raccolta di testi - Università di Pavia

Esercitazione del 13/3/2009
• Esercizio 1
Un punto materiale si muove lungo l’asse x secondo l’equazione x =
2 + 3t − 4t2 , con x misurata in [m] e t in [s]. Si calcoli: (a) la posizione
del punto materiale nell’istante in cui cambia direzione. (b) la velocità
quando ripassa nella posizione occupata al tempo t = 0.
• Esercizio 2
State guidando alla velocità di 112 km/h. Un incidente sulla strada vi
distrae per 1 s. Quanto spazio percorre la vostra macchina in questo
lasso di tempo?
• Esercizio 3
Un autista sta viaggiando alla velocità di 30 m/s e vede sulla corsia un
veicolo molto lento ad una distanza di 155 m che viaggia a 5 m/s. La
strada è scivolosa e l’auto rallenta imprimendo una decelerazione di -2
m/s2 . Avviene la collisione? Se sı̀, a che distanza?
• Esercizio 4
Una persona cammina a 5 m/s lungo una strada rettilinea da A a B.
Poi torna indietro da B ad A ad una velocità di 3 m/s. Calcolare:
(a) il valor medio del modulo della velocità nell’intero percorso, (b) la
velocità media nell’intero percorso.
• Esercizio 5
Il pilota di un’auto frena a causa di un albero che occupa la carreggiata.
L’auto rallenta uniformemente per 4.2 secondi imprimendo un’accelerazione di -5.6 m/s2 . Sul terreno rimane una striscia di frenata di 62.24
m. A che velocità finisce contro l’albero?
• Esercizio 6
Un masso inizialmente in quiete viene lasciato cadere da una roccia di
altezza h. Nello stesso istante dalla base della roccia viene lanciata
1
verso l’alto una sfera, con velocità v0 lungo la traiettoria del masso.
Calcolare dopo quanto tempo avviene la collisione.
• Esercizio 7
In un bar un avventore lancia lungo il bancone un boccale vuoto da
birra perchè venga riempito nuovamente. Il barista, momentaneamente
distratto, non vede il boccale, che scivola lungo il bancone e cade al
suolo, ad una distanza di 1.4 m dalla base del bancone. Se l’altezza
del bancone è 0.86 m, si calcolino (a) la velocità del boccale nell’istante
in cui inizia a cadere dal bancone e (b) la direzione della velocità del
boccale nell’istante precedente all’impatto con il suolo.
• Esercizio 8
Una palla viene lanciata con velocità v~0 = 25 m/s ad angolo θ =
40◦ rispetto alla posizione orizzontale, contro un muro posto a 22 m.
Calcolare: (a) il tempo di volo per colpire il muro, (b) la quota h a cui
avviene l’impatto.
• Esercizio 9
Uno pneumatico di raggio 0.5 m ruota con una velocità angolare costante
di 200 giri per minuto. Trovare il modulo della velocità e l’accelerazione
di un sassolino attaccato al battistrada.
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Esercitazione del 16/3/2009
• Esercizio 1
Una palla legata all’estremità di una fune viene fatta ruotare in un
cerchio orizzontale di raggio 0.3 m. Il piano in cui giace il cerchio si
trova ad un’altezza di 1.2 m da terra. La corda si rompe e la palla
cade ad una distanza orizzontale di 2 m dal piede della perpendicolare
condotta dal punto in cui la corda si rompe verso terra. Si determini
l’accelerazione radiale della palla durante il suo moto circolare.
• Esercizio 2
Un treno rallenta da 90 km/h a 50 km/h nei 15 s che impiega a percorrere una curva orizzontale di raggio 150 m. Si calcoli l’accelerazione
nell’istante in cui il treno ha una velocità di 50 km/h. (Si faccia l’ipotesi che la decelerazione sia costante durante i 15 s necessari a percorerre
la curva).
• Esercizio 3
La cabina di un ascensore é alta h = 2.6 m. A t = 0 s l’ascensore
comincia a scendere con accelerazione costante pari a a = 0.8 m/s2 .
Dopo t1 = 3 s la lampadina attaccata al soffitto della cabina si stacca.
Calcolare:
1) dopo che intervallo di tempo la lampadina tocca il pavimento della
cabina
2) che spazio percorre la lampadina rispetto alla tromba dell’ascensore.
• Esercizio 4
La neve cade verticalmente ad una velocità costante di 7.8 m/s. Un’automobile corre in linea retta a velocità costante di 55 km/h. Con che
angolo rispetto all’asse verticale ed a che velocità l’autista vede cadere
i fiocchi?
• Esercizio 5
Un blocco di massa m = 5 kg è trascinato lungo un piano orizzontale
→
−
liscio da una corda che esercita una forza | F | = 12 N con un angolo
α = 25◦ rispetto all’orizzontale. Calcolare:
1- l’accelerazione a del blocco; 2- il valore di F tale per cui il blocco perder contatto con il suolo; 3- l’accelerazione a0 al momento del
distacco.
1
• Esercizio 6
Con riferimento all’esercizio precedente, sia il blocco una valigia trascinata con una fune. La forza con cui si tira la fune ha modulo pari a 12
N e la forza di attrito statico sulla valigia é pari a 8 N. Si determinino
l’angolo α0 tra la fune e l’orizzontale e la reazione normale sulla valigia.
2
Esercitazione del 23/3/2009
• Esercizio 1
Sia µs = 0.8 il coefficiente d’attrito statico tra la suola delle scarpe
di una sprinter e la pista sulla quale sta correndo. Si determini la
massima accelerazione che puó raggiungere. É necessario sapere che
la sua massa é 60 kg?
