V - Polo territoriale di Cremona

POLITECNICO DI MILANO
CENTRO PER LO SVILUPPO DEL POLO DI CREMONA
Corso di Laurea Ingegneria INFORMATICA
LABORATORIO DI FONDAMENTI DI ELETTRONICA
2° Anno --- 2° Semestre
Esercitazione n° 2
Si consideri il multivibratore astabile, od oscillatore ad onda quadra, realizzato con amplificatore
operazionale LM358 in configurazione a trigger di Schmitt invertente, come mostrato in figura 5
Il segnale di riferimento Vr è realizzato mediante partitore compensato che, in base allo specifico
dimensionamento proposto, fornisce il valore Vr = VCC/2. (figura 6).
Sapendo che:
VCC = 15 V, Rf = Rr =100 KΩ
Ω, R = 50 KΩ
Ω, Rgn1 = 1 KΩ
Ω, Rgn2 = 1 KΩ
Ω, C = 10 nF, Cgn1 = 33 µF,
Cgn2 = 33 µF, Vr = VCC/2,
si desidera determinare analiticamente e verificare sperimentalmente:
• il valore della tensione di soglia inferiore vti;
• il valore della tensione di soglia superiore vts;
• il valore della frequenza di oscillazione fO del multivibratore astabile;
• l’andamento temporale delle grandezze caratteristiche vO(t), vC(t) e V+(t).
Si proceda, inoltre, alla verifica della congruenza dei dati ottenuti mediante la simulazione ottenuta
col software applicativo PSPICE.
+VCC
R
(figura - 5)
C
V−
Cgn1
+Vcc
−
Vo
+
V
Vr
Rgn1
Vr=Vcc/2
400
200
100
200
300
+
Cgn2
Rgn2
Rr
500
Rf
(figura 6)
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
VO
+VCC
+VCC
V1
+
V2
VO
AOL
Vd
Vd
−
−VCC
−VCC
Vd = V1 – V2
VO = AOL·Vd = AOL·(V1 – V2)
Modello equivalente di Thévenin
di un Amplificatore Operazionale
in configurazione a catena aperta
V1
RO
Vd
VO
Ri
AOL·Vd
V2
Parametri degli Amplificatori Operazionali
Ideali
Reali
Resistenza di ingresso Ri
Ri → ∞
Ri > 1 MΩ
Ω
Resistenza di uscita RO
RO = 0
RO < 100 Ω
AOL → ∞
AOL > 60.000
C.M.R.R. → ∞
C.M.R.R. > 30.000
BW → ∞
BW < 100 MHz
Guadagno di tensione ad anello aperto AOL
Rapporto di Reiezione di Modo Comune CMRR
Larghezza di Banda o Banda Passante BW
AMPLIFICATORE DI TENSIONE AD OPERAZIONALE
CONFIGURAZIONE INVERTENTE
Rf
If
VS
I1
Vd = 0
+VCC
V+ = V−= 0
−
R1
AOL
Vd
VO
I1 = If
+
VO = −
−VCC
If
R1
I1
Rf
R1
⋅ VS
Rf
−
RO
VS
Vd
Ri
AOL·Vd
VO
+
Ri = ∞
RO = 0
AOL = ∞
AMPLIFICATORE DI TENSIONE AD OPERAZIONALE
CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE
Rf
Vd = 0
If
+VCC
I1
R1
V+ = V− = VS
−
AOL
Vd
VO
I1 = If
+
VS
VO = (1 +
−VCC
If
R1
I1
Rf
R1
) ⋅ VS
Rf
−
RO
Vd
Ri
AOL·Vd
VO
+
VS
Ri = ∞
RO = 0
AOL = ∞
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
CONFIGURAZIONE COMPARATORE NON INVERTENTE
Comparatore: dispositivo che confronta la tensione VS applicata all’ingresso con una tensione di
riferimento VR; la sua uscita indica se VS è maggiore o minore di VR; se la tensione di riferimento è
VR = 0V prende anche il nome di rivelatore di zero “zero level detector”, altrimenti, quando VR ≠ 0,
è detto rivelatore di livello “level detector”.
