C3. Alcune leggi orarie fondamentali
In questo capitolo, partendo dall’espressione analitica di alcune semplici leggi orarie del moto rettilineo del punto
materiale, se ne studieranno le principali proprietà e alcune semplici applicazioni, seguendo lo schema che dalla legge
oraria porta alla determinazione della velocità, e da questa a quella dell’accelerazione:
derivata
→
x = x(t)
v=
dx
dt
derivata
→
a=
dv
dt
Il moto rettilineo uniforme
Si consideri una legge oraria definita da un polinomio di I grado, cioè del tipo:
x = At + B
con A, B costanti.
a)
Dall’analisi dimensionale della legge oraria, segue che le unità di misura delle costanti sono, rispettivamente:
[A] = m s-1 ; [B] = m
In altri termini, A ha le unità di misura di una velocità e B di una lunghezza.
b) Eseguendo le derivate, si ottiene:
v=
c)
dx
dv
=A ; a=
=0
dt
dt
Il significato fisico delle costanti A, B si individua in base a queste osservazioni:
− Ponendo t = 0 nell’equazione della legge oraria si determina la posizione iniziale x(0):
x(0) = B
Pertanto, B rappresenta la posizione iniziale. Per ricordare più facilmente questo significato, spesso al posto di
B si usa il simbolo xo.
− Dall’equazione che esprime la velocità, si deduce che A rappresenta la velocità costante del moto. Per ricordare
più facilmente questo significato, spesso al posto di A si usa il simbolo vo.
In termini dei nuovi simboli, le leggi che descrivono il moto rettilineo uniforme si scrivono quindi:
x = vot + xo
v = vo
a=0
con xo posizione iniziale e vo velocità costante del moto.
Grafici del moto rettilineo uniforme
Nel seguito, sono riportati i grafici di x(t), v(t) e a(t) per la legge oraria x = vot + xo , con xo > 0, vo > 0.
Siccome la legge oraria è espressa da un polinomio di I grado, il grafico x (t) è una retta con intercetta xo e coefficiente
angolare vo. I grafici di v, a esprimono rispettivamente il fatto che la velocità è costante e pari a vo, e che
l’accelerazione è nulla.
Seguono alcune osservazioni sul moto rettilineo uniforme:
−
Nel moto rettilineo uniforme, la velocità media ha lo stesso valore della velocità istantanea. Per convincersene, è
sufficiente ad esempio pensare al significato geometrico di vm e v nel piano x-t.
−
Dalla definizione di velocità media, segue che:
∆x = v o ∆t
il che implica la proporzionalità tra intervalli di tempo e spostamenti corrispondenti. In altri termini, si dice
talvolta che nel moto rettilineo uniforme il punto materiale percorre spazi uguali in tempi uguali.
La differenza fondamentale, rispetto al caso di un
generico moto vario, è che questa equazione è esatta
per il moto rettilineo uniforme, mentre può essere
utilizzata solo in modo approssimato, per piccoli
intervalli di tempo, negli altri casi.
Nel grafico a fianco (che rappresenta una generica
legge oraria), il tratto azzurro rappresenta lo
spostamento ∆x = vm ∆t; il tratto rosso indica il
prodotto v∆t.1 Ovviamente v ∆t ≠ v m ∆t a meno che
il grafico non sia una retta.
1
Nei termini dell’Analisi matematica, il prodotto v ∆t è pari al differenziale dx della funzione.
Il moto rettilineo uniformemente accelerato
Si consideri ora una legge oraria definita da un polinomio di II grado, cioè del tipo:
x = At2 + Bt + C
con A, B, C costanti (diverse dall’esempio precedente!)
a)
Dall’analisi dimensionale della legge oraria, segue che le unità di misura delle costanti sono, rispettivamente:
[A] = m s-2 ; [B] = m s-1 ; [C] = m
In altri termini, A ha le unità di misura di un’accelerazione; B di una velocità; C di una lunghezza.
b) Eseguendo le derivate si ottiene:
c)
v=
dx
= 2 At + B
dt
a=
dv
= 2A
dt
Il significato fisico delle costanti A, B, C si individua allora in base a queste osservazioni:
− Ponendo t = 0 nell’equazione della legge oraria, si determina la posizione iniziale x(0):
x(0) = C
Pertanto, C rappresenta la posizione iniziale. Per ricordare più facilmente questo significato, al posto di C si
userà il simbolo xo.
