Serie 28: Elettrodinamica III

FAM
Serie 28: Elettrodinamica III
C. Ferrari
Esercizio 1 Flusso del campo elettrico
Considera la superficie chiusa (= superficie gaussiana) S di un cubo di lato a illustrato qui sotto t che si trova immersa in un campo elettrico parallelo all’asse
x.
z
a
a
a
y
x
Determina il flusso del campo elettrico attraverso la superficie e la carica totale al
suo interno se il campo elettrico è:
1. uniforme Ex = C, con C una costante positiva;
2. della forma Ex = Cx, con C una costante positiva.
Esercizio 2 Teorema di Gauss
In questo esercizio si utilizza il teorema di Gauss per determinare il campo elettrico
in situazioni particolari che possiedono una simmetria, i casi trattati sono ideali, ma
il risultato ottenuto e valido anche in situazioni reali eccetto gli effetti di bordo.
1. Determina il campo elettrico generato da una distribuzione di carica superficiale su di un piano infinitamente grande (sia σ la densità superficiale di
carica). Fai un disegno della situazione.
2. Determina il campo elettrico tra due piani infinitamente grandi, l’uno con una
densità di carica +σ, l’atro con densità di carica −σ (si suppone che i piani
siamo materiali isolati). Fai un disegno della situazione. (Questa configurazione
è quella utilizzata nell’esperimento di Millikan in cui i due piani chiaramente
non sono infinitamente grandi!)
3. Determina il campo elettrico generato da una distribuzione di carica lineare
su di un filo infinitamente lungo (sia λ la densità lineare di carica). Fai un
disegno della situazione.
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4. Determina il grafico dell’andamento dell’intensità del campo elettrico in funzione del raggio r, per una sfera di raggio R carica elettricamente con una
carica netta q nei seguenti casi:
(a) la carica è ripartita uniformemente sulla superficie della sfera,
(b) la carica è ripartita uniformemente nella della sfera.
Verifica che una distribuzione uniforme a simmetria sferica in una
regione di raggio R si comporta per r > R come una carica puntuale
posta al centro della regione sferica.
Esercizio 3 Fulmini
La parte visibile di un fulmine è preceduta da una fase invisibile in cui una colonna
di elettroni si estende da una nuvola verso terra. Questi elettroni provengono dalla
nuvola e dalle molecole dell’aria ionizzate all’interno della colonna. La densità di
carica lineare lungo la colonna è tipicamente −1 · 10−3 C/m. Quando la colonna raggiunge la terra, gli elettroni contenuti in essa vengono scaricati rapidamente a terra.
Durante la scarica, le collisioni tra gli elettroni e l’aria della colonna danno luogo a
un lampo brillante di luce. Se le molecole dell’aria si spezzano (si ionizzano) quando
l’intensità di campo elettrico supera 3 · 106 N/C, qual è il raggio della colonna?
Indicazione: Fai le ipotesi necessaire per semplificare il problema in modo appropriato.
Esercizio 4 Cavi coassiali
Un cavo coassiale è costituito da un corpo cilindrico conduttore interno C1 ed un
corpo cilindrico conduttore esterno C2 (che non si trovano a contatto).
C2
C1
b
a
Sui due cilindri è presente una carica lineare di stessa intensità ma opposta di segno.
Utilizzando la legge di Gauss dimostra che

 1 λ
se a < r < b
E(r) = 2πε0 r
0
altrimenti; .
Applicazione numerica: a = 1,07 mm e b = 4,8 mm, λ = 5 · 10−6 C/m.
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Esercizio 5 Piano infinito
Nella figura qui sotto una piccola sfera di massa m∗ = 10−6 kg e carica 2,0 · 10−8 C
distribuita uniformemente, è appesa a un filo isolante e forma un’angolo θ = 30◦ con
un grande piatto isolante carico uniformemente. Considerando il peso della sfera e
assumendo che il piatto si estenda all’infinito in tutte le direzioni, si determini la
densità di carica superficiale σ sul piatto.
σ>0
θ
m, q
Esercizio 6 Circuitazione di E~
1. Calcola la circuitazione del campo elettrico creato da una distribuzione di carica filiforme infinitamente lunga. Scegli come curva C un cerchio che contorna
il filo concentrico con esso.
~ per i due cammini indicati nelle figure (a) e (b) seguenti in
2. Calcola ΓA→B (E)
cui il campo elettrico è uniforme. Commenta.
A
A
C
45◦
d
~
E
~
E
B
B
(b)
(a)
3. Determina il potenziale elettrostatico associato al campo elettrico del punto
2.
4. Nell’esperimento di Millikan un campo elettrico di intensità 1,92 · 105 N/C
viene instaurato tra due piatti posti ad una distanza di 1,50 cm. Determina la
differenza di potenziale tra i due piatti.
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Esercizio 7 Alcuni potenziali elettrostatici
1. Determina il campo elettrico associato ai seguenti potenziali elettrostatici
~ = −grad ϕ.
utilizzando E
~ · ~x,
(a) ϕ(~x) = −E
Indicazione: In coordinate cartesiane (x, y, z) l’operatore differenziale gradiente si scrive


∂f
 ∂x 
 ∂f  ∂f
∂f
∂f

grad f ≡ ∇f = 
 ∂y  = ∂x ~ex + ∂y ~ey + ∂z ~ez .


∂f
∂z
q
(b) ϕ(~x) = k r , r = k~xk,
Indicazione: In questo caso il potenziale dipende unicamente dalla distanza r dall’origine, questo potenziale è detto centrale e manifesta una
simmetria sferica, è quindi più appropriato utilizzare le coordinate sferiche
(r, θ, φ) invece delle coordinate cartesiane (x, y, z). L’operatore differenziale gradiente in coordinate sferiche possiede la seguente espressione


∂f
∂r
1 ∂f
r ∂θ
1 ∂f
r sin θ ∂φ


grad f ≡ ∇f = 



 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
=
 ∂r ~er + r ∂θ ~eθ + r sin θ ∂φ ~eφ .

2. Utilizzando il risultato del punto precedente dimostra che il potenziale dovuto
ad un dipolo elettrico p~ = q d~ nel punto P di coordinate polari (r, θ) posto ad
una distanza D ≫ d vale
ϕ(r, θ) =
1 p cos θ
4πε0 r 2
P
r−
r+
r
−q
θ
O
+q
d
4
3. La molecola di ammoniaca NH3 ha un momento dipolare elettrico permanente
pari a 1,47 D, dove D è l’unità debye del valore di 3,34 · 10−30 Cm. Determina il
potenziale elettrico associato ad una molecola di ammoniaca in un punto che
si trova a una distanza di 52,0 nm dal centro del dipolo sul suo asse.
4. Determina la componente radiale (secondo ~er ) e angolare (secondo ~eθ ) del campo elettrico associato al dipolo del punto precedente.
Indicazione: Utilizza l’espressione del gradiente in coordinate sferiche eliminando la componente secondo ~eφ .
Esercizio 8 Superfici equipotenziali
Il luogo dei punti nello spazio aventi lo stesso potenziale è chiamato superficie
equipotenziale, essa può essere sia reale sia immaginaria.
1. Disegna alcune superfici equipotenziali per il potenziale coulombiano
ϕ(~x) =
1 q,
4πε0 r
r = k~xk
~ = 1 q ~x, che rappresenta il campo elettrico
e verifica che il vettore E
4πε0 r 3
coulombiano, è perpendicolare alle superfici equipotenziali.
2. Stessa domanda per il potenziale
ϕ(~x) = −E(x + y) .
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