Concetti fondamentali sulle onde meccaniche
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di Vincenzo Pernisco
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Si definisce onda la propagazione di una perturbazione. Alla base di un fenomeno ondoso, vi è un moto
oscillatorio che si genera quando una particella si muove periodicamente intorno ad una posizione di equilibrio. Nelle
onde non si ha alcun trasporto di materia ma soltanto di energia. Una fondamentale classificazione delle onde le
suddivide in:
•
•
1.
onde meccaniche (come le onde del mare, il suono) generate da un fenomeno meccanico e necessitano di un
mezzo di propagazione.
onde elettromagnetiche (come la luce e le onde radio) che hanno alla base una variazione del campo elettrico
e si propagano nel vuoto.
Moto armonico semplice e onde sinusoidali
Si consideri una particella P mobile lungo una
circonferenza in moto uniforme (Figura 1). Se si osserva lo spostamento della sua ombra Q lungo il diametro, si può
notare che Q compie un moto oscillatorio intorno al centro O della circonferenza. Se immaginiamo poi che questa
circonferenza può essere pensata come il cerchio trigonometrico, allora notiamo che Q descrive lo spazio come il
coseno dell’angolo ϑ che varia in funzione del tempo t.
Figura 1. Moto armonico
Allora si può scrivere:
x(t )
= A cos(ϑ + ϑ0 )
Dato che il coseno varia tra -1 e 1, lo spostamento della particella varia fra A e –A e quindi A definisce un parametro
detto Ampiezza dello spostamento. Ora, dalla relazione che definisce la velocità angolare,
ω=
ϑ
⇒ ϑ = ωt
t
si otterrà
x (t )
= A cos(ω t + ϑ0 )
(1)
che è l’equazione fondamentale del moto armonico semplice. La quantità
ω t + ϑ0 è detta fase dell’oscillazione e,
ϑ0 è detta fase iniziale. Ora, il tempo necessario per eseguire un’oscillazione si chiama Periodo T, il numero
di oscillazioni in un secondo definisce la frequenza ν che si misura in cicli/sec (Hertz) e fra il periodo e la frequenza
per t = 0 ,
intercorre la relazione ν = 1/ T . Nel caso di un oscillazione completa, la velocità angolare può assumere la forma
ω = 2π / T e dunque la (1) si può scrivere anche
x(t )
= A cos(2πν t + ϑ0 )
(2)
che risulta più utile in quanto espressa attraverso la frequenza. Lo spazio percorso dall’onda in un periodo si definisce
lunghezza d’onda λ .
Si voglia poi calcolare la velocità della particella, si avrà derivando rispetto al tempo:
v=
v=
dx
= −ω A sin(ω t + ϑ0 )
dt
(2.1)
dv
= −ω 2 A cos(ω t + ϑ 0 ) = −ω 2 x
dt
che indica come l’accelerazione sia proporzionale ed opposta
allo spostamento. Il moto armonico semplice risulta di peculiare
importanza. Infatti costituisce una descrizione piuttosto accurata
di molte delle oscillazioni che si riscontrano in natura come i
movimenti di una molla, di un pendolo, di una corda di chitarra.
Sebbene si sia definito il moto armonico attraverso la funzione
coseno, si può benissimo scrivere,
x(t ) = Asin(ω t + ϑ0 )
π
.
2
Le onde generate da moti armonici semplici si definiscono
sinusoidali o armoniche (Figura 2).
con la sola differenza di fase pari a
Figura 2. Onda sinusoidale
(2.2)
2.
Dinamica del moto armonico semplice
Volendo guardare poi il fenomeno del moto armonico attraverso lo studio della sua dinamica, per
calcolare la forza che deve agire sulla particella P di massa m affinché questa oscilli di moto armonico semplice, si
applica l’equazione do Newton F = ma in cui si sostituisce la 2.2 ottenendo
F = −m(ω 2 x )
Ora, essendo il moto periodico, sono costanti sia la pulsazione ω che, naturalmente, la massa m e si può scrivere:
F = −kx
(3)
che va sotto il nome di Legge di Hooke ed è il tipo di forza di una molla che subisce piccole deformazioni. Per questo,
k è detta costante elastica della molla e rappresenta la forza necessaria alla molla per spostare una particelle di una
distanza unitaria. Valgono poi le seguenti relazioni:
k = mω 2 ⇒ ω =
k
;
m
ω=
2
2π
2π
⇒T =
ω
T
dalle quali si deduce che
T = 2π
m
1
⇒ν =
k
2π
k
m
avendo considerato la relazione già espressa ν = 1/ T che intercorre tra la frequenza ed il periodo.
L’energia cinetica della particella è
Ek =
1 2 1
mv = mω 2 A2 sin 2 (ω t + ϑ0 )
2
2
dove, sfruttando la relazione fondamentale della trigonometria sin 2 (ω t + ϑ0 ) = 1 − cos 2 (ω t + ϑ0 ) , si ottiene l’espressione
Ek =
1
mω 2 ( A2 − x 2 )
2
(4)
dove si verifica che l’energia cinetica è massima quando x = 0 , cioè nel centro, e nulla agli estremi di oscillazione,
quando x = ± A .
Per l’energia potenziale, si osserva che l’energia potenziale elastica associata ad uno spostamento x , sotto l’azione di
una forza F = −kx , è pari al lavoro che è necessario compiere per raggiungere tale configurazione.
Ora, si ha
x
L = E p = ∫ −kxdx =
0
1 2 1 2 2
kx = ω x
2
2
e si osserva che l’energia potenziale è minima nel centro ( x = 0 ) e massima negli estremi di oscillazione ( x = ± A ).
Volendo calcolare l’energia totale del sistema si somma, con le dovute semplificazioni,
Ek + E p =
1
1
mω 2 A2 = kA2
2
2
che rappresenta una quantità costante.
3.
Smorzamento
Nel moto armonico semplice le oscillazioni hanno ampiezza costante. Tuttavia, sappiamo dall’esperienza
che un corpo vibrante, come una molla o un pendolo, oscilla con un’ampiezza che diminuisce gradualmente e alla fine
si ferma. Il moto oscillatorio è dunque smorzato. Per spiegare lo smorzamento da un punto di vista dinamico
supponiamo che, oltre alla forza elastica, vi sia la forza d’attrito e quin di si otterrà un relazione
ma = −kx − λ v
dove λ è una costante e v è la velocità. Ricordando le relazioni sulla velocità e l’accelerazione si può anche scrivere
m
d2x
dx
+ λ + kx = 0
dt 2
dt
dove si pone 2γ = λ / m e ω 02 = k / m ottenendo
m
d2x
dx
+ 2γ
+ ω 02 x = 0
dt 2
dt
Questa equazione differenziale ha come soluzione l’espressione
x = Ae −γ t cos(ω t + ϑ0 )
che rappresenta l’equazione di un’onda con smorzamento. In p articolare, l’esponenziale è la funzione che regola
l’ampiezza dell’onda sinusoidale e rappresenta una curva decrescente.
Figura 3. Smorzamento