• Esercizio 2
Due blocchi sono a contatto su una superficie priva di attrito. Ad uno
dei due blocchi viene applicata una forza orizzontale F . Dati ma = 2.3
kg, mb = 1.2 kg ed F = 3.5 N, calcolare l’accelerazione dei blocchi e
la forza di contatto.
• Esercizio 3
Cosa succede se nell’esercizio del caso precedente il piano é scabro?
• Esercizio 4
I blocchi in Figura 1 M = 3 kg e m = 1 kg sono tenuti in contatto
dall’attrito statico all’interfaccia, il cui coefficiente vale µs = 0.4. Il
piano orizontale é invece liscio. Determinare il valore minimo della
forza applicata a M che permette alla massa m di non scivolare lungo
l’interfaccia verticale durante il moto orizzontale.
Figura 1: Es. 4
• Esercizio 5
Una massa M = 20 kg è appoggiata alla quota h = 70 cm su di un
piano inclinato di angolo θ = 30◦ che presenta un coefficiente di attrito statico µs = 0.6 ed un coefficiente di attrito dinamico µd = 0.4.
1
Determinare se la massa scivola o resta ferma.
In un istante successivo l’angolo di inclinazione del piano viene aumentato fino al valore γ = 40◦ . Determinare il tempo necessario
perchè, sotto queste condizioni, la massa scivoli fino alla base del piano.
Quanto varrebbe il tempo se il piano fosse senza attrito?
• Esercizio 6
Due blocchi collegati mediante una fune leggera e ideale sono trascinati
→
−
→
−
da una forza orizzontale F . Siano m1 = 12 kg ed m2 = 18, | F | = 68
N e µk = 0.1. Calcolare la tensione della fune e l’accelerazione del
sistema.
• Esercizio 7
Un punto materiale di massa m = 2.5 kg é attaccato all’estremo di una
molla di costante elastica k = 120 N/m e lunghezza a riposo l = 0.3
m. L’altro estremo é fissato ad un punto O. Il sistema si trova su un
piano orizzontale e ruota con velocitá angolare ω = 4 rad/s costante
attorno ad O. Calcolare il raggio r della circonferenza descritta dalla
massa nel suo moto.
2
Esercitazione del 6/4/2009
• Esercizio 1
Una scimmia di 11 kg si arrampica lungo una fune priva di massa
che, passando su un ramo d’albero privo d’attrito, è attaccata ad un
contrappeso di 15 kg appoggiato al terreno. Determinare con quale
accelerazione minima deve arrampicarsi la scimmia per sollevare da
terra il contrappeso. Se dopo avrlo sollevato, smette di arrampicarsi e
rimane appesa alla fune, quali saranno l’accelerazione della scimmia e
la tensione della fune?
• Esercizio 2
Un blocco di 15 kg è trascinato su un piano orizzontale scabro da una
forza di 70 N la cui direzione è inclinata di 20◦ al di sopra dell’orizzontale. Il blocco viene spostato di 5 m e µd = 0.3. Si trovi il lavoro fatto
(a) dalla forza F = 70 N, (b) dalla forza normale, (c) dalla forza di
gravità. (d) Quanto vale la perdita di energia dovuta all’attrito? (e)
Si trovi la variazione di energia cinetica del blocco.
• Esercizio 3
Uno sciatore di 70 kg viene tirato su di un pendio da uno skilift. (a)
Facendo l’ipotesi che non vi sia attrito e sapendo che l’inclinazione é
di 30◦ , si determini il lavoro necessario per trainare lo sciatore per 60
m a velocitá costante di 2 m/s. (b) Quanto deve valere la potenza del
motore dello skilift?
• Esercizio 4
Un blocco di massa 12 kg scivola, partendo dalla quiete, lungo un
piano inclinato di 35◦ rispetto all’orizzontale. Il blocco si ferma dopo
aver compresso una molla di costante elastica k = 3.0·104 N/m ed aver
percorso 3 m dal punto di rilascio a quello di massima compressione
della molla. Si calcoli di quanto viene compressa la molla.
• Esercizio 5
Un saltatore di bungee jumping vuole controllare tutto il sistema prima
di saltare. Sapendo che il suo peso é di 700 N, che l’altezza del salto
é di 36 m e la costante elastica dell’elastico é 914 N/m. Quanto deve
essere lungo l’elastico per essere sicuro di fermarsi a 4 m dal fiume?
1
• Esercizio 6
Considerare il sistema in Fig. 1: i blocchi di massa m e M = 10
kg sono collegati tramite una fune inestensibile e di massa nulla che
passa su di una carrucola anch’essa non massiva. Inizialmente i blocchi
sono tenuti fermi nella cofigurazione in figura, con m sospesa ad una
distanza L = 2 m dal suolo. M scivola su una superficie orizzontale
scabra con coefficienti di attrito µs = 0.4 e µd = 0.2. Calcolare:
1- il valore minimo di m che permette al sistema, una volta rilasciato, di
cominciare a muoversi; 2- se m = 5 kg, l’accelerazione dei blocchi ed il
valore della tensione della fune; 3- l’intervallo di tempo ∆t tra il rilascio
del sistema nella condizione del punto 2 ed il momento dell’impatto
con il suolo; 4- la differenza di velocitá di impatto nel caso di piano
orizzontale scabro e liscio.
Figura 1: Es. 6
2
Esercitazione del 20/4/2009
• Esercizio 1
Un pendolo di massa m = 2.4 kg e lunghezza l = 34 cm viene spostato
dalla posizione di equilibrio di un angolo α = 13◦ . Determinare (a) la
velocità della massa e (b) la tensione del filo quando il pendolo passa
dalla posizione di equilibrio.