− Ponendo t = 0 nell’equazione che esprime la velocità, si determina la velocità iniziale v(0):
v(0) = B
Pertanto, B rappresenta la velocità iniziale. Similmente, al posto di B si userà il simbolo vo.
− Infine, dall’equazione che esprime l’accelerazione, si deduce che l’accelerazione è costante. Un polinomio di II
grado descrive pertanto la legge oraria di un moto uniformemente accelerato.
1
Detto ao il valore costante dell’accelerazione, si ricava altresì che A = a o .
2
In termini dei nuovi simboli, le leggi del moto uniformemente accelerato si scrivono quindi:
1
a o t 2 + vo t + x o
2
v = a o t + vo
x=
a = ao
con xo posizione iniziale; vo velocità iniziale; ao accelerazione costante del moto.
Grafici del moto rettilineo uniformemente accelerato
Siccome la legge oraria è espressa da un polinomio di II grado, il grafico della funzione x (t) è una parabola. I rebbi
sono rivolti verso l’alto se a > 0 e verso il basso se a < 0. Nell’istante t = 0, la parabola passa per x = xo. La tangente al
grafico, in t = 0, ha coefficiente angolare pari a vo.
La funzione v(t) è data da un polinomio di I grado; il grafico è una retta, con intercetta vo e coefficiente angolare a.
Il grafico di a esprime infine il fatto che l’accelerazione è costante.
In basso, sono riportati alcuni possibili grafici di x(t), v(t) e a(t).
a)
Posizione iniziale, velocità iniziale e accelerazione positive.
xo > 0
vo > 0
a>0
b) Posizione iniziale e velocità positive; accelerazione negativa.
xo > 0
vo > 0
a<0
Applicazioni di cinematica del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato
Nel seguito sono riportate alcune considerazioni aggiuntive e alcune applicazioni fondamentali delle leggi orarie del
moto rettilineo uniforme e del moto rettilineo uniformemente accelerato.
In moltissimi problemi pratici è possibile, almeno approssimativamente, assumere che il punto materiale si muova
nell’uno o nell’altro modo, per cui è importante padroneggiare la descrizione e l’applicazione delle leggi cinematiche
di questi moti. Attenzione, però, a non commettere l’errore, piuttosto comune, di usare queste leggi per qualunque
moto vario!
Relazione tra velocità e spostamento
Le equazioni del moto uniformemente accelerato appena presentate esprimono la posizione e la velocità del punto
materiale in funzione del tempo. In alcuni problemi, però, risulta utile una relazione che leghi direttamente la velocità
alla posizione. Si procede allora eliminando il tempo t tra le due equazioni del moto uniformemente accelerato:
1
2
x = a o t + vo t + x o
2
v = a o t + vo
x − xo =
x − xo =
1 v − vo
ao
2 a o
;
1
2
x = 2 a o t + v o t + x o
t = v − vo
ao
2
v − vo
+ v o
ao
v 2 − 2 v v o + v o2
v v o − v o2
+
2 ao
ao
x − xo =
;
;
;
v 2 − 2 v v o + v o2
v − vo
1
ao
+ vo
2
2
ao
ao
x − xo =
;
v 2 − 2 v v o + v o2 + 2 v v o − 2v o2
2 ao
Infine, sommando i termini simili e indicando per semplicità col simbolo s lo spostamento:
s = x - xo
si ottiene la relazione cercata:
s=
v 2 − v o2
2 ao
che può essere anche scritta, a seconda della convenienza, come:
v 2 − v o2 = 2 a o s
;
ao =
v 2 − v o2
2s
Attenzione! Ovviamente queste formule valgono esclusivamente per un moto rettilineo uniformemente accelerato.
Applicarle a casi diversi è un errore piuttosto comune, certamente da evitare.
Una formulazione più generale di questo problema richiede un approccio completamente diverso, che sarà presentato
più avanti, in termini di lavoro ed energia cinetica.
