Fisica 2C

Esame di Fisica 2C
Data: 25/01/2005
Fisica 2C
25 gennaio 2005
• Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte
numeriche.
• Rispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Ogni volta che si utilizza
una qualche relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto, ipotesi e validità.
• Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto delle domande che non sia chiaro.
• In tutti i casi in cui sono presenti dati numerici è implicitamente inteso, anche se non esplicitamente scritto, che si
richieda anche la risposta numerica.
• Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, le brutte copie. Non saranno corretti elaborati scritti in modo difficilmente leggibile.
Domande
1. Dimostrare che qualunque asse perpendicolare ad un piano di simmetria di un corpo rigido è un asse principale di
inerzia.
2. Si consideri un sistema isolato di due particelle che interagiscono tra loro tramite una forza generica.
Si riduca il problema del moto dei due corpi ad un problema equivalente ad un solo corpo scrivendo l’equazione del
moto relativo delle due particelle.
3. Si consideri un moto piano di una particella, descritto in coordinate polari: r = r[t] e θ[t].
Si ricavi l’espressione della velocità areolare della particella rispetto all’origine e la si esprima in termini del momento
angolare della particella rispetto all’origine.
4. La sezione d’urto per l’assorbimento di fotoni di alta energia nel carbonio (M = 12.0 g/mol) vale σC = 2 barn.
Quale frazione dei fotoni viene assorbita in uno spessore D = 10 cm di materiale composto di carbonio con densità
ρ = 1.0 g/cm3 ?
Soluzione
Frazione di fotoni assorbiti:
λ−1 =
NA
ρσ = 10 m−1
M0
1 − exp [−D/λ] = 0.63 .
Problema 1
111111111111111111111111
000000000000000000000000
000000000000000000000000
111111111111111111111111
111111111111111111111111
000000000000000000000000
K
K
m
CM
θ
M
1
()
Esame di Fisica 2C
Data: 25/01/2005
Un particolare lampadario può essere schematizzato come un oggetto rigido di massa M = 100 g appeso al soffitto
tramite due sospensioni che possono essere schematizzate da due molle identiche aventi costante elastica k ≡ k1 = k2 =
104 N · m−1 e lunghezza a riposo d ≡ d1 = d2 = 10 cm. La distanza tra i punti di attacco delle sospensioni al soffitto
vale L = 30 cm ed è identica alla distanza tra i punti di attacco delle sospensioni al lampadario. Il centro di massa del
lampadario si trova tra i due punti di sospensione ad una distanza pari ad L/3 da uno dei due. Il momento di inerzia del
lampadario rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa, orizzontale e perpendicolare alla linea congiungente i
due punti di attacco sul lampadario, vale I0 = 10−2 kg · m2 .
Allo scopo di rendere il lampadario orizzontale (cioè con lo stesso allungamento delle due sospensioni) si fissa ad esso
un piccolo corpo di massa m = 75 g in un punto compreso tra i due punti di attacco.
Si veda la figura per un disegno schematico non in scala.
Si supponga che il moto delle molle sia limitato a piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio e che le molle si
muovano solo lungo la direzione verticale (un grado di libertà per molla).
• Determinare la posizione in cui va fissato il corpo di massa m per rendere il lampadario orizzontale, la posizione del
centro di massa del sistema composto (lampadario più massa) e di quanto sono allungate le molle all’equilibrio.
• Determinare le frequenze delle piccole oscillazioni del sistema composto (lampadario più massa).
• Al piano superiore è in azione un motore elettrico che gira con frequenza ν0 = 50 Hz producendo delle vibrazioni che
fanno oscillare verticalmente il pavimento/soffitto a cui è appeso il lampadario. Il movimento del pavimento/soffitto
risulta in prima approssimazione sinusoidale, con frequenza ν0 = 50 Hz e con ampiezza, nei pressi dei due punti di
attacco del lampadario sottostante, pari a y0 = 10 µm.
Scrivere le equazioni del moto del centro di massa del sistema lampadario più massa nella nuova situazione (sempre
nell’ipotesi di piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio) e scrivere la soluzione generale dell’equazione
del moto del centro di massa.
Soluzione
• Assumendo l’asse y lungo la verticale e diretto verso il basso, sia ∆yEQ la differenza tra la quota di equilibrio e
quella di riposo dei due punti di attacco delle sostensioni al lampadario.