• Esercizio 2
Un blocco di 5 kg viene spinto contro una molla orizzontale provocando
una compressione di ∆x. La costante elastica é K = 450 N/m. Il blocco
lasciato libero si muove sul piano liscio fino al punto B (vedi Fig. 1)
dove inizia un profilo circolare verticale scabro di raggio R = 1 m. La
velocitá in B é 12 m/s e il blocco é sottoposto ad una forza media di
attrito di 7 N lungo il percorso circolare della guida. (a) Quanto vale
∆x? (b) Qual é la velocitá del blocco se raggiunge la sommitá della
guida T? (c) La raggiunge o cade prima?
Figura 1: Es. 2
• Esercizio 3
Un carro merci di 6000 kg si muove lungo i binari senza apprezzabile
attrito. Il carro viene fermato mediante un sistema combinato di 2
molle (vedi Figura 2). Entrambe seguono la legge di Hooke con k1 =
1600 N/m e k2 = 3400 N/m. Dopo che la prima molla viene compressa
per 30 cm, comincia ad agire anche la seconda, i cui effetti si sommano
alla prima incrementando l’effetto frenante. Trovare la velocità iniziale
del carro sapendo che si ferma dopo 50 cm dal contatto con la prima
molla.
1
Figura 2: Es. 3
• Esercizio 4
Calcolare la posizione del centro di massa della piastra circolare di
raggio 2R ottenuta tagliando dal suo interno un disco di raggio R
come mostrato in Figura 3.
Figura 3: Es. 4
• Esercizio 5
Un cane di massa pari a 5 kg si trova su una barca a 7 m dalla riva.
Il cane percorre 2.8 m sulla barca verso la riva. Sapendo che la barca
pesa 21 kg e assumendo che non vi sia attrito tra essa e la superficie
dell’acqua, si determini la distanza finale tra il cane e la riva.
• Esercizio 6
Due blocchi di masse M e 3M si trovano su di un piano orizzontale
senza attrito. Una molla di massa trascurabile è fissata ad uno di
essi ed i due blocchi vengono spinti l’uno contro l’altro con la molla
in mezzo (vedi Fig. 4). Un filo che li tiene inizialmente uniti viene
2
bruciato ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con una
velocità di 2 m/s. (a) Qual’è la velocità del blocco di massa M ? (b)
Si determini l’energia elastica iniziale immagazzinata nella molla se
M = 0.35 kg.
Figura 4: Es. 6
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Esercitazione del 22/4/2009
• Esercizio 1
In figura 1 viene mostrato un diagramma dell’energia otenziale U in
funzione della posizione x per un corpo puntiforme di massa 0.9 kg
vincolato a muoversi sull’asse x. Intervengono solo forze conservative.
Il corpo è lasciato libero in x = 4.5 m con velocità iniziale di 7 m/s,
diretta in verso opposto all’asse. (a) Può il corpo arrivare in x = 1 m
e in caso positivo con che velocità vi giunge? In caso negativo dov’è
il punto di inversione? (b) Quali sono modulo, direzione e verso della
forza agente sulla particella quando comincia a muoversi alla sinistra
del punto x = 4 m?
Supponiamo ora al contrario che il corpo si muova inizialmente nel
verso concorde all’asse. (c) Può il corpo arrivare in x = 7 m e in caso
positivo con che velocità vi giunge? In caso negativo dov’è il punto di
inversione? (d) Quali sono modulo, direzione e verso della forza agente
sulla particella quando comincia a muoversi alla destra del punto x = 5
m?
Figura 1: Es. 1
• Esercizio 2
Un cannone ha sparato una granata conuna velocità all’uscita di 20
m/s, ad un angolo di 60◦ sopra il piano orizzontale. Al vertice della
traiettoria la granata esplode rompendosi in due frammenti di uguale
massa. Uno dei due, che immediatamente dopo l’esplosione ha velocità
nulla cade verticalmente. A che distanza dal cannone atterrerà l’altro
frammento, ammettendo che il terreno sia in piano e la resistenza
dell’aria trascurabile?
1
• Esercizio 3
Un oggetto puntiforme di massa m è lasciato cadere da fermo dalla
cima di un cuneo di massa M = 4m. Giunto lungo il piano orizzontale
incontra poi una guida circolare di raggio r = 8 cm come mostrato
in Figura 2. Qual è la minima altezza del cuneo tale da consentire
all’oggetto di compiere un giro intero lungo la guida? Si trascurino
tutti gli attriti, sia quelli che agiscono sull’oggetto, sia quello tra il
cuneo e il piano.
Figura 2: Es. 3
• Esercizio 4
Una ruota impiega 3 s per completare 37 giri. se la velocità angolare dopo i 3 s è 98 rad/s, qual è il valore dell’accelerazione angolare,
supposta costante, della ruota?
• Esercizio 5
La figura 3 rappresenta lo schema di una trasmissione a cinghia: la
ruota A di raggio rA = 10 cm é accoppiata tramite la cinghia B alla
ruota C di raggio rc = 25 cm. La ruota A partendo da ferma aumenta
la propria velocitá angolare con accelerazione costante di 1.6 rad/s2 .
Calcolate quanto tempo impiega la ruota C per raggiungere la velocitá
angolare di 100 giri/minuto, ammettendo che la cinghia non slitti.
Figura 3: Es. 5
2
• Esercizio 6
Sia data un’asticella sottile uniforme di massa M e lunghezza L, disposta lungo un asse x con il centro nell’origine. (a) Qual è il momento
d’inerzia di questo corpo rispetto ad un asse passante per il suo centro
e perpendicolare all’asticella? (b) Qual è il momento d’inerzia dello
stesso corpo rispetto ad un ase parallelo al precedente, ma passante
per l’estremità sinistra dell’asticella?
• Esercizio 7
Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’origine del sistema di assi
cartesiani mostrati in figura 4, della piastra circolare di raggio 2R
ottenuta tagliando dal suo interno un disco di raggio R.
Figura 4: Es. 7
• Esercizio 8
Due masse M e m sono collegate da una sbarretta rigida di lunghezza
l e massa trascurabile, come in Fig. 5. Si dimostri che il valore del
momento d’inerzia I del sistema rispetto ad un asse perpendicolare
alla sbarretta è minimo quando l’asse passa per il centro di massa e
vale I = µL2 , con µ = mM/(m + M )
Figura 5: Es. 8
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Esercitazione del 24/4/2009
• Esercizio 1
Due blocchi di massa m1 = 2 kg ed m2 = 6 kg sono connessi fra loro
da una corda senza massa tesa su una carrucola circolare di raggio
R = 0.25 m e massa M = 10 kg. I due blocchi scorrono lungo il
profilo disegnato in Fig. 1, il cui lato destro è inclinato di θ = 30◦ . Il
coefficiente di attrito per i due blocchi è 0.36. Si disegni il diagramma
di corpo libero per i due blocchi e per la carrucola. Si determini il
valore dell’accelerzione dei due blocchi e le tensioni della corda sui due
lati della carrucola.
Figura 1: Es. 1
• Esercizio 2
Due masse m1 = 15 kg ed m2 = 10 kg sono tenute sospese da una
carrucola di raggio R = 10 cm e massa M = 3 kg. La corda, di
massa trascurabile, mette in rotazione la carrucola senza che vi sia
slittamento fra corda e carrucola. Le masse partono da ferme e la loro
distanza è d = 3 m. La carrucola ruota senza attriti ed è assimilabile
ad un disco omogeneo. Si determinino le velocità delle due masse
nell’istante in cui si incrociano.
• Esercizio 3
Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa M è incernierata in un
estremo ad un asse orizzontale senza attrito. La sbarretta viene abbandonata, in quiete, in posizione verticale. Quando la sbarretta si trova
in posizione orizzontale si calcoli la velocità angolare della sbarretta,
la sua accelerazione angolare, le componenti x ed y dell’accelerazione
del suo centro di masa e le componenti della reazione vincolare della
cerniera.
1
• Esercizio 4
Una corona circolare di massa m = 2.4 kg, raggio interno r = 6 cm e
raggio esterno R = 8 cm rotola senza strisciare su un piano inclinato
che forma un angolo θ = 36.9◦ . Ad un certo istante la corona si trova
sul piano in posizione x = 2 m con velocità verso l’alto di 2.8 m/s. La
corona continuerà a salire fino ad una certa altezza per poi rotolare
verso il basso. Perchè la corona non cada giù dal punto più alto del
piano, a che distanza deve trovarsi questo punto?
• Esercizio 5
Una donna di massa 60 kg sta sul bordo di una piattaforma rotante
orizzontale di momento d’inerzia 500 kg·m2 e di raggio 2 m. Il sistema è inizialmente fermo e la piattaforma può ruotare senza attrito
intorno ad un asse fisso verticale passante per il suo centro. La donna
incomincia a camminare lungo il bordo in senso orario ad una velocità
costante di 1.5 m/s rispetto al suolo. (a) In quale verso e con quale
velocità angolare ruoterà la piattaforma? (b) Quanto lavoro ha dovuto
fare la donna per mettere in moto se stessa e la piattaforma?
• Esercizio 6
Un cavo è arrotolato su una puleggia di massa m e di raggio r e
l’estremo libero del cavo sorregge un blocco di massa M . Il blocco
parte da fermo e scivola lungo un piano inclinato scabro che forma un
angolo θ con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico
fra blocco e piano è µ. Usare il teorema lavoro-energia cinetica per
dimostrare che la velocità del blocco v in funzione del suo spostamento
sul piano inclinato d è:
v = [4gdM (m + 2M )−1 (sinθ − µcosθ)]1/2
• Esercizio 7
Una sfera piena omogenea di raggio r si trova sulla superficie interna
scabra di una ciotola emisferica di raggio R molto pi grande. La sfera
parte da ferma in un punto definito da un angolo θ con la verticale
e rotola senza strisciare. Si determini la velocità angolare della sfera
quando passa per il fondo.
2
Esercitazioni del 27/4/2009
• Esercizio 1
Una palla da biliardo omogenea di massa m e raggio R viene colpita,
parallelamente al piano orizzontale, con una stecca che da una forza
F per un tempo t. A che altezza é necessario colpire la palla affinché
rotoli senza strisciare? Se la palla viene colpita ad un’altezza maggiore,
dopo che intervallo di tempo t̄ rotolerà senza strisciare? Qual è la
velocità del centro di massa in questo istante? Cosa succede se la
palla viene colpita ad un’altezza inferiore al suo raggio?
• Esercizio 2
Un sacco di cemento del peso di 325 N é sostenuto da tre funi. Due
delle funi formano angoli di θ1 = 60◦ e θ2 = 25◦ con l’orizzontale. Se
il sistema é in equilibrio, si calcolino le tensioni T1 , T2 e T3 .
