Esercizio 4 La massa della Luna `e ML = 7.348 · 10 22 kg, il suo

Cognome e nome
Matricola
Fisica Generale per Tecnologie dei Beni Culturali
Prova scritta
17 / 06 / 2014
Esercizio 4
La massa della Luna è ML = 7.348 · 1022 kg, il suo raggio è RL = 1737 km.
Quanto vale l’accelerazione di gravità gL alla superficie della Luna? Qual è il
rapporto g⊕ /gL , essendo g⊕ = 9.806 m/s2 l’accelerazione di gravità alla superficie
della Terra?
Gli astronauti, sulla Luna, con tuta spaziale e zaino, riuscivano a fare salti
alti fino a quasi 2 metri (hL = 2 m). A che altezza h⊕ gli stessi astronauti,
con la stessa dotazione e lo stesso sforzo, riuscirebbero a saltare sulla Terra?
(Suggerimento: il lavoro fatto dalle gambe dell’astronauta nello spingersi in alto è
sempre lo stesso. . . )
Soluzione
Una massa-sonda m0 alla superficie subisce una forza F0 =
il campo gravitazionale è gL =
Gm0 ML
, pertanto
2
RG
F0
GML
= 1.625 m/s2 . Il fattore rispetto alla
=
2
m0
RL
g⊕
= 6.03 — la gravità sulla Luna è circa 1/6 che sulla Terra.
gL
L’astronauta, di massa totale m, con le proprie gambe riesce a fare un lavoro
L = ∆Ug = mgL hL . Lo stesso lavoro, sulla Terra, darebbe L = ∆Ug = mg⊕ h⊕ .
gL
Si deduce che h⊕ = hL
= 0.332 m = 33.2 cm.
g⊕
gravità terrestre è
Ogni risultato va espresso sia come formula che come valore numerico, completo
di unità di misura. Se si usano simboli diversi da quelli che compaiono nei quesiti,
occorre definirli.
Esercizio 1
Un cannone, in mezzo a una pianura, spara un proiettile con velocità v0 = 90 m/s
ad un algolo α = 60◦ rispetto all’orizzontale. Quali sono le componenti orizzontale
e verticale della velocità iniziale (rispettivamente v0x , v0z )?
Dopo quanto tempo ∆t il proiettile cade al suolo? Che distanza orizzontale ∆x
ha percorso?
Soluzione
Le componenti della velocità sono v0x = v0 cos α = 45 m/s e v0z = v0 sin α =
77.94 m/s.
Per calcolare ∆t interessa la componente verticale del moto: l’accelerazione è
costante az = −g, pertanto la legge oraria è
g
z(t) = v0z t − t2
2
Il tempo ∆t si calcola imponendo z(∆t) = 0 e risolvendo per ∆t: a parte la
soluzione banale ∆t = 0, che corrisponde all’istante del lancio, l’altra soluzione è
2v0z
= 15.9 s.
∆t =
g
La componente orizzontale del moto non ha accelerazione, dunque si tratta di
moto uniforme: ∆x = v0x ∆t = 715 m.
Esercizio 2
Esercizio 3
Un martinetto idraulico è costituito da un serbatoio di liquido, con due stantuffi
cilindrici di sezioni Σ1 = 10 cm2 e Σ2 = 900 cm2 . Applicando una forza esterna
F1 = 50 N allo stantuffo di sezione Σ1 , qual è la variazione di pressione ∆P indotta
nel serbatoio? Qual è la forza F2 che lo stantuffo di sezione Σ2 riesce a produrre?
Un paracadutista di massa m = 90 kg (incluso tutto l’equipaggiamento) si
lancia da una quota di h0 = 5000 m, e quando apre il paracadute la sua velocità si
stabilizza a vlim = 35 m/s, con la quale scende fino a terra. Quali sono le forze che
agiscono sul paracadutista? Quali di queste sono conservative, e quali no? Qual
è il lavoro Lg fatto dalla forza gravitazionale, e il lavoro Lattr fatto dalla forza di
attrito?