La condizione di equilibrio fornisce:
−2k∆yEQ + (m + M )g = 0
L
+ k∆yEQ L = 0
3
dove i momenti delle forze sono calcolati rispetto al punto di attacco al lampadario della sospensione sinistra ed x
denota la posizione (incognita) della massa m rispetto alla stessa estremità.
Dalla prima equazione si ha immediatamente:
−mxg − M g
∆yEQ =
(m + M )g
= 8.58 × 10−5 m
2k
mentre dalla seconda si ha:
L
M
(3 +
) = 0.22 m.
6
m
Infine, il centro di massa dista dall’estremo sinistro del lampadario di
x=
xm + M L/3
L
= = 0.15 m.
m+M
2
• L’equazione del moto per il centro di massa è:
(m + M )g − k(∆y + ∆yEQ +
L
L
¨
θ) − k(∆y + ∆yEQ − θ) = (m + M )∆y
2
2
dove ∆y indica la differenza tra l’ordinata corrente del centro di massa e quella relativa alla sua posizione di
equilibrio e θ è l’angolo in figura supposto piccolo (e quindi sin θ ∼ θ).
Sfruttando le relazioni di equilibrio trovate al punto precedente l’equazione sopra si riduce alla ben nota equazione
dell’oscillatore armonico
¨ + ωCM 2∆y = 0
∆y
dove ωCM 2 = (2k)/(m + M ) = e quindi ωCM = 338.1 Hz.
La seconda equazione cardinale fornisce (polo nel centro di massa)
−k(∆y + ∆yEQ +
L L
L L
θ) + k(∆y + ∆yEQ − θ) = I θ̈.
2 2
2 2
2
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Data: 25/01/2005
Sfruttando anche in questo caso le relazioni di equilibrio si arriva nuovamente all’equazione dell’oscillatore
armonico:
θ̈ + ωθ 2θ = 0
con ωθ 2 = kL2
2I dove I è il momento di inerzia del sistema e vale
I = I0 + M L2/36 + m(x − L/2)2 = I0 + M L2/36 + (L2 M 2)/(36 m) = 0.0106 kg m2. Si ha quindi ωθ = 206.2 Hz.
In conclusione, il moto del centro di massa e quello angolare sono quindi disaccoppiati.
• Il movimento oscillatorio del pavimento causa lo spostamento (in fase) di entrambi i punti di ancoraggio delle
sospensioni al soffitto e quindi delle elongazioni delle molle.
Indicando con yS (t) = y0 sin(2πν0 t) lo spostamento (sinusoidale) del soffitto rispetto alla posizione di quiete,
l’equazione del moto del centro di massa del sistema è adesso:
(m + M )g − k(∆y + ∆yEQ +
L
L
¨
θ − yS (t)) − k(∆y + ∆yEQ − θ − yS (t)) = (m + M )∆y
2
2
che, sfruttando le relazioni di equilibrio, diventa:
¨ + ωCM 2∆y = F0 sin(2πν0 t)
∆y
con
2 k y0
= 1.14 m/s2
M +m
Si tratta quindi dell’equazione del moto armonico forzato.
F0 =
Problema 2
Una cometa di massa mC = 6·1015 kg, in orbita ellittica intorno al sole (eccentricità dell’orbita ε = 0.97) collide in
modo completamente anaelastico con Venere (MV = 4.88·1024 kg).
Si esamini un modello della collisione in cui si suppone di poter trascurare le masse di Venere e della cometa rispetto
alla massa del Sole e le perturbazioni degli altri corpi del Sistema Solare al moto della cometa e di Venere, e, inoltre, si
suppone di poter trascurare l’attrazione gravitazionale tra Venere e la cometa prima dell’impatto.
Si assuma che, prima della collisione, Venere percorra un’orbita circolare attorno al Sole, di raggio rV = 1.08·108 km,
che le orbite di Venere e cometa siano coplanari, che la collisione avvenga quando la cometa è nel punto di minima distanza
dal sole (perielio) ed infine che le velocità della cometa e di Venere abbiano lo stesso verso al momento della collisione.
Altri dati: G = 6.673·10−11 N · m2 /kg2 e mS = 1.989·1030 kg.
• Determinare l’energia meccanica convertita in altre forme di energia nella collisione.
• Determinare quale orbita percorre il corpo formatosi in seguito alla collisione e calcolare il periodo.
