Lezioni di K.Konishi e G.Paffuti

Lezioni di
MECCANICA QUANTISTICA
K. Konishi, G. Paffuti
Settembre 2004
Dipartimento di Fisica, Facoltà di Scienze M.F.N.
Università degli Studi di Pisa
2
Indice
I Introduzioni
1
2
7
Introduzione e concetti principali
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Complementi di Meccanica Analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Equazioni di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Invariante adiabatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Teorema del Viriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sviluppo Storico: Nascita della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . .
1.3.1 Radiazione del corpo nero e la formula di Planck . . . . . . . . .
1.3.2 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld; Onda di de
Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Princı̀pi della meccanica quantistica
2.1 Princı́pi e Legge della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Lo stato quantistico e il principio di sovrapposizione . . . . . . .
2.1.2 Principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . .
2.1.3 Operatori, autovalori e autostati, risultati di un’osservazione . . .
2.1.4 Risultati reali per una misura; Operatori Hermitiani . . . . . . . .
2.1.5 Prodotti di operatori, Commutatori, Osservabili compatibili . . .
2.1.6 Operatori di posizione e di impulso, Commutatori fondamentali,
Relazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Evoluzione del sistema, Equazione di Schrödinger . . . . . . . .
2.1.8 Spettro continuo; la funzione delta di Dirac; autostati di posizione
2.1.9 Relazione di Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Autostati di posizione; autostati di impulso . . . . . . . . . . . .
2.1.11 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.12 Complemento: Integrale nel piano complesso e teorema di residuo
2.2 Equazione di Schrödinger: Proprietà Generali . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Proprietà generali dell’Equazione di Schrödinger; Teorema di Ehrenfest; Denisità e corrente di probabilità . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Equazione di Schrödinger in una dimensione . . . . . . . . . . .
2.2.3 Buche di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Operatori di creazione e di distruzione . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Barriera di potenziale e Effetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . .
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75
INDICE
4
2.2.7
2.2.8
2.2.9
2.2.10
2.3
2.4
3
4
Sistemi in uno spazio topologicamente non banale . . . . . . . .
buca/barriera di potenziale con funzioni δ . . . . . . . . . . . . .
Applicazioni della buca infinitamente alta . . . . . . . . . . . . .
Dalla fisica di una particella alla fisica dei sistemi di molti gradi di
libertà: Cristallo Unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenziale periodico e struttura di bande d’energia . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Esempio di simmetria: parità della funzione d’onda; doppia buca .
2.3.2 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complemento sul sistema con il potenziale g δ(x) . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Ortogonalità tra lo stato discreto e uno stato nel continuo . . . . .
2.4.4 Ortogonalità tra gli stati del continuo . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aspetti formali della meccanica quantistica
3.1 Rappresentazione delle coordinate e degli impulsi . . . . . . .
3.2 Bra e Ket, Spazio di Hilbert dei vettori . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Operatori autoaggiunti, variabili dinamiche e lo spettro
3.3 Trasformazioni unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Schema di Schrödinger e schema di Heisenberg . . . .
3.3.2 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Stati misti e matrice densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Polarizzazioni del fotone . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Funzioni di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Teoria del momento angolare e Sistemi Tridimensionali
4.1 Momento Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definizione e regole di commutazione . . . . . . . . . .
4.1.3 Momento angolare come genetratore di rotazioni . . . .
4.1.4 Autovalori del momento angolare . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Momento angolare orbitale; funzioni armoniche sferiche
4.1.6 Elementi di matrice di J. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . .
4.1.8 Coefficienti di Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . .
4.1.9 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.10 Matrici di rotazione: spin 12 . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.11 Teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Gruppi e Rappresentazioni: Elementi di Teoria dei Gruppi . . .
4.3.1 Assiomi del gruppo e alcuni esempi . . . . . . . . . . .
4.3.2 Rappresentazione del Gruppo . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Gruppo di Lie e Algebra di Lie . . . . . . . . . . . . .
4.4 Simmetrie in Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Parità (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Inversione del tempo (time reversal) . . . . . . . . . . .
4.5 Sistemi in Tre Dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Massa ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Moto in campo a simmetria centrale . . . . . . . . . . .
4.5.3 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Stati legati in una buca di potenziale tridimensionale . .
4.5.5 Atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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150
INDICE
4.6
4.7
4.8
4.9
5
Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Particelle cariche in campi elettromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effetto Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Disuguaglianze di Bell, Disuguaglianza di CHSH e Quantum Entanglement
4.9.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.2 Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.3 Coppie di fotoni correlati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
159
159
165
165
166
167
6
INDICE
Capitolo 1
Introduzione e concetti principali
7
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
8
1.1
Introduzione
Il comportamento delle particelle quantistiche è in molti aspetti straordinario, dal punto di
vista delle nostre esperienze quotidiane, siano esse un elettrone, un protone, un atomo o
una molecola. Discuteremo qui alcuni esempi.
1) Diffrazione e Interferenza
L’aspetto più caratteristico del comportamento “non classico” dell’elettrone è quello
della diffrazione e dell’interferenza, ambedue tipico di un’onda.
Come è ben noto, la luce è un’onda, l’onda elettromagnetica, e come tale esibisce molti
fenomeni caratteristici. Prendiamo in esame la famosa esperienza di Young (1801) in cui la
luce di una lampada viene fatta attraversare una doppia fenditura, facendo poi incidere su
uno schermo fotografico. Le immagini di frange di intensità regolari e alternate osservate in
tale esperimento (Fig. 1.2) possono essere interpretate come conseguenza dell’interferenza
di due raggi, passati da due fenditure diverse. Infatti, se la distanza tra le fenditure, la
distanza tra la fenditura e lo schermo, la posizione verticale del punto sullo schermo sono
date rispettivamente da d, L, x (vedi Fig. 1.1), allora l’angolo della diffrazione è circa
(assumendo d ≪ L; x ≪ L) θ ∼ x/L, perciò la differenza del percorso tra i due raggi è
data da
∆d ≃ d sin θ ≃ dθ ≃ dx/L.
Se la lunghezza d’onda della luce è λ, la condizione per l’interferenza positiva è
∆d/λ = n,
n = 0, 1, 2, . . . ,
mentre per x tale che
∆d/λ = n + 1/2,
n = 0, 1, 2, . . .
(1.1)
si avrà interferanza distruttiva. Nell’esperimento di Young, L/d ∼ 103 ; λ ∼ 103 Å =
10−5 cm, perciò tipicamente la spaziatura delle frange è dell’ordine di 0.1mm.
x
d
L
Figura 1.1: Esperienza di Young
Nel caso di elettroni, un’analoga esperienza è (per motivi tecnici) divenuta possibile
solo qualche anno fa (1989). È da notare che tale esperienza è spesso qualificata nei libri
Figura 1.2: La frange di interferenza nell’esperimento à la Young con la luce visibile
1.1. INTRODUZIONE
9
di meccanica quantistica come “Gedanken experiment”, cioè una esperienza “pensata” o
“ipotetica”. Non lo è più.
La figura presa da un articolo di Tonomura et.al. (Am. Journ. Phys. 57 (1989)117) qui
accanto dimostra una straordinaria somiglianza con la precedente Fig. 1.2 dell’esperienza
di Young. Ad un’analisi più attenta, però, si può cogliere qualche differenza.
La prima differenza riguarda la scala. Nel caso dell’esperienza con la luce visibile la
spaziatura delle frange d’interferenza era dell’ordine del mm, mentre nel caso degli elettroni è dell’ordine di 10−4 mm. Questa differenza - quantitativa ma non qualitativa - non
è concettualmente essenziale, ma comporta notevoli difficoltà tecniche che sono state le
ragioni per cui questa esperienza è stata realizzata soltanto di recente.
La differenza più importante, apparentemente, è il fatto che gli elettroni sono particelle (mentre la luce è “ovviamente” un’onda ), con la massa e la carica elettrica ben definite: infatti non è difficile distinguere i punti lasciati da singoli elettroni sullo schermo
nell’esperienza di Tonomura et. al.
In questo esperimento è stato usato un fascio di elettroni di intensità molto ridotta,
∼ 103 / sec. Tenendo conto della velocità media dell’elettrone, ∼ 0.4 c, la distanza media
tra due elettroni è circa ∼ 150 Km, mentre
l’intero apparecchio sperimentale ha una dimensione di circa 1.5 m. È ragionevole, in
tali condizioni, pensare che gli elettroni arrivino “uno ad uno”, senza interagire tra di loro
in maniera significativa. Le cinque immagini corrispondono, rispettivamente, a 10, 100,
3000, 20000 e 70000 elettroni.
Arriviamo quindi ad una conclusione apparentemente paradossale. Il singolo elettrone
in qualche maniera “vede” le due fenditure, le
sue due fronti d’ona differenti interferiscono!
Questa proprietà è nota come “dualità ondacorpuscolo”. È di fondamentale importanza
il fatto che tale dualità si riferisce ai singoli
elettroni, e non ad una proprietà collettiva del
fascio degli elettroni.
Con recenti sviluppi tecnologici, anche l’esperienza di Young originale può essere ripetuta con un fascio di fotoni molto debole,
di modo che i fotoni arrivino uno a uno. Col
senno di poi, ci si rende conto che non esiste
nessuna differenza sostanziale tra l’esperienza di Young con i fotoni e quella di Tonomura
et.al. fatta utilizzando un fascio di elettroni.
Risulta infatti (de Broglie) che tutte le particelle elementari, atomi e molecole, posseggono tale proprietà duale. Come vedremo in
seguito Meccanica Quantistica descrive queste particelle con un linguaggio matematico
coerente e molto elegante.
2) La stabilità e l’identità degli atomi.
Il secondo aspetto riguarda la stabilità e l’assoluta identità di atomi (dello stesso tipo).
Consideriamo l’atomo di idrogeno, che è uno stato legato formato da un elettone e un
protone. Il moto dell’elettrone intorno al nucleo è descritto, nella meccanica di Newton,
10
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
dall’equazione,
e2
+ m r θ̇2 ,
(1.2)
r2
dove abbiamo assunto un moto circolare per semplicità. Come è noto l’eq.(1.2) ammette
una soluzione stabile, r = costante. Nel mondo attuale, tuttavia, esistono altri effetti dovuti
alle interazioni elettromagnetiche (la forza statica Coulombiana tenuta in conto nella (1.2)
ne è una delle manifestazioni fra tante). Infatti, secondo la teoria classica di Maxwell, una
particella carica in un moto accelerato emette luce e perde l’energia. Per l’elettrone che si
muove con accelerazione v̇ l’energia persa per un intervallo unitario di tempo è:
m r̈ = −
S=
2 e2
(v̇)2
3 c3
(erg/sec)
(1.3)
(vedi Landau-Lifshitz Vol. 2). Supponiamo che la perdita di energia sia piccola di modo
che l’orbita possa essere considerata approssimativamente circolare, e calcoliamo in quanto
tempo un atomo di raggio r ≃ 10−8 cm collassa ad un punto.
Poniamo dunque
r(t = 0) = 10−8 cm.
(1.4)
Da l’eq(1.2) si ha
e2
≃ mrθ̇2 = m|v̇|,
r2
o
(1.5)
e2
.
mr2
(1.6)
dE
2e6
.
=
dt
3m2 c3 r4
(1.7)
|v̇| =
Sostituendo questo in (1.3), si trova
S=−
Ma per un moto circolare vale la relazione:
E=
e2
e2
1
mv 2 −
=− ,
2
r
2r
(1.8)
perciò
r2 ṙ = −
4e4
.
3m2 c3
(1.9)
Integrando e ponendo r(t) = 0 si ha
r(0)3 −
t=
4e4
t = 0,
m 2 c3
m 2 c3
(10−8 )3 ≃ 10−10
4e4
sec.
(1.10)
Secondo la fisica classica dunque un atomo di idrogeno collassa ad un punto in 10−10 sec!
Questo non è certamente quello che accade in Natura.
Pur ammettendo che ci possa essere una ragione sconosciuta per cui la (1.3) non si
applichi al mondo atomico - dopottutto la teoria di Maxwell è stata scoperta nel mondo
macroscopico - e quindi trascurando le difficoltà che ne seguono, c’è un altro problema
molto serio per un modello “planetario” degli atomi come descritto da (1.2). La difficoltà
sta nel fatto che ogni atomo dovrebbe avere un raggio diverso, un raggio che dipende dalla
condizione al contorno (condizione iniziale).
Come vedremo in seguito, in meccanica quantistica tutti i moti (classicamente) priodici sono “quantizzati”: solo alcuni “stat” sono permessi. Di conseguenza due atomi dello
1.1. INTRODUZIONE
11
stesso tipo (nel loro stato normale) hanno proprietà rigorosamente identiche. La “quantizzazione” del moto risolve in modo naturale anche il problema dell’instabilità dell’atomo
accennato sopra.
È facile capire la ragione per la quale l’eq.(1.2) non può avere una soluzione con un
raggio ben definito (che non dipenda da una condizione iniziale accidentale). Gli unici
parametri che appaiono nell’equazione sono m e e con dimensioni (in unità cgs)
m = [gr];
e = [gr1/2 cm3/2 sec−1 ] :
è ovviamente impossibile formare, tramite una loro combinazione, alcuna costante con la
dimensione di una lunghezza. In Meccanica Quantistica esiste una costante fondamentale
della natura chiamata costante di Planck (~) con dimensione
~ = [gr · cm2 /sec];
questa costante caratterizzerà l’intera costruzione della Meccanica Quantistica.
Infatti, avendo a disposizione anche ~, si può trovare un’unica combinazione
rB =
~2
m e2
(1.11)
chiamato “raggio di Bohr.” Con i valori numerici noti si ottiene
rB ≃ 5 10−9 cm
(1.12)
che è ragionevole come grandezza di un atomo.
L’assoluta identità delle proprietà intrinsiche di due atomi (o più in generale, di due
particelle elementari - due protoni, due elettroni, ecc.) della stessa specie, è la base della
regolarità e stabilità del mondo macroscopico (cristalli, sistemi biologici, ecc.) Senza tale
esattezza il fenomeno biologico (riproduzione e metabolismo) sarebbe impossibile. Tale
aspetto del mondo microscopico è in chiaro contrasto, ma in certo senso in armonia, con le
infinite varietà dei fenomeni macroscopici.
3) Effetto Tunnel
Il terzo esempio è il fenomeno della conduzione elettrica. In un modello semplificato l’elettrone nel metallo è rappresentato da una particella che si muove in un potenziale
periodico (Fig.1.3). Secondo la meccanica classica la particella si sposterà nel campo elettrostatico ma non riuscirà ad attraversare le barriere di potenziale (se il campo esterno, che
provoca il suo movimento, non è sufficientemente forte). In meccanica quantistica, l’elettrone è capace di attraversare la barriera anche se ha energia insufficiente dal punto di
vista classico (“effetto tunnel”), permettendo cosı̀ la conduzione elettrica osservata quotidianamente. L’effetto tunnel è collegato strettamente con la dualità onda-corpuscolo delle
particelle.
V(x)
e
E<Vmax
Figura 1.3: Potenziale periodico
Ricapitolando, la meccanica classica di Newton non può descrivere il mondo regolare
in cui viviamo. Tale struttura richiede l’assoluta identità degli atomi dello stesso tipo, e
12
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
questo è possibile soltanto in Meccanica Quantistica dove l’equazione contiene una nuova
costante fondamentale dimensionale. Inoltre l’elettrone e tutte le altre particelle elementari, nuclei, atomi e molecole esibiscono una doppia caratteristica “onda-corpuscolo”: la
quantizzazione dei moti periodici e il fenomeno del “tunnelling” sono strettamente legati a
questa proprietà. La Meccanica Quantistica descrive questi comportamenti (e molti altri!)
in modo coerente e con un formalismo matematico molto elegante.
1.2. COMPLEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
13
1.2 Complementi di Meccanica Analitica
1.2.1 Formalismo Lagrangiano
L’equazione di Newton per una particella è
dp/dt = F
(1.13)
dove p è l’impulso (la quantità di moto); F è la forza cui la particellla in questione è
sottoposta. Nel caso in cui la forza è di tipo conservativo,
F = −∇V
(1.14)
dove V è il potenziale. Dalle eqs. (1.13) e (1.14) segue la legge di conservazione dell’energia totale
E =T +V;
T = p2 /2m = mṙ2 /2 (energia cinetica).
(1.15)
Inoltre, se il potenziale è a simmetria sferica,
V (r) = V (r)
è conservato anche il momento angolare L = r × p.
Nel formalismo Lagrangiano della mecccanica di Newton, la quantità fondamentale è
la Lagrangiana
L = L(qi , q̇i ; t) = T − V
considerata come una funzione delle coordinate generalizzate qi , i = 1, 2, . . . , s, delle loro
derivate temporali q̇i , e del tempo t. Data la Lagrangiana, l’equazione del moto è:
d ∂L
∂L
−
= 0,
∂qi
dt ∂ q̇i
i = 1, 2, . . .
(1.16)
(eq. di Eulero-Lagrange). L’equazione di Eulero-Lagrange segue (vedi Appendice) dal
principio di minima azione. Ovvero imponendo che l’azione sia minima rispetto alla variazione arbitraria delle funzioni qi (t), con la condizione che i loro valori, ai tempi iniziali e
finali qi (t1 ), qi (t2 ), siano tenuti fissi. In formule:
δS|δq(t1 )=δq(t2 )=0 = 0,
dove
S≡
Z
(1.17)
t2
L(qi , q̇i ; t).
(1.18)
t1
La dimostrazione ‘e data in Appendice A.
Note: Il valore dell’azione dipende dalla traiettorie, o funzioni, qi (t). In altre parole, S è
una funzionale di qi (t), generalizzando il concetto di una funzione.
Osservazioni
• L’equazione di Eulero-Lagrange è invariante (in forma) per cambiamenti arbitrari delle coordinate generalizzate, qi (t) → Qi (t) = Qi ({qi (t)}; t). (Esercizio:
verificatelo.) Queste trasformazioni sono chiamate trasformazioni puntuali.
• L’introduzione del concetto dei moti fittizi nel formalismo Lagrangiano e la formulazione del principio di minima azione, risultano molto proficui per i successivi sviluppi in fisica teorica. (Sistemi relativistici, teoria dei campi, il formalismo dell’integrale
sui cammini di Feynman della Meccanica Quantistica, ecc.)
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
14
• La Lagrangiana per un dato sistema fisico non è univoca, ma ha un’arbitrarietà del
tipo,
dF (q, t)
L(q, p; t) → L(q, p; t)′ = L(q, p; t) +
.
(1.19)
dt
Infatti, l’azione cambia secondo la relazione
S → S ′ = S + F (q2 , t2 ) − F (q1 , t1 ) :
(1.20)
ma allora segue, ricordando la condizione al contorno δq1 = δq1 = 0, che
δS ′ = δS.
(1.21)
Esercizio
Scrivere la Lagrangiana per una particella con carica elettrica q che si muove in un
campo elettromagnetico esterno. Dimostrare che la nota espressione per la forza di Lorentz
segue dall’equazione di Eulero-Lagrange (1.16).
Risposta
L=
q
m ṙ2
+ ṙ · A − q φ(r).
2
c
(1.22)
dove
1 ∂A
.
(1.23)
c ∂t
L’ultimo termine è semplicemente l’energia elettrostatica. L’equazione di Eulero-Lagrange
dà
q
q
(1.24)
m r̈i + Ȧi = −q ∂i φ + ṙj ∂i Aj .
c
c
Scrivendo il primo termine come
B = ∇ × A,
E = −∇φ −
m r̈i +
q
ṙj ∂j Ai ,
c
(1.25)
e raccogliendo termini, si ha
q
q
q
ṙj (∂i Aj − ∂j Ai ) = −q ∂i φ + ṙj ǫijk Bk = −q ∂i φ + (ṙ × B)i .
c
c
c
(1.26)
Il potenziale vettoriale A e il potenziale scalare φ sono definiti a meno di transformazioni di gauge
1 ∂f
A → A + ∇f ;
φ→φ−
;
(1.27)
c ∂t
sotto le quali E, B sono invarianti, mentre la Lagrangiana di trasforma di
m r̈i = −q ∂i φ +
∆L =
q df (r(t), t)
.
c
dt
(1.28)
In virtù di quanto è stato osservato nell’ultimo punto l’equazione di moto rimane invariante
per tali transformazioni.
1.2.2 Formalismo Hamiltoniano
Nel formalismo Lagrangiano le variabili indipendenti sono le coordinate qi (t), i = 1, 2, . . . , s.
Infatti si ottiene una descrizione completa di un sistema ad s gradi di libertà risolvendo s
equazioni differenziali del secondo ordine. Nell’equazione di Eulero-Lagrange le derivate
parzali sono prese come se qi e q̇i fossero indipendenti, ma questo è solo un aspetto formale.
Infatti, nel derivare l’equazione di Eulero-Lagrange, le variazioni considerate indipendenti
sono solo le δqi , mentre δ q̇i (t) ≡ (d/dt)δqi (t).
1.2. COMPLEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
15
Nel formalismo Hamiltoniano (detto “canonico), il numero delle variabili indipendenti
è raddoppiato (2s). Le coordinate qi e gli impulsi coniugati pi sono ambedue variabili
indipendenti, e in più appaiono in maniera (quasi) simmetrica nell’equazione del moto.
L’Hamiltoniana è definita da: ((1.29) ‘e un esempio di trasformazione di Legendre.)
X
pi q̇i − L(qi , q̇i ),
(1.29)
H(qi , pi ) ≡
i
dove
∂L
.
∂ q̇i
pi ≡
(1.30)
È inteso che l’eq.(1.30) è risolta per q̇i :
q̇i = q̇i (pj , qj )
e che la dipendenza di H da qi , pi al primo membro di (1.29) è intesa in tal senso. Le
equazioni del moto che seguono da (1.29) e dall’equazione di Eulero-Lagrange sono:
q̇i =
∂H
;
∂pi
ṗi = −
∂H
,
∂qi
(i = 1, . . . s),
(1.31)
(equazioni di Hamilton o equazioni canoniche).
Osservazioni
• Nell’esempio semplice L = (1/2) m ṙ2 − V , H è data da
H=
p2
+V :
2m
l’Hamiltoniana rappresenta l’energia del sistema.
• Le equazioni canoniche sono invarianti per una classe molto grande delle trasformazioni delle variabili
{qi , pi } → {Qi (q, p), Pi (q, p)},
dette trasformazioni canoniche.
• Sebbene il numero delle equazioni sia raddoppiato rispetto al formalismo Lagrangiano, esse sono ora equazioni differenziali (in t) del primo ordine: il numero delle condizioni al contorno (2s) è invariato rispetto al formalismo Lagrangiano (s equazioni
del secondo ordine).
• Lo stato del sistema è specificato da un punto nell’iperspazio 2s− dimensionale
{q, p} ( spazio delle fase ); l’evoluzione del sistema è rappresentata dal movimento
del punto in esso.
Esercizio
Scrivere l’Hamiltoniano per una particella carica che si muove in un campo elettromagnetico esterno φ(r), A(r).
Risposta
Il moto di una particella carica (q) in un campo elettromagnetico E, B è descritto
dall’Hamiltoniana
q
H = [ p − A(r, t) ]2 + q φ(r, t) + V (r),
(1.32)
c
dove V è il potenziale meccanico.
B = ∇ × A,
E = −∇φ −
1 ∂A
.
c ∂t
(1.33)
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
16
Per transformazioni di gauge (1.27) E, B sono invarianti. L’Hamiltoniana non è invariante,
ma si può dimostrare che esiste una trasformazione canonica (vedi (1.52) sotto) che riporta
le equazioni di moto nella forma originale. (Dimostratelo).
L’equazione di moto che segue è
q
(1.34)
mr̈ = q E + ṙ × B,
c
con il noto termine di forza di Lorentz. Le interazioni con il campo vettoriale, rappresentata
da una sostituzione formale p → p− qc A(r, t) nel termine cinetico, è noto come interazioni
(o l’accoppiamento) minimali.
1.2.3 Parentesi di Poisson
L’evoluzione temporale di una variabile generica nel formalismo Hamiltoniano viene elegantemente descritto in termini delle parentesi di Poisson. La parentesi di Poisson tra due
variabili generiche f = f (qi , pi ; t), g = g(qi , pi ; t) è definita come
s X
∂f ∂g
∂f ∂g
{f, g} ≡
.
(1.35)
−
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i=1
L’evoluzione di una variabile f è
df
dt
=
=
=
s
∂f
∂f
q̇i +
ṗi
∂qi
∂pi
s
∂f ∂H
∂f ∂H
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
∂f X
+
∂t
i=1
∂f X
+
∂t
i=1
∂f
+ {f, H}.
∂t
(1.36)
L’equazione del moto di una quantità fisica qualsiasi è dunque data - a parte la dipendenza esplicita dovuta ad eventuali parametri esterni - dalla sua parentesi di Poisson con
l’Hamiltoniana.
Dalle equazioni canoniche seguono le parentesi di Poisson fondamentali:
{qi , pj }
{qi , qj }
{pi , pj }
= δij ;
= 0
= 0.
(1.37)
Alcune proprietà principali della parentesi di Poisson sono:
{f, g} = −{g, f };
{qi , f } = ∂f /∂pi ;
{pi , f } = −∂f /∂qi ;
{f, c} = 0 (c = cost.);
{f1 + f2 , g} = {f1 , g} + {f2 , g};
{f1 f2 , g} = f1 {f2 , g} + f2 {f1 , g}
{{f, g}, h} + {{g, h}, f } + {{h, f }, g} = 0
(Identità di Jacobi).
(1.38)
(1.39)
Esercizio
i) Dimostrare che se f e g sono costanti del moto, lo è anche {f, g}. (Teorema di Poisson).
ii) Dimostrare che il volume nello spazio di fase occupato da stati tra (qi , pi ) e (qi +
δqi , pi +δpi ) rimane invariante durante l’evoluzione temporale dei sistemi. (Teorema
di Liouville).
1.2. COMPLEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
17
1.2.4 Trasformazioni canoniche
Il formalismo canonico ammette un’ampia classe di variabili. I cambiamenti di variabile
del tipo,
{qi , pi } → {Qi (q, p; t), Pi (q, p; t)}
(1.40)
che lasciano invariata la forma delle equazioni canoniche, i.e., tale che
Q̇i =
∂ H̃
;
∂Pi
Ṗi = −
∂ H̃
,
∂Qi
(i = 1, . . . s),
(1.41)
seguono dalle equazioni (1.31), sono chiamate trasformazioni canoniche.
Per studiare quali trasformazioni hanno questa proprietà, e qual’è la relazione tra l’Hamiltoniana originale e quella nuova, possiamo ripartire dal metodo variazionale. L’azione
può essere riscritta come
Z
Z X
S = Ldt = (
pi q̇i − H)dt,
(1.42)
e l’equazione del moto segue dal principio di minima azione
Z X
X ∂H
d
∂H
(
δqi +
δpi )]dt
0 = δS =
[ (δpi q̇i + pi δqi ) −
dt
∂qi
∂pi
i
i
Z X
X
∂H
∂H
)δpi +
(−ṗi −
)δqi ]dt.
=
[ (q̇i −
∂pi
∂qi
(1.43)
Ricordando che, nel formalismo canonico, δqi e δpi sono indipendenti le equazioni canoniche seguono da quest’ultimo.
Una trasformazione canonica deve essere allora tale che
Z
X
S =
dt(
pi q̇i − H)
Z
X
dF
)
(1.44)
=
dt(
Pi Q̇i − H̃ +
dt
dove F è una funzione delle coordinate, degli impulsi e di t. Supponiamo che F sia del
tipo,
F = F1 (q, Q; t).
(1.45)
Poiché
X ∂F1
dF1
∂F1
∂F1
(
q̇i +
Q̇i ) +
=
,
dt
∂qi
∂Qi
∂t
i
(1.46)
le relazioni tra le variabili nuove e quelle vecchie si trovano uguagliando i due membri di
(1.44):
pi
=
Pi
=
H̃(Q, P ) =
∂F1 (q, Q, t)
;
∂qi
∂F1 (q, Q, t)
−
;
∂Qi
∂F1 (q, Q, t)
.
H(q, p) +
∂t
(1.47)
(1.48)
(1.49)
L’equazione (1.47) va risolta per pi , dando pi = pi (q, Q; t), mentre la (1.48) dà qi =
qi (Q, P ; t) che, sostituito nella prima relazione dà pi = pi (q, Q; t) = p̃(Q, P ; t). La (1.49)
infine dà la nuova Hamiltoniana.
In breve, data una arbitraria funzione F1 (q, Q; t), il cambiamento delle variabili e dell’Hamiltoniana definito da (1.47), (1.48) e (1.49), è tale che le equazioni in termini di
18
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
nuove variabili sono le (1.41). La funzione F1 (q, Q) è detta funzione generatrice della
trasformazione. P
Esempio: F1 = i qi Qi .
1
In questo caso si ottengono pi = Qi ; , Pi = −qi ; , ∂F
∂t = 0 e quindi H̃(Qi , Pi ) =
H(qi , pi ) = H(−Pi , Qi ). È da notare che in questa trasformazione, il ruolo delle coordinate e gli impulsi è stato scambiato!
Co sono altre specie di trasformazioni canoniche, classificate secondo il tipo della
funzione generatrice usata,
F2 (q, P ; t);
F3 (p, Q; t);
F4 (p, P ; t);
(1.50)
i.e., secondo la dipendenza da nuove o vecchie variabili. La trasformazione della seconda
specie può essere introdotta attraverso quella della prima specie,
X
Qi Pi ;
F2 (q, P ; t) = F1 (q, Q; t) +
i
Pi
≡
∂F1
−
.
∂Qi
(1.51)
La trasformazione in questo caso è:
pi
=
Qi
=
H̃(Q, P ) =
∂F2 (q, P, t)
;
∂qi
∂F2 (q, P, t)
;
∂Pi
∂F2 (q, P, t)
H(q, p) +
.
∂t
(1.52)
P
Esempio 1: F2 = i Φi (q, t)Pi
Questo corrisponde
P alle trasformazioni puntuali, Qi = Φi (q, t).
Esempio 2: F2 = i qi Pi
Questo corrisponde alla trasformazione identica, Qi = qi ; pi = Pi ; H̃ = H, come è
facile verificare. P
Esempio 3: F2 = i qi Pi + ǫψ(q, P ), con ǫ ≪ 1. (Trasformazioni infinitesime)
Le (1.52) danno luogo alla trasformazione (ritenendo fino all’ordine O(ǫ)),
Qi
≃
pi
≃
∂ψ(q, p)
∂ψ
≃ qi +
∂Pi
∂pi
∂ψ
∂ψ(q, p)
Pi +
≃ Pi +
,
∂qi
∂qi
qi +
(1.53)
cioè,
δqi =
∂ψ(q, p)
;
∂pi
δpi = −
∂ψ(q, p)
∂qi
(1.54)
Osservazione
L’evoluzione temporale di un sistema è descritta dai cambiamenti,
dqi =
∂H
dt;
∂pi
dpi = −
∂H
dt,
∂qi
(1.55)
secondo le equazioni del moto. L’evoluzione dinamica è perciò una successione di trasformazioni canoniche infinitesime, con H (l’Hamiltoniana) come funzione generatrice. In
seguito vedremo che anche in Meccanica Quantistica l’Hamiltoniana (più precisamente la
quantità corrispondente, l’operatore Hamiltoniano) gioca un ruolo centrale nella descrizione dell’evoluzione temporale del sistema (i.e., l’equazione di Schrödinger.)
1.2. COMPLEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
19
1.2.5 Equazioni di Hamilton-Jacobi
È opportuno menzionare qui un’altra formulazione indipendente della meccanica Newtoniana, che sarà utile per illustrare la relazione tra la Meccanica Classica e la Meccanica Quantistica. Nel formulare il principio di minima azione, l’azione S è vista come
funzionale delle traiettorie qi (t). Alternativamente,
Z
Z X
S =
dtL = (
pi q̇i − H)dt′
(qi )
=
Z
=
S(qi , t),
X
i
pi dqi −
Z
t
dt′ H
(1.56)
può essere considerata come funzione semplice dei valori qi , t all’istante finale. La dipendenza da essi è
∂S
∂S
; (i = 1, 2, . . . s)
(1.57)
= −H(qi , pi ); pi =
∂t
∂qi
combinando queste equazioni, si ottiene una singola equazione
∂S
∂S(q, t)
, t) = 0.
+ H(qi ,
∂t
∂qi
(1.58)
la (1.58) è chiamata equazione di Hamilton-Jacobi. La funzione S è chiamata funzione
principale di Hamilton. È notevole il fatto che la singola equazione (che è tuttavia una
equazione differenziale nonlineare, in generale difficile da risolvere) è equivalente alle s
equazioni di Eulero-Lagrange o alle 2s equazioni canoniche. (Vedi Landau-Lifshitz, Vol.1
o Goldstein, “Classical Mechanics.)
1.2.6 Invariante adiabatico
Un concetto importante nelle discussioni generali dei sistemi in cui uno o più parametri
esterni variano lentamente, e che ha giocato un ruolo chiave nello sviluppo della meccanica quantistica, è quello di invariante adiabatico. Consideriamo un sistema con un moto
periodico. La traiettoria nello spazio di fase p(q) - la soluzione delle equazioni del moto
- è una curva chiusa. Consideriamo ora che uno o più parametro del sistema α varia col
tempo. La traiettoria p(q, α(t)) non sarà più periodico, ma se la variazione di α(t) con t
è sufficientemente adagio, la traiettoria resterà per molti periodi approssimativamente una
curva chiusa. In tal situazione potremmo definire ancora l’integrale su un periodo
I
I(α) ≡ dq p.
(1.59)
Si può dimostrare in maniera generale che I(α) è invariante, ı.e., non dipende dal tempo t.
Invece di dimostrare il teorema in generale, consideriamo l’esempio di un pendolo di
massa m e di braccio L, appesa da una carrucola, di modo che la lunghezza del braccio può
essere modificato tirando su (o lasciando) il filo lentamente. (Fig. ??). Per piccole ampiezza, come è noto, l’oscillazione orizzontale del pendolo è approssimativamente descritta da
un oscillatore armonico (x ≡ L θ)
H=
1
1
1
m ẋ2 + m g L (1 − cos θ) = m ẋ2 + m ω 2 x2 + . . . .
2
2
2
(1.60)
dove
ω=
r
g
.
L
(1.61)
20
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
La soluzione dell’equazione del moto è
x(t) = A sin ω t.
(1.62)
L’energia dell’oscillatore è
1
1
p2
+ m ω 2 x2 = m ω 2 A2 .
2m 2
2
H =E=
(1.63)
Ora supponiamo di tirare su il filo lentamente. Come varia l’energia e la frequenza?
La variazione della frequenza è data esplicitamente dalla (1.61). La variazione dell’energia
(1.63) è più difficile da vedere, perché sia A che ω variano. Per calcolarla, occore sapere il
lavoro richiesto dalla forza esterna per tale processo.
La tensione del filo è data da
T = m g cos θ ≃ m g −
1
1 mg 2
x + ...
m g θ2 + . . . = m g −
2
2 L2
(1.64)
Facendo uso della soluzione (1.62) si trova perciò
T = mg −
m g A2
.
4 L2
Il lavoro richiesto per accorciare il braccio del pendolo di δL è dunque
δW = T δL = m g δL −
m g A2
δL.
4 L2
(1.65)
Tuttavia non tutto il lavoro è utilizzato per aumento dell’energia dell’oscillatore: il primo
termine non è altro che il lavoro necessario per aumentare il centro di massa del pendolo
di δL, i.e., per aumentare l’energia di potenziale. L’aumento dell’energia dell’oscillatore
ricercato è dunque
m g A2
δL.
(1.66)
δE = −
4 L2
Segue che
1 δL
δE
δL
δE = −
,
=−
.
(1.67)
2 L
E
2L
Paragonando questo risultato con
δω
δL
=−
(1.68)
ω
2L
si ha
E
= const.
(1.69)
ω
Per consistenza, riportiamo il valore dell’integrale (1.59) per un oscillatore armonico
I(α) = 2 π
E
.
ω
(1.70)
1.2.7 Teorema del Viriale
Un teorema di singolare importanza, che ripetutamente appare nei vari problemi di moti
finiti, è il teorema del Viriale. Consideriamo una particella che si muove in un potenziale,
V (r), Dalle equazioni del moto di Newton,
m r̈ = −∇V (r),
(1.71)
m r · r̈ = −r · ∇V (r).
(1.72)
si ha
1.2. COMPLEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
21
θ
L
Figura 1.4:
Prendiamo ora una media temporale nell’intervallo, (−T /2, T /2) di questa equazione.
Un’integrazione per parti dà
1
T /2
m r · ṙ|T /2 − m ṙ2 = −r · ∇V (r).
T
(1.73)
Se il moto è finito, il primo termine tende a zero nel limite T → ∞: resta allora il teorema
m ṙ2 = r · ∇V (r),
cioè il termine cinetico è in media uguale alla media di
(1.74)
1
2
r · ∇V (r).
22
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
1.3 Sviluppo Storico: Nascita della Meccanica Quantistica
In questo capitolo discuteremo brevemente alcuni aspetti dello sviluppo storico che hanno
portato alla scoperta della Meccanica Quantistica: il concetto della dualità onda-corpuscolo
delle particelle elementari e l’idea della quantizzazione dei moti periodici, accennati nell’Introduzione, saranno esposti con più esattezza.
1.3.1 Radiazione del corpo nero e la formula di Planck
Consideriamo un sistema macroscopico descritto dalle variabili canoniche {pi , qi }, i =
1, . . . s. Il numero di gradi di libertà s è molto grande, tipicamente dell’ ordine di NA ≃
6 · 1023 (il numero di Avogadro). Supponiamo che questo sistema sia in equilibrio con un
serbatoio termico tenuto ad una temperatura fissa, T .
Sia E(q1 , p1 , . . . ps ) l’energia del sistema. Secondo la fisica statistica di Boltzman la
probabilità che il sistema si trovi tra gli stati (q1 , q1 +dq1 ), (p1 , p1 +dp1 ), . . . (ps , ps +dps )
è data da
1
(1.75)
P (q1 , . . . ps ) dq1 · · · dps = e−E(q1 ,p1 ,...ps )/kT
N
dove k = 1.380658 · 10−23 J · K−1 è la costante di Boltzman; N è la costante di normalizzazione
Z
Z
N = · · · dq1 · · · dps e−E/kT ,
(1.76)
tale che la probabilità totale sia uno.
Dalla legge di Boltzman segue immediatamente la legge di equipartizione: per un
sistema descritto da una Hamiltoniana qualsiasi del tipo
H=
s
X
(αi p2i + βi qi2 ),
(1.77)
i=1
il valor medio di un singolo termine dell’Hamiltoniana è uguale a
< αp2n >=< βn qn2 >=
1
kT,
2
(indip. da n),
(1.78)
i.e., ogni grado di libertà del sistema gode in media la stessa frazione 12 kT di energia.
La teoria classica del Calore Specifico è una conseguenza semplice della legge di equipartizione. Per esempio, nel caso di un gas ideale monoatomico, αi = 1/2m, βi = 0,
mentre
X
(p2jx + p2jy + p2jz ) p2θ + p2φ / sin θ2
Ej ; Ej =
E=
+
2m
2I
j
per un gas bi-atomico, dove gli ultimi termini rappresentano i gradi di libertà di rotazione
(il grado di libertà di oscillazione radiale tra le due molecole è qui trascurato). L’energia
totale per una mole è allora
3
3
U = kT NA = RT ;
2
2
5
5
U = kT NA = RT,
2
2
rispettivamente per i gas monotomici e per i gas bi-atomici. NA è il numero di Avogadro,
R = NA k ≃ 8.31441 · 107 erg · mol−1 K−1 è la costante di gas. Segue che il calore
specifico nei due casi è dato da:
(
3R/2 ≃ 2.98, gas monoatomici,
∂U
=
(1.79)
C=
∂T
5R/2 ≃ 4.96 gas biatomici
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
23
(in unità Cal/K/mol).
Questi risultati della teoria classica sono ben verificati sperimentalmente a temperatura
ambiente ma a temperature più basse il calore specifico osservato tende a valori più piccoli.
Lo stesso vale nel caso dei solidi dove il risultato classico, C ≃ 3R ≃ 5.9 (legge di DulongPetit), è valido solo a temperature ambiente; il calore specifico sperimentale tende a zero a
basse temperature.
Sembra dunque che a basse temperature certi gradi di libertà “muoiano” o “vengano
congelati” e non prendano la loro parte di energia come ci si aspetterebbe dalla legge di
equipartizione. (Infatti la teoria corretta del calore specifico è stata formulata da Debye e
da Einstein dopo la scoperta del quanto di energia da parte di Planck (1900).)
Essenzialmente lo stesso problema appariva, in modo più drammatico, negli ultimi decenni del 19-simo secolo, nel cosı̀detto problema “del corpo nero”. Consideriamo una
cavità tenuta ad una temperatura T . Il suo interno è riempito delle radiazioni elettromagnetiche, in equilibrio con il serbatoio termico (la parete della cavità).
Ora, qual’è il colore della radiazione di un corpo nero? Detto in altri termini, quale colore (lunghezze d’onda) di luce si trova in un corpo nero, e con quale intensità relativa? O,
qual’è il calore specifico del “vuoto”, cioè delle radiazioni elettromagnetiche a temperatura
T?
La risposta della fisica classica a questi problemi è la seguente. L’energia del campo
elettromagnetico nel vuoto è (vedi Landau-Lifshitz, Vol. 2):
Z
1
(E2 + H2 )dv.
(1.80)
H=
8π V
Le soluzioni formali delle equazioni di Maxwell nel vuoto sono
E=−
1 ∂
A;
c ∂t
H = ∇ × A (φ = 0),
(1.81)
dove A è un potenziale vettoriale arbitrario che soddisfa alle equazioni
∆A −
1 ∂2
A =
c2 ∂t2
∇·A =
0;
(1.82)
0.
(1.83)
La seconda condizione (1.83) è la scelta di gauge per eliminare la ridondanza esistente nella
parametrizzazione dei campi elettromagnetici in termini del potenziale vettoriale.
La soluzione generica di (1.82),(1.83), è un’onda piana del tipo
ǫ1 cos(k · r − ckt) + ǫ2 sin(k · r − ckt)
(1.84)
ǫ1 · k = ǫ2 · k = ǫ1 · ǫ2 = 0.
(1.85)
con k arbitario, k ≡ |k|,
La soluzione generale è una qualsiasi combinazione lineare di questi oscillatori armonici .
L’Hamiltoniana che dà luogo a una tale combinazione come soluzione, è semplicemente:
H=
X c2
k
4
p2(1)
+
k2 q2(1)
+
X c2
k
4
p2(2)
+
k2 q2(2)
:
(1.86)
il sistema è equivalente a due gruppi di oscillatori indipendenti. Le due possibili direzioni
dell’oscillazione corrispondono alle due polarizzazioni possibili della luce, fatto ben noto
empiricamente.
Nelle precedenti equazioni, k sono vettori arbitari: per “contare” i gradi di libertà è
spesso conveniente immaginare che il sistema sia confinato (come lo è nel caso di un corpo
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
24
nero finito) in un volume finito e introdurre un’opportuna condizione al contorno, per es.,
periodica. Ad esempio se la cavità è un cubo di lato L, i valori permessi per k sono
kx =
πnx
;
L
ky =
πny
;
L
kz =
πnz
;
L
nx , ny , nz = 0, 1, 2, 3, . . . .∞
(1.87)
Visto che l’Hamiltoniana del campo della radiazione ha la forma standard (1.77), si
può applicare la legge di equipartizione per calcolare la sua energia. La risposta è semplicemente
U = f k T, f (= il numero dei gradi di libertà) = ∞,
(1.88)
perciò
∂U
= ∞.
(1.89)
∂T
Dunque secondo la teoria di Maxwell l’energia del campo di radiazione elettromagnetica in un volume finito sarebbe infinita; per aumentare la temperatura di una cavità di un
grado ci vorrebbe un calore infinito. Questi risultati sono in chiara contraddizione con
le più elementari esperienze quotidiane. Più precisamente, U per unità di volume è noto
empiricamente (legge di Stefan):
U = ∞;
U = σ T 4;
C=
σ = 7.64 · 10−15 ergcm−3 K−4 .
Questo è il problema del corpo nero.
La causa di questa catastrofe è facile da individuare: secondo la legge classica di equipartizione alle luci (o le oscillazioni) di lunghezza d’onda arbitrariamente corta - nx , ny nz
arbitrariamente grandi - dovrebbero essere assegnate la stessa parte kT dell’energia. I fatti
sperimentali indicano che il numero effettivo di gradi di libertà ad ogni temperatura è in
realtà molto minore.
È istruttivo studiare l’energia del campo elettromagnetico, per intervalli di frequenze,
Z ∞
U=
dν u(ν),
(1.90)
0
u(ν)dν è l’energia del campo dovuta alle oscillazioni con frequenze tra ν e ν + dν.
Calcoliamo ora u(ν). Siccome
|n|c
ν(n) =
,
(1.91)
2L
segue che
2Ldν
dn =
.
(1.92)
c
Ma le componenti di n = (nx , ny , nz ) sono numeri interi positivi, perciò il numero dei
modi tra ν e ν + dν è dato da:
1
8πL3 2
N (ν)dν = 2 (4πn2 )dn =
ν dν.
8
c3
(1.93)
Applicando la legge di equipartizione, troviamo un risultato finito per un volume unitario,
u(ν)dν = kT N (ν)dν =
8πkT 2
ν dν.
c3
(1.94)
(Formula di Reyleigh - Jeans).
Osservazioni
• A fissa T , la formula di Reyleigh - Jeans è in accordo con i dati sperimentali a bassa
frequenza.
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
25
• L’intervallo di frequenze dove la formula è valida, si allarga verso alte frequenze con
T ; in altri termini, a ν fissa, la formula è valida ad alte temperature ma fallisce a basse
temperature. È chiaro che qui vediamo lo stesso problema che abbiamo incontrato
per la teoria del calore specifico di altre sostanze: ad una data temperatura solo certi
gradi di libertà sono “attivi”; altri sembrano “inattivi” .
• Facendo l’integrazione (1.94) da 0 a ∞ ritroviamo il risultato disatroso che è stato
notato prima (i.e., ∞). È chiaro che la divergenza è dovuta ai modi di frequenza
arbitariamente alta. (Per questo motivo, il problema è a volte chiamato catastrofe
ultravioletta.)
Il primo passo verso la soluzione è stata compiuto da Wien (1893). Egli notò che i dati
sperimentali mostravano una “legge di scaling:
u(ν) dν =
8π
F (ν/T )ν 3 dν :
c3
(1.95)
con una funzione F da determinare empiricamente. In altri termini, se u(ν) è noto empiricamente ad una temteratura, siamo in grado di predire u(ν) a qualsiasi altra temperature
usando (1.95). Come è facile verificare, inoltre, la formula di scaling è consistente con la
legge di Stefan.
Anche se Wien non riuscii a calcolare F , egli fu in grado di trovare una formula
approssimata,
F (x) = kβe−βx ; β = cost.,
(1.96)
che è in accordo con i dati ad alta frequenza x = ν/T . Sostituendo questa funzione
troviamo la formula di Wien,
u(ν) dν
=
=
8πkβ −βν/T 3
e
ν dν
c3
8πhν −hν/kT 2
e
ν dν,
c3
(1.97)
dove
h ≡ kβ = 6.626 · 10−27 erg · sec.
(1.98)
Abbiamo dunque la formula classica (1.94), valida a basse frequenze, e la formula di
Wien (1.97), valida ad alte frequenze. Fu Planck (1900) a trovare la corretta formula di
interpolazione,
hν
8π
ν 2 dν.
(1.99)
u(ν) dν = 3 hν/kT
c e
−1
Questa è la celebre formula di Planck. Essa si riduce a (1.94) ed a (1.97), nei limiti,
hν/kT ≪ 1 e hν/kT ≫ 1, rispettivamente. La morale della storia è che per spiegare
i dati sperimentali, nella formula classica (1.94) va fatta la sostituzione,
kT ⇒
hν
.
ehν/kT − 1
(1.100)
Ma quel’è il significato di questa sostituzione?
Il contributo fondamentale dato da Planck (1900), che segna la nascita della nuova meccanica, fu quello di dare la corretta interpretazione a (1.100), i.e., che essa implica l’esistenza di un quanto di energia. Ripeteremo ora l’argomentazione di Planck e dimostreremo la
formula (1.99), usando l’ipotesi di quanto di energia.
(All’epoca l’esistenza degli atomi, i.e., il fatto che esistesse un’unità di materia, era universalmente accettato, anch se solo da recente. L’idea di Planck fu quella di generalizzare
tale struttura discreta anche per l’energia elettromagnetica.)
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
26
Per ogni frequenza e per ognuna delle due polarizzazioni, l’Hamiltoniana per il campo
elettromagnetico è un semplice oscillatore armonico,
H = aq 2 + bp2 .
(1.101)
L’energia media a temperatura T è
∂
log N ,
(1.102)
∂(−1/kT )
Z
Z
2
2
2
2
1
dx dy e−(x +y )/kT ,
(1.103)
N = dq dp e−(aq +bp )/kT = √
ab
√
√
dove nella seconda le variabili sono state cambiate a x = aq; y = bp. Cambiando
ulteriormente le variabili a quelle sferiche, E ≡ x2 + y 2 ; θ ≡ tan−1 y/x, e notando che
l’integrazione angolare è banale, si ha
< E >=
∂
log N ′ ,
∂(−1/kT )
Z
N ′ = dEe−E/kT .
< E >=
(1.104)
(1.105)
Se si facesse l’integrazione su E normalmente si avrebbe < E >= kT e ritroveremmo
la formula di Reyleigh-Jeans. Invece, supporremo, con Planck, che per qualche ragione
l’energia possa prendere solo valori discreti,
En = nǫ,
n = 0, 1, 2, 3, . . .
In questo caso l’integrale viene sostituito dalla somma,
Z
X
dE → ǫ
.
(1.106)
(1.107)
n
Di conseguenza si ha
∂
log N ′′ ,
∂(−1/kT )
X
ǫ
.
N ′′ = ǫ
e−nǫ/kT =
−ǫ/kT
1
−
e
n
< E >=
Si ottiene cos ı̀ la formula “quantistica per < E >
ǫ
< E >= ǫ/kT
.
e
−1
(1.108)
(1.109)
(1.110)
Se scegliamo come unità (“quanto) di energia
ǫ = hν,
(1.111)
usiamo (1.110) al posto del risultato classico kT per < E >, e alla fine sommiamo sulle
frequenze, otteniamo precisamente la formula di Planck!
Dunque il significato della formula empirica di Planck è questo: l’energia del campo
elettromagnetico è “quantizzata. La luce monocromatica, di frequenza ν (i.e., di lunghezza
d’onda λ = c/ν) è fatta da un insieme di quanti (che chiameremo “fotoni), ciascuno con
l’energia hν. La legge di equipartizione non è più valida perché i gradi di libertà associati
alle frequenze alte, avendo quanti troppo grandi ad una data temperatura (hν ≫ kT ) non
riescono ad ottenere la loro porzione di energia (kT ) ed rimangono effettivamente inattivi.
Un’analoga spiegazione del comportamento del calore specifico di varie sostanze è stata
data da Debye e Einstein.
L’esempio più grande di corpo nero è l’universo stesso: come è noto l’universo di
oggi è riempito di radiazioni microonde (cosmic microwave radiation) corrispondenti alla temperatura di circa 2.70 K, che è una sorta di radiazione fossile dall’epoca iniziale
dell’espansione dell’universo.
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
27
1.3.2 Effetto fotoelettrico
La soluzione del problema del corpo nero e l’ipotesi del quanto di energia (Planck, 1900)
segnarono la nascita della fisica quantistica, ma dovettero attendere quasi 10 anni prima di
essere universalmente accettate.
Un’evidenza più diretta della proprietà corpuscolare della luce venne dall’analisi (Einstein, 1905) del cosı̀detto “effetto fotoelettrico (Hertz 1887). In questa esperienza, un raggio X (raggio elettromagnetico di alta frequenza) viene fatto incidere sulla superficie di un
metallo alkalino (per es. Li). Dalla superficie del metallo saltano fuori gli elettroni, che
vengono misurati in forma di corrente (Fig.1.5). I fatti empirici principali sono:
(i) l’energia di ciascun elettrone è indipendente dall’intensità della luce;
(ii) al crescere dell’intensità della luce aumenta il numero degli elettroni (i.e., aumenta la
corrente foto-elettrica);
(iii) l’energia di ciascun elettrone dipende dal colore (λ) del raggio;
(iv) la corrente fotoelettrica si accende immediatamente dopo che la superficie viene
illuminata.
È estremamente difficile capire questi fatti nella teoria di Maxwell. (Vedi Tomonaga).
Fu Einstein il primo a osservare che tutte le suddette caratteristiche dell’esperienza trovano una spiegazione naturale se si adotta l’ipotesi di quanto di energia di Planck. Infatti
supponiamo che il raggio X sia un fascio di “fotoni, ciascuno con energia hν (ν sarà uguale per tutti se la luce è monocromatica; altrimenti si troveranno diversi tipi di fotoni nel
fascio). Supponiamo inoltre che gli elettroni, originalmente legati agli atomi del metallo,
ricevono tutta l’energia del fotone che li colpisce; se l’energia ricevuta è sufficientemente
grande (i.e., rispetto all’energia di legame) essi salteranno fuori. Questa teoria predice una
semplice relazione tra l’energia massima dell’elettrone E e la frequanza della luce ν,
E = hν − A,
(1.112)
dove A è una costante che dipende dalla sostanza.
X
e
Li
e
G
Figura 1.5: Effetto fotoelettrico
I dati sperimentali, presi dall’articoli di Millikan (1916) mostrano che la relazione lineare predetta da (1.112) è effettivamente osservata; inoltre dall’inclinazione della retta
sperimentale si trova il valore per h:
h ≃ 6.65 · 10−27 ergsec,
(1.113)
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
28
in ottimo accordo con il valore ottenuto da Wien-Planck (1.98). In questa maniera l’ipotesi
di quanto di energia di Planck per la luce, è stata inequivocabilmente verificata.
Prendiamo nota che il carattere corpuscolare della luce, messo in evidenza dall’analisi dell’effetto fotoelettrico, si manifesta chiaramente anche nelle diffusioni dei raggi X da
elettroni (Effetto Compton: vedi Problema 2).
1.3.3 Modello atomico di Bohr
Nella discussione dello sviluppo storico che ha portato alla scoperta della nuova meccanica, un successivo passo fondamentale è stato quello compiuto da Bohr (1913). Come era già noto allora, i gas ad alta temperatura emettono luce con spettro caratteristico
dell’elemento. (Per es., la lampada al sodio con la caratteristica luce di colore arancione). Per l’idrogeno, lo spettro contiene le linee corrispondenti alle lunghezze d’onda,
6562.8, 4861.3, 4340.5, 4101.7, . . . (Å). Per queste linee spettrali, Balmer (1885) aveva
trovato una formula empirica,
λ=
n2
λ0 ,
n2 − 4
λ0 = 3645.6 Å,
n = 3, 4, 5, . . .
(1.114)
Più tardi Rydberg aveva scoperto una fomula universale
R
1
R
ν
−
;
= =
2
c
λ
(m + a)
(m + b)2
(1.115)
dove R è una costante universale (i.e., indipendente dall’atomo),
R = 109678cm−1
(1.116)
(chiamata costante di Rydberg) e a, b sono costanti che dipendono dall’elemento. La
(1.115) rappresentava bene tutte le linee spettrali misurate per vari atomi. Restava da
interpretare e comprendere il significato della formula di Rydberg.
L’idea di Bohr era che l’energia dell’elettrone legato nell’atomo potesse prendere soltanto valori discreti, in analogia con quanto avveniva per l’oscillazione elettromagnetica. Più precisamente, Bohr formulò le seguenti ipotesi sull’atomo (l’insieme di queste era
chiamato modello di Bohr):
[1] I valori possibili dell’energia di un atomo sono discreti, E1 , E2 , . . . (Livelli di energia).
Finché l’atomo è in uno dei possibili stati (stati stazionari) non emette luce;
[2] L’atomo emette o assorbe luce quando un elettrone compie una transizione (un “salto)
da uno stato (n) ad un altro (m); la luce emessa o assorbita in tale transizione ha la
frequenza uguale a,
hν = En − Em ,
(1.117)
[3] l’elettrone che si trova in uno stato stazionario si muove secondo la Meccanica Classica
(questa ipotesi subirà una sostanziale modifica in Meccanica Quantisticao);
[4] Per n ≫ 1, i risultati della nuova meccanica coincidono con quelli ottenuti in Meccanica Classica (Principio di Corrispondenza di Bohr).
Notiamo che le ipotesi di Bohr eliminano immediatamente (per decreto) la difficoltà
legata alla stabilità dell’atomo, discussa nell’Introduzione. Le ipotesi [1] e [2] permettono
una naturale interpretazione della struttura della formula di Rydberg, attribuendo ai singoli
termini En (livelli di energia), e non alle loro differenze, il significato fondamentale. Con
grande ingegno, combinando le ipotesi sopra descritte, Bohr fu in grado di ottenere En nel
caso dell’atomo di idrogeno:
En = −
Rhc
;
n2
n = 1, 2, . . . .
(1.118)
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
29
e di calcolare la costante di Rydberg in termini di m, e, c e h:
R=
2π 2 me4
≃ 1.09 · 105 cm−1
ch3
(1.119)
in accordo con il suo valore empirico. (Vedi Tomonaga.) Bohr riuscı́ inoltre a determinare
l’ordine di grandezza del raggio dell’atomo di idrogeno
rBohr =
~2
≃ 0.529177 · 10−8 cm
me2
(1.120)
(chiamato raggio di Bohr) dove è stata introdotta una costante legata a h,
~≡
h
≃ 1.05 · 10−27 erg · sec.
2π
(1.121)
Sia h che ~ sarà chiamata costante di Planck.
L’esistenza di stati stazionari discreti (livelli di energia) in atomi è stata verificata in
un’elegante serie di esperienze fatte da Franck e Hertz (1913).
1.3.4 Condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld; Onda di
de Broglie
La correttezza dell’idea di quantizzazione fu dunque inequivocabile dopo il lavoro di Planck
(quantizzazione dell’energia elettromagntica); quello di Einstein-Debye (quantizzazione
dell’oscillazione atomico/molecolare nella teoria del calore specifico) e ora quello di Bohr
(quantizzazione del moto degli elettroni nell’atomo), ma la formulazione corretta della
Meccanica Quantistica dovette attendere i lavori di Heisenberg e Schrödinger (1924). È
di un certo interesse storico, tuttavia, ricordare due altri contributi importanti dell’epoca
“pre-meccanica-quantistica.
Bohr e Sommerfeld tentarono di formulare l’idea della quantizzazione in modo universale, di modo che essa fosse applicabile a tutti i moti classici finiti (periodici). Essi
ipotizzarono la regola,
I
p dq = nh (n = 0, 1, 2, . . .)
(1.122)
(condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld ) dove q e p si riferiscono a una coppia
arbitraria di variabili canoniche, e l’integrale va calcolato su un periodo classico.
Osservazioni:
• La limitazione ai moti finiti (periodici) è importante. Non vi è nessuna indicazione
empirica che i moti non periodici siano quantizzati, fatto che troverà conferma in
Meccanica Quantistica.
• Per l’oscillatore armonico la (1.122), in accordo con l’ipotesi di Planck, dà il risultato
En = nω~ = nhν, che per l’esattezza differisce da quello corretto della Meccanica
Quantistica solo per una costante.
• Per l’atomo di idrogeno, la (1.122) dà il risultato corretto, ottenuto da Bohr.
H
• Come è noto, p dq è “un invariante adiabatico”. In altri termini, se uno o più parametri presenti nel sistema variano lentamente col tempo, l’integrale per un periodo di
moto rimane invariante. Si noti che per le variazioni sufficientemente lenti, il moto
delH sistema è approssimativamente periodico
per molti periodi, e perciò l’nitegraH
le p dq è ben definito. Il fatto che p dq è invariante adiabatico, è fondamentale
per la consistenza della condizione di Bohr-Sommerfeld, (1.122). Altrimenti, non
avrebbe senso proporre tale condizione come condizione universale. Basti pensare
due sistemi che differiscono poco nei parametri (massa, profondità del potenziale,
etc.).
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
30
• In generale, la (1.122) non è esatta in Meccanica Quantistica, ma risulta essere
approssimativamente valida nel limite semi-classico (vedi dopo).
L’ultimo tassello mancante, per cosı̀ dire, alla formulazione della Meccanica Quantistica fu il concetto che la dualità onda - corpuscolo, scoperta per la luce e successivamente
per gli elettroni (per es. l’esperienza di Davisson-Germer (1927)), fosse in realtà valida
per tutte le particelle elementari (de Broglie, 1925). In particolare, ad ogni particella di
impulso p, va associata una sorta di onda (onda di de Broglie) di lunghezza d’onda
λ=
h
p
(1.123)
(de Broglie). Questa relazione, pur semplice, è di fondamentale importanza. de Broglie
fu in grado di dare una “derivazione della formula di Bohr e Sommerfeld a partire dalla (1.123). Inoltre, la consistenza dell’ipotesi (1.123) implica che ad ogni particella va
associato un “pacchetto d’onda. La velocità della particella va associata alla velocità di
gruppo di quest’ultimo (e non la velocità di fase). In altre parole il lavoro di de Broglie
offrı́ una prima chiave per interpretare e quantificare l’inconsueta idea della dualità onda corpuscolo.
1.3.5
Problemi
1. Si consideri un pendolo semplice (peso sorretto da una fune di massa trascurabile)
sostenuto da una carrucola. Si dimostri che, se quando la fune viene tirata molto
lentamente mentre il pendolo è in oscillazione, la quantità E/ν si mantiene costante
(invariante adiabatico), dove E è l’energia dell’oscilazione (i.e., senza l’energia di
potenziale).
2. Effetto Compton e cinematica relativistica. Si consideri lo scattering di un raggio X
su un elettrone in quiete. Il raggo X di lunghezza d’onda λ è considerato come un
X
φ
X
ψ
e
Figura 1.6: Effetto Compton
fascio di fotoni, ciascuno con energia hν e impulso p = hν/c, dove ν = c/λ. Siano
mv
pe = p
1 − v 2 /c2
1
Ee = mc2 p
−1
2
2
1 − v /c
e
l’impulso e l’energia dell’elettrone nello stato finale, e chiamiamo φ e θ gli angoli che
formano le velocità finali del fotone e dell’elettrone, rispetto alla direzione incidente.
Il fotone ha energia e impulso finali hν ′ e hν ′ /c. (vedi Fig. 1.6)
• Si usi la conservazione dell’ impulso per trovare la relazione
mv
p
1 − v 2 /c2
!2
=
hν
c
2
+
hν ′
c
2
−2
hν
c
hν ′
c
cos φ.
1.3. SVILUPPO STORICO: NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA
31
• Si usi la conservazione dell’energia e la formula precedente per ottenere:
ν′ =
ν
1 + (2hν/mc2 ) sin2 (φ/2)
• iii) Si dimostri che la lunghezza d’onda λ′ del raggio X emesso nella direzione
φ soddisfa
2h
sin2 (φ/2)
λ′ − λ =
mc
• (Formula di Compton; h/mc = 2.42 · 10−10 cm si chiama lunghezza Compton
dell’elettrone)
• iv) Si trovi l’energia dell’elettrone Ee nello stato finale, in termini di ν e di
φ. Si calcoli Ee per λ = 10−9 cm e φ = π/2. (m = 9.1 · 10−28 gr quindi
mc2 = 8 · 10−7 erg).
•
3. Si consideri un atomo d’idrogeno (1 protone + un elettrone; mp = 1836me).
• Si calcoli la massa ridotta (e si concluda che possiamo usare mridotta ≃ me );
• Si risolva l’equazione del moto (classico) me r(dθ/dt)2 = (e/r)2 , assumendo
r costante;
• Sia θ(t) = 2πνt + δ. Si determini ν facendo uso di me = 9 · 10−28 gr, r =
5 · 10−9 cm, e2 = 2 · 10−19 erg · cm;
• Si calcoli hν, dove h è la costante di Plank (h = 7 · 10−27 erg · sec) e lo si
paragoni con kT per T = 273o K, dove k è la costante di Boltzman (k =
1 · 10−16 erg · K−1 ). Dimostrare che i gradi di libertà associati agli elettroni
sono “congelati a T ∼ 0o C e giustificare il calcolo del calore specifico dei
solidi, fatto senza tener conto degli elettroni.
4. Si costruiscano quantità che abbiano la dimensione di una lunghezza, facendo uso di
[me ], [c], [h] e [e2 ].
5. Si verifichi che i potenziali di Liènard-Wiechart
Z
ρ(r 2 , t − r12 /c)
φ(r, t) = dV2
r12
Z
j(r 2 , t − r12 /c)
1
dV2
A(r, t) =
c
r12
sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in presenza di una distribuzione di carica
(di densità ρ) e di corrente (di densità j).
6. Si trovi la formula
2
I = 2d̈ /3c2
per l’intensità di energia irradiata per unità di tempo da un dipolo elettrico.
7. Sono state osservate (all’inizio del secolo) le seguenti linee spettrali per un atomo (in
cm−1 ):
ν̃1 = 82258.27
ν̃6 = 20564.57
ν̃10 = 2469
ν̃5 = 15232.97
ν̃9 = 7799.30
ν̃8 = 5331.52
ν̃3 = 102822.84
ν̃2 = 97491.28
ν̃7 = 23032.31
ν̃4 = 105290.58
dove ν̃ = 1/λ è l’inverso della lunghezza d’onda (“numero d’onda).
(1.124)
32
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE E CONCETTI PRINCIPALI
• Si trovino tutti gli esempi della regola di combinazione di Ritz. (P.e., ν̃7 − ν̃5 =
ν̃9 );
• Si dimostri che tutte le linee corrispondono alle varie combinazioni di cinque
termini spettrali;
• Si trovi una formula semplice per questi termini (tenendo conto del fatto che le
considerazioni i) e ii) danno solo le differenze tra i termini).;
• Che atomo è questo?
8. Si calcoli il numero di fotoni emessi al secondo da una sorgente di luce di 1 candela.
Si assuma λ = 5600 Å. (Una sorgente di una candela emette luce con una potenza
di 0.01 watt). Supponete che un osservatore guardi una sorgente di luce isotropa di
una candela a una distanza di 100 metri. Calcolate il numero di fotoni che entrano
in uno dei suoi occhi al secondo; assumete che la pupilla abbia un diametro di 4mm.
Poiché il numero di fotoni è cosı̀ grande, non osserviamo alcun tremolio, anche se il
flusso luminoso è piccolo per gli standard macroscopici.
9. Una stella di prima magnitudo apparente, come la stella di Aldebaran, è facilmente
visibile a occhio nudo e la si vede lampeggiare. Tale stella produce un flusso sulla
superfice della terra di 10−6 lumen/m2 . Un lumen alla lunghezza d’onda di massima
visibilità, che è di circa 5560 Å, corrisponde a 0.0016 watt. Si calcoli il numero di
fotoni che entrano nell’occhio di un osservatore che vede una tale stella.
Capitolo 2
Princı̀pi della meccanica
quantistica
33
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
34
2.1 Princı́pi e Legge della Meccanica Quantistica
In questo capitolo sono introdotti i postulati principali e la legge della meccanica quantistica. Lo stato quantistico è descritto da una funzione d’onda; le variabili dinamiche da
operatori hermitiani; infine l’evoluzione temporale dello stato dall’equazione di Schrödinger. Le predizioni della nuova meccanica sono formulate in termini di probablilità che la
misura di una variabile, in un dato stato, dia uno dei possibili valori. Questi ultimi sono
autovalori del relativo operatore Hermitiano.
2.1.1 Lo stato quantistico e il principio di sovrapposizione
La discussione dell’esperimento di Tonomura et. al., discussa nell’Introduzione è una conferma diretta della relazione di de Broglie, (1.123). Questi ci porta a definire uno stato
quantistico non in termini di valori simultanei {p, q} delle variabili canoniche, ma con una
sorta di onda. Infatti, abbiamo il primo
Postulato Fondamentale della Meccanica Quantistica:
lo stato è descritto da una funzione complessa
stato quantistico ∼ ψ({q}, t)
(2.1)
chiamata funzione d’onda. Essa dipende dalle coordinate canoniche e dal tempo ma non
dagli impulsi.1
La conoscenza della funzione d’onda equivale alla completa conoscenza dello stato
quantistico. Essa permette di calcolare le probabilità di ottenere determinati risultati in
qualsiasi tipo di misura.
Per esempio consideriamo la posizione di una particella, o più in generale, le coordinate generalizzate del sistema (q). La probabilità di trovare il sistema nell’intervallo di
coordinate [q, q + dq] è, per postulato dato da
dP = |ψ({q}, t)|2 dq
(2.2)
(dq ≡ dq1 dq2 . . . dqs ). Per una particella in tre dimensioni la probabilità che essa si trovi
in un volume attorno al punto r è
|ψ(r, t)|2 d3 r.
(2.3)
Poiché la probabilità totale deve essere 1, si deve imporre
Z
||ψ||2 = |ψ({q}, t)|2 dq = 1.
(2.4)
L’eq.(2.4) èR nota come condizione di normalizzazione. Ogni funzione d’onda per la quale
l’integrale |ψ({q}, t)|2 dq converge, è normalizzabile, con la moltiplicazione di un numero opportuno.2 Segue che la funzione ψ e un’altra funzione c ψ dove c è un numero
complesso costante qualsiasi diverso da zero, rappresentano lo stesso stato, i.e.,
ψ ∼ c ψ,
c 6= 0.
(2.5)
In altre parole, lo stato quantistico è descritto dal raggio di ψ, nello spazio di funzioni
normalizzabili.3
1 Tale
descrizione appare introdurre la perdita della simmetria per lo scambio tra le coordinate e gli impulsi,
che caratterizza il formalismo canonico della fisica classica. In realtà la legge della meccanica quantistica ha
una completa simmetria per q ↔ p; l’apparente violazione di questa simmetria in (2.1) è dovuta alla scelta del
linguaggio, alla particolare scelta della rappresentazione per lo stato quantistico, come sarà spiegato nei capitoli
successivi.
2 Per esempio, ψ(r, t) = e+r2 non è normalizzabile, pertanto non rappresenta nessuno stato fisico.
3 Più precisamente, ψ deve appartenere ad uno spazio di Hilbert, H.
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
35
Il principio di sovrapposizione afferma che se ψ1 e ψ2 sono due stati possibili (fisici)
qualsiasi 4 di un sistema, un terzo stato descritto da
ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2
(2.6)
dove c1 , c2 sono due costanti complesse arbitrarie, è anche esso uno stato possibile (fisico).
Significa che l’insieme degli stati ammissibili di un dato sistema è descritto da uno spazio
lineare di funzioni d’onda, H.
Per consistenza, il principio di sovrapposizione richiede che l’evoluzione temporale
della funzione d’onda sia descritta da un’equazione lineare in ψ, i.e., del tipo
Sψ = 0.
(2.7)
dove S è un operatore lineare, i.e., un operatore tale che
S(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Sψ1 + c2 Sψ2 .
(2.8)
La forma esplicita dell’operatore S sarà discussa in seguito.
La descrizione dello stato quantistico in termini di funzione d’onda introduce una certa
asomiglianza con quella della dinamica di onde classiche, e per questa ragione è stata usata
in passato la denominazione di “meccanica ondulatoria” per la dinamica di Schrödinger.
Tuttavia, esistono delle differenze essenziali tra la dinamica delle onde classiche e quella dello stato quantistico. Per esempio, in meccanica quantistica la funzione d’onda ψ e
un’altra funzione d’onda cψ (c 6= 0 ) rappresentano lo stesso stato, come abbiamo appena
accennato, mentre due funzioni che differiscono di un fattore moltiplicativo rappresentano
due onde classiche di diversa ampiezza, perciò di diversa energia, fisicamente distinguibili.
Il concetto stesso di sovrapposizione richiede un’interpretazione drasticamente diversa
in meccanica quantistica, rispetto a quella delle onde classiche. Consideriamo per esempio
due stati (quantistici) A e B.5 Siano questi stati tali che la misura di una determinata
quantità fisica (O) dia con certezza (i.e., con probabilità 1) il risultato a nello stato A, e con
certezza il risultato b, nello stato B. Ora secondo il principio di sovrapposizione esiste uno
stato fisico C descritto da
ψC = cA ψA + cB ψB ,
(2.9)
dove ψA e ψB sono le funzioni d’onda (normalizzate) degli stati A e B; cA , cB sono due
numeri complessi arbitrari. Le proprietà fisiche dello stato C saranno in qualche modo
intermedie tra quelle dello stato A e quelle dello stato B. Qual’è il risultato di una misura
della stessa quantità O fatta nello stato C? Secondo la regola della meccanica quantistica,
il risultato di una singola misura non può mai essere diverso da a oppure da b. Più precisamente, la meccanica quantistica predice che le probabilità per ottenere i risultati a e b sono
rispettivamente
|cB |2
|cA |2
;
P
=
,
(2.10)
Pa =
b
|cA |2 + |cB |2
|cA |2 + |cB |2
e zero per tutti gli altri possibili valori di O. In altri termini, il carattere intermedio dello
stato C si manifesta nelle probabilità di ottenere un determinato risultato in un’osservazione, e non nei risultati stessi di singole misure (Dirac). Queste “regole” della nuova
meccanica saranno formulate nella successive sezioni.
Osservazioni
• Secondo quanto detto sopra le funzioni d’onda ψ e eiα ψ (con α reale), rappresentano
lo stesso stato. La fase costante davanti alla funzione d’onda non ha un significato
fisico. Ma ovviamente ψA = c1 ψ1 + c2 ψ2 e ψB = c1 ψ1 + c2 eiα ψ2 sono due stati
diversi (per c1 c2 6= 0).
4 Ci
sono eccezioni a questa regola (regola di superselezione).
in poi, eccetto quando c’è un rischio di un’ambiguità o un malinteso, useremo semplicemente la parola
“stato” al posto di “stato quantistico.”
5 D’ora
36
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
• Per due sistemi A e B non-interagenti tra di loro e scorrelati la funzione d’onda si
fattorizza:
ψA,B = ψA ψB .
(2.11)
Si noti che in presenza di particelle identiche, la funzione d’onda di molti corpi deve
avere una certa proprietà di simmetria per scambi di queste particelle, e questo introduce una correlazione anche tra particelle non-interagenti. Questo aspetto peculiare
della meccanica quantistica, di fondamentale importanza nella fisica dei molti corpi,
sarà discusso nel Capitolo ??
Polarizzazione del fotone
Lo stato di polarizzazione della luce è descritta in teoria classica dal vettore di polarizzazione
A = Aλ (k) ǫλ (k) eik·r−iωt + h.c.
(2.12)
Per semplicità abbiamo assunto una luce monocromatica. In gauge di radiazione,
E=−
1 ∂A
,
c ∂t
B = ∇ × A,
ǫ · k = 0.
(2.13)
L’ultima condizione significa che ci sono due polarizzazioni indipendenti. La luce polarizzata linearmente corrisponde a, per es.,
ǫ1 = (1, 0, 0),
k = (0, 0, k),
(2.14)
con
A1
ω cos(k · r − ωt),
Ey = 0,
(2.15)
c
e analogamente per ǫ2 = (0, 1, 0). La luce polarizzata linearmente, ma in direzione (sin θ, cos θ)
(nel piano perpendicolare alla direzione della propagazione) è descritta da
Ex =
ǫ = (cos θ, sin θ, 0).
(2.16)
La luce con polarizzazione circolare, corrisponde per es. a
1
ǫ1 = √ (1, i, 0),
2
A+
A+
Ex = √ ω cos(k · r − ωt),
Ey = √ ω sin(k · r − ωt),
(2.17)
2c
2c
una polarizzazione elittica a ǫ = √15 (2, i, 0), etc.
Secondo la meccanica quantistica la luce va considerato come un fascio di fotoni, e l’origine
della proprità di polarizzazione può essere attribuita ai due possibili stati indipendenti del singolo
fotone. Tralasciando altre caratteristiche (l’impulso, direzione della propagazione), lo stato di un
singolo fotone è descritto da una combinazione generale
|ψi = c1 |1i + c2 |2i,
|c1 |2 + |c2 |2 = 1.
(2.18)
|1i, |2i rappresentano due stati ortonormali di polarizzazioni lineari nelle direzioni x e y, corrispondono alle luci polarizzati linearmente (2.14), e soddisfano
h1|1i = h2|2i = 1,
h1|2i = 0.
(2.19)
Certi cristalli hanno la proprietà di fare passare solo la luce polarizzata lungo un asse caratteristico, chiamato asse di polarizzazione. Quando un fascio incidente ha una polarizzazione lineare nella
direzione che fa un angolo θ rispetto all’asse di polarizzazione, si trova empiricamente che l’intensità
di luce che passa è
I(θ) = I(0) cos2 θ
(2.20)
(Legge di Malus).
Ora consideriamo lo stesso esperimento dal punto di vista di singoli fotoni che incidono sul
cristallo, con l’asse di polarizzazione nella direzione di x̂. Se il fotone ha la polarizzazione lineare 1,
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
37
passerà con certezza, con probabilità P = 1. Se esso è di tipo |2i, invece non passerà (probabilità
nulla di passare). Cosa succede se il fotone incidente è nello stato,
|θi = cos θ |1i + sin θ |2i
(2.21)
(stato di polarizzazione lineare nella direzione θ dall’asse x)? L’unica risposta sensata - ed è la
predizione della meccanica quantistica - è che il fotone ha la probabilità P+ = |c1 |2 = cos2 θ di
passare, e la probabilità P− = |c2 |2 = sin2 θ di non passare.
Per una luce polarizzata perfettamente nella direzione θ, composta di molti fotoni nello stato |θi,
ritroviamo la legge di Malus.
In questo esempio, vediamo che l’interpretazione probabilistica della meccanica quantistica è
una diretta conseguenza dei fatti empirici, o meglio, l’unica formulazione logica possibile di questi
fatti.
2.1.2 Principio di indeterminazione di Heisenberg
Il fatto che l’elettrone sia descritto da una sorta di onda, funzione d’onda, significa che il
concetto classico di traiettoria perde validità. Esso non può avere simultaneamente valori
definiti dell’impulso e della posizione. Questo non significa che i concetti stessi come
la posizione, l’impulso e l’energia perdano totalmente senso. È la descrizione dello stato
quantistico che differisce sostanzialmente da quella della meccanica classica, dove “lo stato
fisico” è completamente specificato dai valori contemporanei di qi , pi ; E, ....
D’altra parte, nei limiti in cui la costante di Planck h può essere considerata piccola,
le leggi della meccanica quantistica devono essere consistenti con quelle della meccanica
classica. In qualche modo, allora, la costante h dovrà segnare il confine tra il dominio
quantistico e quello classico.
L’espressione matematica della suddetta limitazione per la determinazione simultanea di qi e pi è stata scoperta da Heisenberg. Essa viene espressa da un insieme di
disuguaglianze:
∆x · ∆px ≥ ~;
∆y · ∆py ≥ ~;
∆z · ∆pz ≥ ~;
(2.22)
o più generale, per una coppia canonica qualsiasi,
∆qi · ∆pi ≥ ~,
(2.23)
dove
~≡
h
≃ 1.054 · 10−27
2π
(erg · sec)
(2.24)
Queste relazioni sono chiamate relazioni di Heisenberg; o relazioni d’indeterminazione di
Heisenberg.
La relazione d’indeterminazione segue dalla descrizione di una particella come un pacchetto d’onda. Per esempio, consideriamo un pacchetto d’onda di forma Gaussiana in una
dimensione, che a t = 0 è dato da:
ψ(x, 0) = cost. e−x
2
/d2
.
(2.25)
Notiamo che questo pacchetto è concentrato attorno a x = 0 ma ha una dispersione,
∆x =
p
h(x − hxi)2 i ∼ d,
(2.26)
che può essere interpretato come una sorta di indeterminazione della sua posizione.6
6 Come accennato nella sezione precedente, il calcolo dei valori medii nella (2.26) coinvolge la densità di
probabilità |ψ|2 anziché la funzione ψ stessa.
38
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
D’altra parte ψ(x) = ψ(x, 0) può essere visto come una sovrapposizione di onde piane:
la sua trasformata di Fourier è
Z ∞
ψ(x) =
dλ a(λ)e2πix/λ + a∗ (λ)e−2πix/λ
Z0 ∞
dλ a(λ) e2πix/λ
(2.27)
=
−∞
dove λ è la lunghezza d’onda e a(−λ) ≡ a∗ (λ).
Secondo de Broglie vale la relazione
p=
h
λ
(2.28)
per ogni particella (onda di de Broglie): la equazione precedente può essere riletta allora
come sovrapposizione di diverse componenti di impulso p:
Z ∞
ψ(x) =
dp ψ̃(p) eipx/~
(2.29)
−∞
dove è stato introdotto ~ ≡ h/2π. La componente di Fourier ψ̃(p) si calcola facilmente nel
2
2
caso di un’onda Gaussiana, ψ(x) = e−x /d :
Z ∞
dx −ipx/~ −x2 /d2
e
e
ψ̃(p) =
2π~
−∞
Z ∞
dx −(x+ipd2 /2~)2 /d2 −d2 p2 /4~2
e
e
=
2π~
−∞
=
cost. e−d
2 2
p /4~2
.
(2.30)
Tale risultato è interpretabile come un’indeterminazione dell’impulso dell’ordine di
∆p ∼
~
.
d
(2.31)
Dalle equazioni (2.26) e (2.31) segue la relazione di Heisenberg.
Risulta che il pacchetto Gaussiano minimizza il prodotto ∆x∆p: per un pacchetto
generico si trova (vedi dopo) una disuguaglianza come nelle eq.(2.22).
Le relazioni d’indeterminazione implicano che in uno stato in cui la posizione di un
elettrone è esattamente nota, la conoscenza dell’impulso è completamente persa, o vice
versa, ed in ogni modo il prodotto ∆q∆p non può essere minore di ~.
Il significato della relazione di Heisenberg va precisato meglio. È naturale chiedersi
se tale relazione abbia affatto senso. Infatti, non basterebbe prendere una particella di
cui l’impulso, pz , per es., è perfettamente noto grazie alla preparazione antecendente, e
misurarne la posizione z con una precisione che si vuole, per ottenere uno “stato” in cui la
posizione e l’impulso sono perfettamente determinati contemporaneamente, o per lo meno
uno stato arbitrariamente vicino a tale stato?
Queste questioni sono stati studiate da Heisenberg, attraverso esame di una serie di
“Gedanken experiments” (le esperienze pensate, ipotetiche) 7 . Consideriamo qui solo due
esempi. La prima riguarda la misura della posizione di un elettrone con un microscopio
ottico. (Fig.2.1) La luce entra orizzontalmente, viene diffusa dall’elettrone e entra nella
lente dell’obiettivo. Come è noto dall’ottica, la risoluzione orizzontale di tale apparecchio
è data dalla formula:
λ
(2.32)
∆x ∼
sin ǫ
7 “Principi Fisici della Meccanica Quantistica (Bolinghieri); Physical Foundation of Quantum Mechanics” di
Heisenberg.
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Fotone
39
ε
Elettrone
Figura 2.1: Osservazione della posizione orizzontale di un elettrone con un microscopio
dove λ è la lunghezza d’onda della luce usata, ed ǫ è l’apertura angolare dell’obiettivo. A
causa della misura, l’elettrone riceverà un rinculo dell’ordine di hν/c, i.e., dell’ordine del’impulso del fotone, da scattering Compton (vedi il Problema 2 della sezione precedente).
Siccome la direzione del fotone è nota solo entro il limite determinato dall’angolo ǫ, la
componente orizzontale dell’impulso dell’elettrone sarà anche essa affetta da un’incognita
di
h
hν
sin ǫ ∼ sin ǫ
(2.33)
∆px ∼
c
λ
da cui segue la relazione
∆x ∆px ∼ h.
(2.34)
La dualità onda-corpuscolo della luce è essenziale nell’argomentazione.
Un altro “Gedanken experiment” è la misura della posizione verticale (z) dell’elettrone che entra orizzontalmente in una fenditura (Fig. 2.2). Supponiamo che il fascio
di elettroni sia ben collimato di modo che il suo impulso nella direzione verticale possa
essere considerato zero. L’apertura della fenditura d introduce un’indeterminazione nella
posizione dell’elettrone: essa sarà misurata con la precisione di
∆z ∼ d
(2.35)
se l’elettrone attraversa la fenditura. Ora, secondo de Broglie l’elettrone con impulso p
si comporta come un’onda di lunghezza d’onda λ = h/p: come tale, esso subirà una
diffrazione al passaggio dalla fenditura stretta. Questa onda si diffonde di un angolo α
dove
λ
(2.36)
sin α ∼
d
dove è stata usato un altro risultato ben noto in ottica. Perciò l’elettrone, al passaggio dalla
fenditura, acquista una componente verticale dell’impulso, nota entro il limite di
∆pz ∼ |p| sin α =
h λ
h
= .
λ d
d
(2.37)
Per il prodotto delle indeterminazioni della posizione e dell’impulso (le componenti verticali) vale perciò la relazione
∆z ∆pz ∼ h.
(2.38)
Questa deduzione utilizza la dualità onda-corpuscolo dell’elettrone.
Queste discussioni dimostrano che c’è un limite nella precisione della determinazione simultanea delle variabili canonicamente coniugate, se interpretiamo la simultaneità
40
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
z
p
Figura 2.2: Determinazione della posizione verticale di un elettrone con il passaggio per una
fenditura
nel senso fisico.8 Tale limite è un limite fisico, indipendente dalla condizione esterna dell’osservazione (tecnica, perizia, esperienza, qualità dell’apparato di misura, ecc.); esso è
dovuto alla proprietà dinamica del processo fisico coinvolto.
Infatti queste argomentazioni di Heisenberg mettono in risalto un aspetto caratteristico
importante della meccanica quantistica. Nelle esperienze che coinvolgono i sistemi atomici
o sub-atomici la perturbazione dovuta al processo di una misura non può essere controllata
dall’osservatore oltre un certo limite, essendo tale limite una proprietà fisica dei processi
stessi. Il determinismo nel senso classico è generalmente perso nel processo di osservazione. L’interpretazione probabilistica delle predizioni della meccanica quantistica, associata
al processo della misura, è legata intimamente al principio d’indeterminazione.
Viceversa, i sitemi lasciati indistrubati evolvono in maniera perfettamente deterministica. La funzione d’onda obbedisce l’equazione di Schrödinger, un’equazione differenziale
nel tempo t.
Tutto ciò è in contrasto con quanto accade in meccanica classica. In processi macroscopici, il disturbo causato dalla misura (l’apparato e i processi) all’oggetto di misura è
trascurabile. Il concetto classico di determinismo è basato su questo fatto. Dal punto di vista più generale, tuttavia, c’è da tenere presente che il determinismo tradizionale ha - negli
ultimi decenni - subito una notevole revisione, anche nell’ambito della meccanica classica,
collegata con i fenomeni nonlineari, il caos, ecc.
2.1.3 Operatori, autovalori e autostati, risultati di un’osservazione
Abbiamo visto che lo stato quantistico è descritto da una funzione complessa - funzione d’onda, ψ({q}, t). Come sono descritte le variabili dinamiche? Quali sono i risultati
possibili di una misura? Qual’è la predizione della meccanica quantistica?
In meccanica quantistica, ad ogni variabile dinamica f viene associato un operatore
lineare fˆ, che agisce nello spazio H delle funzioni d’onda. Un operatore lineare fˆ soddisfa
per definizione,
(2.39)
fˆ(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 fˆψ1 + c2 fˆψ2 ,
dove c1 c2 sono costanti complesse arbitrarie.9 Le relazioni di Heisenberg implicano l’introduzione del concetto di una media quantistica, o valore d’aspettazione di un operatore
in un dato stato. Esso può essere definito, nel caso dell’operatore di posizione, come
Z
Z
2
hqiψ = dq q |ψ(q)| = dq ψ ∗ (q) q ψ(q),
(2.40)
8 Al contrario, il prodotto tra l’indeterminazione di p un istante prima e l’indeterminazione di z immediataz
mente dopo il passagio dell’elettrone per la fenditura, nel secondo esempio discusso qui, ha solo un significato
filosofico, non essendo tale prodotto utilizzabile come condizione iniziale per processi successivi.
9 Esempi: la funzione d’onda di una particella in tre dimensioni ha la forma ψ(r, t); gli operatori differenziali
∂
∂2
, ∂ , ∂ , .. ∇2 = ∂x
2
∂t ∂x ∂z
Q̂ψ = ψ2 non è lineare.
+
∂2
∂y 2
+
∂2
,
∂z 2
sono operatori lineari; l’operatore ψ → U (r)ψ è lineare, mentre
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
41
visto che |ψ(q)|2 è la densità di probabilità. Generalizzando, è naturale definire il valor
medio dell’operatore generico fˆ nello stato ψ con
Z
hψ|fˆ|ψi = dq ψ ∗ (q) fˆ ψ(q);
(2.41)
ma la relazione tra questa quantità e la media dei risultati sperimentali della variabile f non
è ovvia.
Infatti, il risultato di una singola misura della variabile dinamica f è uno degli autovalori di fˆ, fn :
fˆψn = fn ψn ,
||ψn || = 1.
(2.42)
Le autofunzioni ψn descrivono gli autostati dell’operatore: stato in cui la misura di f dà
con certezza il valore fn .
Un generico stato è descritto da una combinazione lineare
X
ψ(q) =
cn ψn (q).
(2.43)
n
di autostati {ψn }. Il secondo
Postulato Fondamentale della Meccanica Quantistica
asserisce che la probabilità di ottenere il risultato fn nella misura di f fatta nello stato
(2.43) è data da
Pn = |cn |2
(2.44)
Facendo uso dell’ortonormalità degli autostati10
Z
hψn |ψm i = dq ψn∗ ψm = δn m ,
(2.45)
(l’ortogonalità degli autostati relativi ad autovalori diversi sarà dimostrata nella sezione
successiva), la condizione della normalizzazione dello stato ψ,
||ψ|| = 1,
implica che
X
n
Pn =
X
n
|cn |2 = 1.
(2.46)
Segue allora che il valore d’aspettazione dell’operatore fˆ nello stato ψ, (3.84), è uguale a
Z
X
X
ˆ
hψ|f |ψi = dq ψ ∗ (q) fˆ ψ(q) =
|cn |2 fn =
Pn fn ,
(2.47)
n
n
dove abbiamo usato la linearità dell’operatore. (2.47) è giustamente la quantità da confrontare con il risultato mediato delle misure ripetute.
Una formula alternativa per la probabilità (2.44) è
Pn = |hψn |ψi|2
(2.48)
visto che il coefficiente dello sviluppo, usando la relazione di ortonormalità, (2.45), è
uguale a
Z
hψn |ψi ≡ dq ψn (q)∗ ψ(q) = cn .
(2.49)
In altre parole, la probabilità di trovare un determinato risultato nella misura di f è il
modulo quadrato della proiezione della funzione d’onda su relativa autofunzione.
10 Nelle
(2.45), (2.47), (2.49) introduciamo la notazione di Dirac, con i “ket”, |i, e i “bra”, h|.
42
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
2.1.4 Risultati reali per una misura; Operatori Hermitiani
Il fatto che il risultato di misura di una quantità fisica sia un numero reale, impone una
condizione particolare sull’operatore associato. Infatti, visti i postulati della meccanica
quantistica, fˆ deve essere tale che i suoi autovalori fn (i.e., possibili risultati sperimentali)
e di conseguenza il suo valor medio siano in qualsiasi stato reali.
Prima di tutto definiamo il trasposto f T di un operatore. Dato uno stato ψ, se esiste
una funzione χ ∈ H tale che per qualsiasi φ ∈ H vale la relazione
Z
Z
∗
dq (f φ ) ψ = dq φ∗ χ,
(2.50)
allora
χ ≡ f T ψ.
(2.51)
f † ≡ (f T )∗ = (f ∗ )T .
(2.52)
f † = f,
(2.53)
Il coniugato Hermitiano di un operatore è definito come
Un operatore è Hermitiano se
i.e., se
hφ|f ψi = hψ|f φi∗ ≡ hf φ|ψi,
∀ψ, φ ∈ H.
(2.54)
∗
Per un operatore Hermitiano f si ha infatti hf i = hf i , prendendo ψ = φ in (2.54). In
particolare, per ψ = ψn , si trova fn∗ = fn , come richiesto.
Nota:
L’Hermiticità di f è anche necessaria. Infatti, supponiamo che valga hψ|f |ψi = hψ|f |ψi∗ per
qualsiasi ψ. Ponendo ψ = χ + eiα φ, troviamo che
eiα hχ|f |φi + e−iα hφ|f |χi ∈ R,
(2.55)
(reale) per qualsiasi valori di α costante reale. Segue che
hφ|f |χi = hχ|f |φi∗ ,
(2.56)
per ogni scelta di χ, φ, che significa che f è Hermitiano, per definizione ((2.54)).
Arriviamo alla conclusione che ad ogni variabile dinamica è associato un operatore
lineare e Hermitiano.
Esempi: l’operatore x, y, x2 , i∂/∂x, i∂/∂t ecc., sono Hermitiani; ∂/∂x non è Hermitiano.
Teorema: Gli autostati corrispondenti ad autovalori diversi di un operatore Hermitiano
sono ortogonali.
Dall’eq.(2.42) segue
Z
Z
∗
∗
dq ψm
f ψn = fn dq ψm
ψn ;
(2.57)
e un’analoga relazione in cui n e m sono scambiati,
Z
Z
dq ψn∗ f ψm = fm dq ψn∗ ψm .
Prendendo ora la combinazione, (2.57) - (2.58)∗, si trova
Z
Z
∗
∗
(fn − fm ) dq ψm ψn = dq ψm
(f − f † )ψn = 0,
dove è stato usato il fatto che {fn } sono numeri reali, e f † = f . Segue
Z
∗
dq ψm
ψn = 0, se fn 6= fm .
(2.58)
(2.59)
(2.60)
♠
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
43
2.1.5 Prodotti di operatori, Commutatori, Osservabili compatibili
Il prodotto di due operatori è definito da
f gψ ≡ f (gψ).
(2.61)
In generale gli operatori f g e gf sono diversi. Il commutatore tra due operatori f e g è
definifto da
[f, g] ≡ f g − gf.
(2.62)
Se [f, g] = 0, i due operatori commutano.
Inoltre, i commutatori soddisfano all’identità di Jacobi,
[f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0
(2.63)
(cfr. vedi 1.2.2.)
Nella discussione delle osservabili gioca un ruolo importante il seguente
Teorema:
Se due operatori f e g commutano, esiste una base di stati ortonormali e completi {ψn }
tale che
f ψn = fn ψn ; gψn = gn ψn .
(2.64)
In altre parole si possono trovare gli stati che sono simultaneamente autostati sia di f che
di g. I due operatori corrispondono perciò a due quantità fisiche (osservabili) compatibili,
che possono avere simultaneamente valori definiti.
Dimostrazione: Nel sottospazio di autostati di g con determinato autovalore gn , ψni
g ψni = gn ψni :
i = 1, 2, . . . ,
(2.65)
g agisce come un operatore unità (a parte una moltiplicazione di un numero),
Z
Gij = dq ψ j∗ g ψ i = gn δij .
L’operatore f in questo sottospazio in generale non è diagonale,
f ψni = Fij ψnj ,
(2.66)
dove abbiamo utilizzato la linearità di f e il fatto che f e g commutano, per concludere che
f ψni è un autostato di g con autovalore gn . Dal fatto che l’operatore f è Hermitiano segue
che (sopprimendo l’indice n)
Z
Z
Z
j∗
i
∗ j∗
i
Fij = dq ψ f ψ = dq (f ψ )ψ = ( dq ψ i∗ f ψ j )∗ = Fji∗ :
F è una matrice Hermitiana. Una matrice Hermitiana può essere diagonalizzata con un
atrasformazione unitaria
φi = (U −1 )ij ψ j = Uij† ψ j ,