Soluzione
F1
50 N
= 50 000 Pa. Per
=
Σ1
0.001 m2
la legge di Pascal, questa si propaga ovunque nel serbatoio, quindi anche alla
sezione Σ2 . Pertanto quest’ultima riesce a produrre una forza F2 = ∆P · Σ2 =
(5 · 104 Pa)(0.09 m2 ) = 4500 N.
La variazione di pressione è ∆P =
Soluzione
Le forze che agiscono sul paracadutista sono la forza di gravità (conservativa) e
quella di attrito (non conservativa).
Il lavoro fatto dalla forza di gravità si calcola come variazione negativa
dell’energia potenziale gravitazionale: Ug = mgh, quindi Lg = −∆Ug = Uginiziale −
Ugf inale = mgh0 = 4.413 · 106 J. Il lavoro totale delle forze deve essere pari alla
m 2
— all’inizio l’energia
variazione dell’energia cinetica: Lg + Lattr = ∆E = vlim
2
4
cinetica è nulla, alla fine è E = 5.513 · 10 J. Dunque il lavoro fatto dall’attrito è
m 2
Lattr = vlim
− Lg = −4.358 · 106 J.
2
Matricola
Cognome e nome
Fisica Generale per Tecnologie dei Beni Culturali
Prova scritta
17 / 06 / 2014
Esercizio 8
Un raggio ottico viene inviato dal vuoto in un dielettrico trasparente con angolo
di incidenza θinc = 15◦ , e viene rifratto con un angolo θrif = 10◦ . Quanto vale
l’indice di rifrazione n del dielettrico? Quanto vale la costante dielettrica relativa
r ?
Soluzione
L’indice di rifrazione si ricava dalla legge di Snell: n =
2
costante dielettrica relativa è r = n = 2.22.
sin θinc
= 1.490. La
sin θrif
Ogni risultato va espresso sia come formula che come valore numerico, completo
di unità di misura. Se si usano simboli diversi da quelli che compaiono nei quesiti,
occorre definirli.
Esercizio 5
Un elettrone (massa m = 9.11 · 10−31 kg, carica q = −e = −1.602 · 10−19 )
descrive una traiettoria circolare in un campo magnetico B = 2.5 T, ortogonale al
piano della traiettoria. Quanto tempo T impiega a compiere un giro completo? Il
raggio dell’orbita è ρ = 3.5 cm; quanto vale la sua quantità di moto p?
Soluzione
|q|B
= 4.396 ·
La frequenza angolar dell’orbita in un campo magnetico è ω =
m
2π
= 1.429·10−11 s = 14.29 ps.
1011 rad/s. Il tempo per compiere un’orbita è T =
ω
La quantità di moto vale p = qBρ = 1.402 · 10−20 kg m/s.
Esercizio 6
Esercizio 7
Una fionda elastica viene usata per lanciare un sasso di massa m = 100 g, con
una velocità v = 1.5 m/s. Qual è l’energia cinetica E del sasso? Prima del lancio,
la fionda era tesa con un allungamento ∆` = 10 cm: qual è la costante elastica k
della fionda? (Suggerimento: lavorare con l’energia elastica . . . ). Con quale forza
F si doveva tenere la fionda tesa?
Una radiazione elettromagnetica monocromatica piana nel vuoto ha un campo
elettrico che assume valore massimo Emax = 150 V/m. Quanto è il valore massimo
Bmax del campo magnetico?
Quanto vale l’intensità I della radiazione? Se esponiamo alla radiazione una
superficie Σ = 15 m2 , inclinata di θ = 35◦ rispetto alla perpendicolare alla
direzione della radiazione, quanta potenza W riceve?
Soluzione
m 2
v = 0.1125 J. L’energia cinetica è stata
2
k
fornita tutta dall’energia elastica della fionda, Uel = (∆`)2 , pertanto deve essere
2
2Uel
Uel = E. Ricaviamo k =
= 22.5 N/m. La forza per tenere tesa la fionda
(∆`)2
era F = k · ∆` = 2.25 N.
L’energia cinetica del sasso è E =
Soluzione
E
0 c 2
, pertanto Bmax = 5 · 10−7 T. L’intensità è I =
E
=
c
2 max
2
29.88 W/m . La potenza che la superficie riceve è W = I Σ cos θ = 367.1 W.
Nel vuoto B =