• Calcolare il tempo speso dalla cometa, prima dell’urto, all’interno dell’orbita terrestre (assunta circolare con raggio
rT = 1.5·108 km) facendo l’approssimazione che la cometa percorra un’orbita parabolica (approssimazione ragionevole poiché ε ∼ 1).
A tale scopo si parta dalla relazione
∆t =
rV
w
dr
ṙ
r
,
()
T
e si utilizzi l’equazione di conservazione dell’energia meccanica per la cometa nella forma:
E=
`2
mC 2
ṙ +
+ V (r) .
2
2mC r2
Soluzione
1. Per calcolare il momento angolare occorre conoscere il parametro d’impatto (b)
!
2
θS
2Eb
v∞
b
cot
=
=
2
GmmS
GmS
!
GmS
θS
b=
cot
= 1.327·1014 m
2
v∞
2
L = mbv∞ =
GmmS
= 1.327·1027 m
v∞
3
()
Esame di Fisica 2C
Data: 25/01/2005
2. L’asintoto dell’iperbole è definito da
cos θA = −
1
ε
Definito θ0 = π − θA l’angolo di scattering è dato da θS = π − 2θ0
!
θS
1
sin
= cos θ0 = cos(π − θA ) =
2
ε
√
ε= 2
Il raggio minimo si ottiene per θ = 0
a(ε2 − 1)
= a(ε − 1)
1 + ε cos θ
GmmS
GmS
2
E=
v∞
=
2a
a
rmin = a(ε − 1) = 5.49·1013 m
rmin =
a=
GmS
=b
2
v∞
3. Le velocità dei due corpi sono le stesse del corpo di partenza (si considera trascurabile l’energia dissipata nel
processo):
m 2
v ' mx vx2
2
m
mx =
2
mv = 2mx vx
vx = v
1 m 2
E
v =
2 2
2
L
m
L0 = rmin v =
2
2
E0 =
s
ε0 =
2
2E 0 L0
1+ 2 0 =
γ m
s
2(E/2)(L/2)2
=
1+ 2 2
G mS (m/2)3
L’eccentricità resta invariata
4
s
2EL2
1+ 2 2 3 =
G mS m
s
1+
2EL2
=ε
γ2m
Esame di Fisica 2C
Data: 25/01/2005
Fisica 2C (recupero parte 1)
25 gennaio 2005
• Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte
numeriche.
• Rispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Ogni volta che si utilizza
una qualche relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto, ipotesi e validità.
• Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto delle domande che non sia chiaro.
• In tutti i casi in cui sono presenti dati numerici è implicitamente inteso, anche se non esplicitamente scritto, che si
richieda anche la risposta numerica.
• Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, le brutte copie. Non saranno corretti elaborati scritti in modo difficilmente leggibile.
Domande
1. Calcolare il tensore di inerzia di un cubo omogeneo di massa M e lato L rispetto ad un sistema di assi solidali
paralleli agli assi del cubo e con origine in un vertice del cubo.
2. Partendo dalla definizione di momento angolare di un sistema di particelle o di un corpo continuo, ricavare
l’espressione del momento angolare rispetto al centro di massa di un corpo rigido in termini del tensore di inerzia e
della velocità angolare.
3. Si consideri un oscillatore armonico smorzato forzato, con costante di smorzamento γ e frequenza propria ω0 . La
forzante esterna è un forza che dipende sinusoidalmente dal tempo con pulsazione Ω. Ricavare l’espressione della
dipendenza dell’ampiezza dell’oscillazione in funzione di Ω, con γ e ω0 fissate, e calcolare la frequenza alla quale tale
ampiezza è massima.
1
Esame di Fisica 2C
Data: 25/01/2005
Fisica 2C (recupero parte 2)
25 gennaio 2005
• Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte
numeriche.
• Rispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Ogni volta che si utilizza
una qualche relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto, ipotesi e validità.
• Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto delle domande che non sia chiaro.
• In tutti i casi in cui sono presenti dati numerici è implicitamente inteso, anche se non esplicitamente scritto, che si
richieda anche la risposta numerica.
• Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, le brutte copie. Non saranno corretti elaborati scritti in modo difficilmente leggibile.
Domande
1. Definire un campo di forza centrale e dimostrare che il moto di una particella in un campo di forza centrale è un
moto piano.
2. Si consideri il moto di una particella in un generico campo di forza centrale.
Si calcoli, fissato il momento angolare rispetto al centro di forza, il raggio dell’orbita circolare in funzione dell’energia
potenziale V [r].
3. Definire il concetto di sezione d’urto.
1