolo 4
Metodi per la misurazione della
struttura dei tassi
4.1
Metodi grafici
La struttura dei tassi ricopre un importante ruolo sia per analisi economica
della congiuntura (questi aspetti sono analizzati nel corso di Economia Monetaria) sia per la gestione dei titoli obbligazionari e per la valutazione di
flussi finanziari.
Nei mercati dei titoli a reddito fisso non esistono ZCB per scadenze superiori a
due anni. In alcuni casi è possibile trovare quotazioni dei cosiddetti STRIPS,
ovvero titoli che sono ottenuti rivendendo le cedole di CBB. Tali titoli sono
comunque limitati e non possono essere considerati dei veri e propri ZCB per
ovvi motivi di liquidità. In questo capitolo si analizzeranno dei metodi per
approssimare la struttura dei tassi a pronti utilizzando i CBB quotati sul
mercato.
Una approssimazione grossolana consiste nell’ignorare l’effetto cedola dei
CBB assimilando il tasso a pronti, per una dato intervallo di tempo τ , allo YTM del corrispondente CBB. Graficamente si potrà tracciare la curva
dei tassi riportando sul piano (τ, y), con τ = tj − t e per j = 1, 2, . . . , m, i
rendimenti a scadenza dei titoli osservati ad una certa data t.
Un modo per compensare parzialmente la distorsione dovuta alla cedola consiste nell’associare i rendimenti a scadenza con la duration del titolo. Come
è noto la duration è una misura della durata del titolo, pesata con le cedole
future, e quindi tiene conto della struttura e della magnitudo dei pagamenti.
Esprimendo i tassi in funzione della duration, invece che della maturity, la
struttura risulta accorciata.
Nella Figura 4.1 sono riportati i rendimenti a scadenza osservati il 26/11/2001
4.1 Metodi grafici
100
0.06
0.055
0.05
Tassi
YTM vs Duration
0.045
YTM vs Maturity
0.04
0.035
0.03
0
5
10
15
20
25
30
35
Anni
Figura 4.1: La struttura degli YTM in funzione delle maturity e delle
duration.
in funzione della maturity e della duration. Si osservi come la struttura dei
tassi, in funzione della duration, risulti più corta, ma più elevata, rispetto a
quella in funzione della maturity.
In molti casi pratici è opportuno utilizzare una funzione interpolante che
rappresenta la relazione tasso/duration. Tale funzione è data da,
ŷ(D) = α + βD + γD2 .
(4.1)
I parametri α, β e γ si ottengono minimizzando la somma degli scarti dei
quadrati fra il tasso osservato ed il tasso teorico dato dalla (4.1),
N
1 X
[y(Dk ) − ŷ(Dk )]2
Minimize
α, β, γ N k=1
Utilizzando il risolutore di Excel, i parametri che minimizzando la somma
dei quadrati sono: α = 0.031495, β = 0.002956 e γ = −9.4707E − 05.
Nella Figura 4.2 si può osservare la curva interpolante fino a 18 anni. È
importante sottolineare che estrapolazioni per scadenze superiori ai dati a
disposizione non sono attendibili. Si noti infatti che per maturity superiori
ai 15-16 anni l’estrapolazione prevede tassi decrescenti.
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4.2 Metodo bootstrap
101
0.06
0.055
Tassi
0.05
YTM vs Duration
0.045
YTM vs Maturity
YTM vs Duration
(Interpolazione)
0.04
0.035
0.03
0
5
10
15
20
25
30
35
Anni
Figura 4.2: La struttura degli YTM in funzione delle duration e curva
interpolante.
4.2
Metodo bootstrap
Un altro metodo per la determinazione della struttura dei tassi è il cosiddetto
Bootstrap. Tale metodo consiste nell’estrarre i tassi spot sequenzialmente
da un insieme di prezzi di CBB. Come visto nel capitolo 2, l’assenza di
arbitraggio implica che il prezzo di un CBB deve essere uguale al prezzo di
un portafoglio di ZCB (si veda l’eqn. 2.3).
Si indichino con B(0, 1) e B(0, 2), rispettivamente, i prezzi di uno ZCB ad
un anno ed di uno ZCB a due anni. Inoltre si denoti con τ la discretizzazione
scelta. I tassi spot sono dati da:
·
¸
1
i(0, 1) =
−1
B(0, 1)
·
¸1/2
1
− 1.
i(0, 2) =
B(0, 2)
(Si è posto τ = 1. In generale, la discretizzazione può essere differente dalla
base con cui è espresso il tasso. Per esempio, i tassi possono essere su base
annuale e la discretizzazione semestrale, quindi τ = 0.5).
Si ipotizzi che sul mercato sia quotato il titolo B̄(0, 3) con scadenza tre anni
e cedola annuale c3 . Per la linearità del prezzo (eqn. 2.3) deve essere,
B̄(0, 3) = c3 [1 + i(0, 1)]−1 + c3 [1 + i(0, 2)]−2 + (1 + c3 )[1 + i(0, 3)]−3 . (4.2)
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4.2 Metodo bootstrap
102
I tassi a pronti i(0, 1) ed i(0, 2), ed il prezzo B̄(0, 3) sono noti, pertanto l’unica
incognita della (4.2) è il tasso spot i(0, 3), quindi,
¾1/3
½
1 + c3
− 1.
(4.3)
i(0, 3) =
B̄(0, 3) − c3 {[1 + i(0, 1)]−1 + [1 + i(0, 2)]−2 }
Il tasso i(0, 4) si ottiene in maniera analoga. Se si indica con B̄(0, 4) il prezzo
di un CBB con scadenza in kτ = 4, estendendo di un periodo la (4.2) si
ottiene,
B̄(0, 4) = c4 [1+i(0, 1)]−1 +c4 [1+i(0, 2)]−2 +c4 [i+i(0, 3)]−3 +(1+c4 )[1+i(0, 4)]−4 ,
da cui,
i(0, 4) =
½
1 + c4
B̄(0, 4) − c4 {[1 + i(0, 1)]−1 + [1 + i(0, 2)]−2 + [1 + i(0, 3)]−3 }
¾1/4
−1.
In generale, la formula per l’estrazione del k–esimo tasso spot con discretizzazione τ è data da,

1/kτ


1+c
nP k
o
i(0, kτ ) =
− 1.
(4.4)
k−1
 B̄(0, kτ ) − c
−jτ 
[1
+
i(0,
jτ
)]
k
j=1
Esempio 4.1: Nella Tabella 4.1 sono riportati i prezzi osservati nella giornata del 26/11/2001. Determinare al struttura a pronti con discretizzazione
τ = 0.5 anni (sei mesi) utilizzando il metodo bootstrap
k
1
2
3
4
kτ
B̄(0, kτ )
ck
0.5 0.984220859
0
1 0.969000245
0
1.5
1.108
0.11
2
1.0973
0.085
Tabella 4.1: Prezzi osservati il 26/11/2001.
I primi due prezzi (k = 1, 2) corrispondono a titoli a cedola nulla. I tassi
spot per kτ = 0.5, 1 (sei mesi ed un anno) su base annuale possono essere
calcolati direttamente,
¶1/0.5
µ
1
− 1 = 0.03232
i(0, 0.5) =
0.98422
µ
¶
1
i(0, 1) =
− 1 = 0.031991.
0.9690
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4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine
103
Per la scadenza kτ = 1.5 è stato selezionato un BTP che paga una cedola
annuale c3 = 0.11 ed il cui prezzo è B̄(0, 1.5) = 1.108. Applicando la (4.4) si
ottiene,
½
1 + 0.11/2
i(0, 1.5) =
1.108 − 0.11/2 {[1 + 0.03232]−0.5 + [1 + 0.031991]−1 }
= 0.03594.
¾1/1.5
−1=
Una volta determinato il tasso i(0, 1.5) si può calcolare il tasso i(0, 2) applicando la (4.4) al prezzo B̄(0, 2). Da un punto di vista pratico conviene
calcolare la somma dei prezzi spot ed aggiungere ad ogni passo l’ultimo prezzo
ottenuto, quindi,
3
X
j=1
−kj
[1 + i(0, kj)]
=
3
X
B(0, kj) =
j=1
= 0.98422 + 0.969 + 0.948410 = 2.901631,
da cui,
i(0, 2) =
½
1 + 0.085/2
1.0973 − 0.085/2 · 2.901631
¾1/2
− 1 = 0.03457711.
Nella Figura 4.3 sono state riportate le strutture degli YTM vs duration,
YTM vs scadenza e la struttura ottenuta tramite bootstrap. Si osservi come
la struttura bootstrap (triangoli) sia molto più vicina alla struttura degli YTM
vs duration.
4.3
Strategie di speculazione sulla struttura
a termine
Le strutture dei tassi possono assumere diverse forme. Esistono delle teorie
economiche che tentano di spiegare quali sono i fattori che influenzano la
forma della struttura dei tassi. Nell’Esempio 4.1 la struttura ottenuta è di
tipo crescente, quindi i tassi a breve risultano più bassi dei tassi a lungo.
Si possono osservare strutture decrescenti, piatte (flat) oppure unimodali
(humped). Quest’ultime sono caratterizzate da tassi a medio termine più
alti dei tassi a breve ed a lungo termine.
A seconda della forma della yield curve è possibile attuare delle strategie
per effettuare dei quasi arbitraggi (arbitrage–like). Una delle strategie che
c
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Consiglio
4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine
104
0.06
0.055
Tassi
0.05
YTM vs Duration
0.045
YTM vs Maturity
Spot vs Maturity (Bootstrap)
0.04
0.035
0.03
0
5
10
15
20
25
30
35
Anni
Figura 4.3: Confronto fra le strutture ottenute con gli YTM e tramite
il metodo bootstrap.
di solito viene implementata dai gestori delle tesorerie è nota come riding
the yield curve (cavalcare la struttura dei tassi). Tale strategia può essere
attuata se la struttura dei tassi è crescente. L’ipotesi dello speculatore consiste nell’assumere che la struttura sia price-preserving, ovvero che i prezzi
osservati oggi, e quindi la struttura, rimarranno tali nel periodo in cui sarà
effettuata la speculazione.
Teorema dei prezzi certi.
Si ipotizzi che la struttura nell’intervallo [t, t′ ] evolva in maniera deterministica. Ciò implica che è possibile determinare in t i prezzi dei titoli che saranno
osservati in t′ . Si dimostra che l’unica evoluzione consistente con l’assenza di
arbitraggi è tale che,
B̄(t′ , tm ) =
1
B̄(t, tm ).
B(t, t′ )
(4.5)
Infatti, se per esempio fosse,
B̄(t, tm ) > B̄(t′ , tm )B(t, t′ )
si potrebbe implementare al seguente strategia:
(a): vendere in t allo scoperto B̄(t, tm );
c
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4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine
105
(b): comprare in t, B̄(t′ , tm ) unità dello ZCB unitario B(t, t′ );
(c): comprare B̄(t′ , tm ) in t′ .
Si osservi che tale strategia è possibile solo se è noto in t il prezzo B̄(t′ , tm )
disponibile in t′ , quindi solo per evoluzioni deterministiche della struttura. Il
payoff di tale strategia rivela un arbitraggio di tipo B:
t
t′
tj (j = 1, 2, . . . , m − 1)
tm
B̄(t, tm )
0
−cj
−(1 + cm )
−B̄(t′ , tm )B(t, t′ )
B̄(t′ , tm )
0
0
0
−B̄(t′ , tm )
cj
(1 + cm )
B̄(t, tm ) − B̄(t′ , tm )B(t, t′ ) > 0
0
0
0
Se B(t, tm ) è uno ZCB con scadenza in s il cui prezzo in t è pari a B(t, s), la
(4.5) diventa,
B(t, s)
B(t′ , s) =
.
B(t, t′ )
Ricordando che B(t, t′ , s) = B(t, s)/B(t, t′ ) si deduce che, in condizione di
certezza, l’evoluzione della struttura deve avvenire in modo che,
B(t′ , s) = B(t, t′ , s).
Ciò implica che un’evoluzione deterministica del tipo price-preserving, dove
si è ipotizzato (scommesso) che B(t + τ, t + 2τ ) = B(t, t + τ ), permette
l’implementazione di strategie d’arbitraggio. Si consideri il seguente esempio.
Esempio 4.2: In una certa data i tassi a 3 e 6 mesi osservati sono, rispettivamente, i(0, 0.25) = 3.8% e i(0, 0.5) = 4%. I prezzi corrispondenti sono
B(0, 0.25) = 0.990719 e B(0, 0.5) = 0.980581. Nell’ipotesi di evoluzione deterministica della struttura dei tassi il prezzo fra tre mesi di un titolo con
scadenza 3 mesi dovrebbe essere pari al tasso forward osservato oggi, quindi
B(0.25, 0.5) = B(0, 0.25, 0.5) = 0.989766. Se invece si verifica un’evoluzione
del tipo price-preserving, sarà B(0.25, 0.5) = B(0, 0.25) = 0.990719. Si ipotizzi, quindi, di acquistare 100,000 e di valore facciale del titolo con scadenza
sei mesi, per una spesa totale pari a 98,058.07 e.
c
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4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine
106
Dopo tre mesi il titolo acquistato ha una vita a scadenza pari a tre mesi, e,
se l’ipotesi price-preserving era esatta, si potranno rivendere i 100,000 e di
valore facciale a 99,071.94 e. Il rendimento periodale è pari a [(99, 071.94 −
98, 058.07)/98, 058.07] · (12/3) = 0.042004 = 4.2%, un rendimento maggiore
di circa 40 bp rispetto al rendimento a scadenza per il BOT a 3 mesi.
L’arbitraggio è più evidente se si considera la seguente strategia:
(a): si prenda in prestito l’ammontare necessario per acquistare 100,000 e
di valore facciale del titolo a sei mesi. Il tasso per impieghi a tre mesi
è pari al 3.8%;
(b): dopo tre mesi si ripaghi il debito e si venda al prezzo di mercato il BOT
a 6 mesi come un titolo con vita a scadenza 3 mesi;
Il payoff della strategia appena descritta è illustrato nella seguente tabella:
0
0.25
+98058.068
−98058.068 · (1 + 0.038)0.25 = −98976.631
−98058.068
+99071.939
0
+95.307322
Come osservato tale strategia garantisce (lock–in) un rendimento se e solo
se la struttura è price-preserving. Se nell’intervallo [t, t′ ] la struttura si sposta
verso l’alto (i prezzi si riducono), il previsto guadagno si può trasformare in
una perdita netta. Infatti, se il tasso a tre mesi dopo tre mesi si incrementasse fino al 4.2% (spostamento verso l’alto della struttura), con un prezzo
dei titoli a tre mesi pari a B(0.25, 0.5) = 0.989766, il guadagno si annullerebbe completamente. Per variazioni maggiori il profitto si trasforma in una
perdita netta. Si osservi che il prezzo B(0.25, 0.5) è pari al tasso forward
in 0 per consegna in 0.25 e scadenza 0.5 anni. Infatti, nel caso di evoluzione deterministica della struttura, la possibilità di arbitraggio si annulla se
B(0.25, 0.5) = B(0, 0.25, 0.5). Il prezzo forward rappresenta il break even
della strategia suvvista.
L’esempio appena visto conferma ancora una volta che la proprietà di scindibilità si può verificare nei mercati solo nell’improbabile caso in cui l’evoluzione
dei tassi è deterministica e quindi, B(T, s) = B(t, T, s).
Nella Tabella 4.2 sono riportati i prezzi ed i coupon dei titoli necessari ad
effettuare il bootstrap della struttura del 26/11/2001. Si lascia allo studente
c
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4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine
Tempo
Prezzi
Coupon
Tassi Spot
Prezzi Spot
0.25
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
0.992176757
0.984220859
0.969000245
1.0229
1.0973
1.0192
1.1586
1.025
1.0415
1.1856
1.1092
1.1131
1.0797
1.0275
0.9908
0.9702
1.0502
1.0302
1.0098
0
0
0
0.05
0.085
0.045
0.095
0.0475
0.0525
0.0875
0.0675
0.0675
0.06
0.05
0.045
0.0425
0.055
0.0525
0.05
0.031914712
0.032321257
0.031991483
0.034560648
0.034620027
0.037386035
0.039349791
0.040467737
0.041982934
0.042995299
0.044155265
0.045439425
0.045994992
0.046245867
0.046237756
0.047781123
0.048355725
0.048350034
0.049848067
0.050298392
0.050518848
0.992176757
0.984220859
0.969000245
0.95031168
0.934196505
0.912323805
0.89066585
0.870361832
0.848315839
0.827426489
0.805702269
0.783170272
0.763523428
0.745384901
0.72876462
0.704645571
0.685378741
0.669416381
0.645448985
0.627378084
0.610887883
Prezzi Forward
(t + τ = 0.5)
0.984535368
0.965547186
0.94917365
0.926950285
0.904945107
0.884315572
0.861916135
0.840691885
0.818619379
0.795726147
0.775764323
0.757334997
0.740448258
0.715942529
0.696366811
0.680148541
0.655796897
0.637436281
0.620681707
-
107
Tassi Forward
(t + τ = 0.5)
0.031661814
0.035682165
0.035387421
0.038656107
0.04076123
0.04183172
0.043370536
0.044337291
0.045478501
0.046760375
0.047247005
0.047414694
0.047315994
0.048894218
0.049433503
0.049360056
0.050888274
0.051306251
0.051485453
-
Tabella 4.2: Prezzi, tassi spot e forward in data 26/11/2001.
di determinare i tassi a pronti su base annuale. I prezzi dei titoli con scadenza
7 ed 8.5 anni non sono riportati in quanto non esistono. I tassi spot per le
suddette scadenze sono stati determinati tramite una semplice interpolazione
lineare. Nella penultima ed ultima colonna sono riportati, rispettivamente, i
prezzi ed i tassi forward con consegna in T = 0.5 anni. Nel caso di evoluzione
deterministica della struttura fra t = 0 e t + τ = 0.5, per il teorema dei prezzi
certi dovrà essere che B(t + τ, s) = B(t, t + τ, s), quindi la struttura spot in
t + τ = 0.5 dovrà essere pari ad i tassi forward osservati in t = 0 (oggi) e
consegna in t + τ = 0.5.
Nella Figura 4.4 sono riportate la struttura dei tassi a pronti osservata il
26/11/2001 e la sua evoluzione deterministica in t + τ = 0.5 anni. Si osservi
che la curva dei tassi risulta spostata verso l’alto, anche se si è ipotizzato che
nessun fattore aleatorio è intervenuto a modificare la struttura.
Esempio 4.3:
Si consideri un BTP con scadenza 3 anni (V̄1 ), cedola annuale del 6% annuo
ed un CTZ a 24 mesi (V2 ). Si determini il prezzo e la duration dei due
titoli utilizzando la struttura osservata il 26/11/2001. Si calcoli, inoltre, il
prezzo e la duration dei due titoli dopo τ = 0.5 anni ipotizzando un’evoluzione
deterministica della struttura osservata il 26/11/2001.
Il prezzo del BTP è pari a B̄(0, 3) = 1.059887 mentre quello del CTZ è pari
a B(0, 2) = 0.9341965. La duration del BTP è pari a D(0, V̄1 ) = 2.796 anni;
essendo il CTZ uno ZCB la sua duration è pari alla sua maturity, quindi
D(0, V2 ) = 2 anni.
Dopo 0.5 anni il BTP avrà una vita a scadenza pari a m = 2.5 anni,
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4.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine
108
0.055
0.05
Tassi a pronti
0.045
Struttura osservata
Evoluzione deterministica
(0.5 anni)
0.04
0.035
0.03
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anni
Figura 4.4: Struttura dei tassi a pronti il 26/11/2001 e la sua
evoluzione deterministica in t + τ = 0.5 anni.
mentre, per il CTZ, m = 1.5 anni (18 mesi). Se si ipotizza che in t =
0.5 la cedola non sia stata ancora pagata, il flusso finanziario del BTP è
B̄1 = {0.03, 0.03, 0.03, 0.03, 0.03, 1.03}, con uno scadenzario che si è accorciato di 0.5 anni. I prezzi in caso di evoluzione deterministica saranno pari
a B̄(0.5, 3) = 1.0768797 e B(0, 1, 5) = 0.9491737.
Dato che la maturity del CTZ si è ridotta di 0.5 anni, la duration risulterà
accorciata di 0.5 anni, quindi, D(0.5, V2 ) = 1.5 anni. Per quanto riguarda il
BTP la duration calcolata con la nuova struttura è pari a D(0.5, V̄1 ) = 2.296.
Si osservi che in questo caso D(0.5, V̄1 ) = D(0, V̄2 )−0.5, proprio come succede
per i ZCB. In generale, per evoluzioni non-deterministiche della struttura, la
duration di un CBB non si riduce semplicemente dell’ammontare del tempo
trascorso.
Per quanto riguarda i prezzi si verifica facilmente che,
B̄(0.5, 3) =
B̄(0, 3)
B(0, 0.5)
e B(0.5, 2) =
B(0, 2)
.
B(0, 0.5)
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Capitolo 5
Strategie di hedging
5.1
Definizione di hedging
Una strategia di hedging o copertura è finalizzata alla riduzione delle perdite derivanti da movimenti avversi dei prezzi di mercato. Tali strategie si
realizzano acquistando o vendendo (anche allo scoperto) attività finanziarie
in modo da controbilanciare (offset) le variazioni di valore delle posizioni in
essere.
L’hedging si dice perfetto (perfect hedging) se è possibile annullare qualsiasi tipo di rischio derivante da un investimento
Una strategia di hedging consiste nell’utilizzare i contratti FRA per proteggersi da variazioni del tasso a cui s’intende dare o prendere in prestito in un
istante futuro.
Nel caso di speculazioni sulla forma della struttura dei tassi (riding of the
yield curve) si è visto che una pertubazione aleatoria (ma anche un’evoluzione
deterministica) può produrre delle perdite in conto capitale. Nell’Esempio
4.2, per evitare perdite si potrebbe effettuare un hedging comprando un
FRA3x6 al 3.8%: se il tasso a tre mesi, fra tre mesi, sarà maggiore del 3.8%
si riceverà un pagamento in modo da compensare la perdita realizzata dalla
vendita del BOT a 6 mesi ad un prezzo minore del previsto; in caso contrario
si è soggetti ad un esborso, ma il profitto preventivato è assicurato e l’esborso
sarà pagato con il maggiore introito dovuto dalla vendita del BOT ad un
prezzo maggiore di 0.990719.
Non sempre è possibile effettuare operazioni di copertura con i FRA in quanto
tali strumenti sono tipici del mercato monetario, quindi per scadenze appena
superiori ad un anno.
5.2 Long e short position
5.2
110
Long e short position
Una posizione in beni di investimento o strumenti derivati che consente all’investitore di trarre profitto dal rialzo dei prezzi è detta posizione lunga o
long position. Di solito si effettua l’hedging di posizioni finanziarie lunghe
per evitare perdite eccessive del valore degli asset (attività) in portafoglio.
Una posizione in beni di investimento o strumenti derivati che consente all’investitore di trarre profitto dal ribasso dei prezzi è detta posizione corta o
short position. Una posizione corta rappresenta una liability (passività)
nei confronti di terzi. In tal caso l’hedging consente di ridurre i maggiori
esborsi dovuti a movimenti avversi dei prezzi di mercato.
Come accennato, la logica che permette di implementare un hedge consiste
nel vendere (anche allo scoperto) o acquistare titoli che sono perfettamente (o
quasi) correlati al titolo o alla posizione che si vuole proteggere. In tal modo
variazioni negative dell’uno saranno compensate dai guadagni del titolo che
funge da hedge.
Nella Figura 5.1 sono riportati i grafici del payoff di una posizione lunga
(sopra) e di una posizione corta (sotto). Se si è lunghi in un titolo, aumenti
del prezzo generano guadagni in conto capitale. Al contrario una posizione
corta produce capital gain per riduzioni del prezzo. Una long position è
determinata dall’acquisto o dal possesso di un titolo. Una short position
consiste invece nel prendere in prestito, per un certo periodo di tempo, un
titolo in possesso di un’altro operatore. Una volta entrati in possesso del
titolo (che non è stato ancora pagato), si può vendere ed incassare il valore
monetario. Alla fine del periodo di prestito il debitore acquisterà il titolo al
nuovo prezzo di mercato e lo restituirà al creditore. Se, per esempio, il titolo
è stato venduto allo scoperto quando valeva 100 e e alla scadenza del periodo
il titolo vale 90 e, la short position ha realizzato un guadagno di 10 e. Nel
caso di titoli obbligazionari il pagamento di una cedola deve essere rimborsato
al creditore che essendo virtualmente il possessore del titolo beneficia degli
eventuali redditi.
5.3
Dedication
Il gestore di un fondo obbligazionario prevede che nel prossimo mese si verificherà un rialzo dei tassi. Come è noto lo shift positivo produce una riduzione
di valore nelle posizioni lunghe. Per fronteggiare la riduzione attesa del prezzo del titolo si può (i) vendere il titolo e ricomprarlo dopo lo shift, oppure,
(ii) vendere allo scoperto un altro titolo con le stesse caratteristiche.
La riduzione dei prezzi provocherà una perdita di valore della posizione lunga,
c
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5.3 Dedication
111
120
100
80
60
40
Payoff
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-20
-40
-60
-80
-100
V̄ (T )
100
80
60
40
Payoff
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-20
-40
-60
-80
-100
-120
V̄ (T )
Figura 5.1: Payoff in T di una posizione lunga (sopra) e di una posizione corta (sotto). Il prezzo iniziale, V̄ (t), è pari a 100;
il payoff è dato dalla differenza V̄ (T ) − V̄ (t).
c
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5.3 Dedication
112
ma un guadagno dalla posizione corta. Se l’hedge è perfetto le due variazioni
saranno uguali e quindi si annulleranno. In generale esistono delle discrepanze che riducono l’efficienza dell’hedge. Un esempio di hedge perfetto è la
cosiddetta cashflow creation o dedication.
Dato un flusso di liability L̄ = {L1 , L2 , . . . , Lh } sullo scadenzario t̄ = {t1 , t2 , . . . , th },
tale strategia consiste nell’acquistare un portafoglio di titoli a reddito fisso
in modo tale che il flusso dei pagamenti replichi il flusso futuro delle passività. In tal caso l’hedging è perfetto in quanto il rischio connesso a shift
della struttura, e quindi la possibilità che l’esborso futuro sia maggiore del
flusso garantito dal portafoglio di asset, è annullato dall’acquisto di asset con
scadenze uguali a quelle delle liability.
Esempio 5.1: Un gestore di fondi pensione deve garantire il seguente flusso
di esborsi annuali, L̄ = {140, 100, 300, 400} (×1000 e). Il 26/11/2002 decide
di acquistare un portafoglio di BTP in modo da garantire il flusso L̄. Per
replicare tale flusso sono necessari titoli con scadenze in t̄ = {1, 2, 3, 4}. A
tal uopo sono stati selezionati i seguenti BTP:
k
1
2
3
4
B̄(0, k)
1.0986
1.0973
1.1586
1.0415
ck
0.12
0.085
0.095
0.0525
Il BTP con scadenza fra 4 anni garantisce 1.0525 e per ogni euro di valore
facciale acquistato. L’ammontare di valore facciale da acquistare per ottenere
la liability dovuta in t4 = 4 è dato da,
X4 · 1.0525 = 400,000 e
da cui
X4 =
400000
= 380,047.51 e.
1.0525
In t3 = 3 parte della liability può essere pagata utilizzando il flusso del BTP
con scadenza in t4 = 4. In particolare si ha che,
X3 · 1.095 + 380047.51 · 0.0525 = 300,000 e da cui
300000 − 380047.51 · 0.0525
= 255,751.14 e.
X3 =
1.095
Quindi, comprando 255,751.14 e di valore facciale del BTP con scadenza
in t3 = 3, e con i proventi derivanti dalla cedola del BTP con scadenza in
t4 = 4 è possibile coprire la liability di 300.000 e alla fine del terzo anno.
Procedendo a ritroso si possono determinare i valori facciali dei titoli con
scadenza in t2 = 2 e t1 = 1 a copertura delle uscite future.
c
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5.4 Hedging utilizzando la duration
113
Da un punto di vista matematico il problema di dedication consiste nel risolvere un sistema di equazioni lineari. Nel caso specifico,
1.12 X1 + 0.085X2 + 0.095X3 + 0.0525X4
1.085X2 + 0.095X3 + 0.0525X4
1.095X3 + 0.0525X4
1.0525X4
=
=
=
=
140000
100000
300000
400000,
da cui si ottiene che,
  

