Il metodo di Feynman della somma sui molti

Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini
per l’introduzione della Meccanica Quantistica
Sezione A: ripensare l’ottica ondulatoria
Questa sezione è una introduzione indiretta allo spirito del metodo della somma dei molti cammini
di Feynman fatta attraverso un ripensamento dell’ottica, sia nei suoi aspetti geometrici che in quelli
ondulatori. Come ho detto nella descrizione del corso, penso infatti che sia utile iniziare gli incontri
telematici con lo stimolare la riflessione cognitiva personale sulle conoscenze acquisite di
meccanica classica e di ottica ondulatoria e sui modi di descrizione dei fenomeni usati in fisica, in
particolare quelli che passano attraverso la modellizzazione matematica, per poter poi apprezzare
meglio i vantaggi didattici e cognitivi dell’approccio alla meccanica quantistica attraverso il metodo
della somma sui molti cammini (se volete farvene un’idea fin dall’inizio, potete comunque visitare
il nostro sito http://www.iapht.unito.it/qm/ in cui essi sono ampiamente illustrati).
L’obiettivo è di promuovere una ristrutturazione del modo di pensare ai fenomeni luminosi in vista
dell’inserimento in un percorso didattico sulla meccanica quantistica, che metta in evidenza quegli
aspetti peculiari che nell’ottica ondulatoria sono accettati e compresi mentre appaiono strani e poco
intuitivi quando vengono introdotti in un ambito di meccanica quantistica.
L’organizzazione di questa sezione è la seguente. Inizieremo con una serie di domande, che trovate
sotto “Materiali” per riflettere su come siamo abituati a pensare, descrivere ed eventualmente
spiegare i fenomeni luminosi e vi proporrò alcuni modelli che io uso perché li trovo utili.
Dopo questo primo periodo di condivisione delle conoscenze “classiche” sulla modellizzazione
della luce, vedremo come vengono modellizzati gli stessi fenomeni col metodo della somma sui
molti cammini, e questo ci introdurrà alla “sezione B”.
Materiali
1) Domande e commenti per stimolare la riflessione iniziale su come descrivere e modellizzare il
modo in cui la luce si propaga in presenza di ostacoli, accompagnate da un foglio EXCEL per
“modellizzare alla Huygens” la propagazione della luce attraverso ostacoli che trovate sul sito
(Huygens.xls);
2) una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” su come la luce
si propaga che ci saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman”;
3) un commento sulle difficoltà incontrate da alcuni corsisti del Master nello sviluppo degli
esercizi;
4) una introduzione alle ipotesi e regole del gioco nella “modellizzazione alla Feynman”.
1
Punto 1 Domande e riflessioni sulla modellizzazione della propagazione della luce
“Modellizzare” i fenomeni, non solo quelli ottici, è un passo molto importante nel processo di
comprensione e non è esclusivo dello studio formalizzato. Spontaneamente, praticamente in tutti i
momenti della vita quotidiana, noi modellizziamo nella nostra testa i fenomeni che osserviamo. È
utile perciò confrontare la modellizzazione formale che compiamo quando studiamo un fenomeno
con quella spontanea, per vedere quali aspetti sono compatibili, quali sono diversi, anche perché lo
stesso problema si pone a livello degli studenti.
Le domande e riflessioni che seguono hanno appunto lo scopo di fare pensare a questa duplice
modellizzazione, quella formale e quella spontanea, anche in vista della modellizzazione diversa
che faremo con il metodo della “somma sui molti cammini”.
Ho elencato le domande che vengono in mente a me, però, se ne avete delle altre che vi sembrano
possano aiutarvi in questo esercizio, usatele liberamente.
a) Un flash luminoso
Immaginate un qualunque flash luminoso che viene attivato a un certo istante, come il lampeggiante
di un’auto che segnala la svolta a sinistra,
- Come lo modellizzate spontaneamente?