+VCC
+
RS
VO
AOL
Vd
Vd = VS – VR
VO = AOL·Vd = AOL·(VS – VR)
−
VS
VR
VO = +VCC se:
VO = −VCC se:
−VCC
VS > VR
VS < VR
VS
VR
t
VO
+VCC
t
−VCC
VO
Transcaratteristica
+VCC
VO = ƒ(VS)
VR
−VCC
del
VS
RIVELATORE
DI LIVELLO
1. TRIGGER DI SCHMITT INVERTENTE
L’amplificatore operazionale viene “reazionato positivamente” tramite le resistenze Rf ed Rr, il
segnale vs viene applicato al morsetto invertente tramite una resistenza Rin mentre la tensione di
riferimento Vr viene applicata alla resistenza Rr.
Rin
Vs
Vo
−
V
V+
Vr
Rr
−
+Vcc
VOH
Vo
Vti
+
−Vcc
Rf
Vs
Vts
Vr
VOL
La tensione V+ al morsetto non invertente, dato che l’operazionale non assorbe corrente, può essere
determinata col principio di sovrapposizione degli effetti facendo agire separatamente, dapprima il
segnale Vr e successivamente il segnale Vo. Si perviene, così, alla relazione seguente:
V÷ =
Rf
Rr
vo +
Vr
R f + Rr
R f + Rr
Se si suppone, come ipotesi iniziale, che la tensione del segnale vs sia minore della tensione V+ al
morsetto non invertente, la tensione differenziale vd = (V+ − V−) sarà positiva, sicché la tensione
d’uscita risulta vo = VOH = +Vcc, nel caso di amplificatore operazionale ideale.
Se ora il segnale vs aumenta, la commutazione dell’uscita da stato alto VOH a stato basso VOL si
avrà quando vs = V+ e cioè per la tensione di soglia superiore vts, così determinata:
Vts =
Rf
RrVOH + R f Vr
Rr
vOH +
Vr =
R f + Rr
R f + Rr
R f + Rr
In tale caso la tensione di uscita diventa vo = VOL = −Vcc e tale si mantiene per un ulteriore aumento
del segnale vs. Quando il segnale decresce, la commutazione dell’uscita dal livello basso al livello
alto si avrà ancora per vs = V+ e quindi per la tensione di soglia inferiore vti, così definita:
Vti =
Rf
RrVOL + R f Vr
Rr
vOL +
Vr =
R f + Rr
R f + Rr
R f + Rr
In tale caso la tensione di uscita diviene vo = VOH e tale si mantiene per una ulteriore diminuzione
del segnale vs.
La tensione di isteresi Vh risulta:
Vh = (Vts − Vti ) = (VOH − VOL )
Rr
R f + Rr
ed è indipendente dalla tensione di riferimento Vr, che definisce solamente il centro del ciclo di
isteresi. Normalmente la tensione Vh di isteresi è molto più piccola della tensione di uscita è ciò
può essere ottenuto quando Rr << Rf: in tale caso, in prima approssimazione risulta:
Vh = (Vts − Vti ) ≅ (VOH − VOL )
Rr
Rf
2. MULTIVIBRATORE ASTABILE
Il multivibratore astabile, ovvero ad oscillazione libera, è un circuito che presenta una uscita che
commuta tra due stati quasi stabili in maniera ripetitiva e con una frequenza che dipende dai
parametri del circuito.
La realizzazione circuitale che impiega un
R
trigger di Schmitt nella configurazione
(figura - 2)
invertente, comporta la presenza di una
reazione negativa attuata tramite il filtro
C
+Vcc
V−
passa basso RC, che fornisce la tensione al
−
morsetto invertente V− “integrando” la
Vo
tensione d’uscita Vo, nonché una reazione
V+
positiva espressa tramite il partitore Rf, Rr
+
Vr
che determina, contestualmente al segnale
Rr
−Vcc
di riferimento Vr, la tensione di soglia al
morsetto non invertente. Con riferimento
alla figura 2, risulta poi ovvia la seguente
Rf
relazione:
V÷ =
Rf
Rr
vo +
Vr
R f + Rr
R f + Rr
Definito il parametro β tramite la posizione:
β = Rr ( R f + Rr )
la tensione di soglia al morsetto non invertente resta definita dalla seguente relazione:
V + = β ⋅ vo + (1 − β )Vr
che consente di determinare la tensione di soglia superiore vts e la tensione di soglia inferiore vti
tramite, rispettivamente, le scritture:
vts = vOH β + (1 − β )Vr
e v ti = vOL β + (1 + β )Vr
(1)
Si osservi che la configurazione dell’astabile mostrata in figura 2 utilizza un amplificatore
operazione ad alimentazione duale (+Vcc, −Vcc); in tale circostanza, e nell’ipotesi di amplificatore
ideale, deve considerarsi vOH = +Vsat = +Vcc e vOL = -Vsat = -Vcc. In realtà negli amplificatori reali
la tensione vO, con l’uscita in saturazione, risulta assumere valori inferiori all’alimentazione: di
solito con alimentazione duale ±Vcc = ±15V si ottiene ±Vsat = ±13.5V.
