TESI MARIO CORBELLI_ - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

Università degli Studi di Roma La Sapienza
Facoltà di ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Tesi di Laurea
Caratterizzazione sperimentale di una struttura
RF accelerante, biperiodica, in banda X
Candidato:
Mario Marco Corbelli
Relatore:
Prof. Luigi Palumbo
Correlatore:
Dott. Luca Ficcadenti
Anno Accademico
2007/2008
aa
Non si devono ammettere cause delle cose naturali,
oltre quelle che sono necessarie alla spiegazione dei fenomeni.
Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Credo che quando morirò il mo corpo si decomporrà, e nulla del mio io sopravviverà.
La felicità non è meno vera solo perchè nisce, e nemmeno l'amore e il pensiero
perdono valore solo perchè non sono eterni.
Bertrand Russel
2
Indice
1
2
3
4
5
Introduzione
1.1
1.2
1.3
Il progetto SPARC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La cavità biperiodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scopo del lavoro di tesi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Descrizione di una Cavità Risonante
2.1
2.2
2.3
Denizione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strutture periodiche di tipo
Standing Wave
e
Travelling Wave
Parametri caratteristici di una cavità risonante
2.3.1
2.3.2
2.3.3
. .
. . . . . . . . . .
Matrice di scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fattore di merito e coeciente di accoppiamento . . . . .
Shunt Impedance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoria dei metodi perturbativi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura in fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il metodo di Steele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denizione di eld-atness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il banco di misura
3.5.1
3.5.2
3.5.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il Network Analyzer Agilent N5230A . . . . . . . . . . . .
Labview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il motore IPSES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il modo
π/2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La curva di dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La brasatura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratterizzazione esterna della cavità . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.5
Ottimizzazione del sistema di misura . . . . . . . . . . . .
Misure con eccitazione dal coupler
. . . . . . . . . . . . .
Misure con eccitazione dalle porte laterali . . . . . . . . .
Misura di
Q0
21
23
24
25
26
26
27
27
28
La cavità biperiodica
4.1
4.2
4.3
4.4
14
15
16
16
17
19
21
Metodi di misura di campi E.M. in cavità
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
5
9
12
e di
β
per il modo
π/2
Curva di dispersione sperimentale
3
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
28
30
33
35
35
39
40
42
43
INDICE
5
46
Misura di campo con il metodo di Slater
5.1
5.2
5.3
Sintonizzazione della cavità
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il metodo del bead-pull measurement . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
Scelta dell'oggetto perturbante
Descrizione del
Misura di
φ(f0 )
. . . . . . . . . . . . . . .
Virtual Instrument
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calibrazione dell'oggetto perturbante . . . . . . . . . . . .
Calcolo del campo elettrico in asse normalizzato alla radice del
l'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
6
7
Calcolo dell'(Rsh /L)/Q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura di campo col metodo di Steele
6.1
6.2
6.3
47
49
49
50
53
55
Misura dal Coupler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo della eld-atness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il problema della fase del campo
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
60
62
62
65
66
70
Conclusioni e sviluppi futuri
4
Capitolo 1
Introduzione
1.1 Il progetto SPARC
La sica e la tecnologia degli acceleratori di particelle hanno avuto un notevole
sviluppo negli ultimi cinquant'anni.
Dopo la seconda guerra mondiale gli ac
celeratori di particelle furono impiegati principalmente per esperimenti di sica
nucleare e ricerche di sica di base. Il loro sviluppo ebbe il merito di richiedere
nuove tecnologie, necessarie per avere acceleratori più potenti.
Oggi queste
macchine vengono impiegate in molti altri campi come quello medico, quello
industriale etc. e non solo come strumento di ricerca, ma anche per applicazioni
dirette. Le macchine lineari in passato venivano usate generalmente come stadio
di pre-accelerazione prima di acceleratori circolari di grandi dimensioni. Oggi
la possibilità di realizzare acceleratori lineari compatti ed ecienti rende tali
strutture molto interessanti per numerosi progetti.
Questa tesi si colloca nell'ambito del progetto SPARC (Sorgente Pulsata
Autoamplicata di Radiazione Coerente), per la realizzazione di un laser a elet
troni liberi. Esso, nato dalla collaborazione tra ENEA, INFN, CNR, Università
di Roma TOR VERGATA, SINCROTRONE TRIESTE e INFM, è un pro
getto di ampio respiro, che si pone come obiettivo la ricerca e lo sviluppo di
sorgenti di luce di quarta generazione per la produzione di radiazione coerente
nello spettro del visibile e nello spettro dei raggi X (SPARX: Sorgente Pulsata
Autoamplicata di Radiazione X).
Come è noto, in un laser convenzionale la produzione di luce collimata, coer
5
1.1.
IL PROGETTO SPARC
1 ha luogo in un mezzo, che può essere un solido,
ente ed estremamente brillante
un liquido, oppure un gas, nel quale, a livello atomico o molecolare, sia stata
FEL),
realizzata un'inversione di popolazione. In un laser a elettroni liberi (
in
vece, la radiazione è prodotta da un fascio di elettroni relativistici in moto in un
magnete ondulatore. E' noto che una carica accelerata emette radiazione elet
tromagnetica. Nel caso la particella accelerata si muova a velocità relativistiche,
la radiazione elettromagnetica da essa emessa prende il nome di
luce di sincrotrone
radiaziazione
o
e possiede particolari caratteristiche quali l'elevata brillanza,
collimazione e polarizzazione. In particolare, a causa degli eetti relativistici, la
radiazione non verrà emessa dagli elettroni su tutto l'angolo solido, bensì all'in
terno di un cono di apertura
la massa a riposo,
c
θ
nella direzione del moto con
θ=
m0 c2
E , dove m0 è
la velocità della luce nel vuoto ed E l'energia dell'elettrone.
Agli albori della tecnologia degli acceletarori di particelle l'emissione di sin
crotrone era considerata un noioso inconveniente, in quanto era necessario fornire
in continuazione agli elettroni l'energia che essi perdevano a causa dell'irraggia
mento. Tuttavia in breve tempo ci si rese conto che le caratteristiche peculiari
della radiazione emessa potevano essere utilizzate per molte applicazioni.
La produzione di radiazione coerente attraverso fasci di particelle, quindi,
avviene normalmente attraverso la radiazione di sincrotrone, mediante l'uso di
acceleratori circolari. La radiazione di sincrotrone, tuttavia, a causa della banda
di emissione larga, ha una limitata potenza per unità di frequenza. Per super
are questa limitazione fu proposto, nel
1951,
un nuovo schema per l'emissione,
studiato per allungare la durata dell'impulso di luce emesso da un elettrone che
si muova in un campo magnetico. Si pensò di far muovere l'elettrone all'interno
di un campo magnetico periodico spazialmente, generato da un ondulatore ".
Sotto l'eetto del campo magnetico quasi sinusoidale, l'elettrone percorre una
traiettoria che oscilla lungo l'asse dell'ondulatore.
La ricerca avanzata della sica degli acceleratori ha dimostrato che è possi
LINear ACcelerator )
bile tramite acceleratori lineari LINAC (
e un ondulatore
magnetico innescare un meccanismo di autoamplicazione spontanea (SASE,
Self Amplied Spontaneous Emission ) che produce una radiazione laser (FEL).
Questa radiazione ha una lunghezza d'onda variabile da centinai di micron (os
sia nello spettro del visibile), no a
1
Angstrom, mantenendo allo stesso tempo
valori elevatissimi di brillanza ossia di energia. Il ruolo e la natura dell'emissione
1 Ricordiamo
che si denisce
brillanza
la potenza emessa per unità di angolo solido e unità
di supercie della sorgente: i laser superano di molto ordini di grandezza la brillanza delle
sorgenti convenzionali.
6
1.1.
Figura
1.1:
IL PROGETTO SPARC
Schema di un ondulatore magnetico
spontanea in un FEL sono stati ampiamenti discussi e il problema dello
startup
del segnale non è ancora stato risolto completamente [1]. Addentrarsi in questi
complicati problemi esula dagli scopi di questa tesi, nella quale assumeremo che
l'emissione spontanea in un FEL sia semplicemente la radiazione di sincrotrone
irradiata dagli elettroni all'interno dell'ondulatore magnetico.
Dopo questa breve digressione, passiamo a elencare gli scopi del progetto
SPARC:
ˆ
Lo sviluppo di un fotoiniettore per fasci di particelle ultrabrillanti, fonda
mentale per sorgenti di radiazione a raggi X, visto che le caratteristiche
della luce in uscita dipendono fortemente da quelle del fascio di elettroni
generante. In quest'ottica, perciò, i parametri di maggiore interesse sono
la dimensione trasversale del fascio che deve essere la più piccola possibile
(emittanza trasversale) e la corrente di picco che invece deve essere porta
ta a livelli piu alti possibili (essa e legata in maniera inversa all'emittanza
longitudinale del fascio che quindi deve essere mantenuta bassa);
ˆ
Far emergere i problemi principali legati all'adattamento tra fascio in us
cita dal LINAC e ondulatore, al ne di mantenere quest'ultimo allineato
col fascio. Fondamentale in questo punto sarà perciò la caratterizzazione
della transfer line (si veda la gura
1.2)
che porta il fascio da un punto
all'altro del FEL con il fascio che ha gia raggiunto la sua massima energia
di
ˆ
155Mev;
L'ondulatore dovrà possedere dei parametri tali (lunghezza, periodicità,
campo magnetico) da far osservare in uscita una radiazione coerente a
nm di elevata potenza;
7
500
1.1.
Figura
ˆ
IL PROGETTO SPARC
1.2: Layout previsto per SPARC
Lavoro di ricerca e sviluppo sulle ottiche utilizzabili per guidare, ma
nipolare e utilizzare la radiazione uscente da un laser ad elettroni liberi
(SPARX) che fornirà una radiazione con
del pacchetto
0.1 ≤ λ≤ 10nm,
con una durata
100fs.
La capacità della sorgente SPARX di fornire grandi quantità di energia su una
piccola area renderà possibile lo studio di fenomeni che, no ad oggi, è stato
solo possibile predire teoricamente.
In particolare ci si aspettano interessanti
risultati nel campo della fotochimica, con importanti applicazioni industriali.
Particolare attenzione viene data al primo punto, poiché da esso dipende il
soddisfacimento delle speciche richieste alla radiazione prodotta. Il primo com
ponente è un
1,6
cell RF-gun operante in banda S (
2.856
GHz. E' già pronto
un prototipo in banda X, non ancora in funzione) con un fotocatodo metalli
co (rame o magnesio) all'interno, per la generazione di un fascio di elettroni
in uscita a
6
Mev. Il sistema laser che genera il fascio di fotoni incidente sul
fotocatodo userà una radiazione proveniente da un laser a Ti:Sa (titanio e zaf
ro), con un frequenza di oscillazione agganciata alla radiofrequenza del Gun.
Lo studio in questo campo si sta focalizzando soprattutto sulla possibilità di
generare impulsi laser di ampiezza costante di lunghezza di circa
10 ps, attraver
so una modulazione di frequenza della banda del Ti:Sa. Il fascio in uscita dal
8
1.2.
LA CAVITÀ BIPERIODICA
gun passerà attraverso una sezione LINAC composta da tre cavità ad onda viag
giante operanti anch'esse in banda S (2.856 GHz). In uscita dal linac un dipolo
devierà il fascio verso le due beam-lines previste dove il fascio sarà ottimizzato
per i sistemi presenti a valle.
La prima linea (dipolo spento) sarà la linea di
esperimento primaria, cioè quella del SASE FEL. Questo esperimento userà un
6 sezioni, ognuna delle quali lunga 2
0,36 metri. Essa ospiterà un quadrupolo
magnete ondulatore che si divide in
metri
e ognuna separata da un gap di
per il
focheggiamento orizzontale del fascio, che altrimenti tenderebbe ad aumentare
sempre più le sue oscillazioni no a perdersi fuori dal FEL.
La seconda linea ospiterà invece esperimenti di compressione magnetica del
fascio, non utilizzando quindi l'ondulatore, attraverso un sistema di chicane
magnetiche che permetteranno in particolare lo studio di eetti come CSR (Co
herent Synchrotron Radiation) e wake-eld e il loro impatto sulla degradazione di
emittanza. Per quanto riguarda la parte a radiofrequenza la progettazione è ori
entata allo sviluppo di iniettori ad alta frequenza, allo sviluppo di dispositivi per
la diagnostica dell'emittanza del fascio e per la compensazione dell'emittanza
longitudinale.
1.2 La cavità biperiodica
Nel progetto SPARC si vuole ottenere un fascio composto da bunch ultracorti
al ne di innescare un fenomeno di SASE FEL, per l'emissione di radiazione
coerente.
Al ne di ottimizzare la compressione del bunch si utilizzano due
bunch compressor subito prima degli ondulatori responsabili dell'innesco del
meccanismo di emissione spontanea autoamplicata.
Le strutture acceleranti
di tipo TW previste inducono un chirp di energia nel bunch che poi permane
anche dopo la compressione.
In pratica quando il bunch non è compresso in
modo ottimale si vericano elevati picchi di corrente nei compressori. Ciò può
indurre forti instabilità nel fascio a causa di emissione di radiazione coerente
di sincrotrone (CSR), di conseguenza si degrada irrimediabilmente l'emittanza
orizzontale del fascio. Questa caratteristica permane anche dopo la compressione
magnetica e incide fortemente sulle proprietà del fascio necessarie per produrre il
meccanismo di SASE FEL. Allo scopo di correggere questo problema è necessario
introdurre un dispositivo a monte dei compressori che linearizzi la correlazione
energia-tempo sul bunch per renderlo così idoneo alle speciche richieste. Poiché
lo spazio disponibile è di soli
60
cm circa, si necessita di una struttura in grado
9
1.2.
LA CAVITÀ BIPERIODICA
di fornire un alto gradiente di campo in uno spazio ridotto. Si è scelto dunque
di lavorare in IV armonica, ossia in X-band (11.424 GHz). Lavorare a frequenze
maggiori implica diversi vantaggi.
inoltre il fattore
Rsh /Q
In primo luogo le dimensioni sono ridotte,
(si veda il capitolo
2)
risulta notevolmente migliore
rispetto a strutture a più bassa frequenza.
