Tema d`esame 17.11.04 - Dipartimento di Matematica

PROVA SCRITTA - MATEMATICA I - SCIENZE GEOLOGICHE - 17.11.2004
COGNOME........................... NOME......................... N.MATRICOLA..............
1. (PUNTI 2) Disegnare un grafico approssimativo di
(
f (x) =
f
f
f
f
|x + 1|
se x ≤ 0
2
1−x
se x > 0
ammette massimi relativi in R? ♦ SI
ammmette minimi relativi in R? ♦ SI
è continua su R? ♦ SI
♦ NO
è invertibile su R? ♦ SI
♦ NO
♦ NO
♦ NO
2. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali, determinare l’insieme di definizione A della funzione
f (x) =
p
e2x − 3ex
A=
3. (PUNTI 1)
3x3 + 4x + e−x
x→+∞ 4x3 + 3x + 2e−x
Il limite
lim
vale :
♦
4
3
♦
3
4
1
♦ ♦+∞
2
4. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali, calcolare il
√
lim
x→0
1+x−1
=
3 sin x + log(1 + x)

 log(1 + 2x)
5. (PUNTI 2) Stabilire per quali valori di α la funzione f (x) =
3x

α
x = 0.
f è continua per α =
Per tutti gli altri valori di α, stabilire se f ha in x = 0 una discontinuità
♦ di prima specie
♦ di seconda specie ♦ eliminabile
6. (PUNTI 2) Calcolare la derivata della funzione f (x) = sin(xex )
f 0 (x) =
7. (PUNTI 2) Calcolare la derivata della funzione
Z
f (x) =
0
f 0 (x) =
x
2
2
et dt + ex
x 6= 0
x=0
è continua in
8. (PUNTI 7) Tracciare il grafico della funzione
ex
x
indicando l’insieme di definizione A di f , i limiti agli estremi dell’insieme di definizione A, il segno di
f , eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui), il segno di f 0 , eventuali massimi e minimi relativi e
assoluti, il segno di f 00 .
f (x) =
(PUNTI 1) Sfruttando i risultati precedenti, stabilire al variare di α il numero delle soluzioni dell’equazione
ex
=α
x
9. (PUNTI 1) Indicando i passaggi essenziali, calcolare l’integrale definito
Z
1
0
t
dx =
1 + t2
10. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali, calcolare l’integrale definito
Z
1
xex dx
0
11. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali, calcolare, al variare del parametro reale α, il determinante
della seguente matrice A. Stabilire inoltre per quali valori di α la matrice A è invertibile e in tali casi
calcolare il determinante della matrice inversa A−1


−1 1
0
A=
α 0 −α 
0
1 −α2
det A =
A è invertibile se .....
det (A−1 ) = .....
12. (PUNTI 4) Indicando i passaggi essenziali, stabilire per quali valori del parametro reale α il seguente
sistema lineare ammette almeno una soluzione. Specificare inoltre per quali valori di α il sistema ammette
soluzione unica oppure infinite soluzioni. (Si consiglia di scrivere il sistema in forma matriciale)





α2 x
+z =α−1
αx
+z =0
2αx + αy + (α − 1)z = 0
13. (PUNTI 1) Sia f definita e continua su [a, b]. Allora
♦ se f (a) < 0 e f (b) < 0, sicuramente esiste un punto x0 ∈ (a, b) tale che f (x0 ) = 0
♦ se il prodotto f (a)f (b) < 0, sicuramente esiste un punto x0 ∈ (a, b) tale che f (x0 ) = 0
♦ se f (a) > 0 e f (b) > 0, allora sicuramente f (x) > 0 per ogni x ∈ [a, b].
14. (PUNTI 1) Sia f definita, continua e derivabile su (a, b). Allora
♦ sicuramente esiste x0 ∈ (a, b) tale che f 0 (x0 ) = 0
♦ se f (a) = f (b), sicuramente esiste x0 ∈ (a, b) tale che f 0 (x0 ) = 0
♦ se f (a) = f (b), sicuramente f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ [a, b]
15. (PUNTI 1) Sia f definita in [a, b] e derivabile in x0 ∈ (a, b). Inoltre valga f 0 (x0 ) = 0. Allora
♦ sicuramente x0 è un punto di massimo o di minimo per f
♦ sicuramente x0 è un punto di flesso per f
♦ sicuramente f (x0 ) = 0
16. (PUNTI 1) Sia f Runa funzione pari
R a e continua su [−a, a], dove a > 0.
a
Allora sicuramente −a f (x)dx = 2 0 f (x)dx. ♦ VERO
♦ FALSO
ISTRUZIONI
1) SCRIVERE SUL FRONTESPIZIO DEL FOGLIO:
NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA.
2) NON E’ PERMESSO L’UTILIZZO DI APPUNTI, LIBRI, CALCOLATRICI.
3) RISPONDERE AI QUESITI PROPOSTI UTILIZZANDO ESCLUSIVAMENTE GLI SPAZI BIANCHI.
IN PARTICOLARE DISEGNARE I GRAFICI DELLE FUNZIONI E RIPORTARE I PASSI ESSENZIALI
DELLA RISOLUZIONE SOLO SE RICHIESTI.
4) NEI QUESTITI A RISPOSTA MULTIPLA, UNA SOLA RISPOSTA E’ CORRETTA.
CONTRASSEGNARE CON UNA CROCE LA RISPOSTA GIUSTA O, IN ALTERNATIVA,
ANNERIRE IL SIMBOLO A FIANCO DELLA STESSA.
5) SE SI RIPONDE CORRETTAMENTE AD UN QUESITO VIENE ATTRIBUITO IL PUNTEGGIO
INDICATO ALL’INIZIO DEL QUESITO STESSO. IN CASO DI MANCATA RISPOSTA O RISPOSTA
ERRATA NON E’ PREVISTA ALCUNA PENALIZZAZIONE DI PUNTEGGIO.
6) PER SUPERARE LA PROVA E’ NECESSARIO RISPONDERE CORRETTAMENTE AI QUESITI
TOTALIZZANDO ALMENO 18 PUNTI SU 34.
7) AL TERMINE DELLA PROVA (DURATA: 2 ore ) VERRA’ RITIRATO ESCLUSIVAMENTE
IL TESTO DELL’ELABORATO.