Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini per l’introduzione della Meccanica Quantistica Sezione A: ripensare l’ottica ondulatoria Questa sezione è una introduzione indiretta allo spirito del metodo della somma dei molti cammini di Feynman fatta attraverso un ripensamento dell’ottica, sia nei suoi aspetti geometrici che in quelli ondulatori. Come ho detto nella descrizione del corso, penso infatti che sia utile iniziare gli incontri telematici con lo stimolare la riflessione cognitiva personale sulle conoscenze acquisite di meccanica classica e di ottica ondulatoria e sui modi di descrizione dei fenomeni usati in fisica, in particolare quelli che passano attraverso la modellizzazione matematica, per poter poi apprezzare meglio i vantaggi didattici e cognitivi dell’approccio alla meccanica quantistica attraverso il metodo della somma sui molti cammini (se volete farvene un’idea fin dall’inizio, potete comunque visitare il nostro sito http://www.iapht.unito.it/qm/ in cui essi sono ampiamente illustrati). L’obiettivo è di promuovere una ristrutturazione del modo di pensare ai fenomeni luminosi in vista dell’inserimento in un percorso didattico sulla meccanica quantistica, che metta in evidenza quegli aspetti peculiari che nell’ottica ondulatoria sono accettati e compresi mentre appaiono strani e poco intuitivi quando vengono introdotti in un ambito di meccanica quantistica. L’organizzazione di questa sezione è la seguente. Inizieremo con una serie di domande, che trovate sotto “Materiali” per riflettere su come siamo abituati a pensare, descrivere ed eventualmente spiegare i fenomeni luminosi e vi proporrò alcuni modelli che io uso perché li trovo utili. Dopo questo primo periodo di condivisione delle conoscenze “classiche” sulla modellizzazione della luce, vedremo come vengono modellizzati gli stessi fenomeni col metodo della somma sui molti cammini, e questo ci introdurrà alla “sezione B”. Materiali 1) Domande e commenti per stimolare la riflessione iniziale su come descrivere e modellizzare il modo in cui la luce si propaga in presenza di ostacoli, accompagnate da un foglio EXCEL per “modellizzare alla Huygens” la propagazione della luce attraverso ostacoli che trovate sul sito (Huygens.xls); 2) una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” su come la luce si propaga che ci saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman”; 3) un commento sulle difficoltà incontrate da alcuni corsisti del Master nello sviluppo degli esercizi; 4) una introduzione alle ipotesi e regole del gioco nella “modellizzazione alla Feynman”. 1 Punto 1 Domande e riflessioni sulla modellizzazione della propagazione della luce “Modellizzare” i fenomeni, non solo quelli ottici, è un passo molto importante nel processo di comprensione e non è esclusivo dello studio formalizzato. Spontaneamente, praticamente in tutti i momenti della vita quotidiana, noi modellizziamo nella nostra testa i fenomeni che osserviamo. È utile perciò confrontare la modellizzazione formale che compiamo quando studiamo un fenomeno con quella spontanea, per vedere quali aspetti sono compatibili, quali sono diversi, anche perché lo stesso problema si pone a livello degli studenti. Le domande e riflessioni che seguono hanno appunto lo scopo di fare pensare a questa duplice modellizzazione, quella formale e quella spontanea, anche in vista della modellizzazione diversa che faremo con il metodo della “somma sui molti cammini”. Ho elencato le domande che vengono in mente a me, però, se ne avete delle altre che vi sembrano possano aiutarvi in questo esercizio, usatele liberamente. a) Un flash luminoso Immaginate un qualunque flash luminoso che viene attivato a un certo istante, come il lampeggiante di un’auto che segnala la svolta a sinistra, - Come lo modellizzate spontaneamente? - Volendolo modellizzare formalmente in linguaggio matematico, lo descrivereste come un “oggetto” o come un’onda? Quali grandezze fisiche utilizzereste nei due casi? - Quale vantaggio c’è nella descrizione come oggetto? C’è qualche vantaggio nella descrizione come onda? b) La misura delle grandezze fisiche che caratterizzano il flash luminoso Provate a elencare quali grandezze fisiche fra quelle che avete sopra elencato sono effettivamente “misurabili” e in quale modo (con quale dispositivo) le misurereste. c) Pensate ora all’immagine reale di un oggetto prodotta su uno schermo di una camera oscura (pin hole camera). pinhole schermo parete della camera In una modellizzazione per raggi (“oggetti”), come quella suggerita dalla figura, che cosa fareste per rendere più nitida l’immagine sullo schermo, ad esempio, separare meglio la cima dalla base della fiamma? A) allontanare lo schermo; B) allontanare la candela dalla parete della camera; C) avvicinare la candela alla parete della camera; D) restringere il foro d) Come rappresentereste questo stesso fenomeno con un modello alla Huygens? Ho provato a costruire un foglio EXCEL in cui ho semplicemente rappresentato le onde con dei cerchi che partono dalla sorgente (lo trovate in “huygens.xls, ed è il secondo foglio, che si chiama “pinhole”). Il cerchio rappresenta, ad esempio la fase di massima oscillazione positiva (la “cresta” dell’onda). 2 8 parete 6 P Una sola sorgente “puntiforme” è messa a grande distanza sull’asse passante per il foro (y=0): attraversando il foro, l’onda perde del tutto il ricordo della sua direzione, perché da un fronte d’onda quasi piatto passa a un fronte d’onda sferico (circolare nella nostra rappresentazione). Rispetto a un qualunque punto P a valle della parete, l’onda proviene da una direzione completamente diversa da quella dell’onda incidente sul foro. 4 2 0 -2 foro -4 -6 -8 0 Ho allora costruito, nello stesso foglio, due onde incidenti che partono da due punti leggermente separati in y (potrebbero essere la punta della fiamma e la base della candela). Ecco il risultato: ho rappresentato in rosso la seconda onda incidente e ho anche rappresentato le due direzioni, viste dal foro, delle due onde incidenti. Dal foro, guardando verso la sorgente, le due direzioni sono distinguibili, mentre dal punto P, posto oltre la parete col foro, la situazione non è cambiata rispetto a prima. Vi lascio perciò con questa domanda: c’è qualcosa di sbagliato nel modello ondulatorio che ho fatto? Come si potrebbe migliorare il modello per spiegare come mai, invece, in una camera oscura, le immagini si vedono bene? 2 4 6 8 10 12 8 10 12 8 parete 6 P 4 2 0 -2 foro -4 -6 -8 0 2 4 6 Provate a giocare con il foglio EXCEL, forse avete qualche cosa di meglio da proporre. Nello stesso foglio trovate altre due pagine per modellizzare l’interferenza e la diffrazione alla Huygens. 3 Punto 2 Una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” della propagazione della luce che saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman” Riprendiamo l’ultima domanda che è stata posta nella modellizzazione alla Huygens: che cosa c’è di veramente diverso nella descrizione della propagazione “per onde” rispetto alla descrizione della propagazione “per raggi”. Nella tabella che segue sono messi a confronto gli aspetti che il modello di propagazione per onde mette in luce nei fogli excel “Huygens” con gli aspetti noti di una propagazione per raggi (pensati come corpuscoli di energia e quantità di moto). Modello ondulatorio Modello corpuscolare L’onda investe contemporaneamente tutti i punti della fenditura e dobbiamo ragionare su tutti i punti investiti (in realtà ne abbiamo esaminati solo 2, presi come 1) estensione significativi di quello che succede in tutti spaziale gli altri punti); da ogni punto inizia un’onda sferica che si propaga al di là con una stretta correlazione di fase con l’onda incidente in quel punto Diversi corpuscoli, indipendenti uno dall’altro, passano per diversi punti della fenditura (o vengono bloccati nei punti in cui si trova la parete opaca) oppure diversi corpuscoli passano per lo stesso punto ma con diverse direzioni perché provengono da punti diversi della sorgente Al di là della fenditura, in un certo punto e in un certo istante di tempo (punto nello spazio-tempo) arrivano innumerevoli onde provenienti dai diversi punti della fenditura 2) evoluzione con diverse fasi, che evolvono, a partire e sovrapposi- dalla fase dell’onda al passaggio per la zione fenditura, secondo il rapporto fra la distanza percorsa e la lunghezza d’onda; la sovrapposizione delle diverse onde dipende dal valore in quel punto delle fasi relative Al di là della fenditura, i corpuscoli che non sono stati bloccati proseguono ciascuno sulla propria traiettoria, che non viene alterata dalla presenza della fenditura L’intensità in un certo punto al di là della fenditura dipende dalla larghezza della fenditura, la quale, oltre a ridurla in modo proporzionale alla sua larghezza, la ridistribuisce, perché, bloccando una parte dell’onda, crea zone spaziali in cui la sovrapposizione fra le onde provenienti dai diversi punti della fenditura è costruttiva e altre in cui è distruttiva, con tutti i valori intermedi. L’intensità in un certo punto al di là della fenditura è ridotta in modo proporzionale alla larghezza della fenditura perché essa è proporzionale al numero di fotoni che la attraversano; ogni fotone che giunge nel punto in esame vi deposita tutta la sua energia 3) intensità 4 Punto 3 Un commento sulle difficoltà incontrate da alcuni corsisti del Master nello sviluppo degli esercizi Dalle risposte pubblicate dai corsisti del