Carica elettrica Abbiamo già incontrato le cariche elettriche come

Carica elettrica
Abbiamo già incontrato le cariche elettriche come generatrici della
forza di Coulomb. In genere i corpi non presentano carica ed anche gli
atomi sono elettricamente neutri se non vengono perturbati dall’esterno.
La carica si misura in coulomb C. La carica elementare è multipla di
quella dell’elettrone (o del protone) e vale e=1.60207 10-19 C
(quantizzazione della carica), quindi data la piccolezza si può
ritenere variabile con continuità (approssimazione macroscopica).
In tutti i processi non si è mai osservata la creazione o sparizione di
cariche, vale perciò un principio di conservazione della carica analogo
a quello di conservazione della massa (massa-energia).
Se le cariche nei materiali possono muoversi liberamente, i materiali
vengono classificati come conduttori altrimenti vengono detti isolanti.
Buoni conduttori sono i metalli come rame, argento, oro.
Isolanti sono i materiali ceramici, in genere la plastica. Considereremo il
caso elettrostatico nel vuoto.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
1
Il campo elettrico E viene definito in base alle azioni su una carica detta
di prova q0. Se F è la forza in un punto su q0 allora il campo è
F
E=-------- (unità N/C od anche V/m)
q0
è da osservare che la carica di prova deve essere piccola per non
modificare con la sua presenza le altre cariche che generano il campo
(lim per q0 tendente a zero).
Dalla legge di Coulomb il campo generato nel punto P da una carica
puntiforme qA in A è
A
rAP
P
qA
rA
O
EA= k ---------- r^AP
rP
rAP2
k = 1/(4 πε0) = 8.99 109 Nm2/C2 con rAP=rP-rA
con ε0 = 8.85 10-12 C2/(Nm2) la costante dielettrica del vuoto
in presenza di materia ε0 viene cambiato in ε0 εr dove εr è la costante
dielettrica relativa del materiale, noi saremo sempre nel vuoto.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
2
Come nel caso delle linee di flusso del campo di velocità di
un fluido, il campo E è tangente in ogni punto alle linee di
forza del campo. Le linee di forza iniziano sulle cariche
positive (sorgenti) e terminano sulle cariche negative
(pozzi). Le linee di forza del campo elettrostatico sono perciò
linee aperte con inizio e fine. La densità di linee dà
un’indicazione della intensità del campo, quindi dove le linee
sono più vicine il campo risulta più elevato.
Qui sono mostrate due
cariche positive. Le
linee di forza danno
anche l’idea che esse si
respingano. Da
osservare che a grande
distanza le linee di
forza sono
indistinguibili
da quelle di una singola
carica positiva +2q
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
3
In presenza di più cariche, il campo è la somma (vettoriale) del campo
generato da ciascuna carica separatamente (principio di sovrapposizione)
Ad esempio calcoliamo il campo elettrico generato da due cariche di
segno opposto +q e -q a distanza d lungo la congiungente nel punto P
qA
qA
d
P
EP= k -------- -- k--------p
(z+d/2)2
(z-d/2)2
-q +q
z
se la distanza z>>d (origine a metà fra le cariche) espandiamo il denom.
1
1 d
1
1 -d
--------------- = ----(----)
--------------- = ----(----)
z2 z
z 2(1+d/2z) 2 z2 z
z 2(1-d/2z) 2
2
quindi detto qd=p (momento di) dipolo elettrico EP= k --- p
z3
(p è un vettore diretto da -q a +q)
quindi il campo va come l’inverso del cubo della distanza
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
4
Un dipolo in un campo elettrico uniforme risente di una forza uguale e
opposta sulle due cariche e quindi la risultante è nulla (*).
D’altra parte le due forze sono applicate in punti diversi e quindi può
essere non nullo il valore del momento torcente.
F
F=±qE ed il modulo del momento risulta
p
t= F (d/2) sin θ + F (d/2) sin θ=
+q
-F
F d sin θ=E qd sin θ= p E sin θ
θ
E
e in termini vettoriali
-q
t=p×E
p
Il lavoro fatto dal campo elettrico sul dipolo
per una rotazione è
θ
t
L= ∫ |p×E| dθ= ∫ p E sin θ dθ
⊗
E
l’energia potenziale è ΔU=-L=
e scegliendo θ =0 quando il dipolo è allineato col campo
U= - p E cos θ= - p•E
(*) Per avere una risultante non nulla occorre che il campo non sia
G. Bracco - Appunti di Fisica
5
uniforme.