X1
81592.45
X2   51383.54 
 =

X3  255751.14
X4
380047.50
Il costo di tale portafoglio è pari al suo valore di mercato, quindi,
Π̄(0) = 81592.45 · 1.0986 + 51383.54 · 1.0973 + 255751.14 · 1.1586+
+ 380047.50 · 1.0415 = 838153.388 e
Si osservi che l’esborso finale sarà maggiore di Π̄(0) in quanto i prezzi riportati sono al corso secco, al netto del rateo d’interesse.
Il portafoglio ottenuto è un esempio di hedging perfetto: qualsiasi variazione
della struttura dei tassi a pronti non ha alcun effetto sull’obiettivo del gestore,
cioè ripagare le liability con il portafoglio di asset selezionato. Non sempre è
possibile creare un portafoglio di questo tipo. I motivi sono principalmente
due:
(i) per alcune scadenze non sono disponibili titoli che possono coprire la
liability corrispondente. Si potrebbe effettuare la copertura con titoli
che hanno una scadenza vicina a quella del flusso in uscita, ma questo
sottopone il portafoglio a rischi derivanti dalla fluttuazione aleatoria
della struttura dei tassi.
(ii) Il costo per creare il cashflow potrebbe essere eccessivo (nell’esempio,
bisogna sborsare quasi un milione di euro, cash!) rispetto al capitale a
disposizione.
5.4
Hedging utilizzando la duration
Di solito si preferisce ricorrere ad hedging non perfetti che abbiano un grado
di efficienza abbastanza elevato da garantire un certo grado di protezione. Si
consideri il seguente esempio.
c
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Consiglio
5.4 Hedging utilizzando la duration
114
Esempio 5.2: Un gestore di fondi ha in portafoglio un BTP con scadenza
sette anni (V̄1 ), coupon 8%, che quota alla pari. Si ricorda che un titolo
che quota alla pari ha uno YTM pari al suo tasso cedolare. L’8% annuo
nominale, equivale ad uno YTM effettivo pari a y(0, 7) = 8.16% su base
annuale, e y2 (0, 7) = 4% su base semestrale.
Gli analisti prevedono un incremento dei tassi con conseguente perdita di
valore del titolo in portafoglio. Si potrebbe vendere il titolo e ricomprarlo dopo
lo shift, ma ciò causerebbe l’uscita da quello specifico segmento di mercato.
Un altra alternativa consiste nel vendere allo scoperto un titolo a reddito fisso
in modo che la riduzione dei prezzi determini un guadagno sulla vendita short
tale da compensare la perdita che si realizzerà nella posizione long.
Si ipotizzi di vendere allo scoperto un BTP con scadenza dieci anni (V̄2 ),
coupon 8%, che quota alla pari e quindi y(0, 10) = 8.16% su base annuale,
e y2 (0, 10) = 4% su base semestrale. Si ipotizzi che la struttura dei tassi sia
piatta al livello dello YTM dei due bond. Affinchè l’hedge sia efficiente deve
essere che,
∆B̄(0, 10)
∆B̄(0, 7)
=
.
B̄(0, 7)
B̄(0, 10)
Nel caso di struttura piatta la variazione percentuale del prezzo di un titolo a
reddito fisso, rispetto a shift paralleli dei tassi, è data dalla (3.16). Affinchè
le variazioni di prezzo siano uguali deve quindi essere che,
MD(0, V̄1 ) = MD(0, V̄2 ),
Si ricorda che per una posizione long l’aumento dei tassi produce una perdita
di valore dell’asset (capital loss), mentre, per una posizione short, lo shift
verso l’alto dei tassi produce un aumento di valore dell’asset.
Nel caso in esame selezionando un titolo con la stessa modified duration si
garantisce che le variazioni di prezzo in valore assoluto siano identiche. In
tal modo il guadagno di una posizione compenserà la perdita che si ottiene
dall’altra. Le modified duration dei due titoli sono pari a,
MD(0, V̄1 ) =
5.49
= 5.08
1 + 0.0816
MD(0, V̄2 ) =
7.07
= 6.53.
1 + 0.0816
Le due modified duration non sono uguali, ciò implica che le due posizioni avranno variazioni differenti. Se per ogni euro di valore facciale di V̄1
si vende allo scoperto un euro di valore facciale di V̄2 , un aumento dell’1%
dei tassi determinerà una variazione negativa della posizione lunga di 5.08 ·
0.01 = 0.0508; al contrario la posizione corta produrrà un capital gain pari a
6.53 · 0.01 = 0.0653. In tal caso la strategia di hedging genera un guadagno
c
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5.4 Hedging utilizzando la duration
115
(0.0653−0.0508). Si osservi che in caso di riduzione dei tassi le variazioni saranno di segno opposto, producendo una perdita netta (0.0508 − 0.0653). Per
ovviare agli inconvenienti dovuti all’over–hedging o all’under–hedging è
necessario vendere allo scoperto un ammontare α di nominale di V̄2 tale che,
MD(0, V̄1 ) = αMD(0, V̄2 ),
da cui,
α=
MD(0, V̄1 )
.
MD(0, V̄2 )
(5.1)
La quantità α è anche nota come hedge ratio.
Si ipotizzi che il gestore di fondi abbia in portafoglio 100,000 e di valore
nominale di V̄1 . Per effettuare l’hedging di tale posizione, per ogni euro di
valore facciale del titolo V̄1 , si dovranno vendere allo scoperto,
α=
5.08
= 0.77725 e
6.53
di valore facciale di V̄2 , per un ammontare totale pari a 100,000 · 0.77725 =
77,725 e.
Si ipotizzi adesso che in un istante successivo si verifichi uno shift della struttura di 20 bp su base semestrale, lo YTM passerà dal 4% al 4.2% (8.58% su
base annua). I nuovi prezzi sono, rispettivamente, B̄(0+ , 7) = 0.97915 e
B̄(0+ , 10) = 0.97329. I valori delle due posizioni si possono sintetizzare nella
seguente tabella:
V̄ (0)
V̄ (0+ )
V̄ (0+ ) − V̄ (0)
long
100000
97915
−2085
short
77725
75649
2076
−9
dove il valore della posizione short si ottiene moltiplicando il prezzo del titolo
per l’ammontare di valore facciale venduto allo scoperto, quindi,
V (0) = 100,000 · 0.77725 · 1 = 77,725 e (introito)
V (0+ ) = 100,000 · 0.77725 · 0.97329 = 75,649 e (esborso).
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5.4 Hedging utilizzando la duration
116
Riassumendo, a fronte di una perdita della posizione lunga di 2,085 e, la
posizione corta ha un guadagno di 2,076 e, il risultato netto delle due posizioni è pari ad un perdita di 9 e. Si verifica facilmente che per uno shift
di 50 bp (y2 (0.7) = y2 (0, 10) = 4.5%), il risultato netto delle due posizioni è
pari a -56 e (si lascia allo studente la verifica). Il risultato netto della strategia di hedging è negativo in quanto la duration è un’approssimazione di
primo ordine della variazione del prezzo. Come rappresentato nella Figura
3.4, la duration è la tangente alla curva delle variazioni del prezzo (infatti, la
duration è la derivata prima della funzione prezzo), quindi, per oscillazioni
sempre più consistenti dei tassi, la duration è un previsore grossolano delle
oscillazioni reali dei prezzi.
Un’altro limite di tali strategie di hedging è la “manutenzione” dell’hedge
stesso. Il pagamento di cedole, la variazione dei prezzi, gli shift della struttura, sono tutti fattori che influenzano la duration dei titoli e, di conseguenza,
l’hedge ratio.
Nell’esempio precedente, lo shift di 20 bp modifica l’hedge ratio dello 0.9%
(0.77725 ⇒ 0.78426); per ristabilire l’hedge è necessario vendere allo scoperto ulteriori 701 e di valore facciale di V̄2 . Il disallineamento delle duration
(duration gap) rende l’hedge meno efficiente esponendo il portafoglio a perdite più consistenti. Nella pratica l’hedge non è ristabilito ad ogni variazione
dei prezzi. Di solito ci si limita a monitorare il duration gap intervenendo
nel caso in cui il disallineamento fra le duration si incrementa.
Si osservi che l’hedge è stato costruito con titoli aventi lo stesso prezzo,
B̄(0, 7) = B̄(0, 10) = 1. L’hedge è stato costruito in modo che la variazioni relative dei prezzi siano identiche. Se i prezzi sono differenti, variazioni
relative identiche generano variazioni assolute differenti.
Per esempio, si ipotizzi che nell’istante di valutazione t le quotazioni dei
due titoli (V̄m e V¯q ) siano, rispettivamente, B̄(t, tm ) = 1 e B̄(t, tq ) = 0.85;
si ipotizzi, inoltre, che le modified duration siano identiche, MD(t, V̄1 ) =
MD(t, V̄2 ) = 3.
Una variazione dell’1% dei tassi determina una variazione dei prezzi del 3%.
Le variazioni assolute sono, rispettivamente, ∆B̄(t, tm ) = −1 · 0.03 = -0.03 e
e ∆B̄(t, tq ) = 0.85 · 0.03 = 0.0255 e. Se si fosse venduto allo scoperto un euro
di valore facciale del titolo V̄2 , a copertura del titolo V̄1 , si sarebbe realizzato
un under–hedge pari a -0.0045 e.
Nel caso di prezzi differenti, l’hedge ratio si determina uguagliando le varia-
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5.4 Hedging utilizzando la duration
117
zioni assolute del prezzo. Come è noto,
∆B̄(t, tm )
= −MD(t, V̄1 )∆i
B̄(t, tm )
∆B̄(t, tq )
= −MD(t, V̄2 )∆i,
B̄(t, tq )
da cui,
∆B̄(t, tm ) = −MD(t, V̄1 ) B̄(t, tm ) ∆i
∆B̄(t, tq ) = −MD(t, V̄2 ) B̄(t, tq ) ∆i.
L’hedge ratio si ricava dall’uguaglianza delle due variazioni assolute, quindi,
∆B̄(t, tm ) = α∆B̄(t, tq ),
da cui,
α=
MD(t, V̄1 ) B̄(t, tm )
.
MD(t, V̄2 ) B̄(t, tq )
Si osservi che la variazione assoluta è data dalle dollar duration dei due titoli
(più precisamente dalle dollar modified duration), quindi l’hedge ratio può
anche essere scritto nella seguente forma,
α=
DD(t, V̄1 )
DD(t, V̄2 )
(5.2)
Nel caso in cui anche gli YTM dei due titoli si modifichino in maniera
differente, la formula generale per l’hedge ratio è data da,
α=
MD(t, V̄1 ) B̄(t, tm ) ∆i1
.
MD(t, V̄2 ) B̄(t, tq ) ∆i2
(5.3)
La (5.3) è abbastanza generale da permettere l’hedging nel caso in cui la
struttura non sia piatta. Infatti, come visto nel sezione sulla semielasticità,
se la struttura non è piatta e lo shift dei tassi avviene nella stessa proporzione δi (si veda eqn. 3.22), allora la variazione dei prezzi è correttamente
approssimata dalla (3.21). L’hedge ratio si ottiene uguagliando le variazioni
assolute dei prezzi, quindi,
£
¤
−D(0, V̄1 ) B̄(t, tm ) δi = −α D(0, V̄2 ) B̄(t, tq ) δi ,
da cui,
α=
D(0, V̄1 ) B̄(t, tm )
.
D(0, V̄2 ) B̄(t, tq )
(5.4)
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5.4 Hedging utilizzando la duration
118
Se la variazione degli YTM è identica (∆i1 /∆i2 = 1), la (5.4) e la (5.3)
differiscono soltanto per un fattore dato dal rapporto fra gli YTM dei due
titoli, (1 + i2 )/(1 + i1 ). Di solito questo fattore non è molto diverso da 1 in
quanto l’inclinazione della struttura a termine è abbastanza contenuta. Per
esempio, la struttura del 26/11/2001, rappresentata nella Figura 4.1, ha uno
YTM massimo pari al 5.42% ed uno YTM minimo pari al 3.13%, quindi,
nel caso estremo in cui uno dei due titoli fosse usato per costruire l’hedge
dell’altro, il rapporto (1 + i2 )/(1 + i1 ) sarebbe pari a 1.02 (0.98).
Esempio 5.3: Data la struttura del 26/11/2001, riportata nella Tabella 4.2,
si determini l’hedge ratio con una posizione corta nel BTP (V̄2 ) con scadenza
m2 = 7, per una posizione lunga di 1,000,000 e nel BTP (V̄1 ) con scadenza
m1 = 4. I due titoli hanno le seguenti caratteristiche:
• cedola: c1 = 5%, c2 = 8% annuale;
• scadenza: m1 = 4, m2 = 7 anni;
• YTM: y(0, 4) = 4.158%, y(0, 7) = 4.533% su base annua.
I prezzi dei due BTP sono B̄(0, 4) = 1.0323 e B̄(0, 7) = 1.2093. Le duration,
rispetto alla struttura osservata, sono D(0, V̄1 ) = 3.6781 e D(0, V̄2 ) = 5.6319
anni; le flat yield duration sono FYD(0, V̄1 ) = 3.6808 anni e FYD(0, V̄2 ) =
5.6496 anni (si invitano gli studenti a verificare questi numeri). La struttura
non è piatta, quindi l’hedge ratio deve essere calcolato utilizzando la (5.4),
pertanto,
3.6781 1.0323
α=
= 0.5575.
5.6319 1.2093
Il valore facciale del titolo V̄2 , da vendere allo scoperto, è pari a 1000000 ·
0.5575 = 557,496 e. L’introito dovuto alla vendita allo scoperto è pari a
1.2093 · 557496 = 674,179 e.
Se si utilizza la (5.3) per il calcolo dell’hedge ratio si ottiene praticamente lo
stesso risultato,
α=
3.6781 1.0323 1 + 0.04533
= 0.5582.
5.6319 1.2093 1 + 0.04158
Nell’Esempio 5.2 si è visto che il risultato netto di un hedge può essere negativo (perdite maggiori dei guadagni) e che tali perdite sono maggiori all’aumentare del valore assoluto dello shift. Ciò è dovuto all’errore di approssimazione che si verifica utilizzando la duration come previsore della variazione
del prezzo.
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5.4 Hedging utilizzando la duration
119
Si può ovviare a questo inconveniente “aggiustando” la fluttuazione del prezzo tramite la convexity. Se si considera il prezzo di un titolo a reddito fisso,
B̄(i), funzione del tasso i (struttura piatta), utilizzando la formula di Taylor
troncata al termine di secondo ordine, si può scrivere:
B̄(i + ∆i) = B̄(i) + B̄ ′ (i) ∆i +
1 ′′
B̄ (i) (∆i)2 .
2
Tramite semplici passaggi algebrici si ottiene,
B̄(i + ∆i) − B̄(i)
1 B̄ ′′ (i)
B̄ ′ (i)
=
∆i +
(∆i)2 ,
2 B̄(i)
B̄(i)
B̄(i)
(5.5)
ricordando che,
1
B̄ ′ (i)
=−
D(0, B̄) e
1+i
B̄(i)
B̄ ′′ (i)
= C(0, B̄),
B̄(i)
sostituendo nella (5.5) si ottiene,
1
B̄(i + ∆i) − B̄(i)
1
D(0, B̄) ∆i + C(0, B̄) (∆i)2 .
=−
1+i
2
B̄(i)
(5.6)
Si osservi che l’aggiustamento apportato dalla convexity è funzione di (∆i)2 ,
quindi per piccoli shift tale aggiustamento è trascurabile.
Nella seguente tabella sono riportate le variazioni assolute del prezzo, ∆B,
approssimate tramite la duration e con l’aggiustamento operato dalla convexity.
bp
10
20
50
80
100
150
180
200
250
∆B(D)
−0.006535799
−0.013071598
−0.032678995
−0.052286391
−0.065357989
−0.098036984
−0.11764438
−0.130715978
−0.163394973
∆B(D, C)
−0.006512576
−0.012978708
−0.032098432
−0.050800151
−0.063035739
−0.092811922
−0.110120291
−0.121426979
−0.148880911
Come si può notare le differenze fra i due valori diventano apprezzabili per
shift della struttura maggiori di 80 bp. Il livello di shift non è univoco
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5.4 Hedging utilizzando la duration
120
e dipende dalla grandezza della convexity: a parità di coupon, titoli con
scadenza maggiore avranno una convexity più alta; a parità di scadenza,
titoli con coupon maggiore avranno una convexity minore. Se i titoli con cui
costruire l’hedge sono più di uno, la convexity permette di scegliere il titolo
che garantisce un hedge più robusto, ovvero, un hedge il cui risultato finale
garantisce la perdita minore.
Esempio 5.4: Relativamente all’Esempio 5.3, si consideri il caso in cui
per effettuare l’hedging del BTP identificato da V̄1 si possa utilizzare il BTP
(V̄3 ) con le seguenti caratteristiche: c3 = 10% annuale, m3 = 5.5 anni,
y(0, 10) = 4.43% su base annua. Il prezzo del titolo è B̄(0, 10) = 1.2720 e la
sua flat yield duration FYD(0, V̄3 ) = 4.5074.
Utilizzando il nuovo titolo l’hedge ratio è pari a β = 0.6645.
L’obiettivo di un hedge è quello di neutralizzare le variazioni di valore di una
posizione con variazioni uguali e contrarie in un’altra posizione. Gli hedge
ratio sono stati ottenuti in modo che,
∆B̄(0, 4) = α∆B̄(0, 7) e
∆B̄(0, 4) = β∆B̄(0, 10)
Se si verifica uno shift di 50 bp degli YTM dei tre titoli, per ogni euro di
valore facciale, il valore netto delle posizioni è (si ricorda che una riduzione
dei prezzi determina un guadagno per le posizioni short),
V̄2 :
V̄3 :
−0.0180 + (0.5582 · 0.0321) = −0.0001
−0.0180 + (0.6645 · 0.0271) = −0.000051
La differenza fra le due perdite nette è trascurabile ed imputabile ad errori di
arrotondamento. Per uno shift di 200 bp avremo che,
V̄2 :
V̄3 :
−0.0697 + (0.5582 · 0.1219) = −0.0016
−0.0697 + (0.6645 · 0.1037) = −0.0008.
In questo caso la perdita netta dell’hedge costruito con il V̄2 è maggiore di
quella ottenuta con V̄3 e non può essere imputata agli arrotondamenti.
Lo stesso risultato si ottiene nel caso di riduzione dei tassi. In particolare,
la posizione lunga determinerà un guadagno, mentre la posizione corta una
perdita. Per uno shift di 300 bp si ha,
0.1176 − (0.5582 · 0.2188) = −0.0046
0.1176 − (0.6645 · 0.1801) = −0.0021
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5.4 Hedging utilizzando la duration
121
0.3
0.25
0.2
Hedged Bond (V_1)
0.15
Hedge Bond (V_2)
∆V̄
0.1
Hedge Bond (V_3)
0.05
0
-0.07
-0.05
-0.03
-0.01
0.01
0.03
0.05
0.07
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
∆i
Figura 5.2: Variazioni assolute del valore delle posizioni in V̄1 , V̄2 e
V̄3
Nella Figura 5.2 è riportato il grafico delle variazioni post–shift delle tre
posizioni per l’intervallo di shift [−0.06, 0.06]. Come si può notare il titolo con
maggiore curvatura (V̄2 ) causa perdite maggiori, sia per shift positivi dei tassi
che per shift negativi. La curvatura della funzione prezzo è misurata dalla
convexity: maggiore è la curvatura e maggiore sarà la convexity. Quindi,
nel costruire un hedge di una posizione lunga è preferibile scegliere titoli a
convexity minore.
Se l’hedging che si sta effettuando è quello di una posizione corta (per esempio, un pagamento da effettuare nel futuro), l’hedge si costruisce tramite una
posizione lunga in un altro titolo.
L’ammontare di valore facciale da acquistare (long position) è dato dall’hedge
ratio descritto dalla (5.3) o dalla (5.4).
In questo caso, l’aggiustamento per la convexity si effettuerà scegliendo titoli
con convexity maggiore.
Infatti, se si ipotizza di essere short in V̄1 e di volere effettuare un hedge con
una posizione lunga su V̄2 o su V̄3 , osservando la Figura 5.2 si evince che una
riduzione dei tassi determina un aumento di valore nelle posizioni long e che
questo aumento è maggiore per i titoli con maggiore curvatura. Per shift
positivi (aumento dei tassi e conseguente riduzione dei prezzi) le posizioni
long generano perdite e queste perdite sono minori per i titoli con curvatura
maggiore.
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5.4 Hedging utilizzando la duration
122
Le strategie di hedging tramite duration si basano su di una ipotesi fondamentale: la struttura dei tassi evolve per shift paralleli di ampiezza
aleatoria. Un duration–hedge non garantisce alcuna protezione da shift non
paralleli. Nella realtà i tassi a breve periodo sono di solito più volatili dei
tassi a lungo e ciò determina shift della struttura non paralleli. In altri casi la
struttura evolve tramite twist che consistono in uno shift negativo dei tassi
a breve ed in uno positivo dei tassi a lungo.
Comunque, studi empirici hanno verificato che in circa il 90% dei casi la
struttura dei tassi evolve per shift paralleli. Questo risultato garantisce la
validità dei duration–hedge nella maggior parte dei casi. Gli sviluppi in questo ambito si basano su modelli stocastici dell’evoluzione della struttura dei
tassi che forniscono hedge ratio compatibili per evoluzioni di forma qualsiasi.
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5.5 Immunizzazione Finanziaria
5.5
123
Immunizzazione Finanziaria
Una strategia di controllo del rischio da tasso d’interesse che è legata al
concetto di hedging è l’immunizzazione finanziaria. In effetti l’immunizzazione finanziaria nasce come alternativa alle strategie di dedication o
cashflow creation, ma, come si vedrà, la trattazione in termini di hedging
di posizioni finanziarie permette di ricondurre i risultati ottenuti nell’alveo
della più ampia disciplina nota come gestione del rischio.
Il tipico problema di immunizzazione è quello di un intermediario finanziario
(banche, assicurazioni, etc.) che disponendo di flussi di attività o asset (per
esempio, mutui, prestiti, etc.)—i cosiddetti impieghi—finanziati da flussi
di passività o liability (per esempio, depositi, polizze assicurative, etc.—la
cosiddetta raccolta— intende garantire un margine di intermediazione certo
(la differenza fra il rendimento degli asset e quello delle liability).
Se i flussi di attività sono perfettamente allineati (perfect matching) a quelli
di passività (si veda l’Esempio 5.1) il margine di intermediazione non è soggetto alle fluttuazioni della struttura dei tassi. Come osservato nell’Esempio
5.1 tale allineamento nei casi pratici è difficile e costoso.
Al contrario delle strategie di dedication, che mirano a rendere uguali i flussi
di attivo e passivo, l’obiettivo dell’immunizzazione finanziaria è quello di
rendere le distribuzioni temporali dei flussi di attivo e passivo il più possibile
“simili”. In tal modo le fluttuazioni della struttura dei tassi influenzeranno
nella stessa maniera il valore attuale della attività e delle passività, lasciando
il più possibile invariato il margine di intermediazione.
Il concetto di immunizzazione finanziaria non è quindi diverso da quello di
hedging: entrambe le strategie consistono nel determinare posizioni finanziarie che varino in maniera opposta, tale che la perdita generata dall’una sia
neutralizzata dal guadagno ottenuto dall’altra.
L’ipotesi fondamentale che sottende i teoremi di immunizzazione è che la
struttura dei tassi evolva per shift additivi di tipo aleatorio, dove l’aleatorietà
pesa soltanto sull’ampiezza e sul segno della traslazione.
Si consideri un flusso di attività Ā = {A1 , A2 , . . . , Am } ed un flusso di passività L̄ = {L1 , L2 , . . . , Lm } definiti sullo stesso scadenzario t̄ = {t1 , t2 , . . . , tm }.
Si ipotizzi, inoltre, che nell’istante di valutazione t, nota la struttura dei
prezzi, i due flussi siano in equilibrio finanziario,
Ā(t) = L̄(t).
I due flussi si dicono immunizzati se in un istante successivo t+ , rispetto ad
un eventuale shift additivo della struttura, il valore post–shift delle attività
