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Elementi di Fisica - Vincenzo Monaco, Roberto Sacchi, Ada Solano
SOLUZIONI ESERCIZI CAPITOLO 2
Esercizio n.1
v = 4 m/s
Esercizio n.2
vm = 5,3 m/s
Δt = 7 minuti e 4 secondi
Esercizio n.3
Usiamo la seguente costruzione grafica:
fiume
10 km/h
barca
7 km/h
La velocità della barca rispetto alla riva è quindi la somma vettoriale delle due
velocità rappresentate. Usando il teorema di Pitagora si ottiene:
v = 10 2 + 7 2 km/h = 149 km/h = 12,2 km/h
v = 12,2 km/h
Esercizio n.4
⎡ h = 44,1m ⎤
⎢
Δt = 3 s⎥⎦
⎣
Esercizio n.5
Combinando le due leggi orarie del moto uniformemente accelerato
v = v0 + a⋅Δt
Δx = v0⋅Δt + ½ a⋅(Δt)2
dove la velocità iniziale è v0 = 0 e la velocità finale è v = 100 km/h = 27,8 m/s si
ha
Δt = v/a
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e pertanto
Δx = ½ v2/a = 0,5⋅(27,8 m/s)2/(2 m/s2) = 386 m
Δx = 386 m
Esercizio n.6
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
f = 100 Hz
⎤
⎥
T = 10 s = 10 ms ⎥
⎥⎦
v = 126 m/s
-2
Esercizio n.7
Il moto della estremità delle lancette dell’orologio è circolare uniforme con
velocità angolare
ω = 2π/T
dove T rappresenta il periodo (12 h e 1 h rispettivamente per la lancetta delle
ore e per quella dei minuti). Detta R la lunghezza delle lancette, la velocità sarà
v = ω⋅R
Si ottiene per la lancetta delle ore
ω = 2π/T = 2π/(12h) = 2π/(43,2⋅103 s) = 0,145⋅10-3 rad/s
v = ω⋅R = (0,145⋅10-3 rad/s)⋅(50 cm) = 7,27⋅10-3 cm/s
e per la lancetta dei minuti
ω = 2π/T = 2π/(1h) = 2π/(3,6⋅103 s) = 1,75⋅10-3 rad/s
v = ω⋅R = (1,75⋅10-3 rad/s)⋅(80 cm) = 0,140 cm/s
⎡
⎢
⎣
v ore = 7,27 ⋅ 10 -3 cm/s ⎤
⎥
v min = 0,140 cm/s
⎦
Esercizio n.8
m = 280 mg
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Esercizio n.9
La forza peso che agisce sulla massa sospesa è
Fg = m·g = (30·10-3kg)·(9,81m/s2) = 0,294 N.
Affinchè la massa sia in equilibrio, la forza R dovuta
alla tensione delle due corde che sostengono la massa
deve essere uguale ed opposta ad Fg (vedi figura). Tale
forza R è la somma vettoriale delle tensioni FT delle
due corde.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
isoscele AOC si ottiene per i moduli delle forze
da cui
C
A
R
FT
FT
O
Fg
2FT2 = R2
FT = R / 2 = 0,208 N
F = 0,208 N
Esercizio n.10
R = 9,9 cm
Esercizio n.11
F = 392 N
Esercizio n.12
Nella leva in questione, la forza peso esercitata dal masso rappresenta la
resistenza della leva
FR = m·g = (450 kg)·(9,81 m/s2) = 4414,5 N
Utilizzando la condizione di equilibrio della leva, la forza motrice può essere
calcolata come segue:
Fm = Fr·br /bm = 490,5 N
dove br = 0,2m e bm = 1,8m. Il corrispondente momento meccanico risulta pari a
M = Fm·bm = 882,9 N·m
Il guadagno meccanico della leva è quindi:
G = Fr /Fm = 9
⎡
⎢
⎣
Fm = 490,5 N
⎤
⎥
M = 882,9 N ⋅ m⎦
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Esercizio n.13
Il fulcro è a 2/3 della lunghezza della leva: bm = 0,8 m e br = 0,4 m
Esercizio n.14
Perché la persona possa stare in equilibrio in punta di piedi, bisogna che i
momenti delle forze si equilibrino. Supponiamo che l’angolo fra la direzione del
piede ed il suolo sia piccolo; con questa approssimazione, il piede può essere
assimilato ad una leva di II genere con fulcro in corrispondenza del punto di
contatto del piede con il suolo, forza motrice FA data dal tendine di Achille e
forza resistente data dalla forza peso Fg.