Figura 1: Es. 2
• Esercizio 3
La sbarra mostrata in figura 2 é imperniata nell’estremitá inferiore ed e
mantenuta in equilibrio dalla molla attaccata all’estremitá superiore.
La sbarra ha lunghezza l = 1 m, la sua metá inferiore ha densitá
lineare µ1 = 4 kg/m, la sua metá superiore ha densitá lineare µ2 = 2
kg/m. Sapendo che l’angolo α vale 60◦ , determinare i valori della
reazione vincolare del perno e della forza elastica. La molla e allungata
o accorciata rispetto alla posizione di riposo?
1
Figura 2: Es. 3
• Esercizio 4
Un’insegna di peso Fg e di lunghezza 2L, è appesa ad un’asta orizzontale incernierata al muro e sorretta da un cavo, come mostrato in
Figura 3; si determinino in funzione di Fg , d, L e θ (a) la tensione del
cavo e (b) le componenti della reazione del muro.
Figura 3: Es. 4
• Esercizio 5
Una scala a pioli di 15 m di densità uniforme e 500 N di peso è appoggiata, in quiete, ad una parete verticale priva di attrito e forma un
angolo di 60◦ con il suolo. (a) Si calcolino la forza che il suolo esercita
sulla base della scala quando un pompiere di 800 N di peso si trova
a 4 m dalla base. (b) il pompiere salendo sulla scala si accorge che,
dopo essere salito fino a 9 m, la scala è sul punto di scivolare. Qual è
il coefficiente di attrito statico?
2
• Esercizio 6
Un tubo a forma di U come mostrato in figura 4 contiene due liquidi
in equilibrio statico: acqua (ρa = 998 kg/m3 ) nel braccio di destra e
olio di massa volumica sconosciuta ρx nel braccio di sinistra. I valori
delle misure indicate in figura sono l = 135 mm e d = 12.3 mm. Qual
è la densità dell’olio?
Figura 4: Es. 6
• Esercizio 7
In figura 5 vediamo una molla avente costante elastica k = 3 · 104 N/m
infrapposta tra il pistone di sollevamento di un martinetto idraulico
e una trave di carico. Sul pistone di azionamento è appoggiato un
recipiente di massa trascurabile. L’area del pistone di azionamento è
Aa , mentre quella del pistone di carico è 18Aa . Nello stato iniziale la
molla ha la sua lunghezza di riposo. Per comprimere la molla di 5 cm
quanti kilogrammi di sabbia occorre caricare nel recipiente?
Figura 5: Es. 7
• Esercizio 8
Si determini la quantità di elio (in m3 ) necessaria a sollevare fino ad
un’altezza di 8000 m un pallone, con un carico di 400 kg (ρHe = 0.180
3
Kg/m3 ). Si faccia l’ipotesi che il volume del pallone rimanga costante e
che la densità dell’aria diminuisca con l’altezza secondo la legge ρaria =
ρ0 exp(−z/8000), dove z è l’altezza in m e ρ0 = 1.25 Kg/m3 è la densità
dell’aria a livello del mare.
• Esercizio 9
Il diametro di un tubo orizzontale diminuisce progressivamente da 10
cm fino a 5 cm. Se la pressione dell’acqua nella sezione più larga è
8 · 104 Pa, mentre in quella più stretta è 6 · 104 Pa, quale è la portata
d’acqua nel tubo?
• Esercizio 10
Una piccola fontana da giardino manda un getto verticale di acqua
avente portata Q = 0.1 l/s ad unaltezza h = 0.5 m. Qual la velocit iniziale dellacqua e qual il raggio del foro circolare da cui fuoriesce? Calcolare quale pressione deve fornire la pompa della fontana
assumendo che sia posta appena sotto il foro di uscita.
• Esercizio 11
Un grosso serbatoio è riempito fino ad un’altezza H. Se il serbatoio
viene forato ad un’altezza h dal fondo, si determini a quale distanza
dal serbatoio cadrà il getto.
Se si vuol far giungere il getto il più lontano possibile dalla parete,
a che altezza dal fondo dovr essere praticato il foro? Quale sarà la
distanza raggiunta in questo caso?
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Esercitazioni del 11/5/2009
• Esercizio 1
Una particella, appesa ad una molla, può compiere oscillazioni con una
pulsazione di 2 rad/s. Il sistema molla-massa appeso al soffitto di un
ascensore, pende in quiete, rispetto all’ascensore quando questo scende
ad una velocità costante di 1.5 m/s. L’ascensore si ferma bruscamente.
Si determini: (a) l’ampiezza delle oscillazioni della particella, (b) l’equazione del moto della particella. (Si scelga positiva la direzione verso
l’alto).
• Esercizio 2
Una massa di 200 g attaccata ad una molla oscilla di moto armonico
con periodo di 0.25 s. Se l’energia totale del sistema è 2 J, si trovi: (a)
la costante elastica della molla, (b) l’ampiezza delle oscillazioni.
• Esercizio 3
Sia dato il sistema in Figura 1 in cui la massa m = 10 kg legata a
due molle identiche si trova nella posizione di equilibrio. Calcolare
la costante elastica delle molle, la frequenza di oscillazione del moto e la velocitá massima quando la massa viene spostata di 10 cm
dalla posizione di equilibrio e, lasciata libera di muoversi, parte con
un’accelerazione di 10 m/s2 .
Figura 1: Es. 3
• Esercizio 4
Una base di appoggio oscilla in un piano orizzontale con ampiezza A =
4 cm e frequenza variabile. Una moneta che viene posizionata sulla
base si muove rispetto al supporto solo quando la frequenza supera il
valore ν = 1.6 Hz. Quanto vale il coefficiente di attrito statico tra il
materiale della moneta e quello della base?