f1 0 · · ·
 0 f2 . . .


U † FU = F̃ =  .
.. . .  ,
 ..
.
.
0 0 ...
ψ i = Uij φj ,
U † U = U U † = 1.
(2.67)
(2.68)
(2.69)
Nella nuova base,
f φi
= Uij† f ψ j = Uij† Fjk ψ k = Uij† Fjk Ukl φl
= (U † F U )il φl = fi φi .
(2.70)
44
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Chiramente una matrice unità Gij è invariante per qualsiasi trasformazione unitaria, perciò
gli stati φi sono autostati simutanei di f e di g.
In breve, si tratta semplicemente di diagonalizzare l’operatore f nello spazio di autostati
(degeneri) appartenenti ad un autovalore di g, o vice versa.
♠
Ricapitolando, se [f, g] = 0, i due operatori corrispondono a due quantità fisiche di cui
valori possono essere simultaneamente precisati: sono simultaneamente osservabili con
arbitraria precisione e non sono condizionate dalle relazioni d’indeterminazione.
La discussione sopra chiaramente può essere generalizzata al caso di più operatori che
commutano tra di loro. Partendo da un operatore qualsiasi, si arriva al concetto di osservabili massimali, i.e., un insieme massimale di tutte le variabili dinamiche {Oi } con relativi
operatori che commutano tra di loro. Gli autovalori di tale osservabili massimali forniscono una caratterizzazione completa dello stato. La scelta di tale insieme massimale di
osservabili non è in generale univoca.
Vice versa, la relazione di Heisenberg si riferisce, appunto, a coppie di variabili dinamiche che non commutano, e in particolare a coppie canoniche delle variabili (vedi
Sez. 2.1.6).
Esercizio:
Il valor medio di un operatore di forma A† A in qualsiasi stato è semipositivo definito.
Z
Z
hA† Aiψ = dq ψ ∗ A† A ψ = dq |A ψ|2 ≥ 0.
(2.71)
Esercizio: Dimostrare
(A B)† = B † A†
2.1.6 Operatori di posizione e di impulso, Commutatori fondamentali,
Relazione di Heisenberg
L’operatore di posizione (coordinate generalizzate) agisce in modo semplice
q̂ ψ(q, t) = q ψ(q, t),
(2.72)
esso corrisponde alla moltiplicazione di q (questo fatto era implicito nella definizione di
hqi.)
L’operatore dell’impulso canonicamente coniugato a q è
p̂ = −i ~
∂
,
∂q
(2.73)
e per una particella in tre dimensione,
p = −i~∇
(2.74)
Segue che le due variabili canonicamente coniugate soddisfano la relazione di commutatore,
[q̂, p̂] = i ~ .
(2.75)
Per una particella in tre dimensione,
[xi , pj ] = i ~ δij .
(2.76)
Le componenti di q̂ commutano tra loro, ed cosı̀ anche le componenti di p̂:
[xi , xj ] = [pi , pj ] = 0.
Osservazione
(2.77)
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
45
La somiglianza tra queste relazioni e quelle soddisfatte da parentesi di Poisson in meccanica classica, (1.37), non è casuale. Dal punto di vista formale, infatti, la meccanica
quantistica può essere vista come una deformazione,
{f, g} →
1
[f, g],
i~
(2.78)
della meccanica classica, espressa in termini di parentesi di Poisson.
Relazione di Indeterminazione di Heisenberg
Ora che abbiamo definito operatori, l’azione di un operatore sugli stati, i commutatori
tra operatori e il valor medio di un operatore in uno stato, siamo finalmente in grado di
dimostrare la relazione di Heisenberg in modo più rigoroso. La discussione della sezione
2.1.2 lasciava molti punti oscuri. Dimostriamo infatti che, per una qualsiasi coppia di
operatori Hermitiani Q, P che soddisfano
[Q, P ] = i~,
(2.79)
è valida la relazione di Heisenberg, (2.85) qui sotto. Si noti il fattore 21 .
L’indeterminazione di Q o di P è definito da
∆Q ≡
dove
p
h(Q − Q0 )2 i,
Q0 = hQi = hψ|Q|ψi;
∆P ≡
p
h(P − P0 )2 i,
P0 = hP i = hψ|P |ψi,
(2.80)
sono i valor medi dei due operatori nello stato ψ. Consideriamo un operatore
A = Q − Q0 + iα(P − P0 ),
(2.81)
dove α è un numero reale qualsiasi. Facendo uso del fatto che
hψ|A† A|ψi ≥ 0,
(2.82)
h(Q − Q0 )2 i − α~ + α2 h(P − P0 )2 i ≥ 0,
(2.83)
per qualsiasi operatore A, si ha
una disuguaglianza valida per qualsiasi α. Un’espressione quadratica è semidefinita positiva quando il suo discriminante è negativo o zero:
~2 − 4(∆Q)2 · (∆P )2 ≤ 0;
(2.84)
i.e.,
∆Q · ∆P ≥
~
,
2
(2.85)
dove abbiamo definito lo scarto quadrato come media sullo stato in questione,
(∆Q)2 ≡ h(Q − Q0 )2 i = hQ2 − Q20 i = hQ2 i − hQi2 ,
(2.86)
(∆P )2 ≡ h(P − P0 )2 i = hP 2 |i − h|P i2 .
(2.87)
♠
46
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
2.1.7 Evoluzione del sistema, Equazione di Schrödinger
L’evoluzione temporale degli stati deve essere descritta da un’equazione lineare, come abbiamo già accennato. L’equazione fondamentale della meccanica quantistica che descrive
l’evoluzione temporale dello stato, Equazione di Schrödinger , è:
i~
∂
ψ(q, t) = Ĥ(q̂, p̂; t) ψ(q, t)
∂t
(2.88)
dove Ĥ è l’operatore dell’energia, l’Hamiltoniana. La (2.88) sostituisce l’equazione di
Newton. Per ipotesi, l’Hamiltoniana Ĥ è uguale a,
Ĥ(q̂, p̂; t) = H(q, p; t)|q→q̂=q; p→p̂=−i~ ∂
∂q
(2.89)
dove H(q, p; t) è la Hamiltoniana classica.
In altre parole, la regola fondamentale della meccanica quantistica è l’associazione
∂
;
∂t
H → i~
pi → −i ~
∂
∂xi
(2.90)
La relazione tra l’impulso e l’energia,
H = H(q, p; t)
(2.91)
2
p
(per es., H(q, p) = 2m
+ V (q)) si traduce in una condizione sullo stato fisico (funzione
d’onda), che è l’equazione di Schrödinger.11
Onda piana
È possibile dare una motivazione euristica per questa procedura, considerando un’onda piana
ψ0 = cost.e−i(ωt−τ x) ,
(2.92)
che rappresenta una luce monocromatica con polarizzazione fissa. L’idea è di considerarla come
∂
soluzione di un’equazione quantistica. Applicando i~ ∂t
su ψ0 si ha
i~
∂
ψ0 = ~ ω ψ0 = h ν ψ0
∂t
(ω = 2πν).
(2.93)
Ma sappiamo che per (il quanto di) una luce monocromatica h ν è la sua energia, hν = E ,
i~
∂
ψ0 = E ψ0 :
∂t
(2.94)
i.e., l’autovalore di H è l’energia. D’altra parte, la relazione di de Broglie rivela che
τ=
2π
p
= ,
λ
~
(2.95)
di conseguenza
∂
ψ0 = p ψ0 .
(2.96)
∂x
∂
è l’operatore che rappresenta l’impulso.
Questa relazione suggerisce che −i~ ∂x
Inoltre, tra l’autovalore di energia E = h ν e quello dell’impulso p = h/λ esiste una nota
relazione E = p c, la relazione cinematica (relativistica) corretta tra l’energia e l’impulso di una
particella libera e senza massa (fotone).
L’equazione quantistica in questione è l’equazione di D’Alembert,
−i ~
[
11 È un fatto
1 ∂2
− ∆ ]ψ = 0,
c2 ∂t2
(2.97)
misterioso, che queste regole scoperte nell’ambito di meccanica quantistica non relativistica, hanno
∂
una struttura perfettamente compatibile con il principio della relatività speciale, pµ → i ~ ∂x
µ . Tale è la base
delle equazioni relativistiche, come l’equazioni di Dirac, o quella di Klein-Gordon.
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
47
che non è altro che l’equazione di Maxwell nel vuoto per i potenziali scalare e vettoriale (ψ = φ, Ai )
nella gauge di radiazione. Nel caso nonrelativistico si ottiene l’equazione di Schrödinger.
Questa osservazione euristica per la legge della meccanica quantistica non è che uno dei modi per
vedere la sua ragionevolezza, e in nessun modo la giustifica né dimostra la sua unicità. L’aspetto non
“usuale”, rispetto alla legge classica, tuttavia, riflette semplicemente il fatto che la nostra intuizione
è basata (o meglio, si è evoluta basandosi) sulle esperienze su scala macroscopica (la sensazione
che il moto di una particella abbia una traiettoria ben marcata, etc.). Tale intuizione è decisamente
inadeguata al mondo atomico. In ultima istanza, la giustificazione delle leggi di meccanica quantistica
è la sua correttezza empirica, i.e., sta nelle innumerevoli conferme sperimentali, come del resto lo è
l’equazione di Newton.
La correttezza e consistenza dell’equazione di Schrödinger e della regola di meccanica quantistica si può verificare tuttavia anche dal fatto che essa dà il risultato classico corretto, nel limite ~ → 0
(vedi dopo).
Esempi:
• Per una particella in tre dimensioni,
H=
~2 2
p2
+ V (r) = −
∇ + V (r)
2m
2m
(2.98)
ed è Hermitiano.
•
•
p2
+ g r · p,
p = −i ~ ∇,
2m
non è Hermitiano, pertanto non è accettabile come buona Hamiltoniana;
H=
p2
g
+ (r · p + p · r)
2m 2
è invece Hermitiano ed è accettabile come operatore quantistico.
H=
(2.99)
(2.100)
Quest’ultimo esempio mette in chiara luce il problema di “operator-ordering”, una sorta di ambiguità nel trovare l’operatore Hamiltoniano, per l’Hamiltoniana classica di un
sistema.
Consideriamo ora i sistemi per i quali l’Hamiltoniana è indipendente dal tempo,
H = H(q̂, p̂; 6 t).
(2.101)
Hψn = En ψn ,
(2.102)
L’equazione agli autovalori per H,
è chiamata anche essa equazione di Schrödinger, o equazione di Schrödinger indipendente
dal dal tempo, En autovalori d’energia. Ora,
Z
Z
d
d
d
En =
dq ψn∗ En ψn =
dq ψn∗ Hψn
dt
dt
dt
Z
1
=
dq ψn∗ [H, H]ψn = 0,
(2.103)
i~
perciò
En = cost.
(2.104)
Gli autovalori di energia di un’Hamiltoniana indipendente dal tempo sono costanti del
moto, da cui il nome stati stazionari per autostati corrispondenti.
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
48
La funzione d’onda di uno stato stazionario dipende dal tempo, ma in modo semplice.
Risolvendo l’eq. di Schrödinger, (2.88), si ha in questi casi
ψn (t) = e−iEn t/~ ψn (0),
(2.105)
dove ψn (0) è la funzione d’onda all’istante t = 0.
La soluzione generale della eq. (2.88) per uno stato generico ψ (i.e., non necessariamente stazionario) è data da:
X
ψ(t) =
an e−iEn t/~ ψn (0).
(2.106)
n
dove i coefficienti dello sviluppo sono determinati dalla condizione al contorno, ψ(t)|t=0 =
ψ(0),
X
ψ(0) =
an ψn (0),
an = hψn |ψ(0)i.
n
Più in generale, la dipendenza temporale del valor medio di un operatore O in uno stato
ψ,
hOiψ ≡ hψ|O|ψi ≡
è data da:
Z
dq ψ ∗ Oψ,
∂
1
d
hOiψ = hψ|( O + [O, H])|ψi.
dt
∂t
i~
(2.107)
(2.108)
Segue dunque che se (∂/∂t)O = 0, e se l’operatore commuta con H, allora
d
hOiψ = 0.
dt
(2.109)
In questo caso l’operatore O è conservato. È interessante notare la somiglianza dell’eq.(2.108)
con l’equazione che descrive la dipendenza temporale di una variabile nella meccanica
classica, in termini di parentesi di Poisson.
Esercizio: Verificare l’eq.(2.103), l’eq.(2.106) e l’eq.(2.108).
2.1.8 Spettro continuo; la funzione delta di Dirac; autostati di posizione
Finora gli autovalori di operatori sono stati assunti discreti. In meccanica quantistica, certi
operatori prendono autovalori continui (per es., l’operatore della posizione, r, l’energia per
l’elettrone non legato, ecc.). L’equazione agli autovalori prende la forma
fˆψf (q) = f ψf (q)
(2.110)
dove ora f prende valori continui. (cfr. (2.42)) Una funzione generica può essere sviluppata
in termini di autostati ψf
Z
ψ(q) =
df a(f )ψf (q)
(2.111)
(cfr. (2.43)). La probabilità di trovare il risultato tra f e f + df nello stato ψ è
dP = |a(f )|2 df.
(cfr. (2.44)). Poiché la probabilità totale è uno,
Z
df |a(f )|2 = 1;
(2.112)
(2.113)
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
mentre la condizione di normalizzazione della funzione d’onda è
Z
dq ψ(q)∗ ψ(q) = 1.
49
(2.114)
La relazione di “ortonormalità” degli autostati è più sottile nel caso di spettro continuo.
Sostituendo il coniugato complesso di (2.111) nell’eq.(2.114) si trova
Z
Z
∗
1 = df a(f ) [ dq ψf∗ (q)ψ(q)],
(2.115)
da cui (cfr. (2.113))
Z
dq ψf∗ (q)ψ(q) = hf |ψi = a(f ),
(2.116)
che è analogo dell’eq.(2.49). Un’ulteriore sostituzione dell’eq.(2.111) in (2.116) da luogo
ad una relazione di consistenza:
Z
Z
(2.117)
a(f ) = df ′ a(f ′ )[ dq ψf∗ (q)ψf ′ (q)].
Nel caso di autovalori discreti, la relazione di ortonormalizzazione (2.60) segue da una
analoga equazione. Perché l’eq.(2.117) sia valida per qualsiasi a(f ), l’espressione dentro
la parentesi quadrata
essere identicamente nulla per f 6= f ′ . D’altra parte l’integrale
R deve
′
′
′
su f deve ridare df a(f )[. . .] = a(f ) : è evidente che [. . .] non può essere una funzione
nel senso normale. Tale funzione generalizzata o distribuzione è stata introdotta da Dirac e
si chiama funzione δ(x) di Dirac.
Definizione
δ(x) = 0; x 6= 0; δ(0) = ∞;
(2.118)
e
Z
b
dx δ(x)g(x) =
a
(
g(0), se a < 0 < b;
0,
altrimenti,
(2.119)
♠
per una funzione qualsiasi g(x) continua a x = 0.
Segue dalla definizione
(
Z b
g(c),
dx δ(x − c)g(x) =
0,
a
se a < c < b;
altrimenti.
(2.120)
Alcune tra le più importanti proprietà della funzione delta sono:
δ(−x) =
δ(ax)
=
f (x)δ(x − y) =
xδ(x)
=
d
θ(x)
dx
=
δ(f (x))
=
δ(x);
1
δ(x);
|a|
f (y)δ(x − y);
0;
δ(x);
r
X
i=1
La funzione δ(x) è pari, perciò
Z
0
θ(x) =
(
1, sex ≥ 0;
0, sex < 0;
1
δ(x − xi ),
|f ′ (xi )|
∞
dx δ(x) f (x) =
f (xi ) = 0, i = 1, 2, . . . r. (2.121)
1
f (0).
2
(2.122)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
50
La funzione delta può essere definita come limite di una funzione. Alcuni esempi (le
operazioni di limite vanno fatte fuori l’integrazione):
2
2
1
δ(x) ≡ lim √ e−x /ǫ ;
ǫ→0
πǫ
(2.123)
sin(Lx)
;
L→∞
πx
(2.124)
sin2 (Lx)
;
L→∞ πLx2
(2.125)
ǫ
1
;
2
π ǫ + x2
(2.126)
P
1
=
+ π i δ(x),
x−iǫ
x
(2.127)
δ(x) ≡ lim
δ(x) ≡ lim
δ(x) = lim
ǫ→0+
dove P è il valore principale di Cauchy.
Dimostrazione di (2.124): Supponiamo che a < 0 < b.
lim
L→∞
Z
a
b
dx
sin(Lx)
f (x) =
πx
=
=
lim
L→∞
Z
b
dx
a
sin(Lx)
(f (0) + xf ′ (0) + . . .)
πx
b
sin(Lx)
1
lim [f (0)
dx
+ O( )]
L→∞
πx
L
a
Z
sin z
f (0) ∞
= f (0),
dz
π
z
−∞
Z
(2.128)
dove l’ultimo integrale può essere calcolato con il metodo di integrale nel piano complesso.
Vedi il Complimento di questa Sezione.
♠ La dimostrazione di (2.125) è analoga.
(Dimostratela)
In termini di funzione δ(x), la relazione di “ortonormalità” nel caso di autovalori
continui dunque prende la seguente forma:
Z
(2.129)
dq ψf∗ (q)ψf ′ (q) = δ(f − f ′ ).
(cfr. (2.45) nel caso di autovalori discreti.)
Un’importante applicazione della funzione delta è il seguente integrale,
Z ∞
′
dx eix(k−k ) = 2π δ(k − k ′ ),
(2.130)
−∞
e analogamente in tre dimensioni
Z
′
dr ei(k−k )·r = (2π)3 δ 3 (k − k′ ).
(2.131)
Sfruttando questi risultati si può dimostrare la formula inversa delle trasformazioni di
Fourier: se
Z ∞
F (x) =
dk e−ikx F̃ (k),
(2.132)
−∞
la trasformata di Fourier di F (x), F̃ (k), è data da:
Z ∞
1
dx eikx F (x).
F̃ (k) =
2π −∞
(2.133)
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
51
2.1.9 Relazione di Completezza
Esistono delle relazioni di completezza, in un certo senso duali alle relazioni di ortonormalità. Sostituendo (2.116) in (2.111) troviamo infatti
Z
Z
ψ(q) = dq ′ ψ(q ′ ) [ df ψf∗ (q ′ )ψf (q)];
(2.134)
la consistenza richiede allora che sia valida la seguente relazione
Z
df ψf (q)ψf∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ )
(2.135)
(chiamata relazione di completezza). Il secondo membro è simbolico: per una particella in
tre dimensione, q → r, per esempio
δ(q − q ′ ) → δ 3 (r − r′ ) ≡ δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ ).
Analogamente per autovalori discreti troviamo
X
ψn (q)ψn∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ ).
(2.136)
(2.137)
n
Infine, per un operatore che possiede sia autovalori discreti (detti propri) che autovalori
continui (detti impropri) vale la relazione di completezza,
Z
X
ψn (q)ψn∗ (q ′ ) + df ψf (q)ψf∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ ).
(2.138)
n
Il significato della completezza delle autofunzioni {ψn } sta nel fatto che qualsiasi stato
ψ può essere sviluppato in termini di esse:
Z
Z
X
X
ψ(q) =
an ψn (q)+ df a(f ) ψf (q) =
hn|ψi ψn (q)+ df hf |ψi ψf (q). (2.139)
n
n
2.1.10 Autostati di posizione; autostati di impulso
Gli autostati di posizione sono dati in termini di funzione delta. In una dimensione,
ψx0 (x) = δ(x − x0 ),
(2.140)
rappresenta una particella localizzata in x0 (questo è ovvio intuitivamente), e soddisfa
xψx0 (x) = x0 ψx0 (x) grazie alla proprietà della funzione delta. L’insieme di autostati
ψx0 (x) soddisfano le relazioni (2.129) e (2.136), come si verifica facilmente facendo uso
di (2.121).
L’operatore di impulso è
p̂ = −i~∇.
(2.141)
Autostati dell’impulso sono dati da:
ψp0 (r) =
ip0 ·r
1
e ~ ,
3/2
(2π~)
(2.142)
dove p0 è un vettore numerico (i.e., non un operatore). ψp0 soddisfa l’equazione agli
autovalori,
(2.143)
p̂ ψp0 = p0 ψp0 .
In generale, gli autovalori dell’impulso sono continui: la relazione di ortonormalità (con la
particolare normalizzazione degli autostati (2.142) ) è:
Z
(2.144)
dr ψp∗ (r) ψp′ (r) = δ 3 (p − p′ );
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
52
mentre la completezza di stati {ψp } si esprime come
Z
dp ψp (r) ψp∗ (r′ ) = δ 3 (r − r′ ).
(2.145)
Dimostriamo ora la relazione (omettendo il simbolo “cappello” )
H(r + r0 , p) = e
ip·r0
~
H(r, p)e
−ip·r0
~
,
(2.146)
per un operatore qualsiasi.
Dimostrazione: È sufficiente considerare il caso di una dimensione: calcoliamo
G(x, α) ≡ e
ipα
~
F (x)e
−ipα
~
;
p ≡ −i~
d
.
dx
(2.147)
G(x, 0) = F (x) ovviamente. La prima derivata rispetto ad α a α = 0 è
ipα
−ipα
d
G(x, α)|α=0 = e ~ [ip/~, F (x)]e ~ |α=0 = F ′ (x),
dα
(2.148)
dove è stato usato il commutatore,
[ip/~, F (x)] = [
d
d
d
, F (x)] =
· F (x) − F (x)
= F ′ (x).
dx
dx
dx
(2.149)
Analogamente si trova che
d2
G(x, α)|α=0 = F ′′ (x),
dα2
(2.150)
ecc. Si ottiene cosı̀
G(x, α) =
X αn dn
X αn dn
G(x, α)|α=0 =
F (x) = F (x + α).
n
n! dα
n! dxn
n
n
(2.151)
La formula (2.146) dimostra che l’operatore di impulso genera la traslazione della posizione. Applichiamo ora questa formula all’Hamiltoniana. Se l’Hamiltoniana è invariante
per traslazione, i.e.,
H(r + r0 , p) = H(r, p),
(2.152)
allora
H(r, p) = e
ip·r0
~
H(r, p)e
−ip·r0
~
.
(2.153)
Sviluppando il secondo membro in r0 al primo ordine, si ottiene
[pi , H] = 0 :
(2.154)
cioè, se il sistema è invariante per traslazione l’impulso commuta con l’Hamiltoniana: esso
è conservato (vedi (2.108)). Questo risultato generalizza un’analoga e ben nota relazione
tra l’invarianza per traslazione e la conservazione dell’impulso in meccanica classica.
Notiamo infine che le proprietà degli autostati dell’impulso e quelli della posizione sono
in accordo con le relazioni di Heisenberg. Infatti, nello stato ψp0 l’impulso della particella
è ben definito; in compenso la sua posizione è completamente indefinita, e come si vede da
|ψp0 |2 = cost.. Viceversa, nell’autostato della posizione ψx0 (x) = δ(x − x0 ) la posizione
è perfettamente definita mentre l’impulso è del tutto indefinito, come risulta dallo sviluppo
di Fourier,
Z
′
1
3
′
d3 p eip·(r−r )/~ a(p);
a(p) = 1.
(2.155)
δ (r − r ) =
3
(2π~)
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
53
Nota e Riflessione
Uno studente attento avrà notato che autostati che appartengono ad uno spettro continuo (autovalori continui) non sono normalizzabili. (Per esempio si paragoni (2.4) con
(2.144).) Possono essere tali stati considerati “fisici” o comunque accettabili in meccanica
quantistica, in vista dell’interpretazione di funzione d’onda, discussa in Sec.2.1.1?
Dal punto di vista matematico, in meccanica quantistica si avrà in generale a che fare con uno spazio vettoriale (di funzioni d’onda) di infinita dimensione; le operazioni di
somma, limite, ecc. vanno definite in modo consistente in tale spazio. Questo rende indispensabile considerare spazi chiusi, i.e., spazi che contengono, insieme ad ogni successione
{ψN }, N = 1, 2, . . . , ψN ∈ H, anche il suo limite limN →∞ ψN come suo elemento. Le
proprietà di questi spazi (spazi di Hilbert) saranno discusse con più esattezza in Sec.??. Gli
autostati dell’impulso (in una dimensione) in certo senso possono essere considerati come
limiti di una successione,
ψN = cost. eikx e−(x−x0 )
2
/d2 N 2
,
N = 1, 2, 3, . . .
(2.156)
C’è una differenza evidente, dal punto di vista fisico, tra autostati di energia con autovalori discreti e quelli corrispondenti allo spettro continuo. I primi, avendo funzioni d’onda
normalizzabili, descrivono infatti stati legati, i.e., stati in cui la particella è confinata in una
regione finita dello spazio; la probabilità per trovare la particella si annulla a |r| → ∞.
Vice versa, i secondi, con |ψ|2 → cost. a |r| → ∞, descrivono stati di scattering.
Ovviamente i concetti come onda piana (con loro infinita estensione spaziale) o particella completamente localizzazta in un punto spaziale, sono un’idealizzazione. Nessun
sistema fisico ha realmente un’estensione infinita, per esempio. Nonostante ciò, è auspicabile, ed è il caso in molte teorie fisiche (la meccanica quantistica inclusa ), che la struttura matematica di una teoria fisica sia tale che la descrizione di situazioni idealizzate
sia naturalmente contenuta nella teoria stessa, spesso in modo particolarmente semplice e
elegante.
2.1.11
Problemi
1. Si dimostri che:
a) (f † )† = f ;
b) (f g)† = g † f † ;
c) [f, gh] = g[f, h] + [f, g]h,
[f g, h] = f [g, h] + [f, h]g;
d) x è un operatore hermitiano;
∂
è un operatore hermitiano;
e) −i ∂x
f) Se f e g sono hermitiani, lo sono anche f g + gf e i[f, g];
g) Le seguenti matrici sono hermitiane:
0 1
0
σ1 =
σ2 =
1 0
i
−i
0
σ3 =
mentre σ1 σ2 è antihermitiana.
h) Per tre operatori qualsiasi fˆ, ĝ, ĥ vale l’identità di Jacobi:
[[fˆ, ĝ], ĥ] + [[ĝ, ĥ], fˆ] + [[ĥ, fˆ], ĝ] = 0
1 0
0 −1
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
54
i) Si ricavi il passaggio dalle parentesi di Poisson classiche a quelle quantistiche (commutatori tra operatori) assumendo che le loro proprietà siano le stesse. Si usi in
particolare la proprietà:
{f, gh} = g{f, h} + {f, g}h
e si assuma che la parentesi di Poisson quantistica di grandezze hermitiane sia hermitiana
e che le dimensioni fisiche delle parentesi di Poisson siano le stesse nel caso classico
e in quello quantistico.
j) Se A è un operatore qualsiasi A† A ha autovalori non negativi.
2. Verificare le proprietà della funzione δ(x), (2.121).
3. Si trovino le espressioni esplicite dei seguenti operatori:
3
2
1
d
d
;
+x
+
;
dx
dx x
2
d
x
dx
[i~∇ + A(r)]2
;
;
2
d
x
dx
(L − M )(L + M )
4. Si trovino le regole di commutazione dei seguenti operatori:
x,
d
dx
;
i~∇, A(r)
∂
, f (r, θ, ϕ)
∂ϕ
;
5. Si trovi l’hermitiano coniugato degli operatori:
∂
∂x
;
∂n
∂xn
6. Dati due operatori L ed M che soddisfano [L, M ] = 1 si calcolino:
[L, M 2 ]
;
[f (L), M ].
7. Dati due operatori A e B che non commutano, con A invertibile, provare che:
a) A−1 B 2 A = (A−1 BA)2 ;
b) A−1 B n A = (A−1 BA)n ;
c) A−1 f (B)A = f (A−1 BA).
8. Siano c un numero e ζ un parametro. Dimostrare che:
implica eζA Be−ζA = B + Cζ
[A, B] = c
9. Trovare le autofunzioni e gli autovalori dei seguenti operatori:
d
dx
;
d
dx
;
x+
d
dϕ
;
eia dϕ
i
cos
d
d
dx
;
;
(Suggerimento per l’ultimo: fate agire l’operatore su
f (x).)
d
dϕ
;
sin
d
dϕ
2 d
d2
+
dx2
x dx
f (x)
x
e studiate l’equazione per
2.1. PRINCÍPI E LEGGE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
55
z
C
z=0
Figura 2.3:
2.1.12 Complemento: Integrale nel piano complesso e teorema di residuo
L’integrale
I=
Z
∞
−∞
dz
sin z
z
nella (2.128) può essere valutato facilmente col metodo di integrale nel piano complesso.
Poiché l’integrando è analitico (olomorfo) attorno a z = 0, si può modificare il cammino
dell’integrazione, sostituendo un segmento di retta attorno all’origine con un semicerchio,
per evitare z = 0. (Fig. 2.3)
Z
Z
sin z
ei z
ei z
dz
I=
dz [
=
−
],
z
2iz 2iz
C
C
Ora che il cammino non passa a z = 0 si può spezzare l’integrale,
Z
Z
e−i z
ei z
dz
, I2 = −
,
dz
I = I1 + I2 ,
I1 =
2iz
2iz
C
C
e in ciascuno di Ii , i = 1, 2, aggiungiamo un semicerchio di raggio R (R → ∞), nel
semipiano superiore in I1 e nel semipiano inferiore per I2 (vedi le figure),
Z
Z
ei z
e−i z
dz
I1 =
dz
, I2 = −
.
2iz
2iz
C1
C2
Tale scelta è dettata dalla convergenza degli integrali a |z| → ∞. Il contributo da semicerchi grandi è trascurabile, per cui tale modifica non cambia il valore degli integrali. Secondo
il teorema del residuo (teorema di Cauchy), il primo integrale è zero, il secondo è uguale a
(−2 π i) volte il residuo a z = 0: perciò I1 = 0, I2 = π, I = I1 + I2 = π.
z=0
C2
C1
z=0
56
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
2.2 Equazione di Schrödinger: Proprietà Generali
In questo capitolo le proprietà generali dell’equazione di Schrödinger sono discusse e
saranno illustrate con alcuni sistemi uni-dimensionali.
2.2.1 Proprietà generali dell’Equazione di Schrödinger; Teorema di
Ehrenfest; Denisità e corrente di probabilità
Consideriamo una particella in tre dimensioni. L’equazione di Schrödinger indipendente
dal tempo
Hψ = Eψ,
(2.157)
dove
p2
~2 ∇2
+ V (r) = −
+ V (r).
(2.158)
2m
2m
è un’equazione differenziale del secondo grado. Di conseguenza la sua soluzione richiede
un’opportuna condizione al contorno sul valore della funzione d’onda e delle sue derivate
prime. In accordo con la sua interpretazione, richiederemo che la funzione d’onda sia
continua e monodroma, dappertutto. Imporremo tale continuità anche dove il potenziale V
risulta discontinuo, ma finito.
La condizione di continuità sulla derivata prima al punto r0 segue dall’equazione di
Schrödinger (scriviamo in una dimensione per semplicità, a x vicino a x0 )
H=
−
~2 ′′
ψ (x) = (E − V (x))ψ(x).
2m
(2.159)
Integrando infatti i due membri nell’intervallo [x0 − ǫ, x0 + ǫ], si ha
ψ ′ (x0 + ǫ) − ψ ′ (x0 − ǫ) ≃ 2 ǫ
2m
(E − V (x0 )) ψ(x0 ) → 0,
~2
(2.160)
se il potenziale è finito a x = x0 . Segue che la derivata prima della funzione d’onda è
continua, dappertutto nella regione dove il potenziale è finito. (Vedi la sezione 0.1.8 sulla
condizione di continuazione in presenza di potenziale di tipo δ(x − x0 ). )
Dalla proprietà
hp2 i ≥ 0,
(2.161)
valida per qualsiasi operatore di forma A† A, segue immediatamente che gli autovalori di
energia En soddisfano
En > Vmin ,
(2.162)
dove Vmin è il minimo del potenziale.
Supponiamo che V (r) → 0 a |r| → ∞, ma che il potenziale possa essere negativo a r
finito. Risulta che tutti gli stati con E < 0 corrispondono a livelli discreti, i.e., a stati legati.
La funziona d’onda non si annulla necessariamente nelle regioni classicamente proibite, i.e., dove E < V (r). Il valore di ψ è determinato dall’equazione di Schrödinger e
dalle opportune condizioni al contorno. Una conseguenza di questo fatto è che le particelle
possano infatti penetrare, con probabilità finita, le barriere di potenziale che sono insormontabili dal punto di vista classico (conservazione dell’energia). Questi fenomeni (effetto
tunnel), tra i più importanti che caratterizzano la Meccanica Quantistica, saranno discussi
in più occasioni in seguito.
Teorema di Ehrenfest
Consideriamo il moto di un pacchetto d’onda. L’Hamiltoniana è la (2). Dimostriamo
che:
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
57
I valor medi degli operatori della posizione r, dell’impulso p e del potenziale V (r)
soddisfano alle relazioni “classiche:
d
hmri = hpi;
dt
d
hpi = −h∇V i.
dt
(2.163)
Dimostrazione: per un operatore generico indipendente dal tempo, vale (vedi Sec.2.1)
i~
d
hOi = h[O, H]i.
dt
(2.164)
Per O = m r il commutatore è
[m r, H] = [m r,
p2
] = i ~ p,
2m
(2.165)
dove abbiamo usato i commutatori, [x, p2x ] = 2 px [x, px ] = 2 i ~ px, ecc, nonché il fatto
che r e V (r) commutano. Per O = p, invece, il commutatore [O, H] è uguale a
[p, V (r)] = −i~∇V.
(2.166)
♠
Ricapitolando, un pacchetto d’onda si muove secondo l’equazione di Newton, fatto che
appare giustificare l’identificazione di tale pacchetto con la distribuzione materiale di una
particella classica (Born). Tale identificazione è errata. Una funzione d’onda rappresenta
la distribuzione di probabilità. Si noti che un “frammento” dell’elettrone non è stato mai
osservato, la carica elettrica dell’elettrone è sempre e, mentre un pacchetto d’onda si può
facilmente spezzare in due, se lo mandiamo contro una barriera.
Densità di corrente; Equazione di continuità
|ψ(r)|2 ≡ ρ rappresenta la densità (di probabilità) della particella. Un’altra quantità
importante che ha una interpretazione fisica diretta è la densità di corrente o di flusso (di
probabilità), j.
Facendo uso dell’equazione di Schrödinger, si ha
d
|ψ|2
dt
=
=
=
=
∂
∂
1
ψ + ( ψ ∗ )ψ) =
(ψ ∗ Hψ − (H ∗ ψ ∗ )ψ)
∂t
∂t
i~
~2 ∇2 ∗
1 ∗ ~2 ∇2
[ψ (−
ψ) − (−
ψ )ψ]
i~
2m
2m
~2 ∇
~2 ∇ ∗
1
[∇ · {ψ ∗ (−
ψ)} + ∇ · {(
ψ )ψ}]
i~
2m
2m
−∇·j
(ψ ∗
dove
j=
i~
{(∇ψ ∗ )ψ − ψ ∗ ∇ψ},
2m
(2.167)
(2.168)
i.e.,
d
ρ+∇·j =0 :
dt
equazione di continuità. Se prendiamo un volume finito V nello spazio, si ha
I
Z
d
dS n · j,
d3 r |ψ|2 = −
dt V
∂V
(2.169)
(2.170)
(il teorema di Gauss). Queste relazioni permettono di interpretare j come densità di corrente
(di probablilità), le (13) e (14) come espressione della conservazione della probabilità.
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
58
Per una particella libera, rappresentata da un’onda piana (autostato dell’impulso),
i
ψp = e− ~ (Et−p·r) ,
si ha
j=
p
=v:
m
(2.171)
(2.172)
uguale alla velocità classica. La funzione d’onda che rappresenta un flusso unitario (in
media una particella attraverso una superficie unitaria in un intervallo unitario di tempo) è
i
allora data da ψp = √1v e− ~ (Et−p·r) .
Esercizio: Dimostrare che per una particella in un campo magnetico esterno B = ∇ × A,
j=
i
q
q
1 h ∗
ψ (p − A)ψ − {(p − A)ψ}∗ ψ .
2m
c
c
(2.173)
Dimostrare che esso è invariante di gauge, se la funzione d’onda si trasforma in modo
opportuno.
Teorema del Viriale
Il teorema del Viriale (1.74) in meccanica classica riguarda una media temporale dei termini cinetici e termini di potenziale. È interessante che esiste un teorema analogo in meccanica quantistica, che concerne le medie quantistiche dei vari termini dell’Hamiltoniana.
Per dimostrarlo, basta considerare il valor medio del commutatore
[ p x + x p, H ] = [ p x + x p,
p2
p2
+ V (x) ] = 2 (i~) [ 2
− xV ′ ]
2m
2m
(per semplicità di scrittura consideriamo il caso unidimensionale) in uno stato stazionario,
ψn . Il primo membro si annulla:
hψn | [ p x + x p, H ] |ψn i = hψn | ( p x + x p)|ψn i En − En hψn | ( p x + x p)|ψn i = 0,
dove abbiamo utilizzato la proprietà di un operatore Hermitiano H, che agisce a sinistra e
a destra ugualmente. Segue il teorema,
2 hψn |
p2
|ψn i = hψn | x V ′ |ψn i.
2m
(2.174)
La generalizzazione del teorema ai sistemi tridimensionali è immediata:
2 hψn |
p2
|ψn i = hψn | r · ∇V |ψn i.
2m
(2.175)
(cfr. (1.74)).
Teorema di Feynman-Hellman
In molti problemi ci sono uno o più parametri esterni; chiamiamolo g genericamente.
Gli autovalori di energia En (g) è una funzione di essi. Esiste un semplice teorema
∂En
=
∂g
∂V
∂g
,
(2.176)
n
valido se il parametro g appare solo nel potenziale. (Dimostratelo).
Tale teorema resta valido anche nel caso in cui il parametro esterno g varia lentamente
col tempo, e dà la variazione adiabatica dei livelli di energia col tempo.
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
59
2.2.2 Equazione di Schrödinger in una dimensione
L’equazione di Schrödinger per una particella che si muove in una dimensione è
~2 d2
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x).
−
2m dx2
(2.177)
Lo studio dell’eq.(21) è importante come laboratorio teorico per studiare varie situazioni fisiche che possono sorgere e per imparare il funzionamento della Meccanica Quantistica. Tuttavia, l’interesse in (21) è tutt’altro che accademico. Infatti, un problema dinamico tri-dimensionale si riduce effettivamente a quello uni-dimensionale, nel caso in cui il
potenziale ha una particolare forma,
V = V (x, 6 y, 6 z) :
(2.178)
se il potenziale dipende solo da x. La sostituzione ψ(x, y, z) = ψ(x)φ(y)η(z) in (2) infatti
dà luogo a una equazione
2 2
~ d
~2 d 2
~2 d 2
− 2m
− 2m
− 2m
dx2 + V (x) ψ(x)
dy 2 φ(y)
dz 2 η(z)
+
+
= E.
(2.179)
ψ(x)
φ(y)
η(z)
I tre termini del primo membro, ciascuno dipendente solo da una delle variabili, devono
essere costanti. L’equazione è risolta in termini di soluzioni di
~2 d2
+ V (x) ψ(x) = E1 ψ(x);
−
2m dx2
~2 d2
−
φ(y) = E2 φ(y);
2m dy 2
~2 d2
η(z) = E3 η(z);
−
2m dz 2
E = E1 + E2 + E3 ,
(2.180)
di cui la prima è proprio la (21) (le altre sono equazioni di Schrödinger libere).
L’equazione di Schrödinger tridimensionale si riduce, anche nei casi di potenziale a
simmetria centrale,
V = V (r),
(2.181)
(vedi Cap.0.1.1)
Esempi
• Per una particella libera, V (x) = 0, l’eq. di Schrödinger è
−
~2 ′′
ψ = Eψ,
2m
(2.182)
oppure
′′
2
ψ = −k ψ,
k=
r
2mE
;
~2
(2.183)
gli autostati dell’energia sono
e±ikx ,
(2.184)
o una combinazione lineare qualsiasi di questi due
ψ = Aeikx + Be−ikx ,
(2.185)
con k ≥ 0 arbitrario. La soluzione dipendente dal tempo è
ψ(x, t) = e−iEt/~ (Aeikx + Be−ikx ),
E=
k 2 ~2
.
2m
(2.186)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
60
Lo spettro di energia (l’intervallo degli autovalori permessi) è E ≥ 0 in questo caso;
per E < 0 la soluzione è ψ ∝ exp ±|k|x ed è non normalizzabile. Ogni livello con
energia positiva è doppiamente degenere.
• Una particella libera che si muove su un anello (lungo il bordo di un cerchio). La
soluzione è come sopra (28), tranne che la funzione d’onda deve soddisfare la condizione ψ(x + L) = ψ(x) per essere ben definita. I valori permessi di k sono quindi
k = 2πn/L, n = 0, 1, 2, 3, . . . , e lo spettro è discreto in questo caso
En =
(2πn)2 ~2
;
2mL2
(2.187)
ogni livello energetico positivo è doppiamente degenere mentre lo stato fondamentale
con E = 0 è singolo. Vedi il sottocapitolo 0.1.7 per una discussione più approfondita
del sistema.
L’equazione di Schrödinger in una dimensione ha varie priprietà speciali. Una di queste
è il seguente teorema: In un problema uni-dimensionale, non esistono degerazioni dei livelli
discreti. In altre parole, ad ogni autovalore En discreto corrisponde uno e soltanto un
autostato ψn .
Dimostrazione: supponiamo, per assurdo, che ci siano due soluzioni normalizzabili ψ1
e ψ2 dell’Eq.(21) con lo stesso autovalore E, i.e.,
′′
ψ1 = −
2m
(E − U )ψ1 ,
~2
′′
ψ2 = −
2m
(E − U )ψ2 .
~2
(2.188)
Moltiplicando la prima e la seconda equazione con ψ2 , ψ1 rispettivamente, e sottraendo
termine per termine, si ottiene
′′
′′
ψ1 ψ2 − ψ2 ψ1 = 0.
(2.189)
Integrando quest’ultimo,
′
′
ψ1 (x)ψ2 (x) − ψ2 (x)ψ1 (x) = cost.
(2.190)
Ma ψ1 = ψ2 = 0 a x = ±∞, essendo ambedue normalizzabili (stati discreti), perciò
cost. = 0 sopra:
′
′
ψ1 (x)ψ2 (x) − ψ2 (x)ψ1 (x) = 0.
(2.191)
Integrando ancora,
log ψ1 = log ψ2 + cost..,
ψ1 = cost.ψ2 :
(2.192)
dovremmo dunque concludere che le due funzioni d’onda in realtà rappresentano lo stesso
stato, al contrario all’ipotesi fatta.
♠
Figura 2.4: Andamento generale della funzione d’onda. Fig.a rappresenta la situazione per
E > V (x); Fig.b quella per E < V (x)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
61
Poiché l’Hamiltoniana è Hermitiana, V (x) e E sono reali. L’equazione di Schrödinger
(21) ha i coefficienti reali. Di conseguenza, la funzione d’onda può essere scelta reale.
L’andamento generale della funzione d’onda può essere dedotto da:
′′
ψ =
2m(V (x) − E)
ψ.
~2
(2.193)
Nell’intervallo dove E > V (x) (regione classicamente accessibile),
( ′′
ψ > 0 se ψ < 0,
′′
ψ < 0 se ψ > 0,
(2.194)
i.e., un andamento oscillatorio. Nell’intervallo di x dove E < V (x) (regione classicamente
proibita) abbiamo una situazione opposta
( ′′
ψ > 0 se ψ > 0,
(2.195)
′′
ψ < 0 se ψ < 0,
′′
un andamento instabile. In ambedue i casi, la curvatura |ψ | cresce con |E − V (x)|. La
situazione è illustrata in Fig.1.
Tenendo conto di queste proprietà non è difficile dimostrare il teorema di oscillazione:
La funzione d’onda dell’n-simo livello discreto di energia ha n − 1 nodi (zeri).
Dimostrazione. Supponiamo che V (x) → ∞ a x → ±∞, di modo che il sistema
abbia solo livelli discreti. L’eq.(37) ha due soluzioni (normalizzabili o no) generali. Nella
ricerca di funzione d’onda normalizzabile, basta scegliere una soluzione ψ che tende a zero
a x = −∞. Senza perdita di generalità si può assumere che ψ sia positivo a x < 0 e |x|
molto grande. La normalizzazione di ψ può essere fissata di modo che ψ(x1 ) = 1 dove x1
è un punto scelto in maniera opportuna. Partiamo con un valore di energia, E < Vmin e
studiamo come cambia la situazione al crescere di E.
′′
(I) E < V (x), ∀x. ψ è concavo (ψ > 0) dappertutto, ψ continua ad aumentare come
funzione di x: ψ diverge inevitabilmente a x → ∞. Segue che non ci sono autovalori
al di sotto di Vmin . (Questo “teorema” è già stato dimostrato prima).
(II) E è appena maggiore di Vmin , E1 > E > Vmin . Supponiamo che E > V (x) per
x1 < x < x2 e E < V (x) altrimenti. ψ aumenta da zero (a x = −∞) fino a
x = x1 , dove ψ(x1 ) = 1; tra x1 e x2 , ψ è convesso; a x > x2 ψ è di nuovo concavo
′′
(ψ > 0). È ovvio, per continuità, che fino a un certo valore di E (appunto, E1 ) ψ
continua a divergere a x = ∞, e rimane non normalizzabile. (Fig.2)
(III) E = E1 . All’aumentare di E, l’intervallo x1 , x2 dove ψ è convessa si allarga e la
curvatura per x fissato aumenta. Per continuità ci deve essere un primo valore di E,
E1 , per il quale ψ tende esattamente a zero a x = ∞. La funzione d’onda è allora
normalizzabile: il sistema è nello stato fondamentale. (Fig.3) ψ non ha nodi.
(IV) E1 < E < E2 . Quando E è appena al di sopra di E1 , la funzione d’onda si annulla
ad un valore di x finito, e diverge come ψ → −∞ a x → ∞. (Fig.4). Si noti che
′′
ψ = 0 dove ψ = 0, per cui non è possibile che ψ ritorni su dopo aver toccato zero.
(V) E = E2 . Al crescere di E, la regione classicamente accessibile (dove la funzione
d’onda oscilla) diventa sempre più grande. Per E = E2 la funzione d’onda tende
esattamente a zero a x = ∞. La funzione d’onda ora ha un nodo. (Fig.5)
(VI) Ripetendo l’argomentazione aumentando sempre l’energia, si dimostra che l’ n -simo
stato stazionario ha esattamente n − 1 nodi.
♠
62
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Figura 2.5: Andamento della funzione d’onda per Vmin < E < E1
Figura 2.6: Andamento della funzione d’onda per E = E1 (Stato fondamentale)
2.2.3 Buche di potenziale
Buca infinitamente alta
Consideriamo come primo esempio non banale di potenziale con stati legati, la buca di
potenziale di profondità infinita,
V (x)
V (x)
= 0, 0 < x < a,
= ∞, x ≤ 0 I;
II;
x ≥ a III
(2.196)
La soluzione negli intervalli I e III è
ψ = 0.
(2.197)
Nell’intervallo II, l’equazione di Schrödinger è quella libera:
−
~2 ′′
ψ = Eψ :
2m
(2.198)
con la soluzione generale
ψ = A sin(kx + δ).
(2.199)
La condizione di continuità a x = 0 impone che
A sin δ = 0,
→
sin δ = 0;
(2.200)
mentre quella a x = a dà
ψ = A sin(ka + δ) = 0,
→
sin(ka + δ) = 0.
(2.201)
La prima condizione si risolve con δ = 0 (la scelta δ = π essendo equivalente a A → −A.)
La seconda dà allora la quantizzazione
ka = nπ,
En =
π 2 ~2 2
kn2 ~2
n ,
=
2m
2ma2
n = 1, 2, 3, . . .
(2.202)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
63
Figura 2.7: Andamento della funzione d’onda per E1 < E < E2
Figura 2.8: Andamento della funzione d’onda per E = E2 (Il primo stato eccitato)
La funzione d’onda dell’n simo stato (normalizzata) è
r
πn
2
ψ(x) =
sin( x).
a
a
(2.203)
Esercizio Una particella si muove in tre dimensioni, confinata in un potenziale
V (r)
= 0,
V (r)
= ∞,
0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c;
altrimenti.
(2.204)
Trovare gli autosati e gli autovalori dell’energia. Discutere la degenerazione dei livelli
energetici in generale, e nel caso di una scatola isotropa, a = b = c, in particolare.
Buca di potenziale di altezza finita
Consideriamo ora il caso di un potenziale di altezza finita
V (x)
=
0,
0 < x < a,
V (x)
=
V0 ,
x ≤ 0 I;
II;
x≥a
III
(2.205)
e cerchiamo le soluzioni di tipo stati legati, con 0 < E < V0 . La soluzione in II è come
prima:
√
2mE
.
(2.206)
ψII = A sin(kx + δ); k =
~
Nelle regioni I e III, l’equazione di Schrödinger prende la forma:
p
′′
2m(V0 − E)
2m(E − V0 )
2
ψ =−
ψ = κ ψ; κ =
> 0.
(2.207)
2
~
~
I numeri d’onda k e κ non sono indipendenti:
2mV0
.
(2.208)
~2
La soluzione di (51) è exp ±κx: la condizione di normalizzazione implica che va fatta
la scelta:
k 2 + κ2 =
ψI
=
Beκx ;
ψIII
=
= Ce−κx ,
(2.209)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
64
nelle regioni I e III, di modo che la funzione d’onda tende a zero sia a x = −∞ che a
x = ∞.
La funzione d’onda e la sua derivata prima devono essere continue attraverso i confini
′
′
delle diverse regioni, I, II, e II. A x = 0 si deve imporre dunque ψI = ψII ; ψI = ψII :
k
> 0.
κ
Si può prendere, senza perdita di generalità, δ nel primo quadrante,
B = A sin δ;
Bκ = Ak cos δ,
→
tan δ =
0 ≤ δ ≤ π/2;
(2.210)
(2.211)
da (54) si trova
sin δ = √
k~
k
= √
< 1.
=√
2
2
2mV0
k +κ
1 + tan δ
tan δ
2
(2.212)
La condizione di continuità tra II e III è:
Ce−κa = A sin(ka + δ);
−Cκe−κa = Ak cos(ka + δ),
(2.213)
cioè
k
< 0.
(2.214)
κ
Secondo questa condizione l’angolo ka + δ è o nel secondo o nel quarto quadrante. Segue
che
tan(ka + δ)
= ± sin δ :
(2.215)
sin(ka + δ) = ± p
1 + tan2 (ka + δ)
o semplicemente
(
−δ + 2nπ, (n = 1, 2, . . .)
oppure ,
ka + δ =
(2.216)
−δ + (2n + 1)π, (n = 0, 1, 2, . . .) .
−κ = k cot(ka + δ),
→
tan(ka + δ) = −
Ma poiché δ soddisfa (56), si ottengono le equazioni implicite
k~
ka = −2 sin−1 √
+ nπ,
2mV0
(n = 1, 2, 3, . . .) :
queste danno (implicitamente) gli autovalori dell’energia.
La (61) può essere risolta graficamente. Da (59) si trova
κ
sin ka + cos ka = ±1.
k
Ponendo
ka/2 ≡ ξ; κa/2 ≡ η, (ξ, η > 0).
(2.217)
(2.218)
(2.219)
ξ, η soddisfano
ξ tan ξ = η,
(A),
(2.220)
(B)
(2.221)
oppure
e allo stesso tempo
ξ cot ξ = −η,
ma2 V0
(2.222)
2~2
(vedi l’eq.(52)). I punti di intersezione tra le due curve (64) e (66), e quelli tra (65) e (66),
nel quarto del piano ξ > 0, η > 0, corrispondono agli autovalori dell’energia.
Tali soluzioni sono facilmente visualizzate nel piano ξ − η: (64) e (65) rappresentano
i vari rami
q delle curve η = ξ tan ξ e η = −ξ cot ξ mentre (66) rappresenta un cerchio di
ξ 2 + η2 =
raggio
ma2 V0
2~2
col centro all’origine. (Fig.6). Non è difficile vedere allora che il numero
q
π
ma2 V0
nπ
<
degli stati legati è n per (n−1)
2
2~2 ≤ 2 .
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
65
q
2V
π
0
(i) 0 < ma
2~2 ≤ 2 : Esiste una sola intersezione tra le curve (64) e (66), e nessuna tra
(65) e (66) (vedi la Nota qui sotto). Vuol dire che esiste un solo stato legato;
q
ma2 V0
≤ π. In questo intervallo ci sono due stati legati, una soluzione con
(ii) π2 <
2~2
0 < ka/2 < π/2 (soluzione del tipo A), un’altra soluzione con π/2 ≤ ka/2 < π
(tipo B);
q
2V
0
≤ 3π
(iii) Per π < ma
2~2
2 , ci sono tre livelli dell’energia, uno con 0 < ka/2 < π/2
(soluzione del tipo A); uno con π/2 ≤ ka/2 < π (tipo B) e il terzo con π ≤ ka/2 <
3π/2 (del tipo A); ecc.
Il numero dei nodi della funzione d’onda dell’n-simo stato di eccitazione obedisce al
teorema di oscillazione (n − 1) come è facile da verificare. Infine, nel limite V0 → ∞,
l’eq.(61) si riduce a ka = nπ, e ψI , ψIII → 0, e ritroviamo le soluzioni per la buca 2
infinita, come ci si aspetta. Il modello illustra il fatto che, in generale, il numero di stati
legati dipende dai dettagli del potenziale.
Nota
La buca con parametri esattamente corrispondenti ad uno dei valori critici
r
πn
ma2 V0
=
,
n = 1, 2, . . . ,
2
2~
2
(2.223)
merita una particolare attenzione. Consideriamo infatti come cambia
q il numero di stati
2V
0
legati, al variare dei parametri (V0 , a, m). Quando la combinazione ma
in aumento
2~2
supera uno dei valori critici, il numero di stati legati aumenta di uno. Più precisamente, uno
stato nello spettro continuo diventa normalizzabile (diventa uno stato legato), e entra nello
spettro discreto. (Fig. 7). Ma ad esattamente a uno dei valori critici, la soluzione nuova ha
l’energia zero, se misuriamo partendo da V0 (η = 0, vedi Fig. (6)), e la funziona d’onda
del nuovo stato nelle regioni fuori buca è costante (κ = 0 nella (53)), e la soluzione non è
normalizzabile. Vuol dire che questi soluzioni non rappresentano stati
q legati, ma uno stato
del continuo che sta per diventare uno stato legato. Soltanto per
maggiore di π2n il nuovo stato rappresenta un nuovo stato legato.
ma2 V0
2~2
strettamente
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Figura 2.9: Soluzione grafica delle Eq.(64) e Eq.(66), oppure Eq.(65) e Eq.(66).
Esercizi:
q
2V
0
(i) Se ma
2~2 = ǫ ≪ 1 il sistema ha un solo stato legato. Calcolare approssimativamente, al primo ordine non banale in ǫ, l’energia di questo stato (come funzione di V0 e
di ǫ.)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
66
a
b
Figura 2.10: Spettro della buca finita con (a)
q
ma2 V0
2~2
=
π
2 −ǫ, e con (b)
q
ma2 V0
2~2
=
π
2 +ǫ.
(ii) Considerare il limite a → 0, V0 → ∞, con il prodotto aV0 ≡ f fisso. Usando il risultato di questo sottocapitolo, dimostrare che esiste un solo stato legato, e determinare
l’energia del livello, E − V0 , e la funzione d’onda.
(iii) Calcolare lo spettro discreto del sistema
H=
p2
+ V (x),
2m
V (x) = −f δ(x),
f > 0,
direttamente (vedi Sec. 0.1.8) e verificare che il risultato coincide con quello del
punto (ii).
(iv) Determinare la funzione d’onda e l’energia dello stato legato (o degli stati legati) del
potenziale, V (x) = −f δ(x + a) − f δ(x − a). Quanti stati legati ha il sistema?
2.2.4 Oscillatore armonico
L’oscillatore armonico unidimensionale è descritto dall’Hamiltoniana
H=
p2
1
+ mω 2 x2 ,
2m 2
(2.224)
dove m e ω sono costanti. L’equazione di Schrödinger Hψ = Eψ può essere riscritto come
2m
1
d2 ψ
+ 2 (E − mω 2 x2 )ψ = 0.
2
dx
~
2
(2.225)
Introducendo una variabile adimensionale
ξ≡
′′
si ha (ψ ≡
d2
dξ 2 )
r
mω
x,
~
(2.226)
′′
ψ + (λ − ξ 2 )ψ = 0,
λ≡
(2.227)
2E
> 0.
~ω
(2.228)
′′
Per grande ξ, ψ ∼ ξ 2 ψ, perciò il comportamento asintotico di ψ è
ψ ∼ (polinomio)e−ξ
2
/2
.
(2.229)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
67
Poniamo allora
ψ(ξ) = χ(ξ)e−ξ
2
/2
(Def. χ) :
(2.230)
l’equazione per χ è:
′′
′
χ − 2ξχ + (λ − 1)χ = 0.
(2.231)
Supponiamo che una funzione rappresentata da una serie di potenze,
χ(ξ) = ξ s (a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . .),
a0 6= 0;
s ≥ 0,
(2.232)
risolva la (75). Allora la sostituzione di (76) nel primo membro di (75) deve dare zero
identicamente: tutti i coefficienti di ξ s−2+n (n = 1, 2, . . .) si devono annullare. Le
condizioni sono:
s(s − 1)a0
(s + 1)sa1
=
=
0,
0;
(s + 2)(s + 1)a2 − (2s + 1 − λ)a0
=
0;
(s + ℓ + 2)(s + ℓ + 1)aℓ+2 − (2s + 2ℓ + 1 − λ)aℓ
=
(s + 3)(s + 2)a3 − (2s + 3 − λ)a1 =
...
0;
...
0.
(2.233)
La prima di queste relazioni è soddisfatta se s = 0 o s = 1, mentre la seconda richiede o
a1 = 0 o/e s = 0. In altre parole la serie inizia o con un termine costante o con un termine
∝ ξ. Consideriamo prima la sottoserie formata dai termini alternativi, con i coefficienti
a0 , a2 , a4 , . . . (determinati da (77)). Questa serie o terminerà dopo un numero finito di
termini o non terminerà. Se essa è una serie infinita (i.e., non termina), il comportamento
asintotico (a grande ξ) della somma è principalmente determinato dai coefficienti a grande
ℓ. Essi obbediscono alle relazioni:
aℓ+2 ℓ→∞ 2
−→ .
aℓ
ℓ
È facile trovare che i coefficienti sono dati da a2n ≃
(2.234)
1
(n−1)!
: la somma si comporterà come
∞
X
2
1
ξ 2n ≃ ξ 2 eξ .
(n − 1)!
n=1
(2.235)
Un tale comportamento asintotico di χ non è accettabile: esso renderebbe ψ non normalizzabile (vedi (74)). La serie a0 + a2 ξ 2 + . . . deve perciò terminare. Essa terminerà se il
parametro λ è tale che
2s + 2ℓ + 1 − λ = 0,
(2.236)
per un valore di ℓ (pari). Infatti da (77) segue che in tal caso aℓ+2 = aℓ+4 = . . . = 0, e la
serie si riduce ad un polinomio.
Per quanto riguarda l’altra sottoserie con i coefficienti, a1 , a3 , . . ., essa non può terminare. (Per s fisso, la condizione 2s+2ℓ+1−λ = 0 per ℓ dispari non è compatibile con (80).
) Il comportamento asintotico della somma è determinato da (78): a2n+1 ≃ 2n /(2n − 1)!!
perciò a1 ξ + a3 ξ 3 + a5 ξ 5 + . . . ≃ ξ exp ξ 2 . Anche questo contributo renderebbe ψ non normalizzabile e pertanto non è accettabile. L’unica possibilità è porre a1 = 0, che comporta
a3 = a5 = . . . = 0 via la relazione di ricorrenza.
La funzione d’onda ψ è normalizzabile dunque se e solo se la condizione (80) è soddisfatta per s = 0 o per s = 1. Mettendo insieme i due casi, la condizione è
λ = 2n + 1,
n = 0, 1, 2, . . .
(2.237)
68
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Da (72) e (81) troviamo
En =
1
ω~
(2n + 1) = ω~(n + ),
2
2
n = 0, 1, 2, . . . ,
(2.238)
il famoso risultato per i livelli dell’energia di un oscillatore lineare in meccanica quantistica.
Per trovare la funzione d’onda dell’n-simo livello dobbiamo risolvere l’equazione (sostituendo (81 ) in (75) e scrivendo χ = Hn (ξ) ):
′′
′
Hn − 2ξHn + 2nHn = 0,
(2.239)
nota come equazione di Hermite. La sua soluzione polinomiare è nota come polinomio di
Hermite.
Digressione su polinomi di Hermite
I polinomi di Hermite Hn (ξ) possono essere definiti tramite la funzione generatrice
2
e−s +2sξ = eξ
∞
X
sn
Hn (ξ),
n!
n=0
S(ξ, s) =
=
2
−(s−ξ)2
(2.240)
dove s è un parametro. Dalla considerazione di ∂S/∂ξ:
∞
∞
X
X
2
2sn+1
∂S
sn ′
Hn (ξ) =
= 2se−s +2sξ =
Hn (ξ),
n!
∂ξ
n!
n=0
n=0
(2.241)
si ottiene una relazione ricorsiva
′
Hn = 2nHn−1 ;
(2.242)
mentre dalle due espressioni per ∂S/∂s:
∞
∞
X
X
sn−1
(−2s + 2ξ)sn
∂S
−s2 +2sξ
Hn (ξ) =
= (−2s + 2ξ)e
=
Hn (ξ), (2.243)
(n − 1)!
∂s
n!
n=1
n=0
risulta un’altra relazione ricorsiva
Hn+1 = 2ξHn − 2nHn−1 .
(2.244)
Prendendo una derivata (rispetto a ξ) dell’eq.(88) e facendo ripetuto uso di (86) troviamo
′′
′
Hn − 2ξHn + 2nHn = 0,
(2.245)
che è precisamente l’equazione di Hermite. Le espressioni esplicite di Hn (ξ) si possono
trovare facilmente dalla formula
Hn (ξ) = (−)n eξ
2
dn −ξ2
e
dξ n
(2.246)
che segue dalla seconda equazione in (84). Calcolando le derivate troviamo:
H0 (ξ) =
1,
H1 (ξ) =
H2 (ξ) =
2ξ,
4ξ 2 − 2,
H3 (ξ) =
H4 (ξ) =
...
8ξ 3 − 12ξ,
16ξ 4 − 48ξ 2 + 12,
...
(2.247)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
69
I polinomi di Hermite soddisfano alla seguente relazione di ortonormalizzazione
Z ∞
√
2
(2.248)
dξ e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ) = δn,m π2n n!.
−∞
Per dimostrarla basta considerare l’integrale
Z
∞
2
dξ e−ξ S(ξ, s)S(ξ, t) =
−∞
Z
∞
X
2
s n tm ∞
dξ e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ),
n!m! −∞
n,m=0
(2.249)
che è uguale a
Z
∞
dξ e−{ξ−(s+t)}
2
+2st
=
−∞
∞
√ 2st √ X
2ℓ (st)ℓ
πe = π
.
ℓ!
(2.250)
ℓ=0
Il paragone tra queste due espressioni comporta la relazione di ortonormalizazzione.
♠
La funzione d’onda dell’n-simo livello dell’oscillatore armonico (normalizzata) è allora
data da
r
mω 2
mω
− 21 α2 x2
x)e− 2~ x ;
ψn (x) = Cn Hn (αx)e
= Cn Hn (
(2.251)
~
dove
1/2 mω 1/4
α
Cn =
=
~π
π 1/2 2n n!
1
n
2 n!
1/2
;
α≡
r
Lo stato findamentale è descritto dalla funzione d’onda Gaussiana
mω 1/4 mω 2
ψ0 (x) =
e− 2~ x ,
π~
mω
~
(2.252)
(2.253)
e ha l’energia
E0 =
1
ω~,
2
(2.254)
nota come energia di punto zero.
q
~
nonÈ molto istruttivo osservare che l’estensione della funzione d’onda, ∆x ∼ mω
ché la presenza dell’energia di punto zero, possono essere dedotti a partire dalle relazioni di
Heisenberg e dalla forma dell’Hamiltoniana, ma senza usare la soluzione esplicita. Infatti,
supponiamo che lo stato fondamentale sia lo stato in cui il prodotto delle indeterminazioni
sia minimo:
~
∆x∆p ≃ .
(2.255)
2
Senza perdita di generalità possiamo inoltre supporre che i valor mediip
di x e di p siano
nulli:
hxi
=
hpi
=
0.
Le
indeterminazioni
di
x
e
di
p
sono
allora
uguali
a
h(x − hxi)2 i =
p
p
p
hx2 i; h(p − hpi)2 = hp2 i.
Prendendo il valor di aspettazione dell’Hamiltoniana, H = p2 /2m + mω 2x2 /2, si avrà
quindi
mω 2 ~2
(∆p)2
.
(2.256)
+
hHi =
2m
8(∆p)2
Minimizziamo ora hHi rispetto a (∆p)2 , visto che si tratta dello stato fondamentale:
mω 2 ~2
1
=0
−
2m 8(∆p)4
→
(∆p)2 ≃
1
mω~.
2
(2.257)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
70
Inserzione di questo risultato in (100) dà la stima dell’energia dello stato fondamentale,
Est.f ond ≃
1
ω~,
2
(2.258)
che è in accordop
con il risultato esatto. L’estensione della funzione d’onda è stimata come
∆x ∼ ~/∆p ≃ ~/mω che è pure in accordo con (97).
L’energia di punto zero (chiamata alternativamente come energia del “vuoto”) è cosı̀
interpretata come effetto di fluttuazione quantistica minima compatibile con il principio di
Heisenberg: una particella confinata in uno spazio finito ha un’indeterminazione dell’impulso non nulla, che equivale a una certa quantità di energia cinetica. Nei sistemi di infiniti
gradi di libertà (dei solidi, sistemi quantistici relativistici, ecc.) la presenza dell’energia del
vuoto causa fenomeni interessanti (e.g., effetto Casimir).
Esercizi: Si calcolino i valor di aspettazione (esatti) degli operatori x2 e p2 sullo stato
fondamentale dell’osillatore armonico, (97). (Risposta: ~/2mω e mω~/2, rispettivamente.
)
Per le applicazioni in suguito troveremo molto utili avere gli elementi di matrice degli
operatori, x, x2 , i.e.,
Z
Z
xnm = hn|x|mi ≡ dx ψn∗ (x)xψm (x), (x2 )nm = hn|x2 |mi ≡ dx ψn∗ (x)x2 ψm (x),
(2.259)
calcolati. Tali quantità possono essere calcolate con l’aiuto della funzione generatrice dei
polinomi di Hermite: i risultati sono:
 q
n+1
1