Condizioni iniziali assegnate all’istante t 1 ≠ 0
Di consueto, le condizioni iniziali sono assegnate all’istante to = 0. Come già osservato, si può immaginare che in
questo istante venga fatto partire il cronometro che segna il tempo t.
In alcuni problemi, tuttavia, le condizioni iniziali devono essere assegnate a un istante t 1 ≠ 0 . Ciò capita, ad esempio,
se la legge oraria è data in forme diverse in diversi intervalli di tempo; per esempio, se il punto materiale si muove di
moto uniformemente accelerato nell’intervallo 0 ≤ t < t 1 e di moto uniforme nel seguito. In questo caso, la condizione
iniziale per la seconda fase del moto, uguale alla condizione finale della prima, va assegnata all’istante t1.
Per fissare le idee, il procedimento da adottare è presentato in riferimento al caso specifico. Si può procedere in questo
modo:
a)
Per descrivere la prima fase, si fa partire come di consueto il cronometro che segna il tempo t nella condizione
iniziale; le condizioni iniziali xo, vo sono quindi assegnate a t = 0. Le leggi cinematiche del moto sono dunque:
1
2
x = 2 a o t + vot + x o
v = a o t + vo
a=a
o
b) Al termine della prima fase, il cronometro segna il tempo t1.
Le condizioni finali x1, v1 , che diventeranno condizioni iniziali per la fase successiva, sono:
1
2
x1 = a o t1 + v o t1 + x o
2
v1 = a o t 1 + v o
c)
All’istante t1 si fa partire un secondo cronometro, che segnerà il tempo t’. Le leggi cinematiche del moto rettilineo
uniforme, in termini del tempo t’ e delle nuove condizioni iniziali x1, v1, sono:
x = v1 t ' + x 1
v = v1
a=0
d) In queste equazioni, si effettua la sostituzione
t’ = t – t1
ottenendo così infine:
x = v1 (t − t 1 ) + x1
v = v1
a=0
Per il caso particolare in cui vo = 0, xo = 0, si ottengono le relazioni seguenti, cui corrisponde il grafico in figura.
1
2
x = 2 aot
v = aot
0 ≤ t < t1
1
2
x = a o t 1 (t − t 1 ) + a o t 1
2
v = a o t1
t1 ≤ t
Lo stesso procedimento2 può essere seguito del tutto in generale. Se, ad esempio, nella seconda fase il punto materiale
si muovesse di moto uniformemente accelerato, con accelerazione a1, si avrebbero per t > t1 le relazioni:
1
2
x = 2 a 1 (t − t 1 ) + v1 (t − t 1 ) + x1
v = a 1 (t − t 1 ) + v1
a=a
1
Incontro tra due punti materiali
Nei problemi in cui compaiono due distinti punti materiali, è particolarmente utile rappresentare le leggi orarie nello
stesso diagramma; ciò permette infatti di desumere rapidamente molte informazioni qualitative sulla situazione fisica
che si determina istante per istante.
Un problema classico è quello dell’incontro tra due punti: assegnate le leggi orarie, determinare in che istante e in
quale posizione essi si incontreranno. L’incontro implica che i due punti occupino la stessa posizione x nello stesso
istante di tempo t; pertanto le t, x sono ottenute mettendo a sistema le due leggi orarie.
2
In particolare, la posizione t’ = t – t1
A titolo di esempio, si considerino le seguenti leggi orarie.
a)
P1 si muove di moto uniformemente accelerato (tratto rosso):
x=
1
aot2
2
b) P2 si muove di moto uniforme (tratto nero):
x = vo t
L’istante e il punto di incontro sono determinati come
soluzioni del sistema:
1
2
x = aot
2
x = vo t
Eliminando x tra le due equazioni e riordinando, si ottiene:
a o t 2 − 2v o t = 0
Risolvendo l’equazione (spuria di II grado) si trovano due soluzioni; la prima è t = 0 (i punti sono partiti insieme; la
seconda è data da:
t=
2v o
ao
cui corrisponde la posizione:
x = vo t =
2 v o2
ao
Caduta libera di un grave
A causa dell’attrazione gravitazionale della Terra, tutti i corpi pesanti (detti talvolta “gravi”) si muovono con
accelerazione costante3, detta accelerazione di gravità. Il valore dell’accelerazione di gravità è uguale per tutti i corpi;
essa cambia lievemente con la latitudine e con la quota, determinata rispetto al livello del mare.