- Volendolo modellizzare formalmente in linguaggio matematico, lo descrivereste come un
“oggetto” o come un’onda? Quali grandezze fisiche utilizzereste nei due casi?
- Quale vantaggio c’è nella descrizione come oggetto? C’è qualche vantaggio nella descrizione
come onda?
b) La misura delle grandezze fisiche che caratterizzano il flash luminoso
Provate a elencare quali grandezze fisiche fra quelle che avete sopra elencato sono effettivamente
“misurabili” e in quale modo (con quale dispositivo) le misurereste.
c) Pensate ora all’immagine reale di un oggetto prodotta su uno schermo di una camera oscura (pin
hole camera).
pinhole
schermo
parete
della
camera
In una modellizzazione per raggi (“oggetti”), come quella suggerita dalla figura, che cosa fareste
per rendere più nitida l’immagine sullo schermo, ad esempio, separare meglio la cima dalla base
della fiamma? A) allontanare lo schermo; B) allontanare la candela dalla parete della camera; C)
avvicinare la candela alla parete della camera; D) restringere il foro
d) Come rappresentereste questo stesso fenomeno con un modello alla Huygens? Ho provato a
costruire un foglio EXCEL in cui ho semplicemente rappresentato le onde con dei cerchi che
partono dalla sorgente (lo trovate in “huygens.xls, ed è il secondo foglio, che si chiama “pinhole”).
Il cerchio rappresenta, ad esempio la fase di massima oscillazione positiva (la “cresta” dell’onda).
2
8
parete
6
P
Una sola sorgente “puntiforme” è messa a
grande distanza sull’asse passante per il
foro (y=0): attraversando il foro, l’onda
perde del tutto il ricordo della sua direzione,
perché da un fronte d’onda quasi piatto
passa a un fronte d’onda sferico (circolare
nella nostra rappresentazione). Rispetto a
un qualunque punto P a valle della parete,
l’onda proviene da una direzione
completamente diversa da quella dell’onda
incidente sul foro.
4
2
0
-2
foro
-4
-6
-8
0
Ho allora costruito, nello stesso foglio, due
onde incidenti che partono da due punti
leggermente separati in y (potrebbero essere
la punta della fiamma e la base della
candela). Ecco il risultato: ho rappresentato
in rosso la seconda onda incidente e ho
anche rappresentato le due direzioni, viste
dal foro, delle due onde incidenti. Dal foro,
guardando verso la sorgente, le due
direzioni sono distinguibili, mentre dal
punto P, posto oltre la parete col foro, la
situazione non è cambiata rispetto a prima.
Vi lascio perciò con questa domanda: c’è
qualcosa di sbagliato nel modello
ondulatorio che ho fatto? Come si potrebbe
migliorare il modello per spiegare come
mai, invece, in una camera oscura, le
immagini si vedono bene?
2
4
6
8
10
12
8
10
12
8
parete
6
P
4
2
0
-2
foro
-4
-6
-8
0
2
4
6
Provate a giocare con il foglio EXCEL, forse avete qualche cosa di meglio da proporre. Nello stesso
foglio trovate altre due pagine per modellizzare l’interferenza e la diffrazione alla Huygens.
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Punto 2 Una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” della
propagazione della luce che saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman”
Riprendiamo l’ultima domanda che è stata posta nella modellizzazione alla Huygens: che cosa c’è
di veramente diverso nella descrizione della propagazione “per onde” rispetto alla descrizione della
propagazione “per raggi”. Nella tabella che segue sono messi a confronto gli aspetti che il modello
di propagazione per onde mette in luce nei fogli excel “Huygens” con gli aspetti noti di una
propagazione per raggi (pensati come corpuscoli di energia e quantità di moto).