e maggiore o uguale del valore post–shift della passività,
Ā(t+ ) ≥ L̄(t+ ),
c
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5.5 Immunizzazione Finanziaria
124
o, in modo equivalente, se è non negativo il valore netto del portafoglio,
N̄ (t+ ) = Ā(t+ ) − L̄(t+ ) ≥ 0.
Se il flusso di passività è costituito da una sola posta L, pagabile al tempo
H > t, si dimostra che (Fisher & Weil, 1971) il valore post–shift del flusso di
attività Ā è non minore del valore delle passività, Ā(t+ ) ≥ L̄(t+ ), se e solo
se, nell’istante di valutazione t, i due flussi sono in equilibrio finanziario,
Ā(t) = L B(t, H)
(5.7)
e la duration del flusso di attività è uguale a quella delle passività,
D(t, Ā) = H − t.
(5.8)
La condizione sulle duration (eqn. 5.8), come per le strategie di hedging viste
in precedenza, assicura che i due flussi subiranno variazioni assolute uguali
nel caso di shift additivi della struttura dei tassi. Per esempio, una riduzione
dei tassi determinerà un aumento del valore delle liability ed, allo stesso
tempo, un aumento di valore delle attività. Se le variazioni assolute sono
uguali (e lo sono grazie al matching delle duration) il portafoglio è ancora
solvibile, ossia, Ā(t+ ) ≥ L̄(t+ ).
L’unica differenza con le strategie di hedging consiste nella condizione di equilibrio finanziario (eqn. 5.7). Nell’Esempio 5.3, il valore della posizione long
è pari a 1000000 · 1.0323 = 1,032,300 e, mentre quello della posizione short
è 1000000 · 0.5575 · 1.2093 = 674,179 e. In termini di hedging la condizione
(5.7) può essere imposta effettuando l’hedge con due titoli anzichè uno. Come è noto, da un punto di vista matematico, imporre due condizioni implica
che due equazioni devono essere soddisfatte contemporaneamente. Affinchè il
sistema ammetta soluzione, il numero delle incognite deve essere non minore
del numero delle equazioni. In questo caso si dice che il portafoglio detenuto
(long + short position) è self–financing.
Si indichi con V̄1 un titolo con scadenza in tp e con V̄2 e V̄3 due titoli con
scadenza in, rispettivamente, tm e tq . Affinchè il portafoglio sia self–financing,
il valore di un euro di nominale del titolo V̄1 deve essere uguale al valore del
portafoglio composto da α euro di nominale del titolo V̄2 e β euro di nominale
del titolo V̄3 , quindi,
αB̄(t, tm ) + β B̄(t, tq ) = B̄(t, tp )
(5.9)
Il primo membro della (5.9) è il prezzo di un portafoglio con pesi α e β
(si veda l’Esempio 3.2). I pesi sono stati scelti in modo che il prezzo del
portafoglio sia uguale a quello del titolo V̄1 .
c
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5.5 Immunizzazione Finanziaria
125
Come visto nell’Esempio 5.3, per strutture di tipo qualsiasi, l’hedge ratio si
ottiene uguagliando le duration dei due titoli, quindi,
D(t, Π̄) = D(t, V̄1 ),
Sostituendo nell’equazione precedente l’espressione per la duration del portafoglio (si veda eqn. 3.6), è data da,
α d2 D(t, V̄2 ) + β d3 D(t, V̄3 ) = D(t, V̄1 )
dove,
d2 =
B̄(t, tm )
Π̄(t)
e d3 =
B̄(t, tq )
.
Π̄(t)
Dato che, Π̄(t) = B̄(t, tp ), la condizione di matching delle duration diventa,
α B̄(t, tm ) D(t, V̄2 ) + β B̄(t, tq ) D(t, V̄3 ) = B̄(t, tp ) D(t, V̄1 ).
(5.10)
Esempio 5.5:
Si ipotizzi che i titoli V̄1 , V̄2 e V̄3 siano quelli proposti negli Esempi 5.2 e 5.3. Sostituendo nella (5.9) e nella (5.10) i valori
corrispondenti, il sistema di equazioni, nell’incognite α e β, è dato da,
1.2093 · α + 1.272 · β = 1.0323
6.8107 · α + 5.7629 · β = 3.7969.
Risolvendo il sistema si ottiene α = −0.6609 e β = 1.4399.
Qual è il significato finanziario da attribuire ad un valore di α negativo?
Il portafoglio con cui si effettua una strategia di hedge è per costruzione composto da posizioni short nei due titoli. In finanza il segno negativo in una
posizione indica la posizione opposta, quindi, essere short di −0.6609 significa, in pratica, assumere una posizione lunga di 0.6609 nel titolo V̄2 . In
maniera analoga, una posizione lunga di −x euro è equivalente ad una posizione short di x euro. Il portafoglio ottenuto è pertanto composto da una
posizione short di 1.4399 nel titolo V̄3 ed una posizione long di 0.6609 nel
titolo V̄2 , per ogni euro di nominale del titolo V̄1 .
Se il nominale del titolo V̄1 è di 500,000 e, sarà necessario vendere allo scoperto 500000 · 1.4399 = 719,950.47 e di nominale del titolo V̄2 e comprare
500000 · 0.6609 = 330,434.53 e di nominale del titolo V̄3 . Lo studente verifichi che il valore del portafoglio di hedge uguaglia il valore della posizione nel
titolo V̄1 .
Il motivo per cui il portafoglio di hedge è composto da posizioni di segno
opposto è dovuto al fatto che la duration del titolo V̄1 non è compresa fra le
c
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5.5 Immunizzazione Finanziaria
126
duration dei titoli V̄2 e V̄3 . Infatti, essendo la duration del portafoglio una
combinazione lineare di D(0, V̄2 ) e D(0, V̄3 ), ovvero, una media ponderata
delle due duration, per garantire l’uguaglianza con D(0, V̄1 ) una delle due
quantità deve essere negativa.
Lo studente verifichi che per effettuare l’hedge del titolo V̄3 il portafoglio di
copertura è composto da 0.7168 e del titolo V̄1 e 0.4399 e del titolo V̄2 , per
ogni euro di nominale detenuto del V̄3
Un’interessante proprietà dei flussi immunizzati è la seguente.
Siano Ā ed L̄ due flussi immunizzati nell’istante di valutazione t. Se nell’intervallo [t, t′ ], con t′ < t1 , non si verificano pertubazioni aleatorie della
struttura, allora i due flussi sono ancora immunizzati.
Tale proprietà garantisce che se la struttura subisce un’evoluzione puramente
deterministica, e se non giungono a scadenza poste dei flussi in esame, non è
necessario ricalibrare il portafoglio, o, in termini di hedging, non è necessario
modificare le posizioni assunte nel portafoglio di hedge. Questa proprietà si
verifica facilmente osservando che nel caso di evoluzione deterministica della
struttura la condizione (5.7) diventa,
Ā(t)
L̄(t)
=
,
′
B(t, t )
B(t, t′ )
(5.11)
D(t, Ā) − (t′ − t) = H − t − (t′ − t).
(5.12)
mentre, la (5.8),
La condizione (5.11) si ottiene applicando il teorema dei prezzi certi; la condizione (5.12) deriva dalla proprietà della duration nel caso di evoluzione
deterministica della struttura.
Dato che ambo i membri della condizione (5.11) sono divisi per la stessa
quantità, in caso di evoluzione deterministica è assicurata la condizione di
equilibrio finanziario. Le duration dei due flussi risultano accorciate della
stessa ammontare, garantendo il matching delle duration.
Nella realtà è molto improbabile che si verifichino evoluzioni deterministiche
della struttura dei tassi. Questa proprietà, comunque, suggerisce che se i
mercati sono abbastanza stabili si può monitorare il duration gap ed intervenire nel riallineamento delle duration solo quando si verifica una pertubazione
significativa dei tassi oppure giungano a pagamento poste dei due flussi.
Esempio 5.6: Un’azienda dovrà effettuare un pagamento di L = 10,000,000 e
fra H = 4 anni. Il tesoriere dell’azienda intende immunizzare la passività
con un portafoglio di BTP. I titoli individuati per lo scopo hanno le seguenti
caratteristiche:
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5.5 Immunizzazione Finanziaria
127
• cedola: c1 = 5%, c2 = 8%, c3 = 10% annuale;
• scadenza: m1 = 4, m2 = 7, m3 = 5.5 anni;
• prezzi: B̄(0, m1 ) = 1.0323, B̄(0, m2 ) = 1.2093, B̄(0, m3 ) = 1.2720 per
ogni euro di nominale;
• duration: D̄(0, V¯1 ) = 3.6781, D̄(0, V¯2 ) = 5.632, D̄(0, V¯3 ) = 4.4953 anni.
L’istante di valutazione è il 26/11/2001 e la struttura osservata è riportata
nella Tabella 4.2.
Per immunizzare la passività è necessario un portafoglio con almeno due
titoli. Affinchè le soluzioni del sistema siano positive, quindi il portafoglio
sia composto da due posizioni lunghe in BTP (acquisto), la duration della
passività deve essere compresa fra le duration dei titoli che faranno parte del
portafoglio. Si ipotizzi che siano state selezionate le coppie di titoli {V̄1 , V̄2 }
e {V̄2 , V̄3 }, i sistemi di equazioni che determinano i nominali per i portafogli
immunizzati sono (il problema è stato impostato per un euro di nominale
della liability),
1.0323 · α1 + 1.2093 · α2 = 0.8483
3.6781 · 1.0323 · α1 + 5.632 · 1.2093 · α2 = 0.8483 · 4
1.0323 · α1 + 1.2720 · α3 = 0.8483
3.6781 · 1.0323 · α1 + 4.4953 · 1.2720 · α3 = 0.8483 · 4.
I nominali che garantiscono l’immunizzazione della passività in t4 = 4 sono,
rispettivamente,
¸
¸ · ¸ ·
· ¸ ·
0.4981
α1
0.6864
α1
=
=
0.2627
α3
0.1156
α2
Per il primo portafoglio, il nominale del titolo V̄1 è 10000000 · 0.6864 =
6,864,000 e; il nominale del titolo V̄2 è 10000000 · 0.1156 = 1,156,000 e.
Il valore del portafoglio è chiaramente uguale al valore attuale della liability,
infatti,
6864000 · 1.0323 + 1156000 · 1.2093 = 8,483,658 e
Si ipotizzi che dopo 0.25 anni la struttura subisca uno shift additivo di 30 bp,
i prezzi dei titoli saranno:
B̄(0.25, m1 ) = 1.0298,
B̄(0.25, m2 ) = 1.1994,
B̄(0.25, m3 ) = 1.2658.
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5.5 Immunizzazione Finanziaria
128
Il valore del portafoglio {V̄1 , V̄2 } è dato da,
6864000 · 1.0298 + 1156000 · 1.1994 = 8,454,611 e,
mentre quello della liability è 10000000·0.8455 = 8,454,540 e. Il valore netto
post–shift è pari a,
8454611 − 8454540 = 70.14 e.
Si lascia allo studente di dimostrare che per uno shift di 80bp il valore netto
post–shift è pari a 486.92 e.
I teoremi di immunizzazione garantiscono che nel caso di singole uscite il
valore post–shift sia positivo per shift finiti della struttura. Come visto negli
Esempi 5.2 ed 5.3, il valore netto delle posizioni dopo lo shift non è positivo.
Ciò è dovuto al fatto che la posizione su cui è stata effettuato l’hedge prevede
un flusso con pagamenti multipli. Le condizioni che scaturiscono dal teorema
di Fisher & Weil non permettono l’immunizzazione di flussi con più poste
passive (leggi, più poste attive nel caso di posizioni lunghe).
Nell’Esempio 5.3 si è visto che scegliendo un titolo con convexity minore si
otteneva un hedge più “robusto”. Come sottolineato, se l’hedge è effettuato
su una posizione short, tramite posizioni long, sarà necessario scegliere quei
titoli che hanno convexity maggiore.
Se si considera il problema classico di immunizzazione, dove tramite una
posizione lunga (flussi dell’attivo) si cerca di neutralizzare gli effetti di shift
additivi su una posizione corta (flusso del passivo), applicando la stessa logica
dell’Esempio 5.3, il valore netto post–shift sarà maggiore o uguale a zero se
e solo se la convexity degli asset è maggiore della convexity delle liability.
Quindi, la terza condizione che garantisce che i flussi siano immunizzati è
(Redington, 1957),
C(t, Ā) ≥ C(t, L̄).
(5.13)
Sostituendo la (3.19) nella (5.13) si ottiene,
D(t, Ā) + D2 (t, Ā)
D(t, L̄) + D2 (t, L̄)
≥
.
(1 + iĀ )2
(1 + iL̄ )2
(5.14)
Dato che (1 + iĀ )/(1 + iL̄ ) ≃ 1 e che D(t, Ā) = D(t, L̄), la condizione sulle
convexity diventa,
D2 (t, Ā) ≥ D2 (t, L̄)
(5.15)
Purtroppo questa condizione assicura che il flusso sia immunizzato solo per
shift infinitesimi. Il teorema di Redington non può essere considerato una
generalizzazione del teorema di Fisher & Weil al caso di passività multiple
in quanto garantisce che i flussi siano immunizzati per shift infinitesimi (non
finiti) della struttura.
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Capitolo 6
Futures
6.1
Definizione di future
Il future è un contratto stipulato tra due controparti, legalmente vincolante,
per la consegna oppure per il ricevimento di una particolare attività finanziaria ad una data futura prestabilita ed a un prezzo concordato al momento
della stipula del contratto. L’attività finanziaria scambiata è anche nota
come sottostante o underlying asset.
Il contratto future differisce da un contratto forward per alcuni aspetti fondamentali:
1. i contratti future sono stipulati in un mercato regolamentato ed hanno
caratteristiche standard riguardo la quantità, l’attività sottostante e la
data di consegna. Al contrario, un contratto forward è un accordo fra
due parti che può contemplare date di consegna, quantità e specifiche dell’attività finanziaria sottostante, di tipo personalizzato (nel caso di titoli
obbligazionari, oggetto del contratto forward potrebbero essere titoli con
scadenza e cedola qualsiasi).
2. il valore di un future è aggiornato alla fine di ogni seduta borsistica ed
eventuali guadagni/perdite sono regolati ogni giorno. Questo meccanismo è detto mark–to–market. Al contrario, in un contratto forward la
transazione monetaria avviene soltanto alla data di consegna T .
3. la posizione aperta in un future (acquisto o vendita a termine) può essere
chiusa in qualsiasi momento prima della scadenza del contratto, attraverso
un’operazione di segno opposto. La chiusura di un contratto forward
prima della data di consegna non è automatica ed implica una trattativa
fra le parti.
6.2 Caratteristiche di un future
130
In questo capitolo si studieranno i future sui tassi a breve (future sull’EURIBOR a 3 mesi) e sui tassi a lungo (future sul BTP a 10 anni o sul Bund a 10
anni). In particolare, si vedrà come questi strumenti possono essere utilizzati
per l’hedging di posizioni su titoli a reddito fisso, al fine di ridurre il rischio
da tasso d’interesse.
6.2
Caratteristiche di un future
In un contratto future una delle due parti si impegna a comprare, e di conseguenza l’altra parte si impegna a vendere, una quantità prestabilita del
sottostante. Per quanto riguarda i future sui tassi, il sottostante è rappresentato da un titolo a lungo periodo con caratteristiche ben definite, o da
un tasso d’interesse di a breve periodo. L’ammontare e l’istante in cui sarà
consegnato il sottostante contribuiscono a definire in maniera uniforme un
contratto future sui tassi. Nelle Figure 6.1, 6.2 e 6.3 sono riportate, rispettivamente, le specifiche contrattuali di un contratto future sull’EURIBOR a
tre mesi, del future sul BTP a 10 anni e del future sul Bund a 10 anni1 .
Per entrambi i contratti è specificato l’ammontare di valore facciale che sarà
scambiato nelle date di consegna (p.es: un contratto future sul BTP implica
lo scambio di 100,000 e di valore facciale). Le date di consegna sono anch’esse specificate (p.es.: il future sull’EURIBOR a tre mesi ha come mesi
di consegna Marzo, Giugno, Settembre e Dicembre, più altri due mesi che
permettono 22 mesi di contrattazioni a cavallo di due anni).
Si osservi che, nel caso del future sui BTP (come in tutti i future sui tassi a
lungo periodo) è specificata anche la cedola del BTP scritto nel contratto.
Alcune specifiche possono variare a secondo dei mercati in cui sono contrattati i future (luogo e date di consegna), ma nella sostanza, non esiste alcuna
differenza fra un BTP future scambiato al MIF ed uno scambiato al LIFFE
(le specifiche riportate nelle precedenti figure sono quelle relative al LIFFE).
Il prezzo di un contratto future è ufficialmente pubblicato ogni giorno lavorativo dalla società responsabile del mercato future. Un operatore che acquista
un contratto future assume una long position e s’impegnerà a consegnare
l’ammontare prescritto per ogni contratto acquistato alla data di consegna.
Si osservi che, come per un contratto forward, acquistare un future non implica alcun esborso di denaro. Il prezzo di mercato rappresenta il prezzo
futuro con cui sarà regolamentata la transazione al momento della consegna.
1
In seguito, si farà riferimento soltanto al Bund a 10 anni. Dopo la convergenza dei
tassi europei e l’integrazione monetaria non esiste differenza fra un Bund ed un BTP. In
un futuro prossimo, questi titoli dovrebbero scomparire per far posto ad un titolo della
“Federazione Europea”.
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6.2 Caratteristiche di un future
131
Three Month Euribor Interest Rate Future
Unit of trading
Delivery months
Delivery day
Last trading day
Quotation
Minimum price movement
(Tick size & value)
Trading hours
E1,000,000
March, June, September, December, and two serial
months, such that 22 delivery months are available for
trading, with the nearest three delivery months being
consecutive calendar months
First business day after the Last Trading Day
10.00
Two business days prior to the third Wednesday of the
delivery month
100.00 minus rate of interest
0.005 (E12.50)
07.30 – 18.00
Trading Platform: LIFFE CONNECT™ central order book applies a combination of time/price and pro-rata
algorithm, Block Trading Facility.
Contract standard: Cash settlement based on the Exchange Delivery Settlement Price.
Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): Based on the European Bankers Federations’ Euribor Offered Rate
(EBF Euribor) for three month Euro deposits at 11.00 Brussels time (10.00 London time) on the Last Trading Day.
The settlement price will be 100.00 minus the EBF Euribor Offered Rate rounded to three decimal places. Where
the EDSP Rate is not an exact multiple of 0.005, it will be rounded to the nearest 0.005 or, where the EDSP Rate
is an exact uneven multiple of 0.0025, to the nearest lower 0.005 (e.g. a EBF Euribor Offered Rate of 2.53750
becomes 2.535).
Unless otherwise indicated, all times are London times.
Figura 6.1: Specifiche di un contratto future sull’EURIBOR a tre
mesi.
c
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6.2 Caratteristiche di un future
132
Italian Government Bond (BTP) Future (denominated in Euro)
Unit of trading
Delivery months
Delivery day
Last trading day
Quotation
Minimum price movement
(Tick size & value)
Trading hours
E100,000 nominal value notional Italian government
bond with 6% coupon
March, June, September, December, such that the
nearest three delivery months are available for trading
Tenth calendar day of delivery. If such a day is not a
business day for the Stanza Milan, then the Delivery Day
will be the following business day for the Stanza Milan
11.30
Four Stanza Milan business days prior to the
Delivery Day
Per E100 nominal
0.01 (E10)
07.00 - 18.00
Trading platform: LIFFE CONNECT™ central order book applies price/time priority trading algorithm, Basis
Trading Facility, Block Trading Facility.
Contract standard: Delivery may be made of any Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) with 8 1/2 to 10 1/2 years
remaining maturity as at the tenth calendar day of the delivery month, provided that any such BTP has a minimum
amount in issue of E2,000,000,000. Delivery will take place through the Stanza Milan and must be made via a
financial institution that has an account in its own name in the Stanza Milan.
Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): The LIFFE market price at 12.30 Italian time on the Last Trading
Day. The invoicing amount in respect of each deliverable BTP is to be calculated by the price factor system. A final
List of Deliverable BTPs and their price factors will be announced by the Exchange ten working days prior to the
Last Trading Day of the delivery month. Adjustment will be made for the pro rata gross coupon interest accruing
as at the Delivery Day.
Unless otherwise indicated, all times are London times.
Figura 6.2: Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 anni
denominato in euro.
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6.2 Caratteristiche di un future
133
German Government Bond (Bund) Future (denominated in Euro)
Unit of trading
Delivery months
Delivery day
Last trading day
Quotation
Minimum price movement
(Tick size & value)
Trading hours
E100,000 nominal value notional German government
bond with 6% coupon
March, June, September, December, such that the
nearest three delivery months are available for trading
Tenth calendar day of delivery month. If such a day is
not a business day in Frankfurt then the Delivery Day
will be the following Frankfurt business day
12.30 Frankfurt time
Two Frankfurt business days prior to the Delivery Day
Per E100 nominal
0.01 (E10)
07.00 - 18.00
Trading platform: LIFFE CONNECT™ central order book applies price/time priority trading algorithm, Basis
Trading Facility, Block Trading Facility.
Contract standard: Delivery may be made of any Bundesanleihe with 8 1/2 - 10 1/2 years remaining maturity as
at the tenth calendar day of the delivery month, providing that any such Bund has a minimum amount in issue of
E2,000,000,000 as listed by LIFFE. Delivery may be made via accounts at (i) Deutsche Börse Clearing AG 1
(ii) Euroclear; or (iii) Cedel S.A.
Exchange Delivery Settlement Price (EDSP): The LIFFE market price at 12.30 Frankfurt time on the Last Trading
Day. The invoicing amount in respect of each deliverable Bund2 is to be calculated by the price factor system. A
final List of Deliverable Bunds and their price factors will be announced by the Exchange ten market days prior to
the Last Trading Day of the delivery month. Adjustments will be made for full coupon interest accruing as at the
Delivery Day.
Unless otherwise indicated, all times are London times.
Figura 6.3: Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 anni