α
2 , se m = n + 1,
p
1
n
(2.260)
xnm =
sem = n − 1,
α
2,


0
altrimenti.
(x2 )nm
dove
 q
(n+1)(n+2)
1

, se m = n + 2,

4
 α2 q
n(n−1)
1
=
,
se m = n − 2,
 α2
4


0
altrimenti,
r
mω
.
~
Analogamente gli elementi di matrice dell’operatore dell’impulso p sono:
r
√
√
mω~
pmn = hm|p|ni = −i
(δm,n−1 n − δm,n+1 n + 1).
2
α≡
(2.261)
(2.262)
(2.263)
Osservazione
Lo spettro di energia dell’oscillatore armonico, ω~(n + 1/2), è discreto e equispaziato,
e a parte l’energia di punto zero, ω~/2, assomiglia alla formula per l’energia di n particelle (ciascuno con massa ω~) non interagenti a riposo. Questa analogia è di importanza
fondamentale: esiste infatti un formalismo che discuteremo in seguito, che mette questo
aspetto in risalto - formalismo di operatori di creazione e di annichilazione. L’intera teoria quantistica dei sistemi di infiniti gradi di libertà (fisica dei solidi, fisica delle particelle
elementari, teoria quantistica dei campi) è basata su tale formalismo, detto seconda quantizzazione. In meccanica quantistica non ci sono differenze essenziali tra la massa di una
particella “elementare, e l’energia di stati composti.
Esercizio Plottare la funzione d’onda dell’n-simo livello, con il programma Mathematica.
Risposta: il commando
2
1
HermiteH [n, x] e−x /2 ,
ψ[n− , x− ] := √
1/2
n
π 2 n!
(2.264)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
71
che definisce la funzione d’onda; il commando
Plot [ ψ[10, x], {x, −11, 11} ]
(2.265)
plotta la funzione d’onda del livello n = 10, nella regione −11 ≤ x ≤ 11.
2.2.5 Operatori di creazione e di distruzione
L’oscillatore armonico ammette soluzione con un’altro formalismo molto elegante, che è
la base del metodo di seconda quantizzazione. Introduciamo
r
r
mω
1
x+i
p;
(2.266)
a=
2~
2mω~
e il suo coniugato hermitiano
†
a =
r
mω
x−i
2~
r
1
p,
2mω~
(2.267)
detti rispettivamente operatore di distruzione e operatore di creazione. L’inverso della
trasformazione è
r
r
~
mω~
†
(a + a ); p = −i
(a − a† ).
(2.268)
x=
2mω
2
Segue dal commutatore tra x e p che a, a† soddisfano alla relazione
[a, a† ] = 1.
(2.269)
L’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico è uguale a
H=
ω~
1
(aa† + a† a) = ω~(a† a + ),
2
2
(2.270)
dove è stato usato il commutatore (113). Usando i noti elementi di matrice degli operatori
x e p si trova che gli unici elementi di matrice non nulli di a e a† sono (n = 0, 1, 2, . . .):
√
√
(2.271)
hn − 1|a|ni = n; hn + 1|a† |ni = n + 1.
O equivalentemente,
a|ni =
√
n |n − 1i,
a† |ni =
√
n + 1 |n + 1i.
(2.272)
Segue allora che
a† a|ni = n|ni :
(2.273)
†
l’operatore N ≡ a a è chiamato operatore del numero di occupazione o semplicemente
come operatore del numero. Infine, l’Hamiltoniana e il suo autovalore sono ovviamente
1
1
H|ni = ω~(N + )|ni = ω~(n + )|ni,
2
2
(2.274)
risultato già trovato risolvendo l’equazione di Schrödinger.
L’n-simo autostato di energia di oscillatore armonico |ni è interpretato - questo è il
linguaggio del formalismo di seconda quantizzazione - come stato di n “fononi. Lo stato
fondamentale è il “vuoto” senza fononi (ma con l’energia ω~/2 di “punto zero); l’operatore
a† crea un fonone, l’operatore a ne distrugge uno. L’operatore N ≡ a† a “conta il numero
dei fononi nello stato sul quale agisce. In questo sistema esiste un solo tipo di fonone
72
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
con l’energia ω~. Qualsiasi elemento di matrice di tipo hn|F (x, p)|mi dove F (x, p) è un
polinomio di x e di p, può essere trovato con facilità dagli elementi di matrice di a e a† .
Infatti gli autovalori e gli autostati di H possono essere trovati caso direttamente da
(114)) e (113), senza mai parlare dei polimoni di Hermite, ecc., in modo assiomatico. Prima
di tutto si deve assumere l’esistenza di uno stato di minima energia (lo stato fondamentale),
|0i. Per definizione tale stato (normalizzato) è annichilato da a:
h0|0i = 1.
a|0i = 0,
(2.275)
Agendo l’operatore a† iterativamente su questo stato, possiamo definire lo stato con n
fononi, definito come
(a† )n
(2.276)
|ni ≡ √ |0i, n = 1, 2, . . .
n!
dove la costante davanti è introdotta di modo che
hn|ni = 1.
(2.277)
[a, (a† )n ] = n(a† )n−1
(2.278)
Facendo uso del commutatore
e della (119) ripetutamente, si può verificare la prima della (116), (la seconda della (116) è
ovvia), la (117), e infine la (118), il che equivale alla soluzione del problema.
Esercizio:
Si verfichi la (121). Si verifichi che la funzione d’onda ψ(x) ≡ hx|0i coincide con la
(97).
Stati coerenti
Un importante applicazione dell’uso del formalismo con operatori a e a† riguarda i
cosı̀detti stati coerenti. Gli stati coerenti sono gli stati in cui il prodotto di indeterminazione
di x e di p nella relazione di Heisenberg (vedi Sez. 2.1.6) prende il minimo valore possibile,
~/2: essi descrivono i “pacchetti d’onda i più compatti possibili, e in un senso i più classici.
Gli stati coerenti possono essere convenientemente definiti come autostati dell’operatore di distruzione, a,
a|βi = β|βi,
(2.279)
dove β è un numero complesso. Per costruire lo stato |βi, introduciamo un operatore
unitario,
†
∗
U (β) = eβa −β a ,
(2.280)
con β un numero complesso arbitrario. Allora
|βi = U (β)|0i,
(2.281)
dove |0i è lo stato fondamentale (119) nella base di numero di occupazione. Infatti, poiché
a U (β) = U (β) (a + β)
(2.282)
(Esercizio: verificatelo), la dimostrazione della (123) è immediata.
Un’identità molto utile per studiare gli stati coerenti è la formula di Baker-CampbellHausdorff-Weyl,
1
(2.283)
eX eY = eX+Y + 2 [X,Y ] ,
valida se [X, Y ] è un c-numero (i.e., se esso commuta con tutti gli operatori). Per esempio,
U (β) = e−|β|
2
/2 βa† −β ∗ a
e
e
.
(2.284)
Si ha dunque
|βi = e−|β|
2
/2 βa†
e
|0i.
(2.285)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
73
Sviluppando l’esponenziale, si ha
|βi =
X
n
An |ni,
An = e−|β|
2
/2
βn
√ ,
n!
(2.286)
dove |ni è lo stato di n fononi. La probabilità di osservare n quanti nello stato coerente |βi
allora è
2n
2 |β|
Pn = e−|β|
:
(2.287)
n!
è una distribuzione Poissoniana, con il valor medio di numero di occupazione
hβ|a† a|βi = |β|2 .
(2.288)
Infine, non è difficile dimostrare che nello stato coerente
i) il prodotto di indeterminazione h(∆x)2 i · h(∆p)2 i prende il valore minimo possibile,
~2 /4;
ii) la funzione d’onda nella base x prende forma,
ψ(x) = hx|βi = N exp[−
p0 x
(x − x0 )2
+i
],
4h(∆x)2 i
~
(2.289)
dove
x0 = (~/2mω)1/2 (β + β ∗ );
p0 = i(m~ω/2)1/2 (β ∗ − β);
h(∆x)2 i = ~/2mω.
(2.290)
(2.291)
(vedi, per es., Davydov, “Quantum Mechanics). Gli stati coerenti hanno generalizzazioni interessanti chiamati stati “schiacciati (squeezed states), recentemente studiati
in connessione con ottica quantistica, in cui le indeterminazioni h(∆x)2 i e h(∆p)2 i
sono variati, tenendo fisso (e il minimo possibile) il loro prodotto.
2.2.6 Barriera di potenziale e Effetto tunnel
Consideriamo ora la barriera di potenziale,
(
0
se x < 0, (I), x > a (III),
V =
V0 > 0 se 0 ≤ x ≤ a, (II).
(2.292)
Una particella è incidente da x = −∞. Si vuole calcolare la probabilità di trasmissione attraverso/riflessione da tale potenziale. L’interpretazione con la densità di corrente
di un onda piana (vedi Sec.0.1.2 ) ci permette di trattare il problema con l’equazione di
Schrödinger indipendente dal tempo.
(i) Dapprima consideriamo il caso E > V0 . Una particella classica che entra da sinistra, non
sentirebbe nemmeno la presenza del potenziale, e continuerebbe il suo viaggio verso destra
indisturbata. In Meccanica Quantistica il moto della particella è descritto dall’equazione di
Schrödinger, che è una equazione libera nelle regioni I e III. Nella regione II l’equazione
è pure quella libera, a parte lo spostamento E → E − V0 dell’energia. La soluzione ha
quindi la forma
√
2mE
ikx
−ikx
ψI = e + Ae
; k=
;
~p
′
′
′
2m(E − V0 )
ψII = Beik x + B ′ e−ik x ; k =
;
~
ψIII = Ceikx .
(2.293)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
74
Nello scrivere (137 ) abbiamo arbitrariamente scelto la normalizzazione della funzione
d’onda di modo che l’onda piana incidente (in ψI ) abbia il coefficiente 1. Inoltre abbiamo
imposto la condizione al contorno adatta per il problema d’urto in considerazione: nella
regione III abbiamo solo l’onda trasmessa (∝ exp(−iEt/~ + ikx)).
La condizione di continuità tra le due regioni I e II è:
1 + A = B + B′,
ik(1 − A) = ik ′ (B − B ′ ),
(2.294)
mentre quella tra II e III è
′
′
′
B eik a + B ′ e−ik a = C eika ≡ C ′ ;
′
ik ′ (B eik a − B ′ e−ik a ) = i k C eika = i k C ′ .
(2.295)
Questi sistemi di equazioni si risolvono facilmente, eliminando B, B ′ da
ika ′
B
1
B eik a
Ce
=M
;
=M
.
(2.296)
′ −ik′ a
B′
A
0
Be
Un calcolo elementare dà il risultato
A =
C′
=
i(k 2 − k ′2 ) sin k ′ a
;
− i(k 2 + k ′2 ) sin k ′ a
2kk ′
2kk ′ cos k ′ a − i(k 2 + k ′2 ) sin k ′ a
−
2kk ′ cos k ′ a
(2.297)
Si vuole calcolare soprattutto il coefficiente di trasmissione,
D≡
|jtras |
|jinc |
(2.298)
R≡
|jrif l |
,
|jinc |
(2.299)
e il coefficiente di riflessione
dove jinc , jtras e jrif l rappresentano rispettivamente la densità di corrente dell’onda incidente (il primo termine di ψI ), dell’onda trasmessa (ψIII ), e dell’onda riflessa (il secondo
termine di ψI ). Le tre correnti sono k~/m, k~|C|2 /m e k~|A|2 /m, perciò
D = |C|2 = |C ′ |2 ;
R = |A|2 ,
(2.300)
cioè
D
=
R =
4k 2 k ′2
4k 2 k ′2 + (k 2 − k ′2 )2 sin2 k ′ a
(k 2 − k ′2 )2 sin2 k ′ a
.
4k 2 k ′2 + (k 2 − k ′2 )2 sin2 k ′ a
(2.301)
Si osservi che:
• D + R = 1. Questo è quanto ci si aspetta per la probabilità totale.
• La probabilità di riflessione non è zero in generale, nonostante il fatto che l’energia
della particella incidente sia al di sopra della barriera di potenziale. Questa è una
conseguenza dell’aspetto ondulatorio delle particelle in Meccanica Quantistica: in
Meccanica Classica avremmo semplicemente D = 1, R = 0.
p
• Per certi valori discreti dell’energia incidente, ( 2m(E − V0 )a/~ = nπ, n =
1, 2, . . .), c’è trasmissione completa (D = 1). Anche questo è un fenomeno tipicamente quantistico: è analogo dell’effetto Ramsauer-Taunsend in tre dimensioni.
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
75
Consideriamo ora invece il caso E < V0 . Classicamente la particella, non avendo
un’energia sufficiente per superare la barriera, sarà riflessa a x = 0: avremmo D = 0; R =
1. Il comportamento di una particella quantistica è ben diverso.
Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger in questo caso sono:
√
2mE
;
= e + Ae
; k=
p~
2m(V0 − E)
= Be−κx + B ′ eκx ; κ =
;
~
= Ceikx ;
ikx
ψI
ψII
ψIII
−ikx
(2.302)
Si osservi che l’andamento della funzione d’onda nella regione intermedia è del tipo esponenziale reale. Per il resto si procederà come prima: bisognerà imporre la condizione di
continuità a x = 0 e a x = a, per trovare C e A. Per fortuna, una semplice osservazione
ci permette di arrivare al risultato senza fare nessun calcolo: le equazioni da risolvere sono
identiche a (139) a parte la sostituzione
k′
→
iκ.
(2.303)
Di conseguenza i coefficienti A e C ′ nel caso E < V0 sono dati da (141) con la suddetta
sostituzione (si noti la sostituzioni, sin k ′ a → i sinh κa; cos k ′ a → cosh κa):
(k 2 + κ2 ) sinh κa
;
2kκi cosh κa + (k 2 − κ2 ) sinh κa
2kκi
.
2kκi cosh κa + (k 2 − κ2 ) sinh κa
A =
C′
=
(2.304)
Le probabilità di trasmissione e di riflessione sono quindi date da
D
=
4k 2 κ2
;
4k 2 κ2 + (k 2 + κ2 )2 sinh2 κa
R
=
(k 2 + κ2 )2 sinh2 κa
.
4k 2 κ2 + (k 2 + κ2 )2 sinh2 κa
(2.305)
Osservazioni
• In generale si ha D 6= 0, D > 0. La particella ha una probabilità non nulla di
attraversare la barriera, nonostante che la sua energia non è sufficiente per superare
la barriera dal punto di vista classico. Questo è un esempio del celebre effetto tunnel
che distingue la Meccanica Quantistica in modo cosı̀ netto dalla Meccanica Classica.
• Nel limite di barriera molto grande, V0 → ∞ e/o a → ∞, il coefficiente di trasmisssione si comporta come
√
D ∼ e−2 2m(V0 −E) a/~ ;
(2.306)
ed è esponenzialmente piccolo, (con due volte l’azione classica nell’esponente),
caratteristica questa dell’effetto tunnel in generale.
Esercizio: Calcolare il coefficiente di trasmissione della barriera unidimensionale, V (x) =
f δ(x) (f > 0), prendendo il limite V0 → ∞, a → 0, con f = V0 a fisso.
Esercizio: Lo stesso problema con V (x) = −f δ(x) (f > 0).
76
2.2.7
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Sistemi in uno spazio topologicamente non banale
Una particella che si muove su un anello (discussa in (31)), è l’esempio di un sistema
meccanico-quantistico, che possiede un parametro nascosto che non ha analoghi classici.
Dovuto alla nota arbitrarietà della fase della funzione d’onda, la periodicità dello spazio,
x = x + L,
(2.307)
in generale richiede che la funzione d’onda obbedisca alla condizione più generale,
ψ(x + L) = eiθ ψ(x),
(2.308)
dove θ è una costante che caratterizza il sistema quantistico. La soluzione dell’equazione
di Schrödinger è sempre ψ = eikx , ma la condizione al contorno è ora
kL = 2πn + θ,
n = 0, ±1, ±2, . . . ,
(2.309)
perciò
~2
(2πn + θ)2 .
(2.310)
2 m L2
Per un generico θ la doppia degenerazione del livello (31) del caso θ = 0 viene eliminata,
En 6= E−n . È interessante che per un particolare valore di θ, θ = π, i livelli di energia
sono
1
~2 (2π)2
(n + )2 .
(2.311)
En =
2
2mL
2
In questo caso, tutti i livelli sono doppiamente degeneri (le coppie di stati sono (0, −1),
(1, −2), ecc.). Un’altro caso particolare, θ = 2π, è interessante. In questo caso, lo spettro
del sistema è identico al caso θ = 0, come si vede facilmente. In generale, lo spettro
è periodico in θ con periodo 2π, risultato che ci si aspetta dalla definizione stessa del
parametro, (152). Si noti che nella discussione la caratteristica topologica non banale dello
spazio in questione (S 1 ) è fondamentale. Esistono molti sistemi di interesse fisico, analoghi
a questo sistema. Un esempio è l’effetto Aharanov-Bohm (in questo caso, il ruolo del
parametro θ è giocato dal flusso magnetico, attraverso una superficie circondata da due
classi di cammini dell’elettrone.)
θ può essere considerata in generale come un parametro esterno. Supponiamo ora che
θ varia adiabaticamente da 0 a 2π. Lo spettro del sistema varia lentamente e alla fine del
ciclo, ritorna a quello orignale. Se la particella è inizialmente in uno stato stazionario, e.g.,
n-simo stato, la variazione adiabatica di θ aumenterà l’energia del sistema. Alla fine, lo
spettro ritorna allo spettro originale, il parametro esterno ritorna al valore originale (visto
che θ è una variabile angolare, 2 π ∼ 0), ma il sistema si trova nello stato n + 1! In altre
parole, l’intero spettro si è spostato di un’unità (n → n ± 1 se θ = 0 → ±2π). Questo
fenomeno è noto come “spectral flow.” Ci sono importanti applicazioni di questo fenomeno
in teorie di gauge non abeliane.
En =
2.2.8 buca/barriera di potenziale con funzioni δ
Considerazione generale: condizioni di continuazione
Consideriamo ora il moto di una particella in un potenziale delta unidimensionale
H=
p2
− g δ(x),
2m
(2.312)
A causa della singolarità del potenziale a x = 0, le condizioni di continuità sulla funzione d’onda richiedono una considerazione particolare. Per quanto riguarda il valore della
funzione d’onda dobbiamo richiedere semplicemente
ψ(x)|x→0+ = ψ(x)|x→0− ,
ψ− (0) = ψ+ (0)
(2.313)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
77
per la continuità della densità ρ, dove con ψ± abbiamo indicato le funzioni d’onda definite
nelle regioni x > 0 e x < 0.
La condizione di continuità sulla derivata deve tenere conto della singolarità del potenziale. Infatti, integrando l’equazione di Schrödinger
~2 ′′
ψ − g δ(x)ψ = E ψ,
2m
(2.314)
~2
(ψ ′ (ǫ) − ψ ′ (−ǫ) ) − gψ(0) = O(ǫ).
2m
(2.315)
−
nella regione [−ǫ, ǫ], si ha
−
Considerando poi il limite ǫ → 0, si trova la condizione di continuità per la derivata prima
della funzione d’onda,
2mg
′
′
ψ+
(0) − ψ−
(0) = − 2 ψ(0).
(2.316)
~
La stessa condizione si trova, sostituendo la funzione d’onda
ψ(x) = ψ− (x) θ(−x) + ψ+ (x) θ(x)
(2.317)
direttamente nell’equazione di Scrödinger, utilizzando θ′ (x) = δ(x), i.e., richiedendo che
(161) effettivamente soddisfi quest’ultimo dappertutto, incluso x = 0.
Esercizio: Dimostrare che la condizione (160) sia compatibile con la continuità della
~
[ (ψ ∗ )′ ψ − ψ ∗ ψ ′ ].
densità di corrente, j = 2i m
i) Spettro discreto
La funziona d’onda di uno stato legato, con energia E0 < 0 è:
r
−2mE0
κx
−κx
ψ(x) = θ(−x)e + θ(x)e
,
κ=
.
~2
(2.318)
dove abbiamo già tenuto conto della normalizzabilità (per cui la scelta della soluzione
eκx per x < 0 e e−κx per x > 0) e la continuità della funzione d’onda a x = 0; la
normalizzazione globale è lasciata arbitraria.
Dalla (160) segue immediatamente la condizione di quantizzazione,
κ=
mg
;
~2
E0 = −
mg 2
.
2~2
(2.319)
La funzione d’onda normalizzata è
√
ψ(x) = κ [ θ(−x)eκx + θ(x)e−κx ].
(2.320)
ii) Spettro continuo
Si può porre, per gli stati di E ≥ 0,
ψ(x) = θ(−x)[ Ae
ikx
+ Be
−ikx
] + θ(x)[ Ce
ikx
+ De
−ikx
],
k=
r
2mE
.
~2
(2.321)
La condizione di continuità tra le due regioni I e II è:
A + B = C + D.
(2.322)
La condizione di continuità per la derivata prima dà (dalla (160):
C−D =A−B+
2i m g
(A + B) = (1 + 2iα)A − (1 − 2iα)B,
k~2
(2.323)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
78
dove
mg
> 0.
k~2
Risolvendo (239) e (240) per C, D, si ha
α=
(2.324)
C = (1 + iα)A + iαB,
(2.325)
D = −iαA + (1 − iα)B.
(2.326)
C
1 + iα
iα
A
A
=
≡S·
.
D
−iα 1 − iα
B
B
(2.327)
O
La matrice S
1 + iα
iα
S=
;
−iα 1 − iα
S
−1
1 − iα −iα
=
iα
1 + iα
è nota come matrice di transizione;
C
1 − iα −iα
C
A
=
= S −1
D
iα
1 + iα
D
B
(2.328)
(2.329)
Per qualsiasi valore di k reale la (165) con tali coefficienti rappresenta gli autostati
dell’Hamiltoniana.
iii) Barriera di potenziale
Per g < 0, il potenziale rappresenta una barriera, non una buca. In questo caso non
ci sono stati legati. La funzione d’onda (165) con la (110) correttamente rappresenta
lo stato di diffusione generale.
Se la particella entra da x = −∞, allora la condizione al contorno è
D=0:
(2.330)
la soluzione è
A = (1 − i α) C;
B = i α C,
(2.331)
per cui le probablità di trasmissione e di riflessione sono:
D=
1
,
1 + α2
R=
α2
.
1 + α2
(2.332)
Osserviamo che nel caso di portenziale delta, il risultato è indifferente del segno di
g, i.e., sia il potenziale ripulsivo che il potenziale attrattivo dà lo stesso effetto.
iv) Doppia barriera di potenziale delta
Il risultato sopra può essere immediatamente generalizzato al caso di multi barriere di
potenziale. Consideriamo per esempio il problema col il potenziale con due barriere
di forma delta, spaziati di a,
V = g [ δ(x) + δ(x − a) ].
(2.333)
La funzione d’onda è ora
ψ(x) = θ(−x)[ Aeikx +Be−ikx ]+θ(x)θ(a−x)[ Ceikx +De−ikx ]+θ(x−a)[ F eikx +Ge−ikx ].
(2.334)
Definendo
′
F = F eika ;
′
G = Ge−ika ;
′
C = Ceika ;
′
D = De−ika ,
(2.335)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
79
C, D sono dati in termini di A, B come nella (244), mentre
′ ′
ika
F
1 − iβ
−iβ
C
e
0
A
=
·
≡S·
. (2.336)
′
′
−ika · S ·
iβ
1
+
iβ
0
e
B
G
D
Oppure
−ika
F
e
=
G
0
dove
0
eika
ika
e
·S·
0
1 − iβ
S=
iβ
0
e−ika
−iβ
;
1 + iβ
A
·S·
.
B
(2.337)
mg
,
(2.338)
k ~2
dove la forma della matrice S qui (182) (cfr. (245)) riflette il segno opposto di delta
nella (177) rispetto alla (156).
β=
Rispetto al caso di una singola barriera delta, (176), la fisica qui è decisamente
più interessante. Dalla matrice di transizione nella (180), si trova i coefficienti di
trasmissione D e di riflessione R,
4β 2 (cos ka + β sin ka)2
.
1+
+β
1 + 4β 2 (cos ka + β sin ka)2
(2.339)
Per una prima verifica, si noti che per a → 0, si ritrova il rusultato precedente con
g → 2 g. Per generici valori di energia k, la situazione è analoga al caso di singola
barriera delta. In particolare, nel limite di β → ∞ (g → ∞), il coefficiente di
trasmissione tende a zero.
D=
1
4β 2 (cos ka
sin ka)2
;
R=
Per certi valori di energia incidente,
1
tan ka = − ,
β
(2.340)
tuttavia, si ha una trasmissione totale (R = 0, D = 1) ! Notiamo che nel limite di
g → ∞, i valori di risonanza (R = 0, D = 1) sono a
ka ≃ π n,
n = 1, 2, . . . :
(2.341)
essi corrispondono a stati stazionari nella buca di larghezza a, infinitamente alta (Eq.
(46)). Per generico valore di k, si ha invece la riflessione totale (R → 1, D → 0)
nel limite g → ∞. La situazione è illustrata nellla figura (Fig.??), dove i coefficienti
di trasmissione e di riflessione è plottata come funzione di k, per tre valori in ordine
crescente di β. È interessante che il sistema della doppia barriera delta (nel limite
di grande g) pu‘o essere considerato come un filtro per la misura dell’impulso: se la
particella incidente ha l’energia ka ≃ π n passa, altrimente non passa.
La generalizzazione della formula (181) nel caso di N potenziali delta equispaziati
e con lo stesso accoppiamento g, è
−i N k a
ika
e
0
e
0
A1
AN
N
=
.
(2.342)
·
[
·
S
]
·
B1
BN
0
ei N k a
0
e−ika
2.2.9 Applicazioni della buca infinitamente alta
Consideriamo ora alcune applicazioni del problema della buca di altezza infinita discusso in
Sec.0.1.3. La pressione che una particella confinata nella buca (scatola) esercita sul muro
può essere calcolata nel modo seguente. Supponiamo che la particella sia nell’n-simo
livello energetico. L’energia del sistema è
πn 2 ~2
.
(2.343)
En =
a
2m
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
80
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
8
10
8
10
Figura 2.11:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
Figura 2.12:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
Figura 2.13:
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
81
Supponiamo di comprimere la scatola adiabaticamente, a → a − δa: il lavoro richiesto è
uguale a
1
1
π 2 n2 ~2
−
En (a − δa) − En (a) =
2m
(a − δa)2
a2
π 2 n2 ~2
=
δa ≡ p · δa,
(2.344)
m a3
La pressione è perciò
π 2 n2 ~2
2
= En .
(2.345)
m a3
a
Consideriamo ora un gas di N particelle in equilibrio con il servatoio termico di temperatura T .12 Per tale insieme canonico la distribuzione di energia è quella di Boltzman,
p=
Pn = N e−En /k T ,
(2.346)
2 ~2
con N costante di normalizzazione. Per la particella in n-simo livello, En = πn
a
2m ≡
2
π 2 ~
2
A · n , A = a 2 m . Il valor medio dell’energia è
X
hEi =
En Pn .
(2.347)
n
Ora per uno stato di N particelle con le interazioni trascurabili tra loro,
E(n1 ,n2 ,...nN ) ≃ En1 + En2 + . . . EnN ,
(2.348)
il suo valor medio è
(N )
hEi
P
(n1 ,n2 ,...nN )
=
=
Per temperature alte,
√
i.e. con An ≡ x,
N
A
kT
E(n1 ,n2 ,...nN ) e−E(n1 ,n2 ,...nN ) /kT
P
(n1 ,n2 ,...nN )
P
n
P1
e−E(n1 ,n2 ,...nN ) /k T
En1 e−En1 /k T
n1
e−En1 /k T
= N hEi.
(2.349)
≪ 1, la somma su n può essere approssimata con un integrale,
2
dx x2 e−x /k T
1
= k T.
hEi ∼ R
2 /k T
−x
2
dx e
R
(2.350)
L’energia del sistema è data dall’espressione classica
U = hEi(N ) =
1
Nk T
2
(2.351)
dalla quale segue il risultato noto per il calore specifico (per un gas monoatomico 1D)
1
C = ∂U
∂T = 2 N k.
A temperature basse, la somma in hEi è dominato dallo stato fondamentale,
hEi ≃ E1 ,
(2.352)
per cui il calore specifico tende a zero a T → 0.
Per quanto riguarda la pressione, si ha dalla (189)
P =
12 Questa
2
2 kT
1
2
N hEi = N hEi ≃ N
= N k T,
a
a
a
2
a
(2.353)
discussione trascura la correlazione tra le particelle identiche, dovuta alla statistica di Bose-Einstein
o di Fermi-Dirac, che sarà discussa più in là, e in questo senso non va considerata come approssimazione valida a
sistemi fisici quantistici.
82
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
a temperatura ambiente. Questa non è altro che l’equazione di gas unidimensoinale, P V =
Nk T .
♠ Infine, il numero di stati quantistici con E ≤ Emax per Emax grande può essere
stimato facendo uso della condizione di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld:
I
dx p = n h.
(2.354)
√
Siccome Emax corrisponde a pmax = 2 m Emax , il livello massimo nmax è determinato
dalla richiesta
I
p
(2.355)
nmax h =
dx p
= 2 m Emax · 2 a,
max
per cui
√
2a 2 m Emax
.
h
Questo coincide con il risultato quantistico esatto
nmax ≃
πn 2 ~2
≤ Emax ,
a
2m
√
2 m a2 Emax
nmax ≃
.
π~
En =
(2.356)
(2.357)
(2.358)
2.2.10 Dalla fisica di una particella alla fisica dei sistemi di molti gradi
di libertà: Cristallo Unidimensionale
Come prototipo del modello dei cristalli (dei solidi) prendiamo in esame una catena di
atomi in una dimensione, interagenti tra loro con una forza armonica. Il sistema è descritto
dalla Lagrangiana classica
Xm
κ
(2.359)
L=
[ ẋ2n − (xn+1 − xn )2 ],
2
2
n
dove xn indica lo spostamento della posizione dell’n-simo atomo dalla sua posizione di
equilibrio, e per semplificare le cose poniamo la condizione periodica
xN ≡ x0 ;
xi+N = xi ,
(2.360)
e supponiamo che n in (203) prende valori n = 1, 2, . . . , N .
La (203) descrive N particelle accoppiate tra loro, e il fatto che il sistema possa essere
risolto con esattezza potrebbe sembrare mirocoloso. Come è ben noto, la chiave della
soluzione è la trasformata di Fourier (discreta) ,
1 X
Ak eikna ,
xn = √
N k
Ak = A∗−k ,
(2.361)
dove la condizione sulle ampiezze complesse Ak riflette la realtà delle variabili xn , l’impulso k prende valori
k=
2πℓ
;
Na
, ℓ = ±1, ±2, . . . ±
N −1 N
, .
2
2
(2.362)
AN/2 = A−N/2 è reale. Inoltre, il termine ℓ = 0 (che corrisponderebbe alla traslazione
dell’intero sistema) è assente. Perciò il numero dei gradi di libertà associati a vari Ak è
2·
N −1
+ 1 = N,
2
(2.363)
2.2. EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: PROPRIETÀ GENERALI
83
uguale al numero dei xn indipendenti.
Come è facile verificare, ci sono delle identità,
N
N
1 X i2π(ℓ−ℓ′ )/N
1 X ina(k−k′ )
e
=
e
= δℓ,ℓ′ ;
N n=1
N n=1
1 X ik(n−n′ )a
e
= δn,n′ ,
N
(2.364)
(2.365)
k
che risulteranno molto utili. Usando queste indentità, infatti, si trovano
X
n
=
X
k
(xn+1 − xn )2 =
Ak A−k (e
X mẋ2
n
n
2
=
ika
X 1 XX
′
′
Ak Ak′ eikna (eika − 1)eik na (eik a − 1)
N
′
n
k
− 1)(e
−ika
k
− 1) = 4
X
k
Ak A−k sin2
ka
;
2
′
mX 1 X
mX
Ȧk Ȧk′ eikna eik na =
Ȧk Ȧ−k .
2 n N
2
k
(2.366)
(2.367)
k
Ma usando la condizione di realtà di xn (205) si può scrivere (definendo Ak = ak + ibk ,
ak , bk reali per ℓ = 1, 2, . . . (N − 1)/2 )
Ȧk Ȧ∗k = ȧ2k + ḃ2k ;
Ak A−k = Ak A∗k = a2k + b2k ;
k = 1, 2, . . . (N − 1)/2;
(2.368)
e
AN/2 A−N/2 = A2N/2 .
(2.369)
Raccogliendo tutti i termini, troviamo che la Lagrangiana è uguale a
L =
(N −1)/2
X
ℓ=1
+
[
m 2 mωk2 2 m 2 mωk2 2
ȧ −
a + ḃk −
b ]
2 k
2 k
2
2 k
2
mω(N/2)
m 2
ȦN/2 −
A2N/2 ,
2
2
ωk2 ≡
4κ
ka
sin2 .
m
2
(2.370)
In altre parole, il sistema (203) è equivalente ad un insieme di N oscillatori armonici indipendenti! In termini di coordinate generalizzate {qi } = {ak , bk , AN/2 }, e gli impulsi
canonici corrispondenti, {pi }, l’Hamiltoniana del sistema è semplicemente,
H=
X p2
mωi2 2
q ].
[ i +
2m
2 i
i
(2.371)
La quantitizzazione del sistema procede esattamente come nel caso di un singolo oscillatore armonico: la descrizione degli autostati di energia è particolarmente semplice nel
formalismo di seconda quantizzazione (con operatori di creazione e di distruzione, per ciascun modo), seguendo l’esempio di Sec. 0.1.5 Un generico stato di stato di eccitazione è
dato dal ket
Y (a† )ni
√i |0, 0, . . .i
(2.372)
| . . . , ni , . . .i =
ni !
i
con energia,
E=
X
i
1
ωi ~(ni + ).
2
(2.373)
A differenza col caso del singolo oscillatore, qui ci sono N tipi di fononi di energia
ωi ~, i = 1, 2, . . . N . Si osservi che, corrispondente al passo reticolare (a) del sistema
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
84
originale, c’è un limite superiore della frequenza (limite inferiore della lunghezza d’onda,
a). Nel limite continuo, (N → ∞, a → 0, N a = L con L fisso), il sistema si riduce al
caso di una corda finita (con la condizione periodica, cfr Appendice 2): in tal caso non c’è
nessun limite inferiore alla lunghezza d’onda.
Un’analogo trattamento è possibile per i cristalli tri-dimensionali. I fononi sono quanti
di eccitazioni collettive (con energia ωi ~ ciascuno). La radiazione elettromagnetica libera (senza particelle cariche) è descritta in modo analogo, come un insieme di oscillatori
armonici (Appendice 2 e Capitolo 1.3), il fonone è chiamato fotone in questo caso.
Il fatto che molti sistemi di molti o infiniti gradi di libertà sono descritti nella prima approssimazione come un insieme di oscillatori indipendenti, è basale nel permetterci
di analizzare questi sistemi complessi con la teoria delle perturbazioni, nell’ambito del
formalismo di seconda quantizzazione (teoria dei campi quantistici).
2.3 Potenziale periodico e struttura di bande d’energia
Il comportamento in Meccanica Quantistica di una particella che si muove in un potenziale
periodico
V (x) = V (x + a)
(2.374)
(vedi Fig. 1.3) differisce in modo essenziale da quello che ci si aspetta dalla meccanica
classica. Come è stato anticipato già nell’introduzione, tale sistema può essere considerato
come prototipo dei sistemi più interessanti (per es., elettroni nei solidi).
Supponiamo che l’energia della particella E sia tale che
0 < E ≪ V0 ,
(2.375)
dove 0 e V0 s̀ono rispettivamente il valore minimo e il valore massimo del potenziale. Supponiamo inoltre che nell’approssimazione in qui il potenziale è considerato infinitamente
alto (V0 ≃ ∞) i livelli di energia e le funzione d’onda di una singola (n-sima) buca siano
dati da
(0)
(0)
(0)
E1 , E2 , . . . , Ei , . . . ;
ψ1 (x; n), ψ2 (x; n), . . . ψi (x; n), . . . .
(2.376)
I livelli di energia in altre buche sono identici a questi, mentre le funzioni d’onda dell’msima buca sarà data da ψi (x − (m − n)a; n). In altre parole, nell’approssimazione in
qui l’effetto tunnel è trascurato ogni livello è infinitamente degenere (con funzioni d’onda
{ψi (x; n)}, n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . che rappresentano la particella varie buche). In
seguito concentreremo la nostra attenzione ad un determinato livello (per es., i-simo), e
lasceremo implicito l’indice i. Un’identica considerazione è valida per tutti i livelli.
Dovuto all’effetto tunnel, sappiamo che i stati {ψ(x; n)} non rappresentano gli autostati
esatti dell’Hamiltoniana
p2
+ V.
(2.377)
H=
2m
Tuttavia, considerando gli effetti dovuti alla penetrazione di barriera come perturbazione,
possiamo scrivere
Hψ(x; n) ≃ E (0) ψ(x; n) − ǫ [ψ(x; n + 1) + ψ(x; n − 1)],
(2.378)
n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
(2.379)
dove ǫ corrisponde all’ampiezza di probabilità di tunnelling tra l’n-sima buca e le due
buche adiacenti.
La diagonalizzazione dell’Hamiltoniana, date il numero infinito di equazioni accoppiate, (223), appare un problema formidabile. In verità, essa si compie senza difficoltà con la
trasformata di Fourier rispetto a n,
ψ̃k (x) ≡
∞
X
n=−∞
eikan ψ(x; n),
(2.380)
2.3. POTENZIALE PERIODICO E STRUTTURA DI BANDE D’ENERGIA
85
dove k è un parametro reale (k~ = p è una sorta di impulso coniugato a n). Essendo il coniugato di Fourier di una variabile discreta n, ka è un parametro angolare: k ∈
[−π/a, π/a].
Infatti, moltiplicando con eikan e sommando su n in ambedue i membri di (223), e
usando ψ(x; n ± 1) = ψ(x ∓ a; n), troviamo che le combinazioni lineari in (224) sono
infatti autostati dell’energia:
H ψ̃k (x) = [E (0) − 2ǫ cos(ka)] ψ̃k (x).
(2.381)
In altre parole, invece di un singolo livello E (0) infinitamente degenere, abbiamo trovato
una spettro continuo compreso in [E (0) − 2ǫ, E (0) + 2ǫ] (banda di energia), parametrizzato
dall’impulso p = k~. Ad ogni valore di energia nella banda sono associati solo due stati
distinti, con k = ±|k|. Gli autostati di energia (224) non sono localizzati a una delle buche;
sono estesi a tutto lo spazio −∞ < x < ∞.
(Osserviamo a questo proposito il seguente fatto. Le autofunzioni vere differiscono in
modo essenziale da quelle “non perturbate, (220), anche quando i termini di “perturbazioni
∝ ǫ sono infinitesimi. La ragione di tale fenomeno sta nella degenerazione degli stati
nonperturbati. Vedi Capitolo ??)
Le autofunzioni (224) non sono autostati dell’operatore d’impulso −i~(d/dx), tanto
è vero che l’invarianza per traslazioni x → x + ∆x è violata dal potenziale. D’altra
parte, l’invarianza per traslazioni discrete generate da x → x ± a (che è una simmetria
dell’Hamiltoniana) fà sı̀ che le autofunzioni soddisfano
ψ̃k (x ± a) = e±ika ψ̃k (x),
(2.382)
(dove abbiamo usato la relazione ψ(x + a; n) = ψ(x; n − 1), ecc.), proprietà condivisa da
un’onda piana usuale. Questo aspetto si illustra meglio ancora se si considerasse i casi di
piccoli impulsi, ka ≪ 1. La relazione energia-impulso in questi casi si riduce a
E = E (0) − 2ǫ cos(ka)) ≃ E (0) − 2ǫ + ǫk 2 a2 .
(2.383)
A parte una costante, questa è la relazione standard tra l’energia e l’impulso di una particella libera con la massa,
~2
.
(2.384)
mef f =
2ǫa2
Naturalmente si tratta di una massa efficace, dipendente da dettagli del potenziale e dalla
banda considerata; essa non ha niente a che fare con la massa vera della particella m.
Nonostante ciò, resta il fatto che la particella “propaga liberamente attraverso le barriere di
potenziale.
Ricapiltolando, gli autovalori dell’energia sono le bande di energia, attorno a ciascuno
(0)
(0)
(0)
di E1 , E2 , . . . , Ei , . . .. Le autofunzioni descrivono una sorta di onda piana, con l’impulso limitato a p ∈ [−~π/a, ~π/a], e collegato al valore di energia tramite una relazione
del tipo (225). Questo, dunque, è il meccanismo con cui l’elettrone nei cristalli si muove
liberamente (conduzione elettrica dei metalli), sebbene subisse diffusione da tutti gli atomi
che formano il reticolo cristallino.
In tutto ciò, è fondamentale il fatto che l’effetto tunnel descrive una penetrazione di
particella a livello di ampiezza o di funzione d’onda (vedi (223)), e non a livello di probablilità. In questo senso, la conduttività elettrica dei metalli è uno dei fenomeni che meglio
illustrano le caratteristiche della meccanica quantistica.
2.3.1 Esempio di simmetria: parità della funzione d’onda; doppia
buca
Il concetto di simmetrie è di importanza sia in meccanica classica che in meccanica quantistica. Anticipando la discussione più generale sulle simmetrie, discutiamo qui le conseguenze della simmetria della parità (simmetria per x → −x) del sistema.
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
86
Molti sistemi come buca di potenziale, il sistema con il potenziale delta, etc, possiedono
la proprietà che l’Hamiltoniana è invariante per l’operazione di riflessione spaziale,
P H(x, p) P ≡ H(−x, −p) = H(x, p).
Se definiamo la parità sulla funzione d’onda
Pψ(x) = ψ(−x),
segue dall’equazione di Schrödinger che se ψ (n) (x) è l’autofunzione dell’n-simo livello
energetico, con En , Pψ (n) (x) = ψ (n) (−x) lo è anche. Visto che in una dimensione non ci
sono degenerazione dei livelli discreti, segue che
ψ (n) (−x) = ±ψ (n) (x) :
(2.385)
ogni autofunzione di energia deve essere o pari o dispari rispetto a x → −x. Secondo il
teorema do oscillazione, lo stato fondamentale non ha nodi, perciò è pari. Il primo stato di
eccitazione ha un nodo ed è dispari, e cosı̀via. Tali caratteristiche sono effettivamente possedute dalle autofunzioni in tutti gli esempi considerati, le buche di potenziale, il sistema
con il potenziale delta, etc.
È interessante considerare il sistema di doppia buca di potenziale come quella in Fig.
11. Se la barriera centrale è molto alta, si avranno approssimativamente due buche di potenziali (simmetriche), con i primi livelli di energia E = E0 , E1 , . . . , e le funzioni d’onda
(n)
(n)
(n)
saranno ψL (x) e ψR (x) = ψL (−x). In altre parole avremo una doppia degenerazione
dei livelli, cosa che è tuttavia proibita dal teorema di non degenerazione. Fisicamente, la
particella che si muove in una delle buche non dovrebbe accorgersi dell’altra buca se la
barriera centrale è sufficientemente alta, ma la conclusione naı̈va - doppia degenerazione
dei livelli - non può essere corretta. Come si evita la contraddizione?
Il punto è che, dovuto all’effetto tunnel, l’ampiezza per andare da una buca all’altra non
è nulla (anche se è molto piccola) comunque alta sia la barriera centrale. D’altra parte, dalla
discussione sulla parità qui sopra, è chiaro che ogni autofunzione di energia deve avere la
parità definita. Segue che lo stato fondamentale del sistema ‘e la combinazione simmetrica
1
(n)
(n)
ψ (f ond) (x) ≃ √ (ψL (x) + ψR (x));
2
(2.386)
mentre il primo stato eccitato è
1
(n)
(n)
ψ (primo) (x) ≃ √ (ψL (x) − ψR (x)).
2
(2.387)
Se consideriamo una situazione fisica dove l’energia rilevante è piccola rispetto a E1 − E0 ,
un tale sistema può essere approssimato con un sistema “a due stati”, descritta da
E0 −ǫ
,
(2.388)
H=
−ǫ E0
(0)
(0)
nella base di ψL (x) e ψR (x), dove ǫ descrive l’ampiezza di penetrazione da una buca all’altra. La diagonalizzazione di H dà i livelli di energia E ∓ ǫ, con ψ (f ond) (x) e
ψ (primo) (x) come autofunzioni corrispendenti.
2.3.2
Problemi
1. Al tempo t = 0 lo stato di una particella libera è espresso dalla funzione d’onda
Ψ(x, 0) = A exp{−
x2
+ ik0 x}
a2
2.3. POTENZIALE PERIODICO E STRUTTURA DI BANDE D’ENERGIA
87
Figura 2.14: Una doppia buca di potenziale
a) Si calcoli il fattore A e la regione dove la particella è localizzata.
b) Si determini la densità di corrente di probabilità j.
c) Si determinino Ψ(x, t), ρ(x, t) e j(x, t).
d) Si trovino i valori di aspettazione della posizione e dell’impulso al tempo t = 0.
e) Si calcolino < ∆x2 > e < ∆p2 > al tempo t = 0 e si verifichi la relazione di
indeterminazione per queste due quantità.
2. Una particella si trova in una buca di potenziale unidimensionale 0 ≤ x ≤ a, per
la quale V = 0 dentro la buca e V = ∞ al di fuori. Si risolva l’equazione di
Schrödinger dipendente dal tempo per questo sistema.
3. Si trovino le funzioni d’onda e i livelli energetici per una particella in un potenziale
V (x) della forma