La scelta e ricaduta su una struttura multicella di tipo standing wave con le
seguenti speciche [2,3]:
ˆ
Tensione acceleratrice media: V =
ˆ
Lunghezza assiale: L=12 cm;
ˆ
Apertura delle iridi
ˆ
Velocita del fascio
ˆ
Carica del bunch: Q=1 nC;
ˆ
Lunghezza del bunch: l=10ps;
ˆ
Frequenza operativa: fres =
Φ=
5
MV;
mm;
β '1;
11.424
GHz.
9 celle alternate con 8 più strette ma radial
di 17 celle. Esse vengono alimentate da una
La suddetta cavità è composta da
mente piu estese, per un totale
guida d'onda in rame che si accoppia sulla cella centrale tramite una placca
anch'essa in rame. Il modo operativo scelto è il
π /2,
che ha il grande vantaggio
di avere i modi adiacenti molto distanziati in frequenza. Ecco la ragione per la
quale tale cavità rappresenta un'evoluzione di quella che, alla stessa frequenza
di risonanza, opera con il modo
capitolo
modo
π
4).
π
(questo problea sarà ampiamente trattato nel
Per la caratterizzazione sperimentale della cavità operante con il
si rimanda alla tesi di Francesco Coppola [16]. Altre due tesi sono state
sviluppate sulla cavità biperiodica di cui ci interessiamo in questa sede, per le
quali si rimanda ugualmente alla bibliograa [14,15].
Il prolo della struttura è rappresentato in guta
Le dimensioni sono le seguenti [2]:
ˆ
Periodo P =
1.3121
ˆ
Raggio delle celle nali rend =
1.0577cm;
ˆ
Raggio delle celle centrali r =
1.0575
cm;
10
cm;
1.3.
1.2.
Figura
LA CAVITÀ BIPERIODICA
1.3: Forma e dimensioni della cavità biperiodica operante col modo π/2
ˆ
Spessore dell'iride s =
0.2cm;
ˆ
Spessore della cella d'accoppiamento l =
ˆ
Spessore delle celle acceleranti t =
ˆ
Raggio dell'iride h =
ˆ
Lunghezza beam-pipe =
0.4
0.1
0.8121
cm;
cm
11;
cm;
3cm.
Il prototipo inizialmente constava di
17
celle di rame tenute insieme da quattro
tiranti in rame elettrolitico che aderivano alle celle nali grazie a due ange di
acciaio. La cavità è stata successivamente sottoposta al processo di brasatura:
tale procedimento consiste nel collegare pezzi metallici tramite l'ausilio di un
materiale d'apporto la cui temperatura di fusione è minore di quella delle parti
da assemblare. Il metallo o la lega brasante, allo stato fuso, penetrano per cap
illarità tra i giunti del materiale base, che durante l'intero processo rimane allo
stato solido. Abbassando poi nuovamente la temperatura, si ottiene l'assemblag
gio del dispositivo. Per una trattazione sintetica ma più esaustiva del processo
di brasatura si rimanda al capitolo
In corrispondenza delle
9
4.
celle maggiori della struttura ci sono delle partico
lari viti (tuner) che, penetrando all'interno della cavità, ne modicano il volume.
Le dimensioni delle regioni estreme (quelle senza tuner) sono tra di loro dier
enti a causa del processo di fabbricazione. La cavità viene eccitata tramite delle
antenne poste sulle due porte d'ingresso (collegate alle regioni estreme) e tramite
il coupler per mezzo di una guida d'onda rettangolare ad alta frequenza.
11
1.3.
SCOPO DEL LAVORO DI TESI
1.3 Scopo del lavoro di tesi
Nei LINAC sono presenti diverse strutture a radiofrequenza per la modica delle
proprietà del fascio: possono esserci cavità acceleranti per accelerare i bunch
di elettroni o per linearizzarne l'energia e cavità deettenti per la diagnostica
e per le misure di emittanza. L'oggetto di questa tesi e lo studio della cavita
accelerante a
11,424
GHz, la cui presenza è necessaria a monte dei compressori
per compensare le distorsioni non lineari introdotte dalle cavità acceleranti a
2.856
GHz. Di questa struttura è già stato realizzato il prototipo ed eseguita
la caratterizzazione sperimentale (si veda a tal propisto la tesi di Alessandro
Venzaghi).
brasatura
Tali misure si riferivano però al prototipo prima del processo di
ed infatti i risultati prodotti (per esempio la misura del fattore di
merito Q0 ) evidenziavano prestazioni inferiori a quelle esibite dai software di
simulazione.
Lo scopo di questa tesi è quello di fornire la caratterizzazione
sperimentale della cavità dopo la brasatura, confrontando le misure ottenute
con quelle precedenti al ne di vericare la conforimità del prototipo con le
speciche richieste.
I parametri di interesse per la caratterizzazione di questa struttura sono, per
ogni modo:
ˆ
la frequenza di risonanza f0 ;
ˆ
il fattore di merito Q0 ;
ˆ
il campo elettromagnetico al suo interno (e le condizioni per le quali si
raggiunge la
ˆ
la
eld-atness );
shunt impedance Rsh
o equivalentemente il rapporto
Rsh /Q0 .
Per la determinazione di questi parametri si deve valutare il campo elettrico in
asse in modo molto preciso e rigoroso. Al tal ne sono stati necessari:
ˆ
lo sviluppo di un banco di misura con sistema di controllo per NA in banda
X e motorino IPSES in modo automatico tramite il software Labview
(capitolo
ˆ
4);
lo sviluppo e l'implementazione di algoritimi specici per i due metodi di
misura utilizzati (capitolo
ˆ
5
e
6);
una fase preliminare in cui ci si è accerati della ripetibilità delle misure
(capitolo
4).
Era inoltre opportuno controllare che la strumentazione e i
12
1.3.
SCOPO DEL LAVORO DI TESI
dispositivi utilizzati (su tutti le antenne usate per eccitare i modi in cavità)
non perturbassero in maniera signicativa la struttura sotto esame;
ˆ
la calibrazione in pillbox degli oggetti perturbanti utilizzati, procedura
fondamentale per ottenere il valore (in
(paragrafo
5.2.4).
V
√ ) del campo elettrico in asse
m J
Le varie fasi del lavoro sono state svolte interamente presso il LAR, Laboratorio
di Acceleratori e Rivelatori, del Dipartimento di Energetica dell'Università di
Roma La Sapienza.
13
Capitolo 2
Descrizione di una Cavità
Risonante
In questo capitolo viene fatta una breve panoramica sulle cavità risonanti usate
nella sica degli acceleratori, quindi si procede a denire i parametri di interesse
per la caratterizzazione delle strutture a radiofrequenza usate nei LINAC.
2.1 Denizione
Per cavità risonante s'intende una regione di spazio chiusa, limitata da pareti
perfettamente conduttrici e riempita da un mezzo lineare, omogeneo, isotropo
e non dispersivo. I campi elettromagnetici soluzioni particolari delle equazioni
di Maxwell omogenee costituiscono le sue oscillazioni libere, le quali vengono
chiamate modi di oscillazione della cavità.
La teoria aerma che si ha un'in
nità discreta di modi di oscillazione, in quanto una cavità risonante (limitata
nello spazio) possiede un'innità discreta di autovalori [4]. Nel nostro studio, la
geometria considerata è quella cilindrica e ciò permette di stabilire che il modo
fondamentale (quello corrispondente all'autovalore piu piccolo) è il
T M010 . Esso
è caratterizzato dalla sola componente longitudinale del campo elettrico E (e di
conseguenza dalla sola componente trasversa del campo magnetico H).
In presenza di N celle identiche accoppiate possiamo aermare, grazie ad
un noto risultato della meccanica classica che si applica ai sistemi di oscillatori
accoppiati, che la struttura composita presenterà un
pettine
di N modi (detti
modi normali ) in corrispondenza di ogni modo della singola cavità.
14
Detta
ωn
la
2.2.
STRUTTURE PERIODICHE DI TIPO
TRAVELLING WAVE
STANDING WAVE
E
frequenza di risonanza dell'n-esimo modo della singola cella, il sistema di cavità
accoppiate mostrerà, in un intorno di
ωn ,
N frequenze di risonanza distinte.
Nel caso specico della cavità biperiodica, che aronteremo nei prossimi
capitoli, essendo
17 le celle presenti al suo interno, osserveremo 17 modi normali
per ogni modo della singola pillbox.
2.2 Strutture periodiche di tipo Standing Wave e
Travelling Wave
Gli acceleratori di particelle usano oppurtuni campi elettrici e magnetici per
controllare l'energia e la traiettoria dei fasci di particelle.
particella di carica
e
Come è noto, una
immersa in un campo elettromagnetico è sottoposta alla
forza di Newton-Lorentz
d~
p
~ + e~v × B
~
= eE
dt
(2.1)
Da questa si può facilmente mostrare che è il campo elettrico a fornire en
ergia alla particella, mentre il campo magnetico ne curva la traiettoria. Negli
acceleratori di particelle non si usano campi elettrici statici (la cui intensità
sarebbe fortemente limitata dal breakdown elettrico dei generatori), ma bensì
campi elettrici a RF. Concettualemnte si può pensare ad una catena di elettrodi
alimentati da un generatore a radiofrequenza, a distanza L gli uni dagli altri.
Detto TRF il periodo del segnale, se la condizione di sincronismo
L=
vTRF
2
è rispettata, una particella che sia muova a velocità
(2.2)
v
vedrebbe un campo
elettrico sempre nello stesso verso e verrebbe accelerata da tutti gli elettrodi.
Un modo per accelerare una particella è quindi usare una struttura ad onda
Standing Wave ),
stazionaria (
cioé accoppiando N cavità risonanti a distanza
L le une dalle altre, alimentate tramite una guida d'onda collegata alla cavità
centrale. In questo modo la particella non è sottoposta in ogni istante al mas
simo valore del modulo del campo, ma si garantisce ugualmente l'accelerazione
da parte di ognuna delle cavità, se è rispettata la condizione di sincronismo.
L'oggetto di studio di questa tesi è appunto una struttura di tipo
Standing
Wave.
Per particelle ultra relativistiche spesso si preferiscono strutture ad onda
15
2.3.
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UNA CAVITÀ RISONANTE
Travelling Wave ).
viaggiante (
In questo caso non si sfrutta un fenomeno di
risonanza, ma la struttura si comporta come una guida nella quale la particella
viaggia sulla cresta dell'onda ed è quindi può essere sottoposta in ogni istante
al massimo dell'accelerazione.
Perché un onda elettromagnetica fornisca in modo continuo energia ad una
particella carica devono essere rispettate due consizioni:
ˆ
l'onda deve avere una componenete del campo elettrico parallela alla di
rezione del moto della particella;
ˆ
la particella e l'onda devono avere la stessa velocità per mantenere il
sincronismo.
La prima condizione non è soddisfatta per per onde elettromagnetiche nello
spazio libero, ma può esserlo per onde TM che si propaghino in una guida
d'onda uniforme. Poiché le strutture a simmetria cilindrica hanno come come
modo fondamentale proprio un modo TM, è questa la geometria maggiormente
utilizzata per il progetto degli acceleratori.
La seconda condizione richiede che la velocità della particella sia pari a quella
dell'onda (v
' c),
cosa non possibile in una semplice guida d'onda cilindrica
poiché la velocità di fase risulta maggiore di
c [4].
Una possibile soluzione è
quella di caricare la struttura con delle iridi metalliche che, provocando fenomeni
di riessione all'interno delle cavità, riescono ad abbassare il valore della velocità
di fase. Rispetto ad una struttura
elevati di
shunt impedance
Standing Wave
[paragrafo
2.3.3]
si possono ottenere valori più
e quindi una maggiore ecienza.
2.3 Parametri caratteristici di una cavità risonante
2.3.1
Matrice di scattering
Per caratterizzare le reti elettriche alle microonde si utilizzano i parametri di
scattering, che mettono in relazione l'onda entrante in una porta con l'onda
uscente da un'altra porta (adattando tutte le altre porte).
Il motivo per cui
i parametri di scattering vengono preferiti rispetto alle altre rappresentazioni,
come per esempio quelle tramite parametri Z o Y delle reti due porte, è che, per
la misura di questi ultimi, è necessario realizzare condizioni di corto cirtcuito o
di circuito a aperto sulle altre porte, condizioni che è spesso non banale se non
quasi impossibile realizzare nelle microonde per ampi intervalli di frequenze.
16
2.3.
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UNA CAVITÀ RISONANTE
Per una rete n-porte si avrà:

V1−


S11

  ..
 ···  = 
 .
Vn−
Sn1
···
S1n
..
.
.
.
.
···
Snn


V+
 1 
 ··· 

Vn+
(2.3)
dove
µ
Sij =
Vi− e Vj+
Vi−
V j+
¶
(2.4)
Vk =0,∀k6=i,j
indicano rispettivamente le ampiezza dell'onda entrante nella porta
j e dell'onda uscente dalla porta i. La matrice costituita da questi parametri è la
matrice di scattering: gli elementi della diagonale principale si dicono coecienti
di riessione, tutti gli altri coecienti di trasmissione. Se la rete è passiva la
matrice risulterà simmetrica. Per i nosti scopi l'utilizzo di questi parametri è
molto comodo sia perchè una cavita puo essere sempre modellizzata come una
rete n-porte, sia perchè alle frequenze di lavoro per l'adattamento di una porta
e suciente utilizzare un'impedenza di
50 Ω.
La cavità in esame in esame in questa tesi può essere modellizzata come una
rete
3-porte
3x3
i cui elementi sulla diagonale principale sono i coecienti di riessione da
passiva. La matrice di scattering consiste dunque in una matrice
ciascuna porta quando l'altra è adattata. La struttura, essendo passiva, risulta
simmetrica.
3
Adattando una delle
essere vista come una rete
porte con un carico da
50
la cavità può
2-porte.
La misura dei coecienti di scattering è utile perché tramite di essa è possi
bile ricavare i parametri caratteristici della cavità, come vedremo nel prossimo
paragrafo, e calcolare il campo elettrico in asse (si veda a tal proposito i capitolo
3
e
5).
