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FISICA
Velocità moto rettilineo
∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1
𝑣𝑚 =
=
∆𝑡
𝑡2 − 𝑡1
Velocità istantanea è la derivata
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
Formula inversa
𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0
Relazione tra velocità media e velocità istantanea
𝑡
1
𝑣𝑚 =
+ ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑡 − 𝑡0
𝑡0
Moto rettilineo uniforme v=costante
𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑥0 + 𝑣 (𝑡 − 𝑡0 )
,
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑡
𝑡0
La seconda espressione vale se 𝑡0 = 0
Accelerazione nel moto rettilineo
𝑣2 − 𝑣1
∆𝑣
𝑎𝑚 =
=
𝑡2 − 𝑡1
∆𝑡
Accelerazione istantanea
𝑑𝑣 𝑑2 𝑥
𝑎=
=
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
Accelerazione istantanea è dunque la derivata della velocità rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda
dello spazio rispetto al tempo.
Formula inversa
𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑣0 + ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0
Moto rettilineo uniformemente accelerato
1
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑎(𝑡 − 𝑡0 )2
2
1
Se 𝑡0 =0 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2
𝑣 2 (𝑥) = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 )
Moto verticale di un corpo
2ℎ
tempo di caduta 𝑡𝑐 = √ 𝑔
velocità di caduta 𝑣𝑐 = √2𝑔ℎ
se invece il punto è lanciato verso il basso (x0=h e v0=-v1)
1
𝑣(𝑡) = −𝑣1 − 𝑔𝑡 , 𝑥(𝑡) = ℎ − 𝑣1 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2
𝑡𝑐 = −
𝑣1
𝑔
𝑣12
𝑔2
+√
+
2ℎ
𝑔
,
𝑣𝑐 = √𝑣12 + 2𝑔ℎ
Se il punto viene lanciato verso l’alto con velocità v2 ma partendo dal suolo le condizioni iniziali sono x0=0 e
v0=v2>0 per t=0
1
𝑣 = 𝑣2 − 𝑔𝑡 , 𝑥 = 𝑣2 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2
Moto armonico semplice
𝑥(𝑡) = Α sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
A = ampiezza del moto , 𝜔𝑡 + 𝜙 fase del moto , 𝜙 fase iniziale , 𝜔 pulsazione.
2𝜋
2𝜋
𝑇 = 𝜔 ovvero 𝜔 = 𝑡
Si definisce frequenza 𝜈 del moto il numero di oscillazioni in un secondo
1
𝜔
𝜈= =
𝑡 2𝜋
Velocità
𝑑𝑥
𝑣(𝑡) =
= 𝜔Α cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑑𝑡
Accelerazione
𝑑𝑣 𝑑2 𝑥
𝑎(𝑡) =
=
= −𝜔2 Α sin(𝜔𝑡 + 𝜙) = −𝜔2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
𝑣 2 (𝑥) = 𝑣02 + 𝜔2 (𝑥02 − 𝑥 2 )
Con riferimento al centro dove 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 𝜔Α
𝑣 2 (𝑥) = 𝜔2 (𝐴2 − 𝑥 2 )
𝜔
𝜑 = tan−1 ( )
𝑣0
𝑣
𝐴 = √𝑥02 + ( 𝜔0 )2
𝑥0 istante iniziale e 𝑣0 istante iniziale
Moto parabolico
Leggi orarie dei moti proiettati sugli assi sono:
1
𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣𝑜𝑥 𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
Dove 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 e 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃
Traiettoria
𝑔
𝑦(𝑥) = 𝑥 tan 𝜃 − 2
𝑥2
2𝑣0 cos2 𝜃
Angolo che il vettore velocità forma con l’asse orizzontale
𝑣𝑦
𝑔
𝑔
tan ∅ =
= tan 𝜃 −
𝑡 = tan 𝜃 − 2
𝑥
𝑣𝑥
𝑣0 cos 𝜃
𝑣0 cos2 𝜃
Gittata
𝑥𝐺 =
2𝑣02 cos2 𝜃 tan 𝜃
𝑔
=
2𝑣02 cos 𝜃 sin 𝜃
𝑔
Altezza massima
𝑣02 sin2 𝜃
𝑦(𝑥𝑀 ) = 𝑦𝑀 =
2𝑔
Il tempo totale di volo
2𝑥𝑚
2𝑣0 sin 𝜃
𝑡𝐺 =
=
= 2𝑡𝑀
𝑣0 cos 𝜃
𝑔
=
𝑣02 sin 2𝜃
𝑔
= 2𝑥𝑀 con 2𝑥𝑀 =
𝑣02 cos 𝜃 sin 𝜃
𝑔
Iterazione gravitazionale
𝑀𝑚
𝐹=𝐺 2
𝑑
𝑁𝑚2
𝐺 = 6,7𝑥10−11
𝐾𝑔2
𝑅𝑇 = 6,4𝑥106 𝑚
𝑀 = 6𝑥1024 𝐾𝑔
P=(0, -mg) =ma
𝐹𝑇𝑂𝑇 = 𝑃 + 𝑁 = 𝑚𝑎
𝑥
𝑥
𝐹𝑡𝑜𝑡
= 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑡𝑜𝑡
= 𝑃𝑥 + 𝑁𝑥 = 𝑃 sin 𝜃 + 0
𝑦
𝑦
𝐹𝑡𝑜𝑡 = 𝑚𝑎𝑦 =0
𝐹𝑡𝑜𝑡 = 𝑃𝑦 + 𝑁𝑦 = 𝑃 cos 𝜃 + 𝑁 = 0 → 𝑁 = 𝑃 cos 𝜃 = 𝑚𝑔 cos 𝜃
𝑃
𝑎𝑥 = sin 𝜃 = 𝑔 sin 𝜃
𝑚
Forza di attrito radente
Statico
𝑥) 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝐹𝑎 = 0 ⟹ 𝐹𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝜃
𝑦) − 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝑁 = 0 ⟹ 𝑁 = 𝑚𝑔 cos 𝜃
Angolo per cui il corpo scivola
tan 𝜃 < 𝜇𝑠
𝜃 = tan−1 (𝜇𝑠 )
Dinamico
𝑥) 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝐹𝑎 = 𝑚𝑎𝑥
𝑦) − 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝑁 = 0 ⟹ 𝑁 = 𝑚𝑔 cos 𝜃
g(sin 𝜃 − 𝜇𝑑 cos 𝜃) = 𝑎𝑥
Forza elastica
𝐹 = −𝑘(𝑙 − 𝑙0 ) = −𝑘𝑥
𝐹
𝑘𝑥
𝑎= =−
= −𝜔2 𝑥
𝑚
𝑚
𝑘
𝜔 = √𝑚
,
𝑇=
2𝜋
𝜔
Forza di attrito viscoso
𝐹 = −𝑏𝑣
𝑔
𝑣(𝑡) = (1 − 𝑒 −𝑘𝑡 )
𝑘
Forze centripete
𝑚𝑣 2
𝐹𝑁 = 𝑚𝑎𝑁 =
𝑟
𝑚
= 2𝜋√ 𝑘
𝐹𝑎 = −𝑁𝜇𝑠
𝐹𝑎 = −𝑁𝜇𝑑
Pendolo semplice (pg. 72)
𝑚𝑣 2
𝑙
𝑣2
𝑑𝜃
= 𝑚𝜔2 𝑙
, 𝑎= 𝑙
, 𝜔 = 𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝐹𝑇 = 𝑚
, 𝑣 = 𝜔𝑙
𝑑𝑡
𝐹𝑇 = −𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝑎𝑇 , 𝐹𝑁 = 𝑇𝐹 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑎𝑁
𝑑2 𝜃
𝑣2
𝑎𝑇 = 𝑙 2 ; 𝑖𝑛𝑜𝑙𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑁 =
𝑑𝑡
𝑙
𝑑2 𝜃
𝑔
𝑣2
⟹ 2 = − sin 𝜃 , 𝑚
= 𝑇𝐹 − 𝑚𝑔 cos 𝜃
𝑑𝑡
𝑙
𝑙
𝑚𝑣 2
𝐴𝐻 = 𝑟(1 − cos 𝜃)
𝐹𝑁 = 𝑚𝑎𝑣 =
𝑟
2
𝑚𝑣
𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑔 +
= 𝑚𝑔(3 − 2 cos 𝜃)
𝑟
𝐹𝑁 =
Per piccole oscillazioni
𝑑2 𝜃 𝑔
+ 𝜃 = 0 𝑒 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑚𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝜔2 = 𝑔/𝑙
𝑑𝑡 2 𝑙
Legge oraria del moto
𝜃 = 𝜃0 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
Periodo del moto T
𝑇=
2𝜋
𝜔
𝑙
= 2𝜋√𝑔 ed è indipendente dall’ampiezza
Legge oraria dello spostamento
𝑠 = 𝑙𝜃 = 𝑙𝜃0 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
Velocità angolare e velocità lineare
𝑑𝜃
𝜔=
= 𝜔𝜃0 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝜃
𝑣=
=𝑙
= 𝑙𝜔𝜃0 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Tensione del filo
𝑣 2 (𝑡)
𝑇𝐹 = 𝑚[𝑔 cos 𝜃(𝑡) +
]
𝑙
Massimo valore di 𝜃
𝑔
𝜃(𝑡) = 𝜃𝑚 sin(Ω𝑡 + 𝜑) → Ω = √ 𝑙
,
𝑇=
2𝜋
Ω
periodo
Il lavoro (pg. 86)
Il lavoro W compiuto dalla forza per lo spostamento ∆𝑠 è definito come il
prodotto scalare della forza per lo spostamento.
