I TRIANGOLI
QUALUNQUE
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LA TRIGONOMETRIA
1. IL TEOREMA DEI SENI
TEOREMA
In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli
opposti.
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1. IL TEOREMA DEI SENI
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo la circonferenza circoscritta al
triangolo ABC. Chiamiamo r il suo raggio.
Al lato a e all’angolo alla circonferenza a si
applica il teorema della corda che afferma:
a = 2r sen a ,
da cui
.
Lo stesso risultato si applica a tutti i lati del
triangolo:
.
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2. IL TEOREMA DEL COSENO
TEOREMA
In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei
quadrati della misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto della
misura di questi due lati per il coseno dell’angolo compreso fra essi.
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2. IL TEOREMA DEL COSENO
Il teorema di Pitagora generalizzato
Il teorema del coseno è detto anche
teorema di Pitagora generalizzato
perché, se a = 90o, il triangolo ABC è
rettangolo in A
e l’enunciato
a2 = b2 + c2 – 2bc cos a
si riduce all’enunciato del teorema di
Pitagora:
a2 = b2 + c 2 .
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Area di un poligono
Il calcolo dell’area di un poligono può sempre essere ricondotto al
calcolo dell’area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali
uscenti da un vertice.
La misura dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure
di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.
1
S ab sin
2
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3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
ESEMPIO
Sono noti un lato e due angoli
Risolviamo
questo
triangolo.
Conoscendo c, a e , determiniamo gli
altri elementi.
= 180o – (40o + 60o) = 80o .
= 180o – (a + ) .
Per il teorema dei seni:
,
e anche:
.
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3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
Sono noti due lati e l’angolo
compreso
ESEMPIO
Risolviamo
questo
triangolo.
.
Conoscendo b, c e a, determiniamo gli
altri elementi.
Per il teorema del coseno:
Inoltre, dalla relazione
e dallo stesso teorema, ricavando
cos dall’espressione per b:
ricaviamo
e
E infine:
Si ricava con la funzione arcocoseno
e infine:
= 180o – (a + ) .
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3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
Sono noti i tre lati
ESEMPIO
Risolviamo
questo
triangolo.
Conoscendo a, b e c, determiniamo gli
altri elementi.
Dal teorema del coseno
Applicando il teorema del coseno:
,
Da cui, con la funzione arcocoseno, si
ricavano a e e, infine:
= 180o – (a + ) .
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da cui
,
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e infine:
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4. ESERCIZI: IL TEOREMA DEI SENI
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5. ESERCIZI: IL TEOREMA DEL COSENO
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6. ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI
QUALUNQUE
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6. ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI
QUALUNQUE
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6. ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI
QUALUNQUE
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