2.3.2
Fattore di merito e coeciente di accoppiamento
Uno dei parametri che viene utilizzato per caratterizzare un modo di una strut
tura risonante è il suo
fattore di merito [5] denito da
Q = ω0
U
P
(2.5)
dove U è l'energia immagazzinata dal modo nella struttura, P è la potenza
media dissipata dal modo sulle pareti della struttura e
17
ω0
è la pulsazione di riso
2.3.
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UNA CAVITÀ RISONANTE
nanza del modo. Se il risonatore non è caricato, il modo immagazzina potenza
solo all'interno della cavita e dissipa potenza solo sulle sue pareti; il fattore di
merito sarà
Q0 = ω0
U0
P0
(2.6)
Se il risonatore è caricato, cioè se è accoppiato ad un carico esterno, il modo
dissipa parte della potenza nella cavita e parte nel carico, cioè
P = P0 + Pext .
Il fattore di merito della struttura considerata nel suo complesso è
QL = ω0
U0
P0 + Pext
(2.7)
Denendo il fattore di merito del carico esterno come
Qext = ω0
U0
Pext
(2.8)
si ricava che
1
1
1
=
+
QL
Q0
Qext
Il
coeciente di accoppiamento β
β=
(2.9)
tra carico esterno e cavità è denito come
Q0
Pext
=
Qext
P0
(2.10)
da cui si ottiene immediatamente
(2.11)
Q0 = (1 + β)QL
Il
β
è legato al coeciente di riessione dalla relazione [6]
|Γ(ω0 )| =
|β − 1|
|β + 1|
Dalle relazioni (2.11) e (2.12) risulta che per ottenere il
(2.12)
Q0
è necessario
conoscere sia il modulo del coeciente di riessione alla risonanza che il
QL ,
che possono essere ricavati utilizzando un Network Analyzer, strumento che
consente di misurare i coecienti della matrice di scattering (come descritto
nel capitolo
3).
Il
QL
potrà allora essere ricavato dalla misura del coeciente
di tramissione tra due porte della rete, che in corrispondenza di
18
ω0
presenterà
2.3.
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UNA CAVITÀ RISONANTE
ovviamente una risonanza. Il fattore di merito è un parametro caratteristico di
ogni risonanza e può essere ricavato, anche nel nostro caso, come
Q=
dove con
BW
ω0
BW
(2.13)
si è indicata la banda passante.
Il Network Analyzer è in
Q.
Per risolvere il modulo a numeratore della (2.12) è necessario sapere a priori
grado di fornire automaticamente il valore di
se il
β
è maggiore o minore di
1.
L'espressione per il calcolo di

β > 1 =⇒ β =
β < 1 =⇒ β =
Per stabilire a priori se
β
β
diventa:
1+|Γ|
1−|Γ|
1−|Γ|
1+|Γ|
(2.14)
è maggiore o minore di
1
si può esaminare l'anda
mento del modulo del coeciente di riessione al variare diω sulla carta di Smith:
se il cerchio che descrive la risonanza contiene l'origine della carta di Smith, allo
ra
β > 1, viceversa β < 1; nel caso il cerchio passi per l'origine allora β = 1.
tre casi si parla, rispettivamente, di
accoppiamento critico.
Nei
sovra-accoppiamento, sotto-accoppiamento e
Risulta chiara l'importanza dei coecienti della matrice
di scattering una volta misurati i quali è possibile calcolare
β
e
Q0 .
2.3.3 Shunt Impedance
Un'importante quantità che caratterizza l'ecienza di una struttura accelerante
a RF è la
shunt impedance
denita come
Rsh =
V02
2P
(2.15)
dove:
ˆ qV0
è l'energia guadagnata dalla carica q che attraversa la struttura con
la fase ottima (particelle sincrone), quindi
V0
è l'energia guadagnata per
unità di carica;
ˆ P
è la potenza dissipata sulle pareti della struttura.
Se il campo elettrico è solo assiale (cioé parallelo alla direzione del moto della
particella,
−
→
|E (x, y, z, t) | = E (z, t) z 0 )
possiamo scrivere:
19
2.3.
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UNA CAVITÀ RISONANTE
ˆL
E (z (t)) dz
V0 =
(2.16)
0
essendo
ˆ L
la lunghezza della struttura;
ˆ t (z) =
In genere la
´
dz
v
+ t0
il tempo impiegato dalla particella per arrivare in z.
shunt impedance
viene normalizzata alla lunghezza della cavità, in
Ω/m. La shunt impedance è un parametro dipendente
utilizzato (P ) sia dalla geometria della struttura (V0 ).
tal caso si esprimera in
sia dal metallo
Per poter confrontare l'ecienza di strutture diverse è necessario utilizzare
un parametro indipendente dal materiale utilizzato (cioé dalle perdite della strut
tura) e dalla lunghezza della cavità.
(Rsh /L)/Q0
A tale scopo viene denito il rapporto
che in base alla (2.12) e alla (2.4) risulta
Rsh /L
V 2 /(2LP )
V02
= 0
=
Q0
ω0 U/P
2Lω0 U
Poiché
U ∝ V02
(2.17)
questo parametro dipende solo dalla geometria della strut
tura.
L'importanza di questo parametro sta nel fatto che esso dà un'indicazione
dell'energia che eettivamente viene utilizzata per accelerare il fascio. Uno dei
principali obiettivi in sede di progetto è quello di determinare la geometria della
hunt impedance
struttura in modo da massimizzare la s
o, equivalentemente, il rapporto
(Rsh /L)/Q0 ,
20
per unità di lunghezza
per una data potenza dissipata.
Capitolo 3
Metodi di misura di campi
E.M. in cavità
In questo capitolo verrà illustrata brevemente la teoria dei metodi perturbativi
per la misura di campi elettromagnetici in regioni chiuse di spazio, quali le cavità
risonanti. Quindi verrà descritto il banco di misura e la strumentazione usati.
3.1 Teoria dei metodi perturbativi
Storicamente, i metodi perturbativi derivano dal lavoro di Maier e Slater del
1951 (8),
in particolare dalla nota formula che mette in relazione la variazione
della frequenza di risonanaza in una cavità chiusa perturbata da un piccolo
oggetto metallico (disco o sfera), al campo elettrico e magnetico nel punto in
cui è posizionato l'oggetto. Si tratta di una tecnica indiretta in cui si calcola
la variazione di un paramentro (la frequenza di risonanza) la cui misura non
presenta dicoltà e, grazie ad un risultato teorico, si ottiene la grandezza cer
cata. Da allora molto autori hanno ricavato formule particolari che si applicano
ognuna ad uno specico tipo di struttura. Più interessante è il risultato [10] che
mostra come si possa ricavare una formula generale (valida per qualsiasi lineare
e passiva) direttamente dal principio di reciprocità di Lorentz.
In base al teorema di Slater lo spostamento della frequenza di risonanza di
un modo eccitato in cavità, dovuto alla presenza in un determinato punto di un
oggetto perturbante, è legato alla variazione dell'energia elettrica e magnetica
nello stesso punto. Più precisamente si ha
21
3.1.
TEORIA DEI METODI PERTURBATIVI
4ω
4U
=
ω0
U0
(3.1)
dove:
ˆ 4ω = ωp − ω0
è la variazione della frequenza di risonanza del modo
dovuta alla presenza dell'oggetto perturbante, essendo
risonanza
imperturbata
ˆ 4U = Up − U0
e
ωp la
pulsazione
ω0 la
pulsazione di
perturbata;
è la variazione dell'energia immagazzinata dal modo
all'interno della cavità, essendo
U0
l'energia immagazzinata in assenza
dell'oggetto e l'energia immagazzinata in presenzadell'oggetto.
Poiché
U0 = Um + Ue =
1
4
ˆ
~ |2 −²o | E
~ |2 )dV
(µ0 | H
(3.2)
V
dove V è il volume della cavità, si può scrivere:
4U = 4Um + 4Ue
(3.3)
con

4U
m
=
1
4
´
4V
~ |2 dV
µ0 | H
4U = − 1 ´
~ 2
e
4 4V ²0 | E | dV
dove
4V
(3.4)
è il volume dell'oggetto perturbante.
Se, come nel caso della cavità oggetto di studio in questa tesi, il modo di
lavoro scelto è il TM010 , il campo magnetico sull'asse longitudinale è nullo. Ciò
comporta che in ogni punto dell'asse longitudinale della cavità il campo elettrico
sarà legato alla variazione della frequenza di risonanza dalla relazione
4ω
1
=−
ω0
4U
ˆ
~ z |2 dV
²0 | E
(3.5)
4V
Supponendo che le dimensioni dell'oggetto siano sucientemente piccole
rispetto a quelle della cavità da poter considerare costante il campo elettrico
al suo interno, l'ultima relazione diventa
~ z |2
~ z |2
|E
|E
4ω
= −k˜e 4V ²0
= −ke ²0
ω0
4U
U
22
(3.6)
3.2.
dove
ke = (4V ²o )/4
MISURA IN FASE
è un parametro, detto
fattore di forma, che tiene conto
della geometria dell'oggetto perturbante.
Dall'ultima relazione si vede come, misurando la variazione della frequenza
di risonanza nel punto dell'asse in cui è posto l'oggetto, di cui è necessario
conoscere il
fattore di forma, è possibile conoscere il campo elettrico nello stesso
punto. Eettuando tale misura per tutti i punti dell'asse della cavità, è possibile
risalire all'andamento complessivo del campo in asse.
3.2 Misura in fase
Se, per la presenza deloggetto varia la frequenza di risonoanza, in corrisponden
za della vecchai frequenza di risonanza (f0 ) la fase del coeciente di trasmissione
S 12 non
risulterà più nulla. La variazione della fase dell'S12 in corrispondenza
di f0 è legata alla variazione della frequenza di risonanza dalla relazione [7]:
4ω
tan 4φ
=
ω0
2QL
(3.7)
Quindi anziché misurare la variazione della frequenza di risonanza del modo
di interesse, si può misurare la corrispondente variazione di fase rispetto alla
fase imperturbata alla risonanza, cioé
φ(fo ) = 0;
la
3.7
diventa quindi
4ω
tan 4φ
=
ω0
2QL
(3.8)
se poi la perturbazione è piccola (dimensioni dell'oggetto perturbante pic
cole rispetto a quelle della cavità) si puo approssimare la tangente con l'angolo
ottenendo
4ω
4φ
'
ω0
2QL
(3.9)
Una volta misurata la variazione della fase si potra ricavare l'andamento del
campo elettrico in asse utilizzando la relazione (ricavata dalla
3.6):
~ z |2
|E
4φ
' −ke ²0
2QL
U
(3.10)
~ z |2
4φ
|E
'−
U
2QL ke ²0
(3.11)
ottenendo
23
3.3.
IL METODO DI STEELE
3.3 Il metodo di Steele
La formula di Slater (3.1) e tutte quelle, rintracciabili in letteratura, da essa
derivate, sono applicabili solo a strutture risonanti.
In alcuni casi, invece, è
necessario fare misure di campo in dispositivi che non supportano la risonanza,
a causa delle eccessive perdite o, più semplicemente, perché si desidera conoscere
l'entità del campo in condizioni di non risonanza (si pensi, per esempio, ad una
struttura
Travelling Wave ).
In questi casi la teoria di Slater non è applicabile e bisogna ricorrere a metodi
perturbativi non risonanti. La teoria alla base di questi metodi è stata esposta
ampiamente ed in modo rigoroso da Charles W. Steele nel
1966 [9],
anche se già
negli anni '50 erano state presentate delle formule applicabili a strutture non
risonanti.
La principale caratteristica di questi metodi è che la frequenza alla quale si
eettua la misura rimane ssa. Omettendo la dimostrazione, per la quale riman
diamo ai testi in bibliograa, il risultato di Steele è il legame di proporzionalità
tra la variazione del coeciente di riessione, causata dalla presenza di un ele
mento perturbante, e il valore del campo nel punto in cui è posizionato l'oggetto.
Consideriamo quindi una cavità di qualsiasi forma con una porta di ingresso dal
la quale viene fornita la potenza RF e un qualsiasi numero di porte di uscita. Si
considera la cavità come complessiva delle guide d'onda di uscita e dei carichi
ad esse connessi. Le pareti della cavità e il mezzo che la permea possono essere
indipendentemente privi di perdite o con perdite. Riportando solo il risultato
di interesse in questa sede, detta
so,
Γi
Pi
la potenza incidente dalla porta di ingres
il coeciente di riessione alla porta di ingresso in assenza dell'oggetto
perturbante,
elettrico
Γp
il coeciente di riessione
imperturbato
perturbato
e
Ezi
il valore del campo
nel punto in cui viene posto l'oggetto, si ha
ˆ
(Ep · Jti − Ei · Jtp − jω(µi − µp )Hi · Hp )dv
2Pi (Γp − Γi ) =
(3.12)
Vp
essendo
i peidici
Jt = J + jω²E , Vp il volume occupato dall'oggetto perturbante, mentre
i e p indicano rispettivamente le grandezze in presenza e in assenza
della perturbazione.
Applichiamo questa formula generale al caso di una struttura a simmetria
cilindrica, in cui viene eccitato il modo
24
T M010
(siamo cioé in presenza di un
3.4.
campo elettrico
Ezi
DEFINIZIONE DI FIELD-FLATNESS
unicamente longitudinale, mentre il campo
H
è nullo in tale
direzione). Nell'ulteriore ipotesi che l'oggetto sia piccolo rispetto alle dimensioni
cavità (ipotesi che ci permette di considerare costante il campo nella regione
occupata dall'elemnento perturbante), possiamo scrivere
2
2Pi (Γp − Γi ) = jωkST Ezi
dove
kST
(3.13)
è un parametro solitamente funzione delle caratteristiche dell'ogget
to perturbante (dimensioni, forma, composizione), della sua orientazione rispet
to al campo elettrico, delle proprietà del mezzo che riempie la cavità e della
frequenza di lavoro.
kST
ha le dimensioni di
m2 /Ω.
Per applicare la formula
alle tecniche di misura, è più comodo riscrivere la (3.13) come
2(Γp − Γi )
E2
= i
jωkST
Pi
(3.14)
Il termine a secondo membro (cioé il valore del quadrato del campo nor
malizzato alla potenza incidente) è una quantità che, per strutture semplici,
è possibile ricavare dai modelli teorici.