Modello ondulatorio
Modello corpuscolare
L’onda investe contemporaneamente tutti i
punti della fenditura e dobbiamo ragionare
su tutti i punti investiti (in realtà ne
abbiamo esaminati solo 2, presi come
1) estensione
significativi di quello che succede in tutti
spaziale
gli altri punti); da ogni punto inizia
un’onda sferica che si propaga al di là con
una stretta correlazione di fase con l’onda
incidente in quel punto
Diversi corpuscoli, indipendenti uno
dall’altro, passano per diversi punti
della fenditura (o vengono bloccati
nei punti in cui si trova la parete
opaca) oppure diversi corpuscoli
passano per lo stesso punto ma con
diverse direzioni perché provengono
da punti diversi della sorgente
Al di là della fenditura, in un certo punto e
in un certo istante di tempo (punto nello
spazio-tempo) arrivano innumerevoli onde
provenienti dai diversi punti della fenditura
2) evoluzione con diverse fasi, che evolvono, a partire
e sovrapposi- dalla fase dell’onda al passaggio per la
zione
fenditura, secondo il rapporto fra la
distanza percorsa e la lunghezza d’onda; la
sovrapposizione delle diverse onde
dipende dal valore in quel punto delle fasi
relative
Al di là della fenditura, i corpuscoli
che non sono stati bloccati
proseguono ciascuno sulla propria
traiettoria, che non viene alterata
dalla presenza della fenditura
L’intensità in un certo punto al di là della
fenditura dipende dalla larghezza della
fenditura, la quale, oltre a ridurla in modo
proporzionale alla sua larghezza, la
ridistribuisce, perché, bloccando una parte
dell’onda, crea zone spaziali in cui la
sovrapposizione fra le onde provenienti dai
diversi punti della fenditura è costruttiva e
altre in cui è distruttiva, con tutti i valori
intermedi.
L’intensità in un certo punto al di là
della fenditura è ridotta in modo
proporzionale alla larghezza della
fenditura perché essa è proporzionale
al numero di fotoni che la
attraversano; ogni fotone che giunge
nel punto in esame vi deposita tutta
la sua energia
3)
intensità
4
Punto 3 Un commento sulle difficoltà incontrate da alcuni corsisti del Master nello sviluppo degli
esercizi
Dalle risposte pubblicate dai corsisti del Master sui punti 1 e 2, mi sembra che le due domande sul
flash luminoso e sulla camera oscura interpretati con modelli ondulatori e corpuscolari hanno
funzionato, perché hanno stimolato delle riflessioni molto interessanti.
Inoltre, come hanno commentato alcuni corsisti, la modellizzazione alla Huygens è “pesante”,
tuttavia, fatta in modo grafico permette di visualizzare in quale modo un ostacolo, messo sul
percorso di propagazione dell’onda, produce delle direzioni di propagazione privilegiate.
Ci sono tuttavia alcuni aspetti che hanno creato confusione o incertezza, che commenterò.
Un esempio è la domanda: come deve essere l’ostacolo? Un ostacolo con un solo foro “puntiforme”
non produce l’effetto di creare una direzione privilegiata, come si vede dal foglio “pinhole”, che ho
messo lì proprio per provocazione: dopo il foro l’onda diventa sferica, il che significa che non ci
sono direzioni privilegiate. Occorrono almeno due fori, in modo che l’onda possa passare sia dal
foro di sopra che da quello inferiore.
Per chiarire il problema, ho costruito il foglio “interferenza”, in cui c’è l’onda che esce dal centro
del foro superiore e quella che esce dal centro del foro inferiore e si tracciano le rette che passano
per i punti di incrocio fra i massimi delle prime (cerchi neri) e i massimi delle seconde (cerchi
rossi). Si vede chiaramente, come atteso, che gli incroci avvengono nella direzione in avanti (dove
ci sarà il picco centrale della figura di interferenza, quando raccoglieremo l’immagine su uno
schermo, “sovrapposizione costruttiva” nel linguaggio dell’ottica ondulatoria). Tuttavia ci sono
incroci anche delle direzioni laterali, che creeranno i picchi secondari, perché c’è nuovamente
“sovrapposizione costruttiva”.