Supponiamo, come ipotesi iniziale, che la tensione in uscita sia vOL e che il condensatore C tenda a
portarsi a tale valore con costante di tempo τ = RC. Durante questo transitorio la tensione del
condensatore raggiunge il valore vc(t) = vti = βvOL + (1-β
β)Vr e tende poi a diminuire sicché la
+
−
tensione differenziale vd = (V - V ) tende a divenire positiva per cui l’uscita vo commuterà dallo
stato basso vOL allo stato alto vOH.
In tale istante consideriamo l’origine per lo studio temporale del funzionamento del dispositivo.
L’uscita è ora a vOH, il condensatore tende a caricarsi a tale valore partendo dalla tensione di pre
carica vc(0) = vti; il fenomeno è gestito dall’equazione:
−t τ
−t τ
vc (t ) = v f + (vi − v f )e
⇒ vc (t ) = vOH + (vti − vOH )e
Tuttavia, non appena vc(t) raggiunge il valore vts, e tende a superarlo, risulta vd<0 e quindi il trigger
commuta l’uscita dal valore vOH al vOL ed il condensatore inizierà una nuova fase di carica gestita
dalla tensione vOL.
La durata della condizione vO = vOH, cioè il periodo T1 dello stato metastabile vO = vOH, è fornito
dalla relazione:
vc (T1 ) = vts = vOH + (vti − vOH )e −T1
CR
⇒ e −T1
CR
=
(vts − vOH )
(vti − vOH )
Il valore del periodo T1 è pertanto:
T1 = CR log e
(vti − vOH )
v β + (1 − β )Vr − vOH
= CR log e ( OL
)
vOH β + (1 − β )Vr − vOH
(vts − vOH )
(2)
All’istante t = T1, come già asserito, l’uscita vO dell’astabile commuta a vOL ed il condensatore C si
dovrà caricare al nuovo valore vOL con la stessa costante di tempo τ = CR. La legge, considerando
l’origine degli assi traslata in T1, è espressa dalla scrittura:
vc (t ) = vOL + (vts − vOL )e − t CR
Il persistere della condizione vO = vOL, cioè il periodo T2, è fornito dalla relazione:
vc (T2 ) = vti = vOL + (vts − vOL )e −T2
CR
⇒ e − T2
CR
=
vti − vOL
vts − vOL
Il valore del periodo T2 è pertanto:
T2 = CR log e
(vts − vOL )
v β + (1 − β )Vr − vOL
= CR log e ( OH
)
(vti − vOL )
vOL β + (1 − β )Vr − vOL
(3)
È evidente che all’istante T2 si raggiungono le condizioni che si avevano all’istante t=0 e, pertanto,
il processo si ripeterà con periodo TO definito, insieme alla relativa frequenza di oscillazione, dalle
posizioni seguenti:
TO = T1 + T2
⇒
fO =
1
1
=
T1 + T2 TO
( 4)
In figura 3 viene mostrato il grafico dell’andamento temporale della tensione vC(t) alle armature del
condensatore nel caso in cui sia nullo il segnale di riferimento Vr = 0 ed il multivibratore astabile
presenti alimentazione duale simmetrica vOL = − vOL. In tali ipotesi le tensioni di soglia inferiore
e superiore, considerando le (1), valgono rispettivamente:
vts = vOH β
vti = vOL β
(1a )
ed i periodi relativi allo stato alto e allo stato basso dell’uscita, tenuto conto delle relazioni (2) e
(3), sono forniti, rispettivamente, dalle scritture seguenti:
T1 = CR log e
vOL β − vOH
(1 + β )
R
= CR log e
= CR log e (1 + 2 r )
( β − 1)vOH
(1 − β )
Rf
( 2a )
T2 = CR log e
vOH β − vOL
R
(1 + β )
= CR log e
= CR log e (1 + 2 r )
( β − 1)vOL
(1 − β )
Rf
(3a )
Sempre nel caso di Vr = 0 e di alimentazione duale simmetrica vOH = - vOL, il periodo TO,ovvero
la frequenza delle oscillazioni fO, sono forniti dalle relazioni seguenti:
TO = T1 + T2 = CR log e (1 + 2
Rr
R
R
) + CR log e (1 + 2 r ) = 2CR log e (1 + 2 r )
Rf
Rf
Rf
fO = 1/ TO
vc
vOH
Grafico della tensione
VC(t) del condensatore
nel caso in cui sia:
Vts
Vc(t)
Vr = 0
t
vOH = − vOL
(figura – 3)
Vti
t=0
vOL
t=T1
t=T2
La figura 4 mostra, sempre nel caso di Vr = 0 e di alimentazione duale simmetrica vOH = - vOL, lo
andamento temporale della tensione di uscita vO(t) e della tensione al morsetto non invertente V+(t).