denominato in euro.
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6.2 Caratteristiche di un future
134
Nella Figura 6.4 sono riportate le quotazioni del future sull’EURIBOR a tre
mesi (Liffe). Se si indica con lK il tasso future, come si evince dalle specifiche
contrattuali, il future è quotato a 100 − lK . L’acquirente di un contratto
future con consegna in Dicembre, “acquisterà” un deposito EURIBOR al
tasso lK = 100 − 96.59 = 3.41%. Acquistare un deposito EURIBOR equivale ad un’operazione finanziaria di investimento (come acquistare un BOT).
Pertanto, alla consegna sarà versato un ammontare pari a K, per ricevere
il valore facciale del deposito scritto nel contratto future dopo tre mesi. Il
prezzo del deposito si ottiene attualizzando al tasso lK il valore facciale del
deposito,
³
τ ´−1
.
(6.1)
K = C 1 + lK
n
Gli operatori con una posizione lunga sono obbligati a depositare alla consegna (Dicembre) un ammontare pari a,
µ
90
K = 1000000 · 1 + 0.0341 ·
365
¶−1
= 991,661 e,
per ricevere 1,000,000 e dopo tre mesi.
Se si indica con L(T, T + τ ) il valore attuale in T di un euro esigibile in
T + τ , alla consegna l’operatore con una posizione lunga subirà una perdita
netta se L(T, T + τ ) < K, ovvero, se il tasso EURIBOR spot nell’istante T
è maggiore di lK .
Alla data di consegna T , l’operatore con una posizione lunga nel future si
è impegnato ad investire al tasso lK . Se in T il tasso spot EURIBOR è
maggiore di lK , il deposito realizzerà una perdita dovuta ai minori interessi
percepiti. Il risultato monetario L(T, T + τ ) − K è noto come payoff del
contratto derivato.
Nella Figura 6.5 è riportato il payoff in funzione dei prezzi L(T, T + τ ). Si
noti che il grafico del payoff di una posizione lunga in un future è uguale a
quello per una posizione lunga spot, con la sola differenza che il prezzo di
riferimento è il prezzo future K.
In maniera speculare vendere un future consiste nell’assumere una posizione
corta. Nel caso dei future sull’EURIBOR vendere un contratto comporta la
vendita di un deposito a tre mesi remunerato al tasso EURIBOR. In questo
caso l’operazione finanziaria è equivalente ad un’operazione di finanziamento
a tre mesi al tasso lK , prefissato al momento della vendita del future. L’operatore con una posizione corta sul future con scadenza Dicembre riceverà una
somma pari a 991,661 e e s’impegnerà a pagare 1,000,000 e dopo tre mesi.
Se alla consegna, T , il tasso spot per operazioni EURIBOR a tre mesi,
l(T, T + τ ), è maggiore del tasso scritto sul contratto future, lK , l’operatore
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6.2 Caratteristiche di un future
135
Figura 6.4: Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lungo in data 25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001
(destra). (Fonte: Il Sole24ORE.)
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6.2 Caratteristiche di un future
136
0.0005
0.0004
0.0003
0.0001
0.9931
0.993
0.9929
0.9928
0.9927
0.9926
0.9925
0.9924
0.9923
0.9922
0
0.9921
L(T, T + 3) − K
0.0002
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
L(T, T + 3)
Figura 6.5: Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sull’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con
L(T, T +τ ) si è indicato il prezzo spot in T di un deposito
al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi.
con una posizione corta beneficierà della riduzione del prezzo del deposito.
Vendendo il future si è praticamente fissato il tasso a cui è possibile indebitarsi in Dicembre. Se al momento della consegna il tasso EURIBOR a
tre mesi è maggiore di quello pattuito con il future, il finanziamento al tasso lK < l(T, T + τ ) procurerà un guadagno in termini di minori uscite per
interessi.
Nella Figura 6.6 è riportato il payoff a scadenza di una posizione short
sull’EURIBOR a tre mesi.
Si osservi che il grafico del payoff di una posizione corta in un future è uguale
a quello per una posizione short spot. In questo caso i profitti/perdite sono
calcolati rispetto al prezzo future e non rispetto la prezzo spot (si veda Figura
5.1).
Si indicherà con F (t, T ) il prezzo in t di un future con consegna in T . Come
si può notare è stato omesso il parametro s che indica la scadenza del titolo
sottostante. In effetti, un future ha interesse finanziario fino alla data di consegna T . Inoltre, i future sono contratti standardizzati e l’asset sottostante
(p.es: BTP a 10 anni) è implicitamente definito nelle specifiche contrattuali.
Una volta entrati in un future, il prezzo del sottostante è fissato ed è pari a
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6.2 Caratteristiche di un future
137
0.0005
0.0004
0.0003
0.0001
0.9933
0.9932
0.9931
0.993
0.9929
0.9928
0.9927
0.9926
0.9925
0.9924
0
0.9923
L(T, T + 3) − K
0.0002
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
L(T, T + 3)
Figura 6.6: Profitti/perdite di una posizione corta in un future sull’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con
L(T, T +τ ) si è indicato il prezzo spot in T di un deposito
al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi.
K. Se si esplicita l’istante in cui avviene la negoziazione sarà,
K(t) = F (t, T ).
Nelle date successive il prezzo del future evolve secondo gli andamenti del
titolo sottostante. Un operatore che in una data successiva entrerà nello
stesso future fisserà il prezzo di consegna al livello,
K(t + 1) = F (t + 1, T ).
Nella Figura 6.4 sono riportate le quotazioni dei futures sui tassi relativi alla
data di contrattazione del 05/10/2001. In data 25/09/2001, il prezzo future
per un Bund a 10 anni consegna Dicembre è F (t1 , T ) = 107.52. Gli operatori
che assumeranno una posizione nel future in questione, fisseranno il prezzo
di consegna a K(t1 ) = F (t1 , T ) = 107.52. In data 05/10/2001, il prezzo dello
stesso future è F (t2 , T ) = 108.11, quindi K(t2 ) = F (t2 , T ) = 108.11.
Di solito un contratto future non viene mantenuto fino alla consegna. Hedgers
e speculatori mantengono il contratto fino a quando è conveniente per le
rispettive strategie. La chiusura di un contratto future consiste nell’assumere
una posizione uguale e contraria. Per esempio, se Tizio è short su 5 contratti
future, la chiusura di tale posizione implica l’acquisto di 5 contratti future.
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6.3 Il meccanismo del mark–to–market
138
In questa maniera i proventi della posizione short si annullano con quelli della
nuova posizione long.
Alla fine di ogni giornata di negoziazione, la società che gestisce il mercato
dei future cancella le posizioni uguali e contrarie di ogni operatore. La somma delle operazioni long rimanenti (specularmente, la somma delle posizioni
short) determina la consistenza del mercato ed è nota come open interest.
6.3
Il meccanismo del mark–to–market
Il mark–to-market è uno degli aspetti che maggiormente caratterizza ed influenza il prezzo di un future. Tale meccanismo permette di ridurre il rischio di default dovuto a movimenti avversi del mercato, ovvero il rischio
che, eventi rari (ma possibili), producano perdite tali che gli operatori non
possano onorare il contratto sottoscritto. Per esempio, se si vende un contratto sull’EURIBOR a 95 ed alla consegna il prezzo spot di un deposito
EURIBOR è pari a 100, la perdita (5 euro), moltiplicata per il numero di
contratti future, può essere consistente. Anche in presenza del meccanismo
di mark–to–market numerosi sono gli esempi di società fallite per operazioni
avventurose in future.
Alla fine di ogni sessione di mercato, la Cassa di Compensazione e Garanzie (Clearing House) indica il prezzo ufficiale per ogni tipologia di
future contrattato. Tale prezzo è anche noto come prezzo di chiusura o
daily settlement price.
Il settlement price è utilizzato per regolare le posizioni aperte di ogni operatore presente nel mercato. In particolare, se si indica con F (t−1, T ) il prezzo
di chiusura al tempo t − 1, con F (t, T ) il prezzo di chiusura al tempo t, con
C il nozionale del contratto e con n il numero di contratti, il flusso generato
da una posizione short o long è dato da,
MTM(t − 1, t) = n C [F (t, T ) − F (t − 1, T )] .
(6.2)
Per una short position, n è un numero negativo, mentre per una long position,
n è positivo. Dalla (6.2) si evince che un aumento del prezzo future implica
una perdita per le posizioni short (F (t, T ) − F (t − 1, T ) > 0), quindi, la
posizione short sarà obbligata al pagamento dell’ammontare dato dalla (6.2).
In maniera speculare la long position riceverà l’ammontare corrispondente
per ogni contratto sottoscritto.
In ogni contratto future è specificato il movimento minimo del prezzo (tick)
che è significativo per il calcolo del flusso mark–to–market, nonchè il valore
di tale movimento. Per esempio, il tick del future sul Bund a 10 anni è pari
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6.3 Il meccanismo del mark–to–market
139
allo 0.01% del valore facciale2 ed il valore di ogni tick è pari a 10 e (si veda
Figura 6.3).
Se si indica con η(t − 1, t) il numero di tick e con σ l’ampiezza del tick, si ha
che,
F (t, T ) − F (t − 1, T )
.
(6.3)
η(t − 1, t) =
σ
Il flusso mark–to–market generato da una posizione in n contratti future è
dato da,
MTM(t − 1, t) = n η(t − 1, t) φ,
(6.4)
dove φ è il valore di un singolo tick.
Per costruzione la (6.2) e la (6.4) forniscono lo stesso flusso mark–to–market.
La (6.4), comunque, è utilizzata più frequentemente in quanto per taluni
contratti future l’applicazione della (6.2) necessita una modifica dei dati di
input.
In particolare, si ricorda che il future sull’EURIBOR è quotato a 100 − lK
dove lK è un tasso a tre mesi su base annuale. Nel computo del flusso
MTM(t − 1, t) è necessario riportare il tasso su base trimestrale, quindi lK /4.
Ciò comporterebbe la modifica dei prezzi future della (6.2). Per ovviare a
tale inconveniente nelle specifiche contrattuali di ogni future è specificato il
valore di ogni tick. Nel caso del future sull’EURIBOR a tre mesi il valore del
tick dovrebbe essere pari a 0.005% · 1000000 = 50 e. Riportando il valore del
tick su base trimestrale si ottiene 50/4 = 12.5 e (si veda Figura 6.1).
Esempio 6.1: In data 25/09/2001 un operatore ha una posizione long in
n1 = 5 contratti future sull’EURIBOR a tre mesi consegna Dicembre 2001 ed
una posizione short su n2 = 3 contratti future sul Bund a 10 anni consegna
Marzo 2002. L’evoluzione del settlement price dei due contratti è riportata
nelle tabelle di seguito. Il flusso mark–to–market di ogni posizione è riportato
nell’ultima colonna. Si osservi che il flusso totale fra la prima e l’ultima
data di contrattazione è uguale alla somma algebrica dei mark–to–market
giornalieri,
0.9628 − 0.95654
= 125,
η(1, 6) =
0.00005
da cui,
MTM(1, 6) = 5 · 125 · 12.5 = 7,812.5 e
2
In pratica il tick è pari ad 1 bp (0.01/100 = 0.0001)
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6.4 Prezzi future e forward
t
1
2
3
4
5
6
totale
F (t, T ) F (t − 1, T )
95.523
95.654
95.73
95.523
95.5
95.73
96.235
95.5
96.634
96.235
96.28
96.634
96.28
95.654
140
φ
12.5
12.5
12.5
12.5
12.5
12.5
12.5
η(t − 1, t)
-26
41
-46
147
80
-71
125
n1
5
5
5
5
5
5
5
M T M (t − 1, t)
-1625
2562.5
-2875
9187.5
5000
-4437.5
7812.5
Per applicare la (6.2) è necessario modificare i prezzi dei future riportando il
tasso su base trimestrale. Si verifica facilmente che i prezzi future utilizzando
tassi trimestrali sono, F (1, T ) = 0.989135 e F (6, T ) = 0.9907, da cui,
MTM(1, 6) = 5 · 1000000 · (0.9907 − 0.989135) = 7,825 e3 .
t
1
2
3
4
5
6
totale
6.4
F (t, T )
109.26
109.825
110.2
110.156
110.057
110.567
110.567
F (t − 1, T )
109.47
109.26
109.825
110.2
110.156
110.057
109.47
φ
10
10
10
10
10
10
10
η(t − 1, t)
-21
56
38
-4
-10
51
110
n2
-3
-3
-3
-3
-3
-3
-3
M T M (t − 1, t)
630
-1680
-1140
120
300
-1530
-3300
Prezzi future e forward
Come visto nei capitoli precedenti, il prezzo di un contratto forward è identificato da tre parametri che indicano, rispettivamente, l’istante di valutazione,
la consegna e la scadenza del titolo. Quando non è importante specificare la
scadenza del titolo il parametro corrispondente si può omettere. In tal caso
il simbolo B(t, T, s) diventa B f (t, T ). In questo caso l’apice è importante per
non confondere il prezzo forward con un prezzo spot. Nella letteratura finanziaria di solito si preferisce utilizzare una simbologia più semplice e quindi si
indica il prezzo di un contratto forward con f (t, T ).
D’ora innanzi, quando non è importante specificare la scadenza del titolo
sottostante in un contratto forward, per identificare il prezzo forward si utilizzerà il simbolo f (t, T ). Di conseguenza, si indicherà con B(t) il prezzo spot
del titolo sottostante.
3
La differenza è dovuta ad errori di arrotondamento.
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6.4 Prezzi future e forward
141
Come visto nel paragrafo 1.4.1, un FRA definisce implicitamente il prezzo
forward di un’operazione di finanziamento o investimento a termine. Il meccanismo finanziario che sottende un FRA è simile a quello di un contratto
future sui tassi a breve. In pratica, un EURIBOR a tre mesi consegna Dicembre 2001 (data di negoziazione 5/10/2001) permette di fissare il tasso a
tre mesi per un’o.f. che avrà inizio fra due mesi, proprio come un FRA2x5 .
La differenza principale è che un contratto FRA è regolato alla data di fixing
e nessun pagamento è previsto prima di questa data.
Nel paragrafo 2.2 si è dimostrata la relazione che lega i prezzi a pronti ed i
prezzi a termine. Dato che un contratto future non è sostanzialmente diverso
da un contratto forward, un FRA ed un future sul tasso a breve, con le stesse
caratteristiche, dovrebbero avere lo stesso prezzo. Come si dimostrerà in
seguito, i prezzi future e forward coincidono solamente nel caso di evoluzione
deterministica della struttura dei tassi.
Nella realtà i prezzi future e forward differiscono. Il principale responsabile di questa discrepanza è il meccanismo di mark–to–market associato
all’aleatorietà dei tassi d’interesse.
La relazione fra prezzi a pronti e forward assicura che,
B(t, T, s) = B(t, s) M (t, T ),
dove M (t, T ) = 1/B(t, T ). Utilizzando il modello esponenziale con intensità
pari a δ, la precedente relazione può essere scritta come,
B(t, T, s) = B(t, s) eδ (T −t) .
Alla luce della simbologia appena introdotta, si ha che,
f (t, T ) = B(t) eδ (T −t)
(6.5)
Il prezzo forward dato dalla (6.5) è anche noto come prezzo cash–and–
carry. Dalla (6.5) si evince che: (i) il prezzo forward si ottiene capitalizzando
il prezzo spot al tasso di mercato, identificato in questo caso da una struttura
costante pari a δ, (ii) il prezzo forward è maggiore del prezzo spot, a meno
che non siano previsti pagamenti certi del sottostante prima della consegna
(per es.: il pagamento di cedole), (iii) alla consegna, t = T , il prezzo forward
e spot devono coincidere, quindi, il prezzo spot del sottostante convergerà al
prezzo future via via che ci si avvicina alla data di consegna.
La (6.5) si può derivare analizzando il valore del contratto forward prima
della consegna.
Si consideri un contratto forward negoziato in t0 con consegna in T e si
indichi con f (t0 , T ) il prezzo sottoscritto. Alla consegna il valore del contratto
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6.4 Prezzi future e forward
142
forward è dato dalla differenza fra il prezzo spot B(T ) ed il prezzo sottoscritto
K = f (t0 , T ). In ogni istante t, con t0 ≤ t ≤ T , il valore del payoff è dato
da,
V (t) = [B(T ) − K] e−δ (T −t) .
Ricordando che B(t) = B(T )e−δ (T −t) , si ottiene che,
V (t) = B(t) − K e−δ (T −t) .
Come è noto nell’istante di sottoscrizione il valore del future è pari a zero.
Quindi, data l’ipotesi di assenza di arbitraggi non–rischiosi, deve essere,
V (t0 ) = B(t) − K e−δ (T −t) = 0,
da cui si ricava facilmente la (6.5).
Come già accennato il prezzo di un contratto future è diverso da quello di
un contratto forward similare. Tale differenza è imputabile al meccanismo
di mark–to–market, associato alla fluttuazione aleatoria della struttura dei
tassi.
Si può dimostrare che l’uguaglianza fra i prezzi forward e future si realizza
soltanto nel caso (molto improbabile) in cui la struttura dei tassi evolva in
maniera deterministica.
Nel caso di evoluzione deterministica della struttura si verifica che,
B(T, s) =
B(t, s)
.
B(t, T )
(6.6)
Ricordando che M (t, s) = 1/B(t, s) e M (t, T ) = 1/B(t, T ), sostituendo nella
(6.6) con semplici passaggi algebrici si ottiene che,
M (t, s) = M (t, T ) M (T, s)
Si considerino tre istanti temporali t ≤ t1 ≤ T e si assuma che la struttura dei
tassi evolva in maniera deterministica, quindi M (t, T ) = M (t, t1 ) M (t1 , T ).
Si ipotizzi inoltre che nel mercato siano negoziati dei contratti forward e
future sullo stesso underlying asset, e che nell’istante t1 sia valutato il flusso
mark–to–market dei future.
Si consideri la seguente strategia:
(a): vendita allo scoperto in t di n contratti forward con consegna in T al
prezzo f (t, T ), dove n = M (t, T );
(b): acquisto in t di m contratti future con consegna in T al prezzo F (t, T ),
dove m = M (t, t1 );
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6.4 Prezzi future e forward
143
(c): acquisto in t1 di h contratti future con consegna in T al prezzo F (t1 , T ),
dove h = m [M (t1 , T ) − 1].
Nell’istante t1 il flusso mark–to–market del future è dato da,
m [F (t1 , T ) − F (t, T )] .
Se si indica con B(T ) il prezzo spot alla consegna dell’underlying asset, il
valore delle tre posizioni finanziarie nell’istante di consegna T è riassunto nei
seguenti tre punti:
(a): payoff della posizione short in forward,
A(T ) = −n [B(T ) − f (t, T )] =
= −M (t, T ) [B(T ) − f (t, T )] ;
(b): payoff della posizione long in future,
B(T ) = m [B(T ) − F (t, T )] + h [B(T ) − F (t1 , T )] =
= M (t, t1 )M (t1 , T ) [B(T ) − F (t1 , T )] ;
(c): valore in T del flusso generato in t1 ,
C(T ) = {m [F (t1 , T ) − F (t, T )]} M (t1 , T ) =
= M (t, t1 )M (t1 , T ) [F (t1 , T ) − F (t, T )] .
La somma dei tre flussi genera il seguente payoff totale,
A(T ) + B(T ) + C(T ) = −M (t, T ) [B(T ) − f (t, T )] +
+ M (t, t1 )M (t1 , T ) [B(T ) − F (t1 , T )] +
+ M (t, t1 )M (t1 , T ) [F (t1 , T ) − F (t, T )] .
(6.7)
Data l’ipotesi di evoluzione deterministica della struttura, con semplici passaggi algebrici la (6.7) diventa,
A(T ) + B(T ) + C(T ) = M (t, T ) [f (t, T ) − F (t, T )] .
(6.8)
Il portafoglio che genera la (6.8) è composto da contratti forward e future.
Ricordando che nell’istante di stipula sia i forward che i future hanno valore
pari a zero, per evitare arbitraggi non–rischiosi, anche il valore finale del
portafoglio deve essere nullo. Essendo M (t, s) > 1, affinchè A(T ) + B(T ) +
C(T ) = 0 deve essere,
f (t, T ) − F (t, T ) = 0,
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6.4 Prezzi future e forward
144
da cui scaturisce l’uguaglianza fra i prezzi future e forward.
Si osservi che questo risultato è stato ottenuto soltanto in virtù dell’ipotesi
di evoluzione deterministica della struttura. Come più volte sottolineato, il
mercato dei tassi è soggetto a fluttuazioni aleatorie continue, il chè relega
l’ipotesi di evoluzione deterministica nel campo dell’irrealtà.
Riassumendo, dal punto di vista teorico non è corretto utilizzare la formula
cash–and–carry per determinare il prezzo di un future. Comunque, analisi
empiriche hanno trovato che la differenza fra un prezzo future e forward è
trascurabile per contratti su brevi periodi, e che tali discrepanze sono più consistenti nei mercati dei future sulle materie prime. Per questo motivo molti
autori utilizzano la formula cash–and–carry come una valida approssimazione
dei prezzi future.
Esempio 6.2: In data 19/10/2001 il future sul tasso EURIBOR a tre mesi,
consegna Novembre (esattamente il 19/11/2001), è quotato a 96.51. Il tasso
future implicito è pari a 100 − 96.51 = 3.486%. Verificare che il tasso future
sull’EURIBOR a tre mesi è dato dalla formula cash–and–carry.
Fra un mese, una o.f. spot a quattro mesi avrà vita a scadenza pari a tre mesi.
Si indichi con B(0) il prezzo, per ogni euro di nominale, di tale deposito. I
tassi EURIBOR ad un mese ed a quattro mesi, su base 360, rilevati in data
17/10/2001, valuta 19/10/2001, sono, rispettivamente, l(0, 1) = 0.03821 e
l(0, 4) = 0.03578. Le intensità equivalenti ad i tassi l(0, 1) ed l(0, 4) sono
date da,
δ(0, 1) = ln(1 + 0.03821 · 30/360) = 0.003179108
δ(0, 4) = ln(1 + 0.03578 · 120/360) = 0.011856104.
Il prezzo B(0) si ottiene facilmente come,
B(0) = e−0.011856104 = 0.988213902
Per la formula cash–and–carry il prezzo del future sarà,
F (0, 1) = B(0) eδ(0,1) = 0.988213902 · e0.003179108 = 0.99136054.
Il tasso implicito nel prezzo F (0, 1) è pari a,
µ
¶ µ
¶
1
360
lK = 100 ·
−1 ·
= 3.4859003.
0.99136054
90
La quotazione del future è quindi,
F (0, 1) = 100 − lK = 100 − 3.4859003 = 96.51409969
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6.5 Hedging con future sui tassi a breve
145
