I triangoli qualunque
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I TRIANGOLI QUALUNQUE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 1. IL TEOREMA DEI SENI TEOREMA In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 1. IL TEOREMA DEI SENI DIMOSTRAZIONE Consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC. Chiamiamo r il suo raggio. Al lato a e all’angolo alla circonferenza a si applica il teorema della corda che afferma: a = 2r sen a , da cui . Lo stesso risultato si applica a tutti i lati del triangolo: . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 2. IL TEOREMA DEL COSENO TEOREMA In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati della misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto della misura di questi due lati per il coseno dell’angolo compreso fra essi. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 2. IL TEOREMA DEL COSENO Il teorema di Pitagora generalizzato Il teorema del coseno è detto anche teorema di Pitagora generalizzato perché, se a = 90o, il triangolo ABC è rettangolo in A e l’enunciato a2 = b2 + c2 – 2bc cos a si riduce all’enunciato del teorema di Pitagora: a2 = b2 + c 2 . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio Area di un poligono Il calcolo dell’area di un poligono può sempre essere ricondotto al calcolo dell’area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali uscenti da un vertice. La misura dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso. 1 S ab sin 2 Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE ESEMPIO Sono noti un lato e due angoli Risolviamo questo triangolo. Conoscendo c, a e , determiniamo gli altri elementi. = 180o – (40o + 60o) = 80o . = 180o – (a + ) . Per il teorema dei seni: , e anche: . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Sono noti due lati e l’angolo compreso ESEMPIO Risolviamo questo triangolo. . Conoscendo b, c e a, determiniamo gli altri elementi. Per il teorema del coseno: Inoltre, dalla relazione e dallo stesso teorema, ricavando cos dall’espressione per b: ricaviamo e E infine: Si ricava con la funzione arcocoseno e infine: = 180o – (a + ) . Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Sono noti i tre lati ESEMPIO Risolviamo questo triangolo. Conoscendo a, b e c, determiniamo gli altri elementi. Dal teorema del coseno Applicando il teorema del coseno: , Da cui, con la funzione arcocoseno, si ricavano a e e, infine: = 180o – (a + ) . Copyright © 2011 Zanichelli editore da cui , Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio e infine: LA TRIGONOMETRIA 4. ESERCIZI: IL TEOREMA DEI SENI Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 5. ESERCIZI: IL TEOREMA DEL COSENO Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 6. ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 6. ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA TRIGONOMETRIA 6. ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