perx < −a,
0
V (x) = −V0 per − a ≤ x ≤ a,


0
perx > a.
4. Si trovino i livelli energetici e le funzioni d’onda di un oscillatore armonico unidimensionale che è posto in un campo elettrico costante E. La carica elettrica dell’oscillatore è e.
5. Si consideri un oscillatore armonico unidimensionale nel suo n-mo livello energetico.
Si trovino < x2 > e il valore di aspettazione dell’energia potenziale per questo caso.
6. Si calcoli l’energia cinetica media di un oscillatore armonico unidemensionale la cui
energia è 27 ~ω.
7. Si trovino i livelli energetici e le funzioni d’onda per la buca di potenziale unidimensionale Coulombiano
e2
V (x) = − .
|x|
8. Si studi l’evoluzione temporale del pacchetto d’onda che all’istante t = 0 ha la forma
2
ψ(x, 0) = π −1/4 α1/2 e−α
(x−a)2 /2
,
p
(α ≡ mω/~.) L’Hamiltoniana è quella dell’oscillatore armonico.
(2.389)
9. Disegnare la variazione dello spettro del sistema discusso nel sottocapitolo 0.1.7, come
funzione di θ nell’intervallo, 0 ≤ θ ≤ 2π.
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
88
2.4 Complemento sul sistema con il potenziale g δ(x)
In questo complemento, illusteremo la relazione di ortonormalità e la relazione di completezza in un sistema in cui lo spettro contiene sia la parte discreta che quella continua. Il
sistema è quella di una buca delta,
H=
p2
− g δ(x),
2m
g>0
(2.390)
x<0
x > 0,
(2.391)
mg 2
.
2~2
(2.392)
già discusso in una sezione precendente.
2.4.1 Spettro discreto
In questo sistema esiste un solo stato legato,
(√
κ eκx
(0)
ψ (x) = √ −κx
κe
dove
κ=
mg
;
~2
E0 = −
2.4.2 Spettro continuo
Si può porre, per gli stati di E ≥ 0,
(
ψ(x) =
A eikx + B e−ikx
C eikx + D e−ikx
x < 0,
x > 0,
(2.393)
dove
k 2 ~2
.
2m
La condizione di continuità tra le due regioni I e II è:
E=
(2.394)
A + B = C + D.
(2.395)
La condizione di continuità per la derivata prima dà (dalla (160):
C −D =A−B+
2i m g
(A + B) = (1 + 2iα)A − (1 − 2iα)B,
k~2
(2.396)
dove
κ
mg
= > 0.
k~2
k
Risolvendo (239) e (240) per C, D, si ha
α=
o
(2.397)
C = (1 + iα)A + iαB,
(2.398)
D = −iαA + (1 − iα)B.
(2.399)
C
A
=S
,
D
B
(2.400)
dove
S=
1 + iα
iα
;
−iα 1 − iα
S
−1
1 − iα −iα
=
,
iα
1 + iα
α=
κ
k
(2.401)
2.4. COMPLEMENTO SUL SISTEMA CON IL POTENZIALE G δ(X)
è la matrice di transizione. L’inverso è
C
A
1 − iα −iα
C
=
= S −1
D
B
iα
1 + iα
D
89
(2.402)
Per qualsiasi valore di k reale la (165) con tali coefficienti rappresenta autostati possibili
(continui) dell’Hamiltoniana.
Per le applicazioni fisiche e per la considerazione sotto, conviene introdurre gli stati R
(right mover) e L (left mover) corrispondenti alla particella incidente da x = −∞, e quelli
corrispondenti a particella incidente da x = +∞. Gli stati R e L sono analoghi degli stati
e±i k x nel caso libero. Essi sono (ponendo D = 0 o A = 0, rispettivamente)
(
√1 [ eikx − F (k) e−ikx ],
x < 0,
(R)
2π
(2.403)
ψk (x) =
1
ikx
√ (1 − F (k)) e
,
x > 0,
2π
dove
F (k) =
1
.
1 + i k/κ
(2.404)
e
(L)
ψk (x)
=
(
√1 (1 − F (k)) e−ikx ,
2π
√1 [ e−ikx − F (k) eikx
2π
x < 0,
],
x > 0,
(2.405)
con lo stesso F (k). k ≥ 0 sopra, e la normalizzazione è stata fissata di modo che la
relazioni di ortonomalità prende la forma canonica.
2.4.3
Ortogonalità tra lo stato discreto e uno stato nel continuo
Facendo uso di
κ ± ik =
mg
± ik = ±ik(1 ∓ iα)
~2
(2.406)
si ha infatti
hψcont |ψdis i =
=
=
=
2.4.4
Z
0
∗ −ikx
∗ ikx
dx [ A e
+B e
]e
κx
+
Z
∞
dx [ C ∗ e−ikx + D∗ eikx ]e−κx
0
−∞
A∗
B∗
C∗
D∗
+
+
+
κ − ik κ + ik κ + ik κ − ik
B∗ + C ∗
1 1 + iα ∗
1 1 − iα ∗
A∗ + D∗
+
=
(C + D∗ ) +
(C + D∗ )
κ − ik
κ + ik
−ik 1 + iα
ik 1 − iα
0.
(2.407)
Ortogonalità tra gli stati del continuo
Prendiamo due stati di tipo R:
Rhk
′
|kiR
=
+
Z 0
′
′
1
dx [ e−ik x − F ∗ (k) eik x ] [ eikx − F (k) e−ikx ]
2π −∞
Z ∞
′
1
dx (1 − F ∗ (k)) (1 − F (k)) e−ik x eikx .
(2.408)
2π 0
Utilizzando le formule
Z ∞
Z 0
Z
dx e−ikx =
dx eikx = lim
0
−∞
ǫ→0+
0
−∞
dx eikx−ǫ x = lim
ǫ→0+
P
1
= π δ(k) + i ,
ǫ−ik
k
(2.409)
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
90
dove P indica il valor principale di Cauchy, si ha
Rhk
′
|kiR
1
P
P
− F (k) (π δ(k + k ′ ) − i
)
[ π δ(k − k ′ ) + i
′
2π
k−k
k + k′
P
P
− F (k ′ )∗ (π δ(k + k ′ ) + i
) + F (k ′ )∗ F (k) (π δ(k − k ′ ) − i
)
k + k′
k − k′
P
+ (1 − F (k ′ )∗ )(1 − F (k))(π δ(k − k ′ ) − i
) ].
(2.410)
k − k′
=
Notando
δ(k + k ′ ) = 0;
1 + F (k ′ )∗ F (k) − (1 − F (k ′ )∗ )(1 − F (k))|k=k′ = 2;
1 − F (k ′ )∗ F (k) − (1 − F (k ′ )∗ )(1 − F (k)) =
F (k) − F (k ′ )∗ = −
e infine
(k + k ′ )
troviamo
i
κ (k
− k′ )
;
(1 + ik/κ)(1 − ik ′ /κ)
i
κ (k
+ k′ )
,
(1 + ik/κ)(1 − ik ′ /κ)
P
P
= (k − k ′ )
= 1,
′
k+k
k − k′
Rhk
′
|kiR = δ(k − k ′ ).
(2.411)
(2.412)
(2.413)
(2.414)
(2.415)
Analoghi calcoli dimostrano che
Lhk
′
|kiL = δ(k − k ′ ),
Lhk
′
|kiR =R hk ′ |kiL = 0.
(2.416)
2.4.5 Completezza
Illustriamo ora la relazione di completezza, Eq.(2.138),
Z
X
∗ ′
ψn (q)ψn (q ) + df ψf (q)ψf∗ (q ′ ) = δ(q − q ′ )
(2.417)
n
che in questo sistema coinvolge sia un termine di stato discreto e l’integrale sugli stati del
continuo. Calcoliamo il contributo del continuo
Z ∞
Z ∞
(R)
(R)∗
(L)
(L)∗
dk ψk (x) ψk (x′ ) +
dk ψk (x) ψk (x′ ).
(2.418)
0
0
dove le funzioni d’onda di una particella del tipo R (right-mover) e del tipo L(left mover)
sono definite nelle (247), (249). Ora per x > 0, x′ > 0, troviamo
Z ∞
Z ∞
′
1
(R)
(R)∗ ′
dk ψk (x) ψk (x ) =
dk (1 − F (k))(1 − F ∗ (k)) eik(x−x )
2π 0
0
Z ∞
′
1
iκ
κ2
iκ
=
−
+
] eik(x−x )
dk [ 1 +
2π 0
k − iκ k + iκ (k − iκ) (k + iκ)
Z ∞
′
1
κ2
] eik(x−x ) ;
=
dk [ 1 −
2π 0
(k − iκ) (k + iκ)
Z ∞
′
′
1
dk [ e−ikx − F (k)eikx ] [ eikx − F (k)e−ikx ] =
=
2π 0
0
Z ∞
′
′
i κ −ik(x+x′ )
κ2
i
κ ik(x+x′ )
1
e
−
e
+
eik(x−x ) ].
dk [ e−ik(x−x ) +
2π 0
k −iκ
k +iκ
(k − iκ) (k + iκ)
Z
∞
(L)
dk ψk (x)
(L)∗
ψk (x′ )
2.4. COMPLEMENTO SUL SISTEMA CON IL POTENZIALE G δ(X)
91
Perciò (ricordando che x > 0, x′ > 0),
Z ∞
Z ∞
′
i κ ik(x+x′ )
1
(R)
(R)∗
(L)
(L)∗
e
]
dk [ eik(x−x ) +
dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] =
2π −∞
k −iκ
0
=
′
δ(x − x′ ) − κ e−κ (x+x ) = δ(x − x′ ) − ψ (0) (x) ψ (0)∗ (x′ ),
(2.419)
dove il secondo integrale è stato fatto col teorema di residuo. Abbiamo quindi dimostrato
esplicitamente (per x > 0, x′ > 0) la relazione di completezza,
Z ∞
(R)
(R)∗
(L)
(L)∗
dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] = δ(x − x′ ).
ψ (0) (x) ψ (0)∗ (x′ ) +
0
(2.420)
Per x < 0, x′ > 0, il contributo dello spettro continuo è
Z ∞
(R)
(R)∗
(L)
(L)∗
dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ]
0
Z ∞
′
′
′
1
=
dk [ eikx − F (k) e−ikx ] (1 − F ∗ (k)) e−ikx + (1 − F (k)) e−ikx [ eikx − F ∗ (k) e−ikx ]
2π 0
Z ∞
′
′
iκ
1
eik(x−x ) ]
dk [ eik(x−x ) −
=
2π −∞
k +iκ
=
′
δ(x − x′ ) − κ eκ (x−x ) = δ(x − x′ ) − ψ (0) (x) ψ (0)∗ (x′ )
che è il risultato corretto.
È interessante considerare il caso di potenziale δ(x) ripulsivo, che corrisponde a prendere il segno g < 0 nella (234). In questo caso non esiste nessun stato legato. Il contributo del continuo deve dare esattamente δ(x − x′ ). La dimostrazione è semplice: l’unico
cambiamento nel precedente è che ora κ < 0. I passaggi fino alla (263) non subiscono
modifiche sostanziali, poiché coinvolgono soltanto cancellazioni algebriche. Nel secondo
termine della (263), per x > 0, x′ > 0, il polo dell’integrando ora sta nel piano inferiore:
essendo x + x′ > 0, l’integrale su k dà zero grazie al teorema di Cauchy. Perciò
Z ∞
(R)
(R)∗
(L)
(L)∗
dk [ ψk (x) ψk (x′ ) + ψk (x) ψk (x′ ) ] = δ(x − x′ )
(2.422)
0
semplicemente, come deve essere. Lo stesso vale per (265), che dà nel secondo membro
semplicemente δ(x − x′ ).
(2.421)
92
CAPITOLO 2. PRINCÌPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Capitolo 3
Aspetti formali della meccanica
quantistica
93
94
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, i postulati principali della meccanica quantistica su
(i) come descrivere stati quantistici e come specificare un particolare stato;
(ii) come uno stato evolve nel tempo;
(iii) come descrivere le variabili dinamiche; trovare tutti i possibili valori per ogni variabile
dinamica e ottenere le probabilità che la misura di una quantità fisica in uno stato dia
un determinato risultato,
sono formulati in modo esatto e esauriente nell’approccio di Schrödinger. Prima di procedere ai problemi fisici più realistici in tre dimensioni, ed elaborare le conseguenze delle
regole della nuova meccanica in tutta la sua ampiezza, tuttavia, è opportuno fermarci qui
a riflettere sulla struttura logica e matematica della teoria e esaminare con più attenzione i
concetti principali trattati.
In meccanica quantistica esiste una grande libertà di linguaggio nel modo di descrivere
sia gli stati che le variabili; i risultati fisici sono indipendenti dal linguaggio (detto rappresentazione) usato. Tale libertà del linguaggio trova una certa analogia anche in meccanica
classica (trasformazioni canoniche); tuttavia l’importanza e la portata delle sue conseguenze in meccanica quantistica a nostro parere vanno molto al di là di quanto non accade in
meccanica classica .
Questa libertà della scelta delle rappresentazioni significa che i concetti come stati,
operatori e evoluzioni temporali, vanno definiti in modo più generale e più astratto. Le
descrizioni in diverse rappresentazioni sono collegate fra loro da cosı̀dette trasformazioni
unitarie. La teoria delle trasformazioni unitarie fornisce, oltre il chiarimento concettuale,
un metodo talvolta molto efficace di soluzioni.
3.1 Rappresentazione delle coordinate e degli impulsi
La funzione d’onda ψ(x, t) rappresenta uno stato quantistico. Più precisamente, essa
va considerata come una particolare rappresentazione di uno stato quantistico “ψ” come
distribuzione in x. Possiamo scrivere, infatti,
Z
Z
ψ(x, t) =
dx′ δ(x′ − x)ψ(x′ , t) = dx′ ψx∗ (x′ )ψ(x′ , t)
= hx|ψi,
(3.1)
dove abbiamo usato la notazione di Dirac,
Z
dx′ φ∗ (x′ )χ(x′ ) ≡ hφ|χi.
(3.2)
Inoltre ψx (x′ ) = δ(x − x′ ) è l’autostato della posizione con autovalore x. In (3.1) la
funzione d’onda è espressa come proiezione dello stato “ψ” sugli autostati della posizione.
Analogamente deve essere possibile proiettare lo stesso stato sugli autostati degli impulsi
(per esempio), e considerare la funzione d’onda nella rappresentazione degli impulsi. Ciò
è fatto ricordando che gli autostati degli impulsi sono dati da:
′
1
ψp (x′ ) = √
e−ipx /~ ,
2π~
i.e.,
ψ(p, t) = hp|ψi =
Z
dx′ ψp (x′ )∗ ψ(x′ , t).
(3.3)
(3.4)
In altre parole la traduzione dalla rappresentazione delle coordinate alla rappresentazione
degli impulsi equivale ad una trasformazione di Fourier.
3.2. BRA E KET, SPAZIO DI HILBERT DEI VETTORI
95
Per esempio, l’autostato della posizione con autovalore x0 è, nella rappresentazione
degli impulsi,
1
e−ipx0 /~ ,
(3.5)
hp|x0 i = √
2π~
mentre l’autostato dell’impulso con autovalore p0
1
hx|p0 i = √
eip0 x/~
2π~
(3.6)
hp|p0 i = δ(p − p0 ).
(3.7)
viene tradotto a
Infine, l’n-simo stato stazionario dell’oscillatore armonico “ψn ”
2
hx|ni = ψn (x) = Cn Hn (αx)e−α
x2 /2
(3.8)
(vedi Cap. 2.1) è descritto, nella rappresentazione degli impulsi, dalla funzione d’onda
Z
2
2 2
Cn
(−i)n Hn (p/α~)e−p /2α ~ :
(3.9)
ψ(p) = hp|ni = dx hp|xihx|ni =
1/2
α~
la trasformata di Fourier della funzione d’onda (3.8).
Nella rappresentazione degli impulsi l’impulso è rappresentato da un operatore triviale
(numero) p̂ = p, mentre l’operatore della posizione diventa
x̂ = +i~
∂
.
∂p
(3.10)
Si noti la differenza del segno rispetto all’espressione dell’operatore dell’impulso nella
rappresentazione usuale. Tale segno è necessario perché valga la relazione fondamentale
[x̂, p̂] = i~.
(3.11)
Questa relazione è infatti valida in qualsiasi rappresentazione.
3.2 Bra e Ket, Spazio di Hilbert dei vettori
La discussione precedente mette in chiara luce il fatto importante dal punto di vista concettuale: lo stato quantistico è descritto dal raggio di vettori (chiamato ket ),
|ψi.
(3.12)
(Inoltre è conveniente introdurre una sorta di vettore coniugato, hψ| chiamato bra. Questi
terminologie sono stati inventate da Dirac, dalla parola “bracket” in inglese.) La descrizione dello stato “ψ” in termini di una funzione complessa (per esempio) non è che una delle
possibili rappresentazioni. Gli operatori, equazione del moto, ecc., vanno definiti nello
spazio dei tali vettori astratti. In seguito studieremo prima le proprietà generali di questo spazio, lasciando lo studio delle relazioni tra le varie rappresentazioni ai sottocapitoli
successivi.
Le proprietà richieste allo spazio H (dei vettori che rappresentano i possibili stati
quantistici di un determinato sistema) sono:
A. H è uno spazio vettoriale;
B. In H è definito il prodotto interno (scalare) hχ|φi tra due vettori, che è un numero
complesso.
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
96
C. H è uno spazio completo (chiuso);
D. H è uno spazio separabile.
Uno spazio che soddisfano queste proprietà è chiamato spazio di Hilbert. (Il concetto di
spazio di Hilbert è stato introdotto da D. Hilbert (∼1910) come una generalizzazione dello
spazio Euclideo n dimensionale Rn (con elementi (x1 , x2 , . . . xn )) nel limite n → ∞.
Molte delle proprietà degli spazi di Hilbert sono di conseguenza generalizzazioni naturali
di quelle in spazi Euclidei.)
A. H è uno spazio vettoriale (in seguito scriveremo spesso semplicemente ψ, φ, ecc. al
posto di |ψi, |φi, ecc. :)
ψ, φ ∈ H → cψ + dφ ∈ H,
(3.13)
dove c, d sono numeri complessi (principio di sovrapposizione). In altre parole, in H la
somma dei vettori e la moltiplicazione con numeri complessi sono definiti, con le seguenti
proprietà:
ψ+φ
(ψ + φ) + χ
c(ψ + φ)
(cd)ψ
0·ψ
1·ψ
= φ + ψ;
= ψ + (φ + χ)
= cψ + cφ,
= c(dψ)
= 0
= ψ.
(3.14)
Si noti in particolare che esiste un vettore nullo, ψ − ψ = 0. I vettori ψ1 , ψ2 , . . . ψk sono
linearmente indipendenti se
c1 ψ1 + c2 ψ2 + . . . + ck ψk = 0
(3.15)
c1 = c2 = . . . = ck = 0.
(3.16)
implica
B. Per ogni coppia di vettori in H, ψ e φ, è definito il loro prodotto scalare hφ|ψi ∈ C (un
numero complesso) tale che
hφ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i =
∗
hφ|ψi =
hψ|ψi ≥
c1 hφ|ψ1 i + c2 hφ|ψ2 i;
hψ|φi
0, (= 0,
se e solo se
|ψi = 0).
(3.17)
Si noti che la prima e la seconda relazioni implicano che
hcφ|ψi = c∗ hφ|ψi.
(3.18)
In letteratura si trovano a volte notazioni diverse da quella usata qui: per esempio (ψ, φ) al
posto di hφ|ψi.
Nella rappresentazione delle coordinate il prodotto scalare tra due vettori ψ e φ prende
la forma esplicita:
Z
hφ|ψi =
dq φ∗ (q)ψ(q).
(3.19)
L’ultima delle proprietà sopra ci permette di introdurre la norma di un vettore,
p
(3.20)
kψk ≡ hψ|ψi.
L’introduzione della norma - la grandezza di ogni vettore - in H, implica che si può
definire la distanza tra due vettori ψ e φ in modo naturale:
p
kψ − φk = hψ − φ|ψ − φi.
(3.21)
3.2. BRA E KET, SPAZIO DI HILBERT DEI VETTORI
97
H è dunque uno spazio metrico. In tale spazio, si può definire il concetto di limite di una
successione, {ψn } = ψ1 , ψ2 , . . . col criterio di Cauchy: se ogni ǫ > 0 esiste un numero
intero N (ǫ) tale che per n, m > N (ǫ) vale
kψn − ψm k < ǫ,
(3.22)
allora la successione converge.
Disuguaglianza triangolare Ogni definizione di distanza deve essere tale che per tre punti
qualsiasi dello spazio (che posono essere scelti 0, ψ e φ) valga
kψ − φk ≤ kψk + kφk,
(3.23)
(dove l’eguaglianza è valida se e solo se c1 ψ = c2 φ, c1 , c2 ∈ C. )
La dimostrazione che l’(3.23) è infatti soddisfatta, non è difficile. Si osservi prima
hψ − φ|ψ − φi = kψk2 + kφk2 − 2Rehφ|ψi.
(3.24)
Ma per un numero complesso qualsiasi vale
−Rehφ|ψi ≤ |hφ|ψi|,
(3.25)
perciò si avrà la dimostrazione se si può provare la seguente disuguaglianza (disuguaglianza
di Schwarz):
|hφ|ψi| ≤ kφkkψk.
(3.26)
Per provare la (3.26), basta considerare un vettore,
φ̃ ≡ φ − ψ ·
hψ|φi
.
kψk2
(3.27)
La (3.26) segue dal fatto che la norma di φ̃ è positivo semidefinito.
C. H è completo nel senso che ogni successione ψ1 , ψ2 , . . . che soddisfa il criterio di Cauchy converge in H: cioè limn→∞ ψn ≡ ψ ∈ H. (Nota: l’insieme (0, 1) non è completo.
Per esempio limn→∞ (1/n) = 0 6∈ (0, 1). )
D. H è separabile. Cioè esiste un sottoinsieme (base) numerabile S ⊂ H, denso dapperttutto in H. In altre parole ogni vettore ψ ∈ H è il limite di una successione {φn } in S.
(L’insieme di numeri razionali forma una base numerabile e densa dapperttutto nello spazio
dei numeri reali, perciò R è separabile.)
La conseguenza più importante di A. − D. è l’esistenza di un sistema completo e ortonormale dei vettori in H, {ψn }. In altre parole, ogni vettore in H può essere scritto
come
N
X
X
cn ψn ≡
cn ψn
(3.28)
ψ = lim
N →∞
n=0
dove i coefficienti di sviluppo cn sono dati da
cn = hψn |ψi,
cioè per ogni vettore è valida la relazione
X
|ψi =
|ψn ihψn |ψi.
(3.29)
(3.30)
n
Questa equivale a
X
n
|ψn ihψn | = 1,
(3.31)
la relazione di completezza, già vista nel Cap.2.1.
Si noti che in uno spazio di Hilbert, il numero massimo di vettori linearmente indipendenti (detto dimensione dello spazio) o è finito o è infinito. Nel primo caso, le proprietà C.
e D. sono automaticamente soddisfatte e quindi triviali. Viceversa per gli spazi di Hilbert
di dimensione infinita, le richieste C. e D. sono fondamentali.
98
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
3.2.1 Operatori autoaggiunti, variabili dinamiche e lo spettro
Gli operatori sono ora definiti anche essi nello spazio di Hilbert astratto,
A : H → H.
(3.32)
Se esiste un numero reale C tale che
||A ψ|| < C ||ψ||,
∀ψ ∈ H,
allora ||A|| è definito come il più piccollo di tale costante C. (||A|| = Sup||A ψ||/||ψ||; ∀ψ.)
Un operatore con norma finito è limitato. Se non esiste tale costante finito, l’operatore è
illimitato. In meccanica quantistica abbiamo spesso a che fare con operatori illimitati.
(i) L’operatore energia dell’oscillatore armonico,
H=
1
p2
+ m ω 2 x2 ,
2m 2
è illimitato perché esistono stati ψn tali che H ψ (n) = En ψ (n) , ||ψn || = 1, con
valori di En arbitrariamente grandi.
(ii) L’operatore x è illimitato. Per esempio, gli stati ψ (n) =
normalizzati, ma
n2
,
||x ψ (n) ||2 =
2
e può essere arbitrariamente grande.
p
(iii) In una dimensione, ψ(x) = πa √x21+a2 ∈ H ma x ψ 6∈ H.
1
π 1/4 n1/2
e−x
2
/2n2
, sono
La necessità di trattare operatori illimitati rende indispensabile porre una condizione
più precisa su possibili operatori da associare a variabili dinamiche nella teoria. Infatti un
teorema rilevante in questo contesto (Hellinger-Toeplitz) afferma che un operatore definito
dappertutto in H, con la proprietà
hA φ|ψi = hφ|A ψi,
(3.33)
è neccessariamente limitato. Segue che per un operatore illimitato, la definizione di “realtà”
(che abbiamo chiamato senza molta attenzione “Hermitiano” in una sezione precedente)
richiede l’esame del dominio di ogni operatore. Il dominio di un operatore A, D(A), è
definito da
ψ ∈ D(A) ⊂ H,
se A ψ ∈ H.
(3.34)
Se per un vettore ψ ∈ H, esiste un vettore η ∈ H tale che
hA φ|ψi = hφ|ηi,
∀φ ∈ D(A),
(3.35)
allora per definizione
A† |ψi ≡ |ηi.
(3.36)
hA φ|ψi = hφ|A† |ψi.
(3.37)
La relazione
è valida per definizione. L’esistenza del vettore η definisce D(A† ). L’operatore A† è
chiamato aggiunto (o coniugato Hermitiano) dell’operatore A. Dalla definizione segue
la relazione,
hφ|A† |ψi = (hψ|A|φi)∗ .
(3.38)
Un operatore con la proprietà,
A† ψ = A ψ,
∀ψ ∈ D(A),
D(A) ⊂ D(A† )
(3.39)
3.2. BRA E KET, SPAZIO DI HILBERT DEI VETTORI
99
è detto operatore Hermitiano, o simmetrico. Se vale anche
D(A† ) = D(A)
(3.40)
tale operatore è autoaggiunto. Per un operatore autoaggiunto, vale
hψ|A|ψi = hψ|A|ψi∗ ,
∀ψ ∈ D(A),
(3.41)
il suo valor medio in uno stato qualsiasi, e perciò ogni suo autovalore, è reale.
Per postulato, ad ogni variabile dinamica è associato ad un operatore autoaggiunto.
Riportiamo qui due teoremi, senza dimostrazione, che valgono per ogni operatore autoaggiunto:
Teorema
Sia A un operatore autoaggiunto e
U (t) ≡ ei t A
(3.42)
con unparametro coninuo t. Segue allora che
(a) Se t, s sono reali, U † (t) U (t) = 1,
U (t + s) = U (t) U (s);
(b) Per φ ∈ H qualsiasi e per t → t0 vale U (t) φ → U (t0 ) φ;
(c) Per ψ ∈ D(A) qualsiasi vale
(d) Se limt→0
U(t) ψ−ψ
t
U(t) ψ−ψ t→0
−→
t
i A ψ.
esiste, allora ψ ∈ D(A)
Teorema (Stone)
Se U (t) è un operatore unitario in H e fortemente continuo in t (i.e., soddisfano le
proprietà (a) e (b) sopra), allora esiste un operatore autoaggiunto A in H tale che
U (t) = ei t A .
(3.43)
In altre parole, gli operatori autoaggiunti sono operatori per i quali valgono molte proprietà note per una matrice Hermitiana. Il valor d’aspettazione di una classe di operatore
autoaggiunti del tipo, A = B † B, è semipositivo definito:
hψ| B † B |ψi ≥ 0,
(3.44)
con l’uguaglianza valida se e solo se B |ψi = 0.
Lo spettro di un operatore autoaggiunto A è l’insieme di suoi autovalori propri (autovalori discreti) e autovalori impropri (autovalori continui): I primi corrispondono ai valori
λ tale che
(A − λm )|ψm i = 0; kψm k = 1, m = 0, 1, 2, . . . ;
(3.45)
per lo spettro continuo la condizione è sostituita dal seguente criterio più generale:
Criterio di Weyl:
il valore λ fa parte dello spettro di un operatore A se e solo se esiste una successione
ψn , tale che
lim kAψn − λψn k = 0, kψn k = 1
(3.46)
n→∞
Per esempio, nel caso di operatore dell’impulso, l’esistenza della successione
ψn =
2
2
1
eipx/~ e−x /2n ,
π 1/4 n1/2
n = 1, 2, . . .
(3.47)
100
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
dimostra che tutti i valori reali fanno parte dello spettro dell’operatore p = −i~(d/dx).
Analogamente, per l’operatore della posizione, si ha
lim k(x − x0 )ψn k = 0,
(3.48)
n→∞
per la successione
2n 1/4 −n(x−x0 )2
) e
.
(3.49)
π
Esercizio: Si dimostri che la (3.46) è infatti soddisfatta dall’operatore p = −i~(d/dx) con
la successione (3.47) e con λ = p. Si verifichi la (3.48).
♠
L’insieme di spettro discreto e spettro continuo forma un insieme chiuso. L’insieme
risolvente di un operatore A è per definizione l’insieme di x ∈ ρ(A) tale che A − x 1 ha
un operatore inverso limitato,
(A − x 1)−1 ,
(3.50)
ψn = (
(chiamato operatore risolvente di A). L’insieme risolvente è ovviamente un aperto. Il complemento di ρ(A), σ(A), (i.e., l’insieme di x, x 6∈ ρ(A)), forma lo spettro dell’operatore
A.
Infine il cosı̀detto teorema spettorale, riportato qui anche esso senza dimostrazione,
asserisce che per ogni operatore autoaggiunto O esiste un insieme di autovalori (propri e
impropri) {λn , λ} e relativi operatori di proiezione, (dove abbiamo assunto che lo spettro
continuo è [λ0 , ∞) )
Z λ
dλ |λihλ|,
Pn = |nihn|,
(3.51)
P(λ) =
−λ0
tale che
1
O
=
=
|ψi =
Z
dP(λ) +
Z
λ dP(λ) +
Z
dP(λ) |ψi +
X
n
Pn ,
X
n
λn Pn ,
X
n
Pn |ψi,
∀ψ ∈ H
(3.52)
(vedi la (2.138)).
Queste proprietà garantiscono la consistenza del postulato della meccanica quantistica,
(??), (2.112). Infatti, dalle formule delle probabilità (che la misura della quantità O dà o
dei valori tra λ e λ + dλ, oppure uno degli autovalori discreti, λn ):
P (λ) dλ = |hλ|ψi|2 dλ;
Pn = |hn|ψi|2 ,
si ha per la probabilità totale,
Z
Z
X
X
P (λ)dλ +
Pn = hψ| { dλ |λihλ| +
|nihn| }ψi = hψ|ψi = 1.
n
(3.53)
(3.54)
n
3.3 Trasformazioni unitarie
Le quantità fisiche in meccanica quantistica sono in generale associate a elementi di matrice
di vari operatori,
hφ|O|ψi.
(3.55)
Sia U un operatore dotato di un inverso U −1 , tale che
U † U = U U † = 1;
(3.56)
3.3. TRASFORMAZIONI UNITARIE
101
cioè
U † = U −1 .
(3.57)
Tale operatore è chiamato operatore unitario. Riscriviamo ora (113) inserendo due volte
l’operatore di identità 1 = U † U :
hφ|O|ψi = hφ|U † U OU † U |ψi = hφ̃|Õ|ψ̃i,
(3.58)
dove
|ψ̃i ≡
Õ
≡
U |ψi;
†
U OU .
|φ̃i ≡ U |φi;
(3.59)
Si noti che la norma dello stato rimane invariante:
hψ̃|ψ̃i = hψ|U † U |ψi = hψ|ψi.
(3.60)
La trasformazione degli stati e degli operatori definita da (3.58), (3.59) è chiamata trasformazione unitaria.
Poiché tutte le quantità fisiche trattate in meccanica quantistica si riducono a qualche
combinazione di elementi di matrice del tipo (113), la teoria è invariante per trasformazioni
unitarie arbitrarie.
In altre parole, gli stati e gli operatori in meccanica quantistica sono definiti a meno di
trasformazioni unitarie.
3.3.1 Schema di Schrödinger e schema di Heisenberg
Un risultato significativo della meccanica classica (Cap.1.2), è che l’evoluzione temporale
q(t), p(t) → q(t + dt), p(t + dt) è una successione di trasformazioni canoniche infinitesime. Esiste un risultato analogo in meccanica quantistica: l’evoluzione temporale del
sistema in meccanica quantistica è una trasformazione unitaria,
|ψ(t)i = e−iHt/~ |ψ(0)i.
(3.61)
Si noti che la (3.61) è infatti la soluzione formale dell’equazione di Schrödinger
i~
∂
|ψ(t)i = H|ψ(t)i,
∂t
|ψ(t)i|t=0 = |ψ(0)i :
(3.62)
Questa osservazione ci permette di studiare l’evoluzione temporale del sistema in meccanica quantistica da un punto di vista nuovo. Infatti, consideriamo una particolare trasformazione unitaria dipendente dal tempo,
U (t) = eiHt/~ :
(3.63)
lo stato e l’operatore generico O si trasformano come:
ψH = U (t)|ψ(t)i = eiHt/~ |ψ(t)i = |ψ(0)i;
(3.64)
OH (t) = U (t)OU (t)† = eiHt/~ Oe−iHt/~ .
(3.65)
L’elemento di matrice è naturalmente invariante per tale trasformazione:
hψ(t)|O|ψ(t)i = hψH |OH (t)|ψH i,
(3.66)
ma ora l’evoluzione temporale non è più descritto dall’equazione di Schrödinger; essa risiede invece nella dipendenza temporale non banale di operatori. L’equazione del moto per
un operatore generico O si ottiene dalla (3.65) ed è:
i~
∂ OH
d OH
= i~
+ [OH , H],
dt
∂t
(3.67)
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
102
dove il primo termine è presente se l’operatore dipende esplicitamente dal tempo. La (3.67)
è nota come equazione di Heisenberg. (cfr. l’eq.(1.36) di Sec.1.2.)
La descrizione dell’evoluzione temporale del sistema in meccanica quantistica basata su
(3.64), (3.65), (3.67) è chiamata schema di Heisenberg (o rappresentazione di Heisenberg).
Nello schema di Heisenberg, lo stato non evolve col tempo, l’operatore varia col tempo.
Viceversa, nella descrizione usuale basata sull’equazione di Schrödinger, chiamata schema di Schrödinger (o rappresentazione di Schrödinger), è la funzione d’onda (lo stato) che
evolve con il tempo. Ad un istante (t = 0) i due schemi coincidono:
OH (0) = O;
|ψH i = |ψ(0)i.
(3.68)
Un fatto importante è che il commutatore fondamentale a tempi uguali ha la stessa
forma a qualsiasi istante e indipendente dall’Hamiltoniana:
[xiH (t), pjH (t)] = i~δij .
(3.69)
La (3.69) segue da [xi , pj ] = i~δij : infatti,
[xiH (t), pjH (t)] = [eiHt/~ xi e−iHt/~ , eiHt/~ pj e−iHt/~ ] = eiHt/~ [xi , pj ]e−iHt/~ = i~δij .
(3.70)
Si noti che il commutatore usuale nello schema di Schrödinger può essere visto un caso
particolare (per t = 0) di (3.70). Il fatto che il commutatore fondamentale prende la stessa
forma a qualsiasi istante del tempo, è essenziale per la consistenza dell’intera costruzione
della meccanica quantistica: un istante particolare (per es. t = 0) non può avere nessun
significato speciale, vista l’uniformità del tempo.
Vice versa, i commutatori a tempi non uguagli,
[xiH (t), pjH (t′ )],
[xiH (t), xjH (t′ )],
[piH (t), pjH (t′ )],
(3.71)
contengono informazione dinamica, i.e., dipendono dal sistema.
Esercizio: Risolvere le equazioni di Heisenberg per una particella libera in una dimensione.
Calcolare il commutatore a tempi non uguagli [xH (t), xH (0)]. (Risposta: [xH (t), xH (0)] =
−i~t/m. )
Esercizio (Teorema):
Supponiamo che il sistema descritto dalla funzione d’onda ψS (t) all’istante t = 0 sia
autostato di un operatore fˆ con autovalore f0 . La funzione d’onda all’istante t è allora
autostato dell’operatore di Heisenberg fˆH (−t), con lo stesso autovalore f0 .
3.3.2
Oscillatore armonico
Consideriamo un oscillatore armonico lineare, H =
rappresentazione di Heisenberg è
p2
2m
+
HH = U H( x, p ) U † = H( U x U † , U p U † ) =
m ω2
2
x2 . L’Hamiltoniana nella
p2H
m ω2 2
+
xH .
2m
2
(3.72)
L’equazione di Heisenberg è
m ẋH = pH ;
ṗH = −m ω 2 xH ,
(3.73)
di cui soluzione è
1
1
pH (0) sin ω t = x cos ω t +
p sin ω t;
mω
mω
(3.74)
pH (t) = pH (0) cos ω t − m ω xH (0) sin ω t = p cos ω t − m ω x sin ω t;
(3.75)
xH (t) = xH (0) cos ω t +
3.4. STATI MISTI E MATRICE DENSITÀ
Per esempio, supponiamo che all’istante t =
chetto d’onda ψ0 e che siano noti hψ0 |p2 |ψ0 i ≡
lare hψ(t)|p2 |ψ(t)i nello schema di Schrödinger,
Schrödinger, e poi calcolare il valor medio di p2
facilmente nello schema di Heisenberg:
103
0 il sistema sia descritto da un pacp20 e hψ0 |x2 |ψ0 i ≡ x20 . Per calcoè necessario risolvere l’equazione di
in ψ(t). Questo problema si risolve
hψ(t)|p2 |ψ(t)i = hψ0 | U (t) p2 U −1 (t) |ψ0 i = hψ0 |pH (t)2 |ψ0 i.
(3.76)
Ma
pH (t)2 = p2 cos2 ω t + m2 ω 2 x2 sin2 ω t − m ω (x p + p x) cos ω t sin ω t,
(3.77)
dove abbiamo utilizzato il risultato (3.75); inoltre si noti che
hψ0 | x p + p x |ψ0 i = 0,
(3.78)
(il primo membro deve reale essendo il valor medio di un operatore Hermitiano, ma è
puramente immaginario). Segue perciò
hψ(t)|p2 |ψ(t)i = p20 cos2 ω t + m2 ω 2 x20 sin2 ω t.
(3.79)
Analogamente, si trova che
hψ(t)|x2 |ψ(t)i = x20 cos2 ω t +
1
p2 sin2 ω t.
ω2 0
m2
(3.80)
3.4 Stati misti e matrice densità
La descrizione in termini di una funzione d’onda è una descrizione completa del sistema
in meccanica quantistica. Ci sono delle situazioni, d’altra parte, nelle quali tale descrizione completa o non è possibile o non è richiesta. Tale situazione sorge, per esempio, nella
descrizione di un sottosistema di un sistema più grande: avendo accesso solo ad una parte
delle variabili dinamiche, non è possibile descrivere il sottosistema con una funzione d’onda. Un’altro importante esempio dei casi in cui dovremmo abbandonare la descrizione in
termini di funzioni d’onda, riguarda i sistemi di molti gradi di libertà (sistemi macroscopici, solidi, gas, ecc.). In questi casi è ovviamente impossibile avere la completa conoscenza
della funzione d’onda di (tipicamente) 1023 molecole: si dovrà lavorare con quantità mediate in vari modi. Un analoga situazione statistica è presente nei fasci di particelle (per
es., fotoni) parzialmente polarizzati, o non polarizzati. In tutti i casi elencati sopra, quello
che caratterizza questi sistemi ’‘e la mancanza dell’informazione completa.
Consideriamo per concretezza il caso di primo tipo: un sistema chiuso Σ e un suo
sottosistema, S. Siano x le variabili in S cui abbiamo accesso; q il resto delle variabili in
Σ/S che non osserviamo. Anche se il sistema totale è descritto da una funzione d’onda
ψ(q, x), non è vero in generale la fattorizzazione
ψ(q, x) 6= ψS (x)ψΣ/S (q) :
(3.81)
il sottosistema S non ha funzione d’onda in generale. Come calcolare allora il valore d’aspettazione di un operatore fˆx che dipende solo dalle variabili del sottosistema? Secondo
la regola standard,
Z
hf i = dq dx ψ ∗ (q, x)fˆx ψ(q, x),
(3.82)
dove l’operatore agisce solo sulla dipendenza da x della funzione d’onda. Definiamo ora
Z
ρ(x; x′ ) ≡ dq ψ(q, x)ψ ∗ (q, x′ ),
(3.83)
104
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
chiamata matrice densità. Il valor medio è dato allora da:
Z
hf i = dx {fˆx ρ(x; x′ )}x′ =x .
(3.84)
La necessità di tenere x e x′ distinte nella definizione di ρ(x; x′ ) è evidente: nella (3.84) fˆx
deve agire prima sulla dipendenza da x della matrice densità; va messa x = x′ solo dopo
tale operazione.
La matrice densità è Hermitiana (considerando x e x′ come indici di una matrice):
ρ(x; x′ )∗ = ρ(x′ ; x).
Inoltre essa obbedisce ad una proprietà importante
Z
Tr ρ = dx ρ(x; x) = 1.
(3.85)
(3.86)
Quest’ultimi segue dalla condizione di normalizzazione della funzione d’onda ψ(q, x).
Gli stati descritti da una matrice densità sono chiamati stati misti; quelli descritti da una
funzione d’onda sono chiamati stati puri.
Il concetto di stato misto è più generale di quello di stato puro, descritto da funzioni
d’onda. Infatti, è vero che ogni stato puro può essere considerato uno stato misto di particolare tipo, ma non vice versa. Per uno stato puro, la matrice densità è data semplicemente
da (considerando S = Σ),
ρ(x; x′ ) = ψ(x)ψ ∗ (x′ ).
(3.87)
La matrice densità nel caso puro ha una proprietà speciale:
Z
2
′
ρ (x, x ) ≡ dx′′ ρ(x; x′′ ) ρ(x′′ ; x′ ) = ρ(x; x′ ).
(3.88)
Per varie applicazioni è più conveniente usare una base generica |ni anziché la base |xi
adoperata finora. Riscriviamo (3.82) come
hf i =
=
hψ|fˆ|ψi
Z
XX
dq dq ′
hψ|q, nihq, n|fˆ|q ′ , mihq ′ , m|ψi
n
=
Z
dq
XX
n
m
m
hψ|q, nihn|fˆ|mihq, m|ψi,
(3.89)
dove abbiamo usato la relazione di completezza, nonché il fatto che l’operatore fˆ non
agisce su q per cui hq, n|fˆ|q ′ , mi = hn|fˆ|miδ(q − q ′ ). Definendo ora la matrice densità
Z
ρmn ≡ dq hq, m|ψihψ|q, ni,
(3.90)
e l’elemento di matrice
fnm = hn|fˆ|mi,
(3.91)
il valore d’aspettazione si esprime semplicemente:
hf i = Tr (ρf ).
(3.92)
La quantità hq, n|ψi che appare nell’eq.(3.89) ha un significato semplice: da
X
ψ(q, x) =
cn (q)ψn (x)
n
→ cn (q)
=
Z
dx ψn∗ (x)ψ(q, x) =
Z
dx hn|xihq, x|ψi = hq, n|ψi :
(3.93)
3.4. STATI MISTI E MATRICE DENSITÀ
105
cioè hq, n|ψi è il coefficiente di sviluppo della funzione d’onda del sistema totale Σ in
termini di stati {ψn (x)} del sottosistema S. La (3.90) si riscrive allora come
Z
ρmn = dq cm (q) c∗n (q)
(3.94)
Segue anche la relazione
ρ(x; x′ ) =
X
′
∗
ψn (x)ρnm ψm
(x ).
(3.95)
n,m
La matrice densità è caratterizzata dalle seguenti proprietà generali:
Tr ρ
†
ρ
0
|ρmn |2
= 1;
(3.96)
= ρ; (Hermiticità)
≤ ρmm ≤ 1;
(3.97)
(3.98)
≤ ρmm ρnn .
(3.99)
Le proprietà (3.96)-(3.98) sono ovvie. L’ultima proprietà si dimostra direttamente:
=
=
≥
ρmm ρnn − ρmn ρnm
ZZ
dq dq ′ [ cm (q) c∗m (q) cn (q ′ ) c∗n (q ′ ) − cm (q) c∗n (q) cn (q ′ ) c∗m (q ′ ) ]
ZZ
1
dq dq ′ [ cm (q) cn (q ′ ) − cn (q) cm (q ′ ) ] [ cm (q) cn (q ′ ) − cn (q) cm (q ′ ) ]∗
2
0.
(3.100)
Nel caso di uno stato puro, con la funzione d’onda
X
ψ(x) =
cn ψn (x),
(3.101)
n
la matrice densità è semplicemente con elementi
ρnm = cn c∗m .
(3.102)
Più generalmente, uno stato è puro se e solo se la relazione
ρ2 = ρ
(3.103)
è soddisfatta dalla matrice densità.
Esercizio: Dimostrate (3.103) partendo dalla (3.95), e facendo uso della (3.88) e della
relazione di completezza. Si verifichi che la (3.102) soddisfa (3.103).
Come abbiamo accennato all’inizio, un’importante classe di applicazione della matrice
densità riguarda la fisica statistica. In fisica statistica, il grande numero di gradi di libertà ci
costringe ad un trattamento statistico (Boltzman). La matrice densità ρmn = wmn in questi
casi è chiamata matrice statistica. Sia Wi la probabilità (nel senso statistico) che uno dei
sistemi microscopici (per es. un atomo) si trovi nell’i-simo stato quantistico,
X
|ψ (i) (t)i =
ain (t)|ψn i,
(3.104)
n
dove {ψn } è una base ortonormale generica (e indipendente dal tempo), scelta una volta
per tutte. Sopponiamo inoltre che le probabilità statistiche per i-simo stato siano note. Per
106
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
esempio, se si tratta di un insieme canonico a temperatura T , e se gli stati |ψ (i) i sono
autostati dell’energia, allora
Wi = e−Ei /kT /N ,
X
Wi = 1,
(3.105)
i
P −Ei /kT
. Tuttavia, la discussione qui è
dove N è la funzione di partizione, N =
ie
generale e valida per qualsiasi tipo di distribuzione statistica.
Il valor medio di un operatore f è dunque dato da:
hf i =
=
X
i
XX
(i)∗ (i)
Wi am
an fmn
m,n
i
=
Wi hψ (i) |f |ψ (i) i
X
ρnm fmn = Tr (ρ f ),
(3.106)
m,n
dove abbiamo introdotto la matrice densità (statistica)
ρnm =
X
(i)∗ (i)
Wi am
an .
(3.107)
i
Si osservi che, grazie alla positività Wi ≥ 0 della probabilità classica, la matrice densità
definita qui soddisfa le stesse proprietà (3.96)-(3.99) considerate prima. In ambedue i casi,
l’apparizione della matrice densità riflette l’ignoranza da parte nostra, che è rappresentata
dalle variabili q nei primi casi; e dalle probabilità statistiche Wi nei secondi.
L’evoluzione temporale della matrice densità segue dal fatto che |ψ (i) (t)i obbedisce
all’equazione di Schrödinger
i~
∂ (i)
|ψ (t)i = H|ψ (i) (t)i.
∂t
(3.108)
(i)
a(i)
n (t) = hψn |ψ (t)i,
(3.109)
Poiché
abbiamo
(i)
i~ȧ(i)
n (t) = hψn |H|ψ (t)i =
X
(i)
ak Hnk .
(3.110)
k
Analogamente
(i)∗
−i~ȧm
(t) = hψ (i) (t)|H|ψm i =
X
(i)∗
ak Hkm .
(3.111)
k
Si ha dunque per la matrice densità (3.107):
i~
∂
ρnm
∂t
=
X
i
=
X
k
Wi
X
k
(i)
(i)∗
(i)∗
(am
Hnk ak − ak Hkm a(i)
n )
(Hnk ρkm − ρnk Hkm ) = [H, ρ]nm .
(3.112)
Questa equazione sostituisce, per gli stati misti, l’equazione di Schrödinger o l’equazione
di Heisenberg (nello schema di Heisenberg). Formalmente l’eq.(3.112) assomiglia all’equazione di Heisenberg; si noti tuttavia una curiosa (e ben nota) differenza di segno nelle due
equazioni.
3.4. STATI MISTI E MATRICE DENSITÀ
3.4.1
107
Polarizzazioni del fotone
Illustriamo ora l’uso della matrice densità, consideriamo lo stato di un fotone, tralasciando
tutte le altre proprietà (l’impulso, l’energia, ecc. ). Il fatto empirico che ci sono due componenti di luce con determinati valori di lunghezza d’onda, può essere interpretato come
presenza di due stati quantistici |1i e |2i del fotone. |1i e |2i possono essere presi come
due stati di polarizzazioni lineari (e ortogonali); due stati di polarizzazione circolari, ecc.
Uno stato puro generico sarà descritto dalla funzione d’onda,
c
(3.113)
|ψi = c1 |1i + c2 |2i ≡ 1 ,
c2
dove abbiamo introdotto una notazione vettoriale
1
0
|1i ≡
; |2i ≡
;
0
1
h1| = (1 0);
h2| = (0 1),
(3.114)
e c2 , c2 sono numeri comlessi sottoposti alla condizione di normalizzazione
|c1 |2 + |c2 |2 = 1.
(3.115)
I due stati di base sono ortonarmali:
h1|1i = h2|2i = 1;
h1|2i = h2|1i = 0.
(3.116)
Nella notazione (3.114) tale proprietà sono esplicite.
Il sistema di un fotone (dove la polarizzazione è l’unica variabile dinamica) è un esempio di sistema a due livelli o a due stati, di cui la Natura è abbondantemente dotata. Altri
esempi sono il sistema di spin (il momento angolare intrinseco) di una particella nel caso di
spin 1/2 (e.g. elettrone; vedi il capitolo successivo); i due stati fondamentali della molecola
di ammoniaca (N H 3 ); gli stati fondamentali dello ione della molecola di idrogeno, H2+ ,
ecc. Nonostante la loro semplicità, i sistemi a due stati illustrano molti aspetti caratteristici
della meccanica quantistica.
Per esempio, la misura della polarizzazione nello stato (3.113) risulterà il fotone polarizzato nella direzione 1 con probabilità |c1 |2 e nella direzione 2 con probabilità |c2 |2 .
(Vedi il Cap. 2.1.) Tutti gli operatori del sistema (in particolare, l’Hamiltoniana) sono
semplicemente matrici hermitiane 2 × 2.
L’operatore che “misura la polarizzazione nella direzione 1 e quella nella direzione 2,
agiscono secondo la regola:
P1 |1i = |1i;
P1 |2i = 0;
P2 |2i = |2i;
P2 |1i = 0;
(3.117)
P2 = |2i h2| =
0
0
(3.118)
in altre parole
P1 = |1i h1| =
1 0
;
0 0
0
1
sono operatori di proiezione sugli stati |1i e |2i, rispettivamente. La matrice densità nel
caso di uno stato puro (3.113) è data da
2
|c |
c1 c∗2
ρ = ∗1
.
(3.119)
c1 c2 |c2 |2
Si ha uno stato misto se il fascio di fotone è parzialmente polarizzato, o non polarizzato.
Un fascio non polarizzato (totale ignoranza sullo stato di polarizzazione) è descritto dalla
matrice densità,
1 1 0
,
(3.120)
ρ=
2 0 1
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
108
di modo che la media della polarizzazione 1 o 2 è, rispettivamente,
< P1 >= Tr (P1 ρ) =
1
;
2
< P2 >= Tr (P2 ρ) =
1
.
2
Lo stato di polarizzazione parziale è generalmente rappresentato da
1
1 1 + ξ3 ξ1 − iξ2
= ( 1 + σi ξi )
ρ=
ξ
+
iξ
1
−
ξ
2 1
2
2
3
(3.121)
(3.122)
con
ξ12 + ξ22 + ξ32 ≤ 1,
e
σ1 =
0
1
1
,
0
σ2 =
0 −i
,
i 0
(3.123)
σ1 =
1 0
,
0 −1
(3.124)
sono le matrici di Pauli. ξ1 , ξ2 , ξ3 (reali) sono chiamati parametri di Stokes. È facile vedere
che
ρ2 = ρ,
(3.125)
se
ξ12 + ξ22 + ξ32 = 1 :
1 − ξ12
+ ξ22
(3.126)
+ ξ32
in questo caso il sistema è puro.
è una misura della nostra ignoranza sullo
stato di polarizzazione. ξ3 descrive il grado di polarizzazione nelle direzioni 1 e 2, per es.
(
1 se ξ3 = 1,
1 + ξ3
=
.
(3.127)
< P1 >= Tr P1 ρ =
2
0 se ξ3 = −1
Analogamente ξ1 descrive il grado di polarizzazione lineare nelle direzioni che fanno
angolo ± π4 con quelle di 1 e 2, come si vede costruendo l’operatore di proiezione,
P1′ = |1′ i h1′ |,
P2′ = |2′ i h2′ |,
|1′ i =
|1i + |2i
√
,
2
|2′ i =
|1i − |2i
√
,
2
(3.128)
e calcolando < P1 >, etc. Infine ξ2 dà la misura di polarizzazioni circolari, corrispondenti
agli autostati
1
1
(3.129)
|+i = √ (|1i + i|2i); |−i = √ (|1i − i|2i).
2
2
3.5 Funzioni di Green
Un concetto importante in meccanica quantistica è quello di ampiezza di probabilità per
due successivi eventi, i.e., che una particella che si trovava al punto x = x0 all’istante
t = t0 si trovi al punto x in un istante successivo t. Data la nota evoluzione temporale della
funzione d’onda, tale ampiezza, chiamata funzione di Green, è data formalmente da:
G(x, x0 ; t, t0 ) = hx|e−iH(t−t0 )/~ |x0 i.
(3.130)
Si noti che la funzione di Green è intimamente collegata al concetto di funzione d’onda:
G è la funzione d’onda del sistema, che all’istante t = t0 era un autostato della posizione,
ψ(x, t0 ) = δ(x − x0 ). Infatti,
i~
∂
G(x, x0 ; t, t0 )
∂t
∂
hx|e−iH(t−t0 )/~ |x0 i
∂t
= hx|He−iH(t−t0 )/~ |x0 i = HSch hx|e−iH(t−t0 )/~ |x0 i
= i~
= HSch G(x, x0 ; t, t0 )
(3.131)
3.5. FUNZIONI DI GREEN
109
(vedi l’Appendice sulla Meccanica Matriciale), e G(x, x0 ; t0 , t0 ) = hx|x0 i.
La probabilità che la particella si trovi nell’intervallo (x, x + dx) all’istante t qualsiasi
è data da |G(x, x0 ; t, t0 )|2 dx.
Per semplicità di notazione, qui e in seguito ci limiteremo a scrivere le formule per
sistemi uni-dimensionali; la generalizzazione a sistemi di dimensione più grande o a sistemi
con più di una particella, è ovvia.
L’importanza della funzione di Green sta nel fatto che se la funzione di Green di un
sistema è nota una volta per tutte, la soluzione dell’equazione di Schrödinger con una
condizione al contorno arbitraria,
ψ(x, t)|t=t0 = ψ0 (x, t0 ),
è espressa con aiuto di G(x, x0 ; t, t0 ):
Z
ψ(x, t) = dx′ G(x, x′ ; t, t0 ) ψ0 (x′ , t0 ).
(3.132)
(3.133)
Cioè la conoscenza della funzione di Green equivale alla soluzione dell’equazione di Schrödinger generale.
Esecizio: Si dimostri che ψ(x, t) soddisfa sia l’equazione di Schrödinger che la condizione
al contorno a t = t0 .
In questo proposito, vale la pena di menzionare che esiste un formalismo della meccanica quantistica equivalente a quello standard basato sull’equazione di Schrödinger, chiamato
integrale sui cammini (Feynman), in cui la funzione di Green occupa il luogo centrale.
La (3.130) può essere riscritta in un’altra forma utile, inserendo due volte la relazione
di completezza
X
1=
|ψn ihψn |,
(3.134)
n
dove |ψn i è l’n-simo autostato dell’energia. Si ha allora,
X
G(x, x0 ; t, t0 ) =
e−iEn (t−t0 )/~ ψn (x) ψn∗ (x0 ),
(3.135)
n
dove è stata usata l’ortonormalità degli stati |ψn i.
In casi semplici la funzione di Green può essere calcolata esplicitamente. Prendiamo
per esempio il caso di una particella unidimensionale libera. Dopo le sostituzioni:
Z ∞
X
1
p2
eipx/~ ;
→
dp
(3.136)
; ψn (x) → √
En →
2m
2π~
−∞
n
nella formula (3.135), si ha
Z ∞
dp −ip2 (t−t0 )/2m~ ip(x−x0 )/~
G(x, x0 ; t, t0 ) =
e
e
−∞ 2π~
Z ∞
2
i(t − t0 )
m(x − x0 ) 2
dp
]
exp −
[p −
= eim(x−x0 ) /2~(t−t0 )
2m~
t − t0
−∞ 2π~
s
Z
2
2
1
2m~
=
(3.137)
eim(x−x0 ) /2~(t−t0 )
dξ e−ξ ,
2π~ i(t − t0 )
C
dove il contour√C dell’integrazione su ξ è lungo la linea retta (1 + i)α; α = −∞ → ∞.
L’integrale dà π perciò si ottiene
r
2
m
G(x, x0 ; t, t0 ) =
eim(x−x0 ) /2~(t−t0 )
(3.138)
2i~π(t − t0 )
110
CAPITOLO 3. ASPETTI FORMALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
per una particella libera.
Esercizio: Si calcoli, all’istante t > t0 , la funzione d’onda di una particella libera, descritta
da un pacchetto d’onda
2
2
1
ψ0 (x, t0 ) = √
e−x /4a ,
(3.139)
2
2πa
all’istante iniziale t = t0 .
Capitolo 4
Momento angolare e Sistemi
Tridimensionali
111
112
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.1 Momento Angolare
Nei problemi tridimensionali una variabile dinamica importante è il momento angolare.
In meccanica quantistica il momento angolare risulta quantizzato in maniera universale
(i.e., indipendente dal sistema considerato), in conseguenza dell’algebra degli operatori di
momento angolare e della positività della norma degli stati.
4.1.1 Introduzione
L’equazione di Schrödinger per una particella che si muove in un potenziale a simmetria
centrale è:
~2 2
∇ + V (r))ψ(r) = Eψ(r).
(4.1)
Hψ = (−
2m
In coordinate sferiche (∆ ≡ ∇2 )
∆ψ
1 ∂ 2 ∂
1 1 ∂
∂
1 ∂2
] ψ
(r
)+ 2[
(sin θ ) +
r2 ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
2m
− 2 (E − V (r)) ψ.
~
=
=
(4.2)
Separando le variabili
ψ = R(r)Φ(θ, φ),
(4.3)
si ha
d
d
(r2 dr
)+
[ dr
2m 2
~2 r (E
L̂2 Φ(θ, φ)
= λ,
Φ(θ, φ)
(4.4)
∂
1 ∂2
1 ∂
] Φ(θ, φ).
(sin θ ) +
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(4.5)
R(r)
− V (r))] R(r)
=
dove l’operatore L̂2 è definito da
L̂2 Φ(θ, φ) = −[
L̂2 risulta l’operatore del momento angolare quadrato, (r × p)2 (vedi Sottocapitolo 0.1.5),
λ è il suo autovalore. L’equazione
[
λ
2m
1 d 2 d
(r
) + 2 (E − V (r)) − 2 ] R(r) = 0
2
r dr
dr
~
r
(4.6)
è chiamata equazione di Schrödinger radiale.
In meccanica classica l’isotropia dello spazio implica che in un sistema chiuso il momento angolare totale
X
L=
(ra × pa )
(4.7)
a
è conservato. Lo stesso vale per il momento angolare di una particella che si muove in
un potenziale a simmetria centrale. Troveremo in seguito che in meccanica quantistica un
analogo risultato è valido.
4.1.2 Definizione e regole di commutazione
L’operatore di momento angolare in meccanica quantistica (per una singola particella) è
data da
L = r̂ × p̂ = −i~r × ∇.
(4.8)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
113
In componenti,
∂
∂
− z );
∂z
∂y
∂
∂
Ly ≡ L2 = zpx − xpz = −i~(z
− x );
∂x
∂z
∂
∂
− y ).
Lz ≡ L3 = xpy − ypx = −i~(x
∂y
∂x
Lx ≡ L1 = ypz − zpy = −i~(y
(4.9)
Dovuto al fatto che le componenti delle coordinate e degli impulsi non coniugati commutano (per es. [y, pz ] = 0), non ci sono problemi di ambiguità nel definire il momento angolare
quantistico a partire da quello classico.
Se il sistema contiene più di una particella il momento angolare totale è definito da
X
Ltot =
(ra × pa )
(4.10)
a
dove la somma si riferisce alle particelle presenti.
È conveniente introdurre il tensore antisimmetrico


se (ijk) = (123) o permutazioni pari
1,
ǫijk = −1, se (ijk) = (213) o permutazioni pari