Dato che le o.f. utilizzate nel calcolo del prezzo del future sono riferite a
periodi molto brevi, di solito si ricorre al modello lineare per il calcolo del
tasso future. In particolare si avrà,
¸
·
360
1 + l(0, 4) 120/360
−1
=
lK = 100 ·
1 + l(0, 1) 30/360
90
¸
·
360
1 + 0.03578 · 120/360
−1
= 3.485900312
= 100 ·
1 + 0.03821 · 30/360
90
Lo studente verifichi che in data 17/10/20014 , il prezzo future con consegna Dicembre (esattamente il 17/12/2001) è dato dalla formula cash–and–
carry utilizzando gli opportuni tassi EURIBOR. I dati necessari possono essere scaricati dalla banca dati de Il Sole24Ore disponibile presso la biblioteca
centrale.
6.5
Hedging con future sui tassi a breve
Come più volte sottolineato, l’obiettivo di una strategia di hedging consiste
nel proteggere il valore corrente o futuro di una posizione finanziaria da
movimenti avversi del mercato.
L’operatore che implementa una strategia di hedging agirà in modo da bilanciare l’effetto della fluttuazione dei tassi sulla propria posizione finanziaria
con la variazione dei prezzi nella posizione di hedging.
Il meccanismo di hedging è identico a quello analizzato nel paragrafo 5.4. Un
aumento dei tassi produce una perdita nel valore di una posizione lunga. In
tal caso sarà necessario vendere allo scoperto un certo ammontare di future
in quanto la posizione corta beneficia della riduzione dei prezzi (si ricorda
che un aumento dei tassi riduce i prezzi). In maniera analoga, la costruzione
di un hedge di una posizione corta si realizza tramite l’acquisto di future.
Se si indica con ∆F la variazione del prezzo del future, l’hedge ratio si ottiene
risolvendo la seguente equazione,
∆V = α∆F,
da cui,
α=
∆V
.
∆F
(6.9)
(6.10)
4
La formula cash–and–carry è sempre valida. Si sono considerati periodi con frequenza
mensile in quanto i dati a nostra disposizione sono per scadenze con frequenza mensile
(la struttura dei tassi EURIBOR). Gli analisti hanno a disposizione i valori dei tassi con
frequenza minore di un mese (giornaliera, settimanale, etc.).
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6.5 Hedging con future sui tassi a breve
146
Come è noto la variazione del valore della posizione da coprire è data da,
∆V = −V MD(0, V ) ∆i
La variazione assoluta del prezzo di un future dipende dall’andamento del
sottostante. La modified duration di un future sui tassi a breve è data dalla misura della volatilità del tasso sottostante, per esempio, l’EURIBOR a
tre mesi. Se si indica con MD(0, L) la modified duration di un deposito
EURIBOR a tre mesi, si ha che,
∆F = −F MD(0, L) ∆i
Sostituendo nella (6.10) si ha che,
α=
V MD(0, V )
F MD(0, L)
(6.11)
Esempio 6.3: In data 01/06/01 la John Hull s.r.l. ha avuto la conferma che il 01/09/01 riceverà un pagamento di 10,000,000 e. La direzione
finanziaria intende investire l’intero ammontare in un deposito a sei mesi
remunerato al tasso EURIBOR + 40 bp. In data 01/06/01 il tasso EURIBOR a 6 mesi è l(0, 6) = 4.446%. Gli analisti della società si aspettano
una riduzione dei tassi e decidono di limitare l’eventuale mancato guadagno
operando una copertura con future sul tasso EURIBOR.
La probabile riduzione dei tassi provocherà un aumento del prezzo del deposito EURIBOR. Per esempio, se il tasso EURIBOR rimanesse costante al
4.446%, in data 01/09/01, per ogni euro investito, cioè per ogni euro di capitale che si riceverà a scadenza, si pagheranno (1 + 0.04446 + 0.004)−0.5 =
0.976616521. Se il tasso EURIBOR subisse una flessione di 80 bp, per ogni
euro investito si pagheranno (1 + 0.04446 − 0.004)−0.5 = 0.980363888.
Per controbilanciare il mancato guadagno (o i maggiori costi) è necessario
assumere una posizione in future in modo da beneficiare dalla riduzione dei
tassi. Una riduzione dei tassi implica un aumento dei prezzi, quindi, una
posizione long in future produrrà quell’offset necessario a limitare la perdita
dovuta alla riduzione attesa dei tassi.
In data 01/06/01 i futures sul tasso EURIBOR quotati al LIFFE sono riportati nella Tabella 6.1.
Come si può notare non sono quotati future con consegna in date posteriori
al 01/09/2001. In questo caso è necessario acquistare un future con scadenza
anteriore al 01/09/2001, e riproporre la strategia di copertura per il rimanente periodo. Come accennato, le posizione in future non sono condotte fino
c
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6.5 Hedging con future sui tassi a breve
147
Scadenza Apertura Chiusura Chiusura preced.
Giugno
95.53
95.53
95.54
Luglio
95.6
95.61
95.62
Agosto
95.67
95.69
Tabella 6.1: Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi.
LIFFE del 01/06/01.
Quotazioni
alla consegna. Di solito si preferisce chiudere la posizione con una operazione
uguale e contraria prima della consegna.
Si ipotizzi di acquistare dei future con consegna Luglio5 e di rivenderli in
data 03/07/01. Nella stesso giorno si acquisteranno dei future con scadenza
Settembre che saranno a loro volta rivenduti il 01/09/01. Questa strategia è
anche nota come rolling the hedge forward.
Il numero di contratti future che è necessario acquistare è dato dalla (6.11).
La modified duration del sottostante è quella del deposito EURIBOR a tre
mesi, quindi,
0.25
= 0.239163502,
MD(0, L) =
1 + 0.04531
dove, i(0, 0.25) = 0.04531 è il tasso EURIBOR a tre mesi.
Se si indica con MD(0, E6) la modified duration di un deposito EURIBOR a
6 mesi, è facile verificare che essa è data da,
MD(0, E6) =
0.5
= 0.478716274,
1 + 0.04446
dove, i(0, 0.5) = 0.04446.
Il prezzo del deposito a sei mesi è dato dal valore attuale di un euro esigibile
alla scadenza, quindi,
B(0, 0.5) = (1 + 0.04446)−0.5 = 0.978484823.
Applicando la (6.11) si ha che,
α=
0.978484823 0.478716274
= 2.048705296 ≃ 2.
0.956
0.239163502
Quindi, per ogni euro di capitale nel deposito a sei mesi è necessario assumere
una long position di 2 euro in future sull’EURIBOR a tre mesi. Si osservi
che il rapporto fra le modified duration è praticamente uguale al rapporto fra
5
Come specificato nel contratto la consegna si effettua due giorni prima del terzo
mercoledı̀ del mese di consegna. Per il future in esame la consegna è prevista il 16/07/01.
c
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Consiglio
6.5 Hedging con future sui tassi a breve
148
Scadenza Apertura Chiusura Chiusura preced.
Luglio
95.63
95.63
95.62
Agosto
95.73
95.70
Settembre
95.75
95.79
95.75
Tabella 6.2: Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi.
LIFFE del 03/07/01.
Quotazioni
le duration, infatti, (1 + 0.04531)/(1 + 0.04446) = 1.000813818. Anche il
rapporto fra i prezzi si può approssimare ad ad uno, quindi, l’hedge ratio è
in effetti funzione soltanto del rapporto delle duration.
Il valore facciale di contratti future che è necessario acquistare è pari a
10000000 · 2 = 20,000,000 e, ovvero 20 contratti future. Molti autori riportano direttamente la formula per determinare il numero di contratti future
da acquistare. Tenendo conto delle approssimazioni suvviste, il numero di
contratti future è dato da,
nf =
FVV D(0, V )
,
FVL D(0, L)
(6.12)
dove FVV ed FVL sono, rispettivamente, il valore facciale della posizione da
coprire ed il valore facciale di un contratto future.
La strategia di copertura prevede la vendita in data 03/07/01 dei 20 contratti
future con consegna Luglio. Nella Tabella 6.2 sono riportati i prezzi relativi
alla data in questione.
La vendita dei 20 contratti future a al prezzo di 95.63 produce un profitto
della posizione long. Il numero di tick maturato nel periodo [01/06–03/07] è
pari a,
0.9563 − 0.956
η(0, 0.088) =
= 6;
0.00005
il flusso mark–to–market è dato da,
MTM(0, 0.088) = 6 · 20 · 12.5 = 1,500 e
Nella stessa data saranno acquistati 20 contratti future con consegna in Settembre6 .
La strategia di hedging terminerà il 01/09/01, quando la John Hull s.r.l.
effettuerà il deposito di 10,000,000 e remunerato al tasso EURIBOR + 40
bp. In tale data il tasso EURIBOR a sei mesi è pari a l(0, 0.5) = 4.123%,
il che conferma le attese degli analisti dell’azienda. Il prezzo di un contratto
6
Il giorno di consegna è previsto per il 17/09/01.
c
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Consiglio
6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
-10,000,000
149
10,226,150 + 5,000
0
0.5
Figura 6.7: Flusso di cassa dell’operazione di investimento nel deposito EURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve essere aggiunto il guadagno ottenuto dalla compravendita di
future.
future con consegna Settembre è pari a 95.82. Il numero di tick ed il flusso
mark–to–market sono, rispettivamente,
0.9582 − 0.9575
= 14
0.00005
MTM(0, 0.164) = 14 · 20 · 12.5 = 3,500 e.
η(0, 0.164) =
Dalla compravendita dei contratti future si è ottenuto un guadagno pari a
3500 + 1500 = 5,000 e. Il flusso originato dall’operazione di investimento
nel deposito EURIBOR è riportato nella Figura 6.7. In particolare,
V (0.5) = 10000000 · [1 + (0.04123 + 0.0004) · 0.5] + 5000 = 10,231,150 e7 .
L’holding period return è pari a,
10231150 − 10000000 360
·
= 0.04623.
10000000
180
La strategia di hedging ha limitato il mancato guadagno dovuto alla riduzione
dei tassi. Infatti, il rendimento percentuale ottenuto è circa 10 bp maggiore
del tasso a cui è stato effettuato il deposito (0.04523).
È importante sottolineare che l’obiettivo della strategia di hedging è quello di
limitare le eventuali perdite. Se, per esempio, si fosse realizzato un aumento dei tassi, la posizione long avrebbe prodotto delle perdite. In tal caso le
maggiori entrate dovute all’aumento dei tassi sarebbero state assorbite dalle
perdite nella posizione long in future.
hpr(0, 0.5) =
6.6
Hedging con future sui tassi a lungo
Le strategie di hedging sui tassi a lungo non differiscono sostanzialmente da
quelle viste per i tassi a breve. Nei prossimi due paragrafi si analizzeranno
7
Si osservi che il guadagno ottenuto dalla vendita dei future potrebbe essere a sua volta
investito in un deposito a sei mesi.
c
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6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
150
alcune caratteristiche peculiari dei future sui tassi a lungo e le modifiche
necessarie per correggere la relazione per il calcolo dell’hedge ratio.
6.6.1
Fattore di conversione
Come si evince dallo schema contrattuale del future sul Bund a 10 anni (si
veda fig. 6.3), una posizione short in un future obbliga il venditore a consegnare 100,000 e di nominale di un Bund con coupon pari al 6%. Nella pratica
un titolo con tali caratteristiche è difficilmente reperibile sul mercato, soprattutto per quanto riguarda la scadenza. Di solito il venditore ha l’opzione di
scegliere fra un insieme di titoli con scadenza fra 8 anni e mezzo e 10 anni e
mezzo. Per neutralizzare l’effetto dovuto a coupon e scadenze differenti, la
LIFFE, come tutti i mercati di future, fornisce un fattore di conversione che
permette di equiparare un qualsiasi bond al titolo specificato nel contratto
future.
Il fattore di conversione è dato dal valore attuale delle cedole future attualizzate al tasso del coupon riportato dal contratto. Come è noto, se il tasso
cedolare è pari allo yield utilizzato per scontare il flusso, l’obbligazione prezza
alla pari, quindi, il fattore di conversione è pari ad uno. In effetti, se il titolo
che sarà consegnato ha un coupon pari a quello specificato nel contratto,
nessuna conversione è necessaria.
Per ogni euro di nozionale, l’importo monetario che riceverà il venditore del
future è dato da,
V (T ) = EDSP CF + R(f ),
(6.13)
dove, EDSP è il cosiddetto exchange delivery settlement price del future alla data di consegna (fissato dalla clearing house), CF è il fattore di
conversione ed R(f ) è il rateo.
Esempio 6.4: Si ipotizzi che il titolo scelto per la consegna sia un Bund con
scadenza 9 anni e tre mesi e cedola c = 6.5% annuale. Il numero di mesi che
mancano alla scadenza sono esattamente 9 · 12 + 3 = 111. Il numero di cedole
piene che saranno pagate dal titolo è pari a m = 18 (il quoziente di 111/6),
mentre la prossima cedola è pagata fra tre mesi (il resto di 111/6). Se si
indica con T la data di consegna del sottostante, con tS la data di pagamento
della cedola successiva e con tP la data dell’ultima cedola pagata, il fattore di
conversione è dato da,
·
¾
¸
½
t −T
c c 1 − (1 + ys )−m
− t S−t
−m
+
+
+ (1 + ys )
CF = (1 + ys ) S P
2 2
ys
¶
µ
(6.14)
c T − tP
−
,
2 tS − tP
c
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6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
151
dove ys è il tasso cedolare del sottostante specificato nel contratto future (nel
caso di future sul Bund e sul BTP, ys = 0.06/2).
c/2
tP
T
tS
c/2
tS + τ
c/2
tS + 2 τ
Figura 6.8: Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione.
Se si ipotizza che tS − tP = 180 e tS − T = T − tP = 90, il fattore di
conversione è pari a,
·
¸
1 − (1 + 0.03)−18
−0.5
−18
CF = (1 + 0.03)
· 0.0325 + 0.0325 ·
+ (1 + 0.03)
+
0.03
− 0.0325 · 0.5 = 1.034981827
Si osservi che il fattore di conversione è superiore ad uno in quanto il bond
che sarà consegnato ha un coupon maggiore del 6% annuale.
Se si ipotizza che l’EDSP = 0.9846, il venditore allo scoperto riceverà, per
ogni euro di nominale, un ammontare pari a,
V (T ) = 0.9846 · 1.034981827 + 0.01625 = 1.035293107,
per un totale di 100000 · 1.035293107 = 103,529.31 e
Lo studenti verifichi che un titolo con scadenza 9 anni e sette mesi e cedola
c = 5% ha un fattore di conversione CF = 0.927862421.
6.6.2
Cheapest–to–delivery
L’investitore che ha assunto una short position in un future ha la possibilità
di scegliere fra un insieme di titoli a lungo periodo per effettuare la consegna
cui si è impegnato sottoscrivendo il contratto in questione.
In ogni istante prima della consegna (t ≤ T ), il valore della posizione short
è dato da,
V (t, T ) = F (t, T ) CF + R(f ).
Il costo sostenuto per acquistare il titolo al prezzo spot B(t) è pari a:
V (t) = B(t) + R(f ).
c
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152
LIST OF DELIVERABLE BUNDS
GERMAN GOVERNMENT BOND (“BUND”) CONTRACT (DENOMINATED IN EURO)
(6% COUPON) - PRICE FACTORS AND ACCRUED INTEREST
DELIVERY MONTH: SEPTEMBER 2002
Last Trading Day: 6 September 2002
Delivery Day: 10 September 2002
BUND ISIN* CODES
COUPON (%)
MATURITY
PRICE FACTOR
DE0001135184
DE0001135192
DE0001135200
5.000
5.000
5.000
04 Jul 2011 0.932840
04 Jan 2012 0.929856
04 Jul 2012 0.927195
GROSS ACCRUED
INTEREST (EUR)
931.51
3,410.96
931.51
Key: * International Securities Identification Number
Price Factor: price factor expressed as a fraction of par
Accrued Interest: gross accrued interest on euro 100,000 face value
as at Delivery Day rounded to the nearest euro-cent
Invoicing Amount: (1,000 x EDSP x price factor) + Accrued Interest
Issue Date: 22 August 2002
Figura 6.9: Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del future
sul Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02).
Il rendimento netto è quindi,
F (t, T ) CF − B(t).
(6.15)
La parte short sceglierà quel titolo che massimizza la (6.15), ovvero, il titolo
meno costoso da consegnare. Tale titolo è noto con il nome di cheapest–to–
delivery, in breve CTD. Chiaramente, in ogni istante t < t′ ≤ T l’identità
del titolo CTD cambia. L’individuazione del CTD dipende da numerosi
fattori fra cui la struttura dei tassi. Di solito, se la parte finale della struttura
è abbastanza piatta ed è posizionata su tassi superiori al 6%, il CTD sarà
il titolo con il coupon minore. Nel caso contrario, il CTD sarà il titolo con
il coupon maggiore. Nella Figura 6.9 sono riportati i titoli CTD in data
22/08/02 per il Bund con cedola 6% per consegna Settembre 2002.
Il concetto di CTD è molto importante per la determinazione dell’hedge ratio.
Si osservi che il titolo effettivamente consegnato sarà proprio il CTD, quindi
il prezzo del future dipende da un sottostante che é il CTD. Nei future sui
tassi a breve, il sottostante è ben identificato ed è dato dal tasso sul deposito
EURIBOR a tre mesi.
Data la correlazione fra prezzo del future e prezzo spot del CTD, la variazione
c
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6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
153
assoluta del prezzo del future sarà data da,
F CFCT D MD(0, F ) = V̄CT D MD(0, V̄CT D ).
(6.16)
Se si indica con V̄ il titolo da coprire tramite una posizione in future, l’hedge
ratio è dato da,
V̄ MD(0, V̄ )
.
(6.17)
α=
F MD(0, F )
Dalla (6.16) si ricava che,
F MD(0, F ) =
V̄CT D MD(0, V̄CT D )
.
CFCT D
Sostituendo nella (6.17) si ottiene che,
α=
V̄
V̄CT D
MD(0, V̄ )
CFCT D .
MD(0, V̄CT D )
(6.18)
Di solito gli operatori preferiscono utilizzare direttamente la dollar duration
(anche nota come basis point volatility). In tal caso l’hedge ratio è dato da,
α=
BPV (0, V̄ )
CFCT D ,
BPV (0, V̄CT D )
(6.19)
dove con BPV (·, ·) si è indicata la basis point volatility dei titoli coinvolti.
Esempio 6.5: Un gestore di fondi obbligazionari è preoccupato per il possibile rialzo dei tassi che avrebbe come conseguenza la riduzione del valore di
mercato del proprio portafoglio. Per questo motivo decide di implementare
una strategia di copertura con future sul Bund. La posizione in future deve
beneficiare dell’aumento dei tassi, ossia della riduzione dei prezzi, quindi, è
necessario vendere dei contratti future in modo da coprire la posizione long
nel portafoglio. Il valore nominale del portafoglio (la somma dei valori nominali dei singoli titoli componenti il portafoglio) ammonta a 100,000,000 e e la
sua BPV (0, Π̄) = 5.82. Il nominale di un contratto future sul Bund ammonta
a 100,000 e, la basis point volatility del suo CTD è BPV (0, V̄CT D ) = 5.19 ed
il fattore di conversione è CFCT D = 1.2237128.
Per ogni euro di valore nominale del portafoglio sarà necessario vendere allo
scoperto,
5.82
α=
· 1.2237128 = 1.372255972
5.19
di valore nominale del contratto future. Il numero di contratti future è dato
da,
100000000
nf =
· 1.372255972 = 1372.255972 ≃ 1372.
100000
c
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6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
154
Come accennato nell’Esempio 3.2, alterando la duration del portafoglio è
possibile avvantaggiarsi delle variazioni attese della struttura dei tassi. Acquistando o vendendo contratti future è possibile modificare la duration di
un portafoglio senza ricorrere alla vendita o acquisto di titoli, che in alcuni
casi potrebbe essere onerosa. Per esempio, se gli analisti prevedono una riduzione dei tassi (shift parallelo della struttura verso il basso), acquistando
future è possibile aumentare la duration del portafoglio è quindi beneficiare
maggiormente dall’incremento atteso dei prezzi.
Si indichi con BPV (0, Π̄T ) il target di BPV per il portafoglio in esame. Acquistando un certo ammontare di valore facciale in future è possibile aumentare
la BPV attuale in modo da raggiungere l’obiettivo prefissato, quindi,
BPV (0, Π̄T ) = BPV (0, Π̄) + γBPV (0, F ),
dove con BPV (0, F ) si è indicata la BPV del future (si veda la relazione
6.16). Per ogni euro di valore nominale del portafoglio è necessario acquistare
pertanto
BPV (0, Π̄) − BPV (0, Π̄T )
,
(6.20)
γ=
BPV (0, F )
euro di valore nominale di contratti future. Dalla (6.16) si deduce che,
BPV (0, F ) =
BPV (0, V̄CT D )
.
CFCT D
Sostituendo nella (6.20) si ottiene che,
BPV (0, Π̄T ) − BPV (0, Π̄)
CFCT D .
γ=
BPV (0, V̄CT D )
(6.21)
Esempio 6.6: Il fondo obbligazionario della Polifemo SGR ha un valore
nominale di 12,800,000 e. Il fondo è composto da titoli di stato italiani a
medio–lungo periodo. Nella Tabella 6.3 sono riportate le caratteristiche di
ogni titolo in portafoglio.
Gli analisti non sono certi dell’aumento dei tassi, quindi, invece di effettuare
una copertura totale, che annullerebbe un eventuale guadagno nel caso di
shift della struttura in senso contrario, si decide di ridurre la duration del
portafoglio. Come è noto una duration più bassa attenua le oscillazioni del
valore del portafoglio. La basis point volatility del portafoglio è pari a,
BPV (0, Π̄) = 3.031 · 0.210 + 7.225 · 0.270 + 15.653 · 0.520 = 10.73
c
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6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
Scadenza
Nominale
Rend. Netto
Rateo
Prezzo
Val. di Merc.
Pesi
MD
BPV
IT0000367091
01/01/2005
2,600,000 e
2.91
0.0023619
1.1458
2,985,220.94 e
0.209520491
2.64
3.031147416
IT0001448619
01/11/2010
3,700,000 e
4.46
0.0106354
1.0305
3,852,200.98 e
0.270370286
6.94
7.225479676
155
IT0001174611
01/11/2027
6,500,000 e
4.87
0.0125691
1.1275
7,410,449.15 e
0.520109223
13.73
15.65314874
Totale
12,800,000 e
14,247,871.07 e
1
10.72998953
Tabella 6.3: Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di
mercato e volatilità sono riferite al 08/01/2002. (Fonte:
Il Sole24Ore).
ed il gestore decide per una BPV target pari a 5. Nel caso si realizzasse l’aumento previsto dei tassi, la perdita di valore del portafoglio sarebbe contenuta
per un 50% dalla posizione short in future.
Gli analisti prevedono che il periodo di instabilità dei tassi potrebbe estendersi