Lasciando ai prossimi capitoli lo studio del caso più generale, ci si limiti ora ai moti che hanno luogo lungo la
verticale; cioè quelli che si determinano quando l’oggetto è lanciato cadere liberamente, oppure è lanciato verso l’alto
o verso il basso, ma non obliquamente.
In un sistema di riferimento con asse y orientato verso l’alto, l’accelerazione è negativa e pari a:
a = -g
3
Naturalmente, questo è vero solo se la resistenza dell’aria è trascurabile, come implicitamente assunto nel seguito.
con g costante positiva. A una latitudine intermedia e al livello del mare, si ha.
g = 9.8 m s-2
Partendo dalle equazioni di un generico moto uniformemente accelerato, con le sostituzioni x → y e ao = -g, si
ottengono le equazioni:
1 2
y = − 2 gt + v o t + y o
v = − gt + v o
a = −g
Attenzione ai segni! Scegliendo un sistema con asse di riferimento y orientato verso il basso (il che è altrettanto lecito),
l’accelerazione è positiva e pari a g; si hanno così le equazioni:
1 2
y = 2 gt + v o t + y o
v = gt + v o
a=g
A patto di assegnare correttamente le condizioni iniziali, i risultati ottenuti nell’uno o nell’altro sistema di riferimento
sono equivalenti. Questo è un primo esempio di un principio molto generale: la descrizione fisica di un sistema non può
cambiare se si cambia il sistema di riferimento.4 Nel seguito, se non è esplicitamente affermato il contrario, si assumerà
sempre l’asse y orientato verso l’alto.
Caduta libera
Se il corpo viene lasciato cadere da un’altezza h, partendo da fermo (vo = 0), le equazioni diventano:
1 2
y = − gt + h
2
v = − gt
Il tempo necessario perché il punto materiale tocchi il suolo (y = 0) è la soluzione positiva dell’equazione:
0=−
4
1 2
gt + h
2
Questo tema verrà affrontato in maggior dettaglio a proposito della I legge della dinamica.
e quindi:
t=
2h
g
La velocità di impatto al suolo è pari alla velocità calcolata all’istante t:
2h
=−
g
v = −g
2gh
Per avere un’idea degli ordini di grandezza, si consideri che un corpo, cadendo dall’altezza di 5 m, tocca il suolo dopo
1 s alla velocità di 10 ms-1.
Altezza massima
Se il corpo viene lanciato verso l’alto con velocità vo, a partire da una quota nulla (yo = 0), le equazioni diventano:
1 2
y = − gt + v o t
2
v = − gt + v o
Durante la salita, la velocità è positiva; durante la discesa, è negativa. Alla quota massima la velocità deve essere
nulla. Ponendo v = 0 si ricava il tempo necessario:
t=
vo
g
Sostituendo nella prima equazione, si trova l’altezza corrispondente h:
1
1 v
h = − gt 2 + v o t = − g o
2
2 g
2
2
v
1
v
+ v o o = − + 1 o
g 2
g
e infine:
h=
v o2
2g
Attenzione a un errore banale, ma frequente: il segno dell’accelerazione non cambia se il corpo procede verso
l’alto! Ricordando il significato del segno dell’accelerazione, restando sempre a = -g, il corpo rallenta se procede
verso l’alto e va sempre più in fretta se procede verso il basso.
Moto armonico
L’ultimo esempio di questo capitolo riguarda il moto armonico, che rappresenta il più semplice moto oscillatorio. La
legge oraria è data da una relazione del tipo:
x = A cos (ω t + φ o )
con A, ω, φο costanti.
a)
Dall’analisi dimensionale della legge oraria, segue che le unità di misura delle costanti sono, rispettivamente:
[A] = m ; [ω] = s-1 ; [φο] = 1
In altri termini, A ha le unità di misura di una lunghezza, ω dell’inverso di un tempo, mentre φo è un numero.5
A prende il nome di ampiezza;
(ωt + φo), cioè l’argomento della funzione coseno, prende il nome di fase;
ω prende il nome di pulsazione;
φo prende il nome di fase iniziale.