Master sui punti 1 e 2, mi sembra che le due domande sul flash luminoso e sulla camera oscura interpretati con modelli ondulatori e corpuscolari hanno funzionato, perché hanno stimolato delle riflessioni molto interessanti. Inoltre, come hanno commentato alcuni corsisti, la modellizzazione alla Huygens è “pesante”, tuttavia, fatta in modo grafico permette di visualizzare in quale modo un ostacolo, messo sul percorso di propagazione dell’onda, produce delle direzioni di propagazione privilegiate. Ci sono tuttavia alcuni aspetti che hanno creato confusione o incertezza, che commenterò. Un esempio è la domanda: come deve essere l’ostacolo? Un ostacolo con un solo foro “puntiforme” non produce l’effetto di creare una direzione privilegiata, come si vede dal foglio “pinhole”, che ho messo lì proprio per provocazione: dopo il foro l’onda diventa sferica, il che significa che non ci sono direzioni privilegiate. Occorrono almeno due fori, in modo che l’onda possa passare sia dal foro di sopra che da quello inferiore. Per chiarire il problema, ho costruito il foglio “interferenza”, in cui c’è l’onda che esce dal centro del foro superiore e quella che esce dal centro del foro inferiore e si tracciano le rette che passano per i punti di incrocio fra i massimi delle prime (cerchi neri) e i massimi delle seconde (cerchi rossi). Si vede chiaramente, come atteso, che gli incroci avvengono nella direzione in avanti (dove ci sarà il picco centrale della figura di interferenza, quando raccoglieremo l’immagine su uno schermo, “sovrapposizione costruttiva” nel linguaggio dell’ottica ondulatoria). Tuttavia ci sono incroci anche delle direzioni laterali, che creeranno i picchi secondari, perché c’è nuovamente “sovrapposizione costruttiva”. Provate a giocare con la posizione in y del foro superiore (cella E2), che equivale a cambiare la distanza fra le due fenditure: vedrete che l’incrocio nella direzione in avanti continua a mantenersi, mentre variano gli incroci lungo le direzioni laterali, che si allontanano o si avvicinano a seconda che si diminuisce o si aumenta la distanza in y. Il foglio “diffrazione” fa vedere la stessa cosa: di tutte le onde che escono dai singoli punti della fenditura, ne ho costruite solo due, che escono da punti che sono a una distanza pari alla metà della larghezza della fenditura, perché le onde che escono da altre coppie di punti simili si comportano nello stesso modo (ho poi scelto coppie di punti simmetrici rispetto al centro della fenditura per potere praticamente “copiare” le formule del foglio “interferenza”). Anche qui potete giocare con la larghezza della fenditura e vedere che, nella direzione in avanti c’è sempre sovrapposizione costruttiva, mentre le “direzioni privilegiate” laterali lungo le quali c’è sovrapposizione costruttiva variano al variare della larghezza della fenditura. Domanda: come si conciliano questi risultati con le classiche figure di diffrazione che si trovano su tutti i testi? Lasciamo per il momento da parte i picchi secondari e concentriamoci sul picco in avanti. Dal foglio “diffrazione” (e anche dal foglio “interferenza”, ma ormai abbiamo visto che ci danno la stessa informazione) abbiamo imparato che la direzione privilegiata di propagazione in avanti si crea grazie alla sovrapposizione costruttiva delle onde che escono da due diversi punti della fenditura. A questo punto possiamo tornare al problema dell’immagine prodotta dal foro della camera oscura da cui siamo partiti. Ho perciò creato un nuovo foglio EXCEL, “pinhole-diffr”, in cui si simula una seconda onda incidente che proviene da un punto della sorgente separato in y (potrebbe essere la cima della fiamma mentre la base della candela è il punto 1 a y=0) e che quindi incide sulla fenditura lungo un fronte d’onda inclinato rispetto a quello proveniente dal punto 1 (le nuove onde incidenti sono in azzurro ed è in azzurro anche la “direzione dell’onda” costruita congiungendo il punto 2 con il centro della fenditura). Dei due punti della fenditura che formano la coppia da cui partono le onde uscenti, quello superiore è stato lasciato, per comodità, invariato, 5 mentre si è creato il nuovo punto simmetrico rispetto alla nuova direzione incidente (indicato in azzurro) e le nuove onde uscenti pure esse in azzurro. Come si vede, gli incroci fra i cerchi azzurri e quelli neri si dispongono lungo una direzione che è il prolungamento della direzione incidente dalla sorgente 2, ben separata dalla direzione in avanti che è sugli incroci fra i cerchi neri e quelli rossi che rappresentano le due onde uscenti corrispondenti alla sorgente 1. Provate a giocare con la larghezza della fenditura (cambiando la y del centro superiore, cella E2) e vedrete che le due direzioni delle onde che corrispondono alle due sorgenti non cambiano! 