fino maggio. Si decide pertanto di vendere dei contratti future sul Bund a 10
anni con consegna in Giugno.
Da alcune analisi si deduce che il CTD potrebbe essere il Bund DE0001135168
con scadenza il 04/01/2011, cedola del 5.25%, fattore di conversione CFCT D =
0.950491 e basis point volatility BPV (0, V̄CT D ) = 7.621401018
Per ogni euro di nominale del portafoglio, il valore nominale di contratti
future è dato da,
γ=
5 − 10.72998953
· 0.950491 = −0.714606601.
7.621401018
Il numero di contratti future da vendere è pari a,
nf =
12800000
· 0.714606601 = 91.46964498 ≃ 91.
100000
In data 08/01/2002 il prezzo di un future sul Bund a 10 anni, consegna
Giugno, quotato all’EUREX è F (0, 0.5) = 107.54 (Fonte: Il Sole24Ore del
08/01/2002).
In Maggio gli analisti considerano terminata la fase di instabilità dei tassi,
quindi l’hedge può essere rimosso. In data 08/05/2002, 4 mesi dopo, viene
chiusa la posizione short acquistando lo stesso numero di contratti sul Bund
consegna Giugno al prezzo di F (0.3, 0.5) = 1.0621. La discesa del prezzo
future garantisce un guadagno per le posizioni short. Il numero di tick è pari
c
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6.6 Hedging con future sui tassi a lungo
Scadenza
Nominale
Rend. Netto
Rateo
Prezzo
Val. di Merc.
Pesi
MD
BPV
IT0000367091
01/01/2005
2,600,000 e
3.13
0.0338536
1.1238
3,009,899.36 e
0.214769309
2.31
2.674179816
IT0001448619
01/11/2010
3,700,000 e
4.56
0.0013451
1.0208
3,781,936.87 e
0.269857517
6.77
6.919922327
156
IT0001174611
01/11/2027
6,500,000 e
4.98
0.0015897
1.1096
7,222,733.05 e
0.515373174
13.73
15.25663458
Totale
12,800,000 e
14,014,569.28 e
1
10.72998953
Tabella 6.4: Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di
mercato e volatilità sono riferite al 08/05/2002. (Fonte:
Il Sole24Ore).
a,
1.0621 − 1.0754
= −133.
0.0001
Ogni tick vale 10 e ed il flusso mark–to–market produce un guadagno pari a,
η(0, 0.3) =
MTM(0, 0.3) = 133 · 91 · 10 = 121,030 e
Nella Tabella 6.4 sono riportati i valori di mercato del portafoglio in data
08/05/2002. Si osservi che i rendimenti netti registrano una variazione percentuale pari a circa il 2%. Il rendimento del BTP a 5 anni ha subito una
aumento relativo più consistente che si attesta intorno al 7%. Il valore del
portafoglio si è ridotto in termini assoluti di circa 233,000 e, pari ad una
variazione relativa del 1.6%. Grazie al guadagno ottenuto dalla posizione in
future le perdite sono state contenute. Il risultato finale consiste in una perdita netta di circa 78 bp, contro i 160 bp che si sarebbero realizzati senza la
copertura parziale attuata.
L’ipotesi fondamentale che sottende le strategie illustrate in questo capitolo è
che la struttura evolva per shift paralleli. Come visto nell’esempio precedente
tale ipotesi non sempre si verifica nella realtà. Lo shift non proprio parallelo
della struttura dei tassi non ha avuto conseguenze deleterie sull’hedge, in
quanto il titolo a cinque anni ha un contributo residuale rispetto a quello
degli altri titoli in portafoglio.
c
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Capitolo 7
Swaps
7.1
Definizione di Swap
Uno swap è contratto stipulato tra due controparti per lo scambio di flussi
finanziari, secondo specifiche modalità. In questo capitolo si studieranno
swap i cui flussi finanziari si riferiscono ad interessi periodici denominati in
una stessa valuta (interest rate swap, in breve IRS).
Il contratto swap più comune è il cosiddetto “plain vanilla” IRS. In tali
contratti la controparte A pagherà alla controparte B un importo a tasso fisso
calcolato su di un nozionale per un certo numero di anni. Allo stesso tempo,
la controparte B pagherà alla controparte A un importo al tasso variabile
calcolato sullo stesso nozionale e per lo stesso numero di anni. Questo tipo
di swap è caratterizzato dallo scambio di un flusso a tasso variabile con uno
a tasso fisso. Tali contratti sono anche detti fixed/float swap. Di solito il
tasso fisso è annuale mentre quello variabile è il LIBOR o EURIBOR a sei
mesi. Graficamente, il flusso originato da un plain vanilla IRS è rappresentato
nella Figura 7.1.
Tasso Fisso
Controparte
A
Controparte
B
EURIBOR
Figura 7.1: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS.
7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso
7.2
158
Gli swap per la gestione del rischio di
tasso
Il principale utilizzo degli swap é il controllo del rischio da tasso d’interesse.
Gli swap possono efficacemente, ed a basso costo, trasformare una posizione
a tasso variabile in una a tasso fisso, e viceversa. I contraenti di prestiti a
tasso variabile possono beneficiare di tali trasformazioni quando è previsto un
aumento dei tassi. Alla stessa maniera, attività finanziarie a tasso variabile
possono produrre perdite sostanziali nel caso di un declino dei tassi. In questo
caso i titoli in portafoglio possono essere integrati con uno swap in modo da
trasformare il flusso a tasso variabile in un flusso a tasso fisso. Strategie
similari si possono implementare nel caso in cui un aumento atteso dei tassi
rende più conveniente passare da un tasso fisso ad un a tasso variabile.
Nella realtà le controparti non entrano direttamente in contatto per la stipula
di un determinato contratto swap. Di solito esiste un intermediario finanziario o una banca che cura la domanda e l’offerta della componente fissa e di
quella variabile di uno swap.
Nella Figura 7.2 è rappresentato il flusso swap delle due controparti con
l’intermediario finanziario.
Tasso
Fisso
Controparte
A
Tasso
Variabile
Tasso
Variabile
Intermediario
Finanziario
Tasso
Fisso
Tasso
Variabile
Controparte
B
Tasso
Variabile
Figura 7.2: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS
con un intermediario finanziario.
Esempio 7.1: Nella Figura 7.2 sono rappresentati flussi swap delle due controparti. La controparte A ha contratto un prestito a tasso variabile (freccia
verso il basso in uscita). La società prevede un rialzo dei tassi e decide di
entrare in uno swap per trasformare il prestito a tasso variabile in un prestito
a tasso fisso.
Si ipotizzi che il debito sia stato contratto al tasso EURIBOR + 40bp per
un nozionale di 2,500,000 e e per una durata di 5 anni. La società decide
di entrare in uno swap a tre anni in cui pagherà un importo, calcolato sul
nozionale, al tasso fisso swap isw = 3.86% annuo e riceverà un importo,
sempre calcolato sul nozionale, al tasso variabile EURIBOR. Il contratto swap
c
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7.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso
159
è stipulato in data 01/10/99 ed i flussi di cassa sono scadenzati ad intervalli
di sei mesi. Il primo scambio di flussi avviene sei mesi dopo, il 01/04/00.
Il flusso a tasso variabile è calcolato utilizzando il tasso EURIBOR a sei
mesi registrato alla stipula del contratto swap, ossia il tasso EURIBOR del
01/10/99, in particolare, l(0, 0.5) = 3.3% su base annua.
In generale, per ogni euro di nozionale, i flussi originati dal prestito e dallo
swap sono i seguenti:
1. pagamento del tasso variabile l(t − 1, t) + 40bp;
2. incasso del tasso variabile l(t − 1, t);
3. pagamento del tasso fisso isw .
Il tasso netto che si ottiene è un tasso fisso pari a,
in (t) = −[l(t − 1, t) + 40] + l(t − 1, t) − isw = −(isw + 40).
(7.1)
Ricordando che le o.f. al tasso EURIBOR utilizzano come convezione temporale la base [Act/360], mentre per il tasso swap si utilizza la stessa convezione
dei titoli di stato, [Act/Act], i flussi in data 01/04/00 (primo semestre) sono
dati da,
183
= 48,382 e
365
183
V(1) = 2500000 · 0.033 ·
= 41,938 e,
360
V (1) = 2500000 · 0.0386 ·
dove con V (1) si è indicato il flusso a tasso fisso e con V(1) il flusso a tasso
variabile. Il flusso netto dei pagamenti, Vn (1), è dato da,
Vn (1) = −2500000 · (0.033 + 0.004) ·
183
+ (41938 − 48382) = −53,464.83 e.
360
Il tasso netto in (1), su base annuale, si ottiene come,
in (1) =
53464.83 365
·
= 0.042655004,
2500000 183
ossia, isw + 40.
Nella Tabella 7.1 sono riportati i flussi scambiati nel corso della vita dello
swap. Lo studente verifichi che il tasso netto è costante in ogni periodo.
Si osservi che l’obiettivo della controparte A è quello di trasformare il tasso
variabile in un tasso fisso. Ciò implica che, nel caso in cui il tasso EURIBOR
è minore del tasso fisso swap, la controparte A dovrà pagare la differenza. Il
c
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7.3 Swaps e credit arbitrage
k
0
1
2
3
4
5
6
tk
01/10/99
01/04/00
01/10/00
01/04/01
01/10/01
01/04/02
01/10/02
τk
183
183
182
183
182
183
EURIBOR
0.033
0.032
0.035
0.039
0.045
0.047
0.05
160
V(k)
V (k)
Flusso Netto
41938
40667
44236
49563
56875
59729
-48382
-48382
-48118
-48382
-48118
-48382
-6444
-7715
-3882
1181
8757
11347
Tabella 7.1: Flussi originati da un contratto swap plain vanilla
fixed/float.
meccanismo è uguale a quello dei contratti FRA. In effetti un FRA può essere
assimilato ad uno swap con un solo pagamento nella data di liquidazione. Lo
scambio realizzato è quello fra un flusso al tasso costante FRAT xs ed uno al
tasso variabile l(T, s).
7.3
Swaps e credit arbitrage
Uno dei motivi della grande popolarità degli swap è il cosiddetto credit
arbitrage. È noto che alcune istituzioni hanno un vantaggio comparativo
quando prendono in prestito al tasso fisso anzichè al tasso variabile. Altre
istituzioni trovano invece più conveniente prendere in prestito ad un tasso
variabile anzichè ad un tasso fisso.
Utilizzando gli swap è possibile creare opportunità di finanziamento ad un
costo più basso di quello che si riuscirebbe ad ottenere nel mercato dove la
società ha un maggiore vantaggio comparativo.
Esempio 7.2: Si ipotizzi che la Regione Sicilia, che ha un rating A2, possa
prendere in prestito ad un tasso fisso pari al 5.8% annuo ed a un tasso variabile pari ad EURIBOR + 60 bp. Lo Stato Italiano, che ha un rating Aa2, può
accedere a finanziamenti ad un tasso fisso pari al 4.7% annuo ed a un tasso
variabile pari ad EURIBOR + 20 bp. Dalla Tabella 7.2 si evince che la Regione Sicilia, essendo un ente con qualità creditizia minore, pagherebbe un premio maggiore se si rivolgesse al mercato a tasso fisso. Ricorrendo agli swap è
possibile effettuare un arbitraggio sul credit spread—nel senso che è possibile
appropriarsi di parte dello spread per ridurre il costo del finanziamento— fra
il premio a tasso fisso e quello a tasso variabile.
Il tasso swap denaro per un operazione a 10 anni è idsw = 4.99% annuo,
c
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7.3 Swaps e credit arbitrage
161
Stato Italiano
Regione Sicilia
Premio (bp)
Tasso Fisso
4.7%
5.8%
110
Tasso Variabile
EURIBOR + 20
EURIBOR + 60
40
Differenza
70
Tabella 7.2: Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio di
credito differenti.
quindi, la controparte che riceverà il tasso fisso incasserà un flusso al tasso
idsw , per ogni euro di nozionale. Il tasso lettera per lo stesso contratto swap è
ilsw = 5.01%, quindi, la controparte che pagherà il tasso fisso dovrà sborsare
ilsw per ogni euro di nozionale.
Lo Stato Italiano, avendo un rating migliore, prenderà in prestito al tasso
fisso i = 4.7%. I flussi originati dalla posizione debitoria e dallo swap sono:
1. pagamento del tasso fisso i;
2. pagamento del tasso variabile l(t − 1, t);
3. incasso del tasso fisso idsw .
Il tasso netto che si ottiene è un tasso variabile pari a,
d
iA
n (t) = isw − i − l(t − 1, t) = −[l(t − 1, t) − 29],
(7.2)
con un risparmio pari 49 bp.
Per il vantaggio comparativo nel mercato a tasso variabile, la Regione Sicilia
prenderà in prestito al tasso variabile EURIBOR + 60 bp. I flussi originati
dalla posizione debitoria e dallo swap sono:
1. pagamento del tasso variabile l(t − 1, t) + 60;
2. pagamento del tasso swap ilsw ;
3. incasso del tasso variabile l(t − 1, t).
In questo caso il tasso variabile è trasformato in un tasso fisso ed è dato da,
l
l
iB
n (t) = l(t − 1, t) − [l(t − 1, t) + 60] − isw = −[isw + 60] = −5.61,
(7.3)
con un risparmio pari 19 bp.
c
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7.4 Valutazione degli swap
162
4.99%
Stato
Italiano
5.01%
Intermediario
Finanziario
EURIBOR
EURIBOR
Regione
Sicilia
4.7%
EURIBOR + 60
Figura 7.3: Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS
fra due istituzioni con diverso rating creditizio.
V̄ f (t0 )
isw V
isw V
isw V
...
...
−V̄ v (t0 )
−C(t1 ) V
−C(t2 ) V
−C(t3 ) V
...
. . . − [1 + C(tm )] V
t0
t1
t2
t3
...
...
[1 + isw ] V
tm
Figura 7.4: Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in una
posizione long in un CBB ed in una posizione corta in un
FRN.
7.4
Valutazione degli swap
Si consideri un operatore che è entrato in uno swap in cui riceve un tasso
fisso e paga un tasso variabile. La posizione nello swap è equivalente ad
un posizione long in un CBB, dove la cedola fissa è rappresentata dal tasso
swap ricevuto, ed in una posizione short in un FRN, dove la cedola variabile
è rappresentata dal tasso EURIBOR (o LIBOR) semestrale (si veda Figura
7.4).
Se si indica con V̄ v (t0 ) il valore della componente variabile e con V̄ f (t0 ) il
valore della componente fissa, per l’ipotesi di assenza di arbitraggio, il valore
dello swap nell’istante t0 è dato da:
V sw (t0 ) = V̄ f (t0 ) − V̄ v (t0 ).
(7.4)
Data la struttura dei tassi spot osservata in t0 , il valore della componente
fissa è dato da,
V̄ f (t0 ) = isw V
m
X
B(t0 , tj ) + V B(t0 , tm ).
j=1
c
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7.4 Valutazione degli swap
163
Il valore di un FRN nell’istante di emissione, o in ogni istante di pagamento
del flusso, è pari al nozionale dello swap, quindi,
V̄ v (t0 ) = V,
Il valore dello swap nell’istante t0 (inizio del contratto) è dato da,
V
sw
(t0 ) = isw V
m
X
B(t0 , tj ) + V B(t0 , tm ) − V.
(7.5)
j=1
Nelle date in cui sono effettuati i pagamenti il valore dello swap è,
V
sw
(tk ) = isw V
m
X
B(tk , tj ) + V B(tk , tm ) − V,
(7.6)
j=k+1
per k = 1, 2, . . . , m − 1.
Come tutti i contratti derivati, nell’istante di stipula lo swap ha valore pari
a zero. Il tasso swap è quel tasso per cui,
V sw (t0 ) = 0,
da cui,
1 − B(t0 , tm )
.
isw (t0 , tm ) = Pm
j=1 B(t0 , tj )
(7.7)
Il tasso isw (t0 , m) è anche noto come tasso di parità swap o par swap rate
e dipende soltanto dalla struttura dei tassi vigente nell’istante di valutazione
t0 e dalla scadenza della componente fissa. Nella pagina finanziaria de Il
Sole24Ore sono quotati i tassi swap per diverse scadenze (si veda la Tabella
7.3). Di solito il tasso swap è indicato con una notazione che evidenzia la
periodicità del tasso variabile. Per esempio, 5Y /6M indica un tasso swap a
cinque anni e tasso variabile a 6 mesi.
Esempio 7.3: Nell’ottobre del 1999 il Banco del Capo è entrato in uno
swap al fine di trasformare degli asset a tasso fisso in tasso variabile. Alla
stipula il contratto swap a 4 anni prevedeva il pagamento di un tasso fisso
pari a isw = 4.80% contro un tasso EURIBOR + 20bp, su di un nozionale di
10,000,000 e. Determinare il valore dello swap due anni dopo.
Si ipotizzi che in data 05/10/2001 i pagamenti swap rimanenti siano 4 (due
pagamenti per ogni anno rimasto prima della scadenza). Si ipotizzi inoltre
che la struttura dei prezzi spot vigente nell’istante di valutazione sia quella
riportata nella Tabella 7.4.
c
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7.4 Valutazione degli swap
Scadenze Denaro
1Y /6M
3.37
2Y /6M
3.59
3Y /6M
3.86
4Y /6M
4.08
5Y /6M
4.31
6Y /6M
4.49
7Y /6M
4.65
8Y /6M
4.79
9Y /6M
4.9
10Y /6M
4.99
12Y /6M
5.16
15Y /6M
5.35
20Y /6M
5.53
25Y /6M
5.6
30Y /6M
5.61
164
Lettera Tasso Mid
3.38
3.375
3.61
3.6
3.88
3.87
4.1
4.09
4.33
4.32
4.51
4.5
4.67
4.66
4.81
4.8
4.92
4.91
5.01
5
5.18
5.17
5.37
5.36
5.55
5.54
5.62
5.61
5.63
5.62
Tabella 7.3: Tassi di parità swap per diverse scadenze. Il tasso Mid è
la media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore
05/10/2001).
Dal punto di vista del Banco del Capo lo swap consiste in una posizione
short in un titolo a cedola fissa ed in una posizione long su un FRN che paga
EURIBOR + 20bp. Il valore della componente fissa è dato da,
£
182
· B(0, 0.5)+
V̄ f (0) = 10000000 · B(0, 2) + 0.048 ·
365
182
182
· B(0, 1) + 0.048 ·
· B(0, 1.5)+
+ 0.048 ·
365
365
¤
182
+ 0.048 ·
· B(0, 2) = 10,233,461.58 e.
365
Ipotizzando per semplicità che l’istante di valutazione sia posto in un istante
successivo al pagamento dell’ultimo flusso swap, il valore della componente
variabile coincide con il valore del nozionale più il valore attuale dello spread
sull’EURIBOR (si veda la 1.127), quindi,
£
182
· B(0, 0.5)+
V̄ v (0) = 10000000 · 1 + 0.002 ·
360
182
182
· B(0, 1) + 0.002 ·
· B(0, 1.5)+
+ 0.002 ·
360
360
¤
182
· B(0, 2) = 10,038,742.77 e
+ 0.002 ·
360
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7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap
165
Ad un anno dalla stipula del contratto, il valore dello swap è pari a,
V sw (0) = −10233461.58 + 10038742.77 = -194,718.81 e1 .
τ
B(0, τ )
0.5
0.98288
1
0.967352
1.5
0.949834
2
0.931637
Tabella 7.4: Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/2001.
7.5
Il bootstrap della curva dei tassi swap
Utilizzando una procedura ricorsiva simile al bootstrap, è possibile ricavare
dalla struttura dei tassi swap la curva dei tassi spot.
Si denoti con t l’istante di valutazione e con isw (t, t + k) il tasso swap per
scadenze pari a k anni. La relazione di parità impone che,
isw (t, t + k) =
1 − [1 + i(t, t + k)]−k
.
Pk
j=1 B(t, t + j)
Con semplici passaggi algebrici si ricava che,
isw (t, t+k)
k−1
X
B(t, t+j) + isw (t, t+k) [1 + i(t, t + k)]−k = 1−[1 + i(t, t + k)]−k .
j=1
Mettendo in evidenza il fattore di sconto [1 + i(t, t + k)]−k , si ottiene,
−k
[1 + i(t, t + k)]
[1 + isw (t, t + k)] = 1 − isw (t, t + k)
k−1
X
B(t, t + j),
j=1
da cui si ricava facilmente il tasso spot per o.f. di lunghezza k anni,
#1/k
"
1 + isw (t, t + k)
− 1.
i(t, t + k) =
Pk−1
B(t, t + j)
1 − isw (t, t + k) j=1
(7.8)
La (7.8) è applicata ricorsivamente partendo dal tasso swap per scadenze
pari ad un anno, isw (t, t + 1). In particolare, si dimostra facilmente che
i(t, t + 1) = isw (t, t + 1).
1
In entrambi i casi si è ipotizzato che i pagamenti fossero scadenzati ad intervalli di
182 giorni.
c
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7.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap
166
5.5
5
Tassi Mid Swap
Tassi Spot
Tassi (%)
4.5
4
3.5
3
0
2
4
6
8
10
12
Scadenze (anni)
Figura 7.5: Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/2001.
Esempio 7.4: Data la struttura dei tassi swap riportata nella Tabella 7.3,
i tassi spot per i primi tre anni sono dati da,
i(0, 1) = 0.03377
µ
¶1/2
1 + 0.036
− 1 = 0.03604
i(0, 2) =
1 − 0.036 · 0.967328481
¸1/3
·
1 + 0.0387
− 1 = 0.03883
i(0, 3) =
1 − 0.0387 · (0.93164 + 0.96733)
Nella Figura 7.5 sono riportati i tassi spot e swap per scadenze fino a 10
anni.
c
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Formulario
1. Frazione o multiplo della periodicità del tasso:
s−t
τ
=
n
n
2. Interesse semplice:
I(t, s) = I
s−t
n
³τ ´
=Ci
³τ ´
=Cd
n
3. Sconto semplice:
D(t, s) = D
4. Tasso d’interesse e sconto:
n
s−t
n
V (s) − V (t)
V (t)
V (s) − V (t)
d(t, s) =
V (s)
i(t, s) =
5. Formule di conversione da base 360 a base 365 e viceversa:
360
365
365
= i360
360
i360 = i365
i365
6. Formule di conversione da tasso d’interesse a tasso di sconto e viceversa:
d
1 − d (τ /n)
i
d =
1 + i (τ /n)
i =
Formulario
168
7. Valore attuale e futuro modello lineare d’interesse:
V (t) = V (t + τ ) (1 + i τ )−1
V (t + τ ) = V (t) (1 + i τ )
8. Valore attuale e futuro modello di sconto semplice:
V (t) = V (t + τ ) (1 − i τ )
V (t + τ ) = V (t) (1 − i τ )−1
9. Valore attuale e futuro modello esponenziale:
V (t) = V (s)(1 + i)−(s−t)
V (s) = V (t)(1 + i)s−t
10. Valore attuale e futuro modello esponenziale data l’intensità:
V (t) = V (s) e−δ (s−t)
V (s) = V (t) eδ (s−t)
11. Fattore di sconto uniperiodale:
p = (1 + i)−1 = e−δ
12. Tassi equivalenti modello lineare:
i = in n
i
in =
n
13. Tassi equivalenti modello esponenziale:
i = (1 + in )n − 1
in = (1 + i)1/n − 1
14. Tassi equivalenti modello esponenziale dato il tasso nominale convertibile
n volte:
¶n
µ
jn
−1
i =
1+
n
h
i
jn = n (1 + i)1/n − 1
c
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Formulario
169
15. Valore temporale flusso finanziario:
V̄ (tk ) =
m
X
Vj ptj −tk
j=1
16. Valore temporale portafoglio di flussi finanziari:
N
X
ui V̄i (tk )
i=1
17. Valore attuale rendita unitaria con rate posticipate ed anticipate:
1 − (1 + i)−m
i
1 − (1 + i)−m
=
d
am i =
äm i
18. Valore futuro rendita unitaria con rate posticipate ed anticipate:
(1 + i)m − 1
i
(1 + i)m − 1
=
d
sm i =
s̈m i
19. Valore attuale rendita unitaria perpetua con rate posticipate ed anticipate:
1
i
1
=
.
d
a∞ i =
ä∞ i
20. Valore attuale rendita unitaria differita di h periodi con rate posticipate
ed anticipate:
h am i
h äm i
= p h am i
= ph äm i
21. Valore attuale cedola indicizzata con spread:
c(t) = B(t, T ) + (θ − 1)B(t, s)
c
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Formulario
170
22. Valore attuale titolo indicizzato con spread:

m
X



V B(t, t0 ) + V θ
B(t, ti )




i=1



m

X
B(t, ti )
V̄ (t) = V + V θ


i=k+1



m

X



B(t, ti )

 V B(t, tk ) (1 + ck + θ) + V θ
se t < t0
se t = tk
se tk−1 < t < tk .
i=k+1
23. Valore mutuo indicizzato con spread:

m
X



Di−1 B(t, ti )
 S B(t, t0 ) + θ



i=1



m

X
Di−1 B(t, ti )
V̄ (t) = Dk + θ


i=k+1



m

X



Di−1 B(t, ti )

 (Dk−1 + Ik ) B(t, tk ) + θ
se t < t0
se t = tk
se tk−1 < t < tk .
i=k+1
24. Tassi a pronti ed a termine:
i(t, s) =
i(t, T, s) =
·
·
1
B(t, s)
¸1/s−t
1
B(t, T, s)
− 1.
¸1/s−T
− 1.
25. Intensità a pronti ed a termine:
ln B(t, s)
s−t
δ(t, s) (s − t) − δ(t, T ) (T − t)
δ(t, T, s) =
.
s−T
δ(t, s) = −
26. Formula per determinare i tassi a termine dai tassi a pronti su scadenzario
discreto:
i(t, t + k − 1, t + k) =
[1 + i(t, t + k)]k
−1
[1 + i(t, t + k − 1)]k−1
c
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Formulario
171
27. Formula per determinare i tassi a pronti dai tassi a termine su scadenzario
discreto:
( k
)1/k
Y
−1
i(t, t + k) =
[1 + i(t, t + j − 1, t + j)]
j=1
28. Tasso di parità:
1 − B(t, t + m)
c∗ = Pm
j=1 B(t, t + j)
29. Macaulay duration in funzione dei tassi e delle intensità
Pm
−j
j=1 j Vj [1 + i(t, t + j)]
D(t, V̄ ) = Pm
−j
j=1 Vj [1 + i(t, t + j)]
Pm
−δ(t,t+j) j
j=1 jVj e
P
D(t, V̄ ) =
m
−δ(t,t+j) j
j=1 Vj e
30. Flat yield duration in funzione del tasso e dell’intensità
Pm
−j
j=1 j Vj (1 + i)
D(t, V̄ ) = Pm
−j
j=1 Vj (1 + i)
Pm
−δj
j=1 jVj e
D(t, V̄ ) = Pm
−δj
j=1 Vj e
31. Duration di secondo ordine in funzione del tasso e dell’intensità
Pm 2
−j
j=1 j Vj (1 + i)
(2)
D (t, V̄ ) = Pm
−j
j=1 Vj (1 + i)
Pm 2 −δj
j=1 j Vj e
(2)
D (t, V̄ ) = Pm
−δj
j=1 Vj e
32. Duration di un portafoglio
D(t, Π̄) =
N
X
di D(t, V̄i )
i=1
di =
ui V̄ (t)
Π̄(t)
c
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172
33. Semielasticità in funzione del tasso e dell’intensità
1
V̄ ′ (i)
D(0, V̄ )
= −
1+i
V̄ (i)
V̄ ′ (i)
= −D(0, V̄ )
V̄ (i)
34. Convexity in funzione del tasso e dell’intensità
V̄ ′′ (i)
1
=
[D(2) (0, V̄ ) + D(0, V̄ )]
2
(1 + i)
V̄ (i)
′′
V̄ (δ)
= D(2) (0, V̄ )
V̄ (δ)
35. Formula per estrarre i tassi spot (metodo Bootstrap)
i(0, kτ ) =
1/kτ



1+c
nP k
o
k−1
 B̄(0, kτ ) − c
−jτ 
[1
+
i(0,
jτ
)]
k
j=1
− 1.
36. Payoff di un FRA:
Λ(T, s) = C
1
[L(T, s) − FRAT xs ] τ
.
n
1 + L(T, s) τ /n
37. Mark–to–market di una posizione long su n contratti future:
MTM(t − 1, t) = n C [F (t, T ) − F (t − 1, T )] .
38. Numero di tick:
η(t − 1, t) =
F (t, T ) − F (t − 1, T )
.
σ
39. Mark–to–market di una posizione long su n contratti future in funzione
del numero di tick:
MTM(t − 1, t) = n η(t − 1, t) φ.
40. Formula cash–and–carry per i prezzi forward:
f (t, T ) = B(t) eδ (T −t) .
c
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41. Tassi swap di parità:
1 − B(t, t + m)
.
isw (t, t + m) = Pm
j=1 B(t, t + j)
42. Formula per estrarre i tassi spot dai tassi par swap:


k=1
i(t, t + k) = isw (t, t + k)
·
¸1/k
1 + isw (t,t+k)

