Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio

Forme bilineari e prodotti scalari
Forme bilineari e prodotti scalari
Definizione
Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione
(
V × V −→
K
b :
,
~ ) 7−→ b(~v , w
~)
(~v , w
~ ∈ V e per ogni k ∈ K:
si dice forma bilineare su V se per ogni ~u , ~v , w
~ ) = b(~u , w
~ ) + b(~v , w
~ );
b(~u + ~v , w
~ ) = b(~u , ~v ) + b(~u , w
~ );
b(~u , ~v + w
b(k~u , ~v ) = kb(~u , ~v ) = b(~u , k~v ).
Definizione
~ ∈V
...simmetrica o prodotto scalare se per ogni ~v , w
~ ) = b(~
b(~v , w
w , ~v ).
Forme bilineari e prodotti scalari
Forme bilineari
Teorema di rappresentazione
Sia b una forma bilineare. Nelle ipotesi precedenti, sia B una base per
~ rispett., rispetto a
V = Vn (K) e ~x , ~y i vettori delle coordinate di ~v e w
B. Allora
~ ) = ~x T A~y ,
b(~v , w
dove A è la matrice di b rispetto a B.
Viceversa ogni matrice A individua una forma bilineare ponendo
~ ) = ~x T A~y .
f (~v , w
~ ) = ~x T A~y = polinomio omogeneo di II grado
b(~v , w
Teorema
Una forma bilineare è simmetrica se e solo se lo è la matrice che la
rappresenta.
Definizione
Uno spazio vettoriale su cui è assegnata una forma bilineare simmetrica si
dice spazio metrico.
Forme bilineari e prodotti scalari
Forme quadratiche
Definizione
Sia b : V × V −→ K un prodotto scalare. L’applicazione
(
V −→
K
q :
.
~v 7−→ q(~v ) = b(~v , ~v )
è la forma quadratica associata al prodotto scalare b.
q(~v ) = b(~v , ~v ) = ~x T A~x = polinomio omogeneo di II grado nelle x1 , . . . , xn .
Forme bilineari e prodotti scalari
Forme bilineari
Definizioni e caratterizzazioni
Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.
Dato un sottoinsieme A di V , il suo complemento ortogonale è costituito da tutti e soli i vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di A.
Un prodotto scalare è regolare o non degenere se e solo se V ⊥ = {~0}
(radicale di V ). È degenere altrimenti. Equivalentemente è regolare se e
solo se la matrice che lo rappresenta è non singolare.
Definizioni
Un vettore (che non sia ~0) si dice isotropo se è ortogonale a se stesso.
Anisotropo altrimenti.
Se V contiene un vettore isotropo, si dice che V è uno spazio metrico isotropo. Se non contiene alcun vettore isotropo spazio metrico
anisotropo.
Forme bilineari e prodotti scalari
Esercizio 1.
In R3 , data la funzione
3
R × R3 −→ R
f :
,
~ ) 7−→ x1 y1 + 2x2 y1 + 2x1 y2 + 3x2 y2 + x3 y3
(~v , w
dove v~1 = (x1 , x2 , x3 ), v~2 = (y1 , y2 , y3 );
a) dire se f è una forma bilineare;
b) dire se f è un prodotto scalare;
c) scrivere la matrice di f rispetto alla base canonica di R3 ;
~ = (0, −1, −2) sono ortogonali;
d) dire se i vettori ~v = (1, −2, 4) e w
e) determinare ~v ⊥ ;
f) scrivere la forma quadratica associata e stabilire se f è degenere;
g) determinare l’insieme I dei vettori isotropi di R3 .