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 0 2 4 6 8 10 12 Domande: - Che cosa impariamo da questa simulazione sulle caratteristiche cruciali della propagazione per onde? - In una descrizione della propagazione “per raggi” che cosa succede se si allarga la fenditura? - Che cosa c’è di veramente diverso in questa descrizione della propagazione “per onde” rispetto alla descrizione della propagazione “per raggi”? Punto 4 La modellizzazione alla Feynman: che cosa c’è di diverso e che cosa c’è di comune con la modellizzazione alla Huygens L’oggetto quantistico che Feynman ipotizza non è né onda né corpuscolo, ma unisce aspetti dell’uno e dell’altro. 1) Come l’onda, l’oggetto quantistico non ha una traiettoria definita, ma ha diversi cammini che attraversano contemporaneamente diversi punti della fenditura 2) Come per l’onda, lungo ogni cammino la fase dell’oggetto quantistico evolve in un modo dato dal rapporto fra la distanza percorsa e la lunghezza d’onda e, come per l’onda, i contributi dei diversi cammini si sovrappongono in modo che dipende dalle fasi relative secondo la stessa regola che per l’onda 3) Come avviene per un corpuscolo e a differenza di quanto avviene per l’onda, l’energia dell’oggetto quantistico non si distribuisce nello spazio secondo il valore della sovrapposizione dei diversi cammini calcolata al punto precedente, ma, all’atto della rivelazione, compare sempre per intero. È solo la probabilità di rivelare l’oggetto quantistico in un dato punto che dipende dal valore della sovrapposizione in quel punto. 6 Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini per l’introduzione della Meccanica Quantistica Sezione B: introduzione all’oggetto quantistico di Feynman Questa sezione ci introduce nel cuore del metodo della somma dei molti cammini di Feynman. Seguiremo, con una certa libertà, la prima parte del popolare libro di Feynman, “QED, la strana teoria della luce”, secondo la traccia indicata da E.F.Taylor, Computers in Physics 12, 1998, 190, che per primo propose un modello grafico basato su un software accattivante per implementarlo. Tutto il corso di Taylor è reperibile nel sito web http://www.eftaylor.com/download.html. Noi useremo invece dei semplici fogli excel, che sono un po’ meno accattivanti, ma hanno il pregio di essere facilmente sviluppabili e ampliabili a nuove applicazioni. L’obiettivo è di acquisire famigliarità con le proprietà peculiari dell’oggetto quantistico di Feynman che sono in parte comuni a quelle delle onde esaminate nella sezione A (in particolare il “principio di sovrapposizione”), in parte diverse (in particolare la “probabilità quantistica”) L’organizzazione di questa sezione è la seguente. Viene presentato anzitutto l'oggetto quantistico, che contiene il cuore del metodo: vengono discusse le ipotesi, le regole e l’impostazione del calcolo per poterle applicare ai singoli casi. L’oggetto quantistico con cui si parte è un elettrone e non un fotone, perché con un elettrone appare più naturale ragionare in termini di “corpuscolo” e quindi scoprire come i nuovi comportamenti creati dalle ipotesi del modello di Feynman siano facilmente introducibili e conciliabili con il modello. Svilupperemo poi in dettaglio tutti i calcoli con l'aiuto di semplici fogli excel nel Tutorial: sono i primi calcoli che hanno lo scopo principale di far acquistare famigliarità con i “molti cammini” dell'oggetto quantistico, con i relativi vettori di fase e con le regole per “sovrapporli” in modo da ottenere la “probabilità quantistica” di rivelare l’oggetto. I concetti di “sovrapposizione” e di “probabilità” sono i due concetti chiave, tipicamente quantistici, che questo foglio permette di approfondire. I cammini iniziano in un punto A (sorgente) e terminano in un punto B (rivelatore) dopo essere passati attraverso una fenditura lasciata aperta fra due ostacoli. Materiali 1. L’oggetto quantistico: contiene la descrizione delle ipotesi e delle regole per il calcolo del moto dell’oggetto quantistico di Feynman 2. Tutorial: contiene la descrizione dettagliata dell’applicazione delle regole di calcolo all’esempio sviluppato nei fogli excel “Tutorial-calcolo” 3. Consigli per il tutorial: contiene alcuni consigli per l’uso del foglio e suggerimenti di esercizi utili 4. Tutorial-calcolo: si tratta di due fogli excel con i primi calcoli per prendere famigliarità con le ipotesi e regole del metodo dei molti cammini - Fey-s-tutorial.xls: si inizia con una fenditura stretta, per la quale passa un solo cammino e poi la si allarga aggiungendo via via cammini ai bordi - Fey-l-tutorial.xls: si inizia con una fenditura larga e si analizzano ordinatamente i cammini a partire da uno dei bordi 1