P k−1
−1 k >1
i(t, t + k) = 1 − i (t,t+k)
B(t,t+j)
sw
j=1
c
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Glossario
A
alla la pari Modalità di determinazione del prezzo di sottoscrizione di un
titolo caratterizzato dall’uguaglianza tra il valore di emissione e
il valore nominale del titolo stesso. Il termine “alla pari” viene
usato anche in riferimento al valore di rimborso di un titolo e al
suo prezzo di mercato: si dice che il titolo è rimborsato alla pari
se il valore di rimborso è pari al valore nominale; si dice alla pari
un titolo con valore di mercato pari al valore nominale.
arbitraggio Operazione finanziaria che consente di ottenere un profitto (profitto di arbitraggio) in assenza di rischio, sfruttando disallineamenti di prezzo esistenti sul mercato.
ask price (ask) Termine anglosassone per indicare un prezzo lettera.
B
Banca Centrale Europea (BCE) A partire dal 1 Gennaio 1999 i Paesi che
partecipano all’Unione economica e monetaria (UEM) hanno perso la loro sovranità monetaria; le competenze in materia di politica
monetaria e di cambio sono passate alla BCE, organismo dell’UE
previsto dal trattato di Maastricht.
basi
Convenzioni temporali utizzate nel calcolo degli interessi. (Mercati obbligazionari Act/Act, depositi europei E30/360, mercati
americani 30/360, etc.).
basis point (bp) Unità di misura corrispondente ad un centesimo di punto percentuale (0.01=100bp) con cui si indicano le variazioni dei
tassi.
bid-ask spread (spread) La differenza fra l’ask price ed il bid price. Differenze consistenti fra il prezzo di ask ed il prezzo di bid sono spesso
Glossario
175
indicative di una forte illiquidità del titolo in esame. In tal caso
l’investitore corre il rischio di non riuscire ad acquistare o vendere
in tempi brevi e ad un prezzo conveniente il titolo.
bid price (bid) Termine anglosassone per indicare un prezzo denaro.
bond
Termine anglosassone equivalente ad obbligazione.
bullet bond (bullet) Termine anglosassone che definisce un titolo che paga
cedola periodica.
buoni del tesoro poliennali (BTP) Titoli di Stato a tasso fisso di mediolungo termine (tre, cinque, dieci e trenta anni). Si tratta di titoli
al portatore. Sono emessi dal Tesoro con cadenza mensile per i
BTP trentennali e quindicinale per gli altri BTP. Il collocamento è
svolto dalla Banca d’Italia e all’asta partecipano solo gli investitori
istituzionali. Possono essere collocati alla pari, sotto la pari, o
sopra la pari. Sono ammessi alla quotazione di Borsa il giorno
successivo all’asta. Sul mercato secondario sono negoziati a corso
secco. Gli interessi sono fissi e vengono corrisposti semestralmente
in via posticipata attraverso lo stacco di una cedola. Gli interessi
ed il disaggio di emissione sono soggetti ad un’aliquota del 12.5%.
Il rimborso avviene in un’unica soluzione alla scadenza. Il taglio
minimo è pari a 1,000 euro. Costituiscono il sottostante per i
contratti future (BTP future) negoziati sul MIF e sul LIFFE.
buoni ordinari del tesoro (BOT) Titoli di Stato a breve termine (tre, sei,
dodici mesi). Si tratta di titoli al portatore con un importo minimo sottoscrivibile di 1,000 euro. Sono emessi con frequenza
quindicinale (a metà e alla fine di ogni mese) con decreto del Ministero del Tesoro, che ne definisce la scadenza, la quantità massima
collocabile e la durata dell’operazione di collocamento. Il collocamento è svolto dalla Banca d’Italia attraverso un’asta competitiva
sul prezzo cui partecipano gli investitori istituzionali. I risparmiatori possono sottoscrivere i titoli presso questi operatori o presso
gli uffici postali. I BOT sono ammessi alla quotazione di Borsa
(MOT) il giorno successivo all’asta. Gli investitori istituzionali
possono negoziare i BOT anche sull’MTS, dove i quantitativi minimi sono pari a 2.5 milioni di euro. Sul mercato secondario sono
quotati a prezzo tel quel. Sono titoli zero coupon emessi sotto la
pari e rimborsati, in un’unica soluzione, alla pari.
c
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Glossario
176
C
capital gain Guadagno in conto capitale. Guadagno che si realizza vendendo un titolo ad un prezzo maggiore di quello di acquisto.
capital loss Perdita in conto capitale. Perdita che si realizza vendendo un
titolo ad un prezzo minore di quello di acquisto.
CBOT
Chicago Board of Trade.
cedola
Tagliando allegato al certificato rappresentativo di un titolo che,
staccato dal certificato, consente al possessore la riscossione degli
interessi (titoli a reddito fisso) maturati.
certificati del tesoro zero–coupon (CTZ) Certificati di credito del Tesoro privi di cedole. Sono titoli a tasso fisso di durata pari a 18
o 24 mesi. Il rendimento è dato dalla differenza tra il valore di
rimborso (pari al valore nominale) e il prezzo di emissione. Sono
collocati attraverso un’asta cui partecipano le banche e gli altri
operatori autorizzati. I risparmiatori possono acquistare i titoli presso questi operatori istituzionali o presso gli uffici postali, o
acquistare i CTZ sul mercato secondario successivamente all’emissione. Sono emessi sotto la pari. Sul mercato secondario i CTZ
sono negoziati al corso tel quel. Sono soggetti ad una ritenuta
fiscale del 12.5% sul disaggio di emissione, applicata al momento del rimborso. Hanno le stesse caratteristiche dei BOT, ma la
durata è maggiore.
certificati di credito del tesoro (CCT) Titoli di Stato a medio-lungo termine (da tre a sette anni). Sono titoli a tasso variabile, con gli
interessi indicizzati al rendimento dei BOT semestrali o annuali,
emessi nel bimestre che precede il mese antecedente allo stacco
della cedola. Per i CCT a cedola annuale il tasso di interesse è
determinato in base ai rendimenti dei BOT annuali emessi 14 o 15
mesi prima del pagamento della cedola; per i CCT con cedola semestrale si considerano i rendimenti in sede di emissione dei BOT
annuali collocati 8 o 9 mesi prima della data di pagamento della
cedola. Gli interessi sono corrisposti posticipatamente, con cedola
semestrale o annuale. Dal 1987 si emettono solo CCT con cedola
semestrale. Nel 1995 è stato introdotto un nuovo metodo di indicizzazione degli interessi: la prima cedola è fissa e viene definita
in sede di emissione; dal sesto mese in poi il valore delle cedole semestrali dipende dal rendimento dei BOT a sei mesi collocati con
c
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Consiglio
Glossario
177
l’asta immediatamente precedente alla data di decorrenza della
cedola. Il valore della cedola sarà quindi pari al rendimento dei
BOT aumentato di uno spread percentuale variabile dallo 0.3%
all’1%, a seconda della durata del CCT. L’emissione dei CCT avviene attraverso un’asta in genere con frequenza quindicinale, cui
partecipano le banche e le SIM iscritte in un apposito albo tenuto presso la Consob. L’operazione di collocamento è affidata alla
Banca d’Italia. Sono ammessi alla quotazione di Borsa il giorno
successivo all’asta e la quotazione è a corso secco. Sono emessi alla pari o sotto la pari. Il prezzo di emissione dipende dalla durata
del titolo: quanto maggiore è la durata, tanto minore è il prezzo.
Il taglio minimo è di 1,000 euro dal 1/01/99. Sono rimborsati,
in un’unica soluzione, alla pari. Dal punto di vista fiscale, si distingue tra: CCT esenti da imposta, emessi prima del settembre
del 1986; CCT soggetti ad aliquota del 6.25%, emessi tra ottobre
1986 e agosto 1987; CCT soggetti ad aliquota del 12.5%, emessi dopo il mese di agosto del 1987. L’imposta è applicata, sotto
forma di ritenuta alla fonte, sul valore delle cedole e, al momento
del rimborso, sul disaggio di emissione.
certificato di deposito (CD) Depositi vincolati presso le banche con durate che possono estendersi fino a 5 anni.
copertura Operazione di copertura dal rischio di variazioni indesiderate nei
prezzi delle merci, delle attività finanziarie, delle valute e dei tassi
di interesse.
corso
Prezzo attribuito ad un titolo per effetto della contrattazione.
corso secco Corso di un titolo che non include il rateo di interesse.
coupon
Si veda cedola.
D
data provider Fornitore dei dati relativi a titoli scambiati nei mercati. I
data provider più noti sono: Bloomberg, Datastream, Reuters.
E
EUREX
European Financial Futures Exchange.
c
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Consiglio
Glossario
178
EURO InterBank Offered Rate (EURIBOR) Tasso di interesse a breve
termine (1 settimana e da 1 a 12 mesi), utilizzato come riferimento per gli scambi interbancari a livello europeo. È calcolato
dalla European Banking Federation come media aritmetica di un
insieme di tassi “orientativi” a cui un gruppo campione di banche
europee è disposto a negoziare.
eurobbligazione Obbligazione emessa da società, enti nazionali o esteri,
nonchè da Stati o enti sovranazionali, assoggettata ad una normativa diversa da quella a cui è sottoposto l’emittente e collocata
in due o più Stati. In Italia le eurobbligazioni sono negoziate
presso il mercato EuroMot.
eurobond Si veda eurobbligazione.
F
future
Strumento derivato costituito da un contratto a termine standardizzato, relativo ad un’operazione di acquisto/vendita di una
merce o attività finanziaria (sottostante) in una data futura, ad
un prezzo fissato al momento della stipula del contratto.
H
hedging
Termine anglosassone per indicare un’operazione di copertura. Si
veda copertura.
I
interest rate future (IRF) Strumento derivato, appartenente alla categoria dei financial futures, costituito da un contratto a termine, standardizzato, relativo ad un’operazione di acquisto/vendita di titoli
a tasso fisso (Titoli di Stato, obbligazioni), in una data futura, ad
un prezzo prefissato al momento della stipula del contratto.
ISIN
International Security Identification Number. Codice internazionale che identifica un titolo quotato nei mercati ufficiali.
L
leverage
Facoltà di controllare un elevato ammontare di risorse finanziarie, attraverso il possesso di una piccola parte di tali risorse, con
c
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Consiglio
Glossario
179
un basso impiego di capitale. La leva finanziaria è espressa dal
rapporto tra il valore delle posizioni aperte ed il capitale investito. Gli strumenti finanziari derivati consentono all’investitore di
acquistare o vendere attività finanziarie per un ammontare superiore al capitale posseduto e di beneficiare, grazie all’effetto leva,
di un rendimento potenziale maggiore rispetto a quello derivante da un investimento diretto nel sottostante (underlying). Ad
esempio, chi sottoscrive un contratto di opzione, un warrant o un
covered warrant, acquisisce, a fronte del pagamento di un premio
limitato, il diritto all’acquisto o alla vendita di un ammontare di
strumenti finanziari di entità superiore.
LIFFE
London International Financial Futures & Options Exchange.
London InterBank Offered Rate (LIBOR) È il tasso prevalente sul mercato dei depositi interbancari per per le valute più importanti. Il
tasso è rilevato dalla British Bankers Association.
long position (long) Posizione in beni di investimento o strumenti derivati
che consente all’investitore di trarre profitto dal rialzo dei prezzi.
M
MATIF
Marché à Terme International de France.
mercato all’ingrosso dei titoli di stato (MTS) Mercato telematico dove
si negoziano i Titoli di Stato quotati e non quotati in Borsa. Vi
si negoziano, sulla base di importi minimi, Titoli di Stato (emessi
dallo Stato italiano e da Stati esteri) e titoli garantiti dallo Stato. Si tratta di un mercato secondario all’ingrosso (l’ammontare
minimo di negoziazione è fissato a 2,5 milioni di euro) in cui possono operare solo operatori specializzati, i cosiddetti investitori
istituzionali Il regolamento del mercato stabilisce che possono essere ammessi alle negoziazioni le banche nazionali, comunitarie ed
extracomunitarie, le imprese d’investimento italiane, comunitarie
ed extracomunitarie, il Ministero del Tesoro e la Banca d’Italia.
Tali soggetti possono svolgere la funzione di primary dealer (operatore principale) con funzione di market maker, dealer (si pone
come controparte dei primary dealers) e specialista. La società di
Gestione del Mercato tiene un registro degli operatori principali; questi devono presentare i seguenti requisiti: patrimonio netto
c
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Consiglio
Glossario
180
equivalente almeno pari a 75 miliardi di lire; svolgimento nell’anno solare precedente alla domanda di ammissione di attività
di acquisto e/o vendita di Titoli di Stato quotati sull’MTS per
un valore complessivo almeno pari a 75,000 miliardi di lire e per
un adeguato numero di titoli; adeguata struttura organizzativa.
Inoltre, l’iscrizione in tale registro comporta il rispetto di specifici
obblighi in termini di immissione delle proposte di negoziazione.
Sull’MTS si negoziano:
• BTP, BOT, CTZ, CCT, CTE;
• dal giugno 1998 l’Italy bond 5% denominato in ECU, con
scadenza maggio 2008;
• da settembre 1998 il titolo BEI con scadenza aprile 2008,
denominato in lire con cedola annuale del 5%
• dal 15/09/1998 titoli emessi dal Governo Federale tedesco
(Bund) con vita residua superiore a 2 anni, cedola fissa annuale e scadenze comprese tra il 2000 ed il 2008;
• Eurobond;
• titoli emessi da organismi internazionali partecipati da Stati.
.
mercato obbligazionario telematico (MOT) Comparto della Borsa Italiana S.p.A. dove si negoziano, in quantitativi minimi (lotto minimo) o loro multipli, obbligazioni (non convertibili) e Titoli di
Stato. Si tratta di un mercato ad asta, in cui il sistema di negoziazione accoppia gli ordini sulla base del prezzo (si dà priorità a chi
è disposto a pagare di più) e della quantità ed, a parità di prezzo,
in base all’ordine che è stato emesso per primo. Gli strumenti
finanziari negoziati sul MOT sono suddivisi in cinque segmenti di
mercato, in base alla natura dell’emittente e del tipo di interesse:
• BOT, BTP, CTE e CTZ;
• CCT e CTO;
• obbligazioni denominate il lire;
• obbligazioni denominate in euro;
• obbligazioni denominate in valuta estera.
.
MIF
Milan International Financial Futures Exchange.
c
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Glossario
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N
nozionale Valore nominale usato per il calcolo dei flussi di cassa sugli swap,
i forward e, in generale, altri derivati liquidabili attraverso somme di denaro. Tale valore costituisce un capitale fittizio; infatti,
non si ha scambio di capitale tra le controparti contrattuali, ma
soltanto la liquidazione degli interessi differenziali, derivanti dalla
differenza tra l’ammontare degli interessi definiti dal contratto e
gli interessi al momento della scadenza di quest’ultimo. Questi
interessi sono calcolati sul capitale nozionale.
O
obbligazione Titolo di credito emesso da una società per azioni. Un’obbligazione è costituita da un certificato che rappresenta una frazione,
di uguale valore nominale e con uguali diritti, di un’operazione di
finanziamento. Le obbligazioni sono emesse allo scopo di reperire, direttamente tra i risparmiatori e a condizioni più vantaggiose rispetto a quelle dei prestiti bancari, capitali da investire.
Contrariamente all’azionista, l’obbligazionista si assume il rischio
d’impresa ma non partecipa all’attività gestionale dell’emittente,
non avendo diritto di voto nelle assemblee. Mentre le azioni attribuiscono ai possessori un diritto al dividendo, che è subordinato
alla realizzazione di utili, le obbligazioni attribuiscono un diritto
di credito. Chi sottoscrive un’obbligazione diventa, infatti, creditore della società emittente ed ha diritto alla riscossione di un
interesse e al rimborso del capitale a scadenza, o sulla base di un
piano di ammortamento predefinito. L’interesse può essere fisso o
variabile, pagabile con una cedola avente periodicità trimestrale,
semestrale, o annuale. Le obbligazioni possono essere emesse alla
pari, sotto la pari e sopra la pari. Le obbligazioni possono essere quotate sul mercato primario e sul mercato secondario, dove
vengono negoziate a corso secco, o a prezzo tel quel.
obbligazioni convertibili Sono titoli obbligazionari la cui caratteristica principale consiste nel diritto alla conversione in azioni della società
emittente, o di una società appartenente allo stesso gruppo. A
seguito della conversione si cessa di essere obbligazionista diventando azionista ed acquistando, quindi, tutti i diritti relativi.
Over–the–Counter (OTC) Mercato finanziario dove si effettuano le transazioni “fuori Borsa”, ossia fuori dai mercati ufficialmente riconoc
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Consiglio
Glossario
182
sciuti. I mercati OTC sono caratterizzati dall’assenza di un luogo
fisico, o logico, di svolgimento e accentramento delle negoziazioni,
dalla mancanza di una specifica regolamentazione, dall’assenza di
quotazioni ufficiali, dalla presenza di contrattazioni non standardizzate relativamente agli importi unitari ed alle scadenze, dalla
mancanza di organismi centrali di compensazione. La trattativa
tra acquirente e venditore avviene in modo diretto, con la determinazione del prezzo basata sulla legge dell’offerta e della domanda.
Rispetto ai mercati regolamentati, i mercati OTC implicano un
maggiore rischio per gli investitori a causa di un’informativa meno trasparente sulle quotazioni dei diversi prodotti e per l’assenza
di organismi istituzionali di garanzia (Cassa di Compensazione e
Garanzia, organi di vigilanza). Esempi di mercati OTC sono il
mercato degli swaps, dei forwards, il Terzo Mercato e il mercato
dei Titoli di Stato agli sportelli bancari.
P
prezzo denaro (denaro) Nel gergo di Borsa, il prezzo denaro è il prezzo
massimo di acquisto che un operatore di mercato è disposto a
pagare per uno strumento finanziario negoziato. In genere, il miglior prezzo in acquisto, che compare sul book di negoziazione, è
di poco inferiore al miglior prezzo in vendita (prezzo lettera) per
ogni strumento finanziario negoziato.
prezzo lettera (lettera) Nel gergo di Borsa, il prezzo lettera è il prezzo
minimo di vendita che un operatore di mercato è disposto ad
offrire per uno strumento finanziario negoziato. In genere, il miglior prezzo in vendita, che compare sul book di negoziazione, è
superiore al miglior prezzo in acquisto (prezzo denaro), per ogni
strumento finanziario nogoziato.
R
rating delle obbligazioni (rating) Valutazione di un titolo obbligazionario
fornita dalle società di analisi finanziaria. Il rating costituisce
una valutazione del rischio di credito di una società emittente di
obbligazioni, ovvero una valutazione della capacità dell’emittente di assolvere agli impegni di pagamento (rimborso del capitale
e corresponsione delle cedole di interesse) assunti a seguito dell’emissione delle obbligazioni. Il rating viene espresso attraverso
c
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Consiglio
Glossario
183
un codice appartenente a scale che variano a seconda dell’agenzia
che ha effettuato la valutazione. Ad esempio, il rating emesso da
Standard & Poor’s e da Moody’s varia tra un valore AAA (valore massimo di affidabilità dell’emittente) e un valore D (valore
minimo, attribuito ad emittenti in condizione fallimentare).
S
short position (short) Posizione in beni di investimento o strumenti derivati che consente all’investitore di trarre profitto dal ribasso dei
prezzi.
sopra la pari Espressione che indica che il prezzo di emissione di un titolo
o la sua quotazione di Borsa sono superiori al valore nominale del
titolo stesso.
sotto la pari Espressione che indica che il prezzo di emissione di un titolo
o la sua quotazione di Borsa sono inferiori al valore nominale del
titolo stesso.
sottostante Strumento di investimento sottostante ad un contratto derivato. Può essere costituito da materie prime, valute, tassi di
interesse, titoli, o indici azionari.
swap
Strumento derivato, costituito da un contratto stipulato tra due
controparti per lo scambio di flussi finanziari, secondo specifiche
modalità. Nel mercato dei capitali uno swap (interest rate swap)
si riferisce allo scambio di flussi di interessi periodici, denominati
in una stessa valuta.
T
tasso overnight Tasso interbancario applicato al trasferimento di fondi tra
due controparti con restituzione il giorno lavorativo successivo.
tel quel
Prezzo di negoziazione di un titolo comprensivo del rateo di interesse maturato dal giorno dell’ultimo godimento al giorno della
negoziazione: Corso tel quel = corso secco + cedola in maturazione.
TIFFE
Tokyo International Financial Futures Exchange.
c
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Glossario
184
treasury bill (T–Bill) Titoli di Stato americano a breve termine. Si tratta
di ZCB con scadenze ad un mese, tre mesi, fino ad un anno. A
differenza dei BOT i T–Bill sono quotati a sconto.
treasury bond (T–Bond) Titoli di Stato americano a tasso fisso di mediolungo termine. Appartengono alla classe dei titoli di stato emessi
per finanziare il debito pubblico. La tipologia è identica a quella
dei BTP italiani, dei Bund tedeschi e dei Gilt britannici.
V
valore facciale (facciale) Si veda valore nominale.
valore nominale (nominale) Per le azioni è la frazione di capitale sociale
rappresentata da un’azione. Per i titoli obbligazionari è il valore al quale l’emittente si è impegnato a rimborsare il titolo alla
scadenza. In generale, il valore nominale è l’importo su cui si
calcolano gli interessi.
valuta
La data da cui sono conteggiati gli interessi o il giorno in cui
l’investitore entra in possesso del titolo acquistato.
Z
Zero Coupon Bond Si tratta di un’ obbligazione a tasso fisso il cui rendimento è garantito dal fatto che è emessa a prezzi più bassi del
valore nominale (sotto la pari). Il rendimento è quindi pari alla
differenza tra il prezzo di sottoscrizione e il valore di rimborso (valore nominale). Questa obbligazione garantisce agli investitori un
investimento effettivo in tutto il periodo di impegno del capitale,
senza il problema del reinvestimento degli interessi periodici.
c
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