Legge di gravitazione universale

Gravitazione universale
Legge di gravitazione universale (Newton):
Un corpo dotato di massa ne attira un altro con una forza
proporzionale alla massa di ognuno e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza che li separa. Tale
forza è diretta lungo la retta che congiunge i due corpi:
F=G
m1 m2
r
2
Caratteristiche
●
●
●
●
La costante G (detta costante universale di gravitazione) ha
valore costante, qualunque sia la copia di corpi che interagiscono,
siano essi stelle distanti anni luce o protoni all'interno di un nucleo
atomico
La forza gravitazionale è attrattiva
La forza gravitazionale ha un'espressione simile alla forza elettrica
tra due oggetti carichi, ma la forza elettrica è sia repulsiva (tra due
cariche di segno uguale) che attrattiva (tra due cariche di segno
diverso)
Il rapporto tra la forza attrattiva gravitazionale tra due elettroni e la
forza elettrica repulsiva tra gli stessi due elettroni vale:
attrazione gravitazionale
1
=
42
repulsione elettrica
4,17 x 10
Esperimento di Cavendish (1797)
Per determinare il valore di G: misura la forza
esercitata tra due piccoli oggetti. Il valore ora
accettato è:
−11
G=6,67 x 10
N·m2
2
kg
Accelerazione di gravità g
Caso particolare: corpo con massa m attratto dalla Terra con massa M T (e quindi, viceversa, Terra con massa M T
attratta dal corpo con massa m).
Si suppone che tutta la massa della Terra sia concentrata nel suo centro, quindi la distanza tra la massa m e la
Terra è uguale raggio della terra , quindi la forza è la forza-peso:
F P =G
m MT
GM
= m( 2 T )
2
RT
RT
perciò
N·m2
(6,67 x 10
) x(5,976 x 1024 kg)
2
m
GM T
kg
= 9,80 2
=
s
R 2T
(6,378 x 10 6 m)2
−11
= g
Questo è il valore dell'accelerazione con cui si muove il corpo con massa m. Se la massa della Terra è molto più
grande di m, l'accelerazione subita dalla Terra sarà molto più piccola di g.
Situazione precedente alla determinazione della Legge di
Gravitazione.
Leggi di Keplero (tedesco, 1571-1630):
1) Ogni pianeta descrive intorno al Sole
un'ellisse di cui il Sole è uno dei fuochi
2) Il raggio vettore dal Sole al pianeta descrive
aree uguali in tempi uguali
→ Quando sono più vicini al Sole si muovono più in fretta
3) Il rapporto tra il quadrato del periodo orbitale e il cubo
del semiasse maggiore dell'ellisse è lo stesso per tutti i
pianeti
T2
=costante
r3
(ovviamente è costante anche il rapporto inverso
3
r
2
T
)
Se l'orbita fosse circolare (e lo è quasi), il tempo impiegato
per compiere un giro completo sarebbe proporzionale a r 3/2
Campo gravitazionale
Perché un sasso è attirato dalla Terra?
Non esiste un'azione a distanza senza l'intervento
di un qualcosa di intermediario.
Per esempio, nei fenomeni magnetici la calamita
attira un pezzo di ferro: la calamita non agisce
direttamente sul ferro, ma produce qualcosa di
fisicamente reale intorno ad essa. Questo
qualcosa si chiama campo magnetico
Analogamente, la Terra produce intorno a sé un campo
gravitazionale, che agisce sulla pietra e ne produce la
caduta.
Diversamente dai campi elettrici e magnetici, il campo
gravitazionale gode di una proprietà particolare:
l'accelerazione a cui sono soggetti i corpi che si muovono
sotto l'unica influenza di un campo gravitazionale non dipende
né dalla materia né dallo stato fisico del corpo in questione.
Una sfera di piombo e una piuma cadono nello stesso modo in
un campo gravitazionale (nel vuoto)
Massa inerziale e massa
gravitazionale
Per la legge di Newton abbiamo:
Forza=massa inerziale x accelerazione
Se la causa dell'accelerazone è la gravità si avrà:
Forza=massa gravitazionale x intensità del campo gravitazionale
La massa inerziale e la massa gravitazionale sono costanti
caratteristiche di un corpo.
Dalle due relazioni precedenti segue che:
accelerazione= (massa gravitazionale/massa inerziale) x
intensità del campo gravitazionale
Poiché, sperimentalmente, per un dato campo
gravitazionale l'accelerazione è la stessa per tutti i
corpi, si avrà che
il rapporto tra le due masse è costante.
Tale fatto è spiegato dalla teoria della relatività
generale: vale il principio di equivalenza,
secondo il quale gli effetti gravitazionali sono
indistinguibili dagli effetti prodotti dall'accelerazione
del riferimento in cui il sistema si trova.
Moto dei satelliti
Se si lancia un oggetto orizzontalmente con velocità sempre maggiori,
l'oggetto atterrerà sempre più lontano.
Man mano che la velocità cresce, la traiettoria sarà sempre meno
incurvata.
Per un certo valore della velocità l'incurvamento della traiettoria sarà
uguale a quello della Terra e l'oggetto non riuscirà più ad atterrare e
continuerà a cadere senza mai toccare il suolo: l'oggetto entrerà in
orbita.
Se si aumenta ancora la velocità, l'orbita diventa ellittica, e se si
aumenta ancora la velocità la sua traiettoria non si chiude più e
l'oggetto si allontana per sempre dalla Terra.
Esercizio
Qual è la velocità di entrata in orbita di un satellite di
massa m?
Risposta: dalla seconda legge della dinamica si ha
mM
v2
G 2 =m
R
R
da cui si ricava
v=
√
GM
=7,91 x 103 m/s
R
Quindi la velocità non dipende dalla massa del satellite
Energia potenziale gravitazionale
Precedentemente il lavoro compiuto dalla forza
peso per spostare un corpo di massa m era stato
definito come:
L=±mgh
dove h indicava il dislivello (in valore assoluto) tra
la posizione iniziale e la posizione finale.
In questo caso la forza era stata considerata
costante
Se la distanza percorsa è elevata, non si può più
considerare costante la forza peso (varia
l'accelerazione) e quindi l'espressione del lavoro
deve essere modificata.
Tramite il calcolo integrale si dimostra che il
lavoro compiuto dalle forze gravitazionali con cui
interagiscono due masse m e M, quando la
distanza tra le due masse passa da r A a rB è:
L=G
mM
mM
−G
rB
rA
Applicazione
Calcolare il lavoro compiuto dalle forze gravitazionali
quando un corpo di massa m si sposta dalla superficie
della Terra fino ad una distanza infinitamente grande:
L∞=
−GmM
RT
Anche se la distanza cresce infinitamente, il lavoro non è infinito perché il valore del peso
diminuisce rapidamente
Tale lavoro rappresenta l'energia potenziale gravitazionale del corpo rispetto all'infinito,
quando il corpo si trova sulla superficie della Terra
Velocità di fuga
E' la velocità minima che bisogna dare ad un
corpo, soggetto solo alla forza gravitazionale di
richiamo della Terra, affinché si allontani
indefinitamente dalla Terra.
Per calcolarla bisogna considerare il teorema
dell'energia cinetica: imponendo che l'energia
cinetica sia nulla ad una distanza infinita, si avrà:
ΔK=0-mv2/2=-GmM/RT
quindi:
v=
√
2 GM
RT
il cui valore è circa 11 km/s (circa 34 maggiore della
velocità del suono).
Se la velocità fosse maggiore della velocità di fuga, il
valore dell'energia cinetica all'infinito tenderebbe ad un
valore maggiore di zero.