Si può inoltre constatare che T1 = T2 e che, pertanto, l’oscillazione presenta un duty cycle del 50%,
infatti risulta:
Rr
)
Rf
T1
1
DC % = 100 =
100 = 100 = 50%
R
TO
2
2 ⋅ CR log e (1 + 2 r )
Rf
CR log e (1 + 2
vO
VO(t)
vOH
Vts
t
V+(t)
Vti
t=0
vOL
t=T1
T1
t’=0
t’=T2
T2
TO
VO(t)
Andamento temporale
della tensione di uscita
vO(t) del multivibratore
astabile e della tensione
V+(t) al morsetto non
invertente del trigger di
Schmitt.
Si osservi che quando si
ha vO(t) = vOH allora la
tensione V+(t) = vts, se
invece vO(t) = vOL allora
V+(t) = vti
(figura – 4)
Si osservi che la configurazione dell’astabile mostrata in figura 5 utilizza un amplificatore
operazione ad alimentazione singola +Vcc; in tale circostanza, e nell’ipotesi di amplificatore ideale,
deve considerarsi vOH = +Vsat = +Vcc e vOL = -Vsat = 0. In realtà negli amplificatori reali la tensione
vO, con l’uscita in stato di saturazione, risulta assumere valori inferiori all’alimentazione: di solito
con alimentazione duale ±Vcc = ±15V si ottiene ±Vsat = ±13.5V, mentre nel caso di alimentazione
singola positiva +Vcc = +15V si ottiene +Vsat = +13.5V e –Vsat = 0V.
a) determinazione delle tensioni di soglia.
Il parametro β assume il valore:
β = Rr ( R f + Rr ) = 100 (100 + 100) = 0,5
La tensione di soglia superiore vts e la tensione di soglia inferiore vti al morsetto non invertente,
tenuto conto che nel nostro caso risulta vOL = 0 V e vOH = +Vsat = +13,5 V, restano determinate
dalle seguenti relazioni:
VCC
= 13,5 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 7,5 = 10,5V
2
V
vti = vOL β + (1 − β )Vr = vOL β + (1 − β ) CC = 0 + (1 − 0,5) ⋅ 7,5 = 3,75V
2
vts = vOH β + (1 − β )Vr = vOH β + (1 − β )
Le durate dello stato alto T1 e dello stato basso T2 del multivibratore astabile sono determinate,
rispettivamente, dalle scritture seguenti:
T1 = CR log e (
vti − vOH
3,75 − 13,5
) = 10 ⋅ 10 − 9 ⋅ 50 ⋅ 103 log e (
) = 589,33µs
vts − vOH
10,5 − 13,5
T2 = CR log e (
vts − vOL
10,5
) = 10 ⋅ 10 − 9 ⋅ 50 ⋅ 103 log e (
) = 514,81µs
vti − vOL
3,75
Il periodo TO di oscillazione è fornito dalla relazione seguente:
TO = T1 + T2 = 589,33 + 514,81 = 1104,14 µs = 1,1ms
a cui corrisponde una frequenza di oscillazione pari a:
f O = 1 TO = 1 (1,1 ⋅10 − 3 ) = 905Hz
Il Duty cycle è di poco superiore al 50%; infatti si ottiene:
DC % =
T1
589,33
⋅ 100 =
⋅ 100 = 53,37%
TO
1104,14
Si ritiene utile ricordare che la resistenza R che realizza la reazione negativa ed il condensatore C
definiscono un filtro passa basso secondo lo schema mostrato nella figura 7.
L’andamento temporale della tensione vC(t) alle armature del condensatore è definito dalla legge
generale della carica del condensatore
300
dal valore iniziale Vi al valore finale
400
R
Vf con costante di tempo τ = CRth, in
cui Rth rappresenta la “resistenza
VO(t)
VC(t)
equivalente di Thévenin” vista dal
C
condensatore stesso.
