1 Esercizio Una ruota di raggio R e di massa M può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ2 , ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m, che a sua volta può scivolare su un piano inclinato di un angolo θ1 e privo di attrito. M m θ1 θ2 1. Disegnare le forze che agiscono sul corpo m e scrivere la legge che determina il suo moto [2 punti]; 2. Disegnare le forze che agiscono sul corpo M e scrivere le leggi che determinano il suo moto [6 punti]; 3. Risolvere le equazioni ottenute nei punti precedenti e determinare (in forma simbolica) l’accelerazione a del sistema e la forza di attrito Fatt in funzione di m, M , θ1 , e θ2 [4 punti]; 4. Determinare i valori espliciti di a e di Fatt nel caso particolare in cui m = 5 Kg, M = 7 Kg, θ1 = π/3 e θ2 = π/6 e commentare se la ruota sale o scende [1 punto]; 5. Determinare il valore minimo del coefficiente di attrito (statico o dinamico?) del piano su cui si trova la ruota, affinché la ruota rotoli senza strisciare (dare espressione simbolica in funzione di Fatt , M e θ2 ) [2 punti]; (trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello; momento d’inerzia dell’anello IA = M R2 ) SOLUZIONE Osserviamo anzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistema si muove solidalmente, e la velocità e l’accelerazione traslatorie (nelle rispettive direzioni) sono le stesse per l’anello e per il corpo. Fissiamo un verso convenzionale per l’accelerazione del sistema (ad esempio quello di discesa lungo il piano per l’anello, e dunque di salita lungo il piano per il corpo, come mostrato in figura 1). 1. Consideriamo le forze che agiscono sul corpo m. Anzitutto scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: Fp1 ,|| = m g sin θ1 (1) Fp1 ,⊥ = m g cos θ1 dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non Dr. Fabrizio Dolcini Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino 2 ha effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo. L’equazione della dinamica per m, lungo il piano, è la seguente −mg sin θ1 + T = ma (moto traslatorio di m) (2) 2. Consideriamo ora le forze che agiscono su M . Scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: Fp2 ,|| = M g sin θ2 (3) Fp2 ,⊥ = M g cos θ2 dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha effetto. Oltre alla forza peso, agiscono anche la tensione T del filo (diretta in maniera opposta a quella su m), e sul disco anche la forza di attrito (dato che il disco rotola) che si oppone al moto. T T Fp1 ,⊥ θ1 Fatt Fp2 ,⊥ Fp2 ,|| θ2 Figure 1: • moto traslatorio del centro di massa dell’anello; Il centro di massa si muove con un moto dettato dalla sommatoria di tutte le forze che agiscono sul corpo, come applicate al centro di massa stesso: M g sin θ2 − T − Fatt = M a (4) • moto rotatorio dell’anello attorno al centro di massa; Si tratta della equazione del moto rotatorio ~ 0E ~ 0E = dL M dt (5) ~ 0E e L ~ 0E sono il momento delle forze e il momento angolare rispetto al dove M sistema di riferimento (peraltro non inerziale) del centro di massa dell’anello. Qui osserviamo che ~ 0E e L ~ 0E sono diretti lungo l’asse per– per come sono dirette le forze, M pendicolare al foglio (verso entrante), attorno a cui avviene la rotazione. Dr. Fabrizio Dolcini Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino 3 Proiettando l’equazione vettoriale lungo questa direzione abbiamo M 0E = dL0E dt (6) – L’unica forza che applica un momento è quella di attrito (le altre hanno braccio nullo) M 0E = Fatt R (7) – Il momento angolare lungo l’asse ortogonale al piano dell’anello (un asse principale) si scrive dL0E = IA α (8) dt dove IA è il momento d’inerzia dell’anello, e α è l’accelerazione angolare; L0E = IA ω ⇒ – siccome il moto dell’anello è di puro rotolamento, il punto di contatto è istantaneamente fermo, e dunque vale la relazione a α= (condiz. moto di puro rotolamento) (9) R In conclusione, dalle equazioni (6), (7), (8) e (9) ricaviamo che Fatt R = IA a R (10) 3. Abbiamo dunque ottenuto le seguenti equazioni [(4), (2) e (10)] M g sin θ2 − T − Fatt = M a −mg sin θ1 + T = ma (11) Fatt R = IA a R che costituisce un sistema di tre equazioni per le tre incognite a, Fatt e T . Risolviamo il sistema di equazioni; portiamo in evidenza T nella seconda equazione e dividiamo la terza equazione per R, e M g sin θ2 − T − Fatt = M a T = ma + mg sin θ1 (12) F = a IA att R2 Sostituendo la seconda e la terza equazione nella prima e otteniamo IA = Ma R2 IA ⇒ g(M sin θ2 − m sin θ1 ) = (M + m + 2 )a R M sin θ2 − m sin θ1 ⇒ a=g IA m+M + R 2 M g sin θ2 − ma − mg sin θ1 − a (13) Dr. Fabrizio Dolcini Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino 4 Ricordando ora che il momento d’inerzia di un anello vale IA = M R 2 otteniamo che a=g M sin θ2 − m sin θ1 m + 2M (14) (15) La forza di attrito si può ora valutare dalla terza delle equazioni (12), ricordando anche la (14), ossia: IA = R2 = aM = M sin θ2 − m sin θ1 = gM m + 2M Fatt = a (16) 4. Sostituendo i valori numerici a = 9.81 m 7 Kg sin π6 − 5 Kg sin π3 = s2 5 Kg + 2 · 7 Kg √ m 7 1 − 5 23 = 9.81 2 2 = s 5 + 14 m = −0.43 2 s (17) Dal segno si deduce che il verso in cui avviene effettivamente il moto è opposto a quello inizialmente scelto per a, e dunque la ruota sale. Per la forza di attrito Fatt = a M = m · 7 Kg = s2 = −3.00 N = −0.43 (18) in cui il segno meno indica che anche la forza di attrito è diretta in maniera opposta al verso scelto in figura (dunque è diretta verso il basso), come è corretto che sia, in quanto si oppone in ogni caso al moto della ruota (che sale). 5. Siccome nel moto di puro rotolamento il punto di contatto rimane istantaneamente fermo, la forza di attrito che agisce su di esso è una forza di attrito statico. Essa soddisfa dunque la relazione |Fatt | ≤ µs Fp2 ,⊥ = µs M g cos θ2 (19) dove µs è il coefficiente di attrito statico. Pertanto il moto è di puro rotolamento se µs soddisfa |Fatt | µs ≥ (20) M g cos θ2 ossia il valore minimo vale µmin = s |Fatt | M g cos θ2 (21) Dr. Fabrizio Dolcini Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino 5 (NOTA BENE: E’ importante notare la differenza tra il presente caso di un anello che rotola senza strisciare ed il caso di un punto materiale che scriscia lungo un piano scabro. Per l’anello che rotola senza strisciare la forza di attrito è di tipo statico ed è un’incognita. Al contrario, se al posto dell’anello avessimo avuto un punto materiale di massa M , la forza di attrito sarebbe stata di tipo dinamico, e sarebbe stata pari a µd M g cos θ, dove µd denota il coefficiente di attrito dinamico.) Dr. Fabrizio Dolcini Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino