Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di Analisi

Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
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Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Corso di Analisi Matematica
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
LIMITI NOTEVOLI
Lucio Demeio
Dipartimento di Ingegneria Industriale
e delle Scienze Matematiche
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Matematica
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Ulteriori limiti notevoli
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Ordinamenti asintotici
Il teorema ponte
Analisi
Matematica
Numero e
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lim
n→+∞
n
1
=e
1+
n
⇒
lim
x→+∞
x
1
=e
1+
x
Outline
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Dimostrazione
Il teorema ponte
«[x]+1
1
[x]
„
«[x] „
«[x]+1 „
«−1
1
1
1
1+
1+
= 1+
→e
[x] + 1
[x] + 1
[x] + 1
„
«[x]+1 „
«[x] „
«
1
1
1
1+
1+
→e
= 1+
[x]
[x]
[x]
„
1+
1
[x] + 1
«[x]
≤
„
1+
1
x
«x
≤
„
Per il Teorema del Confronto
„
«x
1
1+
→e
x
1+
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Numero e
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x
n
f (x) = (1 + 1/x) (linea continua), an = (1 + 1/n)
(pallini rossi), numero e (linea blu).
3
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
2
fHxL
1
0
0
10
20
x
30
40
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Numero e
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x
1
lim
1+
=e
x→+∞
x
⇒
x
1
lim
1+
=e
x→−∞
x
Outline
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Dimostrazione
Il teorema ponte
Poniamo: y = −x. Allora:
„
«x „
«−y „
«−y
1
1
y−1
1+
= 1−
=
=
x
y
y
«y „
«y
„
1
y
= 1+
→e
=
y−1
y−1
E pertanto
lim
x→−∞
„
«x
«y
„
1
1
1+
= lim
1+
=e
y→+∞
x
y−1
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Matematica
Numero e
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x
1
=e
lim
1+
x→±∞
x
⇒
1/x
lim (1 + x)
x→0
=e
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Dimostrazione
Basta porre: y = 1/x. Allora:
«x
„
1
= (1 + y)1/y
1+
x
E pertanto
lim (1 + y)1/y = lim
y→0±
x→±∞
„
1+
1
x
«x
=e
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Logaritmo naturale
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lim (1 + x)
1/x
x→0
=e
⇒
lim
x→0
ln(1 + x)
=1
x
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Dimostrazione
Il teorema ponte
Basta osservare che
h
i
ln(1 + x)
ln (1 + x)1/x =
x
ln(1 + x)
=1 ⇒
x→0
x
lim
lim
x→0
ex − 1
=1
x
Dimostrazione
Basta porre y = ex − 1 ed usare il limite precedente
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Matematica
Esponenziali
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Ulteriori limiti
notevoli
lim
x→0
ex − 1
=1 ⇒
x
lim
x→0
ax − 1
= ln a,
x
a>0
Dimostrazione
x
Scriviamo: ax = eln a = ex ln a e poniamo: y = x ln a.
Allora
lim
x→0
ax − 1
ex ln a − 1
ey − 1
= lim
ln a = lim
ln a = ln a
x→0
y→0
x
x ln a
y
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
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Potenze
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ex − 1
lim
=1
x→0
x
⇒
(1 + x)α − 1
lim
= α,
x→0
x
Ulteriori limiti
notevoli
α>0
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Dimostrazione
α
Scriviamo (1 + x)α = eln(1+x) = eα ln(1+x) e poniamo
y = ln(1 + x), e quindi x = ey − 1, z = αy.
Allora:
eα ln(1+x) − 1
eαy − 1
(1 + x)α − 1
= lim
= lim y
=
x→0
y→0 e − 1
x→0
x
x
y
eαy − 1
ez − 1
eαy − 1
= lim
1 = lim
α
lim
y
y→0
z→0
y→0
y
e −1
y
z
lim
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Matematica
In termini di o(1) ...
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limx→0
ex −1
x
=1
1/x
⇒ ex = 1 + x (1 + o(1)),
x→0
limx→0 (1 + x)
= e ⇒ ln(1 + x) = x (1 + o(1))
x
limx→0 a x−1 = ln a ⇒ ax = 1 + x ln a (1 + o(1))
(1+x) −1
x
α
limx→0
=α
⇒ (1 + x)α = 1 + αx (1 + o(1))
Avevamo già visto che
sin x = x (1 + o(1)),
x→0
1 2
cos x = 1 − x (1 + o(1)),
x→0
2
tan x = x (1 + o(1)),
x→0
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
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Matematica
Esempi - I
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
e2x sin 3x − 1
lim+
= 12
1 − cos x
x→0
Il teorema ponte
Svolgimento
2x sin 3x = 6x2 (1 + o(1));
e2x sin 3x = e6x
2x sin 3x
e
−1
1−cos x
=
2
(1+o(1))
2
;
6x (1+o(1))
1 2
2 x (1+o(1))
1 − cos x =
e6x
2
→ 12
(1+o(1))
1
2
x2 (1 + o(1))
= 1 + 6x2 (1 + o(1))
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Matematica
Esempi - II
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lim
x→+∞
xα + x−2
= +∞,
ln(1 + eαx )
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α>1
Ulteriori limiti
notevoli
(Provare per esercizio gli altri casi)
Ordinamenti
asintotici
Svolgimento
Il teorema ponte
xα (1 + x−α−2 )
xα (1 + x−α−2 )
xα + x−2
=
=
=
αx
αx
−αx
ln (1 + e )
ln [e (1 + e
)]
ln (eαx ) + ln (1 + e−αx )
=
xα (1 + x−α−2 )
xα (1 + o(1))
xα (1 + o(1))
=
=
αx + ln (1 + e−αx )
αx + x (1 + o(1))
(α + 1)x + xo(1)
E quindi
lim
x→+∞
xα−1
xα + x−2
= lim
= +∞
αx
x→+∞ α + 1
ln(1 + e )
Analisi
Matematica
I simboli di Landau
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Ulteriori limiti
notevoli
Abbiamo già visto il simbolo o(1), il cui significato è di
indicare che una funzione è infinitesima per x → x0 :
f (x) = o(1) se e solo se
lim f (x) = 0
x→x0
Ci sono complessivamente tre simboli per caratterizzare gli
ordinamenti asintotici:
Il simbolo di o (“o piccolo”, di cui O(1) è un caso
particolare);
il simbolo di O (“o grande”);
il simbolo di ∼ (equivalenza asintotica);
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
I simboli di Landau: “o piccolo”, o
Siano f e g due funzioni, e sia x0 punto di accumulazione
per entrambi i dominii. Inoltre, g(x) 6= 0 definitivamente
per x → x0 .
Diremo che f (x) = o(g(x)), x → x0 , se e solo se
lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
x→0
x3 = o(x2 ),
3
x = o(x),
x→0
x→0
x2 = o(x3 ),
x → +∞
log a x = o(x),
x = o(ax ),
a > 0, a 6= 1,
a > 1,
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Esempi:
x2 = o(1),
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Matematica
x → +∞
x → +∞
Significato: x3 → 0 più rapidamente di x2 per x → 0,
x → +∞ più lentamente di ax , x → +∞, etc.
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Matematica
I simboli di Landau: “o piccolo”, o
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Ulteriori limiti
notevoli
x3 = o(x2 ), x → 0
x
x = o(2 ), x → +∞
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
0.01
40
0.005
20
0
0
0.05
x
x3 (linea blu) x2 (linea
rossa)
0.1
0
1
2
3
x
4
x (linea blu) 2x (linea rossa)
5
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Algebra di o
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+
Per x → 0 e x → +∞ abbiamo:
C o(xα ) = o(xα ),
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C 6= 0
Ulteriori limiti
notevoli
xβ o(xα ) = o(xα+β )
Ordinamenti
asintotici
o(xβ ) o(xα ) = o(xα+β )
o(xα ) + o(xβ ) = o(xγ ),
γ = min(α, β),
x → 0+
o(xα ) + o(xβ ) = o(xγ ),
γ = max(α, β),
x → +∞
Cioè, ad esempio:
3 o(x2 ) = o(x2 ),
x→0
x2 o(x3 ) = o(x5 ),
2
3
5
x→0
o(x ) o(x ) = o(x ), x → 0
o(x2 ) ± o(x3 ) = o(x2 ), x → 0
o(x2 ) ± o(x3 ) = o(x3 ),
x → +∞
Il teorema ponte
I simboli di Landau: “o grande”, O
Siano f e g due funzioni, e sia x0 punto di accumulazione
per entrambi i dominii. Inoltre, g(x) 6= 0 definitivamente
per x → x0 .
Diremo che f (x) = O(g(x)), x → x0 , se e solo se f (x)/g(x)
è definitivamente limitata per x → x0 , o anche se e solo se
f (x)
lim
= A con A 6= 0 costante reale
x→x0 g(x)
Esempi:
sin(2x) = O(x),
x→0
1 − cos x = O(x2 ),
e
2x
− 1 = O(x),
x→0
x→0
3x2 + x − 1 = O(x2 ),
sin x/(2x) = O(1),
x → +∞
x→0
Significato: sin(2x) → 0 con la stessa rapidità di x per x → 0,
3x2 + x − 1 → +∞ con la stessa rapidità di x2 per x → +∞,
sin x/(2x) definitivamente limitata per x → 0.
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
I simboli di Landau: equivalenza
asintotica, ∼
Siano f e g due funzioni, e sia x0 punto di accumulazione
per entrambi i dominii. Inoltre, g(x) 6= 0 definitivamente
per x → x0 .
Diremo che f (x) ∼ g(x), x → x0 , se e solo se
lim
x→x0
f (x)
=1
g(x)
Esempi:
sin x ∼ x,
x→0
1 − cos x ∼ x2 /2,
ex − 1 ∼ x,
x→0
x→0
3x2 + x − 1 ∼ 3 x2 ,
sin x/x ∼ 1,
x → +∞
x→0
Significato: sin x si comporta come x per x → 0, 3x2 + x − 1 si
comporta come 3x2 per x → +∞, sin x/x si comporta come 1
per x → 0.
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
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Matematica
I simboli di Landau: “o piccolo”, o
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Ulteriori limiti
notevoli
ex ∼ 1 + x, x → 0
sin x ∼ x, x → 0
Ordinamenti
asintotici
1
Il teorema ponte
3
2
Sin x 0
1+e^x
1
-1
- 4Π
0
x
x (linea blu) sin x (linea
rossa)
Π
4
0
-1
0
x
1 + x (linea blu) ex (linea
rossa)
1
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Alcuni usi dei simboli di Landau
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Comportamenti asintotici
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sin x = x + o(x), x → 0
sin x ∼ x, x → 0 (perchè limx→0 (sin x)/x = 1)
Infatti:
sin x − x = x(1 + o(1)) − x = x o(1) = o(x)
cos x = 1 − 21 x2 + o(x2 ), x → 0
cos x ∼ 1 − 12 x2 , x → 0
Infatti: (1 − cos x) − 12 x2 =
= 12 x2 o(1) = o(x2 )
1
2
x2 (1 + o(1)) −
1
2
x2 =
ex = 1 + x + o(x), x → 0
ex ∼ 1 + x, x → 0
Infatti:
ex − 1 − x = x (1 + o(1)) − x = x o(1) = o(x)
ln(1 + x) = x + o(x), x → 0
ln(1 + x) ∼ x, x → 0
Infatti:
ln(1 + x) − x = x (1 + o(1)) − x = x o(1) = o(x)
More to come ...
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notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Definizioni generali
Se f (x) e g(x) sono infinitesime per x → x0
(cioè f (x) = o(1) e g(x) = o(1) per x → x0 ),
e f (x) = o(g(x)), x → x0 , diremo che
f (x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a
g(x) per x → x0 (va a zero più rapidamente di g(x));
se f (x) e g(x) sono infinite per x → x0
(cioè limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = ±∞),
e f (x) = o(g(x)), x → x0 , diremo che
f (x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x)
per x → x0 (va all’infinito più lentamente di g(x)).
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Funzioni campione
Ulteriori limiti
notevoli
Si possono “misurare” gli ordini di infinitesimo ed infinito? Per
farlo, si introduce una famiglia di funzioni campione, scelte a
seconda della particolare applicazione che si ha in mente.
Infinitesimi
Se f (x) e g(x) sono infinitesime per x → x0
(cioè f (x) = o(1) e g(x) = o(1) per x → x0 ),
e se esistono α > 0 ed L 6= 0 t.c.
lim
x→x0
f (x)
=L
g(x)α
diremo che f (x) è un infinitesimo di ordine α rispetto a
g(x) per x → x0 .
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Infiniti
Se f (x) e g(x) sono infinite per x → x0
(cioè f (x) → ±∞ e g(x) → ±∞ per x → x0 ),
e se esistono α > 0 ed L 6= 0 t.c.
lim
x→x0
f (x)
=L
g(x)α
diremo che f (x) è un infinito di ordine α rispetto a g(x)
per x → x0 .
Il teorema ponte
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Esempi
Scelta usuale: la famiglia delle potenze di x, {xn }∞
n=−∞ . In tal
caso, spesso si dice direttamente “infinitesimo di ordine α” o
“infinito di ordine α”, senza specificare la famiglia.
sin x è infinitesimo di ordine 1 rispetto ad x per x → 0;
1 − cos x è infinitesimo di ordine 2 per x → 0;
1/x è infinitesimo di ordine 1 per x → ±∞;
1/x è infinito di ordine 1 per x → 0;
x2 è infinito di ordine 2 per x → ±∞;
x2 è infinitesimo di ordine 2 per x → 0;
√
x è infinitesimo di ordine 1/2 per x → 0;
√
x è infinito di ordine 1/2 per x → +∞.
ex è infinito di ordine superiore a qualunque potenza di x
per x → +∞, quindi non è confrontabile in quella famiglia.
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Ulteriori esempi - I
ln(1 + 2x2 ) è infinitesimo di ordine 2 per x → 0. Infatti:
2
2
lim
x→0
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Matematica
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Ulteriori limiti
notevoli
2
2x + o(x )
ln(1 + 2x )
= lim
=2
x→0
x2
x2
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
1
2
fHxL
0
- 14
0
1
4
x
x2 (linea blu)
ln(1 + 2x2 ) (linea rossa)
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Ulteriori esempi - II
e1/x − 1 è infinitesimo di ordine 1 per x → ±∞. Infatti:
ey − 1
e1/x − 1
= lim
= 1,
lim
y→0
x→+∞
1/x
y
1
con y =
x
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
1
fHxL 0.5
0
10
20
x
1/x (linea blu)
e
1/x
− 1 (linea rossa)
Ordini di infinitesimo ed infinito
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Ulteriori esempi - III
e2/x − 1 è infinitesimo di ordine 1 per x → ±∞. Infatti:
ey − 1
e2/x − 1
= lim
2 = 2,
lim
y→0
x→+∞
1/x
y
2
con y =
x
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
1
fHxL 0.5
0
10
20
x
1/x (linea blu)
e
2/x
− 1 (linea rossa)
Il teorema ponte
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Composizione di funzione e successione
Abbiamo già visto che: Sia {an }∞
n=0 una successione tale che
an → x0 e sia f : D → R una funzione tale che
limx→x0 f (x) = L, con x0 punto di accumulazione per D ed
L ∈ R∗ . Allora limn→+∞ f (an ) = L.
Teorema ponte
Sia {an }∞
n=0 una qualunque successione tale che an → x0 e
sia f : D → R una funzione tale che limx→x0 f (x) = L, con x0
punto di accumulazione per D ed L ∈ R∗ . Allora
limn→+∞ f (an ) = L.
O anche
limx→x0 f (x) = L, con x0 punto di accumulazione per D ed
L ∈ R∗ , ⇐⇒ limn→+∞ f (an ) = L ∀ {an }∞
n=0 tale che
limx→x0 an = x0 .
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
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Esempi di non esistenza del limite
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Non esiste il limite
lim sin x
x→+∞
Infatti, per la successione an = nπ si ha: an → +∞ e
limn→+∞ f (an ) = 0; per la successione bn = (4n + 1)π/2 invece
si ha: bn → +∞ e limn→+∞ f (an ) = 1.
Non esiste il limite
lim sin
x→0
1
x
Infatti, per la successione an = 1/(nπ) si ha: an → 0 e
limn→+∞ f (an ) = 0; per la successione bn = 2/(4n + 1)π) invece
si ha: bn → 0 e limn→+∞ f (an ) = 1.
Il teorema ponte
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Esempi di non esistenza del limite
Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
f (x) = sin x
Il teorema ponte
Sin x
x
f (x) = sin 1/x
Sin 1x
x