1
• Esercizio 5
Una boa cilindrica avente area di base S, altezza h e densitá ρ, viene
poggiata in un fluido di densitá ρF . Calcolare l’altezza della parte
immaersa nel fluido in condizione di equilibrio. In seguito la boa viene
premuta con una forza F tale che l’altezza della porzione di boa immersa aumenta di x, quale sará il moto risultante una volta tolta la
forza premente? Quale la frequenza di oscillazione?
• Esercizio 6
Lo spostamento angolare di un pendolo è espresso dall’equazione θ =
(0.32[rad])cos(ωt) con θ in radianti e ω = 4.43 rad/s. Si determinino
periodo e lunghezza del pendolo. (Si ricavi l’equazione dell’oscillatore
armonico per piccoli spostamenti)
• Esercizio 7
Un’asta di lunghezza L e massa M è incernierata ad un’estremità mentre all’altra ha attaccata una massa uguale M . Si trovi il periodo delle
piccole oscillazioni calcolandone il valore per L = 2 m. (Suggerimento:
si consideri la massa M puntiforme).
Figura 2: Es. 7
• Esercizio 8
Una massa m1 = 9 kg è attaccata ad una molla di costante elastica
k = 100 N/m e di massa trascurabile, l’altro estremo della molla è
attaccato ad una parete. Il sistema massa-molla si trova in quiete su
un piano orizzontale liscio. Una seconda massa m2 = 7 kg, accostata
ad m1 è spinta lentamente fino a raggiungere una compressione della
2
molla A = 0.2 m. Le due masse, lasciate libere, inizieranno a muoversi
verso destra. (a) Quando m1 raggiunge la posizione di equilibrio, m2
perde il contatto con m1 e continuerà a muoversi verso destra con
velocità v. Si determini il valore di v. (b) Qual è la distanza relativa
fra le due masse nel momento in cui la molla raggiunge il massimo
allungamento per la prima volta?
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Esercitazioni del 18/5/2009
• Esercizio 1
Supponete di avvertire un tuono 16.2 s dopo aver visto il fulmine che
lo ha generato. La velocità del suono è 343 m/s, mentre quella della
luce è 3 · 108 m/s. Quanto siete lontani dal fulmine?
• Esercizio 2
Un vaso cade da 20 m di altezza giù da un balcone in direzione di
un uomo alto 1.75 m, che sta in piedi su un marciapiede. A che
distanza dal marciapiede può arrivare il vaso prima che sia troppo tardi
gridare dal balcone un avvertimento che raggiunga l’uomo in tempo?
Si consideri che l’uomo ha bisogno di 0.3 s per reagire all’avvertimento.
• Esercizio 3
Due altoparlanti di un sistema stereofonico distano 2, 12 m ed emettono onde sonore che giungono con medesima ampiezza all’ascoltatore
posto di fronte ad uno dei due altoparlanti alla distanza di 3.75 m da
esso. Si determini per quale valore della frequenza udibile (20 − 20000
Hz) il segnale avrà ampiezza (a) minima e (b) massima.
• Esercizio 4 (facoltativo)
Deboli rumori di fondo provenienti da una stanza creano un’onda
stazionaria fondamentale in un tubo di cartone di lunghezza L = 67
cm con due estremità aperte. Supponete che la velocità del suono
nell’aria all’interno del tubo sia 343 m/s. (a) Quale frequenza udite
provenire dal tubo? (b) Che frequenza udite provenire dal tubo se
premete un orecchio su una delle estremità?
• Esercizio 5
Un anello di ottone con diametro interno di 10 cm a T = 20◦ , viene
scaldato e fatto scorrere lungo un’asta di alluminio che ha un diametro
di 10.01 cm a T = 20◦ . Se i coefficienti di dilatazione lineare sono
costanti e pari a αO = 19 · 10−6 ◦ C −1 e αAl = 24 · 10−6 ◦ C −1 , (a)
a quale temperatura bisogna rafreddare il sistema per poter separare
i due oggetti? (b) Se il diametro dell’asta fosse di 10.02 cm, quale
sarebbe la temperatura richiesta? Sono temperature realizzabili?
1
• Esercizio 6
Un liquido con coefficiente di espansione volumica β = 10−3 ◦ C −1
riempie esattamente un bulbo sferico di volume Vi = 0.01 m3 alla
temperatura Ti . Il bulbo è costruito con un materiale di coefficiente
di dilatazione lineare α = 10−5 ◦ C −1 . Il liquido è libero di dilatarsi
nel capillare aperto di sezione A = 5 cm2 . Se la temperatura varia di
20◦ C, a che altezza salirà il liquido nel capillare?
• Esercizio 7
Un proiettile di piombo di 3 g a temperatura T = 30◦ C colpisce alla
velocità di 240 m/s un blocco di ghiaccio a T = 0◦ C, rimanendovi
conficcato. Quanto ghiaccio fonderà?
[cP b = 128 J/(kg ◦ C); Lgh = 3.33 · 105 J/kg]
• Esercizio 8
In un recipiente isolato aggiungo 250 g di ghiaccio a 0◦ C a 600 g
d’acqua a 18◦ C. Trovare la temperatura finale del sistema. Quanto
ghiaccio rimane dopo che l’equilibrio é stato raggiunto
[cH2 O = 4.186 J/(kg ◦ C); Lgh = 3.33 · 105 J/kg]
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Esercitazioni del 25/5/2009
• Esercizio 1
Una lastra di alluminio alla temperatura di 150◦ C viene immersa in
una vasca di dimensioni 1X2X0.5 m piena d’acqua a 20◦ C. Trascurando dispersioni termiche all’esterno, quale deve essere la massa della
lastra per provocare un aumento di temperatura dell’acqua di 1◦ C?