Generale
Per n cariche E= E1+ E2 +….+ En
Se la carica è distribuita con continuità, la somma è sostituita da un
integrale e ogni carica puntiforme è data da dq=ρdV’ in modo analogo
a quanto fatto per le distribuzioni di massa, in questo caso ρ= densità
P
di carica (elettrica), perciò il campo nel punto P è
ρdV’ r-r’
r- r’
E(r)=∫dE= k ∫ ------- -----V’ |r-r’|2 |r-r’|
r
r’
l’integrale è esteso al volume V’ dove è
presente la carica però può essere esteso O
anche a una regione più grande dove
ρ=0 e non c’è contributo da questa regione.
Questo integrale in genere non è facile da risolvere anche perché
è vettoriale.
Esempi: calcolo del campo elettrico generato da un disco carico
lungo l’asse del disco
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
6
Termini multipolari
Un sistema di cariche (p.es.una molecola) può avere o meno una carica elettrica
netta (p.es. lo ione NO3-). In tal caso l’interazione elettrica con altri sistemi è
dovuta principalmente al termine monopolare (carica netta). Nel caso della
molecola d’acqua H2O, non si ha una carica netta ma il baricentro delle cariche
negative (verso l’O) non coincide con quello delle cariche positive (verso gli H), si
ha perciò un dipolo elettrico e il termine dipolare sarà il termine principale nelle
interazioni elettriche con altri sistemi.
La molecola di acqua è neutra Gli idrogeni (in
grigio) e l’ossigeno (rosso) formano un angolo di
circa 109° a causa dell’ibridizzazione tra gli orbitali
s e p dell’ossigeno. Le curve di isodensità
elettronica mostrano che la carica degli elettroni è
concentrata sull’ossigeno e risulta minore sugli
idrogeni. Da qui la nascita di un dipolo elettrico
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
7
In molecole lineari è anche possibile che ci siano due dipoli allineati ma in verso
opposto e quindi il dipolo totale è nullo come per la molecola di biossido di
carbonio O=C=O dove l’ossigeno più elettronegativo fa si che la carica negativa
sia concentrata su O e quella positiva su C. In tal caso si ha un termine di
quadrupolo come termine principale di interazione. Molecole più complesse, come
il trans-dicloro etilene ClHC=CHCl possono avere anche dipoli affiancati
antiparalleli e quindi il dipolo risultante è ancora nullo.
La forma isomerica (stessa formula bruta ma
configuarazione differente) del dicloro etilene: la I è il
cis-dicloro etilene mentre II è il trans-dicloro etilene
Molecole in cui ci sono due quadrupoli che
si annullano possono ancora avere un
termine di ottupolo come nel caso del
metano CH4.
Due ottupoli su una molecola possono
annullarsi e si ha un termine di
esadecapolo. Ovviamente tale processo
può continuare e una distribuzione di
cariche sarà approssimabile negli effetti da
un opportuno termine multipolare.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
8
Come abbiamo visto nel caso di un monopolo (carica) il campo elettrico generato
diminuisce con la distanza come 1/r2 e per un dipolo come 1/r3. Estendendo agli
altri termini multipolari la diminuzione sarà 1/rn, con n il termine multipolare.
Poiché il campo elettrico generato interagisce con l’altro sistema, più è alto
l’ordine multipolare dei due sistemi e più piccolo è l’effetto. Dal punto di vista
matematico, i termini multipolari si ottengono sviluppando in serie il denominatore
dell’integrale
ρdV’ r-r’
E=∫dE= k ∫ ------- ------ con r’ molto più piccolo di r
|r-r’|2 |r-r’|
Se ei è la carica in posizione ri con α=x,y o z
La carica totale è la somma delle cariche
(scalare), il momento di dipolo è la somma dei
prodotti er (termine vettoriale) mentre il
momento di quadrupolo è il termine tensoriale
(simmetrico) di ordine 2 a traccia nulla. Quindi
ad es. per un sistema con q≠0, il suo effetto
elettrico a grande distanza si approx con kq r/r3.
Mentre per un dipolo
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
9
Legge di Gauss
La legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo E attraverso una
superficie chiusa (superficie gaussiana) e le cariche contenute entro la
superficie stessa.
Il flusso è definito come Φ= ∫E•dA= ∫E•ndA dove n è il versore uscente
da ciascun della superficie chiusa (vedi anche dinamica dei fluidi).
Es. prendiamo un cubo con spigoli orientati come gli assi xyz, su
ciascuna faccia il versore è un versore degli assi. Per esempio il flusso
attraverso la faccia colorata sarà Φ= ∫E•ndA = Φ= ∫(E)xdA, se il campo
è costante su tutta la faccia allora Φ= ExA.
z
y
x
Per esercizio calcolare il flusso di E su attraverso
tutto il cubo supponendo che E sia
a) un vettore costante (campo uniforme) diretto
lungo +x E=(Ex, 0, 0)
b) un vettore del tipo E=(ax, 0, 0) con a=cost.
(dimensioni di a?)
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
10
ε0Φ= Qint dove Qint è la carica interna alla superficie (legge di Gauss)
dimostreremo tale legge per una carica puntiforme +q dentro una sfera di raggio R
centrata sulla carica. Poiché il campo è radiale e dipende solo dal modulo di r, il modulo
del campo è costante sulla superficie (r=R) ed è parallelo alla normale uscente E•n=E.
Il flusso attraverso una calotta sferica sarà Φ= ∫E•ndA=E ∫dA=E ∫dA =E ∫R2dΩ=
E R2 ∫ dΩ e per tutta la superficie sferica l’angolo solido complessivo sarà ∫ dΩ=4π.
Da notare che finora abbiamo usato solo il fatto che il campo sia radiale (centrale) e
che dipenda dal modulo di r. Il campo E=1/(4π ε0)q/ R2 e quindi Φ=q/ ε0
Se la superficie non contiene la carica consideriamo
le due piccole superfici che definiscono lo stesso angolo
solido centrato sulla carica con normali opposte n1e n2 e valutiamo
il flusso Φ1+ Φ2= ∫E 1•n1dA1+ ∫E 2•n2dA2= ∫ E1•n1 R12dΩ1 +
+q
∫ E2 •n2 R22dΩ1 = ∫ |E1| cos(α) R12dΩ1 + ∫ |E2|cos(α+π) R22dΩ2 =
∫ |E1| cos(α) R12dΩ1 -∫ |E2|cos(α) R22dΩ2 ma per il fatto che E va
come 1/r2 il prodotto E •n R12 è uguale per entrambe le sup. e quindi
E1 •n1 R12 = 1/(4π ε0)(q/ R12) R12 cos(α) = 1/(4π ε0)q cos(α) da cui
2
1
Φ1+ Φ2= 1/(4π ε0)q cos(α)( ∫ dΩ1 - ∫ dΩ2 )=0 perché gli angoli
solidi sono uguali.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
+q
11
Considerando una superficie di forma qualunque, il flusso attraverso le due superfici è
uguale (per la dimostrazione precedente) e se per la sfera interna vale la legge di Gauss,
allora vale anche per la superficie esterna.
+q
Per più di una carica puntiforme
vale il principio di sovrapposizione
e quindi la legge di Gauss è ancora
verificata.
Anche nel caso di una distribuzione
continua, si può pensare di
sommare i contributi delle cariche
dq= ρdV’ e quindi sempre per il
principio di sovrapposizione, la legge di Gauss vale ancora.
Φ= ε0 ∫E •ndA=Q (con Q carica totale interna alla superficie chiusa)
se la distribuzione è continua ε0 ∫E •ndA= ∫ ρdV’
questa rappresenta la prima eq. Di Maxwell in forma integrale
che fornisce il legame fra campo e sorgenti del campo.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
12
Il primo integrale è esteso alla superficie chiusa che racchiude la carica,
il secondo è esteso al volume in cui è presente la carica interna alla
superficie gaussiana.
Esiste un teorema matematico (teorema della divergenza) che permette
di riscrivere anche il primo integrale come un integrale sul volume
racchiuso dalla superficie gaussiana
ε0 ∫E •ndA= ∫∇ • E dV e quindi
ε0 ∫∇ • E dV= ∫ ρdV’ con ∇ • E =(∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+ ∂Ez/∂z)
l’operazione di divergenza (div) in termini dell’operatore nabla.
dove non c’è carica la densità e nulla e quindi
anche il secondo integrale può essere esteso a tutto il volume
ε0 ∫(∇ • E - ρ) dV= 0 tale relazione è sempre
ε0 ∫∇ • E dV= ∫ ρdV
verificata per ciascuna scelta del volume da cui
ε0 ∇ • E = ρ prima equazione di Maxwell in forma differenziale
valida sia nel caso statico che da quello dipendente dal tempo.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
13
Utilizzando la legge di Gauss e una opportuna superficie
gaussiana è possibile calcolare il campo elettrico generato dalla
distribuzione di carica per sistemi dotati di simmetria.
Per es. è possibile calcolare il campo nei seguenti casi:
Sfera uniformemente carica
Sfera con distribuzione a simmetria sferica non uniforme
Distribuzione lineare di carica
Distribuzione piana di carica
Distribuzione di carica su due conduttori piani.
Inoltre è possibile ricavare informazioni su come sono distribuite le
cariche in un corpo conduttore isolato carico sia nel caso che il
corpo sia pieno sia che esso presenti delle cavità.
Osservazione: data la somiglianza fra le forze gravitazionali ed
elettriche (∝1/r2), la legge di Gauss vale anche per la gravità.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
14
Potenziale elettrico
Analogamente a quanto fatto in meccanica, possiamo definire un’energia
potenziale elettrostatica U, però in genere si ragiona per unità di carica e
quindi anziché partire dalla forza, si parte dal campo elettrico E e si
definisce il potenziale elettrico V=U/ q0 (unità volt V).
dL=F•dl= q0 E•dl la forza elettrica è conservativa (nel caso elettrostatico)
come nel caso della forza gravitazionale.