Provate a giocare con la posizione in y del foro superiore (cella E2), che equivale a cambiare la
distanza fra le due fenditure: vedrete che l’incrocio nella direzione in avanti continua a mantenersi,
mentre variano gli incroci lungo le direzioni laterali, che si allontanano o si avvicinano a seconda
che si diminuisce o si aumenta la distanza in y.
Il foglio “diffrazione” fa vedere la stessa cosa: di tutte le onde che escono dai singoli punti della
fenditura, ne ho costruite solo due, che escono da punti che sono a una distanza pari alla metà della
larghezza della fenditura, perché le onde che escono da altre coppie di punti simili si comportano
nello stesso modo (ho poi scelto coppie di punti simmetrici rispetto al centro della fenditura per
potere praticamente “copiare” le formule del foglio “interferenza”).
Anche qui potete giocare con la larghezza della fenditura e vedere che, nella direzione in avanti c’è
sempre sovrapposizione costruttiva, mentre le “direzioni privilegiate” laterali lungo le quali c’è
sovrapposizione costruttiva variano al variare della larghezza della fenditura.
Domanda: come si conciliano questi risultati con le classiche figure di diffrazione che si trovano su
tutti i testi?
Lasciamo per il momento da parte i picchi secondari e concentriamoci sul picco in avanti. Dal
foglio “diffrazione” (e anche dal foglio “interferenza”, ma ormai abbiamo visto che ci danno la
stessa informazione) abbiamo imparato che la direzione privilegiata di propagazione in avanti si
crea grazie alla sovrapposizione costruttiva delle onde che escono da due diversi punti della
fenditura. A questo punto possiamo tornare al problema dell’immagine prodotta dal foro della
camera oscura da cui siamo partiti. Ho perciò creato un nuovo foglio EXCEL, “pinhole-diffr”, in
cui si simula una seconda onda incidente che proviene da un punto della sorgente separato in y
(potrebbe essere la cima della fiamma mentre la base della candela è il punto 1 a y=0) e che quindi
incide sulla fenditura lungo un fronte d’onda inclinato rispetto a quello proveniente dal punto 1 (le
nuove onde incidenti sono in azzurro ed è in azzurro anche la “direzione dell’onda” costruita
congiungendo il punto 2 con il centro della fenditura). Dei due punti della fenditura che formano la
coppia da cui partono le onde uscenti, quello superiore è stato lasciato, per comodità, invariato,
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mentre si è creato il nuovo punto simmetrico rispetto alla nuova direzione incidente (indicato in
azzurro) e le nuove onde uscenti pure esse in azzurro. Come si vede, gli incroci fra i cerchi azzurri
e quelli neri si dispongono lungo una direzione che è il prolungamento della direzione incidente
dalla sorgente 2, ben separata dalla direzione in avanti che è sugli incroci fra i cerchi neri e quelli
rossi che rappresentano le due onde uscenti corrispondenti alla sorgente 1.
Provate a giocare con la larghezza della fenditura (cambiando la y del centro superiore, cella E2) e
vedrete che le due direzioni delle onde che corrispondono alle due sorgenti non cambiano!
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
2
4
6
8
10
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Domande:
- Che cosa impariamo da questa simulazione sulle caratteristiche cruciali della propagazione per
onde?
- In una descrizione della propagazione “per raggi” che cosa succede se si allarga la fenditura?
- Che cosa c’è di veramente diverso in questa descrizione della propagazione “per onde” rispetto
alla descrizione della propagazione “per raggi”?
Punto 4 La modellizzazione alla Feynman: che cosa c’è di diverso e che cosa c’è di comune con la
modellizzazione alla Huygens
L’oggetto quantistico che Feynman ipotizza non è né onda né corpuscolo, ma unisce aspetti
dell’uno e dell’altro.