La legge è espressa dalla relazione:
−t τ
vc (t ) = V f + (Vi − V f )e
(figura – 7)
LISTATO SPICE
SIMULAZIONE MULTIVIBRATORE ASTABILE
A TRIGGER DI SCHMITT
OPERAZIONALE LM358
* Oscillatore a trigger di Schmitt
* Multivibratore Astabile con LM358
.width out=80
.options limpts=10000
.print tran v(300) v(400)
.tran 5u 10m 0 5u uic
.probe
Vcc
Rgn1
Rgn2
Cgn1
Cgn2
100
100
200
100
200
0
200
0
200
0
15V
1k
1k
33uF
33uF
x1
Rf
Rr
R
C
500
300
500
300
400
400
500
200
400
0
100
100k
100k
50k
10nF
0
300
200
LM358
CI=0V
* LM358 OPERATIONAL AMPLIFIER "MACROMODEL" SUBCIRCUIT
* CREATED USING PARTS RELEASE 4.01 ON 09/08/89 AT 10:54
* (REV N/A)
SUPPLY VOLTAGE: +/-5V
* CONNECTIONS:
NON-INVERTING INPUT
*
| INVERTING INPUT
*
| | POSITIVE POWER SUPPLY
*
| | | NEGATIVE POWER SUPPLY
*
| | | | OUTPUT
*
| | | | | GROUND
*
| | | | | |
.SUBCKT LM358
1 2 3 4 5 33
C1
11 12 5.544E-12
C2
6 7 20.00E-12
DC
5 53 DX
DE
54 5 DX
DLP 90 91 DX
DLN 92 90 DX
DP
4 3 DX
EGND 99 33 POLY(2) (3,0) (4,0) 0 .5 .5
FB
7 99 POLY(5) VB VC VE VLP VLN 0 15.91E6 -20E6 20E6 20E6 -20E6
GA
6 33 11 12 125.7E-6
GCM 33 6 10 99 7.067E-9
IEE
3 10 DC 10.04E-6
HLIM 90 33 VLIM 1K
Q1
11 2 13 QX
Q2
12 1 14 QX
R2
6 9 100.0E3
RC1
4 11 7.957E3
RC2
4 12 7.957E3
RE1 13 10 2.773E3
RE2 14 10 2.773E3
REE 10 99 19.92E6
RO1
8 5 50
RO2
7 99 50
RP
3 4 30.31E3
VB
9 33 DC 0
VC 3 53 DC 2.100
VE
54 4 DC .6
VLIM 7 8 DC 0
VLP 91 33 DC 40
VLN 33 92 DC 40
.MODEL DX D(IS=800.0E-18)
.MODEL QX PNP(IS=800.0E-18 BF=250)
.ENDS
.END
MULTIVRIBATORE ASTABILE AD OPERAZIONALE
FORMATORE D’ONDA QUADRA
CONFIGURAZIONE A TRIGGER DI SCHMITT INVERTENTE
DISPOSITIVO INTEGRATO LINEARE LM 358
Andamento della forma d’onda della tensione in uscita vO(t) → V(300)
Andamento della forma d’onda della tensione sul condensatore vC(t) → V(400)
Andamento della forma d’onda della tensione al morsetto invertente v+(t)
detta tensione di soglia inferiore vTI e tensione di soglia superiore vTS → V(500)
MULTIVRIBATORE ASTABILE AD OPERAZIONALE
FORMATORE D’ONDA QUADRA
CONFIGURAZIONE A TRIGGER DI SCHMITT INVERTENTE
DISPOSITIVO INTEGRATO LINEARE LM 358
Forme d’onda caratteristiche rilevate con Oscilloscopio Virtuale Lab View 6.0
Andamento della forma d’onda della tensione in uscita vO(t) → V(300)
Andamento della forma d’onda della tensione sul condensatore vC(t) → V(400)
Forme d’onda caratteristiche rilevate mediante simulazione PSPICE - eval.8.1
Andamento della forma d’onda della tensione in uscita vO(t) → V(300)
Andamento della forma d’onda della tensione sul condensatore vC(t) → V(400)
Andamento della forma d’onda della tensione al morsetto non invertente v+(t)
detta tensione di soglia inferiore vTI e tensione di soglia superiore vTS → V(500)