0
altrimenti
(4.11)
ǫijk è totalmente antisimmetrico per scambi di due degli indici; inoltre è invariante per
permutazioni cicliche
ǫijk = ǫjki = ǫkij .
(4.12)
La componente i-sima del momento angolare è allora
Li = ǫijk xj pk ,
(4.13)
dove la somma sugli indici ripetuti è implicita.
Facendo uso dei commutatori
[xi , xj ] =
[xi , pj ] =
[pi , pj ] = 0;
i ~ δij , i = 1, 2, 3
(4.14)
è facile trovare i commutatori tra le componenti del momento angolare,
[L1 , L2 ] = i ~L3 ;
[L2 , L3 ] = i ~L1 ;
[L3 , L1 ] = i ~L2 ,
(4.15)
o in forma più compatta,
[Li , Lj ] = i ~ ǫijk Lk .
(4.16)
Le stesse regole di commutazione valgono per le componenti dell’operatore di momento angolare totale
X
Ltot =
(ra × pa )
(4.17)
a
nei sistemi con più di una particella.
Dall’Hermiticità degli operatori xi , pi , segue che le componenti del momento angolare
sono operatori Hermitiani.
Calcoliamo ora i commutatori tra Li e xj (e tra Li e pj ) usando sempre i commutatori
fondamentali, (14). Il risultato è
[Li , xj ] = i ~ ǫijk xk ;
(4.18)
114
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
[Li , pj ] = i ~ ǫijk pk .
(4.19)
Consideriamo ora il modulo quadrato del momento angolare,
L2 = L21 + L22 + L23 .
(4.20)
È facile verificare che l’operatore L2 commuta con ciascun componente Li ,
[L2 , Li ] = 0,
i = 1, 2, 3
(4.21)
Per esempio,
[L2 , L1 ] =
[L22 , L1 ] + [L23 , L1 ]
i ~ (−L2 L3 − L3 L2 + L3 L2 + L2 L3 ) = 0.
=
(4.22)
Di conseguenza, i due operatori, L2 e (e.g.) L3 possono prendere valori definiti simultaneamente. L1 , L2 , non commutando con L3 , e di conseguenza non possono assumere
valori definiti in generale, nella base in cui L2 e L3 sono diagonali.1
4.1.3
Momento angolare come genetratore di rotazioni
Il fatto che le formule (16), (18), e (19) hanno la stessa struttura non è accidentale: essa
indica che il momento angolare, la posizione e l’impulso sono tutti vettori e si trasformano
nello stesso modo per rotazioni degli assi di coordinate.
Ricordiamo (vedi 2.1) che l’operatore dell’impulso p = −i~∇ è il generatore di
traslazione: un operatore O(r, p) si trasforma
e
ip·r0
~
O(r, p) e
−ip·r0
~
= O(r + r0 , p).
(4.23)
Sulla funzione d’onda l’operatore di traslazione agisce come:
e
ip·r0
~
ψ(r) = ψ(r + r0 ),
(4.24)
come si ottiene facilmente dalla formula di Taylor.
Analogamente le componenti del momento angolare generano rotazioni. Si consideri
un’operazione
i L·ω
U ψ = e ~ ψ(r)
(4.25)
per ω infinitesime. Si ha infatti
ei L·ω/~ ψ(r)
L·ω
∂
)ψ
)ψ(r) = (1 + ωi ǫijk xj
~
∂xk
≃ ψ(r + ω × r).
≃ (1 + i
(4.26)
Come ei p·r0 /~ , l’operatore U = ei L·ω/~ genera una trasformazione unitaria: un generico
operatore O si trasforma come
O → U OU † .
(4.27)
In particolare, per O = r, si ha
r → r̃ =
=
ei L·ω re−i L·ω = r +
r+ ω × r + ...
i ωi
[Li , r] + . . .
~
(4.28)
dove abbiamo usato i commutatori (18). La (28) indica che la trasformazione unitaria con
i L·ω
U = e ~ infatti rappresenta una rotazione tridimensionale degli assi di coordinate, nella
direzione del vettore ω di angolo |ω|.
1 C’è un’eccezione. In uno stato di momento angolare totale nullo, tutte le componenti hanno il valore nullo.
Vedi dopo.
4.1. MOMENTO ANGOLARE
115
I commutatori tra le componenti del momento angolare Li sono combinazioni lineari di
esse stessi: Li sono dette di formare un’algebra. Ogni algebra è caratterizzato da insieme
di costanti, detti costanti di struttura. Nel caso di algebra del momento angolare - algebra
del gruppo di rotazioni tridimensionali SO(3) - le costanti di struttura sono ǫijk .
Unità del momento angolare: Il momento angolare ha la stessa dimensione di azione
[L] = [r × p] = [~], ed è misurato in unità di ~. In seguito, indicheremo con L l’operatore
adimensionale L/~, liberandoci dell’onnipresente ~ dalle relazioni di commutazione, etc.
Risulta conveniente introdurre i due operatori L+ e L−
L+ ≡ L1 + iL2 ;
L− ≡ L1 − iL2 ,
(4.29)
e riscrivere l’algebra del momento angolare (16) come
[L+ , L− ] = 2 L3 ;
[L3 , L+ ] = L+ ;
[L3 , L− ] = −L− ;
(4.30)
il quadrato del momento angolare si esprime in termini di L±
L2 = L+ L− + L23 − L3 = L− L+ + L23 + L3 .
(4.31)
(Esercizio: si verifichi le (31). )
Nel caso di una particella in tre dimensione l’operatore del momento angolare quadrato
L2 coincide con l’operatore L̂2 di (5), come esplicitamente verificato nel Capitolo (7.4).
4.1.4 Autovalori del momento angolare
È un fatto empirico che in Natura molte particelle elementari (elettrone, protone, neutrone,
ecc.) possiedono una sorta di momento angolare intrinseco, chiamato spin. A questo grado
di libertà associamo un operatore appropriato, S, che, per postulato, obbedisce alle stesse
regole di commutazione di quelle soddisfatte dal momento angolare orbitale L = r×p. È di
comune uso indicare l’operatore di momento angolare generico con lettere Ji , riservando
Li per i momenti angolari di tipo orbitali e Si per gli spin. I risultati fondamentali che
troveremo in questa sezione infatti sono validi sia per il momento angolare orbitale, sia per
lo spin, sia per una somma generica di momenti angolari di diverse nature fra loro.
Come conseguenza delle regole di commutazione
[Ji , Jj ] = i ǫijk Jk ,
(4.32)
e della positività della norma, gli autovalori del momento angolare risultano quantizzati, in
maniera universale.
Consideriamo l’operatore del momento angolare J di un determinato sistema. La regola
di commutazione riscritta con gli operatori J± ≡ J1 ± iJ2 è,
[J+ , J− ] = 2J3 ;
[J3 , J+ ] = J+ ;
[J3 , J− ] = −J− .
(4.33)
Inoltre
[J2 , Ji ] = 0,
i = 1, 2, 3
(4.34)
perciò possiamo prendere una base in cui J2 e di J3 sono diagonali.
Siano |mi gli autostati normalizzati di J3 con l’autovalore m:
J3 |mi = m|mi.
(4.35)
J3 J+ |mi = (J+ J3 + J+ )|mi = (m + 1)J+ |mi :
(4.36)
Usando la (33) si ha
116
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
i.e., lo stato J+ |mi, se non è un vettore nullo, è anche esso un autostato di J3 , con
autovalore m + 1. Analogamente
J3 J− |mi = (m − 1)J− |mi :
(4.37)
J− |mi è un autostato di J3 con l’autovalore m−1, tranne quando J− |mi = 0. Gli operatori
J+ e J− fungono, rispettivamente, da operatori di “innalzamento e di “abbassamento” del
valore di m. Possiamo scrivere
J± |mi = cost. |m ± 1i,
(4.38)
2
J±
|mi = cost. |m ± 2i,
(4.39)
n
n 2
n
J2 (J±
|mi) = J±
J |mi = T (J±
|mi);
(4.40)
etc. Inoltre, poiché J± commutano con l’operatore J2 ,
dove abbiamo indicato con T l’autovalore del momento angolare quadrato
J2 |mi = T |mi.
(4.41)
n
In altre parole, gli stati J±
|mi, n = 0, 1, 2, . . . (se sono non nulli) formano una torre di
2
autostati di J , con lo stesso autovalore, ma con autovalore m che differiscono di un’unità
tra losro.
La relazione tra T ( l’autovalore del momento angolare quadrato J2 ) e i possibili
autovalori m di J3 , viene determinata dalla seguente considerazione. Dalla relazione
h J2 − J33 i ≥ 0,
(4.42)
(esercizio: dimostratela), segue la disuguaglianza
T ≥ m ≥ −T.
(4.43)
Segue dunque che per un dato valore di T deve esistere il valore massimo di m, che indicheremo con j. Sia |ji l’autostato corrispondente, i.e., un autostato di J2 con l’autovalore
ancora ignoto T e con autovalore di J3 , j = max {m}.
Classicamente tale valore coincide con il valore assoluto del momento angolare e in
queso caso il vettore del momento angolare è diretto lungo l’asse z.
Per definizione, |ji è lo stato con il valore massimo di J3 , perciò la costante in (38)
deve essere tale che
J+ |ji = 0.
(4.44)
Altrimenti J+ |ji sarebbe uno stato con un valore di J3 più grande, j + 1, contrariamente
all’ipotesi fatta. Segue che (vedi (31))
J2 |ji = (J− J+ + J32 + J3 )|ji = j(j + 1)|ji.
(4.45)
T = j(j + 1) :
(4.46)
Cioè
2
l’autovalore dell’operatore J è uguale a j(j + 1).
A partire dallo stato |ji possiamo costruire una torre di stati applicando ripetutamente
l’operatore J−
n
J−
|ji ∝ |j − ni; n = 0, 1, 2, . . . ,
(4.47)
con l’autovalore
j, j − 1, j − 2, j − 3, . . . ,
di J3 , tutti autostati di J2 con lo stesso autovalore j(j + 1).
(4.48)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
117
Ora, dalla (42) segue l’esistenza del minimo fra gli autovalori di J3 anche. Dunque
esiste un numero intero n tale che
J− |j − ni = 0.
(4.49)
In questo stato, troviamo, in virtù della prima equazione della (31),
J2 |j − ni = (J+ J− + J32 − J3 )|j − ni = ((j − n)2 − (j − n))|j − ni.
(4.50)
Ma lo stato |j − ni appartiene allo stesso autovalore j(j + 1) di stato |ji perciò
(j − n)2 − (j − n) = j(j + 1),
→
n = 2j.
(4.51)
Troviamo cosı̀ un risultato fondamentale: visto che n è un numero intero non negativo,
segue che j prende soltanto valori o interi e semiinteri
j = 0,
3
1
, 1, , 2, . . . .
2
2
(4.52)
Gli autovalori del momento angolare sono quantizzati, indipendentemente dal dettaglio
dinamico.
Ricapitolando, concludiamo che per un dato autovalore j(j + 1) dell’operatore J2 ci
sono un 2j + 1 -pletto di stati
|j, ji, |j, j − 1i, |j, j − 2i, . . . |j, −j + 1i, |j, −ji,
(4.53)
j, j − 1, j − 2, . . . , −j,
(4.54)
3
1
, 1, , 2, . . . ,
2
2
(4.55)
autovalori di J3 ,
rispettivamente. Anche se gli autovalori dell’operatore J2 prendono il valore j(j + 1) in
questo gruppo di stati, è di comune uso parlare di multipletto di stati di momento angolare
j.
I valori possibili per il numero quantico j
j = 0,
corrispondono a autovalori del momento angolare quadrato,
j(j + 1) = 0,
3
15
, 2,
, 6, . . .
4
4
(4.56)
Inoltre, risulta (vedi il prossimo sottocapitolo) che per i momenti angolari di tipo orbitale,
j, indicato con L o con ℓ in questi casi, può prendere soltanto valori interi. (Vedi dopo).
In Natura queste predizioni della meccanica quantistica sono verificate senza eccezioni.
Empiricamente le particelle elementari hanno lo spin o semiinteri o interi (e.g., l’elettrone,
il protone, il neutrone, hanno s = 1/2; il pione ha lo spin zero, il bosone W spin s = 1,
ecc.). Nessun valore frazionario di spin è stato mai osservato.
Una delle prime esperienze che hanno mostrato questo sorprendente fenomeno è dovuta
a Stern e Gerlach (1922). Nella loro esperienza, un sottile fascio di atomi d’argento è fatto
attraversare una zona con un forte campo magnetico non uniforme, con
∂Bz
6= 0,
∂z
(4.57)
dove l’asse z è perpendicolare alla direzione del moto dell’atomo, e viene inciso su uno
scherma fotografico. Un atomo che ha lo spin non nullo ha un momento magnetico non
nullo e perciò riceve una forza verticale, proporzionale alla componente z dello spin. Classicamente si aspetta, per un fascio incidente non polarizzato, che si osservi sullo scherma
118
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
una banda di punti scuri uniformemente distribuiti in essa, corrispondenti a direzioni arbitrarie dello spin; sperimentalmente furono osservati (nel caso di Ag) solo due strisce
strette (due linee) separate verticalmente, confermando la quantizzazione di Jz in maniera
drammatica (l’atomo di Ag nello stato fondamentale ha spin 1/2).
Nota sulla quantizzazione del momento angolare in meccanica quantistica
Supponiamo che esista un sistema con il momento angolare j semipositivo definito
generico, né intero né semiintero. Sia |j, ji lo stato in cui J3 prende il valore massimo, j:
J3 |j, ji = j|j, ji;
J+ |j, ji = 0;
J2 |j, ji = j(j + 1)|j, ji.
(4.58)
Applicando J− ripetutamente si ottiene una torre di stati
(J− )n |j, ji ∝ |j, j − ni,
n = 1, 2, 3, . . . .
(4.59)
Per un valore generico di j ci saranno un numero infinito di tali stati. Non è difficile
dimostrare che:
(i) tutti gli stati (59) sono autostati di J2 con l’autovalore, j(j + 1);
(ii) lo stato (59) ha la norma positiva per m = j − n tale che
−j − 1 < m < j;
(4.60)
(iii) per m tale che
−j − 2 < m ≤ −j − 1,
(2j + 1 ≤ n < 2j + 2),
(4.61)
si ha
hj, j|(J+ )n (J− )n |j, ji < 0 :
n
(4.62)
lo stato (J− ) |j, ji ha la norma negativa.
Il valore di j generico dunque implica la presenza di stati con la norma negativa, e
quindi non è accettabile.
4.1.5 Momento angolare orbitale; funzioni armoniche sferiche
Tutte le precedenti discussioni formali, basate solamente sulle regole di commutazioni, si
applicano anche ai momenti angolari di tipo orbitale, L = r̂ × p̂. Tuttavia, dovuto alla
richiesta che la funzione d’onda sia ben definita come funzione di variabili angolari, il
numero quantico ℓ (j ) prende in questo caso solo valori interi, e non semi-interi.
Nelle coordinate sferiche (r, θ, φ),
p
p
x2 + y 2
y
; φ = tan−1 ,
(4.63)
r = x2 + y 2 + z 2 ; θ = tan−1
z
x
le componenti dell’operatore L = r̂ × p̂ diventano:
L3 = −i(x
L+ = −(x + iy)
∂
∂
∂
− y ) = −i ;
∂y
∂x
∂φ
∂
∂
∂
∂
∂
+z(
+ i ) = eiφ (
+ i cot θ );
∂z
∂x
∂y
∂θ
∂φ
L− = −L+ (i → −i) = e−iφ (−
Allora
L2 = L+ L− + L23 − L3 = −[
∂
∂
+ i cot θ ).
∂θ
∂φ
∂
1 ∂2
1 ∂
],
(sin θ ) +
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
119
come è stato anticipato in Sec. 0.1.1
Risolviamo ora l’equazioni agli autovalori (che è la parte angolare dell’equazione di
Schrödinger nel caso di un potenziale a simmetria centrale),
L̂2 Φ(θ, φ) = −[
∂
1 ∂2
1 ∂
]Φ(θ, φ) = ℓ(ℓ + 1)Φ(θ, φ).
(sin θ ) +
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(4.68)
∂
Poiché L3 = −i ∂φ
commuta con L̂2 , conviene prima risolvere l’equazione
L3 ψ(φ) = −i
La soluzione è ovvia:
∂
ψ(φ) = mψ(φ).
∂φ
(4.69)
1
ψ(φ) = Φm (φ) = √ eimφ ,
2π
(4.70)
che obbedisce alla condizione di normalizzazione
Z 2π
Φm′ (φ)∗ Φm (φ) = δm′ m .
(4.71)
0
Ma la funzione d’onda deve essere ben definita per ogni valore di φ perciò
m = 0, ±1, ±2, . . . .
(4.72)
Siccome m (chiamato il numero quantico azimutale) può prendere solo 2m + 1 possibili
valori
−ℓ, −ℓ + 1, . . . , +ℓ,
(4.73)
vuol dire che anche ℓ può prendere soltanto valori interi,
ℓ = 0, 1, 2, 3, . . . .
(4.74)
Φ(θ, φ) = Φm (φ)Θℓ,m (θ)
(4.75)
Sostituiamo ora
in (68). Si ha
d
m2
1 d
(sin θ Θℓ,m (θ)) −
Θℓ,m (θ) + ℓ(ℓ + 1)Θℓ,m (θ) = 0,
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
(4.76)
o in termini della nuova variabile x ≡ cos θ,
d
d
m2
Θℓ,m + ℓ(ℓ + 1)Θℓ,m = 0.
(1 − x2 ) Θℓ,m −
dx
dx
1 − x2
(4.77)
Questa equazione è ben nota. Le soluzioni che sono finite e monodrome nell’intervallo
−1 ≤ x ≤ 1 per ℓ ≥ |m| sono note come polinomi associati di Legendre, e indicate con
Pℓm (x).
Per i polinomi di Legendre e per i polinomi associati di Legendre, vedi Complemento.
La soluzione di (77) normalizzata con
Z π
Z 1
dθ sin θ |Θℓ,m (θ)|2 =
dx |Θℓ,m |2 = 1,
(4.78)
0
−1
è data da (x ≡ cos θ))
m ℓ
Θℓ,m = (−) i
s
(2ℓ + 1)(ℓ − m)! m
Pℓ (x),
2(ℓ + m)!
m ≥ 0,
(4.79)
120
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Θℓ,−|m| = (−)m Θℓ,|m|.
(4.80)
La soluzione dell’equazione di Schrödinger angolare, con i numeri quantici ℓ, m è
dunque (vedi (75))
s
(2ℓ + 1)(ℓ − |m|)! m
(m+|m|)/2 ℓ
Pℓ (x) eimφ .
(4.81)
Φ(θ, φ) = Yℓ,m (θ, φ) = (−)
i
4π(ℓ + |m|)!
Le funzioni Yℓ,m (θ, φ) sono chiamate funzioni armoniche sferiche e rappresentano le autofunzioni simultanee degli operatori L2 (con l’autovalore ℓ(ℓ + 1)) e L3 (con l’autovalore
m). Yℓ,m (θ, φ) sono normalizzate come
Z
π
dθ sin θ
0
Z
2π
dφ Yℓ′ ,m′ (θ, φ)∗ Yℓ,m (θ, φ) = δll′ δmm′ .
(4.82)
0
(2ℓ + 1) funzioni d’onda Yℓ,m (θ, φ) per un dato ℓ corrispondono agli stati |ℓ, mi discussi
nel precedente sottocapitolo, o più precisamente,
hθ, φ|ℓ, mi = Yℓ,m (θ, φ).
(4.83)
Infine, alcune funzioni armoniche sferiche più semplici sono:
Y0,0
=
Y1,0
=
Y2,0
=
Y2,±1
=
Y2,±2
=
1
√ ,
4π
r
r
3
3
i
cos θ, Y1,±1 = ∓i
sin θ e±iφ ,
4π
8π
r
5
(1 − 3 cos2 θ),
16π
r
15
±
cos θ sin θ e±iφ ,
8π
r
15
−
sin2 θ e±2iφ ,
32π
(4.84)
ecc. Alcune proprietà importanti di Yℓ,m (θ, φ) sono:
Yℓ,m (π − θ, φ + π) = (−)ℓ Yℓ,m (θ, φ),
(4.85)
∗
(−)ℓ−m Yℓ,−m
= Yℓ,m .
(4.86)
4.1.6 Elementi di matrice di J.
Abbiamo visto che i risultati come
J± |mi = cost.|m ± 1i,
(4.87)
J2 |ji = j(j + 1)|ji,
(4.88)
seguono dalla regola di commutazione di Ji . Si vuole ora determinare le costanti in queste
relazioni. Consideriamo il valore d’aspettazione di
J2 = (J+ J− + J32 − J3 )
(4.89)
nello stato |j, mi. Si ha
hj, m|J2 |j, mi = hj, m|J+ J− |j, mi + hj, m|J32 |j, mi − hj, m|J3 |j, mi,
(4.90)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
j(j + 1) =
X
m′
121
hj, m|J+ |j, m′ ihj, m′ |J− |j, mi + m2 − m,
dove abbiamo utilizzato la relazione di completezza
X
|j ′ , m′ ihj ′ , m′ | = 1,
(4.91)
(4.92)
j ′ ,m′
e il fatto che gli operatori J± non cambia j. Dall’ultima relazione, tenendo conto dei
risultati (87), segue che soltanto un termine contribuisce nella somma su m′ :
hj, m|J+ |j, m−1ihj, m−1|J− |j, mi = j(j +1)−m2 +m = (j +m)(j −m+1). (4.93)
†
Ora, poiché J+ = J−
i due elementi di matrice nel primo membro sono collegati,
hj, m|J+ |j, m − 1i = hj, m − 1|J− |j, mi∗ .
(4.94)
|hj, m − 1|J− |j, mi|2 = (j + m)(j − m + 1).
(4.95)
Perciò
Con un’opportuna scelta della fase, si ha allora
hj, m − 1|J− |j, mi = hj, m|J+ |j, m − 1i =
p
(j + m)(j − m + 1),
(4.96)
e ovviamente tutti gli altri elementi di matrice di J+ , J− sono nulli.
Gli elementi di matrice di J1 e J2 seguono dai risultati per J± tramite le relazioni:
J1 = (J+ + J− )/2,
J2 = (J+ − J− )/2i.
(4.97)
Si trovano cosı̀ i seguenti elementi non nulli:
hj, m − 1|J1 |j, mi =
hj, m + 1|J1 |j, mi =
e
hj, m − 1|J2 |j, mi =
hj, m + 1|J2 |j, mi =
1p
(j + m)(j − m + 1),
2
1p
(j + m + 1)(j − m),
2
ip
(j + m)(j − m + 1),
2
ip
(j + m + 1)(j − m).
−
2
(4.98)
+
(4.99)
Insieme a noti elementi di matrice non nulli di J3
hj, m|J3 |j, mi = m,
questi determinano tutti gli elementi di matirice di vari operatori composti di Ji .
Ritornando alle (87), abbiamo perciò trovato che
p
(j + m)(j − m + 1)|j, m − 1i,
J− |j, mi =
p
(j − m)(j + m + 1)|j, m + 1i.
J+ |j, mi =
(4.100)
(4.101)
Si noti che J+ |j, ji = 0 e J− |j, −ji = 0 infatti.
La scelta della fase fatta sopra (che gli elementi di matrice di J± siano reali e non
negativi), fa parte della cosı̀detta convenzione di Condon e Shortley sulle fase di stati di
momento angolare. Vedi dopo.
Esempio 1. Rappresentazione matriciale per il caso di spin 1/2 (j = 12 .)
122
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
In questo caso, la componente Jz avrà solo autovalori possibili m = ± 21 . L’insieme
degli elementi di matrice di Ji , i = 1, 2, 3 può essere rappresentato da tre matrici 2 × 2,
h1/2, m′ |J1 |1/2, mi =
h1/2, m′ |J2 |1/2, mi =
h1/2, m′ |J3 |1/2, mi =
con
σ1 =
0 1
,
1 0
σ2 =
0
i
−i
,
0
1
(σ1 )m′ ,m ;
2
1
(σ2 )m′ ,m ;
2
1
(σ3 )m′ ,m ,
2
σ3 =
1
0
(4.102)
0
.
−1
(4.103)
Queste matrici sono chiamate matrici di Pauli. In tale notazione, le matrici di Pauli agiscono sullo spazio di spinori,
0
1
c1
,
(4.104)
+ c2
= c1
1
0
c2
dove gli spinori di base
1
= |1/2, 1/2i = |↑i,
0
0
= |1/2, −1/2i = |↓i,
1
(4.105)
rappresentano stati di spin up e di spin down.
Si noti che i tre matrici di Pauli (più precisamente, 12 σi ) obbediscono alla stessa algebra
del momento angolare, (16),
σi σj
σk
[ , ] = i ǫijk
.
(4.106)
2 2
2
In altre parole, le tre matrici rappresentano l’algebra del gruppo SO(3). Le matrici di Pauli
hanno seguenti proprietà importanti,
σi2 = 1,
(i = x, y, z);
σi σj = −σj σi = i ǫijk σk ,
(i 6= j).
Esempio 2. Momento angolare orbitale con ℓ = 1.
r
3
cos θ.
4π
r
3
= hθ, φ|1, ±1i = ∓i
sin θ e±iφ .
8π
Y1,0 = hθ, φ|1, 0i = i
Y1,±1
(4.107)
(4.108)
(4.109)
D’altra parte
L+ = eiφ (
∂
∂
+ i cot θ )
∂θ
∂φ
(4.110)
perciò
L+ Y1,0 = −i
r
3
sin θ eiφ .
4π
Per esempio, l’elemento di matrice di L+ tra gli stati |1, 0i e |1, 1i risulta
Z
∗
h1, 1|L+ |1, 0i =
dθ sin θ dφ Y1,1
L+ Y1,0
r r
Z π
Z 2π
√
3
3
dθ sin θ sin2 θ
dφ = 2.
=
4π 8π 0
0
(4.111)
(4.112)
Questo è in accordo con il risultato generale (96). (Vuol dire che la convenzione di fase delle funzioni armoniche sferiche adottata da noi è compatibile con la convenzione di
Condon-Shortley.)
4.1. MOMENTO ANGOLARE
123
4.1.7 Composizione dei momenti angolari
Consideriamo ora sistemi con più di un momento angolare. Essi potrebbero essere due
momenti di tipo orbitale, due spin (due particelle con spin) oppure il momento angolare
orbitale e lo spin della stessa particella, etc. Si vuole sapere quali sono i valori del momento
angolari totali, e qual’‘e la relazione tra gli stati del momento angolare totale e gli stati di
momenti angolari componenti.
La legge di addizione di due momenti angolari, J1 e J2 segue dall’algebra dei momenti
angolari.
Il momento angolare totale è definito da
J = J1 ⊗ 1 + 1 ⊗ J2 ≡ J1 + J2
(4.113)
[J1i , J2j ] = 0.
(4.114)
dove
Grazie a questa seconda relazione, il momento angolare totale soddisfa la regola di commutazione standard,
[Ji , Jj ] = iǫijk Jk .
(4.115)
Una domanda a cui si vuole rispondere è:
Dati due numeri quantici j1 e j2 dei momenti angolari J1 e J2 , quali sono i possibili valori
del numero quantico j del momento angolare totale?
(A)
Ci sono due basi naturali degli stati di momento angolare:
(i) una base in cui gli operatori J21 , J1z , J22 , e J2z sono diagonali, con autostati indicati con
|j1 , m1 , j2 , m2 i = |j1 , m1 i ⊗ |j2 , m2 = |j1 , m1 i|j2 , m2 i,
(4.116)
J21 |j1 , m1 , j2 , m2 i = j1 (j1 + 1)|j1 , m1 , j2 , m2 i;
(4.117)
e con proprietà
J2z |j1 , m1 , j2 , m2 i = m2 |j1 , m1 , j2 , m2 i,
ecc.
(4.118)
Alternativamente si può prendere
(ii) una base in cui J2 , Jz , J21 , e J22 , sono diagonali, con autostati
|j1 , j2 ; J, M i
(4.119)
J2 |j1 , j2 ; J, M i = J(J + 1)|j1 , j2 ; J, M i,
(4.120)
con proprietà
Jz |j1 , j2 ; J, M i = M |j1 , j2 ; J, M i,
(4.121)
ecc.
Chiameremo queste come la prima e la seconda base rispettivamente, in seguito.
Esercizio: Verificate che i due gruppi di operatori sopra formano ambedue infatti
osservabili massimali.
La seconda domanda, strettamente legata alla domanda (A), è dunque questa:
Qual’è la relazione tra gli stati |j1 , m1 , j2 , m2 i e gli stati |j1 , j2 ; J, M i?
Partiamo con lo stato in cui m1 , m2 prendono tutti i due i valori massimi possibili, cioè
lo stato “più alto
|j1 , j1 , j2 , j2 i = |j1 , j1 i|j2 , j2 i,
(4.122)
della prima base. Visto che M = m1 + m2 , (Jz ovviamente commuta sia con J1z che con
J2z ) lo stato (122) corrisponde allo stato con M massimo. Poiché J ≥ M questo vorrà
dire che lo stato (122) corrisponde anche all’autovalore J massimo possibile. Ora
J2 |j1 , j1 , j2 , j2 i =
=
=
(J12 + J22 + 2J1 · J2 )|j1 , j1 , j2 , j2 i
(J12 + J22 + J1+ J2− + J1− J2+ + 2J1z J2z )|j1 , j1 , j2 , j2 i
(j1 + j2 )(j1 + j2 + 1)|j1 , j1 , j2 , j2 i.
(4.123)
124
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Lo stato (122) è quindi infatti un autostato di J2 e il numero quantico corrispondente è
j1 + j2 , cioè
Jmax = j1 + j2 .
(4.124)
Allo stesso tempo abbiamo dimostrato l’equivalenza
|j1 , j1 , j2 , j2 i = |j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 i,
(4.125)
i.e., l’equivalenza tra lo stato “più alto” della prima base e lo stato con Jmax e Mmax =
Jmax della seconda base.
(Per essere preciso, la fase relativa tra i due membri della (125) è arbitrariamente stata
messa uguale a 1. Questa scelta fa parte della “convenzione di Condon-Shortley”.)
Applichiamo ora l’operatore J− = J1− + J2− sullo stato (125). Da una parte troviamo
che
p
(4.126)
J− |j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 i = 2(j1 + j2 )|j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 − 1i,
dove abbiamo usato (101); d’altra parte usando la stessa formula per J1− e per J2− , si
ottiene
p
p
(J1− + J2− )|j1 , j1 , j2 , j2 i = 2j1 |j1 , j1 − 1, j2 , j2 i + 2j2 |j1 , j1 , j2 , j2 − 1i. (4.127)
Perciò si è trovata la seconda relazione,
s
s
j1
j2
|j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 − 1i =
|j1 , j1 − 1, j2 , j2 i +
|j1 , j1 , j2 , j2 − 1i.
j1 + j2
j1 + j2
(4.128)
Si noti che l’applicazione di J− non può cambiare il numero quantico J = j1 + j2 (e
analogamente J1− non modifica l’autovalore di J21 .
Si osservi che due stati linearmente indipendenti della prima base con M = j1 + j2 − 1
appaiono nelle eq.(126), (127), e (128). Nella seconda base questi devono avere J = j1 +j2
uno, e J = j1 + j2 − 1 l’altro. Il primo corrisponde alla combinazione lineare trovata sopra,
(128). L’altro stato, con J = j1 + j2 − 1 deve essere ortogonale a quello stato, quindi a
parte la fase (che va determinata con un’opportuna convenzione) deve essere uguale a
s
s
j2
j1
iα
|j1 , j2 ; j1 +j2 −1, j1 +j2 −1i = e (
|j1 , j1 −1, j2 , j2 i−
|j1 , j1 , j2 , j2 −1i)
j1 + j2
j1 + j2
(4.129)
dove α è la fase indeterminata per il momento.
Procedendo in maniera analoga, e applicando J− = J1− + J2− su due stati (128) e
(129), si ottengono due stati
|j1 , j2 ; j1 + j2 , j1 + j2 − 2i,
|j1 , j2 ; j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2i,
(4.130)
con M = j1 + j2 − 2, in termini di tre stati nella prima base. Il terzo stato con M =
j1 + j2 − 2, per esclusione, deve essere lo stato |j1 , j2 ; j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2i: esso è
determinato (a parte la fase) dalla condizione di ortogonalità con gli stati (130). E cosı̀ di
seguito.
Continuando in questo modo, all’n-sima volta che si applica J− = J1− + J2− si otterà
n + 1 stati, di cui uno corrisponde ad un nuovo multipletto con J = j1 + j2 − n. Si noti
che ad ogni passaggio il numero di stati linearmente indipendenti ad un fisso valore di M
aumenta di uno. Questo accade finché n < M in{2j1 , 2j2 }. Quando n = 2j1 , per esempio
(supponendo j1 < j2 ), un ulteriore applicazione di J1− annulla lo stato |j1 , −j1 , j2 , j2 i
perciò il numero di stati linearmente indipendenti con M = j2 − j1 − 1 è uguale al numero
di tali stati con M = j2 − j1 .
4.1. MOMENTO ANGOLARE
125
Troviamo cosı̀ che il valore minimo possibile (supponendo j1 < j2 ) di J è j2 − j1 . Per
generici j1 e j2 si ha
J = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2, . . . , |j1 − j2 |.
(4.131)
Come verifica contiamo il numero totale degli stati linearmente indipendenti, aventi i
numeri quantici j1 e j2 . Nella prima base esso è dato da
(2j1 + 1)(2j2 + 1),
(4.132)
che è semplicemente il prodotto dei numeri delle componenti dei due multipletti.
Nella seconda base (supponendo j1 < j2 ), esso è calcolato, sapendo (131), con la
formula
jX
2 +j1
(2J + 1) =
J=j2 −j1
=
1
2 · [(j2 + j1 )(j2 + j1 + 1) − (j2 − j1 − 1)(j2 − j1 )] + 2j1 + 1
2
(2j1 + 1)(2j2 + 1),
(4.133)
che dimostra la consistenza del risultato (131) trovato sopra.
Esempio j1 = j2 = 1. Ci sono in questo caso 9 stati linearmente indipendenti, che
corrispondono a 5 stati con J = 2, a 3 stati con J = 1, e uno stato con J = 0.
Esempio Il caso con j1 = j2 = 12 è di particolare importanza. È di uso comune indicare
gli stati di singolo spin come
1
0
= |1/2, 1/2i,
= |1/2, −1/2i
(4.134)
0
1
(spin “up e spin “down); i quattro stati della prima base sono
1
1
1
0
0
1
0
0
,
,
,
.
0 1 0 2
0 1 1 2
1 1 0 2
1 1 1 2
(4.135)
Gli operatori sono
stot = s1 + s2 ;
s1 =
1
σ1 ;
2
s2 =
1
σ2 ;
2
dove le matrici σ1 , σ2 sono matrici di Pauli, (103). Per esempio,
1
0 1
s1+ = (σ1x + iσ1y ) =
.
0 0 1
2
(4.136)
(4.137)
Applichiamo sugli stati (135) l’operatore
s2tot =
3
3
+ 2s1 · s2 = + s1+ s2− + s1− s2+ + 2s1z s2z .
2
2
Troviamo
(4.138)
1
1
1
1
=2
;
(4.139)
0 1 0 2
0 1 0 2
0
0
e analogamente per
. In altre parole questi due stati sono autostati dello spin
1 1 1 2
totale, con stot = 1.
D’altra parte,
1
0
1
0
0
1
2
stot
=
+
;
(4.140)
0 1 1 2
0 1 1e 2
1 1 0 2
s2tot
126
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
e
s2tot
0
1
1
0
0
1
=
+
.
1 1 0e 2
0 1 1 2
1 1 0 2
(4.141)
Questi due stati non sono autostati di s2tot . È facile trovare tuttavia gli autostati di s2tot : essi
sono le combinazioni “spin paralleli e “spin antiparalleli,
√
1
0
0
1
(4.142)
|pari ≡ {
+
}/ 2;
0 1 1 2
1 1 0 2
√
1
0
0
1
(4.143)
|antii ≡ {
−
}/ 2.
0 1 1 2
1 1 0 2
Infatti essi soddisfano
s2tot |pari = 2|pari;
(4.144)
s2tot |antii = 0,
(4.145)
dimostrando che il primo corrisponde a stot = 1, il secondo a stot = 0. Ricapitolando, il
tripletto di stati
√
0
0
1
1
1
0
0
1
,
(4.146)
, {
+
}/ 2;
1 1 1 2
0 1 0 2
0 1 1 2
1 1 0 2
di spin 1 e un singoletto
√
1
0
0
1
{
−
}/ 2
0 1 1 2
1 1 0 2
(4.147)
di spin 0 costituiscono la seconda base di stati.
Nella notazione più pittoresca utilizzata spesso, gli stati di tripletto sono
|↑i |↑i,
|↑i |↓i + |↓i |↑i
√
,
2
|↓i |↓i,
(4.148)
mentre il singoletto è la combinazione antisimmetrica
|↑i |↓i − |↓i |↑i
√
.
2
4.1.8
(4.149)
Coefficienti di Clebsch-Gordan
Rispondiama ora alla seconda domanda che si era posta all’inizio del sottocapitolo precedente. Ciascun stato della prima base può essere sviluppato in termini di quelli della
seconda base:
X
|j1 , m1 , j2 , m2 i =
|j1 , j2 ; J, M ihj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i,
(4.150)
J,M
dove nella somma su M attualmente un solo termine (con M = m1 + m2 ) è non nullo.
La (150) può essere vista come relazione di completezza degli stati di momento angolare.
I coefficienti di sviluppo,
hj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i ≡ hJ, M |j1 , m1 , j2 , m2 i
(4.151)
sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan.
Vice versa, ogni autostato di J2 , Jz , può essere espresso come una combinazione
lineare di stati dell’altra base:
X
|j1 , m1 , j2 , m2 ihj1 , m1 , j2 , m2 |j1 , j2 ; J, M i.
(4.152)
|j1 , j2 ; J, M i =
m1 ,m2
4.1. MOMENTO ANGOLARE
127
I coefficienti di sviluppo in questo caso sono semplicemente coniugati complessi di quelli
nella (150):
hj1 , m1 , j2 , m2 |j1 , j2 ; J, M i = hj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i∗ .
(4.153)
Anche questi sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan.
I coefficienti che abbiamo trovato nelle (125), (128), e (129), sono infatti esempi di
coefficienti di Clebsch-Gordan. Come abbiamo già notato, i coefficienti di Clebsch-Gordan
dipendono dalla convenzione di fase di stati di momento angolare. La convenzione frequentemente usata (che adotteremo anche noi) si chiama convenzione di Condon e Shortley e
consiste nell’imporre le seguenti tre condizioni:
1. I massimi stati delle due basi sono identificati con il coefficiente 1, (125): questa
convenzione fissa la fase relativa globale tra la prima e la seconda base;
2. Tutti gli elementi di matrice degli operatori, J1− , J2− , J− sono reali e semipositivi
definiti: questa condizione fissa le fasi relativi tra gli stati nello stesso multipletto;
3. Gli elementi di matrice,
hj1 , j2 ; J, M |J1z |j1 , j2 ; J ± 1, M i
(4.154)
sono reali e semipositivi definiti.
Non è difficile dimostrare che queste tre condizioni fissano univocamente tutte le fasi
relativi tra gli stati, in modo esauriente e consistente. Vedi per es., il libro di Edmonds,
“Angular Momentum in Quantum Mechanics”.
I coefficienti di Clebsch-Gordan per i primi valori di j1 , j2 sono dati nella tabella seguente. In programma Mathematica, il commando input per ottenere il coefficiente di
C-G, hj1 , j2 ; J, M |j1 , m1 , j2 , m2 i ≡ hJ, M |j1 , m1 , j2 , m2 i è semplicemente
ClebschGordan [{j1 , m1 }, {j2 , m2 },{J, M}]
4.1.9 Spin
Ritorniamo ora alla proprietà di trasformazione della funzione d’onda per rotazioni degli
assi delle coordinate. Per una particella senza spin, la funzione d’onda si trasforma, per
una rotazione attorno alla direzione di un vettore ω, secondo la regola (vedi (26)):
r → r′ = r − ω × r + . . . ;
ψ(r) → ψ(r)
=
=
(4.155)
ψ(r′ + ω × r′ )
ψ ′ (r′ ) = eiω·L̂ ψ(r′ ).
(4.156)
In altre parole, per S = 0, il valore della funzione d’onda sullo stesso punto fisico non cambia, ma dovuto al cambiamento delle coordinate, la forma funzionale rispetto alle nuove
coordinate è modificata.
Questo significa che la funzione d’onda forma una rappresentazione del gruppo di rotazione, SO(3). Ora dal punto di vista della teoria dei gruppi è importante sapere quali
sono le rappresentazioni irriducibili, cioè oggetti che si trasformano tra di loro. Come è
chiaro intuitivamente, poiché una rotazione tridimensionale non può cambiare la grandezza
del momento angolare, le rappresentazioni irriducibili corrispondono esattamente ai multipletti di stati di momento angolare definito (autostati del momento angolare quadrato).
Nel caso di una particella senza spin, allora, essi sono le armoniche sferiche Yℓ,m (θ, φ),
m = ℓ, ℓ − 1, . . . − ℓ. Una funzione d’onda generica può essere sviluppata in termini di tali
armoniche,
X
ψ(r) =
Rℓ,m (r)Yℓ,m (θ, φ).
(4.157)
ℓ,m
128
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Allora il cambiamento della forma funzionale della funzione d’onda (156) significa
ψ → ψ′
= eiω·L̂ ψ
X
=
Rℓ,m (r)eiω·L̂ Yℓ,m (θ, φ).
(4.158)
ℓ,m
Ma poiché gli operatori L non possono cambiare il valore di ℓ si avrà
e
iω·L̂
Yℓ,m (θ, φ) =
ℓ
X
ℓ
Dm
′ ,m (ω)Yℓ,m′ ,
(4.159)
m′ =−ℓ
dove la matrice
ℓ
′ iω·L̂
Dm
|ℓ, mi,
′ ,m (ω) ≡ hℓ, m |e
(4.160)
è chiamata matrice di rotazione.
La funzione d’onda di particella con spin s ha 2s + 1 componenti; essa si trasforma
secondo la legge
ψ → eiω·(L̂+ŝ) ψ,
(4.161)


ψ1 (r)
 ψ2 (r) 


(4.162)
ψ(r) = 
.
..


.
ψ2s+1 (r)
L’operatore L agisce sulla dipendenza da r di ciascun componente, mentre lo spin s agisce
sullo spazio di spinore,
X
ψσ′ =
(4.163)
eiω·ŝ σ,σ′ ψσ′ .
σ′
I suoi elementi di matrice sono esattamente determinati dalle (98), (99), (100) (leggi J1 →
sx , J2 → sy , J3 → sz ,). Le componenti del momento angolare totale
J=L+s
(4.164)
obediscono alla regola standard del momento angolare.
Nota 1
Se l’Hamiltoniana H è indipendente dallo spin, il sistema può avere la funzione d’onda
fattorizzata:
ψσ (r) = ψ(r)χσ .
(4.165)
Per esempio, questo è il caso per l’Hamiltoniana dell’atomo di idrogeno nell’approssimazione non relativistica
~2 2 e 2
H =−
∇ − .
(4.166)
2m
r
Le prime correzioni relativistiche ad essa sono date dai termini
p4
e2
πe2 3
+
L
·
s
+
δ (r).
8m3
2m2 r3
2m2
Si osservi che l’Hamiltoniana totale H + ∆H è invariante per rotazioni. Infatti
∆H = −
[J, H + ∆H] = 0,
(4.167)
(4.168)
dove J = L + s. (Esercizio: Dimostratela.)
Nota 2
Nel caso di spin 1/2 l’operatore di spin è rappresentato da tre matrici di Pauli, si = 21 σi .
Un’identità molto utile è
a
· σ sin |a|,
(4.169)
eia·σ = cos |a| + i
|a|
dove a è un vettore costante. (Problema: Dimostrate la (169) usando le proprietà delle
matrici di Pauli, (107) ).
4.1. MOMENTO ANGOLARE
129
4.1.10 Matrici di rotazione: spin
1
2
La funzione d’onda di spin (per s = 21 ) si trasforma, per una rotazione di angolo φ attorno
alla direzione n, come
i
χ → exp( φ(n · σ)) ψ ≡ U (φn) ψ.
2
(4.170)
Con l’uso dell’identità (169) la matrice di rotazione può essere calcolato esplicitamente:
U (φn) = cos
φ
φ
+ in · σ sin .
2
2
Per esempio, per una rotazione attorno all’asse z,
iφ/2
e
0
Uz (φ) =
;
0
e−iφ/2
mentre per rotazioni attorno agli assi x e y
cos φ2 i sin φ2
;
Ux (φ) =
i sin φ2 cos φ2
sin φ2
cos φ2
Uy (φ) =
.
− sin φ2 cos φ2
(4.171)
(4.172)
(4.173)
Si osservi che per una rotazioni di angolo 2π,
Ux (2π) = −1;
Uy (2π) = −1;
Uz (2π) = −1 :
(4.174)
la funzione d’onda di una particella con spin 1/2 cambia segno! In questo senso (dal punto
di vista della teorie dei gruppi ) questi sono le rappresentazioni di particolare tipo (detta
“proiettiva o “spinoriale) del gruppo di rotazioni SO(3); spinori sono proprio i nomi dati a
questi oggetti. I vettori si trasformano esattamente come r e perciò U (2π) = 1 per essi.
(Esercizio: Si verifichi che le matrici Ux (φ), Uy (φ), Uz (φ) sono infatti unitarie.)
La matrice di rotazione per una generica rotazione è di solito espressa in termini di tre
angoli di Eulero, α, β e γ.
D1/2 ≡ U (α, β, γ)
= Uz (γ) Uy (β) Uz (α)
i(α+γ)/2
e−i(α−γ)/2 sin β2
e
cos β2
=
.
−ei(α−γ)/2 sin β2 e−i(α+γ)/2 cos β2
(4.175)
Nota
Le proprietà di trasformazione (matrici di rotazione) per particelle di spin S = n2 , n =
1, 2, 3, . . . generico possono essere trovate nel seguente modo. Prendiamo n spinori (ciascuno con s = 1/2) e costruiamo i loro prodotti, totalmente simmetrici per scambi di n
spinori. Ci sono esattamente n + 1 tali combinazioni, analoghe al tripletto di stati (146)
nel caso particolare n = 2. È ovvio che le rotazioni non possono cambiare le proprietà di
simmetrie, dunque questi n + 1 oggetti si trasformano tra di loro per rotazioni (i.e., è una
rappresentazione irriducibile). Dal numero quantico azimutale dello “stato più alto,
1
1
1
...
(4.176)
0 1 0 2
0 n
(Sz = n/2) si apprende che questo n + 1 -pletto di stati corrispondono ad uno spin S =
n/2. Perciò la matrice di rotazione per S generico è semplicemente il prodotto tensoriale
di n = 2S matrici (175), simmetrizzati per scambi di n indici.
Da quanto sopra segue che le funzioni d’onda di spin interi (n pari) qualsiasi ritornano
a se stesso dopo una rotazione di angolo 2π, mentre le funzionei d’onda di particelle con
spin semiinteri cambiano segno.
130
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.1.11 Teorema di Wigner-Eckart
Consideriamo uno stato descritto dalla funzione d’onda ψ0 (r): una funzione d’onda dipendente solo dal modulo r = |r| della posizione. Ovviamente tale stato è invariante per
rotazioni, i.e., è uno stato di ℓ = 0. Ora, gli stati
ψi (r) = cost. ri ψ0 (r)
(4.177)
ottenuti con l’azione di un operatore vettoriale su ψ0 (r) hanno invece ℓ = 1, essendo proporzionali a Y1,m (θ, φ). Il valore di ℓ, quindi le corrispondenti proprietà per rotazioni, naturalmente non dipendono dal dettaglio dell’operatore (e dello stato), la stessa conclusione
è valida per
′
ψi (r) = cost. pi ψ0 (r)
(4.178)
Generalizzando questa discussione al generici stati di momento angolare e generici operatori, si arriva ad un teorema importante dovuto a Wigner e Eckart.
Un operatore O si trasforma come
O → eiω·Ĵ O e−iω·Ĵ ;
(4.179)
| i → eiω·Ĵ | i.
(4.180)
mentre uno stato qualsiasi come
Abbiamo visto che particolari stati, quelli col momento angolare definito (J, M ), si trasformano in un modo semplice e universale (vedi (159)),
X
J
′
|J, M i →
DM,M
(4.181)
′ (ω)|J, M i.
M′
Si noti che la matrice di rotazione di spin J è nota una volta per tutte; essa non dipende
né dai dettagli dinamici della funzione d’onda né dalla natura del momento angolare stesso
(i.e., se esso è dovuto ad un moto orbitale o se si tratta di spin; se il sistema è elementare o
composto, ecc. ), ma dipende solo dal valore di j.
Analogamente certi operatori si trasformano in un modo semplice. Operatori come r2 ,
2
p , U (r), sono scalari: essi sono invarianti per rotazioni. Operatori r, p, e J, per esempio,
sono vettori. I prodotti di vettori sono genericamente chiamati tensori.
Per lo studio delle proprietà della trasformazione per rotazioni spaziali, è conveniente
riorganizzare le componenti dei tensori (normalmente espressi in termini di componenti
cartesiane), e introdurre la nozione di tensori sferici. Un operatore tensoriale sferico di
rango 1 è equivalente ad un vettore (Ax , Ay , Az ) ma le sue componenti sono chiamate
T1,m , m = 1, 0, −1, dove
T1,1 = −i
Ax + iAy
√
;
2
T1,0 = iAz ;
T1,−1 = i
Ax − iAy
√
.
2
(4.182)
Nel caso dell’operatore r, il tensore sferico corrispondente è semplicemente
x + iy
T1,1 = −i √ ;
2
T1,0 = iz;
x − iy
T1,−1 = i √
:
2
(4.183)
essi sono proporzionali alle funzioni armoniche sferiche Y1,1 , Y1,0 , e Y1,−1 . (Vedi (84).)
Le relazioni inverse,
Ax = i
T1.1 − T1,−1
√
;
2
sono anche esse utili.
Ay =
T1,1 + T1,−1
√
;
2
Az = −iT1,0,
(4.184)
4.2. POLINOMI DI LEGENDRE
131
II tensore sferico di rango 2 (di “spin 2 ) è, in termini di componenti cartesiane del
tensore simmetrico (Axx , Axy = Ayx , ecc),
r
1
(Axx + Ayy − 2Azz );
T2,0 =
6
T2,±1 = ±(Axz ± iAyz );
1
(4.185)
T2,±2 = − (Axx − Ayy ± 2iAxy ).
2
Per costruzione i tensori sferici di “spin p con 2p + 1 componenti si trasformano con la
semplice legge
X
Tq p ⇒ eiω·Ĵ Tq p e−iω·Ĵ =
Dp q,q′ Tqp′ .
(4.186)
q′
p
Vuol dire che l’azione di Tq sullo stato |j, m; ni produce uno stato
Tq p |j, m; ni
(4.187)
che si trasforma esattamente come lo stato
|p, qi ⊗ |j, mi,
(4.188)
i.e.,
Tq p |j, m; ni ⇒ eiω·Ĵ Tq p |j, m; ni = eiω·Ĵ Tq p e−iω·Ĵ eiω·Ĵ |j, m; ni
X
j
p
′
=
Dp q,q′ Dm,m
(4.189)
′ Tq ′ |j, m ; ni.
q′ ,m′
Di conseguenza gli elementi di matrice
hJ, M ; n′ |Tq p |j, m; ni
(4.190)
dove n, n′ indicano tutti gli altri numeri quantici (e.g., radiale, tipo di particelle, ecc.) sono
proporzionali ai coefficienti di Clebsch-Gordan,
hJ, M ; n′ |Tq p |j, m; ni = hp, j; J, M |p, q, j, mihJ, n′ kTp kj, ni,
(4.191)
(teorema di Wigner-Eckart). Nella (191) il coefficiente di proporzionalità,
hJ, n′ kTp kj, ni, chiamato elemento di matrice ridotto, dipende solo dalla grandezza dei
momenti angolari e altri numeri quantici dinamici, ma non dai numeri quantici azimutali.
Tutte le dipendenze azimutali sono contenute nei coefficienti di Clebsch-Gordan che sono universali. La (191) è molto potente: essa fornisce relazioni non banali tra numerosi
elementi di matrice (che differiscono solo per M, q, m) in termini di una sola quantità.
4.2
Polinomi di Legendre
Per cominciare, consideriamo l’eq.(77) per m = 0. L’equazione è
{
d
d
(1 − x2 )
+ ℓ(ℓ + 1)}Θ = 0,
dx
dx
(4.192)
oppure
′′
′
(1 − x2 )Θ − 2xΘ + ℓ(ℓ + 1)Θ = 0.
(4.193)
Una delle soluzioni Pℓ (x) può essere prese finita nell’intervallo −1 ≤ x ≤ 1: essa è
chiamata il polinomio di Legendre. (L’altra soluzione, indicata con Qℓ (x) non è finita a
x = ±1. )
132
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Come per i polinomi di Hermite, le proprietà dei polinomi di Legendre possono essere
studiate con aiuto di una funzione generatrice, che in questo caso è data da
T (x, s) = (1 − 2sx + s2 )−1/2 =
∞
X
Pℓ (x)sℓ ,
s < 1,
(4.194)
ℓ=0
dove s è un parametro arbitrario, x = cos θ. I primi polinomi possono essere trovati
facilmente da (194):
P0 (x)
= 1,
P3 (x)
=
P1 (x) = x,
1
(4x3 − 3x),
2
P2 (x) =
P4 (x) =
1
(3x2 − 1),
2
1
(35x4 − 30x2 + 3),
8
(4.195)
ecc. È nota una formula semplice e esplicita per Pℓ (x) (formula di Rodrigue)
Pℓ (x) =
1 dℓ 2
(x − 1)ℓ .
2ℓ ℓ! dxℓ
(4.196)
Pℓ (x) sono normalizzati con la condizione
Z
1
dx Pℓ (x)Pℓ′ (x) =
−1
2
δℓ,ℓ′ ,
2ℓ + 1
(4.197)
e soddisfa inoltre
Pℓ (1) = 1;
Pℓ (−1) = (−)ℓ .
(4.198)
Il fatto che i polinomi di Legendre definiti da (194) soddisfano l’equazione di Legendre (193) segue dalle equazioni di ricorrenza che si ottengono dalle considerazioni delle
derivate ∂T (x, s)/∂x e ∂T (x, s)/∂s. Una rappresentazione conveniente dei polinomi di
Legendre è (formula di Schläfli)
I
(t2 − 1)ℓ
1
dt,
(4.199)
Pℓ (z) =
2πi
2ℓ (t − z)ℓ+1
dove il cammino di integrazione è una curva chiusa qualsiasi che circonda il punto z. È
facile dimostrare che
I
ℓ+1
d (t2 − 1)ℓ+1
2
′′
′
(1 − z )Pℓ (z) − 2 z Pℓ (z) + ℓ(ℓ + 1)Pℓ (z) =
= 0.
dt
2πi
dt 2ℓ (t − z)ℓ+2
(4.200)
D’altra parte la formula di Rodrigue (196) segue immediatamente da questa rappresentazione, utilizzando il teorema di residuo.
Infine, i polinomi associati di Legendre Pℓm (x) possono essere ottenuti da Pℓ (x) via la
relazione
dm
(4.201)
Pℓm (x) = (x2 − 1)m/2 m Pℓ (x) :
dx
il fatto che Pℓm (x) è la soluzione regolare della (77) si dimostra facendo m derivate dm /dxm
dell’eq.(193) e considerando l’equazione per (1 − x2 )m/2 dm /dxm Θ. (vedi,i.e., Whittaker
and Watson, “Modern Analysis’.)
4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
4.3
4.3.1
133
Gruppi e Rappresentazioni: Elementi di Teoria dei
Gruppi
Assiomi del gruppo e alcuni esempi
Un insieme G, nel quale è definita l’operazione di moltiplicazione,
a ∈ G,
b∈G
→
c = a · b ∈ G,
(4.202)
è chiamato gruppo se i seguenti assiomi sono soddisfatti:
i) associatività del prodotto:
(a · b) · c = a · (b · c);
(4.203)
ii) esistenza dell’elemento unità e, tale che
ea = a
(4.204)
per ogni elemento a ∈ G;
iii) ogni elemento a possiede un’inverso (a sinistra), a−1
a−1 · a = e.
(4.205)
Un gruppo G è Abeliano (commutativo) se per ogni coppia dei suoi elementi vale
a · b = b · a,
(4.206)
altrimenti il gruppo è non Abeliano.
Es. 1. L’insieme di numeri interi forma un gruppo (commutativo) per addizione, i.e., se la
moltiplicazione è definita come
a · b ≡ a + b.
(4.207)
Es. 2. Gruppo di permutazione di tre oggetti (A, B, C) messi in posizioni 1, 2, 3: ci sono
sei elementi nel gruppo,
e : (ABC) → (ABC);
(12) : (ABC) → (BAC);
(23) : (ABC) → (ACB);
(31) : (ABC) → (CBA);
(123) : (ABC) → (CAB);
(321) : (ABC) → (BCA).
(4.208)
La regola di moltiplicazione si trova direttamente, per es. (12) · (23) = (123); (23) ·
(123) = (31); ecc. (N.B. l’operazione che sta a destra va eseguita per prima).
Es. 3. L’insieme di matrici complesse N × N con determinante unitario,
G = {M : det M = 1},
(4.209)
in cui la moltiplicazione è definita normalmente col prodotto matriciale, forma il gruppo
lineare speciale SL(N, C).
Es. 4. L’insieme di matrici ortogonali d × d reali con determinante unitario,
G = {O : OT O = 1; det O = 1},
(4.210)
134
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
forma il gruppo ortogonale, SO(d). Gli elementi di questo gruppo possono essere identificati con tutte le possibili rotazioni tri-dimensionali (per d = 3) degli assi di coordinate.
SO(d) può essere definito come gruppo degli operatori di trasformazione (rotazioni) nello
spazio di vettori d, che lasciano invariante il modulo quadrato,
xT · x
(4.211)
dei vettori.
Es. 5. L’insieme di matrici unitarie N × N complesse,
G = {U : U † U = 1; },
(4.212)
forma il gruppo untario U (N ). Le matrici unitarie con det U = 1 formano il gruppo
unitario speciale, SU (N ).
Es. 6. Il gruppo di Lorentz è formato dalle matrici 4 × 4 reali, L, che lasciano invariante la
metrica


1 0
0
0
0 −1 0
0

(4.213)
g=
0 0 −1 0  ,
0 0
0 −1
i.e.,
Lt gL = g.
(4.214)
Equivalentemente, il gruppo di Lorentz è il gruppo di trasformazioni quadrivettoriali (t, x, y, z)
che lasciano invariante
xµ xµ = t2 − x2 − y 2 − z 2 .
(4.215)
N.B. I gruppi degli esempi 2 - 6 sopra sono non Abeliani, ad eccezione del SO(2) (gruppo
di rotazioni nel piano x − y) che è commutativo.
Esercizio Dimostrare che il gruppo unitario U (n), visto come gruppo di trasformazioni
sullo spazio vettoriale complesso n dimensionale, lascia invariata la forma quadratica (o il
prodotto scalare Hermitiano)
n
X
zi∗ zi ,
(4.216)
z† · z =
i=1
dove (z1 , z2 , . . . , zn ) sono le componenti di un vettore complesso qualsiasi.
Prodotto diretto dei gruppi
Dati due gruppi G e H, il prodotto diretto G ⊗ H è definito dagli elementi (g, h) dove
g ∈ G, h ∈ H, e i loro prodotti sono definiti da
(g1 , h1 ) · (g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 ).
4.3.2
(4.217)
Rappresentazione del Gruppo
Dato un gruppo G, l’insieme R di matrici N × N (con N finito o infinito) M , forma una
rappresentazione del gruppo G, se ad ogni elemento g di G corrisponde un elemento di R;
g → M (g) ∈ R,
(4.218)
M (g1 )M (g2 ) = M (g1 g2 ),
(4.219)
tale che
i.e., tale che la legge di moltiplicazione sia conservata.
4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
135
In Meccanica Quantistica gli operatori lineari O possono essere visti equivalenemente
come matrici (finite o infinito-dimensionali) tramite la corrispondenza,
Omn = hm|O|ni,
(4.220)
dove {|mi} è una base completa e ortonormale di stati. Le rappresentazioni di un gruppo
in termini di operatori lineari possono essere unitarie o non unitarie. Le rappresentazioni
in termini di matrici unitarie sono rappresentazioni unitarie.
Es. 1. Il gruppo di permutazione ha una rappresentazione,






1 0 0
0 1 0
0 0 1
M (e) = 0 1 0 ; M (12) = 1 0 0 ; M (13) = 0 1 0 ;
0 0 1
0 0 1
1 0 0





(4.221)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
M (23) = 0 0 1 , M (123) = 1 0 0 ; M (321) = 0 0 1 .
0 1 0
0 1 0
1 0 0
(4.222)
Se esiste una trasformazione di similitudine, S, tale che
M (g) = S M̃ (g) S −1 ,
∀g ∈ G,
(4.223)
le rappresentazioni M (g) e M̃ (g) sono equivalenti.
Def. Una rappresentazione di un gruppo G è detto riducibile se essa è equivalente ad una
rappresentazione di forma blocco-diagonale,
M1 (g)
0
M (g) =
, ∀g ∈ G;
(4.224)
0
M2 (g)
altrimenti esso è irriducibile.
Lo spazio lineare di vettori in cui agiscono le matrici M (g) è chiamato spazio delle
rappresentazioni.
Nelle applicazioni in Meccanica quantistica lo spazio delle rappresentazioni è lo spazio
delle funzioni d’onda. Ma poiché gli stati quantistici di un dato sistema sono descritti dai
raggi nello spazio di Hilbert (i.e., ψ ∼ cψ, c 6= 0), in generale dovremo permettere una
rappresentazione di tipo generalizzato, i.e.,
ψ → U (g)ψ,
U (g1 ) · U (g2 ) = eiω(g1 ,g2 ) U (g1 · g2 ),
(4.225)
dove ω è una fase che in generale dipende sia da g1 che da g2 . Tale rappresentazione è
chiamata rappresentazione proiettiva.
4.3.3
Gruppo di Lie e Algebra di Lie
Consideriamo un gruppo continuo G. Gli elementi di un gruppo continuo dipendono da
uno o più parametri {α} in modo continuo,
g = g({α}).
(4.226)
Es. Il gruppo SO(2) è un gruppo continuo, parametrizzato da un parametro θ, che prende
valore nell’intervallo 0 ≤ θ ≤ 2π.
La varietà (spazio) su cui vivono i parametri del gruppo è la varietà del gruppo. Quando
la varietà del gruppo è una varietà analitica (rispetto ai suoi parametri) si ha un gruppo di
Lie. (La definizione più precisa del gruppo di Lie si trova per es., in Barut and Raczka,
136
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
“Theory of Group Representations and Applications.) Se inoltre lo spazio dei parametri del
gruppo è compatto (senza la pretesa di massima generalità, uno spazio chiuso e limitato),
si ha un gruppo di Lie compatto. I gruppi SO(N ) e SU (N ) sono gruppi di Lie compatti.
Uno spazio in cui un cammino chiuso arbitrario è contrattibile in maniera continua ad
un punto è detto semplicemente connesso.
Nota: Uno spazio in cui due punti arbitrari sono connessi da un cammino continuo, è detto
invece connesso per archi.
Es. La sfera S 2 è uno spazio semplicemente connesso, poiché ovviamente ogni cammino
chiuso su di esso può essere modificato ad un punto in modo continuo; l’anello S 1 (l’insieme dei punti (x, y) che soddisfano x2 + y 2 = 1) non è semplicemente conesso perché
su di esso esistono cammini chiusi non contrattibili, ad es., (cos nθ, sin nθ), 0 ≤ θ ≤ 2π,
con n = 1, 2, . . .); analogamente il toro (topologicamente S 1 × S 1 ) non è semplicemente
connesso, anche se è connesso per archi. Infatti, ci sono infinite classi di cammini chiusi
non banali su un toro (disegnateli), che sono non contrattibili.
Ogni rappresentazione di un gruppo di Lie compatto è equivalente ad una rappresentazione in termine di operatori unitari. Ogni elemento di un gruppo unitario che si possa
ottenere dall’elemento unità con una variazione continua dei parametri può essere scritto
come
U ({α}) = exp iαa Xa ,
(4.227)
dove αa , a = 1, 2, . . . N sono parametri reali e Xa sono operatori Hermitiani. Xa sono
generatori delle trasformazioni infinitesime,
U ({ǫ}) ≃ 1 + iǫa Xa + O(ǫ2 ).
(4.228)
Es. Non tutti gli elementi di un gruppo continuo sono ottenibili tramite una variazione
continua dei parametri. Per es., il gruppo O(N ) (gruppo ortogonale) contiene elementi
con det O = −1 che non sono connessi all’elemento unità in maniera continua. Il gruppo
SO(3) è connesso per archi ma non è semplicemente connesso (vedi dopo).
I generatori Xa del gruppo G obbediscono alle relazioni di chiusura
X
[Xa , Xb ] =
ifabc Xc ,
(4.229)
c
dove
[Xa , Xb ] ≡ Xa Xb − Xb Xa
(4.230)
sono commutatori tra due operatori Xa e Xb . Le relazioni (28) formano l’algebra del
gruppo G, g. Le costanti fabc che caratterizzano le proprietà attorno all’elemento unità del
gruppo, sono costanti di struttura del gruppo.
Momento angolare: L’algebra delle componenti del momento angolare tridimensionale
è l’algebra so(3), con generatori, J1 , J2 , J3 . Le costanti di struttura sono fabc = ǫabc
in questo caso. L’algebra del gruppo SU (2) e quella del gruppo SO(3) sono le stesse:
su(2) ∼ so(3). La struttura globale dei due gruppi è tuttavia diversa, il gruppo SO(3) non
è semplicemente connesso mentre il gruppo SU (2) lo è (vedi la nota successiva). Infatti,
rotazioni tridimensionali possono essere parametrizzate in termini di tre angoli di Eulero,
l’angolo α di una rotazione attorno all’asse z (0 ≤ α ≤ 2π) ; l’angolo β della rotazione
attorno all’asse nuovo y (0 ≤ β ≤ π) ; e l’angolo γ della terza rotazione attorno all’asse z
nuovo (0 ≤ γ ≤ 2π). L’elemento M1 = (α, β, γ) = (π, 0, π) coincide con l’identità come
operazione di rotazione, per cui il cammino che connette l’unità e = (0, 0, 0) al punto M1
è un cammino chiuso, ma non contrattile.
Nota: Gli elementi del gruppo SU (2) possono essere parametrizzati come
a
b
U=
,
(4.231)
−b∗ a∗
4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI
137
con
|a|2 + |b|2 = 1.
(4.232)
(Verificate che le condizioni U U † = 1; e det U = 1 che definiscono un gruppo SU (N )
siano soddisfatte con le matrici suddette). Ponendo a = x1 + ix2 e b = x3 + ix4 , la (31)
si riduce a
(4.233)
x21 + x22 + x23 + x24 = 1,
che dimostra che il gruppo SU (2) è topologicamente S 3 ed è perciò semplicemente connesso.
Rappresentazione spinoriale:
La funzione d’onda di particelle di spin semi-interi è un esempio di rappresentazione
proiettiva (24). Infatti, le componenti di spin della funzione d’onda si trasformano, per una
rotazione tridimensionale degli assi delle coordinate, mediante la matrice di rotazione. Per
spin 1/2 la matrice di rotazione è data nella (175). Esse si trasformano, per una rotazione
di angolo 2π come
ψ → −ψ.
(4.234)
Queste rappresentazioni sono chiamate rappresentazioni spinoriali del gruppo SO(3).
138
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.4 Simmetrie in Meccanica Quantistica
4.4.1 Considerazioni generali
Il concetto della simmetria e le conseguenti leggi di conservazione non sono proprietà
esclusive della Meccanica Quantistica. Basti ricordare il legame tra l’invarianza per traslazioni spaziali del sistema e la conservazione dell’impulso; quello tra l’omogeneità del
tempo e la conservazione dell’energia, ecc., in Meccanica Classica. Tuttavia l’idea della
simmetria porta le conseguenze più profonde in Meccanica Quantistica.
Supponiamo che in un sistema esista un operatore unitario S che commuta con l’Hamiltoniana:
[S, H] = 0.
(4.235)
Ma poiché S, essendo unitario, soddisfa la relazione
SS † = S † S = 1,
(4.236)
S † HS = H :
(4.237)
la (4.233) è equivalente con
S è una trasformazione unitaria che lascia invariante l’Hamiltoniana. Abbiamo già visto
alcuni esempi di tali operatori:
ˆ
S = eiJ·ω
(4.238)
che descrive una rotazione spaziale;
S = eip̂·r0 /~
(4.239)
che rappresenta una traslazione.
Una delle possibili conseguenze di una simmetria è la conservazione di una carica
(numero quantico) associata. Supponiamo infatti che lo stato |ψi sia un autostato di una
quantità dinamica (operatore Hermitiano) G, tale che
S ≃ 1 − iǫG + . . . ,
(4.240)
i.e., G è un generatore di S. Dalle (4.233) e (4.235) segue che
[G, H] = 0.
(4.241)
G|ψ(0)i = g|ψ(0)i.
(4.242)
|ψ(t)i = e−iHt/~ |ψ(0)i,
(4.243)
G|ψ(t)i = Ge−iHt/~ |ψ(0)i = e−iHt/~ G|ψ(0)i = g|ψ(t)i.
(4.244)
Ora dall’ipotesi,
Lo stato all’istante t > 0 è dato da
per cui
Il sistema dunque rimane autostato di G durante l’evoluzione, la “carica g è conservata.
La conservazione della carica elettrica nelle interazioni fondamentali è dovuta a una
tale ragione. L’operatore di carica elettrica Q agisce sugli stati di particelle elementari
come
Q|ei = −e|ei; Q|pi = +e|pi;
(4.245)
Q|ni = 0;
Q|π + i = +e|π + i,
(4.246)
ecc., dove i ket indicano gli stati di un singolo elettrone, del protone, del neutrone, e del
pione +, rispettivamente. Q commuta con l’Hamiltoniana di tutte le forze conosciute oggi
4.4. SIMMETRIE IN MECCANICA QUANTISTICA
139
(le forze gravitazionali; le forze elettrodeboli; le interazioni forti): questo fatto garantisce che la carica totale del sistema sia conservata. Si noti che in Meccanica Quantistica
nonrelativistica che si studia in questo corso la conservazione della carica elettrica è una
conseguenza della conservazione del numero della particella; vice versa, nell’ambito relativistico dove le particelle possono essere prodotte o distrutte la conservazione della carica
elettrica presenta una regola di selezione non banale.
Un’altra conseguenza della simmetria è la degenerazione dei livelli. Si consideri uno
stato stazionario
H|ψn i = En |ψn i,
(4.247)
e che esista un operatore Hermitiano G che commuta con H. Supponiamo però che lo stato
|ψn i non sia un autostato di G:
G|ψn i =
6 cost.|ψn i.
(4.248)
Ma dalla commutatività di G con H segue che
H{G|ψn i} = GH|ψn i = En {G|ψn i}
(4.249)
il che implica una degenerazione dello stato stazionario. Un tipico esempio è quello dovuto
alla simmetria per rotazioni: se si prende {H, L2 , Lz } come osservabili (operatori simultaneamente diagonalizzati), la presenza di altri operatori Lx , Ly che commutano anche essi
con H ma che non possono esere diagonali (non commutando con Lz ) implica che ogni
livello è degenere (tranne lo stato con L2 = 0.)
4.4.2 Parità (P)
Ci sono le simmetrie continue (come rotazioni, traslazioni) in cui l’operazione di simmetria
è descritta da uno o più parametri continui, e le simmetrie discrete che non hanno tali
parametri. La partà ne è un esempio tipico. L’operazione di parità è definito da
Pψ(r) = ψ(−r)
(4.250)
PO(r, p)P −1 = O(−r, −p)
(4.251)
sugli stati, e da
sugli operatori. Si tratta dunque di riflessione spaziale. Se H è invariante per riflessione
spaziale,
PHP −1 = H
(4.252)
(o equivalentemente, PH = HP,) allora la partà è conservata (i.e., P è un operatore di
simmetria).
Visto che P commuta con l’Hamiltoniana, gli stati stazionari possono scelti autostati
anche di P. Gli autovalori di parità sono limitati a ±1, perché ovviamente
P 2 = 1.
(4.253)
Gli stati stazionari sono perciò classificati secondo la parità:
Pψ(r) = ψ(−r) = +ψ(r)
(4.254)
Pψ(r) = ψ(−r) = −ψ(r)
(4.255)
per gli stati di parità +;
per gli stati di parità −.
La parità è un buon numero quantico quando il potenziale ha la simmetria sferica,
V (r) = V (r), i.e., quando il momento angolare è conservato. Infatti per gli stati di
momento angolare definito, ψ(r) = R(r)Yℓ,m (θ, φ), si ha una semplice relazione,
P = 1,
se ℓ = 2n, n = 0, 1, 2, . . . ;
(4.256)
140
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
P = −1,
se
ℓ = 2n + 1, n = 0, 1, 2, . . . .
(4.257)
Tale relazione tra la conservazione del momento angolare e quella della parità, tuttavia,
non significa che quest’ultima è una conseguenza del primo, in generale. Ci sono i casi in
cui il potenziale è invariante per riflessione spaziale,
V (−r) = V (r),
(4.258)
perciò la parità è conservata, ma in cui il momento angolare non è un buon numero quantico. Basti pensare un potenziale che dipende, per esempio, dalla combinazione, x2 + 2y 2 +
7z 2 .
Come un altro esempio in cui l’indipendenza della parità rispetto al momento angolare
si manifesta chiaramente, si consideri un sistema di due particelle, senza interazioni tra di
loro, che si muovono in un campo (comune) a simmetria centrale. La funzione d’onda è il
prodotto di due funzioni d’onda, ciascuno un autostato di momento angolare orbitale, con
ℓ1 , ℓ2 . Il momento angolare totale L potrà prendere valori tra ℓ1 + ℓ2 , ℓ1 + ℓ2 − 1, . . . , |ℓ1 −
ℓ2 |. Il sistema è chiaramente un autostato di parità con l’autovalore,
P = (−)ℓ1 +ℓ2 ,
(4.259)
e questo in generale non coincide con (−)L .
La parità è un concetto essenzialmente quantistica. La sua importanza in Meccanica
Quantistica è accentuata dal fatto che empiricamente alcune particelle elementari portano la
parità intrinseca negativa, insieme all parità dovuta al moto orbitale. La situazine è analoga
allo spin (il momento angolare “intrinseco, non legato al moto orbitale). Per esempio,
P|πi = −|πi;
P|Ki = −|Ki;
P|ni = +|ni;
P|pi = +|pi;
P|p̄i = −|p̄i;
(4.260)
(4.261)
ecc., dove i ket rappresentano gli stati di alcune particelle elementari al riposo, quindi
sprovvisti di momento angolare orbitale. Solo la parità totale (il prodotto di parità intrinseca
e la parità del moto orbitale) è conservata.
Gli operatori di spin si trasformano per parità come quello del momento angolare, i.e.,
PsP −1 = s :
(4.262)
è pari. Al contrario, l’operatori dell’impulso ovviamente è dispari cosı̀ come quello della
posizione. In generale, gli operatori possono essere classificati secondo la loro parità, insieme al valore di spin: l’impulso, la posizione, il potenziale vettoriale, ecc., sono vettori;
lo spin, il momento angolare orbitale sono vettori assiali. Le quantità scalari (invarianti
per rotazioni per definizione) che cambiano segno per riflessione spaziale sono chiamate
pseudoscalari.
La parità, nonostante la sua definizione naturale, non è una simmetria esatta della Natura, ma è una simmetria approssimativa. Tra le interazioni fondamentali, le interazioi
gravitazionali, le interazioni elettromagnetiche e le interazioni forti rispettano la parità,
mentre le interazioni deboli (le interazioni responsabili al “decadimento beta dei nuclei) la
violano. Nel linguaggio più moderno, le interazione dovuto allo scambio di particelle W e
Z non sono invarianti per parità.
4.4.3 Inversione del tempo (time reversal)
Un altro esempio di una simmetria discreta è l’inversione del tempo, T . In Meccanica
Classica, l’equazione di Newton,
mr̈ = −∇V
(4.263)
4.4. SIMMETRIE IN MECCANICA QUANTISTICA
141
è invariante per l’inversione t → −t. Questo significa che se un moto da (r1 , t1 ) a (r2 , t2 ) è
possibile (i.e., è una soluzione dell’equazione (4.261), lo è anche un’altro moto da (r2 , −t2 )
a (r1 , −t1 ), attraverso l’identico cammino, ma tracciato nel senso opposto.
In Meccanica Quantistica la dinamica è descritta dall’equazione di Schrödinger,
i~
∂
ψ(r, t) = Hψ(r, t).
∂t
(4.264)
Per esempio per una particella in tre dimensioni si ha
H=−
~2 ∇2
+ V (r)
2m
(4.265)
La trasformazione t → t′ = −t risulta un’equazione
−i~
∂
ψ(r, −t′ ) = Hψ(r, −t′ ),
∂t′
(4.266)
diversa in generale dall’equazione di Schrödinger originale. Sembrerebbe che l’invarianza
per l’inversione del tempo sia impossibile in Meccanica Quantistica.
In verità, non c’è motivo per ritenere che la funzione d’onda del moto invertito sia
semplicemente ψ(r, −t). Infatti, prendendo il coniugato complesso dell’equazione sopra
si trova
∂
i~ ′ ψ ∗ (r, −t′ ) = H ∗ ψ ∗ (r, t′ )
(4.267)
∂t
che assomiglia più all’eq.(4.262). L’equazione di Schrödinger sarà ritrovata se esiste in
operatore anti unitario O tale che
OH ∗ O−1 = H.
(4.268)
Infatti in tal caso la funzione d’onda del moto invertito può essere preso come
ψ̃(r, t) = Oψ ∗ (r, −t) :
(4.269)
è evidente allora che ψ̃(r, t) soddisfa l’equazione di Schrödinger: è un moto realizzabile e
descrive il moto invertito.
Un operatore O tale che per ogni vettori ψ, φ,
hOφ|Oψi = hψ|φi
(4.270)
(vedi (4.267)), è detto antiunitario. In contrasto, un operatore unitario U soddisfa ovviamente
hU φ|U ψi = hφ|ψi,
(4.271)
come si vede dalla definizione, U U † = U † U = 1. È chiaro che sia nel caso di una
trasformazione unitaria che nel caso di una trasformazione antiunitaria le predizioni fisiche
della teoria rimangono invariate. In questo contesto, esiste un teorema importante che
riportiamo qui senza dimostrazione:
(Teorema di Wigner)
Ogni trasformazione di simmetria in Meccanica Quantistica è realizzata tramite o una
trasformazione unitaria o una trasformazione antiunitaria.
Dalla discussione precedente traspare il fatto che anche l’invarianza per inversione del
tempo, come nel caso della parità, è una proprietà di un dato tipo di interazione, piuttosto che un’assoluta legge di Natura. In Natura l’inversione del tempo (T) è una buona
simmetria approssimativa delle interazioni fondamentali. Le interazioni gravitazionali, le
interazioni elettromagnetiche e le interazioni forti rispettano T, mentre una parte piccola
delle interazioni deboli, dovuto allo scambio della particella W, lo viola.
142
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Il mistero attorno alla simmetria T deriva dal fatto che nonostante che T sia conservato
quasi esattamente nella fisica micoscopica, l’invarianza per T è grossolanamente violata nel
mondo macroscopico. Basti pensare alla seconda legge di termodinamica - dell’aumento
dell’entropia - che implica una freccia preferita del tempo. Ora, è mai possibile che la
minuscola violazione della simmetria T nelle interazioni fondamentali (che è certamente
estranea per la stragrande maggioranza delle reazioni chimiche, elettromagnetiche e gravitazionali che sembrano dominare il mondo macroscopico) abbia a che fare con la seconda
legge di termodinamica? L’espansione dell’universo in cui viviamo ha a che fare con essa?
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
143
4.5 Sistemi in Tre Dimensioni
4.5.1 Massa ridotta
L’Hamiltoniana di un sistema di due particelle con masse m1 , m2 che interagiscono tramite
il potenziale V (r) dove
r = r1 − r2
(4.272)
è la posizione relativa, è data da
H=−
~2
~2
∆1 −
∆2 + V (r).
2m1
2m2
(4.273)
Cambiando le variabili
r1 − r2 ;
m1 r1 + m2 r2
m1 + m2
r =
R
si ha
H =−
=
~2
~2
∆R −
∆r + V (r),
2(m1 + m2 )
2µ
dove
µ≡
m1 m2
m1 + m2
(4.274)
(4.275)
(4.276)
è la massa ridotta. Separando le variabili
ψ = Φ(R)ψ(r),
(4.277)
troviamo l’equazione per la funzione d’onda del moto relativo
i~
~2
∂
ψ = H (rel) ψ = {− ∆r + V (r)}
∂t
2µ
(4.278)
che è l’equazione di Schrödinger per una singola particella che si muove nel potenziale
V (r). Il problema di due corpi è dunque ridotto a quello di un corpo.
4.5.2 Moto in campo a simmetria centrale
Se il potenziale dipende solo dal modulo della posizione r ≡ |r| l’equazione di Schrödinger
indipendente dal tempo
~2 2
∇ + V (r))ψ(r) = Eψ(r).
2m
(4.279)
ψ(r) = R(r) Φ(θ, φ).
(4.280)
Hψ = (−
può essere risolta ponendo
La soluzione della parte angolare dell’equazione si esprimono in termini di funzioni armoniche sferiche
Φ(θ, φ) = Yℓ,m (θ, φ);
(4.281)
l’equazione radiale è data da
[
ℓ(ℓ + 1)
2m
1 d 2 d
] R(r) = 0.
(r
) + 2 (E − V (r)) −
r2 dr
dr
~
r2
Ponendo
R(r) =
χ(r)
r
(Def. χ),
(4.282)
(4.283)
144
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
l’equazione radiale diventa
d2 χ
2m
ℓ(ℓ + 1)
+ { 2 (E − V (r)) −
}χ = 0,
dr2
~
r2
(4.284)
ma questa ha esattamente la forma dell’equazione di Schrödinger in una dimensione, con
il potenziale “efficace,
ℓ(ℓ + 1) ~2
Vef f (r) = V (r) +
.
(4.285)
2 m r2
Il secondo termine sopra ha un significato fisico evidente: è l’energia associata alle forze
centrifughe (si noti che classicamente F ∼ mrθ̇2 ∼ (r × p)2 /mr3 per un moto circolare).
La condizione di normalizzazione è
Z ∞
Z ∞
dr r2 |R|2 =
dr|χ|2 = 1,
(4.286)
0
0
mentre la condizione di regolarità della funzione d’onda a r = 0 implica
χ(0) = 0.
(4.287)
Il problema è perciò equivalente a quello di una particella che si muove in una semiretta
0 ≤ r < ∞, sottoposta al potenziale V = Vef f (r), r > 0; V (0) = ∞.
Un noto teorema (vedi Sec.0.1.2) sull’assenza della degenerazione dei livelli discreti
nei sistemi unidimensionali, vale anche per una particella che si muove in una semiretta:
risulta che la funzione d’onda radiale è univocamente determinata da un numero quantico n - chiamato il numero quantico principale - che numera gli autovalori dell’energia.
Segue che uno stato stazionario in un campo a simmetria centrale è univocamente specificato da tre numeri quantici (n, ℓ, m) corrispondenti agli osservabili massimali (E, L2 , Lz ).
Per ragioni storiche gli stati stazionari con vari valori di ℓ sono denominati come onda S, P, D, F, G, H, I, K, . . . , rispettivamente per ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . .
4.5.3 Onde sferiche
Consideriamo prima di tutto il caso di una paticella libera (V = 0). L’equazione di
Schrödinger in questo caso è banalmente solubile nella base in cui l’impulso è diagonale (le onde piane); tuttavia le soluzioni di questo problema nella base in cui il momento
angolare è ben definito, sono essenziali nello studio dei processi di diffusioni. Inoltre queste soluzioni forniscono il punto di partenza per analizzare i problemi di stati legati in
potenziali a simmetria centrale.
L’equazione da risolvere è
[
dove k 2 =
2m
~2 E,
ℓ(ℓ + 1)
1 d 2 d
] Rk,l (r) = 0,
(r
) + k2 −
r2 dr
dr
r2
(4.288)
o
′′
ℓ(ℓ + 1)
2 ′
)R = 0
R + R + (k 2 −
r
r2
Per ℓ = 0, la (17) si semplifica:
′′
2 ′
R + R + k2 R = 0
r
(4.289)
(4.290)
oppure
′′
(rR) + k 2 (rR) = 0.
(4.291)
La soluzione regolare a r = 0 è
R=A
sin kr
;
r
(4.292)
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
145
quella singolare è
cos kr
.
r
La costante A di normalizzazione può essere fissata dalla condizione
Z ∞
dr r2 Rk′ ,ℓ Rk,ℓ = 2πδ(k ′ − k).
R = A′
(4.293)
(4.294)
0
L’integrale è fatta senza difficoltà:
Z ∞
A2
dr sin kr sin k ′ x
0
= −
A2
4
2
=
Z
∞
−∞
′
′
dr eikr (eik r − e−ik r )
πA
δ(k − k ′ ),
2
(4.295)
da cui A = 2.
La soluzione per ℓ 6= 0 si ottiene con la seguente considerazione. Se si pone Rℓ = rℓ ηℓ ,
l’equazione per ηℓ è
′′
2(ℓ + 1) ′
ηℓ +
ηℓ + k 2 ηℓ = 0.
(4.296)
r
Ora derivando questa equazione rispetto a r, si ha
′′′
ηℓ +
2(ℓ + 1) ′′
2(ℓ + 1) ′
)ηℓ = 0.
ηℓ + (k 2 −
r
r2
(4.297)
′
Ma con la sostituzione ηℓ = rζℓ essa diviene
′′
ζℓ +
2(ℓ + 2) ′
ζℓ + k 2 ζℓ = 0 :
r
(4.298)
equazione soddisfatta da ηℓ+1 . Ciò significa ζℓ = ηℓ+1 , cioè
′
ηℓ = r ηℓ+1 :
(4.299)
abbiamo quindi una relazione ricorsiva. A partire da χ0 = R0 si può determinare tutte le
funzioni radiali. Le soluzioni regolari (che corrispondono a onde sferiche libere) sono
Rℓ = Nℓ rℓ (
1 d ℓ sin kr
)
.
r dr
r
(4.300)
1 d ℓ cos kr
)
.
r dr
r
(4.301)
Analogamente per le soluzioni singolari,
Qℓ = Nℓ r ℓ (
La costante di normalizzazione può essere fissata considerando il loro andamento asintotico, con il risultato, Nℓ = (−)ℓ 2/k ℓ (vedi Laudau-Lifshitz).
Per studiare il comportamento vicino a r = 0 di Rℓ conviene introdurre la variabile
ξ ≡ r2 : infatti,
(
1 d ℓ sin kr
)
r dr
r
∞
d ℓ X (−)n
)
k 2n+1 ξ n
dξ n=0 (2n + 1)!
=
(2
=
k 2ℓ+1 (−)ℓ
+ O(r2 ),
(2ℓ + 1)!!
(4.302)
dove (2ℓ + 1)!! ≡ (2ℓ + 1)(2ℓ − 1)(2ℓ − 3) . . . 5 · 3 · 1, per cui
Rℓ ≃
2 k ℓ+1 rℓ
{1 + O(r2 )}.
(2ℓ + 1)!!
(4.303)
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
146
Le onde sferiche libere si possono esprimere in termini di funzioni di Bessel sferiche
jℓ , nℓ , che a sua volta sono funzioni di Bessel con ordini semi-interi:
r
2πk
J
(kr) = 2k jℓ (kr),
(4.304)
Rk,ℓ (r) =
r ℓ+1/2
r
2πk
Qk,ℓ (r) =
Nℓ+1/2 (kr) = 2k nℓ (kr).
(4.305)
r
Jν (z), Nν (z) sono le due soluzioni indipendenti dell’equazione di Bessel,
1
ν2
d2
Z
+
)Zν = 0,
Z
+
(1
−
ν
ν
dz 2
z
z2
(4.306)
di cui Jν (z) è quella regolare a z = 0. (Vedi per es. Gradshteyn-Ryzhik) È facile verificare
che nel caso di ordine semi-intero, l’equazione di Bessel si riduce alla (18) (con z = kr).
Le funzioni di Bessel di ordine semi-intero - funzioni di Bessel sferiche - sono funzioni
elementari:
jℓ (x) = (−)ℓ xℓ (
1 d ℓ sin x
)
;
x dx
x
nℓ (x) = −(−)ℓ xℓ (
1 d ℓ cos x
)
.
x dx
x
(4.307)
Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:
j0 (x)
=
j1 (x)
=
j2 (x)
=
cos x
sin x
; n0 (x) = −
;
x
x
sin x cos x
cos x sin x
−
; n1 (x) = − 2 −
;
x2
x
x
x
1
3
1
3 cos x
3 sin x
3
; n2 (x) = −( 3 − ) cos x −
(4.308)
;
( 3 − ) sin x −
2
x
x
x
x
x
x2
ecc.
L’andamento vicino a x = 0 di queste funzioni è
jℓ (x) ∼
xℓ
;
(2ℓ + 1)!!
nℓ (x) ∼
(2ℓ − 1)!!
,
xℓ+1
(4.309)
mentre il comportamento asintotico (a x → ∞) è
jℓ (x) ∼
(ℓ + 1)π
1
cos (x −
);
x
2
nℓ (x) ∼
1
(ℓ + 1)π
sin (x −
).
x
2
(4.310)
A volte è conveniente introdurre le funzioni di Hankel sferiche, definite come
(1)
hℓ (x) ≡ jℓ (x) + i nℓ (x);
(2)
hℓ (x) ≡ jℓ (x) − i nℓ (x) :
(4.311)
1 −i (x− (ℓ+1)π )
2
.
e
x
(4.312)
il loro comportamento asintotico è allora
(1)
hℓ (x) ∼
1 i (x− (ℓ+1)π )
2
;
e
x
(2)
hℓ (x) ∼
(Si noti - a parte il fattore 1/x - che le funzioni di Hankel sferiche sono analoghe rispetto a
j, n, alle funzioni esponenziali rispetto alle funzioni sin, cos. )
Le funzioni radiali corrispondenti ,
(1)
(1)
Rk,ℓ = 2k hℓ (kr);
(2)
(2)
Rk,ℓ = 2k hℓ (kr)
(4.313)
hanno l’andamento asintotico
(1)
Rk,ℓ ∼
1 i (kr− (ℓ+1)π )
2
e
;
kr
(2)
Rk,ℓ ∼
1 −i (kr− (ℓ+1)π )
2
e
:
kr
(4.314)
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
147
sono onde sferiche che si espandono (R(1) ) o si contraggono (R(2) ).
Sia le onde piane (le soluzioni dell’equazione di Schrödinger libera nella base d’impulso) che le onde sferiche (col momento angolare ben definito) formano un insieme completo
delle funzioni: le une possono essere sviluppate in termini delle altre. Per esempio, un’onda
piana ha uno sviluppo
e
ikz
=e
ikr cos θ
=
∞
X
(2ℓ + 1)iℓ jℓ (kr)Pℓ (cos θ).
(4.315)
ℓ=0
Questa formula può essere verificata paragonando il coefficiente di (r cos θ)n nei due
membri.
4.5.4 Stati legati in una buca di potenziale tridimensionale
Il potenziale descritto da
V (r) =
(
−V0
0
ser < a;
ser > a
(4.316)
rappresenta un modello rudimentale di un nucleo atomico: la forza nucleare ha un raggio finito e ben definito. Si paragoni questa situazione con i sistemi atomici legati dalla
forza Colombiana, cha ha il raggio d’azione infinita, che sarà studiata nella sottosezione
successiva.
Per calcolare i livelli discreti consideriamo l’equazione di Schrödinger radiale
′′
ℓ(ℓ + 1)
2 ′
)R = 0,
R + R + (k 2 −
r
r2
r > a;
(4.317)
r < a;
(4.318)
dove k 2 = 2mE/~2 < 0 (k immaginario), e
′′
2 ′
ℓ(ℓ + 1)
R + R + (k ′2 −
)R = 0,
r
r2
dove k ′2 = 2m(E + V0 )/~2 > 0 (k ′ reale), per valori dell’energia −V0 < E < 0, Essa
ha la forma dell’equazione di Schrödinger libera in ambedue i casi: la soluzione generale è
data da una combinazione lineare di funzioni di Bessel sferiche jℓ e nℓ , o equivalentemente,
(1)
(2)
di hℓ e hℓ .
Per la soluzione interna (r < a) la condizione di regolarità della funzione d’onda a
r = 0 univocamente seleziona la soluzione
(int)
Rℓ
= A jℓ (k ′ r)
(4.319)
(A è una costante). D’altra parte, la soluzione esterna deve essere tale da garantire la
normalizzabilità
√ della funzione d’onda. Dalle formule asintotiche (39), (41), si apprende
che per k = i −2mE/~ ≡ iκ (κ > 0) e per r → ∞,
(2)
jℓ , nℓ , hℓ
∼
1 +κr
e
;
r
(1)
hℓ
∼
1 −κr
e
,
r
(4.320)
(1)
perciò soltanto hℓ (iκr) è compatibile con la normalizzabilità. Si ha allora
(est)
Rℓ
(1)
= B hℓ (iκr).
(4.321)
La soluzione interna (48) e quella esterna (50) devono essere connesse di modo che la
funzione d’onda e la sua derivata prima siano continue a r = a. Segue la condizione
(1)′
iκhℓ
(1)
(iκa)
hℓ (iκa)
′
=
k ′ jℓ (k ′ a)
,
jℓ (k ′ a)
(4.322)
148
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
8
7
6
5
4
3
2
1
4
2
6
8
10
Figura 4.1: Soluzione grafica della buca tridimensionale
che determina gli autovalori dell’energia.
−κr
′
(1)
Per esempio, per ℓ = 0 abbiamo j0 (k ′ r) = sink′kr r ; h0 (iκr) = − e κr , e la condizione
sopra si riduce, col cambiamento di variabili, ξ ≡ k ′ a; η ≡ κa, a
ξ cot ξ = −η.
(4.323)
Le variabili ξ e η non sono indipendenti ma sono legati da
ξ 2 + η 2 = 2mV0 a2 /~2 .
(4.324)
Questo sistema di equazioni è lo stesso di quello (cf. (65)) incontrato nel caso della buca di
potenziale uni-dimensionale. Per essere più precisi, qui troviamo un tipo solo di soluzioni
(nel caso unidimensionale, ci sono due tipi di soluzioni). Dai grafici che rappresentano le
curve (52) e (53) nel quadrante ξ > 0; η > 0 si vede allora che (Fig. 1):
p
(1) per 2mV0 a2 /~2 ≤ π/2, nessuna soluzione è possibile: non ci sono i stati legati;
p
(2) per π/2 < 2mV0 a2 /~2 ≤ 3π/2 c’è una sola soluzione (un solo stato legato);
p
(3) per 3π/2 < 2mV0 a2 /~2 ≤ 5π/2 esistono due livelli discreti, etc.
A differenza col caso
p uni-dimensionale, perciò, esiste un valore minimo dei parametri (corrispondenti a 2mV0 a2 /~2 = π/2) al di sotto del quale la buca non confina la
particella. Qualitativamente, tale differenza può essere attribuita al fatto che una particella confinata in una regione finita (∆xi ≤ a) deve avere una minima indeterminazione in
ciascun componente dell’impulso (∆pi ≥ ~/a). Il contributo all’energia cinetica di tale fluttuazione quantistica minima è più grande, più grande è la dimensione spaziale del
sistema.
Esercizio:
Determinare numericamente, con l’uso del programma Mathematica (Maple, etc.), tutti i livelli energetici discreti (stati legati) della buca di potenziale tridimensionale con i
seguenti parametri, determinando il momento angolare orbitale ℓ di ciascuno:
m = 940 MeV/c2 ;
a = 3 fm;
V = 300 MeV.
(4.325)
4.5.5 Atomo di idrogeno
L’atomo di idrogeno - uno stato legato di un elettrone ed un protone - formato dal potenziale
Coulombiano
~2 2 e 2
∇ −
(4.326)
H=−
2m
r
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
149
è il più semplice di tutti i sistemi atomici. La massa ridotta m in questo caso è uguale a m =
me mP /(me + mP ) ≃ 0.995 me e può essere considerato uguale alla massa dell’elettrone,
vista l’approssimazione (non-relativistica) implicita nella formula (vedi dopo).
L’equazione radiale è
2 d
2m
e2
ℓ(ℓ + 1)
d2
R+
R + 2 (E + )R = 0.
R−
2
2
dr
r dr
r
~
r
(4.327)
Il potenziale “efficace” radiale
Vef f (r) = −
e2
ℓ(ℓ + 1)~2
+
r
2mr2
(4.328)
tende a zero a r → ∞. Stati legati sono possibili solo per i valori negativi dell’energia.
Per semplificare la scrittura, conviene fare alcune sostituzioni: porremo
Ẽ ≡
me2
= [cm−1 ] ≡ 1.
~2
mE
= [cm−2 ];
~2
Non è difficile recuperare la costante
razione dimensionale. L’equazione
me2
~2
(4.329)
alla fine dell’analisi, con una semplice conside-
2 d
1
ℓ(ℓ + 1)
d2
R+
R + 2(Ẽ + )R = 0,
R−
2
2
dr
r dr
r
r
(4.330)
sarà ulteriormente semplificata con il cambio della variabile
ρ≡
2r
;
λ
(59) ora prende forma
1
.
λ≡ p
−2Ẽ
2
1 λ ℓ(ℓ + 1)
R′′ + R′ + [− + −
]R = 0,
ρ
4 ρ
ρ2
(4.331)
(4.332)
dove R′ ≡ (d/dρ)R.
A piccoli ρ il termine centrifugo domina nella parentesi quadrata, e dà il comportamento
Rℓ ∼ ρℓ ,
(4.333)
mentre a grande ρ l’equazione si riduce a R′′ − (1/4)R ≃ 0 implicando
1
Rℓ ∼ e± 2 ρ .
(4.334)
1
Ovviamente dobbiamo scegliere la soluzione con e− 2 ρ per assicurare la normalizabilità.
Poniamo ora
1
R ≡ ρℓ e− 2 ρ wℓ , (Def. wℓ ).
(4.335)
L’equazione per wℓ è
′′
′
ρw + (2ℓ + 2 − ρ)w + (λ − ℓ − 1)w = 0;
(4.336)
si vuole trovarne la soluzione tale che w(0) = cost.(6= 0); w(ρ) < ρA , ρ → ∞.
Risolviamo la (65) col metodo di sviluppo in serie di potenze. Sostituendo
w(ρ) =
∞
X
k=0
ak ρk ,
a0 6= 0
(4.337)
nella (65) si trovano:
(2ℓ + 2)a1 + (λ − ℓ − 1)a0 = 0;
(4.338)
150
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
2a2 − a1 + 2(2ℓ + 2)a2 + (λ − ℓ − 1)a1 = 0;
......
(4.339)
(4.340)
(k + 1)kak+1 − kak + (k + 1)(2ℓ + 2)ak+1 + (λ − ℓ − 1)ak = 0;
(4.341)
etc. Per k ≥ 1 si ha dunque una relazione ricorsiva
(k + 1)(2ℓ + 2 + k)ak+1 + (λ − ℓ − k − 1)ak = 0.
(4.342)
Se la serie (66) termina, w è un polinomio. Altrimenti, è una serie infinita; nel secondo
caso, l’andamento asintotico di w è determinato dai termini con k grandi. Ma per k grandi
vale una relazione approssimativa
ak+1 =
ak
ak−1
1
=
= . . . = cost. ,
k
k(k − 1)
k!
(4.343)
perciò
w(ρ) ∼ eρ ,
ρ → ∞.
(4.344)
ℓ − 12 ρ
wℓ :
Tale comportamento è incompatibile con la richiesta della normalizabilità di R ≡ ρ e
la serie (66) deve terminare.
Dalla relazione ricorsiva si apprende che la serie di w termina se il parametro λ è tale
che
λ−ℓ−k−1= 0
(4.345)
per qualche intero nonnegativo k. Visto che anche ℓ (momento angolare) è un numero
naturale, segue che
λ = n (n = 1, 2, 3, . . .).
(4.346)
Ricordando le (60) e (58) questo risultato significa la condizione di quantizzazione dell’energia
~2
.
(4.347)
En = −
2 m n2
Il secondo membro (con la dimensione apparente [gr · cm4 · sec−2 ]) non ha la dimensione
giusta di un’energia, ma questo è dovuto all’unità peculiare adottata (la seconda relazione
della (58)): ricuperando la dimensione mancante [cm−2 ] tramite il quadrato di “1′′ =
me2 /~2 , si ottiene
En = −
me4
e2
,
=
2~2 n2
2 n2 rB
rB =
~2
m e2
(n = 1, 2, 3, . . .),
(4.348)
la famosa formula di Bohr.
Ad ogni dato valore di n (> 0) il numero quantico ℓ prende i valori
ℓ = 0, 1, 2, . . . n − 1
(4.349)
(vedi (74)). Visto che l’energia non dipende dal valore del momento angolare ℓ e visto che
ad ogni valore di ℓ ci sono 2ℓ + 1 possibili valori di m, risulta che l’n-simo livello è
n−1
X
(2ℓ + 1) = n2
(4.350)
ℓ=0
volte degenere. Tale degenerazione è specifica del caso Coulombiano.
La soluzione sopra può essere usata per costruire anche la funzione d’onda associata
ad ogni autovalore. Anche in questo caso, come per l’oscillatore armonico, il metodo di
funzione generatrice è molto efficace. L’equazione soddisfatta da w(ρ) per λ = n
′′
′
ρw + (2ℓ + 2 − ρ)w + (n − ℓ − 1)w = 0
(4.351)
4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI
151
ha una nota soluzione regolare che è il polinomio associato di Laguerre
wn,ℓ = L2ℓ+1
n+ℓ (ρ).
(4.352)
I polinomi di Laguerre sono generati dalla funzione generatrice
U (ρ, s) =
∞
X Lk (ρ)
e−ρs/(1−s)
=
sk ,
1−s
k!
(4.353)
k=0
(s < 1). Come nel caso di polinomi di Legendre o di Hermite, procediamo considerando
delle derivate rispetto alla variabile e al parametro s. La derivata d/dρ dà luogo ad una
relazione
′
′
Lk − kLk−1 = −kLk−1 ;
(4.354)
mentre l’operazione d/ds sulla funzione generatrice risulta
Lk+1 = (2k + 1 − ρ)Lk − k 2 Lk−1 .
(4.355)
L’equazione che contiene solo Lk e le sue derivate si trova da queste due relazioni ricorsiva:
′
′′
ρLk + (1 − ρ)Lk + kLk = 0.
(4.356)
Questa assomiglia all’eq.(80) ma non ha esattamente la forma giusta.
Se inroduciamo invece i polinomi associati di Laguerre,
Lpk (ρ) ≡
dp
Lk (ρ),
dρp
(4.357)
l’equazione soddisfatta da essi
′′
′
ρLpk + (p + 1 − ρ)Lpk + (k − p)Lpk = 0
(4.358)
coincide con la (80) se si identificano
p = 2ℓ + 1,
k =n+ℓ:
(4.359)
ciò significa la (81).
I polinomi associati di Laguerre sono generati da
∞
X Lp (ρ)
(−)p e−ρs/(1−s)
k
=
sk .
Up (ρ, s) =
(1 − s)p+1
k!
(4.360)
k=0
In conclusione la funzione d’onda radiale è
Rn,ℓ = ρℓ e−ρ/2 w(ρ) = Cn,ℓ ρℓ e−ρ/2 L2ℓ+1
n+ℓ (ρ),
ρ≡
2r
me2 2r
2r
;
= 2
=
n
~ n
n rB
rB ≡
~2
m e2
(4.361)
(4.362)
rB ≃ 5.291 · 10−9 cm, che determina l’estensione della funzione d’onda dell’orbita fondamentale di Bohr, è noto come raggio di Bohr. La costante di normalizzazione è data
da
s
Cn,ℓ = −
2 −3/2
r
n2 B
(n − ℓ − 1)!
.
{(n + ℓ)!}3
(4.363)
152
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Le prime funzioni d’onda possono essere calcolate senza difficoltà dalla (89). Le funzioni
radiali dei livelli (n = 1, ℓ = 0) (stato fondamentale) e (n = 2, ℓ = 0, 1) (il primo livello
di eccitazione) sono:
R1,0 (r)
=
R2,0 (r)
=
R2,1 (r)
=
−3/2
2 rB e−r/rB ;
r
1 −3/2
√ rB
(2 −
) e−r/2rB ;
rB
2 2
1 −3/2 r −r/2rB
√ rB
.
e
rB
2 6
(4.364)
Infine, la funzione d’onda completa dello stato (n, ℓ, m) è
ψ(n,ℓ,m) = Rn,ℓ (r) Yℓ,m (θ, φ).
(4.365)
Per convenienza riportiamo qui le prime armoniche sferiche (84):
Y0,0
=
Y1,0
=
Y2,0
=
Y2,±1
=
Y2,±2
=
1
√ ,
4π
r
r
3
3
cos θ, Y1,±1 = ∓i
sin θ e±iφ ,
i
4π
8π
r
5
(1 − 3 cos2 θ),
16π
r
15
cos θ sin θ e±iφ ,
±
8π
r
15
−
sin2 θ e±2iφ .
32π
(4.366)
Con Programma Mathematica, le funzioni radiali Rn,L (r) si ottengono scrivendo un
input:
s
L
2r
2
(n − L − 1)! 2 r
e−r/n LaguerreL [n − L − 1, 2 L + 1,
R[r− , n− , L− ] := 2
]
n
(n + L)2
n
n
Osservazioni
(i) La meccanica quantistica riproduce esattamente i livelli d’energia ottenuti da Bohr con
l’uso del principio di corrispondenza (e che sono in accordo con le linee spettrali
osservate.) Tuttavia, la degenerazione di stati stazionari (78) e i valori dei momenti
angolari orbitali di n-simo livello, (79), non si possono ottenere dalle considerazioni
ibride e euristiche di Bohr.
(ii) L’estensione spaziale della funzione d’onda dello stato fondamentale r ≃ rB ≃ 5.291·
10−9 cm determina la grandezza dell’atomo d’idrogeno.
(iii) Le formule (per l’energia e per la funzione d’onda) ottenute qui sono valide per
tutti gli ioni composti di un elettrone e un nucelo di carica elettrica Z|e|, dopo la
sostituzione e2 → Ze2 .
p
(iv) Il valor medio dell’impulso, hp2 i (calcolabile esplicitamente con la funzione d’onda
data sopra, o con la relazione di Heisenberg con l’input ∆x ∼ rB ), è dell’ordine di
me2 /~. La “velocità media è allora
v ∼ p/m ≃ e2 /~ = αc ≃ c/137 ≪ c,
(4.367)
dove α ≡ e2 /~c ≃ 1/137 è la costante di struttura fine. Il moto dell’elettone
è quindi non relativistico, e questo giustifica a posteriori l’approssimazione nell’Hamiltoniana (55). Allo stesso tempo si dovrà aspettare in generale delle correzioni
relativistiche dell’ordine di un per cento.
4.6. PROBLEMI
153
(v) L’energia di ionizzazione è uguale all’energia richiesta per liberare l’elettrone dal
legame atomico, ed è uguale a
4.6
e2
∼ 14 eV,
2 rB
(4.368)
hψ|J32 |ψi ≤ hψ|J2 |ψi
(4.369)
Problemi
(1) Si dimostri la disuguaglianza
per qualsiasi stato |ψi. Si dimostri che un autovalore m di J3 soddisfa m2 ≤ j(j+1).
(2) Un sistema di spin 1/2 sottoposto ad un campo magnetico esterno uniforme si trova
all’istante iniziale nello stato di spin “up (i.e., autostato di sz ). Sia
H = −µ · B = −λσx
(4.370)
l’Hamiltoniana del sistema. Si calcoli la probabilità che il sistema si trovi all’istante
t successivo nello stato di spin “up o nello stato di spin “down.
(3) Costruire le tre matrici che rappresentano le componenti dell’operatore di spin nel caso
di S = 1.
(4) Una particella di spin 1 è nell’autostato di Sn ,
Sn |ψi = |ψi,
dove Sn ≡ S · n è la proiezione (componente) dell’operatore di spin nella direzione
n. Supponiamo che il versore n sia dato da
n = (sin θ, 0, cos θ).
All’istante t = 0 si accende un campo magnetico uniforme e costante, H = (0, 0, B).
L’interazione è descritta dall’Hamiltoniana,
H = −µS · H
(a) Calcolare la funzione d’onda all’istante t = 0.
(b) Calcolare l’operatore di evoluzione
U = e−iHt/~ .
(c) Determinare la probabilità P (t) che una misura di Sx fatta all’istante t (per es.,
con un apparato di tipo Stern-Gerlach) dia il risultato, 1, come funzione di t.
(5) Un sistema di due particelle (ambedue di spin 1/2 è descritto dall’Hamiltoniana,
H = −σx (1) − σx (2) + λσz (1)σz (2),
dove σx (1) è la matrice di Pauli σx per la particella 1, ecc. Calcolare i livelli
energetici e le funzioni d’onda.
154
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
(6) Una particella classica con carica elettrica e si muove in un campo magnetico prodotto
da un monopolo magnetico, B = gr/r3 , dove g è la carica magnetica. L’equazione
del moto (classico) è
e
mr̈ = ṙ × B.
c
Si dimostri che il “momento angolare r × mṙ non è conservato, e che il momento
angolare modificato
r
L = r × mṙ − eg
r
è invece conservato. In meccanica quantistica le componenti del momento angolare sono quantizzate. Dalla considerazione della componente radiale del suddetto
momento angolare modificato, si ottiene la famosa condizione di quantizzazione di
Dirac,
eg
n
= ~, n = 0, 1, 2, . . . .
(4.371)
c
2
La carica elettrica è quantizzata, se supponiamo che da qualche parte dell’universo
esiste un monopolo magnetico!
(7) Il sistema composto di un elettrone e di un positrone (ambedue di spin 1/2) è in un
campo magnetico uniforme. L’Hamiltoniana (più precisamente la parte dipendente
dallo spin: ci interesseremo solo di questa) è data da
H = A s1 · s2 + B (s1z − s2z ),
dove A e B sono costanti.
(i) Determinare gli autovalori e gli autostati dell’energia nel caso B = 0, A 6= 0.
(ii) Determinare gli autovalori e gli autostati dell’energia nel caso A = 0, B 6= 0.
(iii) Calcolare gli autovalori dell’energia nel caso generale, A 6= 0; B 6= 0, e
discutere i due limiti (A ≫ B; B ≫ A.)
(8) Si consideri una particella di spin 1/2 che si muove in una dimensione, con l’Hamiltoniana,
1
dW (x)
H = (p2 + W (x)2 + ~σ3
),
(4.372)
2
dx
dove p = −i~(d/dx); W (x) è una funzione reale, e σ3 è una delle matrici di Pauli.
Supponiamo che
|W | → ∞
(4.373)
per x → ±∞, di modo che lo spettro è puramente discreto.
(i) Per W (x) = ω x, dove ω è una costante reale positiva, si trovi lo spettro, i.e., i
livelli energetici e la loro degenerazione.
(ii) Per generico W (x) si dimostrino le seguente identità:
Q21 = Q22 = H,
dove
1
Q1 ≡ √ (σ1 p + σ2 W (x)) ;
2
1
Q2 ≡ √ (σ2 p − σ1 W (x)) .
2
(4.374)
(4.375)
(4.376)
(iii) Si calcolino i seguenti commutatori e “anticommutatori”,
{Q1 , Q2 } ≡ Q1 Q2 + Q2 Q1 ; [Q1 , H]; [Q2 , H];
[σ3 , H]; [σ3 , Q1 ]; [σ3 , Q2 ]; {σ3 , Q1 }; {σ3 , Q2 }. (4.377)
4.6. PROBLEMI
155
(iv) Dimostrare che per uno stato qualsiasi
hψ|H|ψi ≥ 0.
(4.378)
Si dimostri dunque che per l’energia dello stato fondamentale vale:
E0 ≥ 0.
(4.379)
(v) Si dimostri che la condizione necessaria e sufficiente per E0 = 0 è che esista
una soluzione normalizzabile di
p ψ0 (x) = −iW (x) σ3 ψ0 (x).
(4.380)
Di conseguenza, si dimostri che per W (x) di Fig.2 A esiste uno stato fondamentale con E0 = 0 mentre per W (x) di Fig.2 B non esiste alcuno.
(vi) Dimostrare che tutti gli stati con E 6= 0 sono doppiamente degeneri, mentre lo
stato con E = 0 (se esiste) è singolo.
Nota: Q1 , Q2 sono esempi di operatori di supersimmetria. Questo sistema (meccanica quantistica supersimmetrica in una dimensione - Witten (1981)) illustra bene
l’uso e la potenza di una simmetria.
W(x)
W(x)
A
B
Figura 4.2: W(x)
(9) Un deutone è composto da un protone e un neutrone. Si supponga che il potenziale tra
i due nucleoni sia approssimato con una buca tridimensionale,
(
−V0 ser < a;
Vnucl (r) =
(4.381)
0
ser > a
dove r = r1 − r2 , r1 e r2 , sono le posizioni del protone e del neutrone.
i) Supponendo che la massa ridotta dei due nucleoni µ = mN /2, il raggio delle
forze nucleari, a, e la profondità del potenziale V0 , siano tali che
p
π
2µV0 a2 /~2 = + ǫ, ǫ ≪ 1,
(4.382)
2
si trovi l’energia (all’ordine O(ǫ2 ) ) dello stato fondamentale (ℓ = 0) del
deutone.
ii) Prendendo per valori del raggio del deutone e della massa del nucleone,
a ≃ 2.0 fm,