1) Come l’onda, l’oggetto quantistico non ha una traiettoria definita, ma ha diversi cammini
che attraversano contemporaneamente diversi punti della fenditura
2) Come per l’onda, lungo ogni cammino la fase dell’oggetto quantistico evolve in un modo
dato dal rapporto fra la distanza percorsa e la lunghezza d’onda e, come per l’onda, i
contributi dei diversi cammini si sovrappongono in modo che dipende dalle fasi relative
secondo la stessa regola che per l’onda
3) Come avviene per un corpuscolo e a differenza di quanto avviene per l’onda, l’energia
dell’oggetto quantistico non si distribuisce nello spazio secondo il valore della
sovrapposizione dei diversi cammini calcolata al punto precedente, ma, all’atto della
rivelazione, compare sempre per intero. È solo la probabilità di rivelare l’oggetto
quantistico in un dato punto che dipende dal valore della sovrapposizione in quel punto.
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Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini
per l’introduzione della Meccanica Quantistica
Sezione B: introduzione all’oggetto quantistico di Feynman
Questa sezione ci introduce nel cuore del metodo della somma dei molti cammini di Feynman.
Seguiremo, con una certa libertà, la prima parte del popolare libro di Feynman, “QED, la strana
teoria della luce”, secondo la traccia indicata da E.F.Taylor, Computers in Physics 12, 1998, 190,
che per primo propose un modello grafico basato su un software accattivante per implementarlo.
Tutto il corso di Taylor è reperibile nel sito web http://www.eftaylor.com/download.html. Noi
useremo invece dei semplici fogli excel, che sono un po’ meno accattivanti, ma hanno il pregio di
essere facilmente sviluppabili e ampliabili a nuove applicazioni.
L’obiettivo è di acquisire famigliarità con le proprietà peculiari dell’oggetto quantistico di
Feynman che sono in parte comuni a quelle delle onde esaminate nella sezione A (in particolare il
“principio di sovrapposizione”), in parte diverse (in particolare la “probabilità quantistica”)
L’organizzazione di questa sezione è la seguente.
Viene presentato anzitutto l'oggetto quantistico, che contiene il cuore del metodo: vengono discusse
le ipotesi, le regole e l’impostazione del calcolo per poterle applicare ai singoli casi. L’oggetto
quantistico con cui si parte è un elettrone e non un fotone, perché con un elettrone appare più
naturale ragionare in termini di “corpuscolo” e quindi scoprire come i nuovi comportamenti creati
dalle ipotesi del modello di Feynman siano facilmente introducibili e conciliabili con il modello.
Svilupperemo poi in dettaglio tutti i calcoli con l'aiuto di semplici fogli excel nel Tutorial: sono i
primi calcoli che hanno lo scopo principale di far acquistare famigliarità con i “molti cammini”
dell'oggetto quantistico, con i relativi vettori di fase e con le regole per “sovrapporli” in modo da
ottenere la “probabilità quantistica” di rivelare l’oggetto. I concetti di “sovrapposizione” e di
“probabilità” sono i due concetti chiave, tipicamente quantistici, che questo foglio permette di
approfondire. I cammini iniziano in un punto A (sorgente) e terminano in un punto B (rivelatore)
dopo essere passati attraverso una fenditura lasciata aperta fra due ostacoli.
Materiali
1. L’oggetto quantistico: contiene la descrizione delle ipotesi e delle regole per il calcolo del moto
dell’oggetto quantistico di Feynman
2. Tutorial: contiene la descrizione dettagliata dell’applicazione delle regole di calcolo all’esempio
sviluppato nei fogli excel “Tutorial-calcolo”
3. Consigli per il tutorial: contiene alcuni consigli per l’uso del foglio e suggerimenti di esercizi
utili
4. Tutorial-calcolo: si tratta di due fogli excel con i primi calcoli per prendere famigliarità con le
ipotesi e regole del metodo dei molti cammini
- Fey-s-tutorial.xls: si inizia con una fenditura stretta, per la quale passa un solo cammino e
poi la si allarga aggiungendo via via cammini ai bordi
- Fey-l-tutorial.xls: si inizia con una fenditura larga e si analizzano ordinatamente i cammini
a partire da uno dei bordi
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