Quindi ∫ E•dl =0 su un percorso chiuso e si definisce analogamente
la differenza di potenziale tra due punti i→f come
ΔV= Vf - Vi = - ∫ E•dl
Come fatto per il potenziale si prende un punto come riferimento per il
quale il potenziale è nullo. In genere V(∞)=0 anche se altre scelte
possono essere utilizzate.
Una batteria permette di generare una differenza di potenziale (f.e.m.)
Es.: calcolare il potenziale di una carica puntiforme q posta nell’origine
V= 1/(4π ε0) (q/ R)
G. Bracco - Appunti di Fisica
15
Generale
+q
Come nel caso del legame fra l’energia
potenziale e la forza, il campo è l’opposto del
gradiente del potenziale
E= - ∇V
Le superfici equipotenziali (V=cost.) risultano
perpendicolari alle linee di forza del campo E.
Infatti il gradiente dà la direzione di
massima crescita del potenziale e
non ha componenti tangenti alle
superfici equipotenziali altrimenti
lungo la superficie ci sarebbe una
crescita del potenziale che contraddirebbe
la costanza del potenziale sulla superficie
ρdV’ per il calcolo del potenziale di una distribuzione continua
V=k ∫ ------- si integra sulla distribuzione come per il campo E ma in
|r-r’| questo caso il risultato è uno scalare.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
16
Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali.
Da osservare che in elettrostatica, in un materiale conduttore non
può essere presente un campo elettrico (perché?) e quindi tutto
il materiale si trova in condizioni equipotenziali (perché?).
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
17
Capacità elettrica
Un condensatore accumula carica (ed energia) elettrica. Nella forma
più semplice esso è formato da due conduttori (armature) che si
caricano uno con carica positiva e l’altro con carica negativa.
Collegato ad una batteria che fornisce una f.e.m. = V si caricherà con
una carica Q. Si definisce come capacità elettrica del condensatore
la costante di proporzionalità C (unità farad F) tale che
Q= C V.
La capacità dipende dalle caratteristiche geometriche del condensatore
e dalle proprietà del materiale fra le armature (ε0 è sostituito da ε0 εr).
Per calcolare C in genere si suppone che il condensatore sia carico con
carica Q e si determina il campo elettrico generato fra le armature,
infine si integra il campo per ottenere ΔV che dipenderà da Q e quindi
C= Q / ΔV
Es. Condensatore a facce piane e parallele di area A distanti d C= ε0 A/d
Condensatore cilindrico raggi a < b lungo L C= 2πε0 L/ ln(b/a).
G. Bracco - Appunti di Fisica
18
Unità di ε0 ?
Generale
Circuiti con condensatori
Condensatori in parallelo: tutti hanno lo stesso potenziale
per due q1=C1V q2=C2V e quindi q= q1 +q2=(C1+ C2 )V da cui
la capacità equivalente è C= C1+ C2
C1
per n condensatori: si sommano tutte
C2
le capacità
Condensatori in serie: tutti hanno la stessa carica (perché?)
per due q=C1V1 q=C2V2 e quindi q=C1 V1= C2 V2 da cui
la differenza di potenziale totale è V1 + V2 =q/C1 + q/C2
e la capacità equivalente è
C1
1/C= (1/C1)+(1/ C2) o
C= C1 C2 /(C1+ C2)
per n condensatori: si sommano gli inversi
C2
per trovare l’inverso della capacità
equivalente
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
19
Energia immagazzinata e densità di energia
Per caricare un condensatore si deve fare un lavoro che può essere
recuperato scaricando il condensatore.
Il lavoro per accrescere di dq la carica del condensatore di capacità C è
dL= Vdq= (q/C) dq
integrando tra carica zero fino a carica Q
L= ∫ dL= ∫(q/C) dq= Q2/(2C) e quindi l’energia immagazzinata è
U= Q2/(2C) = ½ CV2 poiché Q=CV.
Preso un condensatore a facce piane e parallele di area A e distanza d
C=ε0 A/d e quindi U= ½ CV2 =½ ε0 (A/d )V2 moltiplichiamo per d/d
= ½ ε0 Ad(V/d)2 ma Ad=Vol=volume interno al condensatore
quindi la densità di energia u=U/Vol =½ ε0 (V/d)2 . Il campo E è
uniforme e quindi V=E d da cui uE =½ ε0 E2
Questo risultato vale in generale: in ogni punto la densità di energia
legata al campo elettrico vale uE =½ ε0 E2 .
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
20