b) Per semplicità, si ponga nel seguito φo = 0. Eseguendo le derivate per determinare velocità e accelerazione del
moto, si ottiene:
dx
= − Aω sen (ω t )
dt
dv
a=
= − Aω 2 cos (ω t )
dt
v=
c)
Il moto armonico gode di una proprietà particolare. Riordinando le espressioni di x, v, a, si nota infatti che a ∝ x :
x=
A cos (ω t )
v = − Aω sen (ω t )
2
a = − Aω cos (ω t )
→ a = − ω2 x
cioè l’accelerazione è proporzionale allo spostamento, ma opposta in segno.
5
Come argomento della funzione coseno, si può intendere che (ωt + φo) sia espresso in radianti. I radianti hanno l’unità
di misura dei numeri.
Grafici del moto armonico
Il significato fisico delle costanti A, ω si individua in base allo studio del grafico della legge oraria (primo diagramma
in alto). Dalla relazione:
x = A cos (ω t )
si vede innanzitutto che − A ≤ x ≤ A , essendo il valore della funzione coseno limitato all’intervallo [-1, 1]. Il punto
materiale si muove dunque sull’intervallo [-A, A].
La tabella in basso raccoglie alcune coppie (t, x):
t
ωt
x = A cos (ω t)
0
0
A
1 π
2 ω
π
ω
3 π
2 ω
π
2
ω
π
2
0
π
-A
3
π
2
0
2π
A
Tabella e grafico chiariscono che il moto armonico è oscillatorio, nel senso che si susseguono gli spostamenti verso
sinistra e verso destra.
Dal secondo grafico, si vede che la velocità è positiva quando il punto procede verso destra, negativa quando procede
verso sinistra; si annulla quindi negli istanti di inversione della direzione, cioè quando il punto raggiunge uno degli
estremi dell’intervallo. E’ massima, in valore assoluto, quando il punto passa per l’origine (x = 0).
Come si vede dal terzo grafico, nei punti di inversione l’accelerazione raggiunge, in valore assoluto, il massimo valore;
si annulla invece quando il punto passa per l’origine, cioè quando il valore assoluto della velocità è massimo.
Moti periodici
Un moto si dice periodico se esiste un tempo T, detto periodo, tale che:
x(t + T) = x(t)
Il significato fisico di questa equazione è il seguente: dopo il tempo T, il moto riprende uguale a se stesso.
Periodo del moto armonico
Il moto armonico è un moto periodico. La funzione coseno è infatti una funzione periodica; dalla goniometria
elementare, è noto che essa ha periodo pari a 2π.
L’argomento della funzione coseno, nella legge oraria, è la fase ω t. Come si vede
dallo schizzo a fianco, quando la fase raggiunge il valore 2π, è passato un tempo pari
al periodo T. Quindi vale l’equazione:
ωT = 2π
da cui si ricava il periodo:
T=
2π
ω
Invertendo l’equazione, si ricava l’espressione della pulsazione in termini del periodo:
2π
T
ω=
Infine, l’inverso del periodo è la frequenza ν:6
ν=
1
ω
=
T 2π
Dalla definizione, segue il significato fisico di frequenza: ν è pari al numero di oscillazioni compiute nel tempo
unitario.
L’unità di misura della frequenza si determina dalla definizione:
[ν] =
1
[T]
= s −1 = Hz
Il simbolo Hz si legge Hertz.
Si faccia attenzione al seguente dettaglio.
Sia la pulsazione, che la frequenza, hanno come unità di misura, nel SI, il s-1. Si tratta però di grandezze fisiche
diverse, per cui non ha nessun senso sommare una pulsazione con una frequenza! Per evitare equivoci, si stabilisce la
seguente convenzione:
−
−
6
l’unità di misura della frequenza è indicata esclusivamente come Hz;
l’unità di misura della pulsazione è riportata in s-1 o, talvolta, in rad s-1; si tratta di unità di misura equivalenti,
visto che [rad] = 1.
Attenzione all’alfabeto greco! “ν" (si legge “ni” o anche “nu”) è la corrispondente della lettera latina “n”.