La condizione di equilibrio sarà
FA⋅dr = Fg⋅ (dr − ds )
da cui si ha
FA =
Fg (d r − d s )
dr
Si osservi che la leva è sempre vantaggiosa, essendo FA sempre minore di Fg.
Il guadagno meccanico è
G=
Fg
FA
=
dr
(d r − d s )
ed è tanto maggiore quanto maggiore è la distanza ds (dr è anatomicamente
fissato), ovvero tanto più si avvicina la proiezione verticale del baricentro alla
punta dei piedi. Questo fatto può essere facilmente sperimentato provando a
sollevare i talloni spostando avanti ed indietro il baricentro del corpo.
Infine facciamo un esempio numerico: se dr = 19 cm; ds = 6 cm, e prendendo
Fg=800 N, si avrà:
13
N = 547 N
19
19
G=
= 1,46
13
FA = 800 ⋅
FA = 547 N
Esercizio n.15
L = 784 N
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Esercizio n.16
Sia che l’oggetto venga lanciato verso il basso, sia che esso venga lanciato
verso l’alto, il modulo della velocità con cui esso raggiunge il suolo è la
medesima. Infatti, per il principio di conservazione dell’energia meccanica
applicato al nostro esempio, si ha
1
1
mgh0 + mv 02 = mv f2
2
2
vf = 46,2 m/s
Come si può osservare, il modulo di vf non dipende dall’orientazione di v0. La
velocità |vf| può essere quindi ricavata come segue:
v f = 2g ⋅ h0 + v 02 = 46,2 m/s
vf = 46,2 m/s
Esercizio n.17
h = 20,4 m
Esercizio n.18
Il lavoro mecanico che l’atleta deve compiere per salire lungo la scala è dato dal
prodotto della forza che egli compie per sollevare il proprio corpo (contraria alla
forza peso, F=m·g) moltiplicata per lo spostamento complessivo (ovvero
l’altezza h della pertica):
L= m·g·h = (70kg)·(9,8m/s2)·(30m) = 2,058⋅104 J
La potenza meccanica sviluppata è data dal rapporto tra il lavoro meccanico ed
il tempo necessario per compierlo:
W = L/Δt = (20580J)/(60s) = 343 W
L = 2,058 ⋅ 10 4 J⎤
⎥
W = 343 W
⎦
⎡
⎢
⎣
Esercizio n.19
⎡
⎢
⎣
h =3m
⎤
v = 7,7 m/s ⎥⎦
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Esercizio n.20
Possiamo assimilare la corsa sul tapis roulant ad una corsa lungo una strada in
salita con pendenza di 10o.
Il lavoro meccanico L che compie l’atleta è dato dalla somma del lavoro
necessario a sollevare il baricentro del proprio corpo durante la salita, a
muovere le gambe, a spostare ciclicamente il baricentro del corpo da una
gamba all’altra nonché a compiere piccoli salti durante la corsa. Gli ultimi tre
termini sono difficilmente quantificabili. Valutiamo invece il primo contributo.
La potenza meccanica W è per definizione
r r
r
L F ⋅ Δs r Δs r r
W =
=
=F⋅
= F ⋅v
Δt
Δt
Δt
r
dove F è la forza che l’atleta esercita con le gambe durante l’ascesa (che è di
r
intensità pari al proprio peso) e v la velocità con cui compie la salita. Si ha
F = m⋅g = (80 kg)⋅(9,8 m/s2) = 784 N
r
r
L’angolo tra F e v è di 90o-10o; e si ha pertanto
r r
W = F ⋅ v = (784 N)⋅(8 km/h)⋅cos 80o = (784 N)⋅(2,22 m/s)⋅0,174 = 303W
W = 303 W
6
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