mN ≃ 1.7 · 10−24 gr ≃ 940 MeV/c2
(4.383)
e usando il valore empirico dell’energia di legame del deutone 2.3 MeV, si
determini V0 . (1 MeV ≃ 1.6 · 10−6 erg.)
156
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Attenzione: per trovare E all’ordine O(ǫ2 ) è sufficiente determinare η al primo ordine in ǫ, dalle equazioni √
soddisfatte da ξ e da η, dove ξ ≡ k ′ a; η ≡ κa, k ′2 =
2µ(E + V0 )/~2 > 0, κ = −2µE/~ > 0.
(10) Si consideri un atomo di idrogeno con un termine perturbativo,
H ′ = V (r) s · p + s · p V (r)
(4.384)
dove s è l’operatore di spin dell’elettrone, s = 12 σ ; p l’impulso, V (r) è un potenziale a simmetria centrale.
i) Spiegare perché H ′ non può essere semplicemente scritto come 2 V (r) s · p;
ii) Dire quali degli operatori tra P (parità), L (momento angolare orbitale), J =
L + s (momento angolare totale), J2 , e L2 , sono conservati;
iii) Elencare, senza calcoli espliciti, gli stati non perturbati | n, ℓ, m; sz i per i quali
l’elemento di matrice
′
1
C(n, ℓ, m; sz ) = hn, ℓ, m; sz |H |1, 0, 0; i
2
(4.385)
è non nullo, dove con (n, ℓ, m; sz ) sono indicati il numero quantico principale,
il momento angolare orbitale, il numero quantico azimutale, e la componente
z di spin dell’elettrone. Determinare i rapporti tra gli elementi non nulli per lo
stesso valore di n, i.e.,
C(n, ℓ, m; sz )
.
(4.386)
C(n, ℓ′ , m′ ; s′z )
iv) Calcolare esplicitamente gli elementi di matrice C(n, ℓ, m; sz ) del punto (iii)
per n = 2 e per la scelta del potenziale V (r) = g δ 3 (r), e verificare il risultato
generale (114),
4.7. PARTICELLE IDENTICHE; STATISTICHE DI BOSE-EINSTEIN E DI FERMI-DIRAC157
4.7 Particelle Identiche; Statistiche di Bose-Einstein e di
Fermi-Dirac
4.7.1 Indistinguibilità delle particelle identiche e la statistica
In meccanica classica la traiettoria di una particella durante il moto è ben definita. Questo
implica che ogni particella mantiene la sua identità, anche in presenza di altre particelle
dello stesso tipo, i.e., con identiche proprietà intrinseche (la massa, la carica elettrica, etc.).
Anche in meccanica classica, le particelle identiche sono identiche per definizione: non
possono essere distinte per le loro proprietà. Altrimenti non sarebbero identiche. Soltanto
la loro storia (i.e., la possibilità di seguire istante per istante lo loro evoluzione temporale)
ci permette di numerare ciascuna particella e di identificarle ad ogni istante.
La situazione è diversa in meccanica quantistica. A causa del principio d’indeterminazione, non esiste una traiettoria nel senso classico, lo stato è descritto da una funzione
d’onda. In presenza di più di una particella dello stesso tipo, lo scambio di una coppia di
particelle risulta lo stesso stato quantistico. Per esempio, lo stato di due particelle dello
stesso tipo è descritto dalla funzione d’onda,
ψ(q1 , q2 ),
(4.387)
dove le coordinate generalizzate della particella 1 contiene, a parte la posizione tridimensionale, anche la componente dello spin, q ≡ {r, σ}, σ = s, s − 1, . . . − s. Lo scambio di
due particelle non può cambiare lo stato, perciò
ψ(q2 , q1 ) = eiα ψ(q1 , q2 ).
(4.388)
La fase α non è arbitraria. Un secondo scambio riporta alla stessa funzione d’onda originale: segue che
e2iα = 1, eiα = ±1 :
(4.389)
la funzione d’onda di due particelle identiche o è simmetrica o è antisimmetrica per scambi
di queste due.
Quali dei due segni scegliere? È un fatto empirico che particelle con spin interi (chiamate bosoni) hanno funzione d’onda simmetrica, con il segno positivo nella (??), e quelle
con spin semi-interi (chiamate fermioni) antisimmetrica, con il segno negativo. n particelle
identiche di spin interi (o semi-interi) sono descritte dalle funzioni d’onda, completamente
simmetriche (vis., antisimmetriche ) per scambi di due particelle. Queste proprietà sono
chiamate statistica di Bose-Einstein nel caso dei bosoni, e statistica di Fermi-Dirac nel
caso dei fermioni. In Natura, gli elettroni, i protoni e i neutroni, e tutti i nuclei atomici
con il numero di massa dispari, sono fermioni; i pioni, i kappa, i fotoni, tutti i nuclei con il
numero di massa pari, sono bosoni.
Per esempio, nel caso di due fermioni identici (due elettroni, due protoni, ecc.) la
funzione d’onda del sistema è della forma
1
1
Ψ = √ (ψ(q1 , q2 ) − ψ(q2 , q1 )) = √ (ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) − ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 )), (4.390)
2
2
dove per esempio σ1,2 =↑, ↓.
Osservazione
i) Sebbene la correlazione tra lo spin e la statistica fosse introdotta come legge empirica,
e rimane tale, nell’ambito della meccanica quantistica nonrelativistica, essa segue
correttamente dal principio della relatività speciale e della positività dell’energia: è
uno dei risultati teorici fondamentali della meccanica quantistica relativistica. Vedi
Laudau and Lifshitz, Vol. 4 (Berestetskii, Lifshitz e Pitaevskii).
158
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
ii) Il fatto che tutte le particelle con spin semi-interi (o interi) obbediscono alla statistica
di Fermi-Dirac (o di Bose-Einstein), è consistente con la statistica di Fermi-Dirac
per una particella di spin 1/2. Si consideri due nuclei identici, composti da un numero totale n dei protoni e neutroni (chiamati indistintamente nucleoni). Essi sono o
bosoni (se n è pari) o fermioni (se n è dispari). Visto che lo scambio dei due nuclei
equivale allo scambio simultaneo degli n nucleoni, lo scambio di due nuclei deve
risultare ψ → (−)n ψ.
4.7.2 Stato di N bosoni identici debolmente accoppiati
Consideriamo ora un sistema di N bosoni identici, le interazioni tra le quali possono essere
trascurate. Per N = 2, la funzione d’onda ha la forma
(
√1 (ψp (q1 )ψp (q2 ) + ψp (q2 )ψp (q1 )), (p1 6= p2 ),
2
1
2
1
2
(4.391)
ψ(q1 , q2 ) =
(p1 = p2 ),
ψp1 (q1 )ψp1 (q2 ),
dove pi indica gli stati di una singola particella. Si noti che la probabilità che il sistema si
trovi con q1 ≃ q2 è doppia rispetto a quello che ci si aspetterebbe in meccanica classica: in
meccanica quantistica i bosoni identici tendono a stare nello stesso punto spin-spaziale, o
ad occupare lo stesso stato quantistico.
Per N generico si ha una funzione d’onda completamente simmetrica
ψ(q1 , q2 , . . . , qN ) =
N1 !N2 ! . . . Nr !
N!
1/2 X
ψp1 (q1 )ψp2 (q2 ) . . . ψpr (qN ),
(4.392)
N1 + N2 + . . . + Nr = N, e Ni indica il numero delle particelle nello stato pi .
Tale struttura della funzione d’onda per bosoni identici ha delle conseguenze profonde
nei fenomeni che coinvolgono sistemi macroscopici. Un esempio è il fenomeno di condensazione di Bose-Einstein, nel quale il numero macroscopico di atomi identici occupano
lo stesso stato quantistico, che si realizza a temperatura vicina allo zero assoluto di certi
liquidi come l’elio (superfluidità).
4.7.3 Stato di N fermioni identici debolmente interagenti
La situazione è drasticamente diversa per i fermioni. Per N = 2, la funzione d’onda è
1
ψ(q1 , q2 ) = √ (ψp1 (q1 )ψp2 (q2 ) − ψp1 (q2 )ψp1 (q1 )).
2
La generalizzazione a N generico è data dal determinante di Slater:
ψp1 (q1 ) ψp1 (q2 ) . . . ψp1 (qN )
ψp2 (q1 ) ψp2 (q2 ) . . . ψp2 (qN )
1
ψ(q1 , q2 , . . . , qN ) = √ det ..
..
..
..
N!
.
.
.
.
ψp (q1 ) ψp (q2 ) . . . ψp (qN )
N
N
N
(4.393)
,
(4.394)
ed è totalmente antisimmetrica. Lo scambio di una coppia qualsiasi (qi , qj ) comporta il
cambiamento del segno della funzione d’onda. Di conseguenza, la funzione d’onda si
annulla ogni volta che una coppia di coordinate coincidono;
ψ(q1 , q2 , . . . , qN ) = 0,
qi = qj
(4.395)
o che due fermioni occupano lo stesso stato pi = pj . Queste proprietà sono note come
Principio di Esclusione di Pauli.
Il principio di Pauli ha delle conseguenze profonde in tutti gli aspetti di fisica comtemporanea, dalla fisica delle particelle elementari e dei nuclei, fisica atomica (la stabilità della
4.7. PARTICELLE IDENTICHE; STATISTICHE DI BOSE-EINSTEIN E DI FERMI-DIRAC159
materia, la struttura periodica degli elementi, ecc.) e molecolare, fisica statistica e della
materia, fino all’astrofisica (stella di neutroni, ecc.).
In generale, lo stato fondamentale di N fermioni liberi (gas di Fermi) è uno stato in cui
N stati più bassi sono occupati (gas degenere di Fermi), tale stato si realizza a T = 0.
4.7.4
Interazioni di scambio
A causa di statistica di B-E o F-D, l’autovalore di energia di un sistema composto di più
particelle identiche, ha in generale una peculiare dipendenza dallo spin, chiamato in generale interazioni di scambio, anche quando l’Hamiltoniana non contiene esplicitamente gli
operatori di spin.
Consideriamo per esempio un sistema di due bosoni identici di spin 0 (e.g., due pioni) che interagiscono tra di loro. Il problema si riduce ad un problema di una particella
con coordinate r = r1 − r2 e con la massa ridotta. La funzione d’onda di spin essendo automaticamente simmetrica, la funzione d’onda orbitale deve essere simmetrica anche
essa:
ψ(−r) = ψ(r),
(4.396)
i.e., solo gli stati di parità +1 (ℓ pari) sono ammessi.
La situazione è ancora più interessante nel caso di due fermioni di spin 1/2. Lo spin
totale può essere o nello stato di tripletto S = 1 con la funzione d’onda di spin simmetrica
|↑i |↑i,
|↑i |↓i + |↓i |↑i
√
,
2
|↓i |↓i,
(4.397)
o nello stato di singoletto S = 0,
|↑i |↓i − |↓i |↑i
√
,
2
(4.398)
che è antisimmetrico rispetto allo sambio dei due spin. La funzione d’onda orbitale corrispondente deve essere o antisimmetrica o simmetrica, rispettivamente. In generale, la
funzione d’onda in questo caso è di forma
φ(anti) (r1 , r2 ) χ(S = 1),
(4.399)
dove φanti è antisimmetrica per r1 ↔ r2 , χ(S = 1) è uno degli stati di tripletto, o della
forma
φ(simm) (r1 , r2 ) χ(S = 0).
(4.400)
Se il potenziale è tale che la funzione orbitale simmetrica ha l’energia più bassa, come
accade spesso, lo stato fondamentale è uno stato di spin totale 0.
Esempio 1. Lo stato fondamentale dell’elio, 4 He
Nell’approssimazione ad elettroni indipendenti, lo stato fondamentale dell’atomo di
elio è quello in cui i due elettroni stanno ambedue nella prima orbita di Bohr, ψ1,0,0 (questo
segue dall’equazione di Schrödinger nella suddetta approssimazione.) La parte orbitale
della funzione d’onda è dunque simmetrica per scambio dei due elettroni, segue che la parte
di spin deve essere antisimmetrica. I due elettroni sono nello stato di spin antiparallele, con
Stot = 0. L’atomo di elio nello stato di singoletto di spin è noto come paraelio; quello
nello stato di spin tripletto come ortoelio.
Esempio 2. Gli elettroni sulla luna.
Discutiamo ora perché, nonostante la statistica di Fermi-Dirac, gli elettroni sulla luna
possono essere praticamente trascurate nella considerazione di qualsiasi esperienza fatta
sulla terra. Prendiamo in esame per semplicità il caso di un elettrone nel laboratorio e un
elettrone sulla luna. Si noti prima di tutto che il fatto che le interazioni tra i due elettroni
160
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
possono essere trascurate è necessario ma di per sé non è sufficiente. Tuttavia questo fatto
fa sı̀ che la funzione d’onda dei due elettroni (??) nella quale è valida una forma fattorizzata,
ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) ≃ ψ1 (r1 , σ1 ) · ψ2 (r2 , σ2 ),
(4.401)
dove ψ1 (r, σ) è una funzione con supporto nella regione di r corrispondente all’interno
del nostro laboratorio (o in ogni caso nelle zone limitrofe) per ambedue i componenti σ,
mentre ψ2 (r, σ) è una funzione con supporto sulla luna. La funzione d’onda del sistema è
perciò della forma
1
Ψ ≃ √ (ψ1 (r1 , σ1 ) · ψ2 (r2 , σ2 ) − ψ2 (r1 , σ1 ) · ψ1 (r2 , σ2 )),
2
(4.402)
ma il secondo termine della parentesi è trascurabile poiché le funzioni hanno gli argomenti
fuori del loro supporto. Avendo solo il primo termine, l’effetto del secondo elettrone è del
tutto innoquo: in qualsiasi elemento di matrice del tipo
hΨ|O1 |Ψi,
(4.403)
dove l’operatore O1 si riferisce soltanto alla particella 1. La normalizzazione “sbagliata
√1 non ha nessun effetto fisico, come è ben noto.
2
Si paragoni questa discussione con la situazione più generale nella quale l’effeto del
secondo elettrone non è trascurabile (pur assumendo interazioni deboli e di conseguenza
una forma fattorizzata della funzione d’onda). Come abbiamo studiato nel Capitolo ?? in
tal caso la considerazione degli elementi di matrice del tipo (??) ci induce al concetto di
stati misti ed a formulare la teoria in termini di matrice densità.
4.7.5 Campo elettromagnetico classico vs elettrone classico come particella
Gli elettroni sono stati “classicamente” concepiti come particelle, mentre i fotoni sono stati
introdotti come “quanti” dell’energia del campo elettromagnetico, l’entità “classica essendo un’onda macroscopica, appunto, l’onda elettromagnetica. In meccanica quantistica,
ambedue le particelle godono della stessa doppia natura onda - corpuscolo, e a prescindere
dal fatto che il fotone è sempre relativistico (avendo esso la massa di riposo nulla), essi sono delle particelle elementari essenzialmente simili. Si chiede allora qual’è la causa della
detta differenza concettuale.
La questione non è affatto filosofica, e ha a che fare con la differenza della statistica,
Bose-Einstein per il fotone e Fermi-Dirac per l’elettrone. Prendiamo in considerazione
particelle identiche debolmente accoppiate, e paragoniamo l’eq.(??) e l’eq.(??). Quando le
due particelle occupano lo stesso stato quantistico, si ha la funzione d’onda,
ψ(q1 , q2 ) = ψp (q1 )ψp (q2 )
(4.404)
ψ(q1 , q2 ) = 0
(4.405)
per i bosoni, mentre
per i fermioni (principio di Pauli). In altre parole i bosoni identici tendono a occupare lo
stesso stato mentre i fermioni lo evitano. Di conseguenza in sistemi con un numero macroscopico di bosoni identici può accadere (a temperature sufficientemente basse) che gli
stati importanti sono quelli in cui frazioni macroscopiche delle particelle sono nello stesso
stato quantistico, che perciò sono descritti da una funzione d’onda macroscopica. Ne è un
esempio il caso di superfluidità dell’elio liquido. Nel caso di fotoni, il fatto che l’equazione di Schrödinger (relativistica) sia quella libera (il fotone essendo neutro) e omogenea fa
il resto: l’equazione di Maxwell (che descrive l’onda elettromagnetica “classica) è infatti
anche l’equazione di Schrödinger relativistica per un fotone!
4.7. PARTICELLE IDENTICHE; STATISTICHE DI BOSE-EINSTEIN E DI FERMI-DIRAC161
Per i fermioni, il principio di esclusione di Pauli proibisce a due o più particelle di occupare lo stesso stato, e per questo è naturale che l’elettrone è stato sempre considerato più
simile ad una “particella che ad un’onda. È piuttosto sorprendente perciò che nel fenomeno di superconduttività gli elettroni in certi metalli a temperature molto basse riescano ad
condensare, formando uno stato legato - coppia di Cooper - che è un bosone. Lo stato di
(coppie di ) elettroni viene di conseguenza descritto da una “funzione d’onda che obbedisce
una sorta di equazione di Schrödinger non lineare - l’equazione di Landau e Ginzburg. Vedi e.g., Feynman Lectures, III, Cap. 21; Davydov, Quantum Mechanics; Landau-Lifshitz,
Vol.9. Nelle superconduttività “ad alta temperatura”, che si hanno luogo in certe sostanze
ceramiche, la natura dell’entità che condensa non è ancora nota.
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
162
4.8 Particelle cariche in campi elettromagnetici
Il moto di una particella carica (q) in un campo elettromagnetico E, B è descritto dall’Hamiltoniana
q
H = [ p − A(r, t) ]2 + q φ(r, t) + V (r),
(4.406)
c
dove V è il potenziale meccanico.
B = ∇ × A,
E = −∇φ −
1 ∂A
.
c ∂t
(4.407)
Il potenziale vettoriale A e il potenziale scalare φ sono definiti a meno di transformazioni
di gauge
1 ∂f
;
(4.408)
A → A + ∇f ;
φ→φ−
c ∂t
E, B sono invarianti. L’Hamiltoniana non è invariante:
H →H−
q ∂f
.
c ∂t
(4.409)
Tuttavia, la fisica resta invariante per tali trasformazioni, come si dimostra facendo trasformazioni di gauge sulla funzione d’onda
q
ψ → ei c f ψ :
(4.410)
l’equazione di Schrödinger ha la forma originale
i~
∂
ψ=Hψ
∂t
(4.411)
in termini di funzione d’onda trasformata.
Le interazioni con il campo vettoriale, rappresentata da una sostituzione formale p →
p − qc A(r, t) nel termine cinetico, è noto come interazioni (o l’accoppiamento) minimali.
L’equazione di Heisenberg (o l’equazione classica) che segue è
mr̈ = q E +
q
ṙ × B,
c
(4.412)
con il noto termine di forza di Lorentz.
4.9 Effetto Aharonov-Bohm
Consideriamo ora il moto di tale particella in un campo magnetico statico, φ = 0; A =
A(r). Prima di tutto dimostreremo che la soluzione dell’equazione del moto
i~
∂
ψ=Hψ
∂t
(4.413)
in presenza del campo magnetico, è dato, in termini della soluzione del problema senza B,
come
iq Rr
i
ψ(r, t) = e c ~ dx Ai ψ (0) (r, t),
(4.414)
dove
∂ (0)
ψ (r, t) = H|A=0 ψ (0) (r, t).
∂t
La dismostrazione è elementare: ogni azione di p = −i~∇ dà
i~
iq
p [ ec~
Rr
dxi Ai
iq Rr
iq Rr
i
i
q
ψ (0) (r, t) ] = A e c ~ dx Ai ψ (0) (r, t) + e c ~ dx Ai p ψ (0) (r, t).
c
(4.415)
4.9. EFFETTO AHARONOV-BOHM
163
C
C'
Figura 4.3:
Perciò ogni fattore p in H diventa p − qc A attraversando il fattore di fase, e cosı̀
iq
H [ ec~
Rr
dxi Ai
iq
ψ (0) (r, t) ] = e c ~
Rr
dxi Ai
H0 ψ (0) (r, t) = i~
iq Rr
i
∂
[ e c ~ dx Ai ψ (0) (r, t) ],
∂t
(4.416)
per un campo magnetico statico.
L’esponente nella (4.392) è l’integrale lungo un cammino con l’estremità al punto r
2
. Tale fattore potrebbe essere mal definito se esso dipendesse dal cammino. La modifica
dell’integrale al variare del cammino, C → C ′ è
Z
Z
I
Z
iq
iq
iq r i
iq
iq r i
Φ, (4.417)
dxi Ai =
dS·(∇× A) =
dx Ai −
dx Ai =
c ~ C′
c~ C
c~
c~
c~
dove Φ è il flusso magnetico attraverso la superficie circondata dalla curva chiusa C ′ − C.
Il fattore esponenziale è perciò ben definito (i.e., dipende solo dal punto di estremità del
cammino r) se il percorso è interamente in una regione priva di campo magnetico. Vice
versa, se due cammini rinchiudono una regione con un flusso magnetico non nullo (Φ) (Fig.
4.2), la fase della funzione d’onda in due casi differisce di ci q~ Φ.
Si noti che la differenza della fase (4.395) è, inoltre, invariante per trasformazioni di
gauge
1
(4.418)
A(r) → A(r) − ∇α(r);
q
a differenza della fase in assoluto che di per sé non ha un significato fisico.
Una situazione fisica molto interessante si presenta se si considera l’esperienza à la
Young con un fascio di elettroni, con una doppia fenditura e con uno schermo (Fig. 1.1)),
ma con l’aggiunta di un solenoide molto lungo e sottile, posto giusto dietro la fenditura
(Fig. ??, il solenoide si estende nella direzione perpendicolare alla pagina) di modo che
la probablità che l’elettrone passi nella vicinanza del solenoide sia trascurabile. Senza la
corrente nel solenoide, perciò senza il flusso magnetico, l’effetto di tale solenoide sarà
trascurabile, e ci si aspetta di osservare la solita frange di interferenza equidistante sullo
schermo, dovuta alla differenza dei percorsi tra le onde che hanno passato attraverso le due
fenditure (Eqs. (122), (1.1)).
Ora, in presenza del campo magnetico nel solenoide, la differenza delle fase delle due
onde acquista un termine in più, (4.395),
∆φ =
qΦ
2π
∆ℓ −
,
λ
c~
∆ℓ ≃
2xd
,
L
(4.419)
di consegueza le posizioni delle massime intensità sullo schermo si sposteranno di
δx =
qλLΦ
.
4π c ~ d
(4.420)
Questo effetto è stato predetto da Aharonov e Bohm ed è stato sperimentalmente confermato. Esso è sorprendente se ci rendiamo conto del fatto che con un solenoide molto sottile e
2 Il punto iniziale del cammino r è arbitrario. La dipendenza da r può essere compensato da un opportuno
0
0
fattore di fase costante della funzione ψ(0) .
164
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Figura 4.4:
molto lungo (solenoide ideale), il campo magnetico è contenuto all’interno del solenoide:
B = 0 fuori. In una buona approssimazione si può supporre che l’elettrone passa sempre
nella regione di spazio dove B = 0. In meccanica classica, in tale situazione non ci si
aspetterebbe nessun effetto fisico osservabile.
In meccanica quantistica, la particella interagisce con il potenziale vettoriale (l’accoppiamento “minimale”: vedi l’eq. (??)), e non direttamente al campo magnetico, B.
L’effetto Aharonov-Bohm è dovuto a questo fatto. Non si deve tuttavia affrettarsi a concludere che A abbia un significato fisico: esso dipende dalla scelta di gauge! In verità, in
meccanica quantistica, è il fattore di fase, o meglio, la differenza di tali fase, (4.395), che
ha un significato fisico ben definito. Si noti che quest’ultima è invariante di gauge.
È curioso che l’effetto Aharonov-Bohm, una semplice applicazione dei princı̀pi della
meccanica quantistica e dell’elettromagnetismo, fosse stato scoperto solo trenta anni dopo
che la meccanica quantistica è stata correttamente formulata da Heisenberg, Schrödinger,
Bohr, attorno a 1924. La sottigliezza menzionata sopra (qual’è la quantità fisica osservabile), tuttavia, ha portato alcuni fisici a mettere in discussione la correttezza dell’interpretazione dell’effetto osservato. Tale diatriba è stata risolta in modo definitivo in una recente
serie di esperimenti sorprendenti fatti al Laboratorio centrale di Hitachi, da Tonomura e dai
suoi collaboratori.
La diatriba nasceva dai seguenti aspetti piùttosto delicati, sia sperimentali che teorici,
dell’effetto A-B. Prima di tutto, in meccanica quantistica, l’elettrone è descritto da una funzione d’onda, ed è difficile escludere completamente che esso penetri anche nella regione
dove è situato il solenoide, B 6= 0. Un altro problema sperimentale è che un solenoide non
è mai ideale, non è mai infinitamente lungo, il campo magnetico non è mai completamente
contenuto all’interno del solenoide. Inoltre, dal punto di vista teorico, ci sarebbe la possibilità di scegliere la gauge di modo che nelle equazioni appaiono soltanto il campo magnetico
B (o le sue derivate), e non più il potenziale vettoriale A (gauge di Schwinger). Se tale
scelta di gauge fosse legittima, non ci si dovrebbe aspettare nessun effetto A-B, se l’elettrone non passa mai nella regione con il campo magnetico (o se l’apparato sperimentale è
costruito di modo che tale probabilità sia comunque trascurabile). Ogni effetto osservato
sarebbe da attribuire alla non perfezione dell’apparato.
A quest’ultima obiezione teorica può essere risposta osservando che una gauge in cui
il potenziale vettoriale viene eliminata in favore di B è necessariamente singolare, e perciò
non è una scelta accettabile.
Le prime obiezioni sono però più insidiose. L’idea brillante che ha permesso al gruppo
di Tonomura di ovviare questi problemi, sotto il suggerimento di C.N. Yang, è stato quello
di ricoprire completamente un anello microscopico di magneto con uno strato superconduttore (Fig.4.4). Si veda la nota seguente su aspetti salienti della superconduttività e del
fenomeno della quantizzazione del flusso magnetico.
Facendo attraversare il fascio di elettroni parzialmente dentro e parzialmente fuori il foro e osservando la frange dell’interferenza, si osservano gli effetti à la Aharonov-Bohm. Ma
l’osservazione determinante è il fatto che lo spostamento di fase diventa o zero o π, quando il ricoprimento superconduttore dell’anello diventa superconduttore (al di sotto della
4.9. EFFETTO AHARONOV-BOHM
165
e
e
H
H
Ricoprimento
Superconduttore
Interferenze
Figura 4.5: Lo schema dell’esperimento di Tonomura et.al.
temperatura critica per Nb, Tc = 9.2K), mentre al di sopra della temperatura critica, ∆φ
prende un valore generico casuale, dipendente da come il campione è stato preparato.
Si osservino in particolare che
(i) il campo magnetico è contenuto all’interno dell’anello superconduttore e non può fuoriuscire (effetto Meissner), e forma un selenoide di forma anullare ideale, i.e., senza
le estremità;
(ii) l’elettrone è schermato dalla ricoprimento esterno dell’anello e non può penetrare
all’interno;
(iii) il flusso magnetico all’interno del anello è quantizzato:
Φn =
πcn~
,
e
n ∈ Z.
(4.421)
Sostituendo questo nella formula (4.397) e ricordando che per l’elettrone q = −e,
si ha che lo spostamento di fase sia dato da un multiplo di π, come è effettivamente
osservato sperimentalmente. Si noti un fattore 2 determinante tra la carica della
coppia di Cooper (q = 2 e) e quella dell’elettrone.
È da notare che questo esperimento rappresenta una doppia verifica, da un lato dell’effetto A-B (nelle campioni con lo sfasamento π), dall’altro della quantizzazione di flusso
magnetico.
Superconduttore Riportiamo qui gli aspetti principali della superconduttività nei metalli
a temperature extremamente basse, in un campo magnetico esterno. Dovute alle interazioni
attrattive dai scambi di fononi gli elettroni formano stati legati chiamate coppie di Cooper.
alle temperature extrememente basse (al di sotto di una temperatura critica, che dipende
dalla sostanza) le coppie di Cooper - bosoni - condensano e sono descritti 3 da una sorta di
3 I bosoni identici debolmente accoppiati tendono a occupare lo stesso stato quantistico. A temperatura sotto
quella critica, un numero macroscopico dei bosoni occupano gli stessi stati più bassi - condensazione di BoseEinstein. Il sistema in un tale stato è descritto dalla distribuzione dei numeri di occupazione d(p) o dalla sua
trasformata di Fourier, Ψ(r). |Ψ(r)|2 rappresenta allora realmente la densità, non la densità di probabilità, delle
particelle.
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
166
funzione d’onda macroscopica Ψ. Ψ soddisfa alle equazioni di Laudau-Ginzburg (prendiamo la carica di elettrone, −e < 0; quella di una coppia di Cooper q = −2 e; m è la massa
dell’elettrone),
q
1
(p − A)2 Ψ + a Ψ + b |Ψ|2 Ψ = 0;
(4.422)
4m
c
4π
j,
B = ∇ × A;
(4.423)
∇×B=
c
i
q
1 h ∗
q
Ψ (p − A)Ψ − {(p − A)Ψ}∗ Ψ ,
j=
(4.424)
4m
c
c
dove a, b sono parametri che dipendono dalla materia e dalla temperatura.
Nello stato superconduttore, le coppie di Cooper condensano:
Ψ=
con
∂ρ
∂t
√ iθ
ρe ,
ρ(r) = Ψ∗ Ψ 6= 0,
(4.425)
= 0. La corrente è data da
j=
q
ρ
(~ ∇θ − A) :
2m
c
(4.426)
l’equazione di continuità allora implica che ∇ · j = 0, i.e.,
∇2 θ = 0,
(4.427)
dove è stata assunta la gauge ∇ · A = 0.
In una massa di superconduttore la (4.405) implica
θ = const.
(4.428)
Segue la relazione
qρ
A,
(4.429)
2mc
nota come equazione di London. Visto che la corrente elettrica delle coppie di Cooper è
jel = q j = −2 e j, l’equazione di Maxwell dà
j=−
∇2 A = −
4π
2 π ρ q2
A ≡ λ−2 A
jel =
c
m c2
(4.430)
di cui la soluzione, assumendo che essa dipende solo da una delle componenti di r, è
A = A0 e−z/λ ,
λ=
2 π ρ q2
m c2
−1/2
.
(4.431)
Nel gergo della fisica delle particelle, il fotone ha acquistato una massa effettiva tramite
il meccanismo di Higgs! In un linguaggio più tradizionale, la (4.409) significa che il campo magnetico è fortemente dampato in una media superconduttore: B può penetrare nel
corpo di superconduttore soltanto per uno spessore λ chiamato lunghezza di penetrazione
di London. Con dei parametri appropriati per il piombo, per es., (assumendo che ognuno
degli atomi dia un elettrone di conduzione), ρ ∼ 3. · 1022 / cm3 , si ha
r
r
1 m c2 1
1
1
1
λ∼
∼
∼ O(10−5 ) cm.
(4.432)
8π e2 1022
25 3 · 10−13 1022
Questo fenomeno, che il campo magnetico viene espulso dalla sostanza superconduttore è
noto come effetto Meissner.
4.9. EFFETTO AHARONOV-BOHM
y
167
z=0
z
z = T= 0
x
Figura 4.6: Coordinate del toro
j=0
C
j
Figura 4.7:
Quantizzazione del flusso magnetico
Accade una cosa molto interessante nel caso che la materia superconduttrice ha una
forma di un toro (topologicamente l’interno di T ). Riflettendo il fatto che θ è una variabile
angolare, la (4.405) ammette ora una soluzione non banale 4 ,
θ(x, y, z) = c z,
c=
2πn
,
T
n ∈ Z,
(4.433)
dove z è la coordinata lungo il cerchio del toro, con il periodo T . (Fig.4.5). In questo caso,
j 6= A, ma vale ancora
ρq 2
1
∇2 j = −
(4.434)
∇ A = 2 j.
2mc
λ
La (4.411) e la (4.412) implicano che la corrente j nella direzione di z circola soltanto sulla
superficie del toro, i.e., in uno strato di spessore dell’ordine di λ; vice versa, all’interno del
toro abbiamo j = 0.
Quest’ultimo fatto significa che lungo il cerchio al centro del toro (la curva C della
Fig.4.6)) vale
q
(4.435)
~ ∇θ = A,
c
per cui integrando questa equazione lungo C si ha (Eq.(4.411))
I
Z
q
dxi Ai = ~ dθ = 2 π n~.
(4.436)
c
D’altra parte,
H
I
dxi Ai =
Z
dS · ∇ × A =
Z
dS · B = Φ :
(4.437)
dxi Ai è uguale al flusso magnetico intrappolato dal toro. Segue perciò che il flusso
magnetico che attraversa un toro di superconduttore è quantizzato:
Φ=
2π n c ~
,
q
n ∈ Z.
(4.438)
4 Dal punto di vista matematico, le soluzioni non banali (4.411) rappresentano elementi del gruppo
fondamentale di S 1 , Π1 (S 1 ) = Z.
168
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
4.10 Disuguaglianze di Bell, Disuguaglianza di CHSH e
Quantum Entanglement
4.10.1 Problema
L’aspetto probabilistico della meccanica quantistica, nonstante innumereboli verifiche sperimentali, ci produce tuttora un certo senso di inquietudine. Il paradosso di EinsteinPodolsky-Rosen è stato infatti proposto per “dimostrare che la meccanica quantistica non
poteva essere una teoria completa, ma che essa doveva essere completata da variabili addizionali, di modo che la natura probabilistica della predizione della Meccanica Quantistica
fosse dovuta alla media statistica su queste variabili (dette variabili nascoste). Le ipotesi
fondamentali del loro argomento sono la località e la causalità.
J.S. Bell ha formulato l’idea delle variabili nascoste matematicamente, ed ha dimostrato
che, indipendentemente dalla natura delle variabili nascoste, tale teoria non può riprodurre
completamente le predizioni della meccanica quantistica.
Le verifiche sperimentali successivamente escogitate hanno confermato l’esattezza delle predizioni della meccanica quantistica, escludendo cosı̀ qualsiasi tipo di teorie con variabili nascoste.
L’esempio considerato da Bell (Physics 1 (1964) p.195) è quello di un sistema di due
spin 12 , in uno stato di singoletto, Stot = 0,
1
Ψ = √ [ | ↑↓i − | ↓↑i],
2
(4.439)
dove sz | ↑i = 12 | ↑i, etc. Supponiamo che le due particelle A, B siano i prodotti di
decadimento di una particella parente con J = 0 e che le particelle A, B viaggino in due
direzioni opposte, di modo tale che la misura eseguita sulla particella A non può influenzare
il risultato della misura fatta sulla particella B (o vice versa). Supponiamo inoltre che gli
osservatori A e B misurino la componente di spin A o B, i.e., (a · σA ), (b · σB ), dove a,
b sono due versori arbitrari.
Prima consideriamo il caso particolare, a = b. La misura di (a · σA ), dà o +1 o −1
come risultato. Supponiamo che la misura della quantità (a·σB ), sia fatta immediatamente
dopo quella di A. Nel caso (a · σA ) = 1 il risultato di (a · σB ), è predetto con certezza
ad essere −1, e vice versa. Visto che la misura a A non può influenzare dinamicamente
quella di B per ipotesi (la località e la causalità), sembrerebbe che tale predittività del risultato di singole misure contradisca con il principio della meccanica quantistica, secondo il
quale il risultato dovrebbe essere ±1, con probabilità 12 per ciascuno. L’unica via di uscita sembrerebbe che in realtà le cose siano “predeterminate: l’aspetto probabilistico della
predizione della meccanica quantistica sarebbe dovuto alla mancanza della conoscenza nel senso classico - del processo microscopico. Perciò la meccanica quantistica dovrebbe
essere sostituito da una teoria più completa, con delle variabili addizionali, di modo che
le predizioni probablistiche della meccanica quantistica seguono come legge statistica su
quese ultime.
Questa argomentazione in realtà non è corretta. Infatti, visto che i due eventi (le misure
di A e di B) non possono essere collegati causalmente, anche l’informazione che riguarda i risultati della misura di A risulta inutile (o meglio, inutilizzabile) per l’osservatore B.
Infatti, non avendo accesso ai risultati di A (almeno non immediatamente prima della misura), l’osservatore B troverebbe semplicemente per la metà delle volte il risultato +1 e per
l’altra metà delle volte −1, in accordo con la predizione standard della meccanica quantistica. Inoltre, il concetto della successione cronologica dei due eventi non è un concetto
relativisticamente invariante. Secondo la teoria della relatività speciale, si può realizzare
una situazione di modo che sia A che B vede, nel loro rispettivo sitema di riferimento, la
propia misura anticedente alla misura dell’altro osservatore. In questo caso l’impostazione
del “paradosso stesso non avrebbe senso.
4.10. DISUGUAGLIANZE DI BELL, DISUGUAGLIANZA DI CHSH E QUANTUM ENTANGLEMENT169
Resta tuttavia il fatto che, paragonando le registrazioni delle successive misure fatte a
A con quelle fatte a B, si può a posteriori verificare la correlazione tra i risultati dei due
esperimenti. Secondo la meccanica quantistica una successione di risultati ad A, (+ + − +
− − . . .), dovrebbe essere accompagnato dalla successione (− − + − + + . . .), trovata a B:
le due serie di risultati sono perfettamente correlate. Naturalmente questa predizione della
meccanica quantistica è verificata sperimentalmente.
Dal punto di vista filosofico la situazione appare infatti un po’ paradossale. Per l’osservatore B, la successione (− − + − + + . . .), appare completamente casuale. Ogni misura
dà il risultato o 1 o −1, con probabilità 21 ciascuno, la funzione d’onda essendo la (4.417)
prima della misura. Se si dovesse considerare il collasso della funzione d’onda 5 dovuta ad
ogni misura a B, per es.
1
√ [ | ↑↓i − | ↓↑i] =⇒ | ↓↑i,
(4.440)
2
come processo fisico (che avviene attorno al punto B in un determinato momento), la predizione della meccanica quantistica implicherebbe che la misura fatta al punto B induce
istantaneamente il collasso della funzione d’onda anche al punto A. Il che sarebbe una
violazione grossolana della località delle interazioni e della causalità.
Nel caso in cui i due apparecchi à la Stern-Gerlach sono orientati in maniera generica, i
risultati delle misure a B non saranno più univocamente determinati da quelli delle misure
fatte a A. Per es., la successione di risultati ad A (+ + − + − − . . .) potrebbe essere
accompagnata da (+ − + + − + . . .) con assenza apparente delle correlazioni tra le due.
In questo caso, dunque, non ci sono contraddizioni?
Il fatto è che la meccanica quantistica dà una precisa predizione sulla media della correlazione tra le due serie di misure, per generico orientamento relativo di a e b. Se definiamo
la correlazione spin-spin,
F (a, b) = h(a · σA ) (b · σB )i = R(a · σA )R(b · σB ),
(4.441)
dove R(a · σA ) = ±1 e R(b · σB ) = ±1 rappresentano i possibili risultati delle misure, la
meccanica quantistica predice che ci sia una correlazione tra le due registrazioni,
M.Q.:
F (a, b) = h(a · σA ) (b · σB )i = −(a · b) = − cos θ,
(4.442)
(dimostratelo) dove θ è l’angolo tra a e b. Il problema è perciò ben definito, indipendente da qualsiasi questione filosofica: è capace una teoria di tipo con le variabili nascoste,
riprodurre esattamente il risultato della meccanica quantistica, Eq.(4.420)?
4.10.2 Dimostrazione
La dimostrazione che la risposta è negativa, è stata data da J.S. Bell (1960). Siano
A(a, λ) = ±1,
B(b, λ) = ±1
(4.443)
la predizione per R(a·σA ) e R(b·σB ), rispettivamente, di una teoria con variabili nascoste
{λ}. Naturalmente teorie che predicono i risultati diversi da ±1 possono essere esclusi,
visto che tale è un fatto empirico.
La correlazione spin-spin è dato, in questa teoria da
Z
Teo. Var. Nasc:
F (a, b) = dλ P(λ) A(a, λ) B(b, λ),
(4.444)
dove P(λ) è la probabilità statistica per vari valori di λ, con 6
Z
P(λ) ≥ 0, ∀λ,
dλ P(λ) = 1.
(4.445)
5 Erwin Schrödinger disse: “If we should go on with this dammned wave function collapse, then I’m sorry that
I ever got involved.
6 Tutte le formule saranno scritte con una variabile λ, ma la generalizzazione ai casi con più variabili è
immediata.
170
CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
Inoltre, per garantire che questo modello riproduca il risultato della meccanica quantistica
per il caso particolare, a = b, possiamo porre
B(a, λ) = −A(a, λ)
(4.446)
per cui
F (a, b) = −
Z
dλ P(λ) A(a, λ) A(b, λ).
(4.447)
Ora consideriamo
=
=
F (a, b) − F (a, c)
Z
− dλ P(λ) [ A(a, λ) A(b, λ) − A(a, λ) A(c, λ) ]
Z
dλ P(λ) A(a, λ) A(b, λ) [ A(b, λ) A(c, λ) − 1 ],
(4.448)
perciò
|F (a, b) − F (a, c)| ≤
= 1 + F (b, c).
Z
dλ P(λ) (1 − A(b, λ) A(c, λ) )
(4.449)
Dunque in qualsiasi teoria con delle variabili nascoste, la correlazione spin-spin soddisfa
la disuguaglianza,
|F (a, b) − F (a, c)| ≤ 1 + F (b, c).
(4.450)
(Disuguaglianza di Bell). Si vede facilmente che la meccanica quantistica viola tale relazione. Se a è in una generica direzione e b ≃ c, il primo membro della (4.428) sarà
dell’ordine di O(|b − c|): di conseguenza la funzione F (b, c) non può essere al minimo
stazionario e uguale a −1, poiché in questo caso il secondo membro sarebbe dell’ordine di
O((b − c)2 ). Visto che in meccanica quantistica, la funzione di correlazione spin-spin è
F (a, b) = −(a · b) e ha il minimo stazionario ad a = b, concludiamo che nessuna teoria
del tipo (4.425) può riprodurre le predizioni della meccanica quantistica per tutte le scelte
di a e b.
Bell ha dimostrato che è possibile costruire un modello di una teoria con variabili nascoste, se tal modello dovesse riprodurre il risultato della meccanica quantistica soltanto
per particolare configurazioni di a e b, per es. a = b, a = −b, o a ⊥ b. È l’impossibilità
che tale modello “imiti perfettamente la predizioni della meccanica quantistica per tutte le
scelte di a e b, che esclude teorie di questo genere come teorie fisiche.
La correlazione tra le due particelle che non possono interagire né nel presente né in
futuro, ma che sono interagite nel passato, come nell’esempio di due elettroni, è caratteristica tipica di tutti i sistemi quantistici. Questa correlazione, sperimentalmente osservata
e perfettamente in accordo con la predizione della meccanica quantistica, ma che non può
essere riprodotta da nessun tipo di teoria con variabili statistiche classiche addizionnali, è
nota come “Quantum Entanglement.
4.10.3 Coppie di fotoni correlati
Si può fare un’analisi molto analoga con una coppia di fotoni, invece di elettroni. Consideriamo un atomo in uno stato eccitato con J = 0, che decade con due successive transizioni
a dipolo elettrico,
(J = 0) → (J = 1) → (J = 0),
(4.451)
processo chiamato cascata atomica SPS. Se i due fotoni sono osservati in direzioni opposte, essi avranno la stessa polarizzazione. Infatti, gli stati iniziali e finali dell’atomo sono
4.10. DISUGUAGLIANZE DI BELL, DISUGUAGLIANZA DI CHSH E QUANTUM ENTANGLEMENT171
ambedue invarianti per rotazioni tridimensionali. Segue che anche lo stato di due fotoni
deve essere invariante. Se indichiamo con
|xi|xi,
|xi|yi,
|yi|xi,
|yi|yi,
(4.452)
i quattro possibili stati di polarizzazioni lineari dei due fotoni, soltanto le due combianzioni
lineari
|xi|yi − |yi|xi
|xi|xi + |yi|yi
√
√
,
ψ− =
,
(4.453)
ψ+ =
2
2
sono invarianti per rotazioni attorno all’asse z (la direzione dell’impulso di uno dei fotoni).
Visto che le interazioni elettromagnetiche sono invarianti per parità, si trova che la funzione
√
.
d’onda corretta dei due fotoni in questo sistema è ψ+ = |xi|xi+|yi|yi
2
La misura della polarizzazione e i possibili risultati per un fotone sono descritti dall’operatore
1 0
P1 = |xihx| =
;
(4.454)
0 0
che misura la polarizzazione lineare nella direzione x, con il risultato 1 o 0. (Vedi la
(3.118)), o da
0 0
P2 = |yihy| =
.
(4.455)
0 1
che misura la polarizzazione lineare nella direzione y, o più in generale da
cos2 θ
cos θ sin θ
Pθ = (|xi cos θ + |yi sin θ)(hx| cos θ + hy|| sin θ) =
. (4.456)
cos θ sin θ
sin2 θ
che misura la polarizzazione lineare nella direzione (cos θ, sin θ, 0). Gli autovalori di
questi operatori sono 1 o 0. Introdurremo operatori associati
Σθ ≡ 2Pθ − 1,
Σ1,2 ≡ 2P1,2 − 1
(4.457)
con autovalori ±1.
Se i due osservatori misurassero la stessa polarizzazione, per es., Σ1 , le due registrazioni saranno perfettamente correlati, per es., A : (+ + − − − + . . .) e B : (+ + − − − + . . .).
Lo stesso vale se i due polarizzatori sono messi nella stessa direzione (cos θ, sin θ, 0).
Se invece i due osservatori misurano la polarizzazione in due direzioni generiche A :
(cos θ, sin θ, 0) e B : (cos θ′ , sin θ′ , 0), allora la predizione della meccanica quantistica
per la correlazione
F (θ, θ′ ) = R(Σθ )R(Σθ′ )
(4.458)
è
hψ+ |Σθ ⊗ Σθ′ |ψ+ i = cos 2(θ − θ′ ).
(4.459)
L’argomento di Bell si applica esattamente (quasi) cosı̀ com’è, alla correlazione F (θ, θ′ ):
Z
F (θ, θ′ ) = dλ P(λ) A(θ, λ) A(θ′ , λ),
A(θ, λ) = ±1.
(4.460)
Perciò in una teoria qualsiasi con le variabili nascoste, si avrà la disuguaglianza,
|F (θ, θ′ ) − F (θ, θ′′ )| ≤ 1 − F (θ′′ , θ′ ).
(4.461)
Tale disuguagliaza è violata dalla meccanica quantistica per generica scelta di θ, θ′ , θ′′ .
Esercizio Dimostrare che la disuguagliaza di Bell (4.439) è violata dalla meccanica quantistica (4.437), per es. per θ − θ′ = θ′ − θ′′ = π6 .
La disuguaglianza di Bell può essere generalizzata. Una combinazione delle funzioni
di correlazione,
F (θ1 , θ2 ) + F (θ3 , θ2 ) + F (θ1 , θ4 ) − F (θ3 , θ4 )
(4.462)
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CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI
è data, secondo una teoria con variabili nascoste, dall’espressione
Z
dλ P(λ) [ (A(θ1 , λ) + A(θ3 , λ)) A(θ2 , λ) + (A(θ1 , λ) − A(θ3 , λ)) A(θ4 , λ) ]. (4.463)
Ma l’espressione tra la parentesi quadrata di (4.441) è sempre ±2, poiché se A(θ1 , λ) =
A(θ3 , λ) il primo termine è ±2 mentre se A(θ1 , λ) = −A(θ3 , λ) il secondo termine è ±2.
Segue perciò (disugualgianza di CHSH)
| F (θ1 , θ2 ) + F (θ3 , θ2 ) + F (θ1 , θ4 ) − F (θ3 , θ4 ) | ≤ 2.
(4.464)
È facile verificare che la meccanica quantistica viola tale disuguaglianza, in generale.