Conoscendo anche
risalire da una misura della variazione di
Γ
kST
si può quindi
ad una misura del campo. Si noti
che, rispetto al metodo di Slater, che ci fornisce informazioni unicamente sul
modulo del campo elettrico incognito, la (3.24) è una relazione in modulo e fase.
3.4 Denizione di eld-atness
Deniamo ora un parametro la cui misura per la cavità in esame in questa tesi
è di grande interesse.
Data una misura di fase o di campo, si denisce eld-atness la quantità
H=
dove
Amax
Amax − Amin
Amedio
è la massima ampiezza misura,
valor medio di tutti i picchi presenti.
Amin
(3.15)
quella minima e
Amedio
il
Tale parametro permette di valutare
l'intervallo entro cui si trovano i singoli picchi relativi alla fase o al campo
elettrico. Più questo intervallo è piccolo e maggiore è l'ecienza di accelerazione
della struttura.
25
3.5.
IL BANCO DI MISURA
3.5 Il banco di misura
In questo paragrafo descriviamo la strumentazione e il software utilizzato nelle
misurazioni. I dispositivi che costituiscono l'apparato di misura sono:
ˆ
analizzatore di reti Agilent N5320A;
ˆ
motore IPSES passo-passo;
ˆ
PC;
ˆ
interfaccia GPIB;
ˆ
software Labview.
Tramite PC è stato possibile controllare in remoto l'analizzatore di reti e il
motore passo-passo.
Quest'ultimo è necessario per avvolgere e riavvolgere il
lo sul quale sarà posizionato l'oggetto perturbante, il quale ci permetterà di
eettuare le misure di campo con le tecniche di Slater e di Steele.
3.5.1
Il Network Analyzer Agilent N5230A
Un analizzatore di reti è uno strumento usato per analizzare le proprietà delle
reti elettriche, in particolare il comportamento associato alla riessione ed alla
trasmissione di segnali elettrici. Gli analizzatori di reti sono usati principalmente
per le alte frequenze, tipicamente da alcune centinaia di kilohertz no a molti
gigahertz.
Gli analizzatori di reti sono principalmente di due tipi:
ˆ
Analizzatore di reti scalare (SNA) - analizza solo le ampiezze dei segnali.
ˆ
Analizzatore di reti vettoriale (VNA) - analizza sia le ampiezze che la fase
dei segnali.
Lo strumento usato in questa tesi è un Network Analyzer Agilent N5230A,
capace di lavorare in un intervallo di frequenza che va da
10
MHz a
20
GHZ, e
può essere ricondotto alla seconda delle due categorie di cui sopra. Tramite di
esso siamo stati in grado di misurare modulo e fase dei parametri S della matrice
di scattering di una rete
2-porte
in funzione della frequenza, la frequenza di
risonanza di ciascun modo e, in modo automatico, il fattore di merito Q
loaded.
L'analizzatore di reti può essere collegato al PC tramite un'interfaccia GPIB.
26
3.5.
3.5.2
IL BANCO DI MISURA
Labview
LabVIEW è un ambiente di sviluppo graco con funzionalita incorporate per
l'acquisizione, l'analisi delle misure e la presentazione dei dati. Nel caso in esame,
in cui si richiedeva di eettuare un gran numero di misure e di sincronzzare con
precisioni il NA Aglilent e il motorino IPSES, l'utilizzo di un programma Lab
VIEW (detto
Virtual Instrument ) ha consentito di semplicare l'interfacciamento
con l'hardware di misura. In tal modo l'utente, per l'impostazione degli stru
menti e l'inserimento dei dati, non deve agire su di essi ma utilizza il Pannello
Frontale del VI. La realizzazione e ottimizzazione del VI ha costituito una parte
non trascurabile di questo lavoro di tesi. Nei capitoli seguenti verranno descritti
con dettaglio il
Virtual Instrument
realizzato e le procedure implementate per
l'esecuzione dei due tipi di misura (quella secondo la formula di Slater e quella
secondo il metodo di Steele).
3.5.3
Il motore IPSES
Per il movimento dell'oggetto perturbante è stato utlizzato un motore passo-pas
so con angolo di step =100 ± 5%. Il motore è pilotato da un circuito di controllo
(driver), alimentato da un alimentatore da
12
V, che elabora le sequenze di
bit trasmesse da un PC tramite un cavo parallelo. Le rotazioni dell'albero del
motore in un senso o nell'altro provvedono all'avvolgimento o allo svolgimento
del lo e, conseguentemente, al movimento dell'oggetto, ad esso ssato, sull'asse
della cavita.
27
Capitolo 4
La cavità biperiodica
In questo capitolo descriveremo in maniera esaustiva la struttura in esame, quin
di aronteremo il problema della caratterizzazione esterna della cavità biperiod
ica, ovvero mostreremo tutte quelle misure dirette (modulo e fase dei parametri
di scattering), ed indirette (fattori di merito non caricati e coecienti di accop
piamento delle antenne e del coupler) che possono essere eettuate tramite il
Network Analyzer senza l'utilizzo di particolari procedure come quelle, descritte
nei capitoli
4
e
5,
che permetteranno la determinazione del campo interno alle
celle.
La cavità descritta rappresenta un evoluzione rispetto a quella operante nel
modo
π [11,16].
Nel seguito mostreremo che la cavità biperiodica presenta evi
denti vantaggi rispetto a quella periodica, a patto di garantire, con una struttura
delle stesse dimensioni, la stessa capacità accelerante, ovvero lo stesso valore di
Rsh /Q.
4.1 Il modo π/2
Al ne di migliorare l'emittanza longitudinale del fascio di elettroni (per il corret
to innesco del fenomeno
SASE-FEL) è richiesto un campo elettrico longitudinale
rispetto alla direzione del fascio. Pare quindi ovvio scegliere un modo di lavoro
caratterizzato da un campo
E
puramente longitudinale. Data una singola pill
box, ovvero una cavità risonante cilindrica, la teoria elettromagnetica [5] ci dice
che il modo fondamentale
T M010
risponde a tale requisito.
Come abbiamo accennato nel capitolo
28
2,
se accoppiamo N celle identiche,
4.1.
Figura
4.1:
IL MODO
π/2
Distrubuzione del campo elettrico per il modo
π e π/2
il sistema risultante presenterà, in corrispondenza di ogni modo di oscillazione
della singola cella, N modi detti
normali.
Questa famiglia di modi si distribuirà
su un intervallo di frequenze, approssimativamente centrato intorno alla
singolo oscillatore, detto
ω0
del
passband.
Quando viene eccitato un modo normale da una sorgente RF, in ognuna delle
celle comincerà ad oscillare un campo elettromagnetico, con una dierenza di
fase tra un oscillatore e il successivo che è caratteristica dello specico modo.
Tra due modi normali quello che cambia è quindi la distribuzione del campo nelle
varie celle. Prenderemo ora in esame unicamente le distribuzioni del campo per
il modo
π
e per il modo
π/2
(gura
4.1).
Nel primo caso, il modulo del campo elettrico cambia segno in prossimità di
ciascuna iride mentre nel secondo caso il modulo risulta invertito tra un'iride
e la successiva ed è nullo tra di esse (si noti che entrambi i modi, derivando
dal
T M010
della pillbox, sono caratterizzati da un campo elettrico puramente
longitudinale). Tutto ciò va ad inuenzare anche i rispettivi valori di
Rsh ,
risultano essere leggermente superiori per una cavità operante con il modo
che
π.
Una cavità biperiodica, tuttavia, ore numerosi vantaggi rispetto ad una
cavità periodica. In primis vi è il vantaggio di avere i modi adiacenti più distanti
in frequenza. Ciò è importante per ridurre la probabilità di eccitare altri modi
29
4.2.
LA CURVA DI DISPERSIONE
nella cavità oltre a quello voluto. La migliore soluzione per ottenere i vantaggi
del modo
π/2 mantenendo un'alta Rsh /Q è formare una sequenza di celle di cui
solo la metà viene eccitata, mentre le altre sono cavità di accoppiamento che
rendono possibile il modo
π/2.
In questo caso si parla infatti di accoppiamento
risonante e il trasferimento di energia tra una cella ed un'altra avviene tramite
un altro risonatore. L'oggetto del nostro studio sarà una cavità risonante alla
frequenza di
11.424
GHz formata da
17
celle totali di cui
9
hanno il compito
di accelerare gli elettroni (da cui il nome di celle acceleranti) e le rimanenti
8
prendono il nome di celle di accoppiamento.
Se le celle di accoppiamento hanno la stessa dimensioni di quelle acceleranti,
è evidente che la
Rsh /Q
è inferiore rispetto ad una struttura periodica della
stessa lunghezza complessiva, in quanto il campo si concentra solo in una metà
dello spazio disponibile. Una soluzione migliore consiste nel ridurre le dimensioni
delle celle di accoppiamento. Le conseguenze di questa scelta sono illustrate nel
paragrafo seguente.
4.2 La curva di dispersione
Uno strumento fondamentale per la caratterizzazione di una cavità risonante è la
cosiddetta curva di dispersione. Essa si costruisce ponendo sull'asse delle ascisse
il numero dei modi che si propagano nella struttura e sull'asse delle ordinate la
frequenza di risonanza di ciascuno di essi.
Dalla lettura di un diagramma di
questo tipo si possono ottenere importanti informazioni quali la distanza tra un
modo e quelli adiacenti, il valore della velocità di fase e di gruppo e la presenza di
un'eventuale banda di frequenze all'interno della quale il campo non si propaga
stopband ).
(
La curva di dispersione può essere ottenuta sperimentalmente oppure dalla
teoria, calcolando analaticamente la frequenza di ogni modo.
Consideriamo dapprima N+1 oscillatori accoppiati con N-1 celle identiche
centrali e due mezze celle nali. Possiamo rappresentare le cavità risonanti con
un modello a costanti concentrate come in gura
4.2.1
Anché ogni oscillatore abbia la stessa frequenza di risonanza è necessario
1 Usare
un modello a costanti concetrate a frequenze superiori al Ghz è un approccio in
generale non consentito, in quanto cade l'ipotesi fondamentale che la lunghezza d'onda della
radiazione elettromagnetica coinvolta sia molto maggiore delle dimensioni del circuito. Una
modellizzazione di questo tipo è tuttavia utilizzabile nel nostro caso per l'estrapolazione dei
risultati di interesse, fermo restando che non si tratta di una modellizzazione esaustiva e
completa dei fenomeni coinvolti.
30
4.2.
Figura
4.2:
LA CURVA DI DISPERSIONE
Circuito equivalente per N+1 oscillatori accoppiati
che le celle estreme vengano modellizzate con una capacita doppia, essendo
accoppiate solo con una cella.
Le frequenze dei modi possono essere espresse
tramite la seguente relazione [5]:
ω0
Ωq = p
1 + k cos (πq/N )
dove con k abbiamo espresso l'accoppiamento tra
tità
πq/N
(4.1)
2
celle adiacenti e la quan
è l'avanzamento della fase di un'onda viaggiante (q =
0,1,.....,N
è il
numero del modo normale eccitato).
La (4.1) ci permette di risalire analiticamente al diagramma di dispersione;
in gura
4.3
è mostrato un esempio nel caso N=7.
Si noti che il modo
π/2
corrisponde a
q = N/2
. Per
k ¿ 1,
la larghezza di
banda, denita come la dierenza tra le frequenza dei modi che costituiscono
gli estremi de diagramma, risulta pari a
δω ' kω0 [5].
Essendo indipendente da
N, questo ci porta a dire che, aumentando il numero di oscillatori accoppiati, la
distanza in frequenza tra un modo e il successivo dimnuisce. Questo può essere
un problema, in quanto nelle strutture reali, cioé aventi perdite, ogni modo ha
una larghezza di banda pari a
4ω = ω/Q.
Se questo intervallo è maggiore dello
spaziamento frequenziale tra due mdi adiacenti, questi si sovrapporranno. Ciò
signica che, se con un generatore RF cerco di eccitare un singolo modo, ecciterò
inevitabilmente anche quello ad esso più prossimo. Da quanto detto di deduce
la necessità di usare un modo di lavoro che presenti la massima distanza con i
modi adiacenti. Il modo
π/2
risponde a tale requisito. La distanza frequenziale
dal modo più vicino vale infatti [5]
31
4.2.
Figura
4.3:
LA CURVA DI DISPERSIONE
Diagramma di dispersione per un sistema di sette oscillatori
accoppiati
δΩ
π
=k
Ω
2N
che per
π,
N >2
(4.2)
risulta signicativamente maggiore di quella realativa al modo
pari approssimativmaente a
³ π ´2
δΩ
=k
Ω
2N
(4.3)
Già dal digramma di dispersione generico di gura
modo
π
4.3
si notava come il
si trovi in una zona a gradiente quasi nullo. Il gradiente della curva di
dispersione è pari alla velcoità di gruppo, e maggiore è quest'ultima e maggiore
è la distanza frequenziale tra due modi adiacenti.
Tratteremo adesso un caso più vicino a quello in esame in questa tesi.
prenda in considerazione un struttura formata da
2N
cavità di accoppiamento
con frequenza di risonanza (relativa al modo fondamentale)
acceleranti con frequenza
ωa .
Si
ωc
e
2N+1
cavità
La relazione di dispersione, cioé l'analoga della
(4.1) per questo nuovo modello, è
k 2 cos2
con
πq
=
2N
µ
¶µ
¶
ω2
ω2
1 − a2
1 − c2
Ωq
Ωq
q = 0, 1, ....., 2N.
32
(4.4)
4.3.
Figura
4.4:
stopband
LA BRASATURA
Curva di dispersione di una struttura biperiodica che presenta
Come abbiamo detto il modo
π/2 corrisponde a q = N , quindi il primo mem
π/2 la (4.4) ha perciò
bro dell'equazione si azzera. In corrispondenza del modo
due soluzioni.
Questo comporta una discontinuità nella curva di dispersione,
cioé la presenza di due rami separati in frequenza da una distanza chiamata
stopband.
Per garantire un'elevata
stopband.
Infatti se
ωc = ωa
corrispondenza del modo
shunt impedance,
sorge la necessità di chudere la
il diagramma di gura
π/2,
4.4
si ha un alto gradiente.
diventa continuo e, in
La cavità in esame in
questa tesi presentava già una curva di dispersione continua. Fisicamente ciò
è stato realizzato aumentando, in fase di fabbricazione, il raggio delle celle di
accoppiamento, in modo da rendere la loro frequenza di risonanza pari a quella
delle cavità acceleranti.
4.3 La brasatura
A questo punto vogliamo tornare brevemente sul processo di brasatura, di cui
abbiamo accennato nel primo capitolo.
Come era stato accennato, la brasatura è un processo che, a dierenza della
sadatura, non prevede la fusione dei giunti metallici da assemblare. Per l'assem
blaggio si utilizza bensì una lega (detta appunto lega brasante ) la cui temper
atura di fusione è inferiore a quella del materiale base usato per la struttura. La
lega, una volta allo stato fuso, viene fatta penetrare negli spazi tra le celle. La
33
4.3.
LA BRASATURA
capillarità della lega brasante e l'opportuna geometria delle parti da assemblare
favorisono la giunzione, che avviene allorchè la lega, ormai fusa, viene portata
di nuovo allo stato solido.
Tale processo si applica solitamente su giunti di dicile realizzazione o quan
do i materiali da unire non possono sopportare modicazioni strutturali o su
perciali, come ad esempio gli acciai inossidabili molto sensibili a cambiamenti
della microstruttura dovuti alla permanenza a temperature troppo elevate.
Nel caso di interesse di questa tesi, il processo di
brazing
era necessario per
migliorare l'ecienza della cavità senza modicarne la particolare geometria. E'
infatti la geometria delle celle a permettere la prensenza, al loro interno, di un
campo elettromagnetico rispondente alle speciche di progetto.
Anché il processo vada a buon ne è necessario che:
ˆ
la lega fusa arrivi a toccare tutta la supercie comune alle due celle in
modo regolare e continuo;
ˆ
le celle non ancora unite non si spostino dalla loro posizione nché la lega
brasante è ancora allo stato fuso;
ˆ
la lega non penetri all'interno della struttura formando residui metalli
ci che potrebbero causare un notevole peggioramento dei parametri del
risonatore.
La geometria dela cavità biperiodica è stata appositamente studiata per im
pedire, durante la brasatura, la diusione della lega brasante all'interno della
cavità [12]. Il materiale usato per il prototipo in rame è un Cu/OF, mentre la
2 Ag/Cu
lega brasante è una miscela eutettica
72%/28% il cui punto di fusione è
780°C. Il processo di brasatura avviene all'interno di un forno a vuoto, nel quale
la struttura viene montata in modo che il suo asse di simmetria si trovi in po
sizione verticale. La pressione necessaria tra le celle è ottenuta tramite un peso
da
0,5
Kg, senza usare tiranti di metallo. I test [11,12] hanno dimostrato che la
lunghezza e la coassialità della struttura non sono inuenzati dall'operazone di
brazing.
Il buon esito del processo, però, può essere confermato unicamente da
una serie di misure quali quelle che descriveremo del prossimo paragrafo e nel
capitolo
5.
La brasatura sotto vuoto richiede un forno particolare che fornisce una pres
sione di
10−5 mbar
2 l'aggettivo
alla temperatura di lavoro di
1000
gradi centigradi.
Per
eutettico si riferisce ad una miscela il cui punto di fusione è più basso di
quello delle singole sostanze che la compongono.
34
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Figura
4.5:
Sezione della cavità
ottenere un riscaldamento uniforme della cavità il forno deve essere equipaggia
to con un numero di sorgenti di calore indipendenti, controllate da un numero
suciente di termocoppie connesse alla cavità stessa.
4.4 Caratterizzazione esterna della cavità
Mostreremo adesso le prime misure eettuate sulla cavità, ossia quelle riguardan
ti i parametri di scattering, e il calcolo dei fattori di merito deimodi risonanti e
dei coecienti di accoppiamento. Essendo il
π/2
il modo di lavoro scelto per la
cavità, ci concentreremo in particolar modo su di esso.
4.4.1
Ottimizzazione del sistema di misura
Ogni processo di misura deve iniziare con una fase preliminare in cui ci si accerti
che l'atto della misurazione non perturbi il misurando.
Più precisamente, è
necessario che l'entità dell'eventuale perturbazione non sia maggiore dell'errore
sperimentale insito nel sistema.
In gura
4.5
è mostrata la geometria interna della cavità.
La struttura in esame è una rete
3-porte passiva.
La prima porta è costituita
dal coupler in rame, che, quando la cavità sarà in funzione, provvederà ad
alimentare struttura con la potenza a RF. Al ne di poter eettuare misure non
solo in riessione ma anche in trasmissione (e poter così calcolare i fattori di
merito dei modi di interesse), sono stati realizzati ai lati della cavità due fori nei
35
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
quali è possibile inserire delle antenne, che costituiscono la seconda e la terza
porta della cavità biperiodica.
Poiché l'analizzatore di reti ha solo due cavi,
dovremo di volta in volta adattare uno degli ingressi della cavità e considerare
la struttura come un rete
2-porte.
Ci sono quindi tre modi per eccitare la cavità in trasmissione: tramite le due
antenne laterali, o tra una porta e il coupler. Uno dei risultati da raggiungere
per giudicare attendibili le misure è la sostanziale equivalenza tra l'eccitazione
tramite coupler e antenna
1
e quella tramite coupler e antenna
2.
Il passo iniziale è ottenere una congurazione ottimale circa la dimensione
delle antenne. Esse sono semplicemente delle antenne lineari realizzate con li
0.5 mm saldati su una piastrina metallica
90°, può essere coleggata al cavo del Network
di rame spessi
la quale, tramite un
connettore a
Analyzer. Le regioni
di ingresso della cavità non sono simmetriche, quindi anche le antenne dovranno
avere dimensioni diverse.
La situazione ideale in cui vogilamo trovarci è la seguente:
ˆ
i coecienti di riessione S11 e S22 delle antenne devono più possibile
sovrapponibili e il loro modulo al di fuori della risonanza deve essere
simmetrico e il più possibile vicino all'unità.
ˆ
il coecienti di trasmissione S21 e S12 devono essere distinguibili dal
rumore (nelle strutture passive è garantita l'uguaglianza S21=S12).
Questi due risultati da soli non sono sucienti. Le antenne, infatti, penetrando
all'interno della cavità, possono variarne il volume e la geometria, perturbando
la frequenza di risonanza dei modi e la forma del campo. Mostreremo adesso
un esempio di come una scelta non accurata delle antenne possa compromettere
le misure eettuate. Le misure descritte si riferiscono ad una prima scelta delle
dimensioni delle antenne, poi risultata non idonea.
Un modo per accorgersi se le due antenne inuenzino in qualche modo la
geometria della cavità è fare una misura del coeciente di riessione del coupler
prima in una congurazione in cui le due antenne sono montate, e poi smon
tandole. In gura sono mostrare, sovrapposte, due misure dell'S22, eettuate a
breve distanza temporale, relative alle due diverse congurazioni.
Si nota uno scarto della frequenza di risonanza di circa
300
Khz.
Questo
risultato indica che la presenza delle antenne perturba la cavità, ma in modo
lieve.
Uno scarto di quest'entità è infatti stato riscontrato anche in misure
relative alla stessa congurazione della cavità, ma a distanza temporale.
36
Da
4.4.
Figura
4.6:
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Misura dell'S22 del coupler in presenza e in assenza delle antenne
laterali
questo risultato l'inuenza delle antenne pare quindi paragonabile a quello di
fattori quali l'umidità e la temperatura, cui è intrinsecamente aetto il sistema
di misura.
Abbiamo poi eettuato, sempre in prensenza e poi in assenza delle antenne,
delle misure di campo con il metodo di Steele (si veda il capitolo
6).
Trattandosi
di una misura del solo coeciente di riessione del coupler, essa deve risultare
indistinguibile nei due casi di presenza e assenza delle antenne laterali. Abbiamo
invece notato (gura
4.7) una dierenza non trascurabile nell'ampiezza del primo
picco del campo tra le due conguazioni. Poiché uno dei parametri di interesse
per la cavità biperiodica è la
eld-atness, il fatto che la presenza di un'antenna
modichi la forma del campo non è accettabile.
Al termine di diversi tentativi, si è trovata come situazione migliore circa la
dimensione delle antenne la seguente:
ˆ
porta
1 - 0.9
cm;
ˆ
porta
2 - 1.4
cm.
In gura
4.8
vengono mostrati i coecienti di riessione delle due porte laterali
relativi alle antenne denitive.
Anche se la misura è visibilmente aetta dal
rumore, i due graci risultano sovrapponibili.
37
Esaminando il diagramma di
4.4.
Figura
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
4.7:
Misura di Steele in presenza e in assenza delle antenne
38
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Figura
Smith (gura
4.9),
4.8:
ci rendiamo conto che entrambe le antenne sono fortemente
disaccoppiate (come deve essere, dal momento che non voglamo perturbino il
campo interno alla cavità).
Le misure in trasmissione descritte nei prossimi
paragra risulteranno molto più pulite rispetto a quelle di gura
4.8.
Il fatto
che queste ultime risultino rumorose, quindi, non è indice di un qualche errore,
ma anzi è la conferma che le due antenne non perturbano la geometria interna
della struttura.
4.4.2
Misure con eccitazione dal coupler
Le misure che descriveremo vengono eettuate tramite il Network Analyzer dopo
averlo completamente calibrato alle due porte. La calibrazione dello strumento
è un procedimento indispensabile nelle misure a microonde, le quali sono molto
sensibili alla variazione dei parametri ambientali (umidità e temperatura).
Il modo con cui si decide di eccitare la cavità risulta importante. Infatti se
si eccita dal coupler si impone un campo non nullo nella cella centrale e quindi
vengono eccitati solo i modi con questa caratteristica (il modo
π/2 è ovviamente
tra questi). Alimentando la cavità tramite le antenne laterali, invece, dovrebbero
risultare distinguibili tutti i
In gura
4.10
17
modi.
è gracato il modulo dell'S21, ottenuto collegando la porta
39
2
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Figura
del NA al coupler e la porta
un carico da
50 Ω.
1
4.9:
all'antenna
1,
adattando la seconda porta con
Oltre ai modi con campo non nullo nella cella centrale, sono
visibili dei picchi meno accentuati relativi agli altri modi. A causa della prenseza
delle iridi di accoppiamento, infatti, i modi per cui la teoria prevede un campo
nullo nella cella centrale presentano invece un campo basso ma non pari a zero.
Non mostriamo la misura del coeciente di trasmissione adattando la porta
1
e collegano il NA alla seconda antenna, in quando il graco risulta perfettamente
sovrapponibile.
4.4.3
Misure con eccitazione dalle porte laterali
Adattiamo ora il coupler e misuriamo il coeciente di trasmissione tra le due
antenne. Il graco è mostrato il gura
4.11.
Come ci aspettavamo sono distinguibili tutti e
17 i modi (anche se quelli più
esterni risultano maggiormente sovrapposti e più dicilmente distinguibili).
Le gure
4.10
e
4.11
mostrano entrambe che il modo
π/2
e quello successivo
sono molto distanziati. L'andamento del graco ricorda quello di una struttura
con
stopband.
Ritorneremo in seguito su questo punto.
40
4.4.
Figura
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
4.10:
Figura
Modulo dell'S21 con eccitazione dal coupler e dalla porta
4.11:
Modulo dell'S21 con eccitazione dalle antenne laterali
41
1
4.4.
4.4.4
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Misura di
Q0
e di
per il modo
β
π/2
Nel capitolo due si è mostrata l'importanza di poter misurare i parametri di
scattering di una rete a microonde, perché da essi si possono facilmente ricavare
parametri di interesse quali
Q0 e β.
Vogliamo adesso caratterizzare la campana della risonanza per il modo
cioè derterminare il fattore di merito non caricato
Q0 .
π/2,
Per comodità riporti
amo di seguito la (2.11), che ci permetterà di misurare indirettamente questo
parametro.
(4.5)
Q0 = (1 + β)QL
β
è il coeciente di accoppiamento del coupler.
Il Network Analyzer permette di calcolare automaticamente il fattore di
merito caricato
QL .
Il valore fornito è
3529.
Adesso dalla (2.14), che riportiamo
anch'essa,
β=
possiamo ricavere il valore di
Q0 .
1 − |S22|
1 + |S22|
(4.6)
L'utilizzo di questa relazione è consentito
solo dopo aver vericato di essere in situazione di sottoaccoppiamento tra cavità
e coupler. Per farlo, come detto nel capitolo
dell'S22 al variare di
ω
2,
possiamo osservare l'andamento
sulla carta di Smith (gura
4.13).
Poiché il cerchio de
scritto dalla risonanza non circonda il centro del diagramma di Smith, possiamo
aermare che il coupler è sottoaccoppiato e usare la (4.6).
Per il modulo dell'S22 che compare nella formula non usiamo il valore as
4.12
(1 in
soluto letto sullo strumento. Dalla gura
di riessione non vale esatamente
0
dB
ci accorgiamo che il coeciente
scala lineare) nell'intorno della
risonanza, come invece ci aspetteremmo dalla teoria. Questo è impuabile all'im
possibilità, anche calibrando lo strumento, di eliminare tutti gli errori insiti nel
sistema di misura. Per ottenere un valore più vertiero, quindi, si è deciso di fare
la dierenza fra il minimo del modulo dell'S22 (corrispondente ovviamente alla
frequenza di risonanza) e il suo massimo (valore di
plateau ).
Si ottiene in questo modo il risultato di -19,75 dB, cioé
Applicando la (4.6) si ottiene
di
Q0
β = 0, 813.
0,103
in lineare.
Dalla (4.5), inne, risaliamo al valore
cercato, ovvero
Q0 = 6408
42
(4.7)
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Figura
4.12:
Coecienti di Scattering relativi al modo
Rispetto ai valori pre-brasatura (Q0
= 5815)
π/2
notiamo un miglioramento del
parametro, corrispodente ad una migliore ecienza della struttura. Il processo
di
brazing
ha quindi sortito gli eetti voluti, anche se non abbiamo raggiunto i
valori indicati dalle simulazioni.