𝑊 = 𝐹 ∆𝑠 = 𝐹 ∆𝑠 cos 𝜃 = 𝐹𝑇 ∆𝑠
⟺ 𝑊𝐴𝐵 = 𝐹 cos 𝜃 (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )
dove 𝜃 è l’angolo tra F e ∆𝑠 e 𝐹𝑇 = 𝐹 cos 𝜃 è la proiezione della forza lungo la
direzione dello spostamento.
𝐵
𝐵
𝐵
𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑠 = ∫ 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝑠 = ∫ 𝐹𝑇 𝑑𝑠
𝐴
𝐴
𝐴
Il lavoro è integrale di linea della forza lungo lo spostamento.
Potenza
Corrisponde al lavoro per unità di tempo.
𝑑𝑊
𝑑𝑟
𝑃 = 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑑𝑡 = 𝐹𝑣 = 𝐹𝑇 𝑣 questa è la potenza istantanea.
Energia cinetica (Teorema delle forze vive)
𝐵
1
1
𝑊 = ∫ 𝑚𝑣𝑑𝑣 = 𝑚𝑣𝐵2 − 𝑚𝑣𝐴2 = 𝐸𝑐(𝐵) − 𝐸𝑐(𝐴) = ∆𝐸𝑐
2
2
𝐴
1
𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2
2
Qualunque sia la forza che agisce nello spostamento di un punto materiale dalla posizione A alla posizione B
il lavoro fatto dalla forza è uguale alla variazione dell’energia cinetica del punto materiale stesso.
Lavoro della forza Peso
𝑊 = −(𝑚𝑔𝑦𝐵 − 𝑚𝑔𝑦𝐴 ) = −(𝐸𝑝,𝐵 − 𝐸𝑝,𝐴 ) = −∆𝐸𝑝
𝑑𝑜𝑣𝑒 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑦 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔. 𝑝𝑜𝑡. 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑜
Il lavoro della forza peso è uguale all’opposto della variazione dell’energia potenziale della forza peso
durante lo spostamento da A a B e pertanto non dipende dalla particolare traiettoria che collega A e B.
Lavoro di una forza Elastica
𝐵
𝐵
1
1
1
𝑊 = ∫ −𝑘𝑥𝑢𝑥 𝑑𝑥𝑢𝑥 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑘𝑥𝐴2 − 𝑘𝑥𝐵2 = ∆𝐸𝑝
𝑑𝑜𝑣𝑒 𝐸𝑝 = 𝑘𝑥 2 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔. 𝑝𝑜𝑡. 𝑒𝑙.
2
2
2
𝐴
𝐴
Il lavoro è espresso come l’opposto della variazione dell’energia potenziale tra la posizione finale e iniziale.
Lavoro di una forza di Attrito Radente
𝐵
𝐵
𝐵
𝑊 = ∫ 𝐹𝑎𝑑 𝑑𝑠 = ∫ 𝜇𝑑 𝑁𝑢𝑣 𝑑𝑠 = −𝜇𝑑 𝑁 ∫ 𝑑𝑠
𝐴
𝐵
𝐴
𝐴
𝑑𝑜𝑣𝑒 ∫ 𝑑𝑠 è 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑛𝑔ℎ𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑠𝑜 𝐴 𝐵 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒
𝐴
Il lavoro della forza di attrito radente dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di
una funzione delle coordinate nei punti A e B.
Forze Conservative. Energia Potenziale.
Nel lavoro della forza peso e forza elastica il lavoro viene a dipendere solo dalle coordinate delle posizioni A
e B e non dal particolare percorso che congiunge A e B. Si chiamano FORZE CONSERVATIVE.
Di conseguenza lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo:
∮ 𝐹𝑑𝑠 = 0
Energia potenziale
𝑊 = 𝐸𝑝,𝐴 − 𝐸𝑝,𝐵 = −∆𝐸𝑝
Riassumendo:
- Per tutte le forze conservative il lavoro si esprime sempre come l’opposto della variazione
dell’energia potenziale relativa alla specifica forza;
- Non esiste una formula generale dell’energia potenziale, ma l’espressione esplicita dell’energia
potenziale dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce;
- Nei due casi che abbiamo discusso si è ottenuto, rispettivamente per la forza peso e la forza
elasttica,
1
𝐸𝑝,𝑝𝑒𝑠𝑜 = 𝑚𝑔𝑦 , 𝐸𝑝,𝑒𝑙 = 2 𝑘𝑥 2
Conservazione dell’energia meccanica
𝐸𝑘,𝐴 + 𝐸𝑝,𝐴 = 𝐸𝑘,𝐵 + 𝐸𝑝,𝐵
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di un punto materiale che si muove sotto l’azione
di forze conservative resta costante durante il moto, ossia si conserva.