(cAl = 900 J/(kg ◦ C), cH2O = 4190 J/(kg ◦ C), ρH2O = 998 kg/m3 )
• Esercizio 2
Una barra d’oro è in contatto termico con una barra d’argento della
stessa sezione e lunghezza. L’estremità d’oro è mantenuta ad 80◦ C e
quella di argento a 30◦ C. Quando la propagazione dell’energia per conduzione raggiunge una situazione stazionaria, quale è la temperatura
nel punto di giunzione? [KAu = 314 W/m◦ C; KHg = 427 W/m◦ C]
• Esercizio 3
Una bolla daria di raggio R = 8 mm è inizialmente sul fondo di un
lago profondo 52 m, dove la temperatura 3◦ C. La bolla sale poi in
superficie, dove la temperatura è invece pari a 26◦ C. Supponendo che
la bolla sia sempre in equilibrio termico con lacqua che la circonda e
che laria possa essere trattata come un gas perfetto, calcolare il volume
della bolla quando arriva in superficie.
• Esercizio 4
La massa di un pallone aerostatico e del suo carico (escludendo l’aria
all’interno) è 200 kg. L’aria esterna ha una temperatura di T = 10◦ C
alla pressione di 101 kPa. Il volume del pallone è 400 m3 . A quale temperatura deve essere riscaldata l’aria nel pallone, affinchè esso possa
sollevarsi? [ρa = 1.25 kg/m3 a T = 10◦ C].
• Esercizio 5
Una mole di gas perfetto monoatomico si trova ad una temperatura
iniziale di 300 K. il gas subisce una trasformazione a volume costante
in cui riceve 500 J di energia sotto forma di calore. Subisce poi una
trasformazione isobara in cui rilascia la stessa quantità di energia sotto
forma di calore. Si determini: (a) la nuova temperatura del gas e (b)
il lavoro subito dal gas.
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• Esercizio 6
Quattro litri di un gas perfetto biatomico (γ = 1.4) racchiusi in un
cilindro subiscono una trasformazione ciclica. Inizialmente il gas si
trova ad 1 atm e 300 K. Come primo passo la pressione viene triplicata
a volume costante. in un secondo tempo il gas si espande adiabaticamente per tornare alla pressione iniziale. (a) Si tracci il diagramma
P − V per questo ciclo. (b) Si determini il volume del gas al termine
dell’espansione adiabatica. (c) Si trovi la temperatura del gas all’inizio
dell’espensione adiabatica. (d) Si trovi la temperatura del gas al termine del ciclo. (e) Quanto vale il lavoro complessivo compiuto dal gas
in questo ciclo?
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Esercitazioni del 27/5/2009
• Esercizio 1
Una certa quantità di gas perfetto descrive il ciclo mostrato in Figura
1. Da A a B la trasformazione è adiabatica, da B a C è isobara, con
100 kJ di energia assorbiti dal sistema sotto forma di calore. Da C a
D la trasformazione è isoterma ed infine da D ad A è isobara con 150
kJ di energia ceduta dal sistema sotto forma di calore. Si determini la
differenza di energia interna Eint,B − Eint,A .
Figura 1: Es. 1
• Esercizio 2
Una macchina termica di Carnot opera tra due sorgenti di temperatura
T1 = 850 K e T2 = 300 K. Ad ogni ciclo, che richiede 0.25 s di tempo
per essere completato, eroga 1200 J di lavoro. (a) Qual é il rendimento
del motore? (b) Qual é la potenza media del motore? (c) Quanto vale
il calore |Q1 | fornito dalla sorgente calda durante un ciclo? (d) Quanto
vale il calore |Q2 | ceduto alla sorgente fredda durante un ciclo?
• Esercizio 3
Una macchina reale che ha il 20% di rendimento viene utilizzata per
accelerare un treno da fermo fino a 5 m/s. Si sa che una macchina
ideale di Carnot che lavora fra le stesse temperature accelererebbe il
treno fino ad una velocità di 6.5 m/s usando la stessa quantità di
carburante. Facendo l’ipotesi che le macchine usino come sorgente
fredda aria a 300 K, si trovi la temperatura del vapore che serve da
sorgente calda.
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• Esercizio 4
Calcolare qual é il minimo lavoro necessario per congelare 10 kg di
acqua a 0◦ C e la temperatura ambiente di 27◦ C. [Lgh = 3.33 · 105
J/kg]
• Esercizio 5
Una pompa di calore è una macchina termica che lavora all’inverso:
estrae energia da una sorgente fredda e la cede ad una calda. Si faccia
l’ipotesi che il rapporto tra l’energia che entra nella stanza e il lavoro
fatto dal motore sia il 10% del rapporto massimo teorico. Si determini
l’energia entrante nella stanza per ogni Joule di lavoro fatto dal motore, quando la temperatura interna è 20◦ C e la temperatura esterna
è −5◦ C.
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Esercitazioni del 8/6/2009
• Esercizio 1
2.5 moli di un gas ideale si espandono reversibilmente ed isotermicamente alla temperatura di 360 K fino ad un volume doppio rispetto a
quello iniziale. Qual é l’aumento di entropia del gas?
• Esercizio 2
Si consideri una massa d’acqua m1 = 3 Kg alla temperatura di 12◦ C.