HFSS
Supersh
Measure pre-brazing
Measure post-brazing
7412
7101
5815
6408
Q0
Tabella
4.1:
Confronti tra il valore di
Q0
simultato e quelli corrispondenti alle
misure post e pre brasatura.
Un ultimo commento va fatto sul valore del
0,97
β
del coupler, che dal valore di
pre-brasatura, risulta adesso sensibilmente ridotto (0,81). Questo risultato
può essere imputato alla presenza di una angia di metallo che è stata innestata
tra il coupler e il connettore per il NA, assente durante le misure eettuate sulla
cavità quando era ancora ssata tramite tiranti.
4.4.5
Curva di dispersione sperimentale
In gura
4.15 è mostrata la curva di dispersione sperimentale della cavità biperi
odica, ottenuta calcolando semplicemente la frequenza di risonanza di ogni modo
con il Network Analyzer. La misura è stata fatta eccitando la cavità tramite
le antenne laterali, in modo che tutti i modi fossero completamente visibili. In
43
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Figura
Figura
4.13:
4.14:
Diagramma di Smith per il modo
π/2
Modulo dell'S22 del coupler per il modo
44
π/2
4.4.
CARATTERIZZAZIONE ESTERNA DELLA CAVITÀ
Figura
realtà solo
4.15:
Curva di dispersione sperimentale
16 dei 17 modi sono distinguibili; cioé è dovuto al forte sottoaccoppia
mento delle antenne laterali il quale, se da un lato garantisce di non perturbare
la geometria della cavità, dall'altro rende le misure maggiormente aette dal
rumore.
Rispetto alle misure relative alla cavità non brasata, si nota immediatamente
una maggiore distanza frequenziale tra il modo
π/2
distanza, pur non costituendo una vera e propria
e quello successivo. Questa
stopband
(vedi paragrafo
4.2),
ricorda l'andamento della curva di dispersione per la cavità biperiodica avente
le celle di accoppiamento con lo stesso raggio di quelle acceleranti.
Questa particolarità è stata riscontrata tutte le misure eettuate sulla strut
tura, comprese quelle preliminari in cui né l'operazione di sintonizzazione né
quella di ottimizzazione erano ancora state eseguite.
Dobbiamo dedurne che
ciò è una conseguenza del processo di brasatura, il quale ha in qualche modo
modicato la geometria della cavità. Tale modica non ha però conseguenze di
rilevanza per le applicazioni per cui la struttura è stata progettata.
45
Capitolo 5
Misura di campo con il
metodo di Slater
Terminata la caratterizzazione esterna della struttura descitta nel precedente
capitolo, ci apprestiamo a descrivere il metodo per la misura del campo elet
trico in asse. Lo scopo principale è quello di confrontare il risultato ottenuto
con i dati relativi alle misure sulla cavità non brasata.
grafo
Abbiamo visto (para
4.4.4) come la brasatura abbia avuto l'eetto di migliorare l'ecienza della
cavità senza mutare sostanzialmente gli altri parametri di interesse. Vogliamo
adesso vericare che la forma e il valore del campo elettrico in asse siano ancora
conformi alle misure precedenti e alle simulazioni eettuate col codice HFSS.
Essendo la cavità sotto esame una struttura ad onda stazionaria, si è deciso
di procedere, in primo luogo, ad una misura con il metodo di Slater (paragrafo
3.1).
Dalla teoria si evince che la variazione della frequenza di risonanza dovuta
alla presenza di un oggetto perturbante è proporzionale al modulo del campo
elettrico nel punto in cui è posizionato l'oggetto. Si è deciso di sfruttare la re
lazione (3.8) e procedere quindi ad una misura della variazione della fase dell'S21
alla frequenza
gradi.
ω0 .
In questo modo otteiamo una misura di campo espressa in
Per passare da questo valore ad uno più signicativo in
V /(mJ − 2 )
1
è
necessario calibrare l'oggetto perturbante, cioè conoscere il suo fattore di forma
ke .
46
5.1.
Figura
5.1:
SINTONIZZAZIONE DELLA CAVITÀ
Misura dell'S21 prima della sintonizzazione della cavità
5.1 Sintonizzazione della cavità
Prima di procedere alla misure, è stata necessaria un'operazione di sintoniz
zazione della cavità, al ne di rispettare le due principali speciche:
ˆ
ridotto valore della eld-atness;
ˆ
frequenza di risonanza a
11.424.
La situazione iniziale in cui abbiamo trovato la cavità presentava già una buona
atness, ma la frequenza di risonanza del modo
richiesto (gura
5.1).
π/2
risultava inferiore al valore
Nonostante lo scarto non fosse tale da compromettere
la signicatività della successive misure, si è deciso di cercare una situazione
ottimale.
Non è facile né immediato rispettare entrambe le speciche di cui sopra, per
ché agire sulla prima, porta inevitabilmente a modicare la seconda e viceversa.
Poiché in fase di fabbricazione si possono vericare degli errori sulla precisa di
mensione delle celle, la struttura è stata munita di
che in corrispondenza delle
9
9
particolari viti (i tuner)
celle maggiori, ne possono variare il volume. Ed è
proprio su di esse che si può agire al ne di trovare un compromesso tra le due
citate speciche (infatti per il modo
π/2
celle piu grandi).
47
il campo elettrico è presente nelle sole
5.1.
SINTONIZZAZIONE DELLA CAVITÀ
Figura
5.2:
Tuners
Per semplicità, la posizione di ogni vite e stata relazionata al numero di giri
dal margine esterno, sapendo che
1
giro corrisponde a
0.7
mm. I tuner possono
penetrare all'interno delle singole celle no ad un massimo di
ca
5.6
mm dal margine esterno.
Al di sotto dei
5
8
giri pari a cir
giri (dal margine esterno),
invece, essi non modicano la geometria della cavità, in quanto esterni ad es
sa. In generale, dunque, mantenendoci tra i due limiti suddetti, osserviamo che
inserendo i tuner, si determina una riduzione del volume della cavità e dunque
un innalzamenento del picco corrispondente, mentre la frequenza di risonanza
cresce; estraendo i tuner, si ha la situazione opposta. In entrambe le circostanze,
la variazione della frequenza di risonanza di ciascun modo (tra cui anche quella
del modo
π/2)
varia tra le decine di KHz ai MHz e si ha una contemporanea
modica dei restanti picchi in seguito ad una redistribuzione dell'energia. Eet
tuando molteplici tentativi siamo riusciti a trovare una congurazione dei tuner
per i quali si ottiene una buona eld-atness alla frequenza di
11.424
GHz. A
causa di un problema meccanico che ci ha impedito di muovere liberamente il
secondo tuner, non è stato possibile, nonstante i vari tentativi, perseguire un
compromesso migliore tra frequenza di risonanza e valore della atness. Il risul
tato raggiunto, comunque, è più che soddisfacente data la precisione richiesta
per la misura del campo.
48
5.2.
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
5.2 Il metodo del bead-pull measurement
L'applicazione della formula di Slater (3.6), ovvero della (3.10), richiede l'in
troduzione nella cavità di un oggetto perturbante che ne modichi il volume e
la geometria.
Per il modo di interesse il campo elettrico è solo longitudinale.
E' necessario quindi, al ne di ottenere una misura del campo su tutto l'asse,
che l'elemento pertubante si muova lungo questa direzione con velocità costante
e che il tempo impiegato ad attraversare la cavità sia uguale (o leggermente
minore) di quello impiegato dal Network Analyzer per operare una scansione
completa.
Per fare ciò si è usato un lo di nylon dello spessore di
0.09
mm,
fatto scorrere in direzione assiale lungo la cavità grazie a due tappi forati che
chiudono la struttura ai lati. Il lo è avvolto attorno ad un rocchetto controllato
da un motore passo-passo. Su di esso è stato incollato l'oggetto perturbante, un
ago metallico ricavato da un semplice lo di rame. La misura eettuata è una
misura del parametro
1
tenna
S21 ,
collegando la porta
della cavità e la porta
2
1
del Network Analyzer all'an
al coupler. L'antenna
2
è stata smontata per
evitare qualsiasi perturbazione del campo sotto esame; si tratterebbe comunque
di una perturbazione minima, in quando la scelta delle antenne e del loro accop
piamento è stata particolarmente curata (paragrafo
4.4.1).
La strumentazione
è gestita tramite Labview, grazie ad un VI per la cui descrizione si rimanda al
paragrafo
5.2.2.
Poiché vogliamo usare la (3.10), cioé calcolare la variazione di fase dell'S21
alla frequenza
ω0 ,
il Network Analyzer eettuerà una misura alla frequenza di
risonanza (con uno SPAN di
0
Hz). Conoscendo a quanto spazio corrisponde
ogni passo del motorino, ed il numero di passi eettuati, è possibile ottenere una
misura in cui in ascissa si ha una lunghezza (cm) e in ordinata la variazione di
fase.
5.2.1
Scelta dell'oggetto perturbante
Come si è detto, l'oggetto perturbante è un ago di metallo approssimabile come
un cilindro di lunghezza
1
mm e raggio
0,9
mm. La scelta delle dimensioni è
stata dettata dai seguenti motivi:
ˆ
piccole dimensioni rispetto alla lungezza d'onda del campo sotto esame.
Questo ci permette di considerare il campo elettrico all'interno dell'oggetto
costante e passare dalla (3.5) alla (3.6);
49
5.2.
ˆ
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
la variazione di fase dell'S21 prodotta dall'oggetto non deve superare i
40
gradi, in modo da non uscire dall'ipotesi di linearità che, nella (3.7), ci
permette di approssimare la tangente con l'angolo;
ˆ
materiale idoneo alla misura.
Durante le misure preliminari si è notato che anche la sola presenza della colla
sul lo produceva una variazione apprezzabile della fase.
Il motivo per cui
si è deciso di usare un oggetto di rame risiede nella necessità di calibrare lo
stesso.
La cavità a disposizione per la calibrazione è infatti una pillbox in
banda S, sulla quale la stessa quantità di colla non consentiva di eettuare una
misura chiara e distinguibile dal rumore.
si rimanda al paragrafo
5.2.4.
Per il problema della calibrazione
Si faccia attenzione al fatto che un oggetto di
materiale conduttore (come il rame) perturba sia il campo elettrico che quello
magnetico. Tuttavia, nel nostro caso, ciò non costituisce un problema poiché
stiamo studiando il modo TM010 , che ha campo magnetico nullo lungo l'asse
della struttura.
5.2.2
Descrizione del Virtual Instrument
Al ne di eettuare una misura con il metodo del bead-pull si richiedeva un
software che facilitasse l'interfacciamento col NA Agilent e col motore IPSES, e
che controllasse in maniera automatica le procedure più delicate. Ci riferiamo
in particolare alla necessità di sincronizzare l'avviamento del motorino con lo
start della
sweep
del Network Analyzer. In base al tempo dell
sweep, inoltre, si
voleva impostare automaticamente il numero di passi e la velocità del motore di
modo che, anchsce variando i parametri del NA, in ogni misura si visualizzassero
correttamente tutti i picchi del campo.
Un
Virtual Instrument
realizzato col
software Labview rispondeva perfettamente alle esigenze.
In gura
5.3
è mostrato il pannello di controllo del VI. L'utente può im
postare tutti i parametri di interesse per la misura tramite il front panel, senza
la necessità di agire direttamente sugli strumenti.
La parte in alto a sinistra è dedicata alla connessione al motore IPSES e al suo
controllo. Immettendo i dati nei tre controlli indicati con
Meas, Reel radius
Time Sweep, Lenght
il VI imposta automaticamente i valori del motorino al ne di
equiparare il tempo che l'oggetto perturbante impiega ad attraversare la cavità
a quello di
sweep
del Network Analyzer. Poiché vi è inevitabilmente un'approssi
t_real, L_real, p_meas, t_passo ) mostra
mazione, i quattro indicatori in basso (
50
5.2.
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
Figura
5.3:
Front Panel del VI realizzato
51
5.2.
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
no i tempi e la lunghezza eettivi della misura. Prima di iniziare una misura
(con il metodo di Steele o di Slater), è necessario impostare questi parametri.
I controlli a destra, invece, impostano i parametri del NA. La loro funzione
è immediatamente deducible dal nome; se così non fosse, quanto segue servirà
a spiegarla.
Attivando il pulsante
Start Slater Measure
il VI inizia automaticamente la
misura, in base ai parametri inseriti.
Lo schema di principio è abbastanza semplice.
Labview consente di usare
strutture sequenziali, che permettono l'esecuzione di un certo numero di oper
azioni tra loro correlate. Una volta eseguite tutte le istruzioni della sequenza si
passa alla sequenza successiva.
Analizziamo ora in dettaglio l'algoritmo del procedimento della misura. In
sostanza quello che deve fare il Network Analyzer è:
ˆ
Selezionare il tipo di parametro su cui eettuare la misura (S12);
ˆ
Far partire la misura della contemporaneamente al movimento del motore.
Prima di far partire la misura è necessario che lo strumento venga impostato
per la misura della variazione di fase.
Una volta trovato il modo di interesse
bisogna imporre uno span uguale a zero in modo da alimentare la struttura solo
con un campo avente frequenza pari a quella della risonanza imperturbata. Piu
precisamente, l'algoritmo si compone dei seguenti passi:
ˆ
inizializzazione dello strumento. Vengono impostati i parametri del NA in
seriti dall'utente: frequenza centrale, span, IF bandwidth e numero di pun
ti della traccia sullo schermo, oltre al parametro di scattering da misurare
(per eettuare una misura di Slater, è necessaro selezionare un coeciente
di trasmissione);
ˆ
viene abilitato un marker sul massimo dell'S21 e la traccia viene centra
ta rispetto ad esso.
Se l'intervallo di frequenze selezionato dall'utente
comprende la risonanza del modo di interesse, il marker si posiziona in
corrispondenza della
ˆ
ω0 .
si impone uno span di
0
campo alla sola frequenza
hertz, in modo da sollecitare la cavità con un
ω0 e viene selezionata una misura in fase.
Poiché
quello che andremo a misurare è una variazione in gradi, non è necessario
calibrare precedentemente lo strumento. Per questo l'algoritmo che stiamo
descrivendo non prevede di applicare una calibrazione alla misura.
52
5.2.
ˆ
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
il NA calcola il valore della fase dell'S21 in corrispondenza della
ω0
per sot
trarlo successivamente alla misura. In questo modo la traccia visualizzata
sullo schermo sarà proprio la
ˆ
4φ
che compare nella (3.11).
viene avviata la sweep dello strumento simultaneamente all'avvio del mo
tore IPSES. Se i parametri
Time Sweep, Lenght Meas, Reel radius
sono
stati impostati correttamente, il tempo di sweep coinciderà con quello imp
iegato dal motorino per far attraversare la cavità dall'oggetto perturbante.
Per il controllo del motore viene utilizzato un subVI dedicato che genera
un usso di bit che vengono elaborati dal circuito di controllo del motore.
Questo subVI prende in ingresso il numero di passi da eettuare, il ritardo
tra un passo e l'altro, il verso di rotazione del motore e restituisce in us
cita il numero di passi eettuati. Quando questo coincide con il numero
di passi necessari per la scansione della cavita, dato in ingresso, termina il
movimento del motore e si passa all'acquisizione dei dati: si pone il trigger
del Network in modalita HOLD in modo da ssare la traccia sul display
dello strumento;
ˆ
per riportare l'oggetto perturbante nella posizione iniziale, sempre tramite
il subVI dedicato al motore IPSES, viene riavvolto il lo di un numero di
passi uguale a quelli eseguiti precedentemente. A questo punto si ha sullo
schermo la misura del campo in asse (espressa in gradi) e si è pronti, in
caso di necessità, ad eettuare una seconda misura.
Il processo di misura è quasi totalemente automatizzato; l'intervento dell'utente
è necessario per:
ˆ
sistemare il lo nella posizione di partenza;
ˆ
assicurarsi che i collegamenti tra PC e Network e tra PC e scheda di
controllo del motore siano attivi;
ˆ
impostare i parametri di ingresso sul Pannello frontale;
ˆ
salvare i dati alla ne di ogni scansione.
5.2.3
Misura di
In gura
5.4
φ(f0 )
mostriamo il graco della misura in gradi del campo elettrico in
asse. L'andamento osservato è proporzionale a
53
|E|2
U . Per ottenere il valore del
5.2.
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
Figura
5.4:
Misura della fase dell'S21 perturbata
campo normalizzato alla radice quadrata dell'energia bisogna conoscere il fattore
di forma
di segno.
ke
e tenere conto del fatto che, tra una cella e l'altra, il campo cambia
La procedura di calcolo di
ke
e il graco nale del campo saranno
mostrati nei prossimi paragra.
Ci interessiamo adesso del calcolo della eld-atness.
Come abbiamo accennato nel paragrafo
5.1, durante le misure è stato riscon
trato un problema meccanico per il secondo tuner che impedisce di muovere
liberamente la vite. Questo non ci ha consentito una sintonizzazione ottima del
la cavità, che presenta una atness sensibilmente peggiorata rispetto alle misure
pre-brazing
e alle simulazioni. In fase di sintonizzazione si è cercato quindi di
rispettare la specica sulla frequenza di risonanza (11.424 Ghz) e di curare per
quanto possibile la atness relativa agli altri picchi del campo (quelli la cui
ampiezza può essere
corretta
agendo sui tuner).
Per il calcolo della atness ricorriamo alla sua denizione
H=
φmax − φmin
φmedio
54
(5.1)
5.2.
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
4φ
Picco
Tabella
il modo
dove
5.1:
π/2
(gradi)
I
-21.15
II
-19
III
-21.17
IV
-21.06
V
-21.19
VI
-20.86
VII
-21.44
VIII
-21.23
IX
-21.31
Ampiezza in gradi dei
φmax = 21.44,φmin = 19
e
9
picchi relativamente alla fase dell'S21 per
φmedio = 20.09°.
Il risultato che si ottiene è:
ˆ
H =
12
%;
ˆ f0 = 11.4244
GHz.
Il valore ottenuto è lontano da quello di circa
3% delle simulazioni e delle misure
eettuate prima che la cavità venisse brasata. Risulta signicativo, in questo
caso, fare un calcolo
parziale
della eld-atness senza tenere conto del secondo
picco, quello relativo al tuner non funzionante.
In questo caso i dati da usare nella (5.1) sono:
e
φmedio = 21.17°.
ˆ
H =
2,7
φmax = 21.44,φmin = 20.86
Il risultato ottenuto è
%
Ciò ci consente di suppore che, risolvendo il problema meccanico e potendo
agire liberamente sul secondo tuner, avremmo ottenuto un valore assolutamente
congruente alle simulazione a alle prime misurazioni.
5.2.4
Calibrazione dell'oggetto perturbante
In questo paragrafo ci concentreremo sulla determinazione del fattore di forma
ke
(le cui dimensioni sono
m3 )
che compare nelle (3.11). La conoscenza di
55
ke
ci
5.2.
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
permette di passare dalla misura in gradi della fase perturbata dell'S21 al valore
in
V /mJ − 2
1
del campo elettrico in asse.
In letteratura è facile trovare modelli per determinare teoricamente il fat
tore di forma per oggetti semplici quali sfere, cilindri o aghi metallici. Questo
però comporta la necessità di usare un oggetto perturbante dalla forma e dalle
dimensioni note con precisione.
In questa tesi si è deciso di usare un altro
metodo.
Dalla (3.11) si ricava immediatamente:
ke ' −
φ
2
2QL ²0 |E~ z | /U
(5.2)
In questa equazione le incognite sono due, il fattore di forma
~ z |2
|E
/U . Poiché
ke
ke
e la quantità
è funzione unicamente delle caratteristiche e della geometria
dell'oggetto perturbante, esso non dipende dalla particolare struttura in cui
eettuiamo la misura. L'idea base, quindi, è quella di usare una cavità di cui sia
noto dalla teoria il valore del campo normalizzato all'energia e di cui si possa
facilmente calcolare il
QL .
Se eettuiamo su questa struttura una misura col
metodo del bead-pull, usando ovviamente lo stesso oggetto scelto per la cavità
biperiodica, nella (5.1) l'unica incongita rimane proprio il fattore di forma. In
questo modo abbiamo eettuato una calibrazione dell'oggetto perturbante.
La struttura scelta per la calibrazione è una pillbox, cioé una semplice cavità
risonante cilindrica, in banda S, di cui sono note le dimensioni:
ˆ
diametro:
2r
ˆ
altezza: h =
=
119,54
42,68
mm;
mm.
Di questa si conoscono dalla teoria e dalle simulazioni tramite codice HFSS
le frequenze di risonanza di ogni modo e, di ciascun modo, il valore del campo
normalizzato all'energia.
Q factor
T M010
Tabella
5.2:
16515
Ez
Field/sqrt(U) (th)
4.1704119
Ez
E+07
Valori del campo E per il modo
Field/sqrt(U) (sim)
4.1687420
T M010
E+07
della pillbox ottenuti dalla
teoria e dalle simulazioni
Per il modo fondamentale
T M010 ,
prendendo dalla tabella il valore teorico
~ 2
1
di |Ez | /U , abbiamo che
1 Per
la costante dielettrica è stato usato il valore di
56
2
8,8541·10−12 mC2 ·N
5.2.
Figura
IL METODO DEL BEAD-PULL MEASUREMENT
5.5:
Pillbox usata per la calibrazione dell'oggetto pertubante
²0
~ z |2
|E
= 15400m−3
U
La procedura usata per il calcolo di
ˆ
ke è
(5.3)
stata la seguente:
spostare il lo di nylon dalla biperiodica alla pillbox, al ne di usare lo
stesso oggettino metallico e la stessa identica quantità di colla;
ˆ
eettuare
ˆ
calcolare tramite procedura matlab il valore medio.
In gura
5.6
misure col metodo del beap-pull;
è riportato il graco della misura media ottenuta.
Il valore di
merito
10
φ
da usare nella (5.1) è quindi
−6, 75.
Conoscendo il fattore di
QL della pillbox (pari a 10200) si giunge al risultato ke = 3, 75 · 10−10 m3 .
Riportiamo di seguito il valore ottenuto, accompagnato dalla relativa in
certezza.
ke = (3, 75 · 10−10 ± 9, 56 · 10−13 )m3
(5.4)
Il metodo di valutazione dell'incertezza che si è scelto di utilizzare è quello
di tipo A che si basa sull'analisi statistica di una serie di osservazioni campione
[13]. Avendo a disposizione un campione di risultati delle misure si sceglie come
57
5.3.
CALCOLO DEL CAMPO ELETTRICO IN ASSE NORMALIZZATO
ALLA RADICE DELL'ENERGIA
Figura
5.6:
Sfasamento dell'S21 prodotto dall'oggetto metallico sulla pillbox
stima del valore del misurando la loro media; di conseguenza la dispersione
delle misure intorno alla media sarà data dalla deviazione standard sperimentale
σ(ke ) del campione.2 A partire dalla deviazione standard sperimentale è possibile
determinare la migliore stima possibile della deviazione della media che vale:
σ(ke )
σ(k¯e ) = √
n
(5.5)
essendo n il numero di campioni. Questa è la formula che è stata usata per la
derminazione dell'incertezza.
5.3 Calcolo del campo elettrico in asse normaliz
zato alla radice dell'energia
Calcolato il valore del fattore di forma dell'oggetto perturbante possiamo ora
ricavare la distribuzione del campo elettrico sull'asse normalizzato alla radice
quadrata dell'energia. La (5.1) ci permette di passare dalla fase dell'S21 ad una
~ 2
misura di |Ez | /U conoscendo il valore della costante dielettrica nel vuoto. Ciò
è in generale possibile per tutti i modi normali, per ognuno dei quali si può
2 Ricordiamo
per completezza la denizione di deviazione standard sperimentale
v
u n
u X (xi − x̄)2
σ=t
n−1
i=1
dove come
x̄
abbiamo indicato il valor medio dei campioni.
58
5.3.
CALCOLO DEL CAMPO ELETTRICO IN ASSE NORMALIZZATO
ALLA RADICE DELL'ENERGIA
Figura
5.7:
~ 2
Andamento di |Ez | /U .
eettuare una misura di Slater. Per il modo π/2 ci interessa anche conoscere
~z √
E
/ U , siamo cioè interessati all'informazione sul segno del campo, che si perde
se consideriamo unicamente il modulo.
sappiamo (si veda il paragrafo
4.1)
Ciò non è dicile da ottenere perché
che per il modo
alternato di cella in cella, se considerando solo le
π/2
il segno del campo è
9 cavità principali, in quanto il
campo è nullo nelle celle di accoppiamento. Per ottenere la misura di interesse
~ 2
occorre quindi calcolare la radice di |Ez | /U e invertire i picchi in modo alternato.
L'operazione è semplice utilizzando una procedura Matlab.
Si perviene inne all'andamento del campo cercato, mostrato in gura
per il modo
5.8,
π/2.
Calcolando la eld-atness con la (3.15), otteniamo
H = 5, 4%.
Se non con
sideriamo il secondo picco del campo, che non è stato possibile ottimizzare rispet
to alla atness, si ha invece
H = 2, 8%,
che è un risultato conforme alle misure
pre-brazing [2].
Si puo notare dal graco del campo in asse, come quest'ultimo si annulli
in corrispondenza delle celle di accoppiamento ed abbia una buona atness nei
picchi delle celle acceleranti. Inoltre si nota del rumore negli intervalli estremi,
laddove non è presente il campo, in quanto l'oggetto perturbante è fuori dal
volume del modo in cavità.
A questo punto si giunge allo scopo di questo lavoro di tesi, cioé confrontare
l'andamento del campo nella cavità sottoposta a brasatura con quello misurato
precedemente.
Possiamo concludere che il processo di brasatura è andato a
59
5.4.
Figura
5.8:
CALCOLO DELL'(RSH /L)/Q0
Andamento del campo elettrico normalizzato alla radice quadrata
dell'energia
Figura
5.9:
Confronto tra le misure di campo pre e post brasatura
buon ne, non avendo sostanzialmente modicato il campo elettrico interno alla
cavità per il modo
π/2.
5.4 Calcolo dell'(Rsh /L)/Q0
Il calcolo del parametro
(Rsh /L)/Q0
ci fornisce una stima della capacità di
accelerazione della cavità in esame.
Riportiamo qui per comodità la sua denizione:
V02
³´
Rsh
=
=
Q0 L
ω0 U L
´2
L Ez jkz
√ e
dz
0
U
(5.6)
ω0 L
dove
ˆ L = 20cm
ˆ ω0 è
ˆ
è la lunghezza della cavità;
la pulsazione di risonanza per il modo
π/2;
U è l'energia immagazzinata nella cavità;
ˆ Ez
è il campo longitudinale ricavato nel paragrafo
60
5.3;
5.4.
ˆ k =ω0 /c
CALCOLO DELL'(RSH /L)/Q0
è la costante di propagazione nel vuoto, avendo indicato con
c
la
velocità della luce.
Calcolando il valore di
Rsh /Q
Rsh /Q0
tramite una procedura matlab otteniamo:
Supersh
HFSS
Meas pre-brazing
Meas post-brazing
9693
9452
9150
8950
Ci aspettavamo un risultato minore rispetto alle misure precedenti in quanto
minore è il valore del campo normalizzato alla radice quadrata dell'energia.
61
Capitolo 6
Misura di campo col metodo
di Steele
In questo capitolo mostreremo le misure di campo eettuate usando un meto
do di misura che si basa sulla teoria di Steele (capitolo
3).
A dierenza del
precedente capitolo, non arriveremo a determinare il fattore di forma
cui calcolo non è stato oggetto di questo lavoro di tesi.
kST ,
il
Di conseguenza non
V
√ , ma solo una variazione del coeciente
m J
di riessione, che sappiamo essere proporzionale (in modulo e fase) al campo
potremo esibire un graco
Ez
in
elettrico secondo la (3.13). Mostreremo in seguito un calcolo della atness (per
il quale non è necessaria una misura calibrata), che risulterà compatibile con
quello eettuato nel paragrafo
5.2.3.
Durante le misure è stata notata una dis
crepanza tra il risultati ottenuti per quanto riguarda la fase del campo e quanto
ci si aspetterebbe dalla teoria elettromagnetica. Tale problema, riscontrato an
che in altre sessioni di misura eettuate al di fuori dell'ambito di questa tesi,
è rilevante e assolutamente non banale. Nel paragrafo
6.3
si mostreranno delle
misure di prova eettuate nel tentativo di trovare una giusticazione, anche non
rigorosa, all'andamento anomalo delle misure di fase. La problematica, tuttavia,
rimane ancora irrisolta.
6.1 Misura dal Coupler
Il metodo di Slater e quello di Steele sono concettualmente diversi. Nel primo
quello che si misura è una variazione della frequenza di risonanza; nel secondo
62
6.1.
MISURA DAL COUPLER
si va a calcolare invece la variazione del coeciente di riessione ad una porta,
(avendo adattato tutte le altre).
Come è già stato discusso nel capitolo
3,
il
metodo di Steele è più potente in quanto si applica indierentemente a strutture
risonanti o non risonanti.
Operativamente, la misura è stata fatta collegando la porta
2
del Network
Analyzer al coupler. Invece di adattare le due porte laterali, si è deciso si scolle
gare del tutto le antenne. Il meccanismo di introduzone dell'oggetto perturbante
nella cavità è lo stesso descritto nel capito
5.
Anche la misura di Steele ha richiesto l'implementazione, tramite Labview,
di un preciso algoritmo, diverso ma di complessità simile rispetto a quello usato
nelle misure di Slater. Senza entrare nuovamente nei dettagli del VI realizzato,
ci limiteremo a descrivere sinteticamente il procedimento utilizzato. Facciamo
notare che, per eettuare una misura di Steele, l'utente deve immettere tramite
il front-panel, oltre ai parametri descritti nel paragrafo
5.2.2, anche la frequenza
alla quale si vuole posizionare il marker e quindi eettuare la misura.
ˆ
come per l'algoritmo di Slater, lo strumento viene inizializzato.
eettuato un
preset
Viene
e vengono impostati i paramentri inseriti dall'utente.
Ovviamente deve essere stato selezionato il parametro di scattering S22.
A dierenza della misura di Slater, per avere una misura signicativa è
necessario calibrare lo strumento. L'algoritmo prevede, in fase iniziale, il
caricamento di una calibrazione pre-esistente, che l'utente deve aver avuto
cura di impostare precedentemente;
ˆ
a questo punto bisogna posizionare il marker in corrispondenza della fre
quenza di risonanza. Invece di far calcolare automaticamente al NA la
f0 ,
si è deciso che anche questo parametro deve essere impostato dall'utente.
Questa funzione è superua nel caso in esame, ma rende il VI maggior
mente versatile se, in futuro, dovesse essere utilizzato su strutture non
risonanti;
ˆ
viene impostato una span di
0
hz intorno alla frequenza del marker. Con
temporaneamente vengono messi in memoria il valore del modulo e della
fase relativi alla
ˆ
f0 ;
il motore IPSES viene avviato contemporaneamente alla
sweep
del NA. Il
campo elettrico cercato è porporzionale alla variazione del coeciente di
riessione. Poiché
Γ è una quantità complessa, si commetterebbe un errore
sottraendo semplicemente alla misura il valore (ovviamente costante) del
63
6.1.
Figura
6.1:
MISURA DAL COUPLER
Modulo del campo elettrico per il modo
coeciente di riessione imperturbato.
π/2
L'operazione di composizione di
numeri complessi viene eettuata automaticamente dal NA, che mostra
sullo schermo direttamente la traccia denitiva;
ˆ
viene impostata la modalità HOLD del trigger in maniera che la traccia
rimanga ssa sullo schermo. Il lo viene riavvolto no a portare l'oggetto
perturbante nella posizione iniziale.
In gura
6.1
e
6.2
mostriamo le misure del modulo e della fase del campo
elettrico.
La forma del campo di gura
6.1
è compatibile con quella di gura
5.4.
Pur
non potendo confrontare il valore denitivo del campo (per il quale sarebbe
necessario calibrare l'oggetto perturbante per questo nuovo metodo di misura),
possiamo aermare che i graci sono sovrapponibili.
Accenniamo qui, prima di riprendere l'argomento nel paragrafo
mento anomalo della fase riscontrato in gura
6.2.
6.3, all'anda
Essendo la cavità biperiodica
una struttura ad onda stazionaria, ci aspettiamo una fase costante. In gura
6.2
si nota invece un andamento fortemente inuenzato dal modulo del campo:
si notano infatti i nove picchi. Questa dipendenza della fase dal modulo non è
contemplata dalla teoria e fa sorgere dei dubbi sulla completa correttezza delle
procedure utilizzate.
64
6.2.
Figura
CALCOLO DELLA FIELD-FLATNESS
6.2:
Fase del campo elettrico per il modo
π/2
6.2 Calcolo della eld-atness
Dalla gura
6.1,
pur non potendo risalire al valore reale del campo, possiamo
fare un calcolo sulla eld-atness.
Essa infatti coinvolge solo in rapporti di
ampiezza tra i picchi del campo, indipendentemente dall'unità di misura in cui
sono espressi. Ci aspettiamo di ottenere dei valori compatibili con quelli ricavati
dalla fase perturbata dell'S21 per la misura di Slater.
Dalla tabella
6.1
possiamo facilmente ricavare:
ˆ Amax = 0, 3234
ˆ Amin = 0, 292
ˆ Amedio = 0, 316
da cui otteniamo
H = 9, 9%
Come già osservato nel paragrafo
giorato rispetto alle misure
5.2.3,
pre-brazing
(6.1)
questo valore è sensibilmente peg
e ciò è dovuto al problema riscontrato,
in fase di sintonizzazione, per il secondo tuner.
atness, senza considerare il secondo picco, si ha:
65
Se calcoliamo nuovamente la
6.3.
Tabella
6.1:
IL PROBLEMA DELLA FASE DEL CAMPO
Ampiezza dei
9
Picco
4φ
I
0.3223
II
0.292
III
0.3224
IV
0.3221
V
0.3234
VI
0.317
VII
0.3192
VIII
0.316
IX
0.3139
picchi del campo relativi al modulo dell'S22
ˆ Amax = 0, 3234
ˆ Amin = 0, 3139
ˆ Amedio = 0, 3195
e quindi
(6.2)
H = 2, 9%
con uno scarto di
0, 2%
rispetto al valore di
2, 7%
ottenuto dalla misura di
Slater.
Il valore sostanzialmente uguale, ottenuto tramite un diverso procedimento
di misura e una diversa teoria, è una conferma sull'attendibilità del risultato
conseguito.
6.3 Il problema della fase del campo
Per giusticare l'andamento anomalo della fase riscontrabile in gura
6.2,
si è
ipotizzato che le dimensioni dell'oggettino perturbante di rame, sucientemente
ridotte per rispettare le ipotesi alla base del teorema di Slater, non lo fossero
altrettanto per poter applicare l'oggetto in una misura di Steele.
Si è deciso quindi di realizzare tre oggetti di diverse dimensioni, ed eettuare
per ognuno una misura. Lungi dall'essere una dimostrazione rigorosa, se si fosse
66
6.3.
Figura
6.3:
IL PROBLEMA DELLA FASE DEL CAMPO
Misura del modulo del campo eettuata facendo scorrere solamente
il lo di nylon.
riscontrata una diminuzione percentuale nell'ampiezza del modulo del campo
relativa a due oggetti diversi maggiore rispetto alla corrispettiva diminuzione di
fase, si sarebbe potuto ragionevolmente supporre che erano proprio le dimensioni
troppo grandi dell'oggetto a causare quella dipendenza della fase dal modulo che
la teoria non prevede.
Di seguito portiamo i risultati ottenuti e le conclusioni a cui siamo giunti.
Come primo oggetto è stato scelto lo stesso usato nelle precedenti misure (gure
6.1
e
6.2).
Il secondo e il terzo sono stati realizzati con due diversi quantitativi
di colla, senza la presenza di oggetti metallici. Essendo i due oggettini molto
piccoli era necessario controllare quale fosse l'eetto del solo lo di nylon che
attraversa la cavità (gura
6.3).
Dall'analisi del graco ci aspettiamo, nelle
prossime misure, che i picchi più a destra risultino più alti di circa
3
milli-unità
rispetto agli altri. Ciò è dovuto alla presenza di imperfezioni è sporcizia sul lo
e non ad un reale andamento del campo.
Confrontiamo prima la gura
6.1
e la
6.4.
Si noti che usando un oggetto più
1
piccolo l'ampiezza dei picchi del campo risulta ridotta a un terzo. Al contrario
l'ampiezza dei
picchi
della fase (come riferimento abbiamo preso il quinto, quello
più evidente) è di circa
1 il
25°
contro
30°.
Se adesso confrontiamo la gura
6.4
con
termine piccolo viene qui usato in maniera generica, in quando non solo le dimensioni
dell'oggetto ma anche il materiale di cui è fatto inuenzano l'eetto che avrà sulla cavità.
67
6.3.
Figura
6.4:
IL PROBLEMA DELLA FASE DEL CAMPO
Modulo e fase del campo perturbato dal primo oggetto realizzato
con una certa quantità di colla
Figura
6.5:
Modulo e fase del campo perturbato dal primo oggetto realizzato
con una piccola quantità di colla
68
6.3.
la
6.5,
IL PROBLEMA DELLA FASE DEL CAMPO
ci accorgiamo nuovamente che la variazione dei
minore rispetto a quella del modulo.
picchi
della fase è molto
Passando dal primo al terzo oggetto il
modulo si riduce di un fattore circa dieci, mentre la fase di un fattore
3.
Dalle misure fatte possiamo quindi aermare che non sono le eccessive dimen
sioni dell'oggetto perturbante a causare l'andamento anomalo della fase. Anche
il presenza di un oggetto molto piccolo (gura
6.5),
l'andamento a picchi del
campo è visibile nella fase.
Lo scopo che ci eravamo pressi nell'ambito di questa tesi era di mostrare un
altro metodo di misura del campo. Abbiamo notato, per quanto riguarda il mod
ulo, una sostanziale congruenza della misura di Steele con quella di Slater per
quanto riguarda la eld-atness e quindi la forma del campo. Davanti all'anoma
lo andamento della fase abbiamo tentato un primo approccio per giusticarlo,
che non ha dato i risultati sperati.
Il comportamento osservato dovrà quindi
essere ulteriormente approfondito e studiato.
69
Capitolo 7
Conclusioni e sviluppi futuri
In questo lavoro di tesi si è studiata una cavità biperiodica risonante ad
11.424
GHz progettata per migliorare l'emittanza longitudinale di un fascio di elet
troni relativistici. Lo studio si colloca nell'ambito del progetto SPARC per la
realizzazione di un laser a elettroni liberi di nuova generazione.
Si è dapprima descritta la struttura come sistema di cavità accoppiate, ri
cavando le equazioni di interesse direttamente dai principi generali dell'elettro
magnetismo; in seguito la si è descritta come rete elettrica tramite parametri di
scattering.
La struttura in esame era già stata caratterizzata sperimentalmente, come
documentato in altre tesi, per le quali si rimanda alla bibliograa, svolte presso
il laboratorio LAR dell'Università di Roma La Sapienza. La necessità di nuove
misure è sorta in seguito al processo di brasatura, cui la cavità è stata sottoposta,
per assicurarsi che il prototipo denitivo rispondesse ancora alle speciche di
progetto.
La misura cui interessava pernevenire era quella dell'andamento del cam
po elettrico normalizzato alla radice quadrata dell'energia, che poteva essere
direttamente confrontato con le simulazioni e le misure
pre-brazing.
Prima di giungere a questo risultato, si è eettuata la caratterizzazione
esterna della struttura.
Ci si è soermati su principalmente sul modo di in
teresse (π/2), mettendone in evidenza la frequenza di risonanza, il fattore di
accoppiamento
β,
il fattore di merito
Q0 .
Per il calcolo del campo elettrico in asse si è ricorsi ad un procedimento che
si basa sulla ben nota formula di Slater, ovvero sulla teoria dei metodi di misura
perturbativi. Dopo un attento processo di sintonizzazione della cavità e di cali
70
brazione dell'oggetto perturbante utilizzato, si è pervenuti alla misura denitiva.
L'andamento di
Ez
così ottenuto è risultato ben sovrapponibile ai risultati di cui
eravamo già in possesso, tramite simulzioni e precedenti misure sulla cavità non
brasata. Il valore denitivo relativo all'ampiezza del campo elettrico, anche se
leggermente inferiore a quello atteso, ci conferma la conformità della struttura
con gli scopi per i quali è stata realizzata.
Possiamo attestare quindi che il processo di brasatura è andato a buon ne.
Il metodo di misura che si basa sulla teoria classica di Slater è stato usato più
volte presso il laboratorio LAR. La procedura è ormai consolidata e permette
di giungere a misure precise del modulo del campo elettrico.
Per il futuro si
è interessati all'implementazione di nuove metodologie di misura, per produrre
risultati indipendenti da paragonare alle misure di Slater.
Nell'ultimo capitolo di questo lavoro ci siamo interessati di ciò, ed in parti
colare del metodo che origina dalla teoria di Steele, la quale permette di fare
misure di campo elettrico in modulo e fase su strutture non necessariamente
risonanti.
Un primo risultato positivo ci è venuto dalla misura del modulo, che possi
amo confrontare direttamente con quello ottenuto precedentemente. La forma
del campo (rapprensentata dal valore della
eld-atness ) è risultata ben sovrap
ponbile con quella di cui eravamo già in possesso.
Non ci si è interessati, in
questa sede, alla calibrazione dell'oggetto perturbante.
La misura della fase del campo ha invece mostrato un comportamento anoma
lo
in contrasto
con la teoria elettromagnetica. L'andamento di
φ
denota infatti
una forte ipendenza dalla forma del modulo del campo, invece di risultare pi
atto (costante) come ci si aspetta da una struttura ad onda stazionaria. Tale
andamento permane anche diminuendo sensibilmente le dimensioni dell'oggetto
perturbante con il quale si eettua la misura.
Il problema è al momento attuale irrisolto.
Per giusticare il comportamento osservato bisognerà prima di tutto ripartire
dalla teoria di Steele, accertandosi che essa sia applicabile alle strutture oggetto
di studio in questa tesi e nelle altre svolte presso il LAR.
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