Essa viene mescolata in un recipiente isolato ad una massa m2 = 2 Kg
di acqua alla temperatura di 98◦ C. Calcolare la variazione di entropia
della miscela. [cacqua = 4186 J/(kg K)]
• Esercizio 3
Si calcoli la variazione di entropia per 600 g di ghiaccio a -20◦ C quando vengono trasformati in acqua a 40◦ C. [cacqua = 4186 J/(kg K);
cghiaccio = 2010 J/(kg K); Lf usione = 3.33 · 105 J/kg]
• Esercizio 4
Un ciclo di Carnot reversibile funziona tra le temperature T2 = 23◦ C
e T1 = 123◦ C. La variazione di entropia per l’isoterma a temperatura
maggiore é ∆S1 = 2.5 cal/K. Clacolare il rendimento del ciclo, il lavoro prodotto e la variazione di entropia dell’isoterma a temperatura
minore.
• Esercizio 5
Una mole di gas perfetto monoatomico subisce le seguenti trasformazioni: a) una trasformazione adiabatica irreversibile dallo stato iniziale con pressione P0 = 1 atm e volume V0 = 22.4 l, ad un certo stato
A. Una successiva compressione isobara reversibile fino ad uno stato
B caratterizzato da VB = VA /2; il lavoro compiuto dal gas in questa
trasformazione é L = 1500 J. Si calcoli il lavoro compiuto nella adiabatica irreversibile. b) Lo stato B é tale che con una trasformazione
adiabatica reversibile il gas torna nelle condizioni iniziali P0 , V0 . Si
calcoli la pressione, la temperatura e il volume negli stati A e B e la
variazione di entropia nella trasformazione adiabatica irreversibile.
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• Esercizio 6
Si calcoli la quantitá di vapore a Tv = 100◦ C che deve essere introdotta
in un contenitore termicamente isolato assieme a m = 150 g di ghiaccio
a Tg = 0◦ C, affinché si produca acqua nella fase liquida a Ta = 50◦ C.
Si calcoli la variazione di entropia dell’universo.
[calore latente di fusione dell’acqua Lf = 3.33 · 105 J/kg, calore latente
di vaporizzazione dell’acqua Lv = 2.26 · 106 J/Kg), calore specifico
dell’acqua ca = 4186 J/(kg K)]
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Esercitazioni del 12/6/2009
• Esercizio 1
Due sferette conduttrici A e B uguali sono sospese ad un punto O mediante due fili di lughenzza l = 12 cm. All’inizio si toccano. Portando su
ognuna una carica q le sferette si muovono e raggiungono la posizione
di equilibrio ad un angolo α = 60◦ tra loro. Date mA = mB = 2.3 g,
calcolare il valore di q.
• Esercizio 2
Due resistenze R1 = 100 Ω, R2 = 900 Ω sono connesse in parallelo e
il gruppo è collegato ad una batteria di forza elettromotrice f = 90
V. Dare la resistenza equivalente della combinazione, la corrente in
ogni resistenza e la differenza di potenziale ai capi di ogni resistenza.
Trascurare la resistenza interna della batteria.
• Esercizio 3
Nel circuito in figura si ha ∆V0 = 20 V, R1 = 20 kΩ, R2 = 40 kΩ,
R3 = 30 kΩ e R4 = 10 kΩ. Calcolare le tensioni e le correnti di tutti
gli elementi circuitali.
Figura 1: Es. 3
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• Esercizio 4
Dato il circuito mostrato in Figura 2 calcolare la differenza di tensione
∆V ai capi della resistenza R4 essendo f = 40 V, R1 = 500 Ω, R2 =
1000 Ω, R3 = 750 Ω e R4 = 250 Ω. (Suggerimento: risolvere con due
diversi metodi)
Figura 2: Es. 4
• Esercizio 5
Una barra d’oro è in contatto termico con una barra d’argento della
stessa sezione e lunghezza. L’estremità d’oro è mantenuta ad 80◦ C e
quella di argento a 30◦ C. Quando la propagazione dell’energia per conduzione raggiunge una situazione stazionaria, quale è la temperatura
nel punto di giunzione? [KAu = 314 W/m◦ C; KHg = 427 W/m◦ C]
(suggerimento: risolvere come circuito termico)
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Esercitazioni del 22/6/2009
• Esercizio 1
Un raggio di luce nel vuoto incide su una lastra di vetro. Nel vuoto
il raggio incidente forma un angolo di 32◦ con la normale alla superficie, mentre nel vetro l’angolo rifratto é inclinato di 21◦ rispetto alla
normale. Si trovi l’indice di rifrazione del vetro.
• Esercizio 2
In Figura 1 un raggio di luce incide con un angolo θ1 = 40.1◦ su un’interfaccia tra due materiali trasparenti. Una parte della luce viene riflessa e fuoriesce in aria, mentre l’altra parte viene rifratta e attraversa
altri tre strati trasparenti. Calcolare gli angoli θ5 e θ4 .
Figura 1: Es. 2
• Esercizio 3
Uno specchio concavo ha un raggio di curvatura di 20 cm. Si trovino
le posizioni delle immagini quando gli oggetti sono distanti (a) 40 cm,
(b) 20 cm e (c) 10 cm. Per ogni caso si stabilisca se l’immagine é reale
o virtuale, se é dritta o capovolta e si determini l’ingrandimento.
• Esercizio 4
Una lente convergente ha una distanza focale di 20 cm. Si trovi la
posizione dell’immagine di un oggetto che dista dalla lente (a) 40 cm,
(b) 20 cm e (c) 10 cm. Per ciascun caso si dica se l’immagine é reale
o virtuale, se é dritta o capovolta e